Circuitos RLC

CIRCUITOS RLC[ ] Unidad 8

Medición e Instrumentación Página 1

Respuestas de los elementos R, L y C Básicos a la corriente y a la Tensión

Senoidales

Mediante la ley de ohm y las ecuaciones básicas para el capacitor y el inductor,

podemos aplicar las corrientes o las tensiones Senoidales a los elementos R, L y

C básicos.

Resistores

Para las frecuencias de líneas de potencia y frecuencias de unos cuantos KHz, el

resistor para todos los fines prácticos, no se ve afectado por la frecuencia de la

corriente o la tensión senoidal que se aplique.

Figura 1. : e R RR v i están en fase

Para esta región de frecuencias, el resistor R de la figura 1 se puede tratar como

una constante y una aplicación de la Ley de Ohm, lo cual dará como resultado:

m m

m

V sen wtv Vi sen wt I sen wt

R R R

Donde

mm

VI

R

Además, para una i dada:

m m mv iR I sen wt R I Rsen wt V sen wt

Donde

m mV I R

mv V sen t



Figura 2. R Rv e Ri están en fase

Una gráfica de v e i , en la figura 2, revela que para un elemento puramente

resistivo, la tensión y la corriente que pasan por el elemento están en fase.

Inductores

Figura 3. Inductor alimentada por una tensión senoidal

Para la configuración en serie de la figura 3, la tensión que aparece en el elemento

encuadrado se opone a la fuente de tensión y en esa forma se reduce la magnitud

de la corriente i . La magnitud de la tensión en este elemento tiene relación

directa con la oposición del elemento al flujo de la carga o la corriente i .

Figura 4. Configuración en serie



Para los inductores se observa, que la tensión que existe en un inductor es

directamente proporcional al índice de cambio de la corriente que pasa por la

bobina.

En consecuencia, cuanta más alta sea la frecuencia, tanto mayor será el índice de

cambio de la corriente a través de la bobina y tanto mayor será la magnitud del

voltaje.

Por ende, la tensión se relaciona directamente con la frecuencia (o más

específicamente, la velocidad angular de la corriente senoidal en la bobina) y la

inductancia de la bobina.

En la figura 4, la tensión senoidal se representa por medio de Lv y la corriente a

través de la bobina por Li . Para una w y una L incrementadas habrá un valor

mayor de Lv y por lo tanto Li será menor.

Figura 5. Oposición de la bobina a la fuente de tensión senoidal

A continuación verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un

método más matemático, para definir luego algunas cantidades importantes que

se emplearan mas adelante:

De la figura 3 del inductor se sabe que:

LL

diV L

dt

Aplicando diferenciación (el calculo)

cos

cos cos

Lm m

LL m m

di dI senwt wI wt

dt dt

diV L L wI wt wLI wt

dt



O bien

90L mV V sen wt

donde

m mV wLI

Obsérvese que el valor pico de Lv es directamente proporcional a w y L .

Una gráfica de Lv e Li en la figura 6 revela que Lv se adelanta a Li en 90° o que

Li se retrasa sobre Lv en 90°

:L Lv se adelanta a Li por 90°

Por lo tanto para:

90

L m

L m

i I sen wt

v wLI sen wt

La oposición a la corriente desarrollada por un inductor en una red senoidal ca se

puede obtener aplicando la siguiente ecuación:

causaEfecto

oposición

Que, para nuestros fines, se puede escribir como



causaOposición

efecto

Al sustituir los valores, se tiene:

m m

m m

V LIOposición L

I I

La cantidad L , llamada reactancia (de la palabra reacción) de un inductor, se

representa simbólicamente mediante LX y se mide en ohms o sea:

LX L

La reactancia inductiva es la oposición al flujo de la corriente, que da como

resultado el continuo intercambio de energía entre la fuente y el campo magnético

del inductor. En otras palabras, la reactancia, a diferencia de la resistencia (que

disipa energía en la forma de calor), no disipa energía eléctrica.

Capacitores

La ecuación fundamental que relaciona la tensión en un capacitor con la corriente

que pasa por él es:

dvi C

dt

E indica que para una capacitancia dada, cuanto mayor sea el índice de cambio

de la tensión en el capacitor, tanto mayor será la corriente capacitiva. Desde

luego, un aumento de la frecuencia corresponde a un incremento del índice de

cambio en el capacitor y un aumento de la corriente del capacitor.

Por ende, la corriente en un capacitor es directamente proporcional a la frecuencia

(o, de modo más específico, a la velocidad angular) y a la capacitancia del

elemento.



Figura 6. Inductor alimentada por una tensión senoidal

Sin embargo para la configuración de la figura 8, nos interesa determinar la

oposición del capacitor, tal como se relaciona con la resistencia para un resistor y

L para el inductor. Puesto que un aumento de la corriente corresponde a un

disminución de la oposición e Ci es proporcional a y C , la oposición de un

capacitor tiene relación directa con la reciproca de C ó 1

C, como se muestra

en la figura 8.

Con palabras cuanto mayor sea la velocidad angular (o la frecuencia) y la

capacitancia, tanto menor será la oposición de corriente Ci .

Figura 7. Configuración del capacitor

A continuación verificaremos algunas de las conclusiones anteriores utilizando un

método más matemático, para definir luego algunas cantidades importantes que

se emplearan mas adelante:

De la figura 7 del inductor se sabe que:

CC

dvI C

dt

Aplicando diferenciación (el calculo)



cos

cos cos

Lm m

CC m m

dv dV senwt wV wt

dt dt

dvi C C wV wt wCV wt

dt

O bien

90C mi I sen wt

donde

m mI wCV

Obsérvese que el valor pico de Ci es directamente proporcional a w y C .

Una gráfica de Cv e Ci en la figura 6 revela que Ci se adelanta a Cv en 90° o que

Cv se retrasa sobre Ci en 90°

Figura 8. C : Ci se adelanta a Cv , por 90°

Por lo tanto para:

90

C m

C m

v V sen wt

i wCV sen wt

Al aplicar:

causaOposición

efecto



Al sustituir los valores, se tiene:

1m m

m m

V VOposición

I CV C

La cantidad 1

C, llamada reactancia (de la palabra reacción) de un capacitor, se

representa simbólicamente mediante CX y se mide en ohms o sea:

1LX

C

La reactancia capacitiva es la oposición al flujo de la carga, que da como resultado

el continuo intercambio de energía entre la fuente y el campo eléctrico de un

capacitor. Como el inductor, el capacitor no disipa energía en forma alguna

(pasando por alto los efectos de la resistencia de fuga). En los circuitos que

acabamos de ver, se dio la corriente en el circuito inductivo y la tensión en el

capacitivo. Esto se dice con el fin de evitar el empleo de la integración para

determinar las cantidades incógnitas.

En el circuito inductivo:

1

LL

L L

div L

dt

i v dtL

Y en el circuito capacitivo

CC

dvi C

dt

Sin embargo

1C Cv i dt

C

En resumen debemos considerar un método para el análisis de circuitos de ca que

nos permita resolver para determinar una cantidad desconocida con entrada

senoidal, sin tener que utilizar la derivación o la integración directa.



Es fácil determinar si un circuito con uno o mas elementos es predominante

capacitivo o inductivo tomando nota de las relaciones de fase entre la corriente y

la tensión de entrada. Si la corriente se adelanta a la tensión, el circuito será

primordialmente capacitivo y si la tensión se adelanta a la corriente será inductivo.

Puesto que ya tenemos una ecuación para la reactancia de un inductor o un

capacitor, no necesitaremos utilizar derivadas o integrales en los ejemplos que se

van a considerar. Para completar los ejemplos, bastara una simple aplicación de la

ley de Ohm,

mm

L C

EI

X ó X , teniendo en cuenta la relación de fase entre la

tensión y corriente para cada elemento.

Problema 1

Se da la tensión en un resistor. Encuéntrese la expresión senoidal para la

corriente si el resistor es de 10 . Bosquéjese las curvas v e i con el ángulo

( )t como abscisa.

a. 100 377v sen t

b. 25 377 60v sen t

Solución

Figura 10. Gráfica de Voltaje e corriente



Inciso a

100377

10

10 377

vi sen t

R

y

i sen t

Las curvas se muestran en la figura 10

Inciso b

25377 60

10

2.5 377 60

vi sen t

R

y

i sen t

Las curvas se presentan en la figura 11

Figura 11. Curvas de voltaje e corriente

Problema 2

Se da la corriente que pasa por una bobina de 0.1H. Encuéntrese la expresión

senoidal para la tensión que existe en la bobina. Bosquéjese las curvas v e i .

a. 10 377i sen t

b. 7 377 70i sen t



Soluciones

Inciso a

37.7

10 37.7 377

L

m m L

X L

V I X V

Y sabemos que para una bobina, v se adelanta a i en 90°:

377 377 90v sen t

Las curvas se muestran en la figura 12

Figura 12. Curva de corriente e voltaje

Inciso b

37.7

7 37.7 263.9

L

m m L

X

V I X V

Y se sabe que, para una bobina, v se adelanta a i en 90°:

263.9 377 70 90

263.9 377 20

v sen t

y

v sen t

Las curvas se indican en la figura 13



Figura 13. Curvas de corriente e voltaje

Problema 3

Se da la tensión que existe en un capacitor de 1uF . ¿Cuál es la expresión

senoidal para la corriente? Trácese las curvas v e i .

30 400v sen t

Solución

6

6

1 1 102500

400400 1 10

300.0120 12.0

2500

C

mm

C

XC

II A mA

X

Y sabemos que para un capacitor, i se adelanta a v en 90°:

312 10 400 90i sen t

Las curvas se dan en la figura 14



Figura 14. Curva de voltaje e corriente

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