1. TEMA 6 LOS CIRCUITOS RLC, LA RESONANCIA YLOS FILTROS PASIVOSIntroduccin.Al circular la corriente alterna por circuitos formados por resistencias, bobinas y condensadores, debido a efectosespeciales que tienen lugar como consecuencia de este tipo de corriente y de la frecuencia, el comportamientode estos componentes, y por tanto de estos circuitos, es diferente que cuando son recorridos por corrientecontinua. De ah que nos ocupemos en este tema del estudio de ellos.CONOCIMIENTOS PREVIOS1 Teorema de Pitgoras. 2Trigonometra. Aunque trataremos de resolver los ejerciciosPara la resolucin de los circuitos RLC nece-de este tipo de circuitos mediante los nmeros com- sitamos de los conocimientos de la trigonometra.plejos, debemos aclarar que cuando se trata de cir- Con lo que se ha visto en el tema de corriente alter-cuitos sencillos (una resistencia, una bobina y unna, de momento, nos es suficiente.condensador) stos se pueden resolver por medio delteorema de Pitgoras. Lo recordamos.El teorema de Pitgoras dice que "el cuadradoformado sobre la hipotenusa de un tringulo rectn- 3Vectores.gulo es igual a la suma de los cuadrados formadosComo se recordar, un vector es un segmentosobre los catetos". orientado. Es decir, un segmento con una punta deflecha en uno de sus extremos. Vase la figura 6.2.Su expresin matemtica es la siguiente:h2 = c12 + c22ybBEn la figura 6.1 se muestra la interpretacin.v h2 An 2C1ox a Figura 6.22 Los vectores se nombran diciendo primero la letra C2 del origen seguido de la del extremo; o tambindiciendo la letra minscula que lo designa. As elvector de la figura 6.2 se puede nombrar como elvector AB o simplemente vector v. Figura 6.1

2. 2 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez NoratoSe representa por una letra minscula con un peque- complejos se representan con el smbolo (a, b) siendoo vector encima de la letra. a y b nmeros reales. Al nmero a se le llama prime-ra componente o componente real y al b segundaTodo vector se caracteriza por los parmetros:componente o componente imaginaria. Magnitud o Mdulo: es la longitud del vector o segmento. (longitud A-B). Se representa as: |v| Direccin: es la direccin de la recta sobre laque est representado el vector; la direccin 4.2 Consideraciones sobre los nmerospuede ser A-B o B-A.complejos.1 Todo nmero complejo de la forma (a, 0) Sentido: es el sentido del vector. El sentido de (segunda componente nula) es un nmero real.un vector viene dado por la punta de flecha. El 2 Los nmeros complejos no reales se llamanvector representado posee un sentido A-B.imaginarios.3 Todo nmero complejo de la forma (0, b) Punto de aplicacin u origen: es el lugar donde(primera componente nula), se llama nmerocomienza el vector. En la figura el punto A. Enimaginario puro.este caso coincide con el origen de coordenadas.4 Toda unidad imaginaria se representa por "i" (nosotros en electricidad y electrnica utiliza-Un vector se puede dar en funcin de sus coordena- remos la letra "j") y corresponde al nmerodas y/o descomponerse en ellas. El vector que se complejo imaginario puro (0, 1) sea, a -1;adjunta tiene como abscisa el segmento oa y como luegoordenada el segmento ob. Cada una de ellas se puede(0, 1) = i = -1.calcular en funcin del mdulo y del ngulo .por tanto:As,la componente horizontal oa = |v| cos i = -1 i2 = -1la componente vertical ob = |v| sen Si de un vector nos dan sus componentes, podemoshallar el mdulo por el Teorema de Pitgoras omediante la trigonometra.Tambin haremos uso de las operaciones con vecto- 4.3 Expresiones de los nmeros complejos.res; sobre todo de la suma y resta. Todo nmero complejo se puede expresar devarias formas:1Forma compleja: se expresa por (a, b) cuyosignificado ya conocemos.4 Nmeros complejos El campo de los nmeros complejos se cre2Forma binmica: se expresa por a + bi dondepara dar respuesta a ciertas cuestiones matemticas a representa la parte real y b las unidadesque no solucionaban los nmeros reales. Algunos deimaginarias.estos casos son: las races cuadradas (o de ndice par)de los nmeros negativos como -9; las potencias de3Forma factorial o trigonomtrica: en este casoexponente irracional de nmeros negativos (-3)5/4; ose dan las componentes a y b en funcin dellos logaritmos de los nmeros negativos (log - 4).ngulo y de sus razones trigonomtricas. Estasdos componentes son:Se denominan nmeros complejos al conjunto de losnmeros reales y los imaginarios. a = r cos b = r sen y el mdulo z = r (cos + sen )4.1 Definicin. 4Forma mdulo-argumental o polar: todoUn nmero complejo es un ente abstractonmero complejo queda determinado si se co-representado por un par de nmeros reales cuales-nocen su mdulo y su argumento o ngulo. Enquiera dados en un orden prefijado. Los nmerosesta forma se expresa as (r ). 3. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 34.4 Representacin geomtrica de un n-b)Dos nmeros complejos son iguales cuandomero complejo. tienen, respectivamente iguales, sus compo-Los nmeros complejos se representan por los nentes reales e imaginarias.puntos de un plano referidos a un sistema de coorde-nadas, bien cartesianas o bien polares.Ejemplo: a + bi = c + di a = c y b = dAnalicemos el caso de las coordenadas cartesianas. c)Dos nmeros complejos dados en forma trigo-Sea el nmero complejo representado por un punto nomtrica son iguales cuando tienen iguales susP (figura 6.3).mdulos y sus argumentos son iguales o difie-Dicho punto se proyecta sobre los ejes. La proyec- ren en k x 360 o en 2k (si el ngulo viene da-cin sobre el eje de abscisas representa la compo- do en radianes), siendo k un nmero entero.nente real y la proyeccin sobre el eje de ordenadasrepresenta la componente imaginaria.El punto P se llama afijo del complejo. 4.6 Nmeros complejos nulos, opuestos y conjugados.yNulos. a) en forma compleja: cuando sus dos com-Pponentes son nulas. b) en forma polar: basta con que sea nulo el mdulo. b r Opuestos. a) en forma compleja y binmica: cuandotienen sus dos componentes opuestas(a = - a y b = - b). As, el nmero com-plejo (7, 4) es opuesto al (-7, -4). Delmismo modo lo son los complejos: 3 + 4iny el -3 - 4i. b) en forma mdulo argumental: cuando sus oa x mdulos son iguales y sus ngulos o ar-gumentos difieren en 180 (o en ) o enFigura 6.3un nmero impar de estos.Mdulo es la distancia OP de su afijo al origen decoordenadas. Su valor se calcula por Pitgoras.Conjugados. a) en forma compleja o binmica: cuandoArgumento es el ngulo que forma el segmento OPsus componentes reales son iguales y sus(mdulo) con el eje horizontal. Este ngulo vienecomponentes imaginarias son opuestas.dado por:El complejo conjugado a (3, 4) es (3, -4). De igual forma lo son -3 + 5i y -3 -5i. = arc sen b/r = arc cos a/r = arctg b/a b) en forma polar: si sus mdulos son igua- les (r = r) y sus argumentos opuestosVector asociado es el vector OP. ( = - ).Como se observar, los nmeros complejos son, enla prctica, vectores; slo que su origen siempre estsituado en el origen de coordenadas. 4.7 Operaciones con nmeros complejos. 4.7.1 En forma compleja y/o binmica.4.5 Igualdad y desigualdad de nmeros Suma y resta.complejos. La suma o resta de dos o ms nmeros com-a)Dos nmeros complejos son iguales cuando plejos es otro nmero complejo cuya com-tienen el mismo afijo; es decir, cuando se repre-ponente real es la suma o resta de las com-sentan geomtricamente en el mismo punto.ponentes reales y cuya componente imagina- 4. 4 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato ria es la suma o resta de las componentes4.7.2 En forma polar. imaginarias de los nmeros complejos a su- mar o restar.Producto.Para multiplicar dos o ms nmeros com- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i plejos se multiplican los mdulos y se su-man los argumentos.Ejemplo: 530 x 6 42 x 2 20 = 60 92Ejemplos: (3, 5) - (2, -6) + (3, -1) = (4, 10)Cociente.Para dividir dos nmeros complejos se divi- (5 + 3i) + (-2 + 7i) - (8 - 4i) =den los mdulos y se restan los argumentos. [ (5 -2 -8) + (3 + 7 +4)i ] = - 5 + 14iEjemplo: 28 35 /4 24 = 7 11Observaciones:a) la suma de dos nmeros complejos opuestos es igual a cero.b) la suma de dos complejos conjugados es igual al duplo de su componente real.5 Leyes de Kirchhoff.c) la representacin geomtrica de la suma apa- Recordemos solamente los enunciados. rece en la figura 6.4.La ley de los nudos dice que "en todo nudo elctrico,la suma vectorial de las corrientes que a l se acer-can es igual a la suma vectorial de las corrientes quede l se alejan". n Pb La ley de mallas dice que "en toda malla o circuitoelctrico cerrado, la suma vectorial de las fuerzaselectromotrices aplicadas es igual a la suma vecto-rial de las cadas de tensin que en ella se produ-cen".d eje realo a c mFigura 6.46 La reactancia inductiva.Cuando una bobina es recorrida por una co-rriente variable (corriente alterna), en su interior se Producto.crea un flujo magntico variable. Como consecuen- Para multiplicar dos nmeros complejos secia, se inducir en ella una f.e.m. inducida de sentido multiplican los binomios complejos como si contrario (segn la Ley de Lenz) a la variacin de la fueran binomios algebraicos. corriente que la crea.Ejemplo.La f.e.m. inducida valev = - L I / t(a + bi) x (c + di) = (ac + adi + cbi + bd i2) = (ac - bd) + (cb + ad)i (el signo "menos" es por la Ley de Lenz)Por otro lado, en la bobina se almacena una energaNota: ojo, no olvidemos que i2 = -1.en forma electromagntica que vale: Cociente. E = L I2 / 2 en Julios. El cociente de dos nmeros complejos (a + bi) y (c + di) es otro nmero complejo (m +Se demuestra que el valor eficaz de le f.e.m inducida ni) tal que multiplicado por el complejo di- en una bobina vale V = 2 f L I visor (c + di) d como resultado el complejo Al coeficiente 2 f L, que hace el efecto de una dividendo (a + bi).resistencia, se le llama reactancia inductiva, se 5. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 5representa por XL y vendr dada en ohmios, cuando porque todas tienen una cierta resistencia debida alla frecuencia venga en Hertzios y el coeficiente de hilo con que estn confeccionadas. Existen, pues, enautoinduccin en Henrios. toda bobina conectada a una corriente alterna dosAs pues, la reactancia inductiva de una bobina vale: tipos de resistencia: una la debida al hilo conductor (RL = l /S) y otra, la reactancia inductiva,XL = 2 f L(XL = 2fL) debida a la inductancia de la propiabobina y a la frecuencia de la fuente de energa.En una bobina ideal (la que no tiene resistenciahmica ni capacidad, que por otra parte no existe) la Debido a esto, el terico ngulo de desfase de 90corriente sufre un retraso de 90 respecto de la ten- entre la tensin y la corriente no es tal, sino menor.sin aplicada.La combinacin de estos dos tipos de resistencia dauna resistencia, llamada aparente, y que se corres-ponde, segn la Ley de Ohm, con el valor de laresistencia que presentara el circuito si no hubiera7La reactancia capacitiva.efecto de inductancia.Cuando un condensador se conecta a una co-rriente alterna, el condensador se va cargando yEsta resistencia aparente que vale Veficaz /I eficaz recibedescargando con la misma frecuencia que la de lael nombre de impedancia. Se representa por Z. Sutensin aplicada. Esto, a efectos prcticos, equivale expresin en forma compleja o vectorial es:a que por el circuito circula una corriente alternacuyo valor eficaz viene dado por la frmula: I = 2 f C VZ = R + jXsiendoV el valor eficaz de la tensin aplicada al condensa-dor, en voltios,donde R es la componente resistivay X es laf la frecuencia de la tensin aplicada, en Hertzios, ycomponente reactiva.C la capacidad del condensador, en Faradios.Otro tanto ocurre con los condensadores realesSi despejamos la tensin, tenemos que:(aquellos que presentan algn tipo de prdidas). O enV=I / 2 f Cun circuito mixto (R-L-C).Lo veremos ms claro y con mayor detalle cuandoPor analoga con la Ley de Ohm (V = RI), tendre-analicemos los circuitos RLC.mos que 1/2 f C tiene carcter de resistencia.Pues bien, este trmino es lo que se llama reactanciacapacitiva; se representa por Xc y vale:9Conceptos de Admitancia, con-Xc =1 / 2 f C ductancia y susceptancia.Admitancia. Es la expresin inversa de la impedan-cia. Se representa por Y. Su unidad es el mho (OhmLa reactancia capacitiva, o capacitativa, viene dadaal revs) o el Siemens.en ohmios si la frecuencia viene dada en Hertzios yla capacidad en Faradios. Su expresin en forma compleja es:Un condensador ideal retrasa la tensin 90 respecto de la intensidad; o lo que es igual, adelanta la co-rriente 90 respecto a la tensin. Hace, pues, el efecto Y = 1/Z = 1 / (R + jX) = G + jBcontrario a las bobinas.Conductancia. Se llama as a la componente G de laexpresin compleja de la admitancia. Es decir, laparte real de la admitancia.8Concepto de impedancia.Susceptancia. Se entiende como tal la componente B Cuando hablamos de la reactancia inductiva de la expresin compleja de la admitancia. Es decir,veamos cmo no exista ninguna bobina ideal, la parte compleja o imaginaria de la admitancia. 6. 6 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato10 Conceptos de potencia aparente,Existe una unidad prctica de potencia que es elcaballo de vapor (HP -Horse Power- en ingls) que potencia activa y potencia reactiva. equivale a 736 watios). Se entiende por potencia reactiva al producto Recibe el nombre de potencia aparente el pro-de la potencia aparente por el seno del ngulo queducto de los valores eficaces de la tensin aplicada aforman la tensin y la corriente. Es debida a laun circuito por la corriente que lo recorre.componente reactiva de la carga. Se representa por Se representa por Pap y su unidad es el vol- Preac y su unidad es el watio reactivo o voltiampe-tiamperio o voltamperio.rio reactivo.Se denomina potencia activa o potencia real de uncircuito al producto de la potencia aparente por el Nota: estos tipos de potencias se dan en aquelloscoseno del ngulo que forman la tensin y la co-circuitos donde la carga no es puramente hmica.rriente. Es debida a la componente resistiva de laCaso contrario, el nico tipo de potencia que existecarga. Se representa por Pac y su unidad es el watio. es la activa.11Circuito con resistencia. Podemos decir, a la vista de los resultados, que alSupongamos una resistencia hmicamentealimentar una resistencia puramente h-mica con unapura (desprovista de autoinduccin y de capacidad)tensin de cc o con una tensin alterna senoidal cona la que se aplica una tensin alterna senoidal. Esta idntico valor eficaz que el de la cc, los efectos sontensin originar por el circuito una corriente, tam- los mismos. Precisamente de aqu se obtiene labin senoidal, totalmente en fase con la tensindefinicin de valor eficaz de una corriente alterna.aplicada y de su misma frecuencia.En la figura 6.5 se ha representado el circuito elctri-co (figura a), el diagrama vectorial formado por la 12 Circuito con inductancia pura.tensin y la corriente (figura b) que se puede obser-Sea la bobina, supuestamente ideal, de la figu-var estn en fase y, por ltimo, las senoides de la ra 6.6 a la que se aplica una tensin alterna senoidal.tensin aplicada (o cada de tensin en la resistencia) Ya dijimos que una bobina ideal retrasa 90 la co-y la corriente que recorre el circuito (figura c).rriente respecto de la tensin aplicada (figuras b y c). RjVL G90 G II V I I-ja) circuito b) diagrama vectorial a) circuito b) diagrama vectorial v = V 0 sen Ttv/iv/i i = I 0 sen Tt v L= V 0 sen Tt 90 o to t 90 i=I 0sen (Tt - 90)c) senoides c) senoides Figura 6.5 Figura 6.6 7. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 7En este circuito la nica "resistencia" que aparece es 6.7,c- y que la cantidad de electricidad -en culombiosla reactancia inductiva, por lo que la corriente eficazsi C viene en Faradios y V en voltios- acumulada enque circula por el circuito ser:cada armadura del condensador es Q = C x V, ten- dremos que al cabo de los 90 la cantidad de electri-I = V / XL (90 = V / j2 fL = cidad acumulada ser: jV / j2 2fL = -jV / 2fL = -jV / j LQ0 = C x V0La corriente instantnea que circula por el circuito Por tanto, el valor medio de la intensidad ser:es i = Io sen (t 90) Imed = Q0 / t = C V0 / T/ 4 = 4 C V0 / TObservaciones:La potencia (potencia activa o real) absorbida por Pero como 1/T = f, tendremos que:una bobina ideal es cero, pues no existe resistenciaImed = 4 f C V0hmica.La tensin y la corriente estn en cuadratura; o sea,Pasando a valores eficaces la corriente y la tensindesfasadas 90, por tanto, el factor de potencia o tendremos que:coseno n es nulo.I = V / Xc (-90 = V / (-j) / C = V C / -j = j V C / -j2 = j V C = jV 2 f C V = Xc (-90 = (-j) / C = -jI /C = -jI / 2 f C13 Circuito con condensador ideal. Al conectar un condensador ideal (recordemosLa corriente va 90 en adelanto respecto de la ten-que es el que est totalmente desprovisto de resisten- sin, o lo que es lo mismo, la tensin va 90 encia) como el de la figura 6.7 a una fuente de tensinretraso respecto de la corriente.alterna, ocurre que a medida que la tensin va au- Los condensadores hacen lo contrario que las bobi-mentando, el condensador se va cargando, y cuandonas.aquella va disminuyendo, el condensador se vaLa corriente instantnea circulante en el circuito esdescargando. Todo esto ocurre con la misma rapidez i = Io sen (t + 90)con que cambia el sentido de la tensin aplicada. Todo lo tratado se puede observar en la figura 6.7.Como consecuencia, se establece en el circuito unacorriente alterna de la misma frecuencia que la de latensin de alimentacin. I 14Circuito con resistencia y autoin- C90duccin. Circuito R-L.G Sea el circuito de la figura 6.8,a constituidoVpor una resistencia y una bobina. Tambin se puedeIconsiderar este circuito formado por una bobina real;-j a) circuito es decir, considerando la resistencia hmica de la b) diagrama vectorial misma. (Desconsideramos la capacidad de la bobina v/i por ser la frecuencia de la tensin aplicada pequea).i=I sen (Tt + 90)0Al aplicarle una tensin alterna senoidal, el circuito90 ser recorrido por una corriente tambin alternatsenoidal de la misma frecuencia.90 o Esta corriente dar lugar a dos tipos de cadas de v C= V sen Tt0tensin diferentes en el circuito: una cada de tensin hmica debida a la resistencia hmica, R, del circuitoc) senoides cuyo valor es RI y que estar en fase con la corriente Figura 6.7y otra inductiva o reactiva debida a la reactancia de la bobina, XL, cuyo valor es XL I y desfasada 90 enTeniendo en cuenta que el valor mximo de la ten- adelanto respecto a la "cada de tensin hmica".sin tiene lugar al cuarto de periodo (90), -ver figura 8. 8 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez NoratoEn todo momento, la suma de ambas cadas de El factor de potencia o coseno de fi es:tensin debe ser igual a la tensin aplicada, que a suCos n = R / Zvez es igual a ZI, (Ley de Kirchhoff). Pero como noestn en fase, la suma debe ser vectorial o geomtri- La corriente que circula por el circuito vale:ca. Ver figura 6.8,b: tringulo de tensiones. I = V(0 / Z (n = I ( -n El tringulo de resistencias o impedancias es el de lajfigura 6.8,b sin ms que dividir cada uno de los R L vectores por la intensidad. Tambin se puede obser-GXLI var en las figuras 6.9,a (tringulo OAB) y 6.9,bI nI (tringulo ABC), que de las dos formas se sueleoRIrepresentar. a) circuitob) tringulo de tensiones v/iv = V 0 sen (Tt + n)Tensiones. Tringulo de tensiones.Antes hemos visto las distintas cadas de tensin. El ttringulo de tensiones es la propia figura 6.8,b.n oTambin lo es el tringulo OCD de la figura 6.9,a o 90v = V 0 sen Ttel tringulo DEF de la figura 6.9,b. Rv L = V 0 sen (Tt + 90)i=I 0 sen Tt c) senoidesjPap E Figura 6.8 a)VC PreacVLTenemos, por tanto:ZA cada de tensin en la resistencia:VR = R(0 I (en fase con la corriente)XLcada de tensin en la bobinaVL = XL (90 x I (90 en adelanto sobre la corriente)n B DF Itensin total V = Z(n I (en adelanto n gradosoRVR Pac respecto de la corriente) HDe la figura 6.8,b, conocida como tringulo detensiones, se deduce (por Pitgoras) que E 2V = VR + VL22b) BZXLnnRImpedancia. Tringulo de resistencias. n A Cn DVRFGI La impedancia del circuito en forma compleja es:P ac Z = R + j XLFigura 6.9El mdulo de la impedancia es: | z |= R2 + X L 2Sus valores son:El argumento o ngulo de desfase es:V = Z(n I n = arc cos R / Z = arc tg XL / RVR = R(0 I = V cos nVL = XL (90 I = V senn 9. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 9Corrientes. Tringulo de corrientes. Nota final:Ya hemos visto cmo la corriente queda retrasada unSi se tratara de varias resistencias y autoinducciones,ngulo n con respecto de la tensin. los tringulos de resistencias, tensiones y corrientesEste valor queda descompuesto en dos componentes:se constituiran por la composicin de cada uno deuna, IR, en fase con la tensin y otra, IL, retrasada 90los correspondientes a cada clula R-L. Se comenza-respecto de la anterior (figura 6.10). ra por el primero de ellos y a continuacin se lleva- ra el correspondiente a la segunda clula; luego se llevara el correspondiente a la tercera y as sucesi-IR v vamente.o-nComo ejemplo se propone la resolucin del siguiente ejercicio, cuyas soluciones se facilitan:IL Tenemos una resistencia de 0,628 ohmios y una bobina de 2 mH. Le aplicamos una f.e.m. alterna senoidal de 6,28v a una frecuencia de 50Hz. Hallar: a) la reactancia de la bobina, -jb) la impedancia total del circuito, c) el ngulo de desfase, tringulo de corrientes d) coseno de n,Figura 6.10e) la intensidad de corriente por el circuito, y f) las tensiones del circuito,La IR se llama de corriente activa y su valor es g) potencias del circuito. IR = I cos (-n) Soluciones:La IL se llama corriente magnetizante o reactiva y vale a) XL = 0,628 (90AIL = I sen (-n) b) Zt = 0,885 (45 c) n = 45La I total vale: 22| I |= IR + IL d) Cos n = 0,707 e) I = 7,1(- 45 A; IR = 5(0 A; IL = 5(-90A f) V = 6,28V (45 ; VR = 4,45V(0 ; VL = 4,45(90V g) Pap = 44,58 (45VA ; Pac = 31,65(0W ;Preac = 31,65(90WrPotencias. Tringulo de potencias.En este circuito aparecen tres tipos de potencia:La potencia aparente representa la potencia totalsuministrada por la fuente o la total absorbida por lacarga y vale:15Circuito con resistencia y conden- sador. Circuito R-C. Pap = Z(n I2 en voltamperios. Sea el circuito de la figura 6.11 formado por la resistencia pura R y el condensador C.La potencia activa es la absorbida por la resistenciaAl aplicar al circuito una tensin alterna senoidal dey vale:V voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert- zios, ser recorrido por una corriente alterna senoidal Pac = R(0 I2 = Pap cos n en vatios.de la misma frecuencia que la de la tensin de ali- mentacin.La potencia reactiva es la absorbida por la bobina yvale:Esta corriente dar lugar a dos tipos de cadas dePreac = XL(90 I2 = Pap sen ntensin diferentes: una, VR, debida a la resistencia R,en vatios reactivos o voltamperios reactivos.en fase con la corriente, cuyo valor es RI, y otra, Vc, de valor XC I retrasada 90 respecto de la corriente.El tringulo de potencias se puede observar en laEn todo momento, la suma vectorial o geomtrica defigura 6.9,a (tringulo OEF) y en la figura 6.9,bambas cadas de tensin debe ser igual a la tensin(tringulo GHI). aplicada. 10. 10 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato Tenemos, por tanto:El tringulo de resistencias o impedancias es lapropia figura 6.11,b sin ms que dividir cada uno de cada de tensin en la resistencialos vectores por la intensidad.VR = R(0 I (en fase con la corriente)Tambin se puede observar en la figura 6.12,a cada de tensin en el condensador (tringulo OAB) y en la figura 6.11,b (tringuloVc = Xc(-90 I (90 en retraso respecto de la corriente)ABC), que de las dos formas se suele representar. tensin total V = Z(-n I en retraso n grados sobre la corriente)Tensiones. Tringulo de tensiones. De la figura 6.11,b, conocida como tringulo deYa hemos visto antes las distintas cadas de tensin. tensiones, se deduce (por Pitgoras) que:El tringulo de tensiones es la propia figura 6.11,b.Tambin lo es el tringulo OCD de la figura 6.12,a oV2 = VR2 + VC2el tringulo DEF de la figura 6.12,b. La tensin en elcondensador va retrasada 90 respecto de la intensi- RI I dad. R C o-nGXc I oRVR PacI-n A CE I-j a) circuitob) tringulo de tensionesXc Zv/i v = V 0 sen (Tt - n)a) B VcVDPreact - jPapFo n P ac 90 v = V 0 sen Tt G-n DVRI RF sen Tt -n AC v c= V 0 sen (Tt - 90)i=I 0 R -n Z c) senoides XcFigura 6.11 b)BEHFigura 6.12 Impedancia. Tringulo de resistencias. La impedancia del circuito en forma compleja es: Sus valores son: Z = R - j XC V = Z(-n I;VR = R( 0 I = V cos (-n); El mdulo de la impedancia es: VC = XC (-90 I = V sen (-n) 2 | Z |= R 2 + X C El argumento o ngulo de desfase es: n = - arc cos R / Z = - arc tg XC / RCorrientes. Tringulo de corrientes. El factor de potencia o coseno de n es:Ya hemos visto como la corriente queda adelantada cos n = R / Zun ngulo n con respecto de la tensin.Este valor queda descompuesto en dos componentes: La corriente por el circuito vale: una, IR, en fase con la tensin y otra, IC, adelantada I = V(0 / Z(-n = I (n 90 respecto de la anterior. 11. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 11La IR se denomina corriente activa y su valor es:Como ejemplo se propone la resolucin del siguiente ejercicio, cuyas soluciones se facilitan: IR = I cos n Una resistencia de 500 ohmios y un condensador de j 16 F en serie se alimentan con 220v/50Hz. Hallar: a) la reactancia del condensador,Ic b)la impedancia total del circuito, c) el ngulo de desfase, o n d)coseno de n, e) la intensidad de corriente por el circuito, IRV f) las tensiones del circuito, y trin gulo de corrientesg)potencias del circuito.Figura 6.13Soluciones:a)XC = 199(-90La IC se denomina corriente reactiva y valeb)Zt = 538 (-21,70 IC = I sen n22c)n = -21,70 = -21 42La I total vale:| I |= I R + ICd)Cos n = 0,9291e)I = 0,4(21 42 A;Potencias. Tringulo de potencias.IR = 0,379(0 A;En este circuito aparecen tres tipos de potencia: IC = 0,150(90ALa potencia aparente representa la potencia totalsuministrada por la fuente o la total absorbida por laf)V = 220 (- 21 42V ;carga y vale: VR = 200(0 V;Pap = Z(-n I2 en voltamperios.VC = 81,2(- 90 VLa potencia activa es la absorbida por la resistencia g)Pap = 88(- 21 42VA ;y vale: Pac = 81,75 (0W ;Pac = R(0 I2 = Pap cos (-n) en vatios. Preac = 32,53(- 90WrLa potencia reactiva es la absorbida por el condensa-dor y vale:Preac = XC(-90 I2 = Pap sen (-n)en vatios reactivos o voltamperios reactivos.16 Circuito con resistencia, induc-tancia y capacidad.El tringulo de potencias se puede observar en la Circuito R-L-C.figura 6.12,a (tringulo OEF) y en la figura 6.12,bSea el circuito de la figura 6.14,a formado(tringulo GHI). por una resistencia R, una bobina o autoinduccin L y un condensador de capacidad C. Como es fcil de intuir, este circuito es una sntesis de los dos anteriores; por tanto, en l ocurrirn losNota final:fenmenos conjuntos de ambos.Si se tratara de varias resistencias y capacidades, lostringulos de resistencias, tensiones y corrientes seAs, el tringulo de tensiones ser el de la figuraconstituiran por la composicin de cada uno de los6.14,b. En l se puede observar la cada de tensin encorrespondientes a cada clula R-C. Se comenzarala resistencia en fase con la corriente; la cada depor el primero de ellos y a continuacin se llevara eltensin en la bobina en adelanto 90 respecto de lacorrespondiente a la segunda clula; luego se llevara corriente; y, por ltimo, la cada de tensin en elel correspondiente a la tercera y as sucesivamente. 12. 12 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Noratocondensador otros 90 en retraso sobre la corriente. Tensiones. Tringulo de tensionesComo las cadas de tensin en la bobina y en elDe la figura 6.14,b se desprende que las cadas decondensador se encuentran desfasadas entre s 180 tensin son: (suponemos que es mayor la de la bobina), lo que cada de tensin en la resistenciahacemos es restarlas, con lo que queda como vectorVR = R(0 I (en fase con la corriente)resultante de tensiones reactivas el vector XLI - XCI. cada de tensin en la bobina VL = XL(90 I = j L I (en adelanto 90 respecto a I)Impedancia. Tringulo de resistencias. cada de tensin en el condensadorSi en la figura 6.14 dividimos cada uno de los vecto- VC = XC(-90 I (90 en retraso sobre la corriente)res por la intensidad, tenemos las resistencias y eseser el tringulo de resistencias o impedancias. tensin total V = Z(n I (en adelanto n si XL es mayor que XCLa impedancia total en forma compleja vale:-en retraso en caso contrario- sobre la corriente). Z = R + j(XL - XC) En la figura 6.14 se muestran las distintas tensiones as como la corriente, tomando como referencia la jXL I corriente (figura 6.14,b) ya que sta es comn porXc I tratarse de un circuito serie.RL c X L I -Xc IG n Corrientes. Tringulo de corrientes. IoRII Antes vimos como la corriente queda retrasada una) circuitoXc Ingulo n con respecto de la tensin. Este valor queda descompuesto en dos componentes:b) tringulo de tensiones una, IR, en fase con la tensin, otra, IC, adelantada 90 respecto de IR, una tercera, IL, retrasada 90v/iv = V 0 sen (Tt + n)respecto de la de la resistencia; y, finalmente, IL -IC.v R = V 0 sen Tt Ver figura 6.15.Ic tIRo no -nI L- I c9090 i=I 0 sen Tt IcvL= V0 sen (Tt + 90) v c= V0 sen (Tt - 90) -jIL Figura 6.14tringulo de corrientesEl mdulo de la impedancia es: Figura 6.15| Z |= R2 + ( X L X C )2La IR se llama corriente activa y su valor es IR = I cos (-n)El argumento o ngulo de desfase vale: n = arc tangte de (XL - XC)/R La (IL - IC ) se denomina corriente reactiva total y valeEl factor de potencia o cos n escos n = R / Z(IL - IC ) = I sen (-n)La corriente eficaz por el circuito vale: La I total vale: 2I = V(0 /Z(n = I(-n| I | = I R + (I L I C ) 2 13. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 13Potencias. Tringulo de potencias.* VC = XC (-90 I = 100(-90VEn este circuito aparecen tres tipos de potencia: * V = Zt (n It (-n = 12,2(35 20 = 244(35 V* Pact = R I2 = 4.000(0WLa potencia aparente representa la potencia total * Preac capacitiva = XC I2 = 2.000(-90VARsuministrada por la fuente o la total absorbida por la* Preac inductiva = XL I2 = 4.800(90VARcarga y vale: * Preac total = (XL - XC) I2 = 4.800 - 2.000 =Pap = Z(n I2 en voltamperios.2800(90VAR* Pap = Z I2 = 4.880(35 VALa potencia activa es la absorbida por la resistenciay vale: Si se trata de un circuito ms complejo, su resolucin mediante los nmeros complejos facilita enorme-Pac = R(0 I2 = Pap cos (n) en vatios mente la labor. Veamos el siguiente circuito, cuyas soluciones se aportan.La potencia reactiva capacitiva es la absorbida por elcondensador y vale: En el circuito de la figura 6.16, hallar:a) Zt (mdulo y argumento);Preac cap = XC(-90 I2 = en vatios reactivos o voltam-b) cos n total;perios reactivos.c) I total;d) Potencia activa total;La potencia reactiva inductiva es la absorbida por lae) Potencia reactiva total;bobina y vale:f) Potencia aparente total;Preac ind = XL(90 I2 = en vatios reactivos o voltampe- 2 mF7 mF 60 mH 4 mF 2Srios reactivos. 2 mH4 mH10S 12SLa potencia reactiva total es la absorbida por el0,1Hcondensador y la bobina juntas y vale:100v/50Hz 3S 5 mFPreac total = (XL - Xc )(90 I2 = en vatios reactivos o30 mHvoltamperios reactivos. 3 mF 4 mH 1 mF 8SFigura 6.16Como ejemplo se propone el siguiente ejercicio cuyaresolucin se facilita: Solucin: Una R = 10 ohmios, una L = 38,2mH y un conden- a) Zt = R + j (XL - Xc)sador de 637 F se conectan en serie a una red de244v/50Hz. Hallar: Zt , It , VR , VL , VC , Cos n, as R = 35(0 como las distintas potencias. XL = 2 50 0,2 = 62,8(90 Soluciones: Xc = 7,65(-90 (ojo que todos los conden- sadores estn en serie)| Z | = R 2 + ( X L X C ) 2 = 10 2 + (12 10) 2 = 12,2( 35 n = 57,6 = 57 36Zt = 65,31(57 36 ngulo de desfaseb) Cos n = 0,5358n = arc tang (XL - XC)/ R = 34,95 35 c) It =100(0 / 65,3(57,6 = 1,53(-57,6 AmperiosFactor de potencia: Cos n = (XL - XC)/ Z = 0,8196d) Potencia activa total: * It = 244(0 V / 2,2(35 = 20(-35 A Pac = R(0 I2 = 35 1,532 = 81,93(0watios * IR = 20A (0e) Potencia reactiva total: * IL = 20A(-90 Preac = 55,15(90 1,53 2 = 129,1(90 Wr (watios * IC = 20A(90reactivos) * VR = R (0 It = 200 V f) Potencia aparente: * VL = XL (90 I = 240(90VZt(57 36 I2 = 65,3(57 36 1,532 = 152,86(57 36 VA 14. 14 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato RESONANCIA17Resonanciarepresentar por f0. Como 2f = tenemos que 0 es Se dice que un circuito est, o entra en reso- la pulsacin de resonancia en radianes/segundo.nancia cuando la tensin aplicada a l y la corrienteque lo recorre estn en fase. De aqu se deduce que,De esta expresin se puede observar que para dis-en resonancia, la impedancia del circuito es igual atintos valores de f las reactancias inductiva y capa-su resistencia hmica; o lo que es igual: la reactancia citiva toman diferentes valores: la XL aumentar condel circuito es nula, por lo que la reactancia inducti- la frecuencia, y la XC disminuir a medida que lava debe ser igual a la reactancia capacitiva,. Como frecuencia aumenta. Ver figura 6.18.consecuencia, el cos = 1. Vista la impedancia enforma compleja, en resonancia la parte compleja deAl existir dos variables independientes, L y C, sonla impedancia debe ser nula. Esto ocurre para unmltiples las combinaciones para conseguir unadeterminado valor de la frecuencia -llamada frecuen-frecuencia de resonancia determinada (basta jugarcia de resonancia- de la tensin alterna aplicada.con los valores de L y C).17.1 Resonancia serie o resonancia de 17.1.2 Tensiones parciales en resonancia tensin z17.1.1 Frecuencia de resonancia Z Sea el circuito de la figura 6.17.En l tene-mos que la impedancia total es: Z = R + j L - (j/ C) = R + j (L - 1/ C) R f R0 f1f0 f2 L C G V/fcircuito R - L - CImpedancia en un circuitoRLC serie en funcin de laI frecuencia. XcFigura 6.17 Figura 6.18Si denominamos L - (1/ C) = X tenemos que: Si un circuito serie RLC como el de la fi-Z = R +jX gura 6.17 se alimenta con una tensin alterna conuna frecuencia de resonancia, f0, por l circular unaPara que exista resonancia, pues, debe ser nula lacorriente I0 = V/R que dar lugar a las cadas decomponente compleja; por tanto: X = 0; esto implica tensin parciales siguientes:que: L - (1/ C) = 0.O sea que L = 1/ C; o lo que es lo mismo:La VR = R(0 I0es igual a la tensin aplicada y est en fase con ella. 2 f L = 1/2 f CLa VL = XL0 (90 I0 es Q0 veces la tensin aplicada 1 y est 90 en adelanto respecto a ella.Despejando f, tenemos: f0 = 2 LCSiendo f0 la frecuencia de resonancia (en Hertzios si La VC = XC0 (-900 I0 es Q0 veces la aplicada y est,L est dada en Henrios y C en Faradios). Se suele respecto a ella, 90 retrasada. 15. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato1517.1.3Distribucin de la energa almacenadaObservemos que es mxima a la frecuencia de reso-en un circuito resonante serie nancia. En efecto, si la impedancia es mnima en Si cada una de las tensiones calculadas an- resonancia, la admitancia, como es inversa a lateriormente la multiplicamos por la intensidad, y porimpedancia (Y = 1/Z), ser mxima.el tiempo, tendremos las energas absorbidas por Como, por otra parte, la corriente es proporcional acada elemento. Dichas energas son:la admitancia, se puede representar en la misma figura, cosa que as puede observarse. La R = R(0 I2 t La L = XL0 (90 I2 t = L I2 La C = XC0 (-90 I2 t = CV2 17.1.5Coeficiente o factor de calidad"La energa que pierde la bobina es, en todo instante, Se denomina coeficiente o factor de cali-igual a la que gana el condensador; y viceversa" dad o de sobretensin a la frecuencia de resonancia de un circuito (o de una bobina), al producto de la pulsacin por el cociente entre la mxima energa almacenada y la potencia media disipada. Se designa por Q y vale:17.1.4Curva de respuesta en frecuenciaEn la figura 6.18 hemos representado las Lf01 Lcurvas de las distintas resistencias (resistencia,Q =0 = =reactancias e impedancia -en sta su mdulo) en RfR Cfuncin de la frecuencia. En ella vemos que la R essiempre la misma; ya que su valor es independiente Siendo f el ancho de banda, que veremos seguida-de la frecuencia.mente.La XL crece linealmente con la frecuencia y en Asimismo se define Q como la relacin entre la cadadefinitiva con la pulsacin. de tensin en la bobina (o en el condensador) y la deLa XC tambin crece -exponencialmente- con lala resistencia. Se suele tomar un valor mayor que 10.frecuencia desde "menos infinito" (para cero hert-zios) hasta llegar a valor cero para una frecuenciaVemos, pues, que la calidad de un circuito es tantoinfinita. Asimismo se puede observar cmo el m- mayor cuanto menor es la resistencia a la frecuenciadulo de la impedancia total va decreciendo hasta elde resonancia, y como quiera que la resistencia es lavalor propio de la resistencia (cosa que sucede para de la bobina, el circuito tendr ms calidad cuantola frecuencia de resonancia) para volver luego a ms pura sea la bobina.crecer rpidamente.En dicha figura se ve, pues, el comportamiento de la"resistencia" de los tres componentes en funcin dela frecuencia, as como del mdulo de la impedancia17.1.6 Frecuencias de corte y ancho de bandatotal.Las frecuencias de corte tambin se conocen como frecuencias lmite. Son aquellas para las cualesLa fig. 6.19 muestra la curva de la admitancia (inver- la intensidad de corriente es 0,707 veces (70,7%) elsa de la impedancia) en funcin de la frecuencia.valor de la corriente a la frecuencia de resonancia; o bien aquellas para las cuales la potencia se reduce aY oI la mitad de la de resonancia (puntos de media poten- cia).baja R En efecto: si la potencia en resonancia es W0 = R I02 y la corriente cae a 0,707 veces la de resonancia, tenemos que Wf 2 = Wf1 = R (0,707 I0)2 = 0,5 RI02alta R que, es la mitad de la potencia que en resonancia. O de otra forma: aquellas que cumplen la condicin: If2 / Ifo = If1 / Ifo = 0,707.f 0 frecuenciaAs pues, la frecuencia de corte o lmite superior f2 f0es la frecuencia mayor que la de resonancia, para la Curva de la admitancia o corriente segn la frecuencia cual se obtiene una potencia mitad que la que sumi- Figura 6.19 nistra al circuito a la frecuencia de resonancia. 16. 16 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez NoratoA su vez la frecuencia de corte o lmite inferior f1 donde la ordenada es el mdulo de Y/Y0 (admitan-es la frecuencia menor que la de resonancia, para la cias), o I/I0 (corrientes) o Z0/Z (impedancias) ycual se obtiene una potencia mitad que la que sumi-donde la Abscisa x = Q0 (factor de calidad por lanistra al circuito a la frecuencia de resonancia.desintona relativa) = Q0 ( - 0)/0 o tambin a L/R.Conociendo la frecuencia de resonancia, el ancho debanda y el factor de calidad se tiene: La curva es simtrica respecto del eje y que pasa por x = 0; esto es: en resonancia. El origen de coordena-f2 = f0 + (f /2) = Q f + (f / 2) = f0 + (f0 /2Q)das, punto 0, corresponde a un valor dex = Q0 = Q0 ( - 0)/0f1 = f0 - (f /2) = Q f - (f / 2) = f0 + (f0 /2Q)Y ITambin podemos decir que las frecuencias de I mxcorte son aquellas para las cuales se produce undesfase entre la corriente y la tensin comprendi- ABdo entre 45 (intensidad en adelanto para la f1) y0,707 I mx+45 (intensidad en retraso para la f2).Se llama ancho de banda, anchura de banda, bandade paso, o banda pasante, al nmero de ciclos a unoy otro lado de la frecuencia de resonancia compren-fdidos entre las frecuencias de corte superior e infe-0 f1f0 f2rior.fTambin se denomina as a la diferencia de frecuen- Figura 6.20cias, en las cuales la potencia disipada por el circuitoes la mitad de la disipada a la frecuencia de resonan- pero para la resonancia - 0 = 0; por tanto, x = 0.cia por dicho circuito.Se suele representar por f2 - f1, o bien por f siendo La curva universal se suele representar en un entornof2 la frecuencia de corte superior, y f1 la frecuencia de x entre + 2 y - 2.de corte inferior, por lo que cabe una nueva defini-cin de banda de paso, diciendo que es el nmerode frecuencias comprendido entre ambas frecuen- y = Y = ZO = Icias de corte. YO ZIO1El ancho de banda vale 0,9 f = f0/Q = R /2 L (para frecuencias)0,8 BA = 0/Q = R / L (para pulsaciones) Curva univer sa l0,7de resonancia 0,6 0,5Para hallar el ancho de banda grficamente, una vez0,4dibujada la curva de respuesta-frecuencia, se toma el0,3valor 0,707 Imax (figura 6.20) y se traza una lnea0,2 0,1paralela al eje de abscisas o de frecuencias hasta quex = QOcorte a la curva en los puntos A y B. Las perpendi--2 -0,50+0,5 +2culares trazadas desde ellos determinan las frecuen-Figura 6.21cias de corte f2 y f1. El ancho de banda (zona sombreada); es f2 - f1 Consecuencia de la observacin de la figura es que para un determinado valor de x = Q0 cuanto mayor17.1.7Curva universal de resonanciasea el coeficiente (o factor) de calidad, menor es la La curva universal de resonancia para eldesintona relativa, , y menor es el ancho de banda.circuito serie es la representada en la figura 6.21. Del mismo modo, para un determinado valor de , cuanto mayor sea el Q0 mayor ser x, por lo queTiene por ecuacin matemtica1 "pasan" peor las frecuencias que correspondan a .y=1 + 4x 2 17. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 17Por ltimo, cuanto mayor sea el valor del Q0, msEl ancho de banda valeselectivo es el circuito f = f2 - f1 = f0 / Q = 398.089 / 50 = 7.960 Hertzios,El ancho de banda corresponde al entorno x = 0,5correspondiendo 7960/2 = 3.980 Hertzios a cada lado(puntos A y B, llamados puntos de media potencia). de la frecuencia de resonancia.En electrnica se considera que la banda de paso estLas frecuencias de corte son:definida a uno u otro lado de la frecuencia de reso-f2 = 398.089 + 3.980 = 402.069 Hertziosnancia por la prdida de 3dB en el valor de la inten- f1 = 398.089 - 3.980 = 394.069 Hertziossidad respecto de la de resonancia; en tal caso: -3 dB = 20 log (I / I0) => -3 / 20 = log (I / I0) =>anti log (-3 / 20) = I / I0 = 0,707 17.1.8Consecuencias del circuito a la fre- cuencia de resonancia. 1 a) Al tratarse de un circuito serie, y anularse las 0,707 = de donde x = 0,5reactancias inductiva y capacitiva, el circuito pre-1 + 4x 2senta una impedancia resistiva pura, y sta ser la deLLevando este valor de la ordenada a la ecuacin de la resistencia hmica del circuito, que a su vez serla curva universal de resonancia, tenemos que:mnima. O sea: Z0 = R. b) Como la impedancia es mnima, la intensidad de laPara analizar todo lo tratado, veamos el siguientecorriente, que segn la ley de Ohm generalizada valeejemplo.I = V/Z, ser mxima; es decir I0 = V/Z0 = V/R.Sea el circuito de la figura 6.17 en que R = 100, c) Para frecuencias superiores a la de resonancia, elL = 2 mH y C = 80 pF. Apliqumosle una tensincircuito se comporta inductivamente, pues XL=2 fL, 1y para frecuencias inferiores a la de resonancia, elf0 = = 398.089 Hz circuito se comporta capacitivamente; pues 2 2 10 80 10 12 3XC = /2 f C.alterna de 300 voltios y veamos qu ocurre. d) Ya hemos visto cmo la reactancia, a la frecuenciaLa frecuencia de resonancia f0 vale:de resonancia, es nula y la impedancia total es sola-mente la de la resistencia hmica, la cual puede ser,a su vez, la resistencia hmica de la bobina, -circuitoLa corriente que circula por el circuito,L-C con bobina real- por lo que si la bobina fuera I0 = V/R = 300/100 = 3 Amperiosideal (resistencia nula) tendramos en el circuito unacorriente infinita.Las reactancias inductiva y capacitiva sonEn la practica esto es imposible, ya que es imposibleanular la resistencia hmica de la bobina; esta impo-XL = XC = 2 f L = 1/2 f C = 5.000 sibilidad da lugar al concepto de factor de calidad yselectividad del circuito.Las cadas de tensin que origina la corriente tantoen la bobina como en el condensador son: e) A pesar de que el circuito sea alimentado con unaVL = VC = 5.000 x 3 = 15.000 voltios. tensin pequea, en los extremos de la bobina y delcondensador podemos tener tensiones elevadas omuy elevadas, (ste es el fenmeno de la resonancia)La ganancia en tensin es o sea, mucha ganancia de tensin; sin embargo, aAv = 15.000/300 = 50frecuencias distintas a la de resonancia las tensionesen la bobina y el condensador son despreciables.El factor de calidad esQ = XL / R = 5.000 / 100 = 50 18. 18 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato El anlisis de los circuitos paralelo o derivados es ms complicado que el de los circuitos serie. No obstante, al igual que los circuitos serie se resuelven por medio de las impedancias, los circuitos derivados se resuelven, generalmente, mediante las admitancias.18 Circuito con resistencia y induc- Corrientes. Tringulo de corrientes tancia. Circuito R-LAntes qued expuesto que la corriente total quedaSea el circuito de la figura 6.22,a constituidoretrasada un ngulo con respecto de la tensin.por una resistencia y una bobina.Este valor queda descompuesto en dos componentes: una, IR, en fase con la tensin y otra, IL, retrasada 90 respecto de la anterior. (Ver figura 6.22,b).ItIRIL IRv La IR o corriente activa vale: o -nIR = It cos (-) = V(0 / R(0 = V (0 /YR (0-GRL I L La IL o corriente reactiva vale:IL = It sen (- ) = V(0 / XL(90 = V (0 /YL ( -90a) circuitob) tringulo de intensidadesLa corriente total It, en forma compleja, vale: Figura 6.22 It = IR - jILAl aplicarle una tensin alterna senoidal, los dos El mdulo de la It es:componentes, resistencia y bobina, estarn sometidosa la misma tensin, por lo que cada uno de ellos ser2 | It |= I R + I L 2recorrido por una corriente senoidal diferente: por laresistencia circular una corriente IR que estar en El argumento o ngulo de desfase es:fase con la tensin aplicada, y por la bobina circular = arc tg - (IL / IR) = arc tg - (B/G) = - una corriente IL que estar retrasada 90 respecto dela tensin. Ver figura 6.22,b). El factor de potencia o coseno de fi es:La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes Cos = IR / It (Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total Itque recorre el circuito y que estar retrasada unngulo . Como ejemplo se propone resolver un circuito R-L paralelo donde R = 1000 y L es tal que su reactan- cia inductiva XL = 1.884. El circuito se alimentaAdmitancia con una tensin de 110 voltios de c. a. senoidal.Ya sabemos que la admitancia es la inversa de laimpedancia. Por tanto (en forma compleja): Solucin: Yt = YR + YL = 1 / 1.000 + (1 / 1.884j) = Y = YR + YL = 1 - j 1 = G - jB1 / 1.000(0 + (1 / 1.884(90) = 0,001 - 0,00053j RXL = arc tg - (0,00053/0,001) = -27,92 = -27 5555El mdulo de la admitancia es: | Y | = 0,0012 + 0,00053 2 = 0,00113 mhos| Y |= G 2 + B 2 Z = 1 / Yt = 1 / 0,00113(-27,92 = 884(27,92 IR = V YR = 110(0 0,001(0 = 0,11(0 AEl argumento o ngulo = arc tg - B/ GIL = V YL = 110(0 0,00053(-90 = 0,0583(-90 A It = V Yt = 110(0 0,00113(-27,92 = 0,124(-27,92A 19. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 1918Circuito con resistencia y con- Corrientes. Tringulo de corrientesdensador. Circuito R-CLa corriente total queda adelantada un ngulo con Sea el circuito de la figura 6.23,a formadorespecto de la tensin. Este valor queda descom-por la resistencia pura R y el condensador C. puesto en dos componentes: una, IR, en fase con latensin y otra, IC, adelantada 90 respecto de la It anterior. (Ver figura 6.23,b). IRIC La IR o corriente activa vale:IR = It cos () = V(0 / R(0 = V(0 YR (0La IC o corriente reactiva vale: G -RC IC = It sen () = V(0 /XC(-90 = V(0 YC (90La corriente total It vale: 2 2 | It |= I R + I C a) circuitoEl argumento o ngulo de desfase es: = rc tg (IC / IR) = arc tg (B/G)j El factor de potencia o Cos = IR / It ICComo ejemplo se propone la resolucin del siguienten ejercicio. vo IRSea una resistencia de 100 ohmios y un condensadorde 16 microfaradios en paralelo. Se alimentan conb) tringulo de intensidadesuna tensin de 200v/50Hz. Hallar:Figura 6.23a) la reactancia del condensadorAl aplicar al circuito una tensin alterna senoidal de b) la admitancia e impedancia total del circuito;V voltios de valor eficaz y de frecuencia f en Hert- c) el ngulo de desfase;zios, cada componente ser recorrido por una co- d) coseno de ;rriente alterna senoidal de la misma frecuencia que la e) las intensidades de corriente por el circuito.de la tensin de alimentacin: por la resistenciacircular una corriente IR que estar en fase con laResolucin:tensin aplicada, y por el condensador circular unaa) Xc = 1/ 2 f C = 199(-90 corriente IC 90 en adelanto respecto de la tensin.b) Yt=YR+YC =1/100(0 +1/199(-90 =0,01+0,005jFigura 6.23,b). | Y | = 0,012 + 0,005 2 = 0,0011( 26,56 mhosLa suma vectorial o geomtrica de ambas corrientes Z = 1/Yt = 1/0,011(26,56 = 90,9(-26,56(Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total Itc) = arc tg (0,005/0,01)=26,56 = 26,33,54que recorre el circuito y que estar adelantada un d) Cos = 0,8944ngulo . e) IR = V YR = 200(0 0,01(0 = 2(0 A IL = V YC = 200(0 0,005(90 = 1(90 A It = V Yt = 200(0 0,011(26,56 =2,23(26,56 AAdmitanciaLa admitancia es la inversa de la impedancia. Portanto (en forma compleja): Y = YR + YC = 1 + j 1 = G + jB 19Circuito L-C. El circuito osci-R XClante o circuito tanque En general toda combinacin L-C recibe elEl mdulo de la admitancia es:nombre de circuito tanque por su facultad de alma-cenar energa, especialmente cuando ambas reactan-| Y |= G 2 + B 2cias aparecen concentradas solas, sin resistencia nifuente de alimentacin. Tambin se conoce comoEl argumento o ngulo = arc tg B/ G circuito oscilante. 20. 20 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez NoratoSea el circuito de la figura 6.24. Si se coloca elb)Tambin se puede modificar el el factor deconmutador en la posicin 1, el condensador secalidad Q colocando una resistencia en para-cargar a la tensin de la fuente. Una vez cargado, allelo con el circuito tanque.pasarlo a la posicin 2, el condensador se descargasobre la bobina, la cual es recorrida por una corrienteque crea alrededor de ella un campo magnticodonde almacena la energa entregada por el conden-sador.20Circuito con resistencia bobina y21condensador. Circuito R-L-C.Sea el circuito de la figura 6.25,a constituido+ por una resistencia, una bobina y un condensador.+ G = VL c -- Itcircuito tanqueIR ILICv G -otCR L oscilaciones amortigadas Figura 6.24 a) circuitoUna vez descargado el condensador (y almacenadajtoda su energa en la bobina), ste comienza de ICnuevo a cargarse a expensas de la bobina, originn- IRdose por el circuito una corriente en sentido contrario n2 val de la descarga. Una vez cedida toda la energa deo-n-n1 IL - ICla bobina al condensador, ste vuelve nuevamente adescargarse sobre la bobina y as sucesivamente.ICEl resultado es la circulacin, por el circuito, de una-jcorriente oscilante o alterna. Si no hubiera prdidas,ILsobre todo en la resistencia asociada de la bobina, enel circuito, las oscilaciones mantendran su amplitud b) tringulo de intensidadesindefinidamente. Pero debido a las prdidas, dicha Figura 6.25corriente se va amortiguando poco a poco hastadesaparecer totalmente.Ver oscilograma.Al aplicarle una tensin alterna senoidal, los tresLa frecuencia de oscilacin responde a la frmula:componentes estarn sometidos a la misma tensin,por lo que cada uno de ellos ser recorrido por una1 corriente senoidal diferente: por la resistencia circu- fo = lar una corriente IR que estar en fase con la tensin 2 LCaplicada, por la bobina circular una corriente IL queSe trata de una frecuencia propia, llamada frecuencia estar retrasada 90 respecto de la tensin y por elde oscilacin.condensador circular una corriente IC 90 en ade-lanto respecto de la tensin. Ver figura 6.25,b).Observaciones.a) Si se desea disminuir el factor de calidad Q del La suma vectorial o geomtrica de ambas corrientescircuito para ensanchar el ancho de banda, es(Ley de Kirchhoff) dar lugar a la corriente total Itsuficiente con colocar una resistencia en serie que recorre el circuito y que estar retrasada uncon la bobina. (Se puede poner variable para va-ngulo si la IL es mayor que la IC como hemosriar o controlar el ancho de banda a voluntad). supuesto en este caso; (al revs en caso contrario). 21. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato21AdmitanciaMdulo:La admitancia total, en forma compleja, es: | Yt |= 0,012 + 0,0268 2 = 0,286 mhosYt = YR + YL + YCArgumento:El mdulo de la admitancia es: = arc tg -(0,0268/0,01)= -69,5322 Impedancia Z = 1/Y = 34,96 (69,531 11 | Y |= + X Xc b)Cos = Cos 69 32 16 = 0,3497R L c) It = V(0 Yt (- =200(0 0,0286 (-69,53 = 5,72(- 69,53AIR = V (0 YR (0 = 200 0,01 = 2 (0 AmperiosIL = V (0 YL(-90 = 200 0,0318 = 6,36(-90 AmperiosCorrientes. Tringulo de corrientes IC = V(0 YC (90 = 200 0,005 = 1( 90 AmperioEn la figura 6.25b se puede ver como la corriente IL - IC = 6,36 - 1 = 5,36(-90 Amperiostotal queda retrasada un ngulo con respecto de latensin. Este valor queda descompuesto en doscomponentes: una, IR, en fase con la tensin, y otra,IL - IC, retrasada 90, en este caso, respecto de laanterior.21Circuitos mixtos R-L-CSi bien cada circuito R-L-C mixto presentaLa IR o corriente activa vale: ciertas peculiaridades y caractersticas propias y, porIR = It cos (-) = V(0 / R(0 = V (0 YR (0 tanto, su resolucin se puede acometer de una u otraLa IL o corriente reactiva inductiva forma. Podemos decir, como norma general, que su IL = V(0 / XL(90 = V (0 YL ( -90 resolucin se facilita resolviendo primero los "para-La IC o corriente reactiva capacitiva es: lelos" por admitancias y a continuacin las "series" IC = V(0 / XC(-90 = V(0 YC ( 90 por impedancias.La IL - IC o corriente reactiva total es: Una vez resueltos los paralelos por admitancias, se IL - IC = It sen (-) buscan las impedancias (inversas de las admitancias)La It o corriente total vale: de cada paralelo que resultarn en serie con las It = IR / cos (-) = V(0 Yt (- "series". Despus de esto ya resulta un circuitoEl mdulo de la It es: equivalente en serie que se resuelve cmodamente por impedancias. 2| It |= I R + B( I L I C ) 2 Esta "norma" o "consejo" no es la nica forma deEl argumento o ngulo de desfase es: resolverlos; pues existen circuitos en los que su = arc tg - (IL- IC)/IR resolucin resulta ms "fcil" por admitancias. CadaEl factor de potencia o coseno de fi es: cual lo puede resolver como mejor lo comprenda yCos = IR / It ms sencillo le resulte. A modo de ejemplo, ofrecemos el circuito de laComo ejemplo se propone la resolucin del siguiente figura 6.26, donde aportamos las soluciones.ejercicio.Sea una resistencia de 100 ohmios, un condensador 2Sde 16 F y una bobina de 0,1 H conectados en para- I1 3SI4 1S-2Slelo (figura 6.25). Se alimentan con una tensin de200v/50Hz. Hallar: AI 2 4S 4S BCa) la admitancia e impedancia total del circuito;3S1Sb) el coseno de ;I3 5 S-8 Sc) las intensidades de corriente por el circuito. I5 Solucin: a) Yt=YR+YC-YL=1/100(0 +1/199(-90 -1/31,4(90 I220V/50HzG= 0,01 +0,005 j - 0,0318j mhos Yt = 0,01 - 0,0268j Figura 6.26 22. 22Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez NoratoSolucin: Si en el circuito serie se cumpla que, a la frecuenciade resonancia, la parte compleja de la impedancia Y1 = 0,230 - 0,154jdeba ser nula, en el paralelo, se cumple que la parte Y2 = 0,125 - 0,125jcompleja o susceptancia de la admitancia debe ser Y3 = 0,056 + 0,09 jnula;YAB = Y1 + Y2 + Y3 = 0,411 - 0,189j As como en resonancia serie se producen elevadas |YAB|= 0,453(-24,69 mhostensiones en los extremos de la bobina y el conden-ZAB = 1/YAB = 1/ 0,453(-24,69 = 2,20(24,69 sador, dependiendo del factor de calidad Q analimentando el circuito con una tensin pequea, enY4 = 0,2 + 0,4j ; resonancia paralelo se pueden originar valores eleva-Y5 = 0,3 - 0,1j ; dos de la intensidad que circula por la bobina y porYBC = Y4+ Y5 = 0,5+0,3j =>|YBC|= 0,583(30,96 mhosel condensador an cuando la intensidad que recorrael circuito tenga un valor reducido.ZBC=1/YBC=1,47-0,882j=1/ 0,583(30,96 =1,715(-30,96Zt = ZAC = ZAB + ZBC = 2+ 0,923j +1,47 - 0,882j Sea el circuito de la figura 6.27 constituido por una= 3,47 + 0,041j => Zt = 3,47(0,67 resistencia, una bobina y un condensador en paralelo.En l tenemos que la admitancia total es:It = 220(0 /3,47(0,67 = 63,4(-0,67 A Cos = 0,9999Yt = YR + YL + YCVAB =ZAB It = 2,20(24,69 63,4(-0,67A = 139(24,02V Para que exista resonancia, pues, debe ser nula laVBC = ZBC It = 1,715(-30,96 63,4(-0,67A= 08,7(-31,63V componente compleja o susceptancia; por tanto:I1 = VAB Y1= 139(24,02V 0,253(-33,8 = 35,16(- 9,78V 2 f C = 1/2 f LI2 = VAB Y2 = 139(24,02V 0,14(-45 = 19,46(- 20,98VI3 = VAB Y3 = 139(24,02V 0,064(58,11 = 8,9(82,12VI4 = VBC Y4 = 108,7(-31,63V 0,36(63,43 = 39,13(31,8V22.1 Frecuencia de resonanciaI5 = VBC Y5 = 108,7(-31,63V 0,19(-18,43 = 20,6(50V Despejando, tenemos:1 It IL I fo = 2 LCC IR GL R C22.2 Corrientes parciales y corriente V/f total del circuito en resonancia.Veamos las corrientes parciales y la total que circu-lan por el circuito.Corriente por la resistencia: IR = V/ R circuito R - L - C Corriente por la bobina: IL = -jV/XL=-jV /L0Figura 6. 27Corriente por el condensador: IC= +jV/XC = +jVC0La intensidad que circula por la resistencia est enfase con la total; la que circula por la bobina est 90en retardo con la intensidad total, y la que circula por22 Resonancia paralelo o resonancia el condensador va 90 en adelanto sobre la corriente de corriente total.Se producir en un circuito paralelo formadopor RLC. Tambin se llama resonancia de intensidadLa intensidad total que circula por el circuito a lao resonancia de corriente.frecuencia de resonancia es, aplicando al circuito laAunque la condicin de resonancia es la misma que Ley de Kirchhoff:para el circuito serie, ya que la definicin de reso-It = IR + IL + IC = VY0 = V/Rnancia es nica (ocurre la resonancia cuando latensin y la corriente estn en fase), el funciona- lo que nos pone de manifiesto que la intensidad demiento de este circuito es diferente al serie.alimentacin de un circuito resonante paralelo ideales igual a la corriente que circula por la resistencia. 23. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 2322.3 Distribucin de energas y poten-Asimismo se puede observar cmo el mdulo de laadmitancia total va decreciendo hasta el valor cias en el circuitopropio de la conductancia (cosa que sucede para la La energa almacenada por la bobina es:frecuencia de resonancia) para volver luego a L = L I2crecer rpidamente.La energa almacenada por el condensador esC = CV2En la figura 6.29 tenemos la curva de la impedanciaen funcin de la frecuencia.El comportamiento del circuito de cara a las ener-Observemos que es mxima a la frecuencia de reso-gas, ocurre lo que en el circuito serie: "la energa nancia. Como la inversa de la impedancia es laque pierde el condensador es, en todo instante, igual admitancia, sta (Y = 1/Z) ser mnima a la frecuen-a la que gana la bobina y recprocamente".cia o pulsacin de resonancia.Dichas potencias son: La WR = R(0 I2ZLa WL = XL0 (90 I2 alta RLa WC = XC0 (-90 I2De aqu se desprende que "en cualquier instante, lasuma de las potencias absorbidas por la bobina y el baja Rcondensador de un circuito resonante paralelo escero". O lo que es lo mismo "la potencia absorbidaf 0por la bobina es igual, en cualquier instante, a lafrecuenciacedida por el condensador y recprocamente". f0Curva de la impedancia segn la frecuencia yFigura 6.29 Y22.5 Coeficiente o factor de calidad 1/RSe denomina coeficiente o factor de calidad fo de sobreintensidad a la frecuencia de resonancia de0 f1f0f2un circuito (o de una bobina), al producto de lapulsacin por el cociente entre la mxima energaalmacenada y la potencia media disipada. Admitancia en un circuito RLC paralelo en funcin Ycde la frecuencia.Se designa por Q y vale:Q = R/LPara la frecuencia de resonancia ser, siendo 0 lapulsacin de resonancia:Figura 6.28 Q0 = R/L0 = 0CRSe suele tomar un valor mayor que 10.Tambin es igual a IC/ = IL/I22.4 Curva de respuesta en frecuencia En la figura 6.28 hemos representado lascurvas de las distintas admitancias as como el m-dulo de la admitancia total en funcin de la frecuen- 22.6 Frecuencias de corte y ancho decia. En ella vemos que la G o 1/R es siempre labandamisma; ya que su valor es independiente de la fre-Las frecuencias de corte tambin se conocencuencia.como frecuencias lmite. Son aquellas para lasLa YC crece linealmente con la frecuencia y encuales la intensidad de corriente es 0,707 -1/ 2-definitiva con la pulsacin.veces (70,7%) la corriente a la frecuencia deLa YL tambin crece exponencialmente con la fre-resonancia; o bien aquellas para las cuales lacuencia desde "menos infinito" (para cero hertzios) potencia se reduce a la mitad de la de resonanciahasta llegar a valor cero para una frecuencia infinita. (puntos de media potencia). 24. 24 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez NoratoEn efecto: si la potencia en resonancia es W0 = R I0222.7 Curva universal de resonanciay la corriente cae a 0,707 I0, tenemos que La curva universal de resonancia es la misma que Wf2 = Wf1= R(0,707 I0)2 = 0,5 RI02 para la resonancia serie, la cual se represent ante-que, es la mitad de la potencia que en resonancia. riormente.Z Zmx AB 0,707Zmx 23Consecuencias del circuito a la frecuencia de resonancia. a) Al tratarse de un circuito paralelo, y anularsela parte compleja de la admitancia, el circuito fpresenta una conductancia pura, y la nica re- 0f1f0 f2 fsistencia que presenta es la inversa de la resis-tencia R. Por contra, la impedancia es mxima. Figura 6.30 b) Como la admitancia es mnima a la frecuenciade resonancia, la corriente (I0 = VY0) tambinO de otra forma: aquellas que cumplen la condicinser mnima. Ifo / If2 = If0 / If1 = 0,707 c) Para frecuencias superiores a la de resonancia,As, pues, la definicin de las frecuencias de corte oel circuito se comporta capacitivamente; lofrecuencias lmite es la misma que para el caso de lacontrario ocurre para frecuencias inferiores a laresonancia serie.frecuencia de resonancia: el circuito se com-porta inductivamente.Conociendo la frecuencia de resonancia y el anchode banda se tiene: d) Para la frecuencia de resonancia las intensidades f2 = f0 + ( f / 2)que circulan por la bobina y por el condensador f1 = f0 - ( f / 2)son Q0 veces la intensidad de alimentacin delcircuito.Se llama ancho de banda, anchura de banda,banda de paso, o banda pasante, al nmero deciclos a uno y otro lado de la frecuencia de reso-nancia comprendidos entre las frecuencias de OBSERVACIN IMPORTANTE.corte superior e inferior. EL CIRCUITO ANALIZADO ES SLO TERICO, PUESTambin se denomina as a la diferencia de fre-EN LA PRCTICA LA RAMA DE LA BOBINA SIEMPREcuencias, en las cuales la potencia disipada por elTIENE UNA RESISTENCIA (LA HMICA PROPIA DEcircuito es la mitad de la disipada a la frecuenciaLA BOBINA). POR ELLO, EL CIRCUITO MS SIMPLEde resonancia por dicho circuito.QUE REALMENTE SE PRESENTA PARA ANALIZARSe suele representar por f2 - f1 , o bien por f siendo CONSTA DE DOS RAMAS PARALELAS: UNAf2 la frecuencia de corte superior, y f1 la frecuencia FORMADA POR LA BOBINA Y SU RESISTENCIAde corte inferior, por lo que cabe una nueva defini- ASOCIADA (CIRCUITO R-L) Y LA OTRA COMPUESTA POR UN CONDENSADOR (como el de la figura 6.31).cin de banda de paso, diciendo que es el nmero defrecuencias comprendido entre ambas frecuencias Sea el circuito de la figura 631. Vamos a analizarlo.de corte. Datos: R = 5 ; L = 100mH; C = 160F; V = 5V El ancho de banda vale: f = f0 /QPara hallar el ancho de banda grficamente, se dibuja Resolucin:la curva de respuesta-frecuencia (figura 3.9), se toma Las admitancias son:YRL = 1/(R + jL )el valor 0,707 Zmax y se traza una lnea paralela alYC = j C eje de frecuencias hasta que corte a la curva en los Sumando las admitancias y operando, tenemos que,puntos A y B. Las perpendiculares trazadas desde aproximadamente:ellos determinan las frecuencias de corte f2 y f1 y elYt = C/L [R + j (L - (1/C )]ancho de banda (zona sombreada). 25. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 25La pulsacin de resonancia vale:Frecuencia de corte inferior, 0 = 1/ LC = 250 rad/sgf1 = f0 - (f/ 2) = 40 - 4 = 36 HzFrecuencia de resonancia: Frecuencia de corte superior,f0 = 0 /2 = 250/ 6,28 = 39,8 40 Hertzios f2 = f0 + (f /2) = 40 + 4 = 44 Hz.Factor de calidad Q0 = L /R = 0,1 250/ 5 = 5Admitancia total en resonancia24Aplicaciones de los circuitos Yt = CR/L = 160 10-6 5/ 0,1 = 0,008 siemensresonantesCorriente por ambas ramas: IRL = V YRL Algunas de las principales aplicaciones delos circuitos resonantes son:5I R = IC = 40 Hz 5 + 0,122a)Sintonizadores de antena para receptores yemisores.b)Para acoplo de interetapas de amplificadores.Itc)Para seleccionar frecuencias.d)En demoduladores o detectores. IC Le)En los circuitos osciladores. IR L G cf)En generadores de audio y radiofrecuencias. V/f Rg)En selectores de canales (de frecuencias) enradio, TV, etc.h)Como adaptadores de impedancias. circuito R - L - Ci)En transmisores, ya que transmiten librementealgunas frecuencias e impiden, en alto grado, Figura 6.31el paso de otras.j)En general, en cualquier tipo de circuitoAncho de banda, f = f0/Q = 39,8/ 5 = 8Hz selectivo como los filtros. 26. 26 Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato EJERCICIOS DE APLICACIN. (Circuitos R-L-C)1.- Hallar la energa almacenada en una bobina de10 y un condensador de 480 F se alimenta20 mH cuando es recorrida por una corriente de con una tensin alterna senoidal de 220V/50Hz.2 amperios.Hallar la impedancia del circuito, en mdulo ySolucin: W = LI2 / 2 = 0,04 Julios. argumento; la corriente eficaz por el circuito y su desfase respecto de la tensin; la cada de tensin en la resistencia y el condensador; el2.- Un condensador se carga a 60 voltios, desarro- factor de potencia y las potencias del circuito.llando una energa de 4.000 julios. Hallar lacarga adquirida. Solucin: Z = 12( -33, 33, 48 = 12 (-0,585 radianes ;Solucin: Q = 2 W/V = 133,33 Culombios. Ief = 18,33A( 33,33,48 ; VC =Ief XC =18,33A(33,33,48 x6,63(-90 =121,5V(-56,26,12VR = 183,3 V(33 ,33,48 ; Cos = - 0,83 ;3.- Una bobina de 50mH y una resistencia de 200Pap = 4.032,6 VA; en serie se conectan a una red de c a de Pac = 3.347 W;125v/50Hz. Hallar la Z total, la I total, el cos Preac = -2.218VARy la cada de tensin en cada uno de los ele-mentos. Solucin: Zt = 200,6 ; I = 0,623A ; Cos = 0,9970 9.- Una bobina tiene una resistencia hmica de 10VR = 124,6v ; VL = 9,78V . Su reactancia inductiva es de 8 . Si la co- nectamos a una red de 60 voltios, hallar la in- tensidad del circuito y el ngulo de desfase en-4.- Un generador de c a de 100v alimenta una tre la tensin aplicada y la corriente.resistencia de 30 ohmios y una bobina cuya XLSolucin: I = 4,68 A; = 38,44= 40 ohmios conectadas en serie. Calcular laimpedancia total, la intensidad del circuito, y elngulo .10.- Un circuito serie est formado por 4 resistencias Solucin: Z = 50 ; I = 2A; = 53 8 de 4, 2, 1 y 1 ohmio respectivamente; por tresbobinas cuyas reactancias son 3, 5 y 2 ohmiosrespectivamente; y por dos condensadores de 25.- Que resistencia ha de conectarse en serie conohmios de reactancia capacitiva cada uno. Si se una bobina de 0,5 Henrios, si con una tensinconecta a 220v/50Hz, qu corriente circula por alterna senoidal de 1 Khz aplicada debe produ- el circuito?. cir la misma cada de tensin en la bobina que Solucin: I = 22 (365211Amperios en la resistencia? Solucin: R = 3.140 ohmios 11.- Una R = 10 ohmios y una bombilla cuya XL = 8ohmios se conectan en paralelo a 125voltios de6.- Una resistencia de 5 y una bobina de 43 mHc a. Hallar la impedancia total del circuito, asen serie se alimentan con una c a cuya frecuen- como la intensidad que circula por cada rama.cia es de 60 Hz, produciendo una corriente efi- Solucin: Z = 6,25 ohmios; I = 20A.caz en el circuito de 8 mA. Cul es el valor dela tensin aplicada?Solucin: V = 136 mV 12. Una bobina de 1H y una R = 400 en paralelo, se alimentan a 220V/50Hz. Hallar las admitan- cias y las corrientes.7.- Una resistencia de 8 ohmios, una L = 40mH ySolucin: YR = 0,0025(0 ; YL = 0,0031(-90 ;una C = 485,5 F en serie, se alimentan aYt = 0,004(-51 656220v/50Hz. Hallar el valor de la corriente queIR = 0,55(0 A; IL = 0,682(-90 A; It = 0,88A(-51 656recorre el circuito. Solucin: I = 22A;8.- Un circuito serie formado por una resistencia de 27. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 27 Problemas propuestos (Recopilacin)13.- Qu corriente atraviesa un condensador de 16 22.- Una R = 14 , una L = 10 mH y un condensa-F que est sometido a una tensin de dor de 0,25 F en serie se alimentan con una200V/100Hz?.tensin alterna senoidal de 182v/100Hz.Hallar: Zt, It, VL , Vc, VR , Pac, Preac y Pap.14.- En un ciruito hay conectadas en serie una resis- tencia de 20 y una autoinduccin alimentadas con una tensin alterna senoidal de 120V/50Hz.23.- Una R = 4 , una L cuya XL= 20 y un con- Hallar el coeficiente de autoinduccin L y el co-densador cuya Xc = 15 se conectan en serie seno de si la corriente que circula por el cir-a una tensin de 128v. Hallar: Zt, It, VL , Vc, cuito es de 2A.Vr, Pac, Preac y Pap. Tambin el cos y el n-gulo .15.- Qu capacidad ha de conectarse en serie con una R = 4K si la cada de tensin en la resistencia debe ser 10 veces la cada de tensin en el con-24.- Un circuito R-L-C serie est formado por una R densador. La frecuencia de la tensin aplicada de 4,9 , una bobina cuya XL = 5,66 y un es de 100 Hz.condensador cuya Xc = 4,66 . Se alimenta conuna tensin alterna senoidal de 200v/50Hz. Ha-llar Zt; It; VR; VL; Vc; Pac; Preac; Pap y cos .16.- Una lmpara de incandescencia consume 70 mA. Se conecta, en serie, con un condensador de 0,5 F a una red de corriente alterna de 50V/50Hz. Hallar la impedancia total del cir- 25.- Una R = 50 , una L = 12 mH y un condensa- cuito, as como la corriente que lo recorre. dor de 500 F en serie se conectan a 220v/50Hz. Hallar Zt, cos , el ngulo , VR, VL, Vc,Pac, Preac, y Pap .17.- Una R =30 y una L = 160 mH en serie se conectan a 200v/40 Hz. Hallar: la reactancia in- ductiva, XL; la impedancia total, Z; I; VR y VL. 26.- Una R = 4 , una bobina cuya XL = 20 , y uncondensador cuya XC = 15 en serie se conec-18.- Una R = 10 , una L = 0,5 H y un condensador tan a 128v. Hallar Zt, cos , el ngulo , VR, de 20 F en serie, qu impedancia presentan?. VL, Vc, Pac, Preac, y Pap .19.- Hallar las potencias activa, reactiva y aparente de un circuito formado por una bobina de 0,527.- Se conectan una resistencia de 80 K y una Henrios y una resistencia de 1.000 conecta-bobina de 5H en paralelo. Hallar la tensin (y das en serie y alimentadas a 100v/200Hz. la frecuencia) que hay que aplicarle para que lacorriente que circule por la bobina sea igual a laque circule por la bobina sea igual a la que cir-20.- Una R = 10 , una L = 160 mH y un condensa-cule por la resistencia dor de 50 F en serie se alimentan a 206v/40Hz. Hallar: Zt e It.21.- Una R = 14, una L = 10H y un C = 0,25 F 28 Cul es la autoinduccin de una bobina cuya R en serie se alimentan a 182v/100Hz. Hallar Z, I, es de 4 si para una frecuencia de 6.369,4 Hz VR, VL, Vc, Pac, Preac y Pap.tiene un factor de calidad Q = 20? Solucin L = 2 mH 28. 28Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato EJERCICIOS DE APLICACIN. Resonancia1.- Una R de 8 , una L = 40 mH y un C = 485,5 F en 12.- Un circuito consta de dos ramas paralelas. La impe-serie, a qu frecuencia resuenan?. dancia de una es 8 + 6j, y la de la otra 8,34-j/C. Solucin: fo = 36HzCalcular el valor de C para que resuene a 5 K Hz Solucin: C = 3,8 F.2.- Una L = 20 mH(RL = 1 ) y un condensador de 25F en serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es suancho de banda?. Y sus frecuencias de corte?. Solucin: Q =XLo/RL=28,26; f = foQ=225/28,26=8HzEJERCICIOS PROPUESTOS (Recopilacin)fo =225Hz; f1 =fo -f/2 =221Hz; f2 =fo + f/2 =229Hz 13.- Una R = 10 , una L = 0,5 H y un condensador de3.- Hallar la fo de una bobina de 10 mH y un condensa-20 F en serie, qu f0 tienen?dor de 25F.Solucin: fo = 318,47 Hz 14.- Se tiene una R = 10 , una L = 160 mH y un C de4.- Idem para una L = 10 mH y un C = 100F. 50 F en serie. Hallar fo. Solucin: fo = 159,2 Hz 15.- Una R = 14 , una L = 10 mH y un condensador de5.- Idem para una L = 0,5 mH y un C = 47KpF.0,25 F en serie se alimentan con una tensin alterna Solucin: fo = 32.851,5 Hz senoidal de 182v/ 100Hz. A qu frecuencia resue-nan?6.- Mediante un circuito (circuito L-C) queremos sinto-nizar una emisora que transmite a 2.000 KHz. La ca-16.- Una R = 4 , una bobina cuya XL = 20 , y unpacidad de que disponemos es de 35 pF. Cul debe condensador cuya XC = 15 en serie se conectan aser el valor de la bobina? Solucin: L = 180 H 120v/50Hz. Hallar fo. (ojo, hay que calcular L y C)7.- Un condensador de 400F y una bobina de 50 mH17.- Una bobina de 10H, cuya R = 20 , y un condensa-(RL = 2 ), a qu frecuencia resuenan?. Determinardor de 1 KpF, a qu frecuencia resuenan?. Hallar elel Q de la bobina, as como el ancho de banda y las ancho de banda y las frecuencias de corte f1 y f2.frecuencias de corte. Solucin: f0 = 35,6 Hz; Q = 5,58; f = 6,38 Hz; f1 = 32,4 Hz ; f2 = 38,8 Hz.18.- Un condensador de 10 KpF y una bobina de 20 mH(R =50 ) se conectan a 100v/50Hz. Hallar la fre-8.- Un circuito formado por una L = 20 mH (RL = 50 ) cuencia de resonancia, fo; su ancho de banda, y lasy un condensador de capacidad desconocida en serie, frecuencias de corte f2 y f1.deben resonar a 11.260 Hz. Hallar el valor del con-densador, el ancho de banda y sus frecuencias de 19.- Un circuito serie formado por una R = 20 , una Lcorte f1 y f2.=10 mH y un condensador, oscilan a 3.000 Hz. Ha- Solucin: C = 10 KpF; f = 400Hz;llar la capacidad del condensador as como las fre- f1 = 11.060Hz; f2 = 11.460Hz cuencias de corte y el ancho de banda.9.- Una L = 4 mH (RL =14,5 ) y una C=36 nF en serie 20.- Una L = 40mH (RL = 5,02 ) y un C = 16 F ense alimentan a 200v/50Hz. Hallar f0; Q; f ; f1 y f2.serie, a qu frecuencia resuenan?. Hallar el anchoSolucin: f0 = 13.270Hz; Q = 23; f = 577Hz;de banda y las frecuencias de corte superior e infe- f1 = 12.981,5Hz; f2 = 13.558,5Hz rior.10.- Una L = 10 mH cuya RL = 20 y un C= 10KpF en21.- Una L = 200mH (RL = 10 ) y un C = 25F en serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho serie, a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho de banda; y sus frecuencias de corte?. de banda? y sus frecuencias de corte f1 y f2? Hallar Solucin: f0 = 15.923,5Hz; f = 318Hz;el Q y la pulsacin de resonancia.f1 = 15.764Hz; f2 = 16.082Hz 22.- Una L = 10H (RL = 20 ) y un C = 1 KpF en serie,11.- El factor de calidad, Q, de una bobina es 15 y resue-a qu frecuencia resuenan?. Cul es su ancho de na a 9.000Hz. Hallar el ancho de banda y las fre-banda? y sus frecuencias de corte f1 y f2? Hallar el Q cuencias de corte f1 y f2. y la pulsacin de resonancia. Solucin: f = 600Hz; f1 = 8.700Hz; f2 = 9.300Hz 29. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato. 29LOS FILTROS PASIVOSIntroduccin.Se conocen por el nombre genrico de filtros a aquellos circuitos electrnicos que dejan pasar a su tra-vs una cierta gama de frecuencias de una corriente alterna multifrecuencia, rechazando las dems.Los filtros pueden clasificarse:a) segn los componentes que lo configuran, en filtros pasivos y filtros activos.Los filtros pasivos estn constituidos solamente a base de resistencias, bobinas y condensadores. Por el contrario los filtrosactivos lo estn con resistencias, condensadores y, adems, elementos activos como transistores, C.I., etc. b) segn las frecuencias que dejan pasar: filtros pasa-bajo, filtros pasa-alto, filtros pasa-banda y filtros elimina-banda.los filtros pasa-bajo solo dejan pasar las frecuencias inferiores a una determinada, llamada de corte.los filtros pasa-alto slo dejan pasar las frecuencias superiores a una determinada, llamada de corte.los filtros pasa-banda solo dejan pasar una banda de frecuencias determinada.los filtros elimina-banda dejan pasar cualquier nmero de frecuencias excepto una banda determinada.CONCEPTOS PREVIOS25Frecuencia de resonancia o fre- La ganancia a las frecuencias de corte son las si-guientes:cuencia centralAVfC = 0,707 AVf0 ;Es la frecuencia para la cual las reactanciasinductiva y capacitiva son iguales.20 log (AVfC / AVf0) = - 3 dB1f0 = [1] AIfC = 0,707 AIf0 ; 2 LC20 log (AIfC / AIf0) = - 3 dBAWfC = 0,50 AWf0 ;26Frecuencias de corte (fC)10 log (AWfC / AWf0) = - 3 dB Son las frecuencias para las cuales se pro-duce una atenuacin de 3 dB en tensin, corrienteo potencia; o sea: la tensin o la corriente descien- 27 Ancho de banda o banda pasanteden hasta el 70,7% (1/2) de las correspondientes a Se define como la diferencia entre las fre-la frecuencia de resonancia; la potencia se reduce acuencias de corte superior e inferior.la mitad. Como consecuencia las ganancias en ten-sin y en corriente caen al 70,7% de las ganancias entensin o en corriente a la frecuencia de resonancia o28 Selectividad o calidadfrecuencia central. As mismo la ganancia en poten- Para una misma frecuencia de resonancia ocia se reduce a la mitad. Existen dos frecuencias decentral, varios circuitos o filtros pueden comportarsecorte: la inferior y la superior.de manera diferente segn su ancho de banda. Aquelcuyo ancho de banda sea inferior se dice que es ms 30. Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 30selectivo, que es de "mejor calidad", y dejar pasar30 Orden de un filtromenos frecuencias que aquel o aquellos que posean El orden de un filtro viene determinado porun menor factor de calidad. el nmero de clulas R-C existentes en el mismo.Para un filtro de orden 2 hace falta una clula, paraEl factor de calidad se representa por Q y vale:uno de orden 4 hacen falta 2 clulas, etc.frecuencia de resonancia fQ= = 0[2]ancho de bandaf31 Pendiente Es la pendiente de bajada o subida de la cur-29Octava. va del filtro. Depende del orden del mismo. Si supo-Es el intervalo entre dos frecuencias, siendo nemos un filtro de orden N, la pendiente es aproxi-una del doble valor que la otra.madamente de 6 . N dB/octava; esto es: su curva caeAs, se dice que dos frecuencias estn sepa-en 6 . N dB cada vez que la frecuencia se duplica.radas una octava si f2 / f1 = 2.FILTROS PASIVOS32Filtros pasa-bajo Tendremos que:Vc = I XcYa sabemos que los filtros pasa-bajo son losVg = I Zque solo dejan pasar las corrientes cuyas frecuencias Dividiendo ambas expresiones, se tiene:son inferiores a una frecuencia determinada denomi-Vc Xc 1nada frecuencia de corte. = 2=[4] Vg R + X1 + (2f s RC ) 2 2El circuito o montaje ms sencillo est for-mado por una resistencia en serie con un condensa-dor como se indica en la figura 6.32. siendo f la frecuencia de corte del filtro; en este casofs. O sea, que para unos valores fijos de R, C y Vg,R I variando la frecuencia de Vg, iremos obteniendo losdistintos valores de la tensin de salida Vc. Dichatensin vara en la forma de la figura 6.33. Vg ZVc -CVcVgfS = 1 - 1 2 RC 0,707Figura 6.32. Filtro pasa-bajo R-C Las frecuencias altas se derivan por el con-densador, ya que su impedancia (reactancia capaciti-va) es muy pequea (XC = 1 / 2 fC), mientras que 0fs flas bajas, se quedan en l. Figura 6.33. Respuesta en frecuenciaLa impedancia total que ofrece el circuito es: 1 Z= R 2 + Xc 2 = R 2 +[3] (1 / 2fC )2FRECUENCIA DE CORTE:La frecuencia de corte es aquella para la cual laSupongamos que Vg sea la seal senoidal de fre- reactancia capacitiva es igual a la resistencia. Secuencia f que se aplica al circuito y Vc la tensin dedefine como frecuencia de corte (superior en estela seal obtenida a la salida (en el condensador).caso) fS como aquella frecuencia para la cual latensin de salida Vc es 0,707 (70,7%) de la tensin 31. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato.31de entrada Vg; o sea: Vc/ Vg = 1/2 = 0,707. reactancia del condensador (reactancia capacitiva).De esta frmula y de la [4], se deduce que 2fsRC =Es la frecuencia de resonancia o frecuencia de corte.1, por lo que: Su valor viene dado por la formula: ____fs = 1/ 2 RC57f0 = 1/ 2 LCExpresin que nos da la frecuencia de corte del filtroen funcin de los valores de R y de C..Otro tipo de filtro pasa-bajo es el L-R representado en la figura 6.35. En l aparece escrita la frmula deDe la frmula [5] tenemos que: 2RC = 1/fS y que la frecuencia de corte.(2RC)2 = 1/ fS2L ISi sustituimos (2 RC)2 = 1/ fS2 en la expresin [4],tenemos que:Vc1 VgZ = [6]- R Vc -Vg 1+ ( f / f ) 2 1 sf0 = 2 RLque es la expresin matemtica de la respuesta enfrecuencia del filtro pasa-bajo. Figura 6.35. Filtro pasa-bajo L-RPara la frecuencia de corte, f = fS y a medida que faumenta, la salida Vc se ve ms atenuada. Al contra-rio, a medida que f va disminuyendo, la salida Vc vaaumentando, teniendo el mximo para f = 0 Hz.33 Filtros pasa-alto. Recuerda que un filtro pasa-alto es aquelEn consecuencia, este circuito atena las sealesque slo deja pasar las corrientes cuyas frecuenciascuyas frecuencias sean superiores a la de corte, ensean superiores a una frecuencia determinada llama-tanto que las frecuencias inferiores a aquella sufrenda frecuencia de corte.una atenuacin inferior a los 3 dB, o lo que es lo El circuito ms sencillo es el de la figura 6.36.mismo, inferior al 70,7%.CIEs por lo que se le conoce como filtro pasa-bajo.Como ejercicio de aplicacin, hallar la frecuencia decorte para un filtro de este tipo cuando R = 10K yVgZR VR C = 0,1 F.- 1-fI = La solucin debe ser de 159,15 Hz.2 RCOtro filtro pasa-bajo elemental, es el constituido porFigura 6.36. Filtro pasa-alto R-Cuna bobina y un condensador (se ha sustituido laresistencia por una bobina L). Figura 6.34.Observa el circuito: es el mismo que el R-C donde se han permutado la resistencia y el condensador. LILa impedancia total, Z, que ofrece el circuito es:1 Z=R 2 + Xc 2 = R 2 +[8] Z(1 / 2fC )2 VgCVc - 1-f0 = Supongamos que Vg sea la seal senoidal de fre- 2 LC cuencia f que se aplica al circuito y VR la tensin de la seal obtenida a la salida; esto es en bornes de laFigura 6.34. Filtro pasa-bajo L-Cresistencia.En l existir una frecuencia f0 tal que la reactancia Tendremos que: VR = I R _______de la bobina (reactancia inductiva) sea igual que laVg = I Z = I R2 + XC2 32. Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato 32Dividiendo ambas expresiones, queda:En consecuencia, este circuito atena las sealescuyas frecuencias sean inferiores a la de corte, en VR R 1 tanto que las frecuencias superiores a aquella sufren= 2 = [9] Vg R + X 1 + (2f i RC ) una atenuacin inferior a los 3 dB, o lo que es lo2 2mismo, inferior al 70,7%.Es decir, que para unos valores fijos de R, C y Vg,Es por lo que se le conoce como filtro pasa-alto.variando el valor de la frecuencia de Vg podemos irobteniendo los distintos valores de la tensin desalida VR. Dicha tensin vara en la forma que apare-Como ejercicio de aplicacin, hallar la frecuencia dece en la figura 6.37.corte para un filtro de este tipo cuando R = 10 K yVRC = 0,1 F.La solucin debe ser de 159,15 Hz.Vg 1 0,707Otro tipo de filtro pasa-alto elemental es el consti-tuido por una bobina y un condensador (se ha susti-tuido la resistencia por una bobina L). Figura 6.38. fi f C0 I Figura 6.37. Respuesta en frecuencia Vg Z LVL -1 -FRECUENCIA DE CORTE:fo=2LCLa frecuencia de corte es aquella para la cual lareactancia capacitiva es igual a la resistencia. SeFigura 6.38. Filtro pasa-alto L-Cdefine como frecuencia de corte (inferior en estecaso) fi como aquella frecuencia para la cual latensin de salida VR es el 0,707 (70,7%) de la ten-sin de entrada Vg; o sea:En l existir una frecuencia f0 tal que las reactanciasde la bobina y del condensador sean iguales. Es la VR/ Vg = 1/ 2 = 0,707frecuencia de resonancia o frecuencia de corte.Su valor viene dado por la formula:De esta frmula y de la [9], se deduce que:___ f0 = 1/ 2LC12fi = 1/ 2 RC10De la frmula [10] tenemos que: 2 RC = 1/fi y que(2 RC)2 = 1/ fi2 Otro tipo de filtro pasa-alto es el R-L representado enSi sustituimos (2RC)2 = 1/ fi2 en la expresin [9] la figura 6.39.tenemos que: _________R I VR / Vg = 1/ 1+ (fi / f)211que es la expresin matemtica de la respuesta en VgZ LVLfrecuencia del filtro pasa-alto.-1 -f0 = 2 RLPara la frecuencia de corte f = fi y a medida que fdisminuye la salida VR se ve ms atenuada. Al con-trario, a medida que f va aumentando, la salida VR Figura 6.39. Filtro pasa-alto R-Lva aumentando. 33. Captulo 6 Circuitos RLC. Csar Snchez Norato.3334Filtros pasa-banda.Otro tipo de filtro pasa-banda podra ser el de laYa vimos en la introduccin que estos filtrosfigura 6.41.son los que dejan pasar una banda determinada de LCfrecuencias rechazando las dems.IUn tipo elemental de estos filtros puede ser el repre-sentado en la figura 6.40.L C Vg L C Vs I-- Vgf0 =1 Vs -2LC -Figura 6.41. Filtro pasa-banda Con este filtro se podran derivar las frecuenciasFigura 6.40. Filtro pasa-banda menores de los 1.000 Hertzios a travs de la bobina y las superiores a los 3.000 Hertzios a travs delConsta de un circuito L-C (o mejor R-L-C, siendo R condensador.la resistencia hmica de la bobina) de tal forma quesu frecuencia de resonancia coincida con la frecuen- Siguiendo con el ejemplo anterior, se calculan lascia central de la banda que se pretende dejar pasar aimpedancias del circuito serie para las frecuencias desu travs. No queda ms que determinar el Q de lacorte. Estas impedancias son:bobina para que el ancho de la banda pasante coinci-da con las frecuencias lmites de la banda de paso. ____________ Z1.000Hz = Z3.000Hz = R2 + (XL- XC)2 = 14.696 Veamos esto mediante un ejemplo. Si tomamos la reactancia de la bobina del paraleloSea que pretendemos disear un filtro que deje pasar menor que 14.696 , las frecuencias menores de loslas frecuencias comprendidas entre los 1.000 y 3.000 1.000 Hz se derivarn por ella. De igual modo siHertzios.hacemos que la reactancia del condensador seaEl ancho de banda es f = 3.000 - 1.000 = 2.000 Hz.menor que los 14.696 , por l se derivarn fcil- mente las frecuencias superiores a los 3.000 Hz.La frecuencia central de la banda pasante es Tomemos ambas reactancias 20 veces menor. Esf0 = 1.000 + (3.000 - 1.000)/2 = 2.000 Hertzios. decir, 14.696/2 = 735 La frecuencia de resonancia del filtro es: Ahora calculemos la L y la capacidad del paralelo. Para 1.000 Hz, L = XL/2 f = 735/ 2 1.000 = 117 mH.__ Para 3.000 Hz C = 1/2 XCf = 1/ 2 735 3.000 = 72 KpF.f0 = 1/ 2 LC = 2.000 Hertzios Nota: con este filtro se eliminan fcilmente todas lasSi tomamos, por ejemplo, un condensador de 10frecuencias distintas de la banda comprendidaKpF, hallamos L. entre los 1.000 y los 3.000 Hertzios, con lo que es mejor que el anterior.L = 633 mH.Hallamos el Q de la bobina para el ancho de bandade los 2.000 Hertzios. 35Filtros elimina-banda.Q = f0 / f = 2.000 / 2.000 = 1Estos filtros tienen la facultar de eliminar una banda determinada de frecuencias permitiendo elEl factor de calidad determina la resistencia de lapaso de las dems. Un filtro elemental de este tipo esbobina, que en este caso debe ser igual que la reac- el representado en la figura 6.42.tancia inductiva a la frecuencia de los 2.000 Hz. Portanto, la impedancia del circuito a esa frecuencia esEn este caso, por el circuito se derivarn las frecuen- cias correspondientes a la banda de paso del circuito.R = XL = 2 2.000 0,633 = 7.950 . Si consideramos el ejemplo anterior, este filtro dejar 34. Captulo 6. Circuitos RLC. Csar Snchez Norato34pasar todas las frecuencias excepto las comprendidas lo, la serie L-C derivar la banda correspondiente aentre los 1.000 y los 3.000 Hertzios.la frecuencia de resonancia propia del circuito. IIL 1L CVgf0 = VsL-2 LC-Vg Vs-- C CFigura 6.42. Filtro elimina-banda Figura 6.43. Filtro elimina-bandaUna versin nueva y mejorada puede ser la de la Para el ejemplo anterior, este filtro permitir el pasofigura 6.43. El circuito paralelo dejar pasar todas las de todas las frecuencias excepto las comprendidasfrecuencias: por la bobina pasarn las bajas y por el entre los 1.000 y los 3.000 Hertzios.condensador las altas. Una vez atravesado el parale- EJERCICIOS DE APLICACIN1.-Halla la frecuencia de corte para un filtro pasa-bajo para R = 1K y C = 300 pF. Solucin: 530.516 Hz.2.-Cunto debe valer el condensador de un filtro pasa-bajo para que con una R =2K2 , la fs sea de 1.540 Hz?. Si a este filtro se le aplican 15 voltios, cunto vale la tensin de salida, Vc, para una frecuencia de 2.000 Hz?. Y para una frecuencia de 500 Hz?.Solucin: C = 47KpF; Vc = 9,15V y Vc = 14,26V.3.-Halla la frecuencia de corte para un filtro pasa-alto para R = 1K y C = 300 pF.Solucin: 530.516 Hz.4.- Cunto debe valer C de un filtro pasa-alto para que con una R = 2K2 , la fi sea de 1.540 Hz?. Si a estefiltro se le aplican 15 Voltios, cunto vale la tensin de salida, VR, para una frecuencia de 2.000 Hz?. Ypara una frecuencia de 500 Hz?.Solucin: C = 47KpF; VR = 11,27V y VR = 7,42V. EJERCICIOS PROPUESTOS5.-Halla los posibles valores de R y C para que, mediante un filtro pasa-bajo, la frecuencia de corte sea de 12.000 Hz. 6.- Halla los posibles valores de R y C para que, mediante un filtro pasa-alto, la frecuencia de corte sea de 1.000 Hz.7.- Disea y calcula un filtro elemental pasa-banda (puede servirte la figura 6.40) que permita solamente el pasode las frecuencias comprendidas entre los 10.000 y los 12.000 Hz.8.- Disea y calcula un filtro elemental elimina-banda (puede servirte la figura 6.42) que permita slo el pasode las frecuencias comprendidas entre los 8.000 y los 10.000 Hz.