Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Por lo tanto, si las primeras derivadas parciales

son continuas y satisfacen las ecuaciones de

Cauchy-Riemann en todos los puntos de la

vecindad (entorno), entonces f(z) es analítica

Ecuaciones de Cauchy-RiemannTeorema

Sea definida en un

entorno de

Si ● las derivadas parciales con respecto a r y

existen● Las derivadas parciales son continuas en● Se satisfacen las Ecs. de C-R (versión polar).

Entonces f(z) es diferenciable en y

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Teorema

Si f(z) es analítica en un dominio D y f '(z) es nula en ese dominio, entonces f(z) es constante en D.

Funciones armónicas

● Una función real se dice que es armónica en un dominio D, si sus derivadas parciales de primer y segundo orden son continuas en D y si en cada punto del dominio se satisface la ecuación de Laplace

Funciones armónicas

Teorema

Si f(z)=u(x,y)+iv(x,y) es analítica en un dominio D, entonces cada una de las funciones u(x,y) y v(x,y) es una función armónica.

● Comentario: si conocemos u(x,y) podemos construir su función “armónica conjugada” v(x,y) utilizando las Ecs. de Cauchy-Riemann. De esta forma podemos encontrar la función analítica f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)

Funciones armónicas

Algunas funciones elementales

Veamos algunas funciones analíticas que se reducen al caso de funciones elementales del Cálculo cuando z=x+i0

● Función exponencial● Función logaritmo● Exponentes complejos● Funciones trigonométricas● Funciones hiperbólicas● Funciones trigonométricas e hiperbólicas

inversas● Polinomios

Algunas funciones elementales

● Función exponencial

Esta función es muy importante, pues, entre otras cosas, de ella se definen otras funciones.

Con tenemos:

● De aquí que:●

es decir, la función es multivaluada

Por ejemplo:

a) si y sólo si k:entero

b) si y sólo si

Es decir que es una función periódica con período

Algunas funciones elementales

De modo que dividimos el plano complejo en diferentes bandas o regiones

Algunas funciones elementales

● Comentario: notemos que la función puede tomar el valor negativo -1:

Entonces e

● Finalmente, hemos obtenido anteriormente que

Algunas funciones elementales

● Funciones trigonométricas

Hemos visto que

por lo que

● De aquí se define o generaliza las funciones seno y coseno a “ángulos complejos” como

Algunas funciones elementales

con derivadas

Algunas funciones elementales

Algunas propiedades●

●

●

●

●

●

● si y sólo si● si y sólo si

Algunas funciones elementales

Similarmente se definen las funciones

con derivadas

Algunas funciones elementales

Función logaritmo

Una motivación para introducir la función la función logaritmo proviene de la solución de la ecuación:

Se define la función log z con como

O bien

donde Arg(z) es el arg(z) en el intervalo

Algunas funciones elementales

El argumento principal “salta” en cuando z cruza el corte ramal (branch cut/corte ramal) en el eje real negativo

De esta forma tenemos ramas univaluadas de la función log z

Algunas funciones elementales

Se dice que la rama de una función multivaluada f es una función univaluada y analítica F en cierto dominio, tal que en ese dominio F(z) es uno de los valores de f(z).

Por ejemplo:

con y

se le conoce como la rama principal.

El corte ramal es una curva o recta que delimita una rama

Algunas funciones elementales

Se define el valor principal de la función log z como

Fuera del eje real negativo, la función Log z es analítica y se tiene que

Algunas funciones elementales

Comentario:

Notemos que

Pero

Algunas funciones elementales

En ocasiones es conveniente definir otras ramas de la función log z como

Algunas funciones elementales

Superficie de Riemann

Re(log z)

Im(log z)

Hojas de Riemann

Comentario:● La función Arg z es armónica, excepto en el

corte ramal● La función ln |z| es armónica, excepto en el

origen

Entonces tenemos dos funciones armónicas que satisfacen la ec. de Laplace

Algunas funciones elementales

Ejemplos en problemas físicos:● Capacitor coaxial infinito● Dos planos infinitos formando cierto ángulo en

un extremo (cuña)

Es conveniente utilizar coordenadas polares

Algunas funciones elementales

O bien,

Algunas funciones elementales

● Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas

Estas funciones también se pueden escribir en términos de la función logaritmo.

Algunas funciones elementales

● Seno inverso

Sea w el inverso de la función seno, i.e,

con

De aquí se puede encontrar que

Recuerde que la raíz es una función bivaluada. Además, como log(z) es multivaluada también lo es.

Algunas funciones elementales

Similarmente tenemos:● Coseno inverso

● Tangente inversa

Algunas funciones elementales

Además, tienen como derivadas

●

●

●

Algunas funciones elementales

Las funciones hiperbólicas se definen como:

●

●

●

Algunas funciones elementales

Funciones hiperbólicas inversas:

●

●

●

Algunas funciones elementales

● Potencias complejas o exponentes complejos

Haciendo uso de la función logaritmo podemos definir potencias complejas.

Si y un número complejo, se define la función por medio de la relación:

● Para ( ) y ( ) sabemos que la relación anterior es cierta

Algunas funciones elementales

● Se puede definir el valor principal (V.P.) de la función como

V.P.

Superficie de Riemann

● Raíz cuadrada

Raíz cuadrada

Belt

Aplicación: Circuito RLC

(a) (b)

Para el circuito (a):

De la ley de Ohm con

Aplicación: Circuito RLC

Aplicación: Circuito RLC

Es más conveniente/fácil utilizar un voltaje complejo

● Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones lineales que relacionan al voltaje y corriente:

Aplicación: Circuito RLC

● En resumen, si la respuesta “matemática” a un voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la respuesta “real/física” al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]

● Para el circuito (b) en estado estacionario:

con con

tenemos que tenemos que

De aquí se definen las impedancias (resistencias puramente imaginarias)

Aplicación: Circuito RLC

Aplicación: Circuito RLC

Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]:

Tomando la parte real

tenemos finalmente

Aplicación: Circuito RLC

Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas del “voltaje complejo” para una interpretación del resultado:

Definiendo y

Entonces

es decir

● De modo que el voltaje y la corriente difieren en amplitud ( ) y están desfasados por una fase

Aplicación: circuito RLC

● Equivalentemente, un circuito está descrito por una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff).

Por ejemplo, para un circuito RLC

Aplicación: circuito RLC

tenemos la ec. diferencial

: carga● Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal

La ec. diferencial se resuelve suponiendo que

y

● Sustituyendo Q y V encontramos:

Aplicación: circuito RLC

Por lo tanto,

De aquí que la corriente I, dada por

con

viene dada por

Aplicación: circuito RLC

Por lo tanto,

o bien, introduciendo la impedancia Z:

● Finalmente, considerando la parte real

Integración Compleja● Hemos visto que la noción de derivada vista en

cálculo diferencial (variables reales) se ve modificada debido al caracter bidimensional del plano complejo, e.g., una función puede aproximarse a un límite desde un número infinito de direcciones.

● Este caracter bidimensional afecta también a la teoría de integración.

● Ahora necesitamos considerar integrales a lo largo de curvas en el plano (no únicamente sobre segmentos del eje x)

● Uno de los resultados principales que veremos es el teorema de Cauchy

Integración compleja

● Primero veamos el caso más simple: Integrales de funciones de una variable real.

Supongamos que una función compleja w depende únicamente de una variable real t:

● Para este caso, las reglas del Cálculo Integral se extienden a este tipo de funciones. En particular, el teorema fundamental del cálculo.