Aplicaciones básicas de los circuitos RLC

Escuela Politcnica del Ejrcito Circuitos Elctricos II

David Espinosa

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CONTENIDOTEMA..............................................................................................................1 OBJETIVO GENERAL........................................................................................1 OBJETIVOS ESPECFICOS................................................................................1 MARCO TERICO............................................................................................2 Conceptos bsicos......................................................................................2 Funciones singulares...................................................................................3 Funcin paso, escaln o Funcin de Heaviside........................................3 Funcin impulso.......................................................................................4 Funcin rampa.........................................................................................4 Circuitos de primer orden...........................................................................4 Circuito RC sin fuente..............................................................................5 Circuito RL sin fuente...............................................................................5 Respuesta del circuito RC a una funcin paso (de voltaje)......................5 Respuesta del circuito RL a una funcin paso (de corriente)...................6 Circuitos de segundo orden........................................................................7 Valores iniciales.......................................................................................8 Circuito RLC en serie sin fuente...............................................................8 Circuito RLC en paralelo sin fuente..........................................................9 Respuesta completa del circuito RLC en serie a la funcin paso...........11 Respuesta completa del circuito RLC en paralelo a la funcin paso......11 Cul es la importancia de conocer la respuesta transitoria y completa de los circuitos de primer y segundo orden?.........................................12 APLICACIONES DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN........................................13 Unidad de flash fotogrfico.......................................................................13 Circuitos relevadores................................................................................16 Circuito de encendido de un automvil.....................................................20 Comparador..............................................................................................21 Diferenciador............................................................................................24 APLICACIONES DE CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN....................................26 Circuito de encendido de un automvil.....................................................264 A. Electrnica, Automatizacin y Control Pgina 2


Disparador de bolsa de aire......................................................................30 Celdas fotovoltaicas..................................................................................33 Circuitos suavizadores..............................................................................36 Detector de humo.....................................................................................40 CONCLUSIONES............................................................................................43 RECOMENDACIONES....................................................................................44 BIBLIOGRAFA...............................................................................................45 BIBLIOGRAFA

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4 A. Electrnica, Automatizacin y Control

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ESCUELA POLITCNICA DEL EJRCITO DEBER CONJUNTO DEL PRIMER PARCIAL Nombre: David Espinosa Paralelo: 4 A. Electrnica, Automatizacin y Control Fecha: 2009-11-05 TEMA APLICACIONES DE LOS CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN (RL Y RC), Y DE SEGUNDO ORDEN, AL USAR FUENTES DC. OBJETIVO GENERAL Conocer la respuesta completa de circuitos de primer y segundo orden cuando son excitados por funciones paso. Utilizar dichos conocimientos en el diseo y simulacin de aplicaciones sencillas que usan todos los estamentos mencionados.

OBJETIVOS ESPECFICOS

Conocer la respuesta de un circuito RL cuando no existen fuentes externas de excitacin, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseo y simulacin de aplicaciones simples. Conocer la respuesta de un circuito RC cuando no existen fuentes externas de excitacin, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseo y simulacin de aplicaciones simples. Conocer la respuesta de un circuito RLC en serie cuando no existen fuentes externas de excitacin, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseo y simulacin de aplicaciones simples. Conocer la respuesta de un circuito RLC en paralelo cuando no existen fuentes externas de excitacin, y cuando existe una fuente DC. Aplicar estos conceptos para el diseo y simulacin de aplicaciones simples.

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MARCO TERICOConceptos bsicosEl anlisis de circuitos hasta este punto, se ha reducido nicamente al tratamiento de elementos puramente resistivos. Si bien es cierto el lector tambin habr tenido oportunidad de trabajar con fasores y obviamente, con elementos almacenadores de energa, dichos fasores no hacen sino expresar a un elemento como una impedancia ms, que a grosso modo podramos decir se trata del valor de una resistencia en el plano complejo. Y si bien es cierto que esta herramienta matemtica facilita sobremanera los clculos, no permite un anlisis concienzudo desde el punto de vista de la realidad del circuito en cuestin. Los circuitos que a continuacin se analizan tienen prcticamente todos los elementos (activos y pasivos) que se ha venido tratando desde el curso de Circuitos Elctricos I, pero sin embargo, se los analizar en el dominio del tiempo, y usando fuentes DC. Y el lector podr preguntarse con justicia: Qu sentido tiene usar elementos almacenadores de energa con fuentes DC, si s que dichos elementos se reducen simplemente a cortocircuitos y circuitos abiertos? Como veremos a continuacin, durante un corto perodo de tiempo, dichos circuitos no presentan el comportamiento que deberan tener idealmente. Y es precisamente aqu donde radica la ventaja del anlisis en el dominio del tiempo: nos permite obtener respuestas de estos circuitos ms acercadas a la realidad, y prevenir fallas en diseos ms elaborados, que damos por sentado que ya estn terminados pero que a la hora de la verdad, fallan de manera incomprensible. Es necesario mencionar que el anlisis de circuitos en el dominio del tiempo requiere cierto conocimiento de la resolucin de ecuaciones diferenciales, pues la respuesta de dichos circuitos se reduce simplemente a ecuaciones de este tipo. Partamos entonces del hecho de que todos los circuitos se pueden representar de la siguiente forma:

El anterior esquema puede ser representado mediante la siguiente ecuacin diferencial:andny(t)dtn+an-1dn-1y(t)dtn-1++a1d y(t)dt1+a0yt= bmdmx(t)dtm+bm-1dm-1x(t)dtm-1++b1d x(t)dt1+b0xtDavid Espinosa Pgina 1


El orden n de la ecuacin diferencial depender del nmero de elementos pasivos no reducibles del circuito elctrico, y el grado m de la funcin de excitacin depende del nmero de fuentes presentes en el mismo. Como es sabido, la respuesta de una ecuacin diferencial siempre posee dos componentes: la respuesta libre o natural y la componente particular o forzada. Dichas componentes son mucho ms fciles de encontrar al usar el operador s, si tomamos en cuenta que:sn=dndtn

La componente natural se obtendr de resolver la ecuacin diferencia homognea. Esta componente identifica el tipo de elementos presentes en el circuito y adems representa el comportamiento del circuito en ausencia de excitaciones (fuentes de voltaje o corriente). Esta componente resulta importante al existir transiciones de estado en el circuito, generalmente producidos por elementos mecnicos (interruptores). Es por esta razn que la componente natural define el anlisis del rgimen transitorio de la red. El rgimen transitorio es el perodo de tiempo en el que se hace pasar un circuito de un estado a otro, sea por modificacin de algunos elementos de la red, o energizacin, lo cual produce una variacin del las magnitudes de los voltajes o corrientes de los elementos de un valor inicial a un valor final. La componente particular se obtiene de resolver la ecuacin diferencial no homognea; en este caso se debe hallar una respuesta que satisfaga la ecuacin diferencial no homognea, tomndose en cuenta como variables de entrada las fuentes de excitacin en la red. El presente trabajo centrar su estudio nicamente en circuitos de primer orden (RL y RC), y de segundo orden (RLC en serie y paralelo) para fuentes de DC.

Funciones singularesComo hemos dicho para el anlisis de este tipo de circuitos, usaremos como fuentes de excitacin a fuentes DC de corriente o de voltaje. La transicin de estados se realizar usando interruptores. En consecuencia, habr una variacin abrupta de los valores de corriente o voltaje para los elementos del circuito. Esta variacin abrupta se puede representar fcilmente al utilizar la funcin paso, escaln o de Heaviside. De esta funcin se vern derivadas otras dos funciones adicionales que ayudarn tambin en la resolucin (o planteamiento) de ciertos problemas. Dichas funciones se detallan brevemente a continuacin.

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Funcin paso, escaln o Funcin de Heaviside

Es una funcin que ser 0 hasta un tiempo t0, y luego se har 1. Entonces, cualquier valor que est multiplicado por esta funcin ser 0 hasta el tiempo t0 y luego tomar su valor original.

Ut-

Est definida por:

t0=0 si tt0

Funcin impulso

tt-

Est definida por: En consecuencia:t0=d[U(t-t0)]dx

t0=0 si tt0

Funcin rampa

rtUt-

Est definida por: En consecuencia:t0=d[r(t-t0)]dx

t0=0 si tt0

Circuitos de primer ordenUn circuito de primer orden est caracterizado por una ecuacin diferencial de primer orden. Este circuito por lo general estar formado por elementos pasivos (resistencias, capacitores e inductores) y tambin por elementos activos (amplificador operacional, o AO). Una combinacin de estos resulta en un circuito de primer orden, sea circuito RL o RC. Para deducir su funcionamiento, usaremos las Leyes de Kirchhoff. Se debe notarDavid Espinosa Pgina 1


tambin que el valor de voltaje o corriente sobre un elemento almacenador de energa no puede variar abruptamente. Esto se considerar como un hecho para todos los anlisis subsiguientes.Circuito RC sin fuente

Si

Vc(0-)=V(0-)=Vo LCK nodo A: Ir=-IcVR=-CdVdt dVdt+VRC=0 V=Vo*e-t =RC

Circuito RL sin fuente

Si i(0-)=Io LVK en la malla: VL=VRLdidt=-Ri Ldidt+RLi=0 i=Io*e-t =LR

Respuesta del circuito RC a una funcin paso (de voltaje)

Para t0 el circuito se ver as:


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Debemos hallar el valor del V(t) sobre el capacitor, para nuestros propsitos afirmaremos que Vc(t)=V(t). Aplicando LVK tenemos: Vs-Vr-Vc=0 Vr+Vc=VsRi+Vc=Vs R(CdVcdt)+Vc=Vs R(CdVcdt)+Vc=Vs

dVcdt+VcRC=VsRC -VoV(t)dVcVc-Vs=0tdtRC ln(Vc-Vs)V0V(t)=-tRC lnVt-Vs-ln(Vo-Vs)=-tRC Vt-VsVo-Vs=e-tRC Vt=Vs+(Vo-Vs)e-tRC

Como V=Vs en el capacitor, y =RC, podemos generalizar la ecuacin:Vt=V()+(V(0)-V())e-t Respuesta del circuito RL a una funcin paso (de corriente)

Para t0 el circuito se ver as:

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Debemos hallar el valor del i(t) sobre el inductor, para nuestros propsitos afirmaremos que iL(t)=i(t). Aplicando LCK tenemos:VR+IL=Is 1R(LdiLdt)+iL=Is diLdt+RLiL=RLIs -Ioi(t)dVciL-Is=0tRLdt ln(iL-Is)V0i(t)=-RLt lnit-Is-ln(Io-Is)=-RLt it-IsIo-Is=e-RLt It=Is+(Io-Vs)e-RLt

Is=Ir+IL

Como i=Is en el inductor, y =RL, podemos generalizar la ecuacin:it=i()+(i(0)-i())e-t

Como conclusin, para hallar la respuesta completa de circuitos RL y RC es necesario hallar las condiciones iniciales (t0) del circuito.

Circuitos de segundo ordenUn circuito de segundo orden est caracterizado por una ecuacin diferencial de 2 orden, y el equivalente de por lo menos 2 elementos almacenadores de energa. El anlisis de circuitos de segundo orden es similar a los de primer orden. Consideraremos que los circuitos estn excitados inicialmente, y que los elementos almacenadores adquirirn condiciones iniciales. Primero analizaremos circuitos sin fuente lo que nos dar la respuesta natural de los elementos. Aqu tenemos tambin respuestas naturales y forzadas. Vamos a considerar solo fuentes independientes en este trabajo.

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Valores iniciales Posteriormente, veremos que el anlisis de circuitos de segundo orden se reduce nicamente a la bsqueda de las condiciones iniciales del circuito. Dichas condiciones iniciales son: Para el capacitor: V0 ; ddtV0 ; V() Para el inductor: I0 ; ddtI0 ; I() Circuito RLC en serie sin fuente

Aplicando LVK en la malla, tenemos: Vc+Vr+VL=0 1Cidt+Io+Ri+Ldidt=0 Derivando una vez ms, con respecto a t: Ld2idt2+Rdidt+iC=0 d2idt2+RLdidt+iLC=0 Usando el operador s, tenemos: s2+RLs+1LCi=0 Las soluciones son: s1=-R2L+R2L2-1LC y s2=-R2L-R2L2-1LC

Donde s1 y s2 se miden en Nepers [Np]. Ms generalmente podemos afirmar lo siguiente: =R2L.- Frecuencia de Neper o factor de amortiguamiento Nps 0=1LC.- Frecuencia de resonancia o frecuencia natural amortiguada rads d2=02-2.- Frecuencia de amortiguamiento no

En consecuencia, las soluciones se simplifican a lo siguiente: s1=-+2-02David Espinosa

yPgina 1

s2=--2-02


Dependiendo de y 0, se tendrn los distintos tipos de respuestas: 1) CASO AMORTIGUADO ( > 0).- s1, s2 son reales y diferentes. La solucin de la ecuacin diferencial es: Vt=A1es1t+A2es2t 2) CASO CRTICAMENTE AMORTIGUADO ( = 0).- s1, s2 son reales e iguales. La solucin de la ecuacin diferencial es: Vt=A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO ( < 0).- s1, s2 son imaginarias y diferentes, de la forma -jd. La solucin de la ecuacin diferencial es: Vt=e-tB1*cosd+B2*sind Para todos los casos, las constantes A1, A2 (y B1, B2) se hallan mediante las condiciones iniciales del circuito. (He aqu el inters de hallar dichas condiciones). Para ello, se iguala x(0) con la solucin de la ecuacin diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una primera ecuacin lineal. Luego se iguala d[x(0)]/dt con la primera derivada de la solucin de la ecuacin diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una segunda ecuacin lineal. Ya solo queda resolver este sistema de 2 ecuaciones con dos incgnitas, A1 y A2 (B1 y B2). Circuito RLC en paralelo sin fuente

Aplicando LCK en el nodo A, tenemos: Ic+Ir+IL=0 CdVdt+Vr+1LVdt+Vo=0 Derivando una vez ms con respecto a t:

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Cd2Vdt2+1RdVdt+VL=0 d2Vdt2+1RCdVdt+VLC=0 Usando el operador s, tenemos: s2+1RCs+1LCV=0 Las soluciones son: s1=-12RC+12RC2-1LC y s2=-12RC-12RC2-1LC

Donde s1 y s2 se miden en Nepers [Np]. Ms generalmente podemos afirmar lo siguiente: =12RC.- Frecuencia de Neper o factor de amortiguamiento Nps 0=1LC.- Frecuencia de resonancia o frecuencia natural amortiguada rads d2=02-2.- Frecuencia de amortiguamiento no

En consecuencia, las soluciones se simplifican a lo siguiente: s1=-+2-02 y s2=--2-02

Dependiendo de y 0, se tendrn los distintos tipos de respuestas: 1) CASO AMORTIGUADO ( > 0).- s1, s2 son reales y diferentes. La solucin de la ecuacin diferencial es: Vt=A1es1t+A2es2t 2) CASO CRTICAMENTE AMORTIGUADO ( = 0).- s1, s2 son reales e iguales. La solucin de la ecuacin diferencial es: Vt=A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO ( < 0).- s1, s2 son imaginarias y diferentes, de la forma -jd. La solucin de la ecuacin diferencial es: Vt=e-tB1*cosd+B2*sind Para todos los casos, las constantes A1, A2 (y B1, B2) se hallan mediante las condiciones iniciales del circuito. (He aqu el inters de hallar dichas condiciones). Para ello, se iguala x(0) con la solucin de la ecuacin diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una primera ecuacin lineal. Luego se iguala d[x(0)]/dt con la primera derivada de la solucin de la ecuacin diferencial en la que se hace t=0, con lo que se obtiene una segunda ecuacin lineal. Ya solo queda resolver este sistema de 2 ecuaciones con dos incgnitas, A1 y A2 (B1 y B2).

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Respuesta completa del circuito RLC en serie a la funcin paso

Es necesario recordar en este punto, que el anlisis de circuitos de segundo orden es anlogo a los de primer grado. Y tambin es sabido que la respuesta completa de un circuito con elementos almacenadores de energa es igual a la suma de su respuesta natural y forzada. Bien, el anlisis se facilita muchsimo al aplicar este concepto. Para estado estable, el circuito sobre estas lneas se ver como el que se muestra a continuacin:

La bobina se comportar como un cortocircuito, mientras que el capacitor se comportar como un circuito abierto. Como el parmetro que aqu nos interesa es el voltaje del capacitor, podemos ver fcilmente que para el estado estable, el voltaje sobre el capacitor ser el mismo que el de la fuente, Vs. Es pues, fcil, deducir las respuestas completas: 1) CASO AMORTIGUADO: Vt=Vs+A1es1t+A2es2t 2) CASO CRTICAMENTE AMORTIGUADO: Vt=Vs+A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO: Vt=Vs+e-tB1*cosd+B2*sind Respuesta completa del circuito RLC en paralelo a la funcin paso

Es necesario recordar en este punto, que el anlisis de circuitos de segundo orden es anlogo a los de primer grado. Y tambin es sabido que la respuesta completa de un circuito con elementos almacenadores de energa es igual a la suma de su respuesta natural y forzada. Bien, el anlisis se

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facilita muchsimo al aplicar este concepto. Para estado estable, el circuito sobre estas lneas se ver como el que se muestra a continuacin:

La bobina se comportar como un cortocircuito, mientras que el capacitor se comportar como un circuito abierto. Como el parmetro que aqu nos interesa es la corriente sobre el inductor, podemos ver fcilmente que para el estado estable, la corriente sobre el inductor ser el mismo que el de la fuente, Is. Es pues, fcil, deducir las respuestas completas: 1) CASO AMORTIGUADO: it=Is+A1es1t+A2es2t 2) CASO CRTICAMENTE AMORTIGUADO: it=Is+A1es1t+A2tes2t 3) CASO SUBAMORTIGUADO: it=Is+e-tB1*cosd+B2*sind

Cul es la importancia de conocer la respuesta transitoria y completa de los circuitos de primer y segundo orden? Como veremos en posteriores pginas, los circuitos de primer y segundo orden tienen una considerable cantidad de aplicaciones en la vida prctica, incluso asociados con elementos activos como amplificadores operacionales. Sin embargo, dicho nmero de aplicaciones se ve reducido al usar nicamente respuestas paso de voltaje o corriente. No obstante, existen varias aplicaciones que son bastante comunes en la vida cotidiana, y que usan dichos circuitos, y sus respectivas respuestas completas a las funciones paso. Las aplicaciones que a continuacin se detallan, y que son el tpico fundamental en el desarrollo de este trabajo, se dividen en dos partes: aplicaciones de circuitos de primer grado y aplicaciones de circuitos de segundo grado. Existen 5 aplicaciones de cada caso, y se ha considerado importante incluir tambin aplicaciones que involucran AOPs, para darle mayor gama e inters. Para todos los casos, se deduce la frmula que defina la respuesta completa de cada circuito, y un ejemplo con valores reales.


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APLICACIONES DE CIRCUITOS DE PRIMER ORDENUnidad de flash fotogrficoUna unidad de flash fotogrfico constituye un ejemplo tpico de aplicacin de circuito RC. Esta aplicacin aprovecha la propiedad del capacitor para oponerse a cambios abruptos de tensin. En la Figura 1 se tiene un circuito simplificado. ste consta en esencia de una fuente de alta tensin de corriente continua Vs, un resistor limitador de corriente grande R1, y un capacitor C en paralelo con la lmpara del flash de baja resistencia R2.

Figura 1. Circuito bsico de un flash fotogrfico

Cuando el interruptor est en la posicin 1, el capacitor se carga lentamente, debido a la elevada constante de tiempo (1=R1*C). Como se muestra en la Grfica 1, la tensin del capacitor aumenta de forma gradual de cero a Vs, mientras que su corriente decrece en forma gradual de I1=Vs/R1 a cero. El tiempo de carga es aproximadamente 5 veces la constante de tiempo: tcarga=5R1C tcarga=5*1000*2000*10-6 tcarga=10[s] Para tener una ecuacin que coincida con el accionar del interruptor en t=0 en su caso ms crtico, la ecuacin que define el voltaje del capacitor en el perodo de carga es: Vct+10=Vs+0-Vse-t+10R1C Vct+10=240+0-240e-t1000*2000*10-6 Vct+10=2401-e-t+102

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Grfica 1. Respuesta completa del voltaje del capacitor para la unidad de flash fotogrfico

Sin embargo, y para centrarnos en nuestro circuito, asumiremos el interruptor ha permanecido en su posicin original por un largo perodo de tiempo. Cuando el interruptor se acciona a t=0, la tensin del capacitor se descarga. La baja resistencia R2 de la lmpara permite una alta corriente de descarga con I2=Vs/R2 en un lapso breve. La descarga tiene lugar en aproximadamente cinco veces la constante de tiempo: tdescarga=5R2C tdescarga=5*12*2000*10-6 tdescarga=0.12[s] En esta instancia, la respuesta de este circuito es ms fcil de obtener, pues conocemos sus condiciones iniciales y finales: V0-=V0+=V0=240[V] ; V=0[V] Vct=V()+V(0)-V()e-tR2C Vct=0+240-0e-t12*2000*10-6 Vct=240e-125t3 La descarga, como es de esperarse, tendr una forma exponencial, como se observa en la Grfica 2. La respuesta completa de este circuito ser: Vct[V]=240 si t0David Espinosa Pgina 1


Grfica 2. Respuesta completa de la unidad de flash fotogrfico

Al ubicar un osciloscopio virtual entre los terminales del capacitor, se obtuvieron resultados similares a los obtenidos mediante los clculos:

Simulacin 1. Unidad de flash fotogrfico

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As, el circuito RC simple de la Figura 1 proporciona un pulso de corta duracin y alta corriente. Tal circuito tambin es aplicado en la electrosoldadura de punto y el tubo transmisor de radar.

Circuitos relevadoresUn interruptor controlado magnticamente se denomina relevador (o popularmente conocido como rel). Es esencialmente un dispositivo electromagntico que sirve para abrir o cerrar un interruptor que controla a otro circuito. En la Figura 2 se muestra un circuito relevador usual. El circuito de la bobina es un circuito RL como el de la Figura 3, donde R y L son la resistencia y la inductancia de la bobina. Cuando el interruptor S1 de la Figura 2 se cierra, el circuito de la bobina se activa. La corriente de la bobina aumenta en forma gradual y produce un campo magntico. A la larga el campo magntico es suficientemente fuerte para atraer al contacto mvil del otro circuito y cerrar el interruptor S2. En ese momento, se dice que el relevador est activado. El tiempo td entre el cierre de los interruptores S1 y S2 se llama tiempo de retraso del relevador. Los relevadores se emplearon en los primeros circuitos digitales y an se usan en circuitos de conmutacin de alta potencia.

Figura 2. Circuito relevador

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Escuela Politcnica del Ejrcito Circuitos Elctricos IIFigura 3. Circuito relevador para el anlisis

Analicemos entonces, la respuesta completa del circuito mostrado en la Figura 3. Para antes de t=0, tenemos que la corriente que fluye por el circuito es I(0)=0A. Para t>0, tenemos entre manos un circuito RL en serie. La corriente que atravesar la bobina cuando haya transcurrido un largo perodo de tiempo ser Vs/R, pues la bobina se comportar como un cortocircuito. En consecuencia: I=VsR=12200=350[A] La constante de tiempo estar determinada por: =LR=0.5200=2.5[ms] La corriente en el circuito estar determinada por: it=I()+I(0)-I()e-t2.5*10-3 it=350+0-350e-t2.5*10-3 it=3501-e-400t [A] As, obtenemos la respuesta del circuito, misma que se puede visualizar en la Grfica 3.

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Escuela Politcnica del Ejrcito Circuitos Elctricos IIGrfica 3. Respuesta completa de la corriente en el inductor del circuito relevador

Como hemos mencionado, estos circuitos relevadores poseen un tiempo de retraso del relevador. Determinar este tiempo de retraso no es muy difcil. Partimos de: it=I()+I(0)-I()e-t2.5*10-3 Sabemos que la corriente que fluir al final en el circuito es VsR. Tambin sabemos que inicialmente la corriente en la bobina es I(0)=0A, aunque este puede no ser el caso, as que de manera general asumiremos I(0)=Io. Si la corriente a la que se activa el relevador es Imin, el tiempo de retardo ser: Imin=VsR+Io-VsRe-RtL Imin*R=Vs+Io*R-Vse-RtL Imin*R-VsIo*R-Vs=e-RtL lnVs-Io*RVs-Imin*R=RtL tr=LRlnVs-Io*RVs-Imin*R Siendo este tiempo calculado en segundos [s]. Para la simulacin del circuito, usaremos el voltaje que cae sobre la bobina. Si sabemos que: VL(t)=Lditdt=0.5*ddt3501-e-400t A VL(t)=12e-400t[V] La Grfica 4 permite visualizar la curva de voltaje sobre el inductor:

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Grfica 4. Respuesta completa del voltaje sobre el inductor

Si el voltaje que obtengamos en la simulacin es similar al voltaje que acabamos de obtener, entonces el clculo de la corriente sobre el inductor habr sido el correcto. Luego:

Simulacin 2. Circuito relevador

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Obtenemos un pulso de 11.9[V], bastante aproximado a los 12[V] que se obtienen en los clculos, con lo que confirmamos que los clculos fueron correctos.

Circuito de encendido de un automvilLa capacidad de los inductores para oponerse a rpidos cambios de corriente los vuelve tiles para la generacin de arcos o chispas. Un sistema de encendido de coche aprovecha esa caracterstica. El motor a gasolina de un automvil requiere que la mezcla de combustible aire en cada cilindro se encienda en los momentos adecuados. Esto se logra por medio de una buja, que consta en esencia de un par de electrodos separados por un entrehierro.

Figura 4. Circuito de primer orden para el encendido de un automvil

Mediante la creacin de una gran tensin (miles de voltios) entre los electrodos, se forma una chispa en ese espacio, lo que enciende el combustible. Pero, como puede obtenerse una tensin tan grande de la batera del auto, que solo suministra 12V? Esto se logra por medio de un inductor (la bobina de chispa). Puesto que la tensin en el inductor V=L*di/dt, se puede aumentar di/dt generando un cambio de corriente alto en un tiempo muy reducido. Cuando el interruptor de encendido de la Figura 4 se cierra, la corriente a travs del inductor aumenta de forma gradualDavid Espinosa Pgina 3


hasta alcanzar un valor final de i=Vs/R donde Vs=12V. Tambin esta vez el tiempo que tarda en cargarse el inductor es cinco veces la constante de tiempo del circuito: tcarga=5LR Dado que en estado estable i es constante, di/dt=0 y la tensin del inductor v=0. Cuando el interruptor se abre de repente, se crea gran tensin en el inductor (debido al campo que rpidamente se colapsa), lo que provoca una chispa o arco en el entrehierro. La chispa contina hasta que la energa almacenada en el interruptor se disipa en la descarga. En los laboratorios, cuando uno est trabajando con circuitos inductivos, este mismo efecto causa un choque muy peligroso y uno debe tener cuidado. Lo verificaremos para los valores del circuito de la Figura 4. Supongamos que el interruptor tarde 1s en abrirse, y que antes de hacerlo, haya estado conectado un largo tiempo. La corriente que deber disiparse en el entre hierro es I=VsR=125A. El voltaje en el entrehierro VE ser igual al existente entre los terminales de la bobina. As entonces afirmamos: VE=Ldi(t)dt=LIt=20*10-31252*10-6VE=24KVLo cual ya es un alto voltaje

ComparadorMuchas veces los circuitos contienen diversos interruptores cuyo estado no cambia al mismo tiempo. Por ejemplo, puede haber dos interruptores en un circuito en el que el primero cambia de estado en el tiempo t=0 y el segundo se cierra en t=1ms. Se dice que estos circuitos poseen conmutacin secuencial. La conmutacin secuencial ocurre cuando un circuito contiene dos o ms interruptores que cambian de estado en instantes diferentes. Sin embargo, en algunas aplicaciones la conmutacin ocurre en valores predeterminados del voltaje en lugar de hacerlo en tiempos predeterminados. En la Figura 5 se muestra un dispositivo llamado comparador, que puede usarse para llevar a cabo esta conmutacin.


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Escuela Politcnica del Ejrcito Circuitos Elctricos IIFigura 5. Un comparador

Las corrientes de entrada del comparador son cero. El voltaje de salida del comparador ser uno de dos valores, dependiendo de los voltajes de entrada. La relacin es: Vsalt=VA si v+>v-VB si v+4R2C. En vista de que se desea una respuesta cualquiera, escogeremos =16 (la constante de tiempo). En consecuencia: C=12R=12*16*4=1128F Recordemos que se necesita que 02=1LC y que >0. Como la respuesta debe ser rpida, se selecciona la frecuencia natural 0, tal que (tener en mente que T=0.4s)David Espinosa Pgina 1


0=2T=20.4=5rads

En consecuencia L=102C=1252132=0.129H Con lo cual tenemos los valores de L y C. Calculamos los valores de s1 y s2: s1=-16+256-252-12.95 s2=-16-256-252-19.05 Con lo cual tenemos la solucin V(t): Vt=A1e-12.95t+A2e-19.05t [V]

Como V(0)=12, afirmamos: 12=A1+A2 [Ec.1] Para hallar otra ecuacin decimos: IL+IC+IR=0 0+0+CdV(0)dt=0dV(0)dt=0 0=-12.95A1-19.05A2 [Ec.2] Resolviendo el sistema entre [Ec. 1] y [Ec. 2], tenemos que A1=37.47 y A2=-25.47. Consecuentemente: Vt=37.47e-12.95t-25.47e-19.05t [V] Este V(t) permite obtener la Grfica 8. La potencia en la resistencia es: p=V2R=37.47e-12.95t-25.47e-19.05t24[W] Para t=0, la potencia ser de 36[W], y a 95ms, por ejemplo, la potencia es 11.49 [W]. El trabajo realizado ser entonces: w=1236-11.490.1=1.22[J] En vista de lo anterior, la bolsa de aire se disparar en menos de 0.1s, y se alcanza el objetivo. La Simulacin 6 confirma el comportamiento del voltaje sobre R en el circuito disparador de airbag.

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Grfica 8. Respuesta completa del voltaje sobre R, en el circuito disparador de Airbag

Simulacin 6. Circuito disparador de airbag

David Espinosa

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Celdas fotovoltaicasLas clulas solares son hechas con obleas finas de silicio, arseniuro de galio u otro material semiconductor en estado cristalino, convierten la radiacin en electricidad de forma directa. Ahora se dispone de clulas con eficiencias de conversin superiores al 30%. El uso actual de las clulas solares se limita a dispositivos de baja potencia, remotos y sin mantenimiento, como boyas y equipamiento de satlites y estaciones espaciales. La mayor parte de la interaccin que tienen los astronautas en las estaciones espaciales con el espacio exterior se realiza a travs de brazos robticos, mismos que basan su funcionamiento en breves impulsos elctricos que controlan servomecanismos y motores, que para el anlisis podra simplemente decirse son equivalentes a resistencias y bobinas. Las celdas fotovoltaicas poseen un comportamiento similar al de los capacitores, pues almacenan energa en forma de voltaje y sin embargo, tambin poseen un lmite mximo de energa, despus del cual dejan de almacenar. As pues, el funcionamiento de dichos motores podra representarse con el siguiente circuito:

Figura 10. Circuito equivalente de una celda fotovoltaica

Sin embargo, el tiempo que las celdas pueden almacenar voltaje es reducido. Analizaremos por ejemplo el circuito mostrado en la Figura 10. Digamos que la celda fotovoltaica ha estado conecta largo tiempo. Podemos decir por tanto que V(0-)=10[V] y I(0-)=0[A]. En t=0, la nave entra a la sombra proyectad por la tierra, as que el interruptor pasa a la posicin 2. Para t>0, tenemos un circuito RLC en paralelo. Las condiciones de continuidad requieren que: I0-=I0+=0A y V0-=V0+=10[V] Aplicando LCK tenemos: Ir+IL+Ic=0 V0+R+I0++Cd[V0+]dt=04 A. Electrnica, Automatizacin y Control Pgina 2


105+0+d[V0+]dt=0 d[V0+]dt=-2Vs Ahora determinaremos el tipo de respuesta que tendr el circuito: =12RC=12*5*1=110 0=1LC=12 d=02-2=02-2=710 Como

Aplicaciones básicas de los circuitos RLC

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