ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

MÉTODOS NUMÉRICOS DE SIMULACIÓN LINEAL-

EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PARA CIRCUITOS

RLC

TESIS PREVIA A LA OBTENCIÓN DEL TITU-

LO BE INGENIERO EN LA ESPECIALIZACION

DE ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES .

CARLOS MOSQUERA SOTOMAYOE

QUITO - NOVIEMBRE - 1979

C E R T I F I C A C I Ó N ;

Certifico que el presente —

trabajo ha sido realizado por

el Sefíor Carlos Mosquera S. ,

bajo mi dirección.

rr\Ingeniera Helena Vass

AGRADECIMIENTO

A mis profesores en la Escuela Politécni

ca Hacional y en forma particular a la -

Ingeniera Helena Vass, Directora de Te -

sis que con su valiosa dirección hizo p£

siole este trabajo, al igual que al Ing.

Edgar Torres Proafío, quien gustosamente-

atendi<5 mis inquietudes.

A mis padres, esposa e hijas.

Í N D I C E

Pag.

CAPITULO PRIMERO

INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO SEGUNDO g/

ESTUDIO TEÓRICO PARA RESOLVER CIRCUITOS EN GENERAL

2-1 Las leyes de Kirchhoff 7

2-1-1 Primera ley de Kirchhoff. ..» .*.* 7

2-1-2 Segunda ley de Kirchhoff 7

2-2 Análisis de circuitos,.*.. 8

2-2-1 Método de las corrientes de malla...... 8

2-2-2 Elección de las mallas .. 11

2-2-3 Número mínimo de mallas independientes 12

2-2-4 Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de ma-

.Lj-a..****«.**.»*««>*«**4>**»****»***'***« •*•••*•••**••••. i ¿L

2-2-5 Método de las tensiones en los nudos 15

2-2-6 Número de ecuaciones de tensiones en los nudos... 17

2-2-7 Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de nu-

dos 18

CAPITULO TERCERO

ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN EL RÉGIMEN TRANSITORIO EN FORMA GE!

NERAL

3-1 Introducción * *.» 20

3-2 Régimen transitorio en corriente continua.... 20

3-2-1 Régimen transitorio en circuitos RL,.. 20

IX

Pag.

3-2-2 Régimen transitorio en circuitos RC.... ............. . * 27

3-2-3 Régimen transitorio en circuitos RC referido a la car-

ga. ... .......... .... ....... .... ........ ............... 30

3_2-4 Régimen transitorio en circuitos RLC...» ......... ..... 32

3-2-4-1 Caso 1 (R/2L)2> 1/LC...** ............. * ....... . ....... 33

3-2-4-2 Caso 2 (R/2L)2= 1/LC ............ * ..................... 34

3-2-4-3 Caso 3 (R/2L)2< 1/LC .............................. .... 34

3-3 Régimen transitorio en corriente alterna.... .......... ¿>6

3-3-1 Régimen transitorio en circuitos RL con alimentación -

senoidal ........ * ...... ...... ........ . .............. .. 36

3-3-2 Régimen transitorio en circuitos RC con alimentación -

senoidal. ..... ..... *........*...««*•«...«. ....... ..«*. 39

3-3-3 Régimen transitorio en circuitos RLC con alimentación-

senoidal ....... .... ......... » . * ............ .... ...... . 40

3-3-3-1 Caso 1 (R/2L)2> 1/LC ........................... .. ..... 41

3-3-3-2 Caso 2 (R/2L)2=1/LC ................... . .............. 42

3-3-3-3 Caso 3 (R/2L)2< 1/LC .................................. 42

3-3-4 Régimen transitorio en circuitos de dos mallas ........ 43

CAPITÜLO^CUARTO

DE LA TRANSFORMADA DE LAPLÁCE

4-1 Introducción. .*..»..-...«............... 45

4-2 La transformada de Laplace 45

4-3 Aplicación al análisis de circuitos 47

4-3-1 Circuitos RC 47

III

Pag.

4-3-2 Ejemplo de aplicación para un circuito RC 49

4-3-3 Circuitos EL 53

4-3-4 Ejemplo de aplicación para un circuito RL . ..*. 55

4-3-5 Circuitos RLC . 57

4-3-6 Ejemplo de aplicación para un circuito:RLC ' 61

4-3-7 Fórmula del desarrollo de Heaviside 63

4-3_8 Circuitos EC con alimentación senoidal 65

4-3-9 Ejemplo de aplicación para un circuito EC con alimenta_

ción senoidal. . ,... 68

4-3-10 Circuitos EL con alimentación senoidal 72

4-3-11 Ejemplo de aplicación para un circuito EL serie con a-

limentación senoidal 74

4-3-12 Circuito ELC con alimentación senoidal..* 78

4-3-13 Ejemplo de aplicación para circuitos ELC con alimenta-

ción senoidal. 81

CAPITULO QUINTO -* (7)

APLICACIÓN DE MÉTODOS ÍJUMEEICOS PARA EESOLVEE EEDES ELC E IMPLE

MENTACIÓN Y DESCEIPCION DEL SISTEMA DE PEOGRAMAS DIGITALES PAEA

DETERMINAR SU SOLUCIÓN

5-1 Método de Euler para integración numérica 86

5-2 Aplicación del método de integración numérica para el-

condensador .....*.«.». 89

5-3 Aplicación del método de integración numérica para la-

bobina. •..»****»*..*...*.»•****•*•**••». 90

Pág.

5-4 Implementación y descripción del sistema de programas

para la simulación de circuitos ELC 91

5-4--] Cálculo de los parámetros en el instante de tiempo t

5-4-2 Resultados del análisis de circuitos por métodos num£

ricos 4 •. ....... .......>.. . 96

5_4_3 Programa principal del proceso*** * 98

5-4-4 Subprograma TSCMS 100

5-4-5 Su"bprograma LECTÜ 105

5-4-6 Su"bprograma CORR 111

5-4-7 Subprograma GAUSS 115

5-4-8 Subprograma RESP * 124

5-4-9 Subprograma ÁDKIT *........„ 12?

5-4-10 Subprograma DTRÁN. 1 29

5-4-10-1 Valores de las escalas en los dos ejes del plano*»..* 131

5-4-10-2 Determinación del lugar que ocupa un punto en el eje-

horizontal ..„..** ..>...«••*. 132

5-4_-|0-3 Determinación del lugar gue ocupa un punto en el eje-

vertical. .*.»*.»»**.*........ ....*.. 133

5-4-10-$ Determinación de los ejes del gráfico 134

5-4-10-5 Diagrama de flujo del subprograma DTRAN. 135

CAPIOULO SEXTO

Pag.

6-1 Ejemplo 1 : aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RC serie. 143

6-1-1 Análisis del circuito pata t = O 144

6-1-2 Análisis del circuito para t > O 144

6-1-3 Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y

RESP . *. 145

6-1-4 Datos para la ejecución del sistema de programas...*. 147

6-2 Ejemplo 2: aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RL serie . . .. 1 54

6-2-1 Análisis del circuito para t = O . 154

6-2-2 Análisis del circuito para t > O 155

6-2-3 Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y

RESP * 1 55

6-2-4 Datos para la ejecución del sistema de programas..... 156

6-3 Ejemplo 3: aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RLO serie 8 . 162

6-3-1 Análisis del circuito paÉa t = O 162

6-3-2 Análisis del circuito para t > O 163

6-3-3 Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y

RESP 164

6-3-4 Datos para la ejecución del sistema de programas..... 165

6-4 Ejemplo 4¡ aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RC serie con alimentación senoidal.... 171

6-4-1 Análisis del circuito para t = O 171

6-4-2 Análisis del circuito para t > O 172

VI

Pag.

6-4-3 Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y

RESP 173

6-4-4 Datos para la ejecución del sistema de programas 174

6-5 Ejemplo 5: aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RL serie con alimentación senoidal.... 179

6-5-1 Análisis del circuito para t = O 179

6-5-2 Análisis del circuito para t ? O 180

6-5-3 Ecuaciones que internienen en los subprogramas COER y

RESP 180

6-5-4 Datos para la ejecución del sistema de programas 181

6-6 Ejemplo 6: aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RLC serie con alimentación senoidal... 187

6-6-1 Análisis del circuito para t = O 187

6-6-2 Análisis del circuito para las condiciones generales. f]88

6-6-3 Ecuaciones que intervienen en los suoprogramas CORR y

RESP 1:89

6-6-4 Datos para la ejecución del sistema de programas..... 190

6-7 Ejemplo 7¡ aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RC de tres mallas 200

6-7-1 Análisis del circuito para t = O *. 200

6-7-2 Análisis del circuito para las condiciones generales* 201

6-7-3 Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y

RESP 202

6-7-4 Datos para la ejecución del sistema de programas..... 204

6-8 Ejemplo 8: aplicación del método de simulación lineal

en un circuito RLCM de dos mallas 212

VII

Pag.

6-8-1 Circuito equivalente con acoplo conductivo 212

6-8-2 Análisis del circuito para t = O 214

6-8-3 Análisis del circuito para las condiciones generales. 215

6-8-4 Ecuaciones que intervienen en los subpr o gramas CORE y

RESP * 21 6

6-8-5 Datos para la ejecución del sistema de programas 2t?

CAPITOLO SÉPTIMO

CONCLUSIONES 228

APÉNDICES

APÉNDICE AÍ manual de uso del programa de simulación lineal en

el dominio del tiempo para circuitos RLC.

APÉNDICE B: Estudio de autoinducción e inducción en forma

ral 257

BIBLIOGRAFÍA ...- „ 268

CAPITULO PRIMERO

1

Al aplicar las leyes de Kirchhoff a un circuito RLC cualquie -

ra, formado por tina o varias mallas, el resultado es, en general la

presencia de ecuaciones integrodiferenciales, las cuales al ser de-

rivadas, se transforman únicamente en ecuaciones diferenciales. Los

métodos clásicos de resolución de ecxiaciones diferenciales propor -

cionan la solución del problema eléctrico. Ahora bien, si las incóg

nitas son las intensidades de corriente de las diferentes mallas -

que componen el circuito debido a las tensiones aplicadas a cada u-

na de ellas, se tendrá como resultado una función para cada una de-

las corrientes,; la cual está definida por la suma de dos funciones.

Una de ellas corresponde a la intensidad de corriente en el régimen

transitorio que se determina por la solución de la ecuación homogé-

nea o función complementaria y que normalmente se anula a las pocas

fracciones de segundo» La otra función constituye la intensidad de-

corriente en el régimen permanente y que está determinada por la s£

lución particular de la ecuación diferencial completa, la cual per-

dura ¿mientras persiste la excitación*

Como se dijo anteriormente, el resultado de la aplicación de -

las leyes de Kirchhoff a circuitos RLC es, la obtención de una o -

más ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo, según la con

figuración del circuito. Estas ecuaciones como ya se había dicho, -

pueden ser resueltas utilizando los métodos clásicos para solución-

de ecuaciones diferenciales. Sin embargo, en muchas situaciones, no

conviene emplear dichos métodos. En el análisis teórico se incluye-

otro,. método para la solución de ecuaciones diferenciales, que es el

método dje la Transformada de Laplace, que proporciona la solución -

2

directa de una ecuación diferencial en determinadas circunstancias-.

Además si se presenta el caso de algunas funciones de forma irregu-

lar, es difícil manejar los métodos clásico^, y el método de I/apla-

ce, en cambio proporciona un procedimiento de resolución más cómodo

Puntualizando un poco más sobre la forma como responde un cir-

cuito RLC al ser excitado, se había hablado so"bre la existencia de-

do-s estados distintos que son: el estado transitorio, y el estado -

permanente. El estado transitorio depende principalmente de la natu*

raleza del circuito, y en menor grado de las características de la-

fuente de excitación. En lo que respecta al estado permanente en -

cambio, depende principalmente de las características de la fuente-

de excitación y en grado menor, de la naturaleza del circuito. Am -

"bos comportamientos se hacen presentes una vez que un cierto circui_

to ha sido alimentado por una fuente de excitación, pero, en un in-

tervalo muy corto de tiempo, partiendo desde el instante en que el-

tiempo es igual a cero, la presencia del estado transitorio predomi_

na sobre el estado permanente, y después de haber transcurrido una-

cierta cantidad de tiempo desaparece casi completamente, pasando el

predominio del estado permanente sobre el estado transitorio.

Aún cuando se reduzcan las dificultades para determinar el com

portamiento de circuitos RLC, utilizando métodos teóricos muy efica_

ees, cuando la complejidad del circuito es muy grande, al hacer el-

análisis correspondiente, aparecen varias ecuaciones diferenciales-

que definen dicho comportamiento y, la aplicación de métodos teóri-

cos—exige un gran esfuerzo,, y por consiguiente la determinación dé-

la solución deseada, se hace muy pesada* La finalidad del presente-

3

trabajo es suplir las dificultades anteriormente mencionadas, desa

rrollando un sistema capaz de determinar el comportamiento de cir-

cuitos RLC, de xma manera muy sencilla, fácil de aplicar y que no-

requiera de análisis muy complejos y profundos. Este sistema se de_

nomina: Métodos numéricos de simulación lineal en el•dominio del -

tiempo para circuitos RLC.

Utilizar métodos numéricos para la simulación lineal de cir -

cuitos RLC no es mas que, hacer uso de estos métodos para dar las-

facilidades necesarias que permitan establecer el comportamiento -

de dichos circuitos, como se verá en el transcurso del desarrollo-

del presente trabajo»

Al ha"blar del empleo de métodos numéricos para la solución 1:1

neal de circuitos, significa que se hace uso de algunos métodos nú

méricos en forma aislada, que lleven a un solo propósito, que es la

determinación de la solución de un circuito RLC» Es así como Ínter

—

viene un método numérico de integración de funciones que es el -

método de integración numérica de Euler. Este método por ejemplo

permite estblecer relaciones que definen el comportamiento, tanto-

del condensador como de la "bo"bina de una manera sencilla y diferen

te a las relaciones teóricas.

Teóricamente la variación del voltaje en un condensador puro,

así como la variación de la corriente en una "bobina pura están de-

terminadas por las siguientes ecuaciones;

V (t) =1 ( ic(t)dt (1-1)0 cJ c

para el condensador, e,

4

i V,(t)dt (1-2)

para la "botina*

Es decir que integrando lae .funciones que representan las e -

cuaciones (1-1) y (1-2), se determina la función que define la va-

riación del voltaje en el condensador y, la variación de la co —

rriente en la bibina»

El mismo objetivo puede obtenerse, como se verá más adelante,

utilizando el método de integración numérica de Euler, el cual es-

tablece las siguientes ecuaciones para los dos casos anteriores :

para el condensador, e,

para la bobina*

Tanto la ecuación (1-5) como la ecuación (1-4), tienen un fa£

tor "h" que se denomina paso, yaque es muy importante en la inte -

gración numérica de funciones» Su explicación requiere de una cier

ta amplitud, razón por la cual será detallado en el desarrollo del

método de integración numérica de Euler; en el capftulo Quinto*

Otro método numérico utilizado es el método para resolver un-

sistema de ecuaciones simultáneas, siendo el método de eliminación

Gaussiana el que se ha tomado para tal efecto, ya que en tun circuí

to formado por varias mallas, una vez que se ha hecho su análisis-

correspondiente aparecerían sistema de n ecuaciones con n incógni -

tas que definen el comportamiento del circuito*

Gomo un compendio de todo el trabajo presente, siendo este el

5

objetivo, se ha desarrollado un sistema de programas en el lengua-

je de programación FOHTRAH IV, para ser usado en un computador di-

gital, siendo dicho sistema, una herramienta fundamental para la -

simulación lineal de circuitos RLC»

Principalmente el sistema de programas exige para su ejecu -

ción un análisis previo que determine las ecuaciones nodales de e-

quilibrio, y que al final de su ejecución entregue como resultado-

la solución de un determinado circuito BLC»

La estructura del sistema de programas está hecha de tal mane-

ra que su utilización es fácil en todos sus aspectos*

El capítulo Primero, contiene.una introducción general de to-

do el trabajo» El capitulo Segundo contiene un estudio teórico ge-

neral de circuitos» El capítulo Tercero contiene un análisis de s-

circuitos RLC en el régimen transitorio» En el capítulo Cuarto se-

hace un estudio de circuitos BLC en el régimen transitorio, con la

aplicación del mltódo de Laplace para la solución de ecuaciones d¿

ferenciales, completándolo con ejemplos de aplicación. El capítulo

Quinto contiene un estudio de métodos numéricos para obtener la in

tegral de una función, conteniendo además el desarrollo del siste-

ma de programas en todas sus características* para la simulación -

lineal de circuitos BLC en el dominio del tiempo» En el capítulo -

Sexto se tiene el desarrollo de varios ejemplos, en los cuales se-

aplica los métodos de simulación lineal de circuitos HLC. El capí.

tulo Séptimo contiene conclusiones y comentarios referentes, tan -

to al desarrollo del sistema de programas como a los resultados ob

6

tenidos* El apéndice A contiene el manual de utilización del siste-

ma de programas* El apéndice E contiene un estudio de autoinducción

e inducción mutua en forma general.

CAPITULO SEGUNDO

ESTUDIO TEÓRICO PARA RESOLVER CIRCUITOS EN GENERAL

• Laa de Kirchhoff

2-1-1. Primera ley de Kirchhoff *-

La suma de las intensidades-

de corriente que llegan a un nudo es igual a la suma -

de las intensidades que salen de ¿1.

¿V

Fig* 2-1

Según la Fig. 2-1 se puede establecer que:

±1 + ±2 + i3 = i4 + ±5 (2-1)

(2-2)o bien i. + i + i, - i. - i,. = O

2-1-2. Segunda ley de Kirchhoff.-

En un circuito cerrado o ma-

lla, la suma algebraica de la fuerzas electromotrices-

aplicadas, o subidas de tensión, es igual a la suma al_

gebraica de las caídas de tensión en todos los elemen-

tos pasivos*

Pig. 2-2

En la Fi. 2-2 se puede ver que i

VA - VB « Hi + L(di/dt) (2-3)

o bien VA " YB " Hi " L(di/dt) =0 (2-4)

2-2. Análisis de circuitos

2-2-1* Método de las corrientes de malla.-

Las fuentes de ten-

sión en un circuito eléctrico originan unas corrientes

en las ramas que, a su vez, dan lugar a unas caídas de

tensión en los componentes del mismo* Resolver un cir-

cuito consiste en hallar las intensidades, en su senti^

do de circulación, en cada una de aquellas ramas, o -

bien determinar las caídas de tensión en cada uno de -

los componentes del circuito*.

Para aplicar el método de las corrientes de malla

se eligen, en primer lugar, lazos cerrados o mallas,-

asignándoles una corriente eléctrica. Estos lazos o ma

lias se llaman. "Corrientes cíclicas de Maxwell" o sim-

plemente, "Corrientes de malla", como se representa en

la Pig* 2-3* Acto seguido se escriben las ecuaciones,-

utilizando la segunda ley de Kirchhoff, para cada ma -

lia tomando las intensidades de aquellas corrientes cp_

mo variables desconocidas, i., i^ e i,, en el ejemplo,

y se resuelve el sistema de ecuaciones así formado* La

corriente en cada rama se halla mediante la primera -

ley de Kirchhoff y es o bien una corriente de malla -

(caso en que la rama pertenezca solo a una malla) o -

"bien lina configuración algebraica de dos corrientes de malla ( ca-

so en que la rama sea común a dos mallas).

HA , .He-CU-

VA

-en-

Fig. 2-3 Corrientes de mallas

en un circuito.

Por ejemplo i, la corriente en el elemento 2. es i., y la co

rriente en Z~ es15

- Í0, si i. «s mayor que i- o bien i0 - i. en-¿. I ¿. C. \o contrario (el sentido de circulación es el correspondiente a-

la mayor intensidad de las dos mallas contiguas). La caída de ten-

sión en un elemento cualquiera del circuito es el producto de la -

impedancia compleja del mismo por «1 fasor de la intensidad de co-

rriente que lo atravieza (el borne del elemento por donde entra la

flecha del sentido de la intensidad está a más tensión que por don

de sale).

Vamos a obtener el sistema de ecuaciones del circuito de tres

mallas independientes de la Fig. 2-3 aplicando a cada malla la se-

gunda ley de Kirchhoff» En la Fig. 2-4 aparece la primera malla a-

islada y se ha de verificar que la suma de las fuerzas electromo -

trices o subidas de tensión sea igual a la suma de las caídas de -

tensión.

10

VA

ig. 2-4 Malla aislada

La segunda malla no contiene fuente de tensión alguna; por

tanto, la suma de las caídas de tensión a lo largo de ellai , es ce

ro.

*= O

Para la tercera malla tendremos,

B

es decir,

(ZA

zc+

= V

= o

(2-6)

(2-7)

(2-8)

(2-9)

Este sistema de ecuaciones se puede obtener directamente. Pa-

ra ello, consideremos la primera malla, que aparece en la Fig» 2-4

en la cual, la corriente i. tiene el sentido de las agujas del re-

loj y las caídas de tensión en todos los elementos de esta malla -

son todas positivas» Ahora bien, por 7^ también circula la corrien

te i_ de la segunda malla, pero con sentido opuesto a i^ * Por tan-

to, la caída de tensión en ZB debido a Íp es -ZL,ip. La fuente de -

tensión Y. es positiva por tener el mismo sentido que i1 . En estas

condiciones aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la primera ma-

11.

lia -se obtiene la ecuación (2-8). Análogamente resultan las ecua -

cienes (2-9) y (2-10).

¿ Los términos "caída y subida" de tensión o potencial son más-

propios de los circuitos de corriente continua (C«JX)—en los que su\o es más claro que en los de corriente alterna (c.a.) en

donde los valores instantáneos de tensión y de intensidad de co -

rriente son unas veces positivos y otras negativos-*»» La segunda ley

de Kirchhoff en régimen permanente senoidal aplicada a una malla o

lazo cerrado dice; la suma geométrica de los fasores de tensión de

las fuentes activa» de la malla es igual a la suma geométrica de -

los fasores de caídas de tensión en las impedancias de la malla.

2-2-2. Elección de las mallas.-

La solución de un circuito por el -

método de las corrientes de mallav se simplifica extraordi-

nariamente eligiendo bien las mallas a considerar. Por ejem

pío, supongamos que en el circuito de la í*ig. 2-5 solo es -

necesario conocer la corriente que circula por la impedan -

cia Z-QÍ lo más cómodo será resolver el problema de forma -

que por Z,, no circule más que una corriente de malla,-es de_

cir, que dicha impedancia no pertenezca mas que a una malla.

En estas condiciones, solo habrá que determinar el valor de

la corriente de malla i... En la Fig. 2-5 se puede observar-

las nuevas mallas elegidas.

12¿Le ¿Lz.

\t

tí /

í\

¿)

^\ t6i.

Va

Fig. 2-5

El sistema de ecuaciones correspondientes a tal elección de

mallas es:

Va

(ZA + ZC*7 í _ L f 1 7 _ L í 7 l - i _ TT f O 1 3 NT) 2 D E' 3 B V¿"TÍ7

En cualquier caso, por cada elemento debe circular al menos-

una corriente de malla y no tiene por qué haber dos ramas con la -

misma corriente o igual combinación algebraica de corriente* En al

párrafo siguiente vamos a ver el criterio que permite saber la can

tidad mínima de mallas independientes para resolver un circuito. -

Si la cantidad de mallas que se adoptan es menor que la necesaria,

el sistema de ecuaciones no es válido.

2-2-3. Número mínimo de mallas independientes.-

Si el circuito es -

sencillo» el número de mallas necesarias se deduce facumen

te a simple vista. Para circuitos más complejos es preciso-

tener algún criterio que proporcione el número de ecuacio -

nes linealmente independientes» necesario para resolver el-

circuito en cuestión.

13

O) (e)

Fig. 2-6 TJn circuito, su grafo y su árbol

En la Fig. 2-6(b) se representa el grafo del circuito que f±_

gura a su izquierda, (a); los nudos han sido sustituidos por pe-

queños círculos y las ramas por líneas. La Pig. 2-6(c) muestra un

posible árbol del grafo que solo contiene ramas, las cuales no -

forman una malla o lazo cerrado. Sin embargo, este árbol no es tí-

nico * Las líneas de trazo continuo se llaman ramas del árbol y-

las de trazos, ramas de enlace. Cada una de las ramas de enlace

forman una malla única con las ramas del árbol. La cantidad de ma,

lias necesarias de un circuito es igual a la cantidad de ramas de

enlace; en el ejemplo que consideramos, esta cantidad es igual a

cuatro.

Se llega al mismo resultado anterior haciendo unos cortes en

las ramas del circuito de manera que cada uno de ellos, abra una

malla. Cuando no queda ninguna rama sin abrir, la cantidad de -

cortes efectuados corresponde a la cantidad de mallas independien

tes a considerar.

Otro criterio consiste en contar la cantidad de ramas y de-

nudos del circuito. La cantidad de mallas, o lo que es igual, la

cantidad de ecuaciones independientes que pueden formarse es:

. 14

Num* de ecuaciones = Num. de ramas - (num. de nudos - 1)

Por ejemplo en el circuito de la Fig. 2<-6(a), se tiene siete-

ramas y cuatro nudos. Por tanto, el ruinero de mallas independientes

es 7~(4«1) = 4, tal como se había visto anteriormente,

2-2-4. Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de malla*-

Las ecuaciones correspondientes a un circuito de tres-

mallas son, en notación general,

± Z31i1 ± 2|'|Í2 ±, Z35Í5 = V^ (2-16)

El coeficiente Z11 se llama impedancia propia de la -

malla uno, y es la suma de todas las impedancias del lazo ~

por las que circula la corriente de intensidad i. . Los coe-

ficientes Zpp y Z,, son las impedancias propias de las ma -

lias dos y tres respectivamente.

El coeficiente Z,. _ se llama copedancia de las mallas -

uno y dos, es decir gue se trata de la impedancia común a -

las mallas uno y dos, y representa, la suma de las impedan-

cias comunes a las dos mallas por las gue circulan las in -

tensidades de corriente i. e i , respectivamente. Es evi -

dente que Z. - = Z0 * Los coeficientes Z. , = Z,.,, Z0, = Z,-,-\ ¿\ 5\ $¿

son, análoga y respectivamente, las copedancias de las ma —

lias uno y tres, y dos y tres» El signo de las copedancias»

es positivo o negativo, según que las dos corrientes de ma-

lla sean del mismo sentido o de sentido contrario.

El termino independiente V1 es la suma algebraica de-

15'

las tensiones de las fuentes de la malla uno* Cada tensión de fuen

te se considera con un signo que es positivo si el sentido de la -

corriente que produce, del polo negativo al positivo, coincide con

el de la corriente de malla, y negativo en caso contrario, los tér_

minos independientes V^ y V, son la suma algebraica de las tensión

nes de fuente de las mallas dos y tres respectivamente»

2-2-5. Método de las tensiones en los nudos.-

Mediante la elección-

de lazos cerrados o mallas y la aplicación de la segunda -

ley de Kirchhoff ha sido establecido el método de las co -

rrientes de malla para la solución de los-problemas de cir-

cuitos» A continuación se planteará un nuevo método de solu

ción de circuitos con el cual se llegará a la misma eolu -

ciÓn, planteando un sistema de ecuaciones determinado por -

la aplicación de. la primera ley de Kirchhoff. Este método -

_ se llama, "el método de las tensiones en los nudos".

TJn nudo es un punto de un circuito, que es comuii a dos

o más elementos del mismo. Á cada nudo del circuito se le -

puede asignar un número o letra* En la Fig* 2-7 > se tiene -

que son nudos los puntos Á,B,1,2 y 3> siendo los nudos 1,2-

y 3 los nudos principales del circuito» La tensión en un nú

do es la tensión en este nudo respecto de otro, denominado-

"nudo de referencia"* En la Fig* 2-7 se ha elegido el nudo-

3» como nudo de referencia. Entonces, V : es la tensión en-

Como quiera que las tensiones en los nudos se tomen siempre

16

respecto de un nudo de referencia dado, se empleará la notación V1

en lugar de V y V en lugar de V ,1 "X, J P •*-»*e>«-i- **w y'V

A ?„ f *,- 2. ZE B

Fig» 2-7 Nudos de una red

El método de las tensiones en los nudos consiste en determi -

nar las tensiones en todos los nudos principales respecto del nudo.

de referencia* La primera ley de Kirchhoff se aplica a los dos nu-

dos principales 1 y 2 , obteniéndose así dos ecuaciones en las in-

cógnitas V1 y V * En la Pig* 2-8 se ha dibujado nuevamente el nudo

1 con todas las ramas de conexión. Se supone que todas las corrien

tes en las ramas salen del nudo. Como la suma de las corrientes -

que salen del nudo «s igual a cero se tiene?

V1 - 1 V1 - V2

ZA ZB ZC= o

Al establecer la ecuación (2-17) la elección de los sentidos-

de las corrientes» es arbitraria.

A Z* 1 ¿<=- Z 1 4¿ 2 ¿ e B

DI \. 2-8

Fig. 2-9

17

Repitiendo el mismo proceso con el nudo <2sde la Fig. 2-9» la

ecuación que resulta es:

V - V V V - Y_Il + ! 2 + A = 0 (2-18)

Agrupando en la ecuaciones (2-1?) y (2-18) los términos en V,

Y Vp, se ottiene el siguiente sistema de ecuaciones:

( — + — + — )V - (— )V = V í— )v Z * Z + Z'V1 VZ-/ 2 m Z/A B C G A (2_19)

-(•£— )V, + (— +~ ~ + "5~)vo = V" (— )

ZC 1 ZG ^ 2 n BTeniendo en cuenta que 1/2 = Y, el sistema (-2-19) P iede ser -

escrito en función de las admitancias, de tal manera que se trans-

forma en el siguiente sistema;

(Y. + Y + Yn)V, - YnV0 = YAVA B ° 1 C 2 A m (2-20)

- Vi + (YC + YD + YE)V2 - YEVn

2-2-6. Número de ecuaciones de tensiones en los nudos. -

Se puede ejs

cribir ecuaciones para cada uno de los nudos principales ex

ceptuando los nudos de referencia. En consecuencia, "el nú-

mero de ecuaciones- es igual al mSmero de nudos principales-

menos uno". Disponiendo del método de las corrientes de ma-

lla y el de las tensiones en los nudos, la elección de uno-

u otro en cada caso particular depende de la configuración-

del circuito* En un circuito con muchas ramas en paralelo —

tiene, normalmente, muchos más lazos que nudos, por lo tan-

to el método de las tensiones en los nudos es el más aplica_

ble en este caso, ya que exige menos ecuaciones para resol-

18

verlo. En otros casos, puede haber el mismo numero de mallas que -

de nudos o haber menos mallas que nudos. En todo caso debe elegir-

se siempre el método que proporcione menor número de ecuaciones.

2-2-7. Planteamiento directo del sistema de ecuaciones de nudos.-

Un circuito con cuatro nudos principales exige para su

solución tres ecuaciones nodales» En notación general el -

sistema queda planteado así:

Y V -4-Y Y + Y Y =iX11 1 + X12V2 + *13V3 Í1

Y V + Y Y + Y V = i (2-21 )*21 1 22V2 + 23 3 2 ^¿ ¿ i y

Y Y 4 - Y Y - 4 - Y V = iX31 1 32V2 + X33 3 3El coeficiente Y.- se llama admitancia propia del nudo

uno y es la suma de todas las admitancias conectadas al nu-

do uno. De igual forma, Y_. e Y_, son la dmitancias. pro

pias de los nudos dos y tres, respectivamente y representan

la suma de todas las admitancias conectadas a los nudos dos

y tres*

El coeficiente Y.- es la coadmitancia de los nudos uno

y dos y es la suma de todas las admitancias que unen ambos-

nudos. Y1p tiene signo negativo, como puede verse en la pri_

mera de las ecuaciones del sistema (2-20). De igual forma,-

Y e Y., son las coadmitancias de los elementos que unen *-

los nudos dos y tres, y uno y tres respectivamente. Todas -

las coadmitancias tienen signo negativo. Obsérvese que "£...,*=

La intensidad i. es la suma de todas las corrientes de

fuentes que pasan por el nudo uno* Una corriente que entra-

19

en el nudo tiene signo positivo; a la que sale del nudo se le asig

na el signo negativo. Las intensidades Í? e i, son la suma de las-

corrientes que pasan por los nudos dos y tres, respectvamente.

Por último, las tres ecuaciones nodales (2-21) pueden escri -

birse de la siguiente forma;

(2-22)

Resolviendo el sistema (2-22) se puede determinar los valore»

, V y V .

Y^ Y12 Y15

Y Y YX21 122 X23

Y Y Y31 32 X33

,í =

^

CAPITULO TERCERO

ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC M EL RÉGIMEN TRANSITORIO

EN FORMA GENERAL

3-1 . Introducción..-

Guando se hace pasar a un circuito de una cond;L

ción a otra, sea por un camt>io en la tensión aplicada o por -

modificación de uno de sus elementos, se produce un período -

de transición, durante el cual, las corrientes en las ramas y

las caídas de tensión en los elementos varían desde sus valo-

res iniciales basta otros. Transcurrido este período de tran-

sición, llamado "régimen transitorio", el circuito pasa a un-

estado o "régimen permanente".

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a un circuito que-

contenga elementos que almacenen energía resulta una ecuación

diferencial que se resuelve por los métodos conocidos. La so-

lución está formada por dos partes: la solución de la ecua • -

ciÓn homogénea o "función complementaria" y una "solución par

ticular" de la ecuación completa. En el sistema de ecuaciones

de análisis de circuitos, la función complementaria tiende a-

cero en un tiempo relativamente corto y es la parte transito-

ria de la solución. La solución particular es la respuesta en

el régimen permanente. Los métodos aplicados en este caso por

los cuales se ottiene la'solución particular son; generalmente

largos y engorrosos y nunca tan directos. Sin embargo la apli.

cación de dichos métodos permite profundizar en el sentido f!£

sico de la respuesta en régimen permanente como parte de la -

respuesta directa*

3-2. Régimen transitorio en corriente continua

5-2-1. Régimen transitorio en circuitos RL.-

21

En el circuito serie EL de la Fig. 3-1 > al cerrar el interru£

tor se le aplica una tensión constante V* La segunda ley de Kir -

chhoff conduce a la ecuación diferencial

Ri 4- L di _ '¥ (3-1)dt

V ~

Fig. 3-1

Utilizando la notación del operador D = d/dt y despejando -

V/L se tiene:

f D H. N, V , .( + L A - L (3-2)

La ecuación -(3-2) es una ecuación diferencial lineal de pri-

mer grado de la forma:

| - ay = n o bien ( D-a )y = fí . (3-3)

Siendo D = d/dx, a una constante y # una función de x, pero no de

y. La solución completa de la ecuación (3-3) esta formada por una-

f unción complementaria y una solución particular, y es:

Y = Ye + Tp = Ce3* + e^f e"3**? dx (3-4)

en donde C es una constante arbitraria determinada por las condi -

cienes iniciales del problema. Según la ecuación (3-4)» la- solu -

ción de la ecuación (3-2) es:

n -(E/L)t -(R/L)t f (R/L)t wi = Ge v 7 ' -i- e x / ' I e / I \t (3-5)

L

de donde se obtiene

22

i = Ce"(R/l) + V (3-6)

Para hallar la constante G hacemos t=0 en la ecuación (3-5)—

y sustituímos la corriente i por el valor inicial io. Esta corrien

te inicial es la corriente que aparece inmediatamante después de -

cerrar el interruptor* La autoinducción está relacionada con la '

tensión y la corriente por las expresiones

v = L di e i =~fv dtr1 ~ ~' lí 1

la segunda expresión nos dice que cualquiera que sea la tensión a-

plicada, la corriente que circula por una bobina ha de ser una fun

ción continua. Por tanto, si la corriente es igual a cero para un-

tiempo t=0-, tiene que ser nula para un tiempo t. = 0+, sustituyen-

do en la ecuación (3-6), se tiene el valor de la constante C.

- io = O « 0(1) + V/R o bien C = - V/R (3-7)

y llevando el valor de la expresión. (3-7) a la ecuación (3-6) re -

sulta

V _ V,i- - v_ e + - ( \

R

Esta expresión representa un crecimiento exponencial, como se o"b -

serva en la Fig. 3-2. El gráfico muestra el período de transición-

durante el cual pasa la corriente desde su valor inicial nulo has-

ta el final V/R del régimen permanente»/ 4

V/R

2 3 Y

Fig. 3-2

23

La constante de tiempo € de una función como la definida en la e -

cuación (3-8) es el tiempo para el cual el exponente de 'e' es igual

a la unidad. Así para el circuito EL, Z = L/R segundos, para 1 t -

la cantidad dentro del paréntesis en (3~8) toma el valor (1-e ) -

(1 - 0,368) = (0,632). Para este tiempo, la corriente es el 63,2 %

de su valor final* De igual forma para 2£, (1 - e ) = (1-0,135)=

0,865, y la corriente es el 86,5 % ¿e su valor final. Después de -

5 Z" , generalmente, se considera terminado el régimen transítorio.-

Por conveniencia, la constante de tiempo es la unidad que se utili

za para representar gráficamente la corriente dada por la expresión

(3-8).

Otro ejemplo puede ser la caída exponencial, representada en-

la Pig 3~3> con Is, consiguiente ecuación

f(t) = A e~u* (3-9)

En donde la constante de tiempo, con la definición dada, e s T

-1para el valor 1 2" , e. ='0,368 y la función hat>rá -caído al 3^,8 % -

—2de su valor inicial A* Para 2 T , e = 0,135 y la función es ahora-

el 13,5 % de A. Después de 51 se considera terminado el régimen -

transitorio.

24

La tensión transitoria en loe elementos del circuito RL-se ob

tiene a partir de la corriente* En estas condiciones, la tensión -

en bornes de la resistencia está dada por la expresión;

Btí. - Hi -

y en los bornes de la bobinas

VT Ldi = Id<( V ,, -(R/L)tNdt dt R 11 ~ " '

= -(R/L)t

(3-10)

(3-11)

v = Ve

La-tensión transitoria en la resistencia es una exponencial -

creciente con la misma constante de tiempo que la corriente, mien-

tras que en la botina es una exponencial decreciente, pero cons la

misma constante de tiempo» La suma de Vn y VT satisface la ley de-It L

Kirchhoff en el período transitorio. (Véase Pig. 3-4)

V K

VL

1 2. 3 *t 5

Fig-, 3-4

- e^AH) + ve"(R/L)t - V (3-12)

La potencia instantánea en cualquier elemento del circuito -

viene dada por el producto de la tensión y la corriente* Así, la -

potencia diecipada en la resistencia es:

V-

= V(1 -R

(5-13)

25

y en la "botinas

P = V i = VR

- e

R

Por lo tanto la potencia total es:

(3-14)

(3-15)

En la í*ig. 3*5 se han representado las tres funciones poten -

2 2cia, siendo los valores en régimen permanente PR y PT»V /& y Ri *-

en donde i representa la intensidad de corriente en régimen perma-

nente. La potencia transitoria en la "bobina tiene su valor inicial

y final nulos y es la potencia que corresponde a la energía almace_

nada en el campo magnético de la misma* Para demostrarlo, integra»

mos PT desde cero a infinito»L

_, OQ

001835

26

El circuito RL de la Fig* 3-6 tiene una corriente inicial -s

En el instante « O se conmuta el interruptor a la posisidn 2 que

elimina la fuente y pone en cortocircuito a la rama RL serie» ApljL

cando la segunda ley de Kirchhoff al circuito sin fuente tendremos

la ecuación:

Ldi Hidt +

e O o bien (D + | )i =0

cuya solución es i =

(3-16)

(3-17)

Pe£ra t = O, la corriente inicial es iQ = V/R. Sustituyendo en-

la ecuación (3-1?) C = V/R, con lo que la ecuación de intensidad -

de corriente queda:

< ir *-(-fr/k)"t (TL - I Q \ _ JL e W~T*U

" R

Este decrecimiento o cafda exponencial se representa en la -

ig* 3-7(a)* Las tensiones correspondientes en bornes de la resis-

(3-19)

(3-20)

tencia y de la bobina son:

-(S/L)t= Ri = Ve

« Ldi = -Vedt

»(R/L)t

Representamos en la Fig. 3-7(b). La suma V^ + VT satisface la ley-K It

de Kirchhoff ya que, con el interruptor en la posisiÓn 2, la ten -

si<5n aplicada es igual a cero« Las potencias instantáneas están da

. v2 2(RA)t

R

. 3-7

^ (o)

32

La carga en régimen transitorio es "una exponencial creciente-

basta un valor final CV, Entonces, si se analiza un circuito cómo-

el de la 3Pig. 3-10, tomando como base la carga, el resultado es un

decrecimiento de la carga desde el valor CV como representa la si-

guiente ecuación:

-t/fiCq = CV e (3-42)

CV

Ca)

3-13

En la Pig. 3-l3(a) se ha trazado la función lq; en carga y de_s

carga, representándose las funciones de intensidad correspondien-

tes en la Fíg. 3-13("b). Como la carga q tiene que ser una función

continua, q = CV para t1 ( - •) y"-rt' ( + ), mientras que i es í —

gual a cero para t1 ( - ), y vale -'V/fí para t1 ( + ).

3-2-4. Régimen transitorio en circuitos RLC.-

Aplicando la segunda

ley de Kirchhof£' al circuito serie RLC de la Jfig. 3-14 se

obtiene la siguiente ecuación integrodiferencial.

idt = V (3-43)Ri + Ldi + j_ fdt cJ

ñ

L: C

33

Fig. 3-14

derivando la ecuación (3-43) s« obtiene;

Rdi iLd2i o tien RL

1 (3-44)

que es una ecuación lineal diferencial de segundo grado y homoge -

nea cuya solución particular e» igual a cero. La función complemen

taria puede ser de tres tipos según los valores relativos de fi, L-

oy C» Los coeficientes de la ecuación característica 3) +(ü/Ii)D + 1

LC«= O, son constantes y las raíces son;

D! —

-H/L + (R/Ii.) ~ 4/LC2

I: -H/L - (H/L) 4/LC" 2

(3-45)

(3-46)

haciendo^ -R/2L y/5 «=/(R/2L)2 - 1/LC

entonces; DI = <* + s3 y D2 = ** - *& (3-47)

El subradical o( 9 puede ser positivo, cero o negativo y la so

lución es, entonces,; amortiguada': supercrítica, crítica y subcríti_

ca (oscilatoria) respectivamente.

3-2-4-1* Caso 1 (R/2L)2>1/LC .-

Las raices D1 y Dp son reales y -

distintas, dando lugar al caso de amortiguamiento super —

34

crítico. La ecuación (3-44) se puede escribir, entonces, en forma-

de producto

y la intensidad de corriente es;

<¿ + /3 ) t -. í °c — /¿> ) t *+ do e • O

x = e

i*: t, +

3-2-4-2. Caso 2 (H/2L) = 1

& "t. \O .-

Las raíces !D: y E' son iguales y

la solución corresponde al caso de amortiguamiento críti-

co. En forma de producto, la ecuación (3-44) se convierte

en:

(S

cuya solución es

,o¿ti « e" (Ct

2 ,3-2-4-3- Caso 3 (B/2L)

(3-49)

= O (3-50)

(3-51)

/I.C.-

Las raices D-) y D2: son complejas-

conjugadas y la solución corresponde al caso de amortigua_

miento subcrítico u oscilatorio. Definiéndoos igual como-

antes y/3> = 1/1/LC - (E/2L) , la forma de producto de la-

ecuacidn con operador esí

cuya solución viene

i = e

La intensidad

sos el factor e*

i = o

dada por:

Cos/3 t + 0:2 Sen/3 t)

(3-52)

(3-53)

de corriente contiene, en todos los ca

y como oC = -2/RL, el valor final es i

gual a cero. GaranlJizando gue la función complementaria -

35

desaparece, en un tiempo relativamente corto. Los tres casos se es_

quematizan en la jfig. 3-15» cuando el valor inicial es cero y la -

pendiente inicial es positiva.

) Caso 1

0>) Caso 2

(el) Caso 3

3-15

3-3» Régimen transitorio

3-3-1. Régim

senoidal• -

En el

cerrar el

En dicho momento

un punto

lo de fase t|)

radianes por

chhoff se obtiene

ení corriente alterna

transitorio en circuitos RL con alimentación -

interruptor

cualquiera

pued

segundo

Ri Ldi+ dt

circuito serie RL de la Fig, 3-16 al-

se aplica una tensión senoidal*

, la función de tensión puede estar en

del período y, por tanto, el ángu-

e tomar valores desde cero hasta 277"-

, aplicando la segunda ley de'Kir-

la siguiente ecuación:

Vmáx Sen(wt + (()) o "bien,

l>) . (3-54)(L -í- R)i = ymáx Sen(wtL L

/

Vmáx

La función

luci<5n particular

Fig. 3-16

complementaria ess in =o

^ ' '

es: i =

, y la so

Sen(

w.t + (t»)dt & Vmáx Sen(wt + Ó - arctg wL/R), la -

solución completa, por tanto es:

,.< _p.-(VL) + Ymáx Sen(wt+<í)-arctg wL/R)212

(3-55)

tes de cerrar el circuito la

es igual a cero. Por consiguiente, para t-0

io=0= 0(1) 4- Vmáx

La "bobina impide cualquier cambio "brusco de corriente y, como an-

intensidad es cero, se deduce que io

Sen($ - arctgwL/R)T>E 4- w

2J2

r\x Sen( (j> - arctg wL/R )

V R¿ + w V

sustituyendo en (3-55)» la- intensidad es

Sen(d)-arctg wL/R) + Ymáx Sen(wt+(|)

R 2-2-

to. Si ( (j) - arctg wL/R) =

le cero y la corriente pasa

R 4- w

- arctg

El primer sumando de la ecuación (3~56) contiene el factor e ^ ' '

que se anula en un tiempo relativamente corto. La expresión entre-

corchetes es, simplemente, una constante, cuyo valor depende del -

momento del ciclo ((' en el que se ha producido el cierre del circuí

, siendo n~1,2,3»«- la constante va-

directamente al régimen permanente. Y-

si ( ()' - arctg wL/R) es igual a (1 + 2n)7T/2, el régimen transito-

rio tendrá la amplitud máxima posible»

El segundo sumando de la ecuación (3-56) es la intensidad de-

corriente en régimen permanente retrazada respecto a la tensión a-

plicada un ángulo arctg- wL/R. Esta solución particular, obtenida -

anteriormente por integración, puede determinarse por el método de

los coeficientes indeterminados* El método es aplicable, cuando la

función de entrada es una función Seno, un Coseno o una exponen -

cial, ya que en estas funciones las derivadas sucesivas repiten el

mismo conjunto de funciones. Para aplicar el método a la ecuación-

38

(3-54), en la que el segundo miembro es Vmáx Sen( wt + ()) ), supo-

nemos una intensidad particular,

ig = A Cos(wt + (j) ) + B Sen (wt + $) (3-5?)

en la que A y B son constantes. La primera derivada vale

i'U = -AwSen(wt + <\>) -(- BwCos(wt + 0) (3-58)

Sustituyendo estas expresiones de i& e i'p, en la ecuación (3-54) T

se obtiene:

-Aw Sen(wt + (}) + Bw Cos(wt + $)

+ fí A Gos(wt -f $) + B Sen(wt -h ([)) =

LYmáx Sen(wt + (|)) (3-59)L

agrupando términos semejantes,

(-Aw + B H/L)Sen(wt + (J») + (Bw + A fl/L)Cos(wt + (j>)

= Vmáx Sen (wt + (p) (3-60)L .

e igualando los coeficientes de dichos términos, se obtiene las e-

cuaciones en A y B

-Aw + B R/L = Ymáx/L (3-61)

y Bw -f A R/L = O

de donde A = -wLVmáx y B = KYmáx (3-62)«2 2T2 ^2 2T2R - l - w L R.+ w L

sustituyendo los valores encontrados de A y B, en la ecuación -

(3-57)9 se obtiene la intensidad de corriente

i':¿= -wLYmáx Gos(wt + 0) - RYmáx Sen(wt + (¡)) ' (3-63)Ts2 2T2 ^ 2 2 2R + w L R + w L

o bien i^ = Vmáx Sen(wt + $ - arctg wL/R) (3-64)r ,rr^ 272"

V R + w L

que es la misma gue la solución particular obtenida antes por in-

tegración.

39

3-3-2. Régimen transitorio en circuitos RC con alimentación senoi-

dal.-

En el circuito serie RC de la Fig. 3-17» al cerrar el

interruptor se tiene aplicada una tensión senoidal. La se-

gunda ley de Kirchhoff conduce a la ecuación;

Ri + Ifidt = Vmáx Sen(wt + (f) (CJ

íOv

?. 3-17

Derivando la ecuación (3-65) '.- teniendo en cuenta la-

notación del operador D, resulta

(3-66)

la función complementaria es í'^= C e~~ (3-67)

y la solución particular, obtenida por integración o por co_

eficientes indeterminados, es

1 \ wVmáx Cos(wt + (j1)RG }l = R~

1' • ;= Vmáx Sen(wt + (() + arctg 1/wCR ) (3-68)

+ (1/wC)2

Por tanto, la solución completa es:

. .i=Ce

t/RC' Ymáx Sen(wt + C¡) + arctg 1/wCR ) (3-69)

+ (1/wC)2

para determinar la constante C hagamos t=0 en la ecuación -

(3-65); la corriente inicial es, entonces, io=Vmáx Sen (¡* .R

rf'J

40

Sustituyendo el valor de la corriente inicial en la ecuación ( 3—

69) y haciendo t=0, resU]Jtj[r >

Ymáx Sen ((> = C(1 ) + Ymáx Sen( (|) + arctg 1/wCR )(3-70)

R ^R2 + (1/wO)2

o bien C=7máx Sen(l>- Ymáx Sen( $ + arctg 1/wCR ) (3-71 )R ,/ m2 f i «\

l¿ + (1/wO)'

llevando el valor de la ecuación (3~71) a la ecuación (3- 9) se -

obtiene el valor completo de la intensidad de corriente

1=6" ° f Ymáx SenQ - Ymáx Sen((l) -I- arctg 1/wCR )

Ymáx ^Sen(wt + (}' + axctg 1/wCE )

El primer sumando es el transitorio con un factor de decreci-

miento e ' , La magnitud entre corchetes es una constante. El se

gundo sumando representa la intensidad de corriente en el régimen-

permanente que va en adelanto de fase, respecto de la tensión apli

cada, en un ángulo arctg 1/wGR.

3-3-5- Régimen transitorio en circuitos RLC con alimentación senoi

dal.-

Al cerrar el interruptor en el circuito RLC de la Fig.

3-18, se le aplica una tensión senoidal* La ecuación resul-

tante es;

(3-73)Ri + Ldi +: '1 ( idt = Ymáx Sen(wt + (Ji)dt C J

£^-o

Fig.. 3-T8

41

Derivando la ecuación (3-73) y teniendo en cuenta la notación

operacional resulta

( :D 2 + | D + r l ) i = w Ymáx Cos(wt + <l») (3-74)L -L-G' L

La solución particular se obtiene por el método de los coefx -

cientes indeterminados en la forma siguiente: suponemos 3p=ACos(wt

+ (t) -í- BSen(wt + (()). Se calculan después i1^ e i'£> y se sustituye -

en la ecuación (3-73)- Los valores de A y B se determinan entonces-

igualando los coeficientes de los términos semejantes, como;:"<se hizo

en el caso del circuito serie EL. Expresando el resultado como fun-

ción de un solo Seno, la solución particular es:

iv= Ymáx Sen(wt+4)+arctg(l/wC-wL) ) (3-75)

+ (1/wO - wL)

La función complementaria es idéntica a la del circuito ELC en

corriente continua, que ya fue estudiada y cuyo amortiguamiento es-

crítico, supercrítico o subcrítico (oscilatorio), segiín los valores-

de R,L y C.

3-3-3-1 . Oaso 1 (H/2L)2 > 1/10 .-

Las raices son reales y distintas^

dando lugar al caso de amortiguamiento super crítico. D^ =

o¿ +^ , D^ = c¿ - X? , siendo c = -R/2L '

. «:t,_ /3-t n, -/3t% r ,i=e (Ce + C.pe }+ Yrnáx

I t-, i p

J\/E2 + (1/wC - wL)2 (3-76)

,Sen(wt+(|)+arctgCl/wC-wL) )E

42

3.3-3-2. Caso 2 (R/2L)2 = I/LO .-

Las rafees son reales y distintas-

dando lugar al caso de amortiguamiento crítico. La intesi-

dad de corriente es:

f SU*) + Vmáx

/E2 + (1/wO -

Sen(wt + (|) arctg(l/wC - wL) ) (3-7?).E

3-3-3-3. Caso 3 (R/2l)2< 1/LC .-

Las raices son complejas conjuga -

das resultando el caso de amortiguamiento supercrítico u -

oscilatorio, y la intensidad de corriente completa es:

i=e (QjtCos t -i- C Sen t) - (

+ Vmáx Sen(wt+(j)+arctg(l/wC-wL)

^ + (1/wC - wL) R

Las soluciones particulares de las ecuaciones (3-76)» (3~

77) y (3-78) son idénticas, mientras que la corriente tran

sitoria dada por la función complementaria es diferente en

cada caso. Por ejemplo, en el caso 3 la- parte transitoria-

contiene un conjunto de funciones senoidales de pulsacidn-

/} radianes por segundo, que es, en general, distinta de w-

de la solución particular. En consecuencia, es imposible -

predecir la forma de intensidad de corriente durante el pe_

rfodo transitorio, siendo muchas veces muy irregular.. TJna-

vez que el factor de decrecimiento ha anulado la parte -

transitoria, la corriente adelanta o retrasa en fase res -

43

pecio de la tensión aplicada, según los valores relativos de las -

reactancias 1/wC y wL, un ángulo arctg (1/wC - wL)/R.

3-5-4. Régimen transitorio en circuitos de dos mallas*-

Al aplicar-

la» leyes de Kirchhoff al circuito de dos mallas de la í"ig.

3-19 conducen al sistema de ecuaciones diferenciales s

+ SÍ = V (3-79)R1Í1 + L1

g/di/dt

Rt

Li

LZ

3-19

"utilizando la notación operacional y agrupando los términos

semejantes se tiene:

(3) + R,/L^)ij -f (R../L, )Í0 *

(R1/L2)i1 + (D )i2 = Vi,

o tien en forma matricial,

"D + H1/i1 n,/B L D 4- (E+K)/L Vi

(3-80)

Con objeto de tener una ecuación de ±1 independiente de

, se puede resolver el problema por la regla de Cramer.

*

44

Una vez que ha sido aplicada dicha regla se obtiene la siguien

te ecuación para i-:

R2L1 + R1L2)B E1R2 (3-61)

2La ecuación característica es de la forma D + AD + B = O, pe-

2ro como en este caso» A - 4B>0, para todos los valores de lascons

tantes del circuito (siempre que ni L1 ni L sean nulos), la fun ¿ —

ción complementaria es de la forma dada en la ecuación (3-49)* Como

la función de entrada es constante, una solución particular es la -

constante que satisface la ecuación:

^ Í1P = VE2/L1L2 o bien ±1p » V/ (j-82)

De igual forma si se aplica la regla de Cramer para obtener u-

na ecuación de i? independiente de i1 * resultará la siguiente;

R1R2

hV^j= o (3-8?)

La ecuación característica para este caso es la misma que la -

de (3-81) y, en consecuencia» las funciones complementarias son i -

¿ínticas. Sin embargo, la solución particular de i- es cero, ya que

la ecuación es homogénea»

El examen del circuito muestra que esto es perfectamente razo-

nable ya que, en régimen permanente, L1 aparece como un corto cir -

cuito de la rama R«-L? derivando de este modo la corriente de esta-

rama» Entonces, E. es la única impedancia limitadora en el régimen-

permanente y, por tanto» la corriente es i. V/R, tal como se mués -

tra en la ecuación (

CAPITULO CUARTO

ANÁLISIS DEL RÉGIMEN TRANSITORIO EN CIRCUITOS RLC

POR EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

4-1. Introducción.-

En el capítulo tres hemos estudiado la corriente

en el régimen transitorio en circuitos que contienen elementos

capaces de almacenar energía. Aplicando las leyes de Kirchhoff

a dichos circuitos resultan una o más ecuaciones diferenciales

en el dominio del tiempo, de acuerdo a la configuración que -

tenga el circuito. Estas ecuaciones pueden ser resueltas por -

los mfodos clásicos. Sin embargo, en muchas situaciones, no es

conveniente utilizar esos métodos, debido a la complejidad del

proceso que lleva a la solución deseada, razón por la cual se-

vera otro método que se llama de la transformada de Laplace, -

que proporciona la solución, directa de una ecuación diferen -

cial en determinadas circunstancias. Además en el caso de algu

ñas funciones de forma irregular, no es posible manejarlas con

facilidad por los métodos clásicos y el método de Laplace, en-

cambio, proporciona una solución muy viable*

4-2. La transformada de Laplace.-

Sea f(t) una función de t, defini

da para todo t >0; la transformada de Laplace, que se expresa-

con el símbolo ec[f(t)J , se define por:

</ ff(t)J = P(S) = f f(t) e"stdt (4-1)

en donde el parámetro S puede ser un número real o complejo. -

en las aplicaciones a la teoría de circuitos, S = o- + jw. La o

peración £. ff (t) J transforma una "función f(t), en el "dominio -

del tiempo", en una función P(S), en el "dominio de la pulsa -

ción compleja o dominio de la variable S". Estas dos funció-

46

nes f(t)fi forman un par de transformadas» Existen tablas en donde -

se encuentran estos pares de funciones. Las transformadas de la Ta-

bla 4-1 son suficientes para los fines que se persiguen en el pre -

senté trabajo;

1.

2*

3.

4*

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13-

14.

15-

16.

f(t)

A t ¿0

At t£ 0

-ate

4- ~atte

Sen wt

Cos wt

Sen (wt + 0)

Cos (wt + 6)

-at» .e Sen wt

-a,t.- j.e Cos wt

Senh wt

Cosh wt

df/dt

f f ( t ) dt

f(t - ti)

. f l ( t ) + f2(t)

P(S)

AS

AS*

1S + a

1(S + a)'

wS2 + a*

SS* + w2

S Sen 6 + w Cos GS* + w*

S Cos 9 - w Sen 6S* + w-2

w(S + a)*+ vz

(S + a)(S + a)^+ w^

wS¿ - w¿

SS -2 - w ¿

S F(S) - fíO4")

P(S) . f1(0+)S + S

e"t1S F(S)

P1(S) + P2(S)

Tabla 4-1• Transformadas de Laplace

47

Las condiciones suficientes para la existencia de la transfor

mada de Laplace son que la función f(t) seat

a).- Continua a intervalos yf

b).~ de orden exponencial»

La función f (t) es de orden exponencial si | f(t)| Ae:¿ para-

todo t^-to, siendo A y to constantes positivas. Si cumplen estas -

condiciones, la integral de la transformada directa es convergente

para todo <r>c< » y existe F(S). En el análisis de circuitos, to-

das las funciones cumplen con las condiciones (a) y (b).

4-3- Aplicación al análisis de circuitos

4-3-1. Circuitos HC.-

En el circuito serie RC representado en-

la Fig* 4-1 «1 condensador tiene una carga inicial qO-

con la polaridad indicada en el esquema. Al cerrar el-

interruptor, debido al generador de tensión constante-

V, y a dicha carga inicial, circula una corriente de -

intensidad variable i, de manera que aplicando la se -

gunda ley de Kirchhoff se obtiene la sigílente ecua -

diferencial:

Ri + 1 f i dt (4-2)cJ

}

. 4-1

48

LLamando l(S) a la intensidad de corriente en el dominio de S-

y aplicando la transformada de Laplace a cada término de la ecua -

ción (4-2) resulta:

I CBÍ] + /[i f idt] «¿v (4-3)i c J J

EI(S) + l£B) -f f^CO*) « V (4-4)es es s

ahora bien f" (O ) *= f idt / = q(0+). La carga inicial qO es -r) /O"1*

positiva en la armadura superior del condensador, la misma que la-

del borne superior del generador V. Por tanto el signo es positivo»

Introduciendo qO en la ecuación (4-4) quedas

£ í(s) + i(s) , 30 »= v (4-5)os es s

Agrupando términos y sacando factor común l(s), queda

\£í + no/ Q ™* fir,WD O uO

con lo que l(s) 1 / no/r1 1- s t V - qO/C; (R + 1/SC)

*= v - qQ/c 1 (4-7)R (S + 1/BC)

La ecuación (4-7)> «n el dominio de la variable S, tiene su —

correspondiente i en el dominio del tiempo, la operación por la -

cual F(S) se convierte en f(t) se llama la transformada inversa de_|

Laplace» y se representa por el aímboloj? [í"(s) J = f(t). En la Ta

bla 4-1 se observa que la función F(S) del par de transformadas 5

equivale al término 1/(S -f- 1/RC) d« la ecuación (4-7). Así, pues,-

de la definición de la transformada inversa de Laplace y de la ta-

bla se deduce;

= ( Y - VO g

R L S 4- 1/RC

- v - Ve *~t/HG (4-8)E

La ecuación (4-8) t en el dominio del tiempo, es la corriente-

variable que circula por el circuito de la Fig. 4-1 » <lue comienza-

a circular en cuanto se cierra el interruptor de dicho circuito, -

cuyo condensador contiene lina carga inicial O.

En la ecuación (4-5)» en el dominio de la variable S, ya se -

había introducido las condiciones iniciales y, en consecuencia, la

ecuación que resulta de la transformación inversa contiene dichas-

constantes.

Obsérvese que por simples operaciones algebraicas en (4-6) y-

(4-7), la función l(S) se ha reducido a uno de los dos tipos que a¿

parecen en la tabla 4-1 9 facilitándose de este modo la obtención -

de la transformada inversa de Laplace.

4-5-2. Ejemplo de aplicación para un circuito RC.-

En el circuito -

serie RC representado en la Fig* 4-2 la carga inicial del -

Q -6condensador es H0 = 2,500 x 10 culombios. En el instante-

t = O se cierra el interruptor, con lo que al circuito se -

le aplica una fuente de tensión constante V = 100 voltios.-

Hallar la intensidad de la corriente que circula aplicando-

el método de la transformada de Laplace.

lOOv - 50-vF

4-2

50

La ecuación del circuito en el dominio del tiempo, después de-

cerrar el interruptor, es:

Hi + 1 f i dt e V o "bienC J

101 + 1 f i dt = 100 (4-9)

50x10 J

Aplicando la transformada de Lapl'ace a los términos de la ecuaciÓn-

(4-9) se obtiene la ecuación en el dominio de la variable S,

10 I(S) + 'I(S) + qQ = 100 (4-10)

50x10" S 50x10 S S

Como se muestra en el circuito, la polaridad de la carga O

es opuesta a la correspondiente de la fuente; por tanto, la ecua-¿l

ción en el dominio de la variable S' es:

10 I(S) + I(S) - 2.500x1O"6 = 100 (4-11)

50x10"6S 50x10"6S S

Agrupando términos l(S) f 10S + 2x104 ) 150 (4-12)1 S I* S

o bien I(S) = 15 (4*13)

S + 2x105

aplicando ahora la transformada inversa de Laplace resulta la fun-

ción del tiempo:-' ^1 -?Ylfr-'

Jj ] = 15 e ¿X1Ü

2x11

i . 15

Una vez que se ha determinado la ecuación (4-14) Be puede dar

valores a t con el fin de encontrar los distintos valores de la va

riación de corriente, para el circuito de la Fig. 4-2«

La forma como se va a determinar la variación de la corriente

es tomando intervalos pequeños de tiempo y reemplazándolo* en la e-

51

cuación (4-14)»

Para el presente ejemplo se determina Intervalos de tiempo:

* - 40.ÍOO <4-15>

Con el intervalo de tiempo (4-15) »e determina la siguiente -

tabla para 65 diferentes valores de la corriente del circuito de la

Fig. 4-2.

Para t = O i = 15

Punt Corrien Pxint Corrien Punt Corrien Punt Gorrien Punt Corrien

(amp)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14.

13*

12.

12.

11.

11.

10.

10.

9-

9.

8.

8.

7.

27

57

91

28

68

11

57

05

56

10

65

23

83

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

(amp)

7.45

7.09

6.74

6.41

6.10

5.80

5.52

5.25

4.99

4.75

4.52

4.39

4.09

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

(amp)

3.89

3.70

3.52

3.35

3.18

3.03

2.88

2.74

2.61

2.48

2.36

2.24

2.13

40

41

42

43 .

44

45

46

47

48

49

50

51

52

(2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

amp)

• 03

.93

.84

.75

.66

.58

.50

.43

• 36

.29

.23

.17

.11

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

(amp)

1.06

1.01

0.96

0.91

0.87

0.83

0.79

0.75

0.71

0.68

0.64

0.61

0.58

Tabla 4-2

VAKIACION 33E LA COHHIKHTB EN UN CIRCUITO RC SERIE

ro

4-3

Vari

ació

n de

la

corriente

para e

l circuito

RC

del e

jmplo

4-3-2.

53

En la Fig» 4-3 > s« tiene la representación gráfica de la varia

ci<5n de la corriente para el circuito del ejemplo 4-3-2, de acuer -

do a los valores que se encuentran en la tabla 4-2»

4-3-3. Circuitos RL.-

Al cerrar el interruptor en el circuito serie-

RL de la Fig* 4-4» debido al generador de tensión constante-

V, circula una corriente de intensidad variable i de inanera-

que, según las leyea de Kirchhoff,

Ri + L di (4-16)dt

V

Fig. 4-4

»• Aplicando directamente la transformada de I/aplacé a cada tér

mino resulta;

[fiij + ¿ F L di 1 -¿[vi (4-17)1 Jdt

R I(S) + S LI(S) - Li(0+) = V (4-18)S

La corriente inicial i(0 ) en un circuito RL, que es i-

gual a cero antes de cerrar el interruptor, también lo es pa

ra el tiempo t = O"*", sustituyendo i(0 ) «= O en la ecuación -

(4-18) queda:

I(S) (R + SL) «= V/S (4-19)

de donde» l(s) _ V 1 V / 1 x 1 (4-20)" S (R + SL] * L <• S ) S 4- R/L

54

La función en la variable S de la ecuación (4-20) no aparece-

directamente en la tabla 4-1; sin embargo si se escribe en la for*-

ma Á/S + B/ (S + R/L), teniendo en cuenta los pares 1 y 3» toman

do en cuenta también el par 16 que indica la función total en el -

tiempo, que es la suma de dos funciones de tiempo, es decir;

P " ! T«M /"d \L ~&of C i _ fl /4^ _i_ fjf 4- \£ L J! I £>/ T- J ^ y o ^ J — II^T^ 4- I¿.^Ty«

Para obtener la suma deseada se descompone el segundo miembro

de (4-20) prescindiendo de la constante V/L, en una suma de dos -

fun cione s;

J A _,_ B _ A(S + R/L) + BS (4-21)S(S -»- R/L) " S S + R/L " S(S -t- R/L)

Le los numeradores se deduce la siguiente ecuación en el dominio -

de la variable S;

1 « (A + B)S + AR/L (4-22)

igualando los coeficientes de los términos de igual grado en S re-

sulta:

A + B = O, A = L/Rf B = - L/R (4-23)

Mediante las fracciones simples indicadas, con A y B determinadosy

la ecuación (4-20 ) se convierte en?

I(S) I « . r-L -S S + R/L H S S + R/L

Aplicando lae transformacione 1 y 3 de la tabla 4-1 se obtiene la-

expresión de la transformada inversa, es decir,

i =ví r'\i] /f_i U (4-25)Rl ^ l s J w o L L S + B/LÍ J

con lo que i - V (1 - « . - - ) (4-26)R

La ecuación (4-26) es el conocido crecimiento exponencial dé-

la intensidad de corriente al valor S/R del régimen permanente.

55

4-5-4» Ejemplo de aplicación para un circuito RL.-

En el circuito -

serie EL representado en la Fig* 4-5 ee cierra el interrup-

tor en el instante t = O, con lo que al circuito se le apli.

ca una tensión constante de 50V. Hallar la intensidad de cp_

rriente que circula por el circuito.

2.5-0.sr

O. Oí

. 4-5

La ecuación en el dominio del tiempo es:

25i -f 0,01 di _ 50 (4-2?)dt ~

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (4-27) -

se obtiene;

25 I(S) + 0.01 S P(S) - f(0+) = 50/S (4-28)

en el instante t = O f (O ) *= 0« Por lo tanto la ecuación -

(4-28) queda:

25 i(s) + ó.01 s i(s) = 50/s (4-29)

de donde l(s) = 5000r 1 v (4-30)V S(S + 2500) '

La ecuación (4-30) puede transformarse en:

I(S) = 5000( A £ ) (4-31)S S + 2500

Tomando únicamente la parte interna de los paréntesis—

de la Be. (4-31) y sacando factor comú*n, e igualando a la -

. 56

parte interna de los paréntesis de la Ec* (4-30) se obtiene:

(A + B)S -»- 2500 A = 1 (4-32)

igualando los coeficientes de los términos de igual grado en S, rje

sulta;

A + B « O, A = 1/2500, Bs» - 1/2500 (4-33)

Mediante las fracciones simples indicadas, con A y B determinados,

la Ec. (4~30) se convierte ens

= 5000( _J 1 ) (4-34)

1(8) =2(1 1 ) (4-35)s s + 2500

Aplicando las transformaciones 1 y 3 de la tabla 4-1 se obtiene la

expresión de la transformada inversa, es decir,

(4-36)S + 2500

con lo que i = 2(1 - e " ) (4-37)

Una vez que se ha determinado la función representada en la -

Ec. (4-37)i la cual indica la variación de la corriente en el cir-

cuito serie RL de la Fig. 4-5» ee determinarán diferentes valores-

instantáneos de corriente, a intervalos pequeños de tiempo, con el

fin de determinar la tabla 4-3*

para el presente ejemplo se determina intervalos de tiempor

t = 1/50000 (4-38)

Con el intervalo de tiempo (4-38) se determina la siguiente -

tablascon 65 diferentes valores instantáneos de corriente.

Para t = O, i = O amp»

57

Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien

(amp) (amp) (amp) (&BP) (amp)

1

2

3

4

5

6

7

. 8

9

10

11

12

13

0.10

0.19

0.28

0.36

0.44

0.52

0.59

0/66

0.72

0.79

0,85

0.90

0.96

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

.01

,06

.10

.15

-19

.23'

.26

»30

.33

• 37

.40

.43

.45

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

.48

.51

.53

.55

.58

.60

.62

.63

.65

.67

.69

.70

• 72

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

1*73

1.74

1.76

1.77

1.78

1.79

1.80

1.81

1*82

1.83

1*84

1.84

1.85

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

1.86

1.8?

1.81

1.88

1.88

1.89

1.90

1.90

1.91

1.91

1.91

1.92

1.92

VARIACIÓN DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO RL SERIÉ

Tabla 4-3

En la Fig. 4-6, se tiene la representación de la respuesta £

del circuito serie RL del ejemplo 4-3-4» en forma gráfica, de a -

cuerdo a los valores instantáneos de corriente indicados en la ta-

bla 4-3.

4-3-5. Circuitos RLC.-

Al cerrar el interruptor en el circuito se -

rie RLC representado en la Fig. 4-7f debido al generador de

tensión constante V, circula una corriente de intensidad va

riable i de manera que;

«t-

i.o

Fig

. 4-

6 V

aria

ción

de

la

corr

ient

e en

el

circ

uit

o R

L de

l

ejem

plo

4-3-

4.

\j\D

Ri + 1 ( idt + L di = VC J dt

59

(4-39)

R

L

r c

Fig. 4-7r

Aplicando directamente la transformada de Laplace a cada termino -

resultas

(4-40).

(4-41)

c dt .

RI(S) + IÍS) -i- f"1(0+) + SLI(S) - Li(0+) « Ves es t s

ahora bien, f" (O*) = f idt/ «. qío"1"), la carga inicial qÓ es posiJ ¡O ~

tiva a la armadura superior del condensador, la misma que la del -

"borne superior del generador V, por lo tanto, el signo es positivo»

La corriente inicial i(0 ), que es igual a cero antes de cerrar el

interruptor, tamMé*n lo es para el tiempo t = O , sustituyendo las

dos condiciones iniciales, en la ecuación (4-41) queda:

(4-42)RI(S) -i- I(S) + 0 + SLI(S) = VGS CS S

de donde;

V - (4-43)^ S + RS/L + 1/LC

La función en la variable S de la ecuación (4-43) no aparece-

dir'ectamente en la tabla 4-1^ Sin embargo, si se escribe de la for

ma i

60

A / U S ~ ( - R + ,/ (R)2 - 4/LC )/2 ]L V L

/ , 2 ~¡ —+ B/[S - (- R - j/ (R.) - 4/LC )/2} teniendo en cuenta el par

L » L3» y el par 16, indica que la función total de tiempo, es la euma-

de dos funciones del tiempo; esto es L [íl (s) + F2(S)]= fl(t) +

f2(t)* Para obtener la suma deseada se descompone el segundo miem-

bro de (4-43) prescindiendo de la constante ( V - 0/G)/L en una -

suma de dos funciones.

1 = A

S j . W P j . ' l o i ~D \( ~o\T rio T _! mi_ o T ft ~.\y jiy "• lL LC 2L V C 2 L ) LC

(4-44)R_)r - i_

2L <2L) LC

de los dos numeradores se saca la sigiiiente ecuación en la varia -

ble S;

1 « (A + B)S+ A(R/2L + V/ (R/2I.)* - 1/LC )

+ B(R/2L - /(R/2L)2 - 1/LC ) (4.45)

Igualando los coeficientes de" igual grado en S,

A + B = O (4-46)

por lo tanto;

A = 1/ 2 \/(R/2L) - 1/LC, y B 1/ 2 /(R/2L)2- 1/LC (4-4?)

Mediante las funciones simples indicadas, con A y B determinados -

en (4-47)? la ecuación (4-43) se convierte ens

i(t) = Y ~ VC . 1 e"Rt/L( e 2L LC-e 2L L^^L /7ñ72 ~ . .

(S ) - 1_ (4-48)2L LC

4-5-6. Ejemplo de aplicación para un circuito RLC.-

En el circuito-

serie RLC representado en la Fig. 4-61 no existe carga in¿

cial en el condensador. Si se cierra el interruptor en el -

instante t = O, hallar la intensidad de corriente que circu

la por él.

5Gv —

r. 4-8

La ecuación del circuito escrita en el dominio del tiempo -

es;

Ei + Ldi/dt + 1 (' i dt =: VG J

(4-49)

Aplicando la transformada de I/aplace a cada uno de los tér-

minos de la Ec. (4-49) f se obtiene la ecuación en el dorai -

nio de la variable S*

RI(S) + SLI(S) - Xs

(4-50)se se

Las condiciones iniciales son: Li(0 ) = O, y 0/SC = O* Si-

se reemplazan las constantes del circuito en la Ec« (4~50),

y los valores de los elementos resulta;

2I(S) + 1S I(S) + I(S)/0.5 S = 50/S (4-51)

de donde:

I(S) = 50/(S2+ 2S + 2) *= 50/(S + 1 + ¿)(S-»-1-j) (4-52)

DeBarrollando la Ec* (4-52), en fracciones simples;

I(S) = Í25/(S + 1 + J) - J25/(S + 1 -ó) (4-53)

•* . 62

Aplicando la transformada inversa de Laplace a (4-55) s« dedu

ce el valor de la intensidad de corriente en el dominio del tiempo,

i = J25(e("1-5:)- e("1+d)) - 50 e^Sent- (4-54)

una vez determinada la función que representa la variación de

la corriente en el circuito serie fíLC, s* determinarán algunos va-

loree instantáneos de corriente, con el fin de representar grafi -

camente dicha variación*

Debido a la función Sent, que aparece en la Ec. (4~54)> s« -

grafizará toda la función que representa la Ec. (4-54), en un in -

-W^& tervalo total de 477'seg, tomándose para llegar al objetivo deseado,

100 valores instantáneos de corriente. Por lo tanto, para cada va-

lor instantáneo de corriente se considera intervalos pequeños de -

tiempo, de valor:

t = 4 /100 (4-55)

_ Considerando el intervalo de tiempo (4-55) se determina la tabla -

4-4- i

En el instante de tiempo t = O, la función total de la Ec.

(4-54) es igual a cero.

Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Gorrión

(amp) (amp) (amp) (amp) (amp)

1 5*52? 9 14-600 1?. 4-985 25 0.000 33 -0.668

2 9,671 10 13.534 ^f: 4.012 26 0.239 34 -0.631

3 12.625 11 12.328 19 3.144 27 -0.418 35 -0.585

4 14.571 12 11.046 20 2.381 28 -0.546 36 -0.533

5 15.679 13 9.742 21 1.721 29 -0,630 37 -0.477

6 16.104 14 8.456 22 1.160 30 -0.678 38 -0.421

7 15-985 15 7.220 23 0.691 31 -0.696 39 -0.365

_ . 8 15.448 16 6.058 24 0.307 32 -0.691 40 -0.312

63

Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien

(amp) (amp) (amp) (amp) (amp)

41 -0.262 53 0.024 65 0.013 77 -0.001 89 -0.001

42 -0.215 54 0.027 66 0.011 78 -0.001 90 -0.001

43 -0.173 55 0.029 67 0.009 79 -0,001 91 =0.000

44 -0.136 56 0.030 68 0.007 80 -0.001 92 0.000

45 -0.103 57 0.030 69 0.006 81 -0.001 93 0.000

46 -¿0.074 58 0.029 70 0.004 82 -0.001 94 0.000

47 -0.050 59 0.027 71 0.003 83 -0.001 95 o.ooo

48 -0.030 60 0.025 72 0.002 84 -0.001 96 0.000

49 -0.013 61 0.023 73 0.001 85 -0.001 97 0.000

50 0.000 62 0.021 74 0.001 86 -0.001 98 0.000

51 0.010 63 0.018 75 0.000 87 -0.001 99 0.000

52 0.018 64 0.016 76 0.000 88 -0.001 100 0.000

VARIACIÓN DE LA CORRIENTE EN OT CIRCUITO RLC SERIE

Tatla 4-4

En la Fig. 4-9? se encuentra representada la variación de la

corriente para un circuito serie RLC, correspondiente al Ejemplo-

4-3-6.

4-3.7. Fórmula del desarrollo de Haaviside.-

La fórmula de Heavis

de, establece que la transformada inversa de Laplace del -

Cociente l(s) «-P(S)/Q(S) es:

¿ r '(g)l =V F(ak) eakt (4-56)LQ(S) J L- Q'(ak)

en donde los coeficientes ak son las n raices distintas de

Q(S).

2 - 5 / V^

.^S5. OZ

7-53

16.0 V

tZ.SS

Fig. 4

-9 Va

riac

ión

de l

a co

rrie

nte

en e

l ci

rcui

to R

LC d

el ej

mplo 4

-3-6,

65

Aplicando este desarrollo de Heaviside a la expresión de la -

intensidad de corriente en el dominio de la variable S al caso si-

guiente:

1(8) = PÍS^ m S - 1. (4-57)

Q S' S2 + 3S + 2

Encontrando las raices de Q(S) se tien«:

Í(S) _ S - 1 (4-58)"~ (S + 2)(S + *)

Ahora bien P(S) = S-1 y Q(S) « S2 + 33 + 2, por lo tanto Q'(S) es-

igual a 2S + 3> y las raices de Q(S) son:

•é 2 y s|:= -1

P(S) 1 = PÍ-2) e " *+ pf-1) e "

De la ecuación (4-56) se obtiene;

i -/fas)LO(S)

= 3«~2t- 2e-* (4-59)

4-3"8« Circuitos RG con alimentación Senoidal *-

En el circuito se -

rie HC representado en la Pig. 4~10> «1 condensador tiene -

una carga inicial con la polaridad indicada en el esquema. -

Al cerrar el interruptor, debido al generador de tensión Se_

noidal v, y a dicha carga inicial %) del condensador, circu

la una corriente de intensidad variable i, de modo que apli_

cando la segunda ley de Kirchhoff al circuito se obtiene la

siguiente ecuación diferencial:

RiC

+ 1 f i dt A Sen(wt -I- 6-) (4-60)C J

27

En la Fig» 3~7(c) se representan las potencias instantáneas-

PT, y PT • si PT fie integra desde cero hasta infinito se ve que la-R L 1»

energía discipada es igual a- la energía almacenada en el campo -

2magnético durante el régimen transitorio previo, 1_ Li . Durante

2el transitorio, esta energía se transfiere a la resistencia*

3-2-2. Régimen transitorio en circuitos RC.-

Aplicando la segunda-

ley de Kirchhoff al circuito RC de la Fig. 3-8- resulta la-

ecuación diferencial siguiente:

1 f idt + Hi = V (3-21)C J

y derivando;

iC

Rdidt

o bien

. 3-8

La solución de esta ecuación homogénea solo contiene -

la función complementaria, ya que la solución particular es

igual a cero* Por lo tanto,

i - Ce'*/110 (3-23)

Para determinar la constante C, obsérvese que la ecua-

ción (3-21) para t = O es RiQ = V o bien iQ = V/R. Sustitu -

yendo el valor de i- en la ecuación (3*23) se obtiene el va_

28

lor de C = V/R para t = 0. Entonces,

-t/RCi = V eR

(3-24)

La ecuación (3-24) tiene la forma de una caída exponencial,

3-9(a).

Las correspondientes tensiones transitorias son:

(3-25)

Vn = 1C C

= V(1 (3-26)

He. 3-9 ^"' (o)

y aparecen representadas en la Fig. 3~9(t>)* La& potencias instanta

neas son:

PE = V

R

e-2t/RC)

(3-27)

(3-28)

Las potencias instantáneas pD y pn se encuentran representa -ti u

das en la Fig. 3-9(c).

La potencia transitoria pn> cuyos valores inicial y final sono

nulos, corresponde a la energía almacenada en el campo eléctrico -

del condensador con una tensión constante V entre sus placas. Pue-

de comprobarse por integración de p_ desde cero hasta infinito.

)dt = 1 CV2

(3-29)

En el circuito serie RC de la Fig. 3~10 se tiene puesto el inte

rruptor en la posisión 1 el tiempo suficiente para que se esta"blej5

ca el régimen permanente y, en el instante t = O, se conmuta a la-

posisiÓn 2. Con el interruptor en esta posisión la ecuación del

circuito es:

1. f idt + Ri = O ó , _ 1( D + RC

.=0 (3-30)

cuya solución es

i. Ce'*/110 (3-3D

Para determinar la constante G se hace t = O en la ecuación -

(3~3*0 y se sustituye la corriente inicial io. Como el condensador

se carga a una tensión V con la polaridad indicada en el esquema,-

la corriente inicial es opuesta a i; en consecuencia io = -V/R. Bn_

tonces C = - Tf/R y la intensidad de corriente es:

i = - V e"R

(3-32)

Y —

. 3-10

Este decrecimiento transitorio se ha representado en la

3-11(a). Las tensiones transitorias correspondientes, en los ele-

mentos del circuito son:

« Ri =--t/sc

30

(3-33)

(3-34)

O

satisface a la ley de Kirchhoff ya que no hay ninguna tensión apli

cada con el interruptor en la posisión 2. Las potencias transito -

rias son:

Vn * 1 f idt = V<C J

Se representan en la Fig 3-1100 • Obsérvese que VR +

2 -2t/HC= V

pp = V_i = - V¿ -2t/RCL» U* -o e

(3-35)

(3-36)

Se representan en la Fig". 3-11 (c). No hay ninguna fuente res-

ponsable de pp, pero es evidente que la energía almacenada en el -

condensador se transfiere a la resistencia durante este régimen -

transitorio. Al realizar la integración de pQ entre cero e infini-

2to se obtiene que es igual a - ¿. CV .

2

i/

(a)

Fig. 3-11

3-2-3. Régimen transitorio en circuitos RC referido a la carga. -

En

un circuito serie RC es conveniente, con frecuencia, cono «

cer la ecuación que representa la carga transitoria q. Entonces, -

puesto que la intensidad de corriente y la carga eléctrica están -

relacionadas por i = dq/dt, se puede obtener dicha intensidad, por

simple derivación respecto del tiempo.

En la Fig. 3-12 se ha cargado el condensador con la polaridad

que se indica ya que lq' tiene el mismo sentido que i en la Fig. 3~8

la ecuación referida en la intensidad de corriente es:

idt + Ri = V (3-37)1 f ±<C J

R.

Fig. 3-12

y puede escribirse en la carga sustituyendo i por dq/dt. Por

to,

R bien B + -C T dt ~ '

"utilizando el método seguido en la deducción de la ecuación -

(3-5)» la solución es

q. = C e-t/HC + CT (3-39)

Para t = Q, la carga inicial del condensador es qo = O y

qo = O = 0(1) + CV o bien C = -CV (3-4Q)

llevando a la ecuación (3-39) este valor de C, se obtiene;

g = OT( 1 - e" 0) (3-41)

66

R

Pig. 4-10

Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (4-60) se obtienes

R'J(S) 4 I(S)/CS 4 'VCS = A/ S SenQ 4 vCosBy (4-61)^ S 4 w* ;

Despejando l(S) de la ecuación (4-61) queda;

1 ( [5 ( L

A(S Sen9 + w Cos0) .o2 2S 4 w

_ qO/C t \)S + 1/RC-i " S -f 1/RCJ

A una parte de la Ec. (4-62) se le puede aplicar la transfor-

mada inversa de Laplace en forma directa, de acuerdo a la Tabla (4

-1 par 3»

La parte que no se puede aplicar directamente la transformada

inversa de Laplace, según la tabla 4~1 es;

A(S Sene + v Cos9)C2 2S + w S -t- 1/RC

(4-63)

De acuerdo al desarrollo de Heaviside para encontrar la trans

formada inversa de Laplace, se tiene que;o

P(S) = AS Sen0 4 AS \?Cos0 (4-64)

J, Q(S) « S3 4 S2/RC 4 Sw2 4 w2/RC (4-65)

Le la ecuación (4-65) se puede determinar Q'(s) y es:

Q'(S) = 3S2 4 2S/HC 4 w2 (4-66)

67

Las raices de la Ec. (4-65) son:

51 =jw

52 = -jw (4-67)

53 = -1/RC

Por o tanto la transformada inversa de Laplace para la Ec. (4

-63) deberá contener tres partes, las cuales serán determinadas

por las tres raices de Q(S), que aparecen en (4-67)*

Para S = jw, la transformada es:

r1AvEC Cos -9 ~ AwRC SenQ ejwt (4-68)2j - 2wRC

Para S - -jw, la transformada inversa es:

.UwRC g.ose + ÁwEC Sene e" wt (4-69)2j + 2wEC

Para S = -1/RC, la transformada inversa es:

Á Sene - ÁwEC Cose e~1'RO (4-70)

Sumando algébricamente las ecuaciones (4-68) y (4-69) se ob -

tiene:

A(wRC)2Sen(wt + e) + AwRC Cos(wt + Q) (4-71 )

1 + (wRC)2

En la Ec. (4-62) la transformada inversa de (qO/C)/(S + 1/RC) se -

obtiene directamente a partir de el par 3 de la tabla 4-1

/'[ VC I =!oe-1/RC (4-72)Ls + 1/RCJ C

Sumando las ecuaciones (4~70), (4-71 ) Y (4-72), se obtiene la ex -

presión de la variación de la corriente del circuito RC.

i = 1 f A(wRC)2Sen(wt + &) + AvRG Cos(wt + Q)R L 1 -f (WRC)* :

+ A Sene - AwRC CosQ e"1/EC- 0 e"1/RG ] (4-73)

(wRC)2

68

4-3-9» Ejemplo de aplicación paxa un circuito RC con alimentación-

Senoidal.-

Al circuito serie RC representado en la Fig. 4-11

se le aplica una tensión senoidal v = 180 Sen(2000t +6) -

voltios y el condensador tiene una carga O = 1250x10~ cu -

lombios. con la polaridad indicada. Hallar la intensidad dé-

la corriente que circula por el circuito si se cierra el in

terruptor en el instante en que 6 = 90 *

Fig. 4-11

La ecuación del circuito en el dominio'del tiempo, es;

40i + 1 f idt = 180 Sen(2000t + 90°) (4-74)

25x1O"6 J

Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (4-74) -

resulta la ecuación en el dominio de la variable S.

q^4025x10~6S 25x10"6S

180 f S Sen 90°- 2000 Cos 90°(4-75)L " 2 6 J

S + 4x10

Introduciendo en (4-75) el valor de la carga inicial O,

o o = 180S/(S +

, 69

o bien I(S)= ' 4.5. S2 _ _ 1.25 (4-76)

(§2+ 4x10 )( S + 103) S + 103

Aplicando la fórmula del desarrollo de Eeaviside al téVmino-

4*5 S2/(S2+ 4x106)(S + 10"5) resulta:

P(S) « 4-5 S2, Q(S) = S5+ 103S2 + 4x106S + 4x109, Q'(S) =

5S2+ 2x103S + 4x10 ; de Q(S) se obtiene S1 « -J2x105; S2 « J2x103t

y S5 = - 10 . En estas condiciones,

Q1 (-J2x105) Q1 (Ó2x103) Q' (-103)

-1-25--105'dando como resultado:

1 0 +i = -1.8 Sen2000t + 3.6 Coe2000t - O.?5e ^ (4-77)

Una vez que ha sido determinada la función que representa, la

variación de la corriente, para el circuito serie HC, se determina

rán varios valores instantáneos, para dicha corriente, puesto que-

de esta forma se podrá dibujar un gráfico, que demuestre claramen-

te la forma de la variación de corriente.

Para el efecto, se han determinado intervalos de tiempo muy -

pequeños, siendo él intervalo total de la variación de la corrien-

te igual a 4 ff/ 2000, esto es para dos ciclos de variación.

El intervalo de tiempo que se ha tomado para determinar 100 -

diferentes valores instantáneos de la variación de corriente es;

t = 4/7/200000 (4-78)

Con el intervalo de tiempo determinado en (4-78) s« obtendrá

la tabla 4-5*

70

La corriente en el instante t = O es i = 3*25 amp.

Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Ptint Corrien

(amp)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

16

19

20

3.

2.

. 2.

2.

1.

1.

0.

0.

-0.

-0.

-1.

™" 1 *

-2.

-2.

-2.

-3.

-3*

-3.

-3-

-4-

02

73

39

02

60

15

68

20

29

79

27

74

18

59

96

29

57

79

96

07

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

(amp)

-4-

-4.

-4.

-3*

-3.

-3.

-3*

-2.

-2.

-1.

-1*

-0.

-0.

0.

0.

1.

1.

1.

2.

2*

12

10

02

87

67

41

10

74

34

91

44

95

45

05

56

06

54

99

41

80

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

(amp)

3*13

3*42

3.66

3.83

3*95

4.00

3-99

3-92

3*78

3*58

3.33

3.03

2.67

2.28

1.84

1.38

0.90

0.40

-0.10

-0.61

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

60"

(amp)

-1.10

-1.58

-2.03

-2*45

-2.83

-3.17

-3.45

-3.69

-8.86

-3-97

-4-03

-4.01

-3.94

-3.80

-3.60

-3.35

-3.04

-2.69

-2.29

-1.86

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

9Q

99

100

(amp)

-1.39

-0.91

-0.41

0.09

0.60

1.09

1.57

2.02

2.44

2.82

3.16

3.43

3.68

3.86

3.97

4.02

4.01

3.93

3.80

3.60

Tabla 4-5

En la Fig. 4-12, se encuentra representada la variación de la

corriente para el circuito serie RC con alimentación senoidal del—

ejemplo 4-3-9*

^

i

(fey

)

Flg

4-12

V

aria

ción

de

la

corr

íej

te

para

el

ci

rcui

to R

C

del

ejem

plo

4-3-

9.

72

Circuitos RL con alimentación senoidal.-

En el circuito RL

serie representado en la Fig. 4~13 al cerrar el interrup-

tor debido al generador de tensión senoidal v, circula u-

na corriente de intensidad variable i. Al aplicar la se -

gunda ley de Kirchhoff se obtiene la siguiente ecuación:

Ri + Ldi/dt = ASen(wt + 9) (4-79)

4-13

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación (4-79) »

.-A x se obtiene;^ '

Rl(S) + LSI(S) = A [S SenQ + w Cose] (4-80)02 2 JS + w

Despejando l(S) de la Ec. (4-80) queda;

I(S) « A . S Sen 9 + w CosQ , 1 (4-81 )-Al aplicar el desarrollo de Heaviside a la Ec. (4-81 ) se -

tienes

I(S) s A P(S = A I S SenQ + w CosQ . 1 1 (4-82)L Q(S) L L 2 2 S~ + R/L J

Por lo tanto,

P(S) •= S Sen9 -(- w Cose (4-83)

y Q(S) « S5+ RS2/L 4- Sw2 w2R/L (4-84)

73

De la ecuación (4-84), se puede obtener Q*(S);

Qf(S) = 3S2+ 2RS/L + w2 (4-85)

Las raices de la Be. (4-84) son;

51 » jw

52 = -jw (4-86)

53 = -R/L

Por lo tanto la transformada inversa de Laplace, para la Ec. (4-81)

se obtiene aplicando el desarrollo de Eeaviside*

Para S = jw, la transformada inversa es:

( .1 SenO + CosQ) (4-8?)J2R/L- 2w

Para S - -jw, la transformada inversa es;

.1 SenQ - Cose e~^wt ' (4-88)J2R/L + 2w

Para S « - R/L, la transformada inversa est

w CoeQ - R SenQ/L e" Rt'L (4-89)

R /L + w •

Sumando las ecuaciones (4-8?) 7 (4-88) se tiene;

R Sen(wt + Q)/L - w Cos(wt + Q) (4-90)

R2/L2 -i- w2 ^

Por lo tantov la variación de corriente en el circuito serie RL dé-

la Fig. 4-13 es:

i = A f R Sen(wt + 9)/L - w Cos(wt + Q)

R / L + w

- R SenQ - w CosQ 1 e~Rt/L (4-91)o p p I

• 74

Ejemplo de aplicación para un circuito RL serie con alimen

tación senoidal»-

En el circuito serie Rl representado en -

la Fig» 4-14 la tensión senoidal del generador viene dada-

por v = 100 Sen(500t + G)voltios* Hallar la intensidad de-

corriente que circula por el circuito si se cierra el inte_

rruptor en el instante én^Qúe&^es igual a cero.

S_n_

0.0 i H

f. 4-14

La ecuación general de un circuito serie BL, en el d£

minio de la variable S es:

HI(S) -f SLI(S) - Li(0+) = V(S) (4-92)

La transformada de Laplace para la función de la fuente -

cuando 9 =0 es:

v(s) a 300(100) , como no existe corriente inicial-

s2 + (5oo)2

en la bobina, Li(0 ) = 0. Sustituyendo las constantes del-

circuito en la Ec. (4-92),

5I(S) + 0.01I(S) = 5x1O4 (4-93)2S -f 2

de donde

3x106 (4-94)

(S2 + 25x104)(S + JfOO)

75

Desarrollando la Ec. (4-94) «n fracciones simples;

I(S) = 5Í-1 +.1) . 5(-1 -.1) . 10 (4-95)s + 3500 * s - j50o "** s + 500

Entonces, la transformada inversa de (4-95) «ss

i = 10 Sen500t - 10 Gos500t + 10e""5°0t (4-96)

Una vez que la función de la variación de corriente ha sido deter-

minada, se pasará ha encontrar algunos valores instantáneos de co-

rriente con el fin de grafizar dicha función. Para lograr este prp_

pósito se tomarán intervalos de tiempo muy pequeños dentro de los-

cuales se determinarán los valores instantáneos de corriente desea

dos, de tal manera que ee llega a la tabla 4-6.

El gráfico será considerado dentro de un intervalo total de -

tiempo igual a 4 /7V500, y el número de valores obtenidos será de-

100, siendo necesario para esto tomar instantes de tiempo con in -

tervalos iguales a:

i? = 4 /50000 (4-97)

Para t « O seg. el valor de la corriente es i = O amp.

Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien

(amp) (amp) (amp) (amp) (amp)

1 0*15 9 6.02 17 14*98 25 10.43 33 -2.93

2 0.58 10 9.27 18 15.12 26 9.05 34 -4.65

3 1.24 11 10.46 19 15.05 27 7.54 35 -6.30

4 2.10 12 11.57 20 14.78 28 5.91 36 -7.84

5 3*12 13 12.56 21 14.29 29 4.21 37 -9.26

6 4.26 14 13.42 22 13*61 30 2.44 38 -30.52

7 5*48 15 14.12 23 12.73 31 0.65 39 -11.62

8 6.74 16 14.65 24 11.66 32 -1,15 40 -12.54

76

Punt Gorrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien

«i (amp)

41 -13-

42 -13-

43 -14.

44 -14.

45 -13.

46 -13.

47 -12.

48 -12.

49 -11.

50 - 9.

51 -8.

52 -7.

25.

75

03

10

93

55

95

15

15

98

65

18

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

( ainp ) \p )

-5*

-3»

-2.

-0.

1.

3»

4*

6.

7.

9*

10.

11.

6o

93

20

44

34

09

80

43

95

36

61

70

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

12.60

13.31

13*80

14.08

14-14

13.97

13.58

12.98

12.17

11.18

10.00

8.67

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

86

(amp)

7.

5.

3.

2.

0.

** i •

-3.

-4.

-6.

-7.

-9.

-10.

20

62

95

21

44

33

08

79

42

95

35

61

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

(amp)

-11.70

-12.60

-13.31

-13-80

-14.08

-14.14

-13.97

-13.58

-12.98

-12.17

-11.17

-10.00

Tabla 4-6

En la Fig 4-15» ha sido determinada gráficamente la variación

de la corriente para el circuito serie EL, con alimentación senoi-

dal del ejemplo 4-3-11»

-io.

o

-15.0

_

Fig.

4-15

Vari

ació

n de l

a corriente

para e

l ci

rcui

to RL d

el e

jemplo 4-3-11.

78

4-3-12. Circuito RLC con alimentación senoidal*-

En al circuito se-

rie RLC representado en la Fig. 4-16. Al cerrar el inte -

rruptor, debido al generador de tensión senoidal v, circu-

la una corriente de intensidad variable i* Aplicando la ae_

gunda ley de Kirchhof, se obtiene la siguiente ecuación;

Hl -*- Ldi + 1 f idt = ASen(wt -I- 6) (4-98)dt C '

. 4-16

Aplicando la transformada de Laplace a la Ec. (4-98)-

se tiene;

BI(S) + LSI(S) + I(S) -f- 0 * A [SSenQ + wGose](4-99)CS CS L 02 2 J

S + w

Despejando l(s) de la Ec. (4-99)» se obtiene la varia

ci<5n de la corriente en función de la variable S.

(S) = 1 (AÍS2SenQ + SwGosQl ^0 íL L ^2 . . 2 " C J

. 1 (4-100)

S2 •¥ RS/L + 1/LC

Para aplicar el desarrollo de Heaviside a la Ec. (4-100) -

se separa la misma en dos partes;

79

11 (S) B 1 A (S2ScnQ + SvCosQ) . _ 1 _ (4-1 01 )

L S2 + w2 S2 + fiS/L + 1/LC

y»

I2(S) = ^0 * _ 1 _ (4-102)

LC S2 + RS/L + 1/LC

Por lo tanto;

I(S) = I1(S) - I2(S) (4-103)

Aplicando «1 desarrollo de fíeaviside a la Ec. (4-101) se tie-

ne que;

P(S) = S2Sen© + SwCose (4-104)

Q(S) = (S2 + w2)(S2 + ES/L + 1/LC) (4-105)

La derivada de la Ec. (4-105) es:

Q'(S) = 4S5+ 3RS2/L + 2(1/LC -»- w2)S + Rw2/L (4-106)

Las raices del polinomio Q(S) de la Ec* (4-105) son:

51 = jw

52 = -jw(4-10?)

53 = o¿ + y3

34 = o¿ - -

siendo;'

o¿ = -fi/2L Y X3 = ,V/(fi/2L)2- 1/LC (4-108)

Por lo tanto i la transformada inversa de Laplace para la Ec.

(4-101) es:

para S = jw;

i - A wSenQ - .IwCosQ ejwt (4-109)

2L Rw/L -f j(w2 - 1/LC)

para S = -jw;

±" = A vSenQ + .IwCosQ e*J (4-110)9T 9

Rw/L - j(w¿ - 1/LC)

80

para S =^ + J¿ ;

S

para

Al (oí+sZ) Sen© + ( oC + X3 jwCos©y [ ' 3 V 2 /

4(°¿+/0 + 3R\¿+*fl) /•£" + 2 (¿3¿ •*-/#) (1/L

' c^ / y-ío s= t*. •- •/v s

A f (c*-x3) SenQ + («c -/3 )wCosQL t 3 2

£*• + '^ /

C + w2) + Rw2/L

(4-111)

(oí -/3 )t -

(4-112)

Aplicando el desarrollo de Eeavlslde, para encontrar la traiia

formada inversa de Laplstce d* la Ec. (4-102) se tiene quei

p(s) = 1 - (4-113)

y, Q(S) = S2-f BS/L + 1/LC (4-114)

La derivada de la ecuación (4-114) es:

Q'(S) = 2S + R/L

y las raices del polinomio Q(S) de la Be, (4-114) sont

51 »o¿ +

52 =<¿ -

En (4-108) se tienen las expresiones de c¿ yX? . Por lo tanto,

la transformada inversa de Laplace para la Ec. (4-102) es:

para S = oí. + /$ ;

1 e("fiA +V (R/2L)2- 1/LC )t

*- 1/LC

para S = - ; .

. __ qn Í-R/L - A/ (V2L)2- 1/LC )t^ - _0 - 1 e (4_116)

.Z- 1/LC

Por lo tanto la variación de la corriente en el dominio del -

tiempo es:

81

-±1 + i'2 + i3 + i4 -Í5 -i<6. (4-117)

Ejemplo de aplicación para circuitos BLC con alimentación-

senoidal.-

Bl circuito seri RLC representado en la Fig. 4-~

17 no tiene carga inicial O en el condensador. Al cerrar-

el interruptor en el instante en que Q = O , debido a la -

fuente de tensión v, aparece una variación de corriente i.

Determinar dicha variación*

*= 5Q5&*z (¿000¿ + 9)

r. 4-17

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se obtiene la si —

guiente ecuación;

Hi + Ldi + I/" idt = vdt C

(4-118)

Al aplicar la transformada de Laplace a los términos-

de la Ec« (4-118) se transforma en una ecuación en el dom¿

nio de la variable S. Por lo tanto;

BI(S) + SLI(S) - Li(O ) -»- I(S)/SC I 0 = V(s) (4-119)se

La transformada de la función de variación de la fuen

te de tensión es:

82

isr

T(S) 2000(50) (4-120)

S2 + (2000)2

Las condiciones iniciales son Li(0 ) = O y qO/SC = O las cuales, -

al se reemplazadas en la Ec. (4-119) resulta;

5i(s) + isi(s) + 1 i(s) = 10 (4-121)S2 + 4x1O6

de donde;

I(S) = Sx105 * 1 (4-122)

S2 + 4x10 S2 + 5S + 4

el desarrollo de Heaviside para obtener la transfor

mada inversa de Laplace de la Ec. (4-122), se tiene;

P(s) = S (4-12?)

Q(S) « S4+ 5S5+ 4x106S2+ 20x1 06S + 16x1 O6 (4-124)

Derivando la Ec. (4-124) se obtiene;

Q'(S) = 4S5-f 15S2 -*- 8x1 06S + 20x1 06 (4-125)

Las raices del polinomio Q(S) eons

51 = ó 2000

52 = -J 2000(4-126)

53 = -1

54 = -4

Determinando la variación de corriente para cada una de laa -

raices se tiene ¡

para S - J2000;

5 2000ti1 - 10 . .1 *'**w"* (4-12?)

20x1O5 + J8x10

para S = -J2000;

(4-128)

20x1O3 - J8x10

83

para S = -1;

±3= e"t (4-129)~ 120

para S = -4;

i4 = e"4t (4-130)30

Sumando algébricamente las ecuaciones (4-127) y (4-128) resul

ta la siguiente expresión;

i-i + i¿ = Sen2000t Cos2QOOt16000 " 40

Por lo .tanto la función total que representa la variación de co —

rriente para el circuito serie de la Fig. 4-17 «ss

i_ = Sen20QOt Cos2000t e"'t e~4t (4-131)T 16000 " 40 " 120 * 30

Con el objeto de grafizar la función (4-131) dentro de un in-

tervalo total de tiempo de valor t = 4 /2000, se han determinado

i 100 valores instantáneos de corriente, con incrementos de tiempo -

iguales a:

t = 4ÍT/200000 (4-132)

Los valores instantáneos de corriente , determinados con el -

valor de incremento de tiempo (4-132) se encuentran en la Tabla -

4-7.

Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien

1

2

3

4

(ma)

0.00

1.00

2.00

3.00

5

6

7

8

(ma)

5.00

7.00

9.00

12.00

(ma)

9

10

11

12

14*

17-

20.

23*

00

00

00

00

13

14

15

16

(ma)

27.

30.

33.

36.

00

00

00

00

17

18

19

20

(ma)

38.00

41.00

43.00

45.00

84

Punt Gorrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien Punt Corrien

(ma)

21 47

22 46

23 49

24 50

25 50

26 50

2? 49

28 48

29 47

30 45

31 43

32 41

33 38

34 35

35 32

36 29

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

.00

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

5051

52

(ma)

26.

23.

20.

17.

14.

11*

9-

6.

4.

3*

1.

0.

-0.

-0.

-0.

0.

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

40

19

39

19

40

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

(ma)

1.

3-

4.

6.

9.

11.

14.

17.

20.

23.

26.

29.

32.

35.

36.

40.

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

00

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

(ma)

43.00

45.00

46*00

48.00

49*00

49.00

49*00

49.00

49.00

48.00

46.00

45*00

43.00

40.00

38.00

35-00

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

(ma)

32.00

29.00

26.00

23.00

20.00

17.00

14.00

11.00

8.00

6.00

4*00

2.00

1.00

0.00

-1.00

-1.00

Tabla 4-7

El gráfico correspondiente a la variación de corriente para -

el circuito serie JRLC, con alimentación senoidal, se encuentra re-

presentado en la Fig. 4-18*

50 -

Ftg. 4

-18

Vari

ació

n de

la

corr

ient

e en e

l circuito

RLC

del

ejemplo 4-3-13,

co

CAPITULO QUINTO

APLICACIÓN LE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RESOLVER REDES RLC

E IMPLEMENTACIOK Y DESCRIPCIÓN

DEL SISTEMA DE PROGRAMAS DIGITALES

PARA

DETERMINAR SU SOLUCIÓN

5-1. Método de Euler para integración numérica.-

Las técnicas ^b

cas para la evaluación de [ f(x)dx son eacenciales en un gran—Ja

numero de situaciones, tipicamente,

a).- Cuando la función no puede ser integrada analíticamente ;

b).- Cuando la función f, puede ser integrada analíticamente r

pero la expresión resultante es tan complicada que la eva

luaciÓn para x = a y x «= b, consume mucho tiempo,

c)*- Cuando la función f, está definida para una tabla de valc_

res.

Considerando la curva definida por la siguiente función:

y « x2 + 3* - 3 (5-1)

Diferenciando la ecuación (5-1) s* obtiene:

g = 3x+5 (5-2)

Suponiendo que se ha dado la ecuación (5-2) y se desea -

obtener la función original, realizando la integración analí-

tica se obtiene:

y *= x2 + 3x.+ C (5-3)

Como se podrá observar, la ecuación (5~3) contiene una -

constane de integración y por lo tanto, representa una fami -

lia de curvas, que diferenciándolas, conduce a la ecuación (5

-2). Grafizando la familia de curvas representadas por la e-

cuación (5-3)» tomando varios valores de C, p. ej. -2,0,2,4f-

como se muestra en la Fig* 5-1» La curva en particular puede-

ser especificada, dando el punto por el cual esta pasa.

ílg 5-1

Grafizando la ftmciÓn representada en la ecuación 5-2, e« tic-

ne:

. 5-2

88

La í"ig. 5-2 representa la ecuación (5-2). Al realizar la integra -

ci<5n de la función f(x) dentro del intervalo X.. - XQ se tiene que,-

aproximadamente es igual:r*'f(x)dx ~(X - X ) f(Xl) (5-4)

'Xa

es decir que dicho valor representa el área del rectángulo formado-

por los puntos y.., P(X, ,y. ) , XQ, x , , como se puede observar en la e_

cuación (5-3)* Al realizar la integración, aparece una constante de

integración, siendo esta constante el punto por el cual pasa la fun

ción resultante. Para determinar una función en particular, es ñece

sario conocer dicha constantef la cual se determina al evaluar la -

función resultante, en x = XQ. Por lo tanto, el valor que toma la -

función resultante en el intervalo x1 - xn está determinado por la-

ecuación (5-5)

P(XI) = F(xQ) -i- (x., - xQ)f(Xl) (5-5)

pero x1 - XQ = h (5-6)

fieemplazando (5- ) en la ecuación (5-5) se tiene;

F(XI) -F(xQ) + hf(Xl) (5-7)

Para evaluar el siguiente punto de la función resultante ce -

tiene la siguiente expresión:

F(x2) *F(XI) + hf(x2) (5-8)

En general la evaluación de cualquier punto de la función o-

riginal puede ser determinada por la siguiente expresión:

Concluyendo el desarrollo del método, se ve que la evaluación

de una función, dentro de un intervalo, se va realizando por pasos

representado cada uno por la letra "h". Claramente se nota que en-

cada paso de integración se produce un error, el cual será más pe -

quefío mientras la cantidad de pasos que se tome para la evaluación-

de un integral, sea mayor dentro de un intervalo de tiempo, y por -

consiguiente el valor del paso "h" sea muy pequeño.

Este método será utilizado en el transcurso del desarrollo, pa

ra la simulación lineal en el dominio del tiempo en circuitos RLC.

5-2* Aplicación del método de integración numérica para el condensa

La variación del voltaje en el condensador está determina

da P°r 1& siguiente ecuación;

Í0dt (5-10)c

Aplicando el método de Buler para la integración numérica se -

tiene :

cLa ecuación (5-11 ) puede ser interpretada como la representa -

ción de un circuito» el cual está formado por una resistencia-»

en serie con una fuente de voltaje, el cual se encuentra repr£

sentado en la Fig. 5-3

ff)

. 5-3

Alternativamente la expresión (5-1 1) puede ser representada

de la siguiente maneraí

90

Por lo tanto, la interpretación que tiene la ecuación (5-12), es la

presencia de un circuito formado por una resistencia en paralelo -

con una fuente de corriente, mostrado en la ?ig« 5-4»

- -MU-h/c

p. 5-4

Las Figuras 5-3 y 5-4» representan dos modelos de circuitos e-

quivalentes para el condensador usando el método de integración de-

Euler.

5-3» Aplicación del método de integración numérica -para la bobina»-

La variación de la corriente en la bobina está determina-

da por la siguiente ecuación:

VTdt (5-15)

Aplicando el método numérico para la integración se tiene:

La interpretación que se puede dar a la ecuación (5-14) >-

es, que esta ecuación representa un circuito formado por una -

resistencia en paralelo con una fuente de corriente, el cual -

se encuentra representado en la 3?ig* 5D5*

L/h

* 5-5

La Fig* 5-5 representa un modelo de circuito equivalente para una —

"botina*

Como una conclusión lógica de los circuitos de la Figuras 5-3

5~4 y 5-5 se puede decir que si partimos el análisis desde el insi-

tante en que el tiempo t = O* las fuentes de corriente CVn(t.)/h pao í •""

ra el circuito de la Fig. 5-4» e ÍT( ) de ia Fig. 5-5 vienen a ser-jj i

las condiciones iniciales» para los elementos analizados en loe pun

tos 5-2 y 5-3f respectivamente.

5-4» Implementació'n jr descripción del sistema de programas para la-

simulación de circuítos RLC^-

Con la utización de métodos numé-

ricos para la simulación de circuitos RLC, se plantean las e -

cuaciones nodales de equilibrio para el circuito de la Fig. -

5-6, tomando en cuenta su equivalente mostrado en la Fig. 5-7*

t=U(tí

Fifi?. 5-6

Como se vio* anteriormente, tanto, el condensador como la bobi-

na tienen su circuito equivalente, por lo tanto, considerando esta-

situacidn, se tiene la Pi#. 5-7» que viene a ser un circuito equiva

lente para el circuito de la ílg. 5-6»

Para el nudo 1

Vrn(" ' - Y

R,

h

Par el nudo 2

h

Para el nudo 3

Considerando la ecuación (5-1?) qttedaf

(5-15)

Hr

(5-16)

(5-17)

queda el siguiente sistema de ecuaciones expresado en forma de ma —

trí'z.

93

1 C^ $A G(s- + r1 + r1 ) -_á o

R2 h h h

(g» - °±) ' ( 1_ + í!± + ÍL.) - t.

. o - k_ ( JL + *L_)L6 R2 L6 _

—

1 ± h h

-^VV-^'Vh

Í6(t±)

(5-16)

Obsérvese, el sistema (5-18), en la parte izquierda de la i -

gualdad, se puede notar la matriz de admitancias, que en el trans -

curso de todo el proceso automático que se piensa ejecutar, no ten

drá ninguna variación ya que depende exclusivamente d© los valoree-

de los elementos que componen el circuito y de el valor del paso 'h*

que, también se mantendrá constante. En la misma parte izquierda -

de la igualdad se tiene la matriz de incógnitas, la cual se irá re-

solviendo para cada punto de la respuesta que se desea encontrar, -

conforme a los valores que tengan los elementos de la matriz de co-

rrientes, en la parte derecha de la igualdad del sistema' (5*18)*

Refiriéndonos únicamente a la matriz que se encuentra en la -

parte derecha deilla igualdad, o matriz de corrientes, se puede acen

tuar en la importancia que tiene la determinación de los elementos-

de la misma ya que de esa consideración depende la obtención de re-

sultados satisfactorios.

Considerando el circuito de la Fig, 5*7 se tiene para un ins -

tante de tiempo t « t : V,(t.) « V®(t. ) (5-19)i ~) i i

• 94

Además en el circuito de la Fig* 5-7» la fuente de corriente -

, puede tener cualquier forma de variación en el tiempo, y por

lo tanto se tomará el valor instantáneo que dicha variación tendrá,

para un instante de tiempo t «= t.«

Los diferentes resultados, que del proceso se deseen obtener,-

estarán apegados a las siguientes consideraciones!

a)»- Para determinar la respuesta transitoria del circuito, es me -

nester considerar una respuesta, en un tiempo relativamente p£

queño, en el cual, la solución transitoria predomina notable -

mente*

b).- Para determinar la respuesta permanente del circuito, se debe=

rá considerar, un intervalo de tiempo apreciable, de tal mane-

ra que pueda visualizarse con toda claridad dicha respuesta,-

ya que esta tiene su predominio una vez concluido el intervalo

de tiempo de la respuesta transitoria.

5-4-1. Cálculo de los parámetros en el instante de tiempo t = O •-

Para determinar las condiciones de los parámetros en -

el instante de tiempo t = O , debe considerarse el circuito

de la Pig* 5-8* en el cual se puede notar claramente que, —'¿.-t

los condensadores han sido reemplazados por sus circuitos e_

quivalentes y que facilitan el análisis utilizando métodos-

numéricos. Estos reemplazos deben ser tomados de esa manera

puesto que la característica del condensador en mantener un

95

valor de voltaje inicial, y la bobina puede tener una condición in¿

cial de corriente, convirtiéndolos a estos elementos en fuentes de-

tensión y corriente respectivamente^ Es decir que la bobina también

tendrá su reemplazo, en condiciones iniciales*

+ -—+.

. ¿¿lo*)

ílg» 5-8

Las ecuaciones nodales de equilibrio para el circuito de la -

;• 5-8 son:

Para el nudo 1

Paira el nudo 2

" ÍA(®*^ H

Para el nudo 5

V© > .

El valor que toma el voltaje en el nudo 1 es:

--T- -I-l ^

pero V(T)= V,(0 )

(5-23)

(5-24)

(5-25)

(5-26)

por lo tanto, de las ecuaciones (5-25) y (5-26) se puede despejar -

•& 96

Reemplazando la ecución (5-27)» en la ecuación (5-23) queda,

5(5.2e)

5-4-2. Resultados del análisis de circuitos por métodos numéricos. -

A lo largo de todo el análisis de circuitos por métodos

numéricos se ha ido obteniendo varios resultados que permi -

ten ver claramente la solución del circuito, tomando para di

cho análisis la Fig. 5-6- Estos resultados pueden ser divid¿

dos específicamente en dos gruposi

1).- Resultados que definen la respuesta del circuito en con

diciones iniciales, y es asf como los voltajes en los -

elementos están definidos por las siguientes ecuaciones

V|2(o+) = V3(o+) (5-29)

Vg5(o+) = T5(o+) (5-30)

Vg4(0+) = Y4(0+) (5-31)

V|5(0+) = V3(0+) - V4(0+) (5-32)

%(o*) = VE5(0+) - VH7(o+) (5-33)

V|?(0+) = R?i6(0+) (5-34)

Las corrientes en los elementos están definidas -

por la siguientes ecuaciones!

ÍR2(0+) _ V°+) (5-35)tt¿ - —±

R2

i_ (O ) e i -(O ) están definidas por el sistema de ecua-

ciones (5-36) y (5-37).

Í5(0+) + Í4(0+) . i^o-1") _ V3(°+) (5-36)R2

4 (K+\5t(°+) - V¿(° )i4(o ) , *»- ; 4 - + Í(0+) +gm(o^) (5-37)

97'

(5-38)

ÍR7(o+) = i6(o+) (5-39)

2).- Hesultados que definen la respuesta del circuito para t mayor-

que O , los cuales dependen del sistema matricial (5-18). los-

voltajes en los elementos para el instante de tiempo t = O +1

serán:

\(0++ 1) = V©(0+ + 1)

V (0++ 1) = V©(0+ + 1)

V (oV 1 ) = V©(0+ -I- 1 ) - V^XO"1

V_(0++ 1) =T©(0+ + 1)

1)

1)

(5-40)

(5-41)

(5-42)

(5-43)

(5-44)

y las corrientes en los elementos están definidas por las-si -

guientes ecuaciones:

1 )

C3- v o+)]

pero Y©(0+) « V,(0+)

por lo tanto, reemplazando (5-48) en (5-47) queda:r v

ic,(o++ 1) = < [Y©(O% 1) - v (o+)l lf¿J L •* J h

(5-46)

(5-47)

(5-48)

(5-49)

(5-50)

En este caso V©(0*) = ^(O^) y yQC5

Eeemplazando (5-51) en (5-50) queda:

V,(0+)-V.(0"l~) (5-51 )5 4

( + \{ c { \rmVv f ' / — 1 1 *UJV W T I / — '^¿>/\ i- - / i — V A W -f 1/>_3. V2~52,í

04 [ L ^ J h

)++ 1) « Y®(O*T 1) (5-53)

R5f Í5((T) (5-54)

iw~(o++ 1) Y@f(0++ 1) (5-55)R7N ' « p *•*7

Las respuestas que se obtienen para un tiempo t > O serán ob-

tenidas tantas veces como se desee; en forma iterativa. Por lo tan-

to, surge la necesidad de implementar un sistema automático capaz -

de llevar adelante este proceso* Con este fin ha sido desarrollado-

el siguiente conjunto de programas digitales los cuales se encarg^

rán de entregar la respuesta de un determinado circuito.

5-4-3* Programa principal del proceso*-

El programa principal (SLRLC)

se encarga de transmitir el control, sin argumentos al sub -

programa TSCMS el cual resuelve un circuito en particular.

La forma como ha sido desarrollado todo,el sistema de -

programas, debido a las características de la estructura dé-

las ecuaciones que resultan del análisis de un circuito es-

así: el sistema contiene subprogramae que no varían en su -

forma y por lo tanto, no es necesario cargarlos y compilar -

los en un computador, siempre que sea necesario resolver un-

circuito. Estos subprogramas son: TSCMS (que resuelve el cir

cuito eléctrico), LECTÜ (que se encarga de la lectura de los

datos), ADMIQ?(se encarga del cálculo de los elementos de la-

99

matriz de admitancias del circuito), GAUSS ( que resuelve sistemas

de ecuaciones de primer grado), DTRAN (este se encarga de grafizax

las funciones respuesta del circuito). La otra parte del sistema -

esta formado por subprogramas que varían en su estructura, depen -

diendo de las características de cada circuito» Estos subprogramas

deberán ser cargados y compilados conjuntamente con el programa -

principal (SLRLC), cada vez que sea necesario determinar la res -

puesta de un cierto circuito, pero, si la estructura del circuito-

no varía, pero los valores de los elementos sí varían, no es nece-

sario modificar la estructura de estos subprogramas. Estos son: el

subprograma CORR (que sirven para cargar en el programa, las ecua-

ciones que determinan las fuentes de corriente que llegan o salen-

de los nudos) y RESP (en la cual se indica las ecuaciones que de ;~

teminan las diferentes respuestas deseadas y, las ecuaciones que-

definen la variación de las condiciones iniciales)*

SI diagrama de flujo del programa principal se encuentra deta

liado en la iFig. 5-9*

INDIO

LLAMADA AI. SUB-PROGRAMA

TSGMS

. 5-9

100

El listado del programa principal se encuentra en el ANEXO -1

5-4-4. Subprograma TSCMS*-

Este subprograma se encarga de resolver-

el circuito eléctrico, entregano una tabla que representa -

la variación de las respuestas del miamo. Además este sub -

programa no contiene argumentos para recibir o transmitir -

el control al programa principal»

El diagrama de flujo de este subprograma se encuentra-

de tallado en la í*ig. 5-10.

INICIO

r

TIME(I) * 0.0

0.0

DO S -FG RT R AN- IV 3 6 O N—FQ-

MAINPGM

-DATE

1-1/79

10 11

C ---- PROGRAMA PRINCIPAL PARA SIMULACIÓN DE CIRCUITOS RLC

C ---- SI INDIC ES IGUAL A CERO LA EJECUCIÓN SE HACE UNA -

-C ---- VE-Z,— 5 I— .HMD IC- NO— E-S

- IGUAL- A CERO- EL -PROGRAMA -PUEDE —

C ---- SER EJECUTADO UNA VEZ MAS CON LOS MISMOS DATOS O --

C ---- CON NUEVOS DATOS Y CONDICIONES

20 READ( 1, 10) INDIC

~— -1-0 -FORMAT< -1-2 i

------------

CALL TSCMS

IF

Í IN

OT

C.E

O.O

JG

O

TO

3

0G

O

TO

2

0

E NO

ANEX

O-1.

Li

stad

o de

l pr

ogra

ma pr

inci

pal

SLRL

C

102

LLAMADA ALSDB-PROGRAMA

LECTtJ

LLAMADA AL STOPROGRAMA

LLAMADA AL STOPROGRAMA

RESP

X) 30 1-2,KP

103

. •1' = 1' +0?IME(I)=T

H

1_LLAMADA AL SUB-I

PROGRAMAADMIT

LLAMADA AL SUB-IPROGRAMA CORR

LLAMADA AL STTB-PROGRAMA GAÜSS

LLAMADA AL STJB-PROGRAMA RESP

DO 52 I=1,K

DO 33 J=1,NP Y-,

'

LLAMADA AL SUB-PROGRAMA DTRAU

SI

TIME(I),VOUT(I,J),J=K,NR

Flg. 5-10

105

El listado del programa se encuentra detallado en el ANEXO-2.

5-4-5. Subprograma LECTU.-

Este subprograma ee encarga de la lectu-

ra de todos los datos necesarios para la soruci<5n del pro -

blema. Recibe el control de el subprograma TSCMS, siendo -

sus argumentos:

KOfíDI* Variable entera, con un formato de lectura "13"? se-

la utiliza para indicar el orden de la matriz de re-

sistencias, en condiciones iniciales*

¿4, NORD. Variable entera, con un formato de lectura "12", Es-

ta variable es utilizada para indicar el orden de la

matriz de admitancias; para t?0 *

NPfílK. Variable entera con un formato de lectura "12", es -

utilizada como un código de impresión de las tablas,

V esvdecir que cuando este código es igual a cero, las&

tablas no se imprimen* SÍ el código es diferente de-

cero, las tablas se imprimen.

KRES. Variable entera con -un formato de lectura "12", la -

cual indica el número de respuestas que se desea ob-

tener; al ser procesados los datos*

KELE. Variable entera con un formato de lectura "13" • Es -

utilizada para indicar el número de elementos que in

tervienen en el circuito, tomando en cuenta, las -?~~

fuentes de excitación.

NP» Variable entera con un formato de lectura "13"» sir-

ve para indicar el número de puntos que se desea cal

-DOS—FORTRAN—IV—3oQN-fM3-47-9.-3-.fV

DATE

11x79

TIME

1 2 3 4 5 6 7 C 9 10 U 12 13 U 15 16 17 10 19 ÍQ 21

22

23 ?4 >5 J6

00

01

00

02

00

03

00

04

OQ

Q5

00

06

00

07

00

08

0 0

09

00

10

00

1 1

00

12

00 1

30

01

40

01

50

01

60

01

70

01

80

01

90

02

00

02

10

02

20

02

3r>

02

4

'0

02

50

02

6

.0

02

7O

OP

fl0

02

90

03

0

SU

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OU

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TS

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Tn

N

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0) , V

OU

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00 ,3

0) ,T

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Ei 2

00 ) ,C

I N

i 30

) *Y

(3

0 ,30 ) ,

2V

Y(2

00

) .S

ÍGN

Í30

)R

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L* 4

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W 1

— 3

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O

77

1=1

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00

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EÍ i)

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O

77

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0 •

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L

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N , I

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L

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N,V

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,B,V

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T,T

,H)

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I-T

INIF

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.ÍG

O

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1

0T

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INH

=tT

FIN

-T

IN)/F

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P)

15

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E(1

3~

T

-D

O

30

I=2

tNP

T=

T+

H^

TIN

E(I)

=T

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9 B

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O

10

0

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GO

TO

110

N"0

'

^

O

ANEX

O-2.

Lis

tado

de

l su

bpro

gram

a TSCMS.

00

31

10

T=

0.0

'0 0033

/9 0034

0

0035

:I

0037

2 0038

3

0039

110

120

GO TQ 15

DO 120 J= 1*30

VOUT (

1 » J ) =VOUT { NP , J )

H=ÍTFIN-TIN)/FLQATÍNP>

TÍNICO. 0

GO TO 15

•'O

DO

99

K

=l,

21

»1

0

IFÍN

RE

S.G

T.N

R)G

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TO

9

97

NR

-í-9

-ÍN

R-N

RE

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K

-N

K-0

GO

T

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97

998

78

31

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O

31

1=

1,N

PW

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.1E

11 .31

_

IF{

NK

.EQ

.O)C

O

TO

4

014 '15 lo •17 ID '19 10

0054

0055-

0056

0057

0058

0059

0061

9940

33

32

CONTINUÉ

DO 32 I=1,NRES

.

DO 33 J^l^NP

' .

•

•-

.:

. _.

_ _

._

-.:-.

-VY( J)=VOUTÍ J, 1}

-

CALL DTRAN(TINE,VY»NP»I ,SIGN)

CONTINUÉ

-RETURN

- -

- - '...

.END

AN

EXO

-2

(co

nti

nu

ació

n).

o

108

cular, e imprimir.

Los formatos de lectura de las variables reales a excepción -

de la variable SIGN (arreglo para guardar los nombres de cada una-

de las tablas y gráficos); son de la forma E10.3. De esta manera -

ee dan las facilidades necesarias para ingresar cualquier valor.

El arreglo de las variables "Y", sirve para guardar los ele -

mentos de la matriz de resistencias para las condiciones iniciales

y, para guardar luego los elementos de la matriz de admitancia» pa

ra t>0~*\l arreglo RES, es utilizado para guardar la parte resistiva-

de la matriz de admitancias, para t>0 , mientras que el arreglo «

CON, es utilizado para guardar los valores de la parte capacitiva-

y el arreglo BOB, sirve para almacenar loe valores de la parte in-

ductiva»

La variable !PIN se utiliza para almacenar el valor inicial —-

del intervalo de tiempo, dentro del cual se desea obtener la res -

puesta; de un cierto circuito* El valor final del intervalo indica

do anteriormente es guardado en la variable TÍTN.

Los arreglos H,C,B, son utilizados para guardar los valores -

de los elementos del circuito» teniendo en cuenta que debe señalar

•e su poeisidn en el circuito, ya que de esta depende el valor del

subíndice que indica el lugar, o el elemento del arreglo que con -

tiene el valor de un determinado elemento del circuito.

Los arreglos VE y CE son utilizados para almacenar los valo -

res de tensió*n y corriente respectivamente, de aquellos elementos-

del circuito que son capaces de mantener unas condiciones inicia -

les, o pueden almacenarse valores de tensión o corriente de lae -

109

fuentes de excitación del circuito, siempre y cuando esta sean de

valores constantes»

El arreglo SIGN se utiliza para guardar los nonTbres de la» ta

"blas de respuestas* Cada elemento de este arreglo tiene un formato

de lectura "M"*

El diagrama de flujo del subprograma LECTÜ se encuentra deta-

llado en la Fig. 5-11

INICIO

R1 = 2

NOEDI

20 1=1 ,ÍÍORDT

(DO 20 J=1,NOfíDr

110

NRES,NELEtNP

r 50 I=1,NOED/

DO 50 J=1»NORD>

RES(I,J),CON(I,J),BOB(I,J)

I

> DO 80 1=1 ,NELE/

111

BETURN

. 5-11

El listado del subprograma LECTU se encuentra detallado en el

ANEXO-3*

5-4-6. Subprograma CORR.»

Eate subprograma no mantiene todas sus -..-

instrucciones constantes, ya que la finalidad del mismo es-

prestar las facilidades para que el Usuario pueda poner las

ecuaciones necesarias para resolver el circuito, tanto en -

lo que respecta a las condiciones iniciales, como pata t>0,

puesto que de un circuito a otro dichas ecuaciones van a va

riar en su estrucrura. El arreglo CIN, se encarga de almace^

nar cada una de las ecuaciones que definen el comportamien-

to del circuito, tanto para las condiciones iniciales, como

para t > O

Este subprograma recibe el control del subprograma TS-:

1 2 3 5-

6 7 0 9 10 11 12 13 14 1S 16 17 1Ú 19 20 21

22

23 24 25 26

27 20

30 3)

32 33

-i_"u

-o

i~u»vi-i

00

01

ft n

n °

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03

01

30

40

00

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00

06

00

07

00

08

00

09

cin i

n0

01

1

00

12

0013

00

14

00

15

00

17

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18

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27

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TU

RA

D

EL

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I2,2

I3)

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50

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5

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1,N

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LE

CT

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l ,

12

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DÍR

1 ,1

29

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( I) ,

1 =

21 ,3

£T

' '¡

RE

TU

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L

'~¡

EN

D

' \¿

£,

^;

ANEX

O-3.

Li

stad

o de

l su

bpro

gram

a LE

CTU.

113

CMS por medio de los argumentos T,VE,CEfRtC,B,I y H.

La estructura del diagrama de flujo del subprograma CORR se

encuentra especificado el la Fig* 5-12.

INICIO

SI

NO

PONER LAS ECUACIONES QUE.CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES DEL CIRCUITO Y GUARDAR EN EL A-RREGLO CIN(l).

ECUACIONES

RETÜRN

PONER LAS ECUACIONES QUECORRESPONDEN A T>0* Y -

GUARDAR ENEL ARREGLO CIN(l).

ECUACIONES

RETÜRN 5-12

<**.'

-ÜOS-FORT-RAN—I V- 360N-F-G—479—3—8~

-MAINPGM

DATE

-16v"l 1/79

TIME

—O-O-O-l-

0002

0003

0004

0005

O006

-0-0 0-7-

-00 08-

0009

C

SUBRUTINA DE *ATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

C

INICIALES, COMO PARA UN TIEMPO MAYOR QUE 0+

—-—

SUBRCUT-INE CQ^R(-T-rVE»C-eiR-»C*B,CIN»-r ,H)

DIMENSIÓN VEÍ 40) , CEÍ40Í ,R ( 40 5 *C< 40 J ,B ( 40 J ,C I Ni 30 J

IFÍ I .NE.OJGO TQ 10

C

PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

-C

L-ES DEL-CIRCUITO, --#- GUARDAR EN LOS CAMPOS CINÍ I),

CQRRESPON-

C

DIENTES

CINC1)=CE(3)

C

FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

C

™ PQNER LAS-ECUACIONES -QUE CORRESPONDEN—A—T MAYOR -QUE O-*

---

c

y GUPDAR EN LCS CAMPOS CINÍ I } CORRESPONDIENTES

10 CINÍ1}=SO.*SIN(2000,*T)/RÍ2)-CEÍ3)

C-I-NÍ2 J=C(-4i)*VEÍ43/Hi-CE(3)

- -

-

c

FIN DE LAS ECLACIONES PARA T MAYOR QUE 0+

Rg-T-URN

- -

- - --

END

ANEX

O-4.

Li

stad

o de

l su

bpro

gram

a CO

RR.

115

. El listado del subprograma CORR se encuentra detallado en el-

AMEXO-4-

5-4-7. Subprograma GAITSS.-

La finalidad de este subprograma es re -

solver sistemas de ecuaciones de primer grado, por el méto-

do de eliminación Gaussiana* Este subprograma recibe el con

trol desde el subprograma TSCMS, por medio de los argumen -

tos Y, CIÍJ, ÍJOBD, y W.

Para explicar más detalladamente el razonamiento útil;!

zado en este subprograma, se parte del siguiente ejemplo:

a11X1

a21X1

a31x1

a12X2

a X

Í 3 3

a23X3

a33x3

(5-56)

Representando el sistema de ecuaciones (5~56) en forma

de matriz quedas

r DI

V (5"57)a33

12

a21 a22

Tomando la Ec. (1) del sistema (5-5ó) y dividiendo to

dos sus elementos para que.da;

l 3 x, « 1»——*• • (5-58)

Despejando la incógnita x1 de la Ec. (5-5Q) y reemplazándo-

la en las ecuaciones (2) y (3) del sistema (5-5&) se obtie-

ne;a_

- a21

(5-59)

-*3A

116

(5-60)

Puede tomarse los siguientes reemplazos:

I1(3} =-a12 •~ - '

a22 " a22" &21a12 ;

o ' — a — . o Q • o "*• a «™

a32 ~ a32 a32a12' a33 33

= o - a,.

1_ (5-61)

11 °11 "11

bí1)(5-62)

¿^

(5-63)

Tomando en cuenta la ecuaciones (5-58), (5-59)» (5-60) y los-

reemplazos (5-61), (5-62) y (5-63) se puede expresar el resultado-

en forma de matriz, de tal manera ques

(5-64)

Con el sistema (5-64) se puede decir que el sistema en forma de ma

tria (5-57)> se ha transformado en el sistema anteriormente dicho.

En general, la manera de obtener la primera fila de la matriz

de constantes del sistema (5-64) es así;

a1 2 a1 3

0 a( l ) a( l )

0 a?2 a33

X1

X2

_X3

=

\"

°2

b30

= 1j , siendo j = 1,2,3,...,n (5-65)a11

y el valor de:

a^ (5-66)

Para~determinar las filas restantes debe utilizarse las si -

guientes expresiones:

a}.' = a.. -

117

siendo i = 2,3, ..,n; y j = 1,2,3. .n(5-67)

Y para los restantes valores de la matriz B se tiene las siguientes

ecuaciones:

ai1b1 1f2,3,..,n (5-68)

De esta manera se ha eliminado una incrcS gnita» tanto en la Ec

(2) como en la ecuación (3) del sistema (5-56) y el valor de a... ,

se transforma en la unidad* El paso siguiente es la eliminación de

una nueva incógnita de la tercera ecuación del sistema (5-56), de-

tal manera que el valor a?? tome también el valor de uno. Por tflti^

mo el elemento a,., de"be tomar el valor de la unidad. Por lo tanto,J*

el método consiste en ir eliminando una incógnita en cada paso da->

do, con el fin de dejar los valores de la diagonal principal del -

sistema (5-57) iguales a la unidad. Además todos los elementos que

se encuentran debajo de la diagonal principal deben ser iguales a-

cero. El número de pasos que deben darse es igual al orden de la -

matriz de constantes* El sistema matricial (5-57) luego de la u"lt.L

ma eliminación queda de la siguiente forma:

(5-69)

Una vez obtenido el sistema (5-69)* se puede determinar los -

valores de las incógnitas» partiendo desde la última incógnita, d£

terminando su valor y luego reemplazándolo en la ecuación anterior

de tal manera que se pneda determinar el valor de la penúltima in-

cógnita y así en forma iterativa hasta determinar la primera incóg

nita.

" 1 a(1) a(1)112 13

0 1 a2|>

_ 0 0 1 _

" x "1

x2

-X3-

*

r*1 ) i1

2

_^3)_

1.T8

Considerando el siguente sistema se va a generalizar el meca

nismo para encontrar los valores de las incógnita, de^un sistema-

de ecuaciones:

(5-70)

1 u12 u13 ... u1m

0 1 U25 ••• U2m

_0 0 0 ... 1

^vX2

X. m _

rv*2

b- m -

Por lo tanto;

x = bm m

*- Ara-1 "b ,- u „ xra—1 m—1 ,m m

(5-71)

X2 -

X =

- U23X3

U13X3

0 X2m m

>» » * — Uj x1m m

y en forma general:m

(5-72)

Con todas las consideraciones anteriormente mencionadas, ha-

sido posible estructurar el subprograma GATTSS.

Adicionalmente se ha previsto el caso en que un elemento que-

va a dividir a otros no sea igual a cero, para esto se realiza un-

cambio automático de posisión de las Tilas de la matriz, hasta en-

contrar un elemento que sea=diferente de cero* Este es el caso, de

un elemento que tiene un valor igual a cero y que pertenece a la -

diagonal principal de la matriz el cual provocaría errores en los-

valores de las incógnitas. Si luego de haber agotado todas las po-

sibilidades anteriores, no se llega a la condición deseada, el sub

119

programa regresa a "buscar la matriz original, cambiando totalmente

la posisió*n de sus líneas para luego intentar resolver el sistema-

de ecuaciones* De esta manera se asegura la solución de un sistema

de ecuaciones*

El diagrama de flujo del subprograma GATJSS» se encuentra deta

liado en la FIg. 5-13*

INICIO

DO 10IND = 1,20

VN(IHD) = o.o

rDO 10JND B 1,20

A(iro,Jisn))=o.o

si\WOKD i

\I

KOHD = 2Y(1,2Y(2,1Y(2,2GIK(2

==

•=-

\'

t T/

/NO

0.0.1.0.

/

0000

o C\

© T

(SI

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\

s*.

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11

P P H

H 53 H O il .

P H H ^

^ •^

^\ S

«•O

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o

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;

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- •>

P « H II •g1

1 M ^í

1 1 L

O PP K H

i •"H H 11 CQH

CNJ

J

P » H 'V-p

*P H H ^ P 55 H

O P

CD

23 HO

11

O

f-5»

H ^

••

H <$ II

Hí

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1— !

Hl

U

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1

o 00

H

1

o£y 1

ara » ara»(erar'raí) v

oíi oa

ioa

OHOfí = OÍÍ3

IS

1+MSI a- MSI

ü

ONU - WI(MWana

IS

- aun =

OHOfí*COÍI=og ocr

oí oay i

1 + OKI = SI

Oíí

zzv

Ct-fi

"1

osen = ara/ i

CDTW* l»

OOL oa

a

124

El listado del subprograma G&TJSS se encuentra detallado en el

ANEXO-5.

5-4-8. Subprograma RESP.-

Este subprograma debe ser preparado, siem

pre que las características del circuito sean distintas, v-

puesto que las respuestas para diferentes circuitos van a -

ser encontradas con la ayuda de ecuaciones, las cuales ten-

drán estructuras muy propias* Es necesario considerar las «_

cuaciones que -representan las diferentes respuestas que se-

desean obtener, para el instante t = O * De igual forma de-

ben ser consideradas las ecuaciones que definen las respueis

tas para t > O « El control recibe del subprograma TSCMS por

medio de los argumentos : I,VN,VE,CE,R,C,B,VOUT,T y H.

El arreglo VOTJT, está estructurado de tal manera que -

pueda contener varias respuestas, que definen el comporta -

miento del circuito»

El diagrama de flujo del subprograma RESP se encuentra

detallado en la Pig. 5-14»

SIINICIO

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFI-NEN LAS RESPUESTAS DESEADAS Y-GUAHDARLAS EN EL ARREGLO:

VOÜT(1,J)

ECUACIONES

RETÜRN

-DO

S-F

OR

TR

AN

- IV

-MA

4N

PG

M—

-DA

TE

16

/11

/79

TIM

E1 2 3 4

'

S 6 7 C 9 10 ti 12 13 i.] i5 '6 ,7 •U 9 0 ti .'2 3 .1 5 6 / Ü

00

01

00

0 2

00

03

00

04

00

05

0 0

06

00

07

00

08

00

09

00

10

00

11

00

12

00

13

OO

1 4

00

15

00

16

00

17

— 0-0

-16

—0

01

90

02

00

02

1Q 0

2-2

—0

02

30

02

40

02

50

02

60

02

70

02

80

02

90

0^

00

03

10

03

20

03

3.0

0-3

-4-.

—

-0

03

5

C

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UT

INA

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D=

NO

RO

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D*N

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J G

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5

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RD

— 2

Y( 1

,2)=

0.0

Y(2

»U

= 0

.0Y

( 2

,23

=1 .0

C I

N ( 2

} ~

0 * 0

--

-5

D

Q

10

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=1

,3

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NÍ IN

Dí=

0.0

DO

1

0

JN

D=

lt3

0lO

Aír

Mn

.iM

ní^

o^

oD

O

20

IND

=1

,N

GR

DV

NÍ

IND

)=C

IN(

IND

)D

O

20

JN

D=

1 ,

NO

RD

20

— A

i IN

C-,

JN

D J =

Y(

IND

, JN

D)

14

0

DO

3

0

IND

=1

,NC

RD

IS=

IND

+1

DO

90

LN

D=

IS,N

OR

DIF

Í-A

( IN

D,

IND

5 .

NE

.0.0

3G

O-

TO

7

0D

O

80

KN

D=

IND

*NO

RD

X=

AÍ

INC

,KN

D)

A{

INC

.KN

D }

=A

ÍUN

D,K

ND

|8

0

A(L

ND

»K

ND

)~X

X=

VM

(IN

D)

VN

<IN

DJ =

VN

(UN

I^)

90

VN

CL

ND

} =

X

-( '/;>

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GO

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O

120

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v ;v

L-

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- _

70

V

NC I

ND

Í=V

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IND

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D ,

IN

D }

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-'l

J -

/L

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OR

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DO

4

0

JN

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IND

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RD

—

A-U

W-O

,LN

O )

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.(-I

ND

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N&

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ND

, IN

D)

\'r>

40

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LN

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do

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pro

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GA

US

S.

19 ¡0 11 12 13 14 15 '.6 17 ¡0 19 •10 II 12 13 -l< 15 16 17 13 19 !0 51 SZ •13 :¡4 .¡5

0036

0037

ooaa

—.-

0039

0040

0041

-QO42.

_ .

_0043

0044

0045

0046

_.

0047

0048

0049

0050

0051

0052

0053

0054

...._-

0055

0056

0057

0058

0059

0060

0061

0062

0063

0064

0065

_. .0.066

0067

0068

0069

IFt IND.EQ.NORD)GO TO 30

,

v '

--,

IS=IND+i

^

-DO

0 KND=I S

T NORD

^-^

r —

LND=NORD

' :rr-

'DO 50 MND=IND»NORD

¿ ^

AXXHC »l_NDLl=ACKRD»-L6IOL)--Aí KND» IND) *At IND»LND)

50 LND=LND-1

-"!

;--

30 CONTINUÉ

'?-j

oX

LND^NORD

MND=NORD-1

IM=MNO

DO 1 00 IND=1,N'ND

KND=NQRD

D-0 110

JNO=LND.»>JORD

--

-VNÍ IM3 = VN( IM)-VNÍKND)*AÍ IM»KND)

• V

<1P

\' ;'i ? 'T\ 10 KND=KND-1

::' e

, \

S

LND=LND-1

10.0- IM=IMr-l . ._ .

.._..-

IFÍNRD.EQ.l )NORD=1

RETURN

IF ¿ISW .GT .1 J GQ TO ?QO

KND=NORD

1

DO 130 IND=1*NORD

DO 130 JND=1»NORD

--

Ai INC,JND)=Y(KND,JND)

130 KND=KND-1

GO TO 140

200

WRITH(3.300J

.._

...

- -

300 FORMAT1 1H1 ,2X, 'CANCELADO ** NO HAY SOLUCIÓN AL SISTEMA DE ECUACIÓN

ÍES *# */,2X,1POR EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSI ANA '

,/2X , 'TRATE NÚ

2EVAMENTE VARIANDO. LA POSISION DE LAS INCÓGNITAS1»/// )

CALL- .EXI.T .

.....

....

..END AN

EXO

-5.

(co

nti

nu

aci

ón

).ro o

12?

GUARDARLAS EN EL ARREGLO:VOUT(I,J)

ECUACIONES

V

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN

LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

PARA CALCULAR LOS SIGUIENTES PUN

TOS

ECUACIONES

RETÜRN

Fig. 5-H

El listado en detalle del subprograma RESP se encuen -

tra en el ANEXO-6.

5-4-9- Subprograma ADMIO?*-

Este subprograma se encarga de -

determinar la matriz de admitancias, a partir de los

valores que contienen los arreglo» RES,CON y BOB,

que representan la parte resistiva, capacitiva e in*-

&QS--FQR-T-RAN —I-V—360N-F-G--479—3-6-

-MA-INPGM

16/1

TIME

!

C

SUBRUTINA PARA INDICAR LAS RESPUESTAS NECESARIAS, GUARDÁNDOLAS

, C-

EN LOS CAMPOS VOUT(I,J) CORRESPONDIENTES EN FUNCIÓN DE LOS CAM

.___C

p43S—V-N-(-í~-i—Y--Ge-tO-S VALORES --DE-MJS--StE-MENT-OS—-

1 0001

SU8RQUTINE RESP(I,VN,VE,CE,R,C»B,VOUT*T,HJ

; 0002

DIMENSIÓN VNÍ30) » VE* 40) ,CE(40) »R<40¿ .CC403 18 ( 40 3 , VOUT ( 200 , 30 )

, 0003

ÍF(I.NE*0)GO TO 10

C—--PONER L4S--ECUACI-QNES- QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CON-

C

DICIONES INICIALES EN LOS CAMPOS VOUTÍ1»J) CORRESPONDIENTES.

, 0004

VQUT(1, 13 = VN( 1 )

•)

C

FIN DE LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CONDICIONES INICIALES

,2

00

05

R

ET

UR

N_

G

--

PO

NE

R

LA

S-E

GU

AC

ION

E-S

- Q

UE

-DE

-TE

RM

INA

N-L

,AS

--«

ES

PU

E-S

T-A

-S-P

AR

A—

TIE

MP

OS

13

C

MA

YO

RE

S

QU

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0+

E

N

LO

S

CO

RR

ES

PO

ND

IEN

TE

S

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J

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n— --

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.

--

- - -

—

— - —

- I. - --.

m-"

;( 0006

,10 VOUTÍ I» !)=( 50.*SIN'C2000.*T)-VN(1 3 )/R(2)

* C

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS

,;)

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDI CIONES N INIC I ALES

'"

0007

CE(3)=VOUT( 1,1)

;3 0008

VEÍ4) = VN£2)

1 __

_.C—

...f?

-I -N_ DE t- AS -ECU-AC IONES—QUE DEFINEN- LAS NUEVAS CONO IC I ONES -IN-I-CI AL'ES

.3 0009

RETURN

. 0010

END

o

}'ú'-t-l .V,''-'

' '

J1

CO

ANEX

O-6.

Li

stad

o de

l su

bpro

gram

a RE

SP.

129

ductiva, respectivamente. El control recibe del subprograma TSCMS-

por medio de los argumentos* H,RES,CON,BOB,NORI)fY.

El diagrama de flujo del subprograma ADMIT se encuentra deta-

llado en la Fig. 5-15.

INICIO

v

rDO 30

1=1 ,NORD

DO 30J= 1,NORD

HBS(I.J) + CON(I,J)/H + BOB(I,J)XH

RETÜfíN

Fig 5-15

El listado del subprograma ADMT ee encuentra en el ANEXO-?.

5-4-10. Subprograma DTOAN.-

Este eubprograma ha sido realizado con-

la finalidad de representar gráficamente las respuestas pa

ra un determinado circuito. Básicamente se parte de las ta

blas de tiempo y valores instantáneos que definen el com -

portamiento de dicho circuito.

} -DOS—R3RTRAN--IV- 360N-FQ-4-79--3—8-

---MA-INPGM -

—- ——DATE

16-/11/79

2

c

PROGRAMA PARA ENCONTRAR LOS VALORES DE LOS ELEMENTOS

C

DE L* MATRIZ DE

ADMITANCIAS EN BASE A LOS TRES ELE

___

G

EN.TQS._QUE COMPGNEN-eAD- ELEMENTO OE-bA- MA-PR-IZ-<Y>.-

4 0001

SUBROUTINE ADM I T( HURES,CON,80B,MORD,Y)

5 0002

DIMENSIÓN RESÍ30»30)aCON(30,30),BOBÍ30*30)iY<30*30)

6

0003

DO 30 I=1,NORD

-—-OOOA —

—

—DO 30 J=1,NCRD

'1

0005

30 Y( I,J}=RESÍ I

»JJ

+ CON(I*J)/H + BOB(I*J3*H

8 0006

RETURN

o 0007

END

ANEX

O-7.

Li

stad

o de

l su

bpro

gram

a AD

MIT.

131

Los gráficos que representan cada una de las funciones d« rej3

puestas tienen a su disposisión 100 puntos en lo que respecta al -

eje del tiempo y 50 puntos en lo que respecta a los valores que va

tomando- cada una de las funciones a lo largo de la variación del -

tiempo.

El razonamiento para la grafizaciÓn de una función se encuen-

tra detallado a continuación.

5—4-10-1» Valores de las escalas en los dos ejes del plano.-

En la-

Fig* 5-16 se supone el gráfico de una función, que de a-

cuerdo a los puntos disponibles a lo largo de los ejes -

del plano y a sus valores se determinarán las correspon-

dientes escalas.

. 4-16

Estableciendo la diferencia entre valores máximos -

y mínimos se tiene!

DT = VT m4ac - VT.oifn (5-73)

y, DY = VY-máx - VY mfn (5-74)

Por lo tanto, estableciendo las siguientes ecuaciones se

llega a determinar la escala para el eje del tiempo, así

132

como la escala de variación de la función con el tiempo; da tal ma

ñera que:

ET = DT100

' (5-75)

(5-76)y, EY B rDY50

5-4-10-2. Determinación del lugar que ocupa un punto en el eje ho-

rizontal. -

Para explicar detalladamente este punto, se tp_

mará en cuenta la Mg. 5-17

V 1 nia-í

NYT

. 5-17

La Fig. 5-17 > representa los dos ejes del plano en-

el cual se grafizará la función respuesta* Como se obser

vara el punto mínimo del tiempo corresponde al punto 1 -

del gráfico, y el punto máximo del tiempo corresponde al

punto 101 del gráfico, es decir que a un punto-VT del -

tiempo le corresponde un punto KYT del gráfico. Por lo -

tanto se puede establecer la siguiente proporcionalidad*

VTmáx - VPmfn _ VT - VTmín (5-77)101-1 ~ NVT - 1

Ahora "bien, de la Ec. (5-77) se despejará NVTt que-

es el valor que interesa para grafizar la función.

133

Además debe establecerse una operación de redondeo, es decir-

que si la parte fraccionaria del valor resultante NVT, es 0.51»-

dicho valor tomará el nú*mero entero consecutivo posterior. Por lo-

tanto;

e (VT - VTmín)lOO t . ^ ADT + ^ + U

(5-78)

5-4-10-3* Determinación del lugar que ocupa un punto en el eje —

vertical.-

Para conseguir el objetivo propuesto, debe con

siderarse la Fig« 5-18*

/vi/y

Fig. 5-18

En la Fig* 5-18 se ha establecido, tanto la varia -

ción de la función en el sentido de las ordenadas, así -

como también la variación de la función en el gráfico, -

en lo que respecta al eje vertical. Por lo tanto, se pue

de establecer la siguiente relación de proporcionalidad.

VYmáx - VYmfn VYmáx - VY (5-79)1 - 5 1 tt 1 _ KVY '

3Jo que interesa es conocer el valor que tomará KVY,

el cual determinará la situación del punto en el eje ver

tical del gráfico. De la misma forma que en el caso del-

134

valor NVT, también es necesario establecer un valor, de redondeo pa

ra fracciones de NVY 4, 0*5* Por lo tanto;

5-4-10-4» Determinación de lo» eje» del gráfico.- ^ , ^

El gráfico que re_

presente la variación de una función, los «jes estarán -

representados por líneas de puntos* La situación de di -

choe ejes se determina de la siguiente forma:

El valor resultante de la Ec. (5-81) representará -

la situación del eje del tiempo, cuando el valor de TI ,

sea igual a cero*

El EJE Y aparecerá siempre que el intervalo de tiem

¿T™ po, tenga un valor inicial igual a cero, caso contrario-

este eje no se hará presente.

Como se podrá notar en el razonamiento descrito, ].>

los valores que toman NVY y NVT» vienen a representar -

las coordenadas de una determinada función; en el plano-

del gráfico* Es necesario añadir, que la función ocupará'

todo el gráfico, puesto que la determinación de sus coor

denadas se la hace, tomando en cuenta únicamente los va-

lores máximos y mínimos que tiene dicha función. Adicio-

nalmente en la parte superior del gráfico, aparece el ~

nombre de la función que se está representando, siendo -

dicho nombre uno de los datos que deben darse para la e-

135

jecuci<5n del sistema de programas. También aparece una tabla de va-

lores puesta en sentido vertical que representa los diferentes valo_

res que toma la función en el transcurso del tiempo* Por líltimo en«

la parte inferior del gráfico aparece intervalos de tiempo, cada 10

puntos.

5_=4_10-5» Diagrama de flujo del subprograma DTRAN.-

Bl- diagrama de -

flujo del subprograma DTEAN se encuentra detallado en la-

136

DT=VTMÁX-VO?MIÍÍDY=YYMAX-YYMIN

ET=LT/100ET=DY/50

X

tí ocr

oa

i. + i * r

86 oa

6a oa

Líl

138

DO 331=1,106,5

139

DO 351=2,101

/35

DO 361=1 ,NP

+ 1 . 5

I

140

SIGN(ILK),f ) f J*

1,102)

«•,

DO 511=2?51

SIS(j),CNGR(I,K),K=

1,102)

I

(NGR(52,J),J=1,102) ,

1,9,2)

2,10,2) EETUBW

5-19

El listado del programa DO?RAN, se encuentra en el AKEXO-8.

\~ F

,OR

-TR

AN

-I-V

3

60

N-F

-Q-4

79

—3

-B-

—M

A-I

NP

GM

-1

6/1

1/7

9-

TIM

E

2 C

SUBPROGRAMA PARA GRAFIZACION DE FUNCIONES EN BASE A COORDENADAS

3 0001

SUBROUTINE DTRAN(VT,VY,NP,ILK»SIGN>

—0-0-0-2-

OI-MENS-ION- VT (-2

00-)

» VY ( 20-04-* S I S( SO ) . NGR4-5-2r-, 1 02 )-, TI M 1-0 )

> S I-GNÍ 30 )

4

,00

03

R

EA

U*

4 S

IGN

s 0004

INTEGER -EQUIS,BLANC,RHOR,RVER»PUNT,AST,W2

6

0005

DATA EQUIS,BLANC,RHOR,RVER.PUNT,AST/«X;I ,« ',«-',* | ' , * .',«*«/

7 0007

VTMAX=VT(13

c 0008

VYMAX=VY(1)

9 0009

VTMIN=VT(1)

10

00

1 1

D

O

30

1 =

2,N

Pn

00

12

I

FÍ

VT

ÍI

j.G

T.V

TM

AX

3V

TM

AX

=V

T(

I )

,2

00

13

IF

(V

T( I

1.U

T.

VT

MIN

J V

TM

IN^

VT

Í I

)

13

00

15

'

iF(V

Yd

) IL

T.V

YW

IN)V

YM

IN=V

Y( i

)u

00

16

3

0

CO

NT

INU

É,

00

17

IF

ÍVY

MIN

.GT

.O.O

)VY

MIN

=0

.0—

OO

L8

——

O

T—

VT

MA

X-V

TM

IN6 '0019

DY=VYMAX~VYMIN

7 0020

ET=OT/100.0

, 0021

EY=DY/50.0

0022

DO 29--1—1,10

? 0023

29 TIM< I

:) = ET*I*10.0 + VTMIN

0 0024

S IS(1 )=VYMAX

, 0025

00 98 1=1,49

? 0

02

7

98

S

ISÍJ

3=

VY

MA

X-E

Y*

FL

OA

T<

I)3

00

28

DO

31

1=1

, 10

2 .,

, 0

02

9

DO

31

J=

l,5

2

O "

••''}

;\\

\'i,'

•: .

00

30

- 31-

-JM

Gfi

4_J,

Lj=

81

-AN

C

—

. O

, >

' '?

••/••

-5

00

31

D

O

32

1=

1,5

6,5

V

AxV

- <;

;'/1

00

32

D

O

32

J=

1,1

02

N

V.

"',

00

33

K

=I

x

ANEX

O-8.

Lis

tado

del

su

bpro

gram

a DT

RAN.

00

35

00

36

00

37

- 0

03

80

03

90

04

00

04

1_

Qj0

42

00

43

00

44

00

45

00

46

00

47

00

48

00

49

00

50

00

51

00

52

00

53

00

54

00

55

00

56

00

57

oo

sa0

05

90

06

00

06

10

06

20

06

30

06

40

06

5-0

06

60

06

70

06

80

06

90

07

0

32

33

34

40

35

36

21

51

52

54

22

23

NG

PÍK

, J)=

RH

OR

C

.rIF

ÍK.E

Q.

1.0

R.K

,EQ

.52

)NG

R<

K, J

J^É

QU

ISC

ON

TIN

UÉ

^j

DO

33 j

=2

,si

.::K

= I

'^

~-'

IF(K

*E

O .111

,)K

=K

-9

^v,

I F

í K

,E

Q . 1 .

OR .

K ,

EQ

* 1

0 2

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GR

>( J

Í-ÍC

J =

EO

UI S

CO

NT

INU

É

',

IFÍV

TM

IN.G

T.0

.0 )

GO

T

O

40

00

3

4

1 =

2,5

1-

-N

GR

Í I,

23

=P

UN

T

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3

5

1=

2,1

01

NG

fiíW

EY

, I)

=P

U&

XD

G

3€

1=1

,N

P

!N

VT

=< V

T( I

>-V

Tf*

IN3

#iQ

O.O

/DT

+ 1

.5

NV

Y=

-(V

Y(I }-V

YM

AX

)*5

0.0

/DY

4-

1.5

IFÍN

VY

.EQ

.l J

NV

Y=

2N

GR

ÍNV

Y.N

VT

) =

A

ST

CO

NT

INU

ÉW

RIT

E(W

2*2

1)S

IGN

<IL

KÍ

,<N

GR

Í1 »

JJ ,

J=

i,1

02

)F

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1H

1 »

12

X .

A4

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5X

-, 1

02

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----

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51

1=2 .

51

J=

I-i

WR

IT£

(W

2*5

2}S

IS( J

) ^

(NG

Rí( I

-,K

)tK

=l,

10

2)

FO

RM

AT C

5X

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0.3

* 102 A

l ,)

....

..W

RIT

E(W

2,5

43 (

NG

RÍ5

2, J

),J

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^1

02

)F

QR

MA

TÍ

15

X*

10

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1 )

FO

RM

AT

Í25

X, ' | ' ,9

(9

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\.'-] ,/ *

20

X ,E

1 0

.3 ,

5X

^W

RIT

E(W

2,2

3)

(T

IM( I) ,

1=

2,1

0,2

)F

OR

MA

TÍ3

0X

,E1

C.3

,4Í

10

X*E

10

..3

))R

ET

UP

NE

ND

-

-

ro

AN

EX

O-8

.(co

ntin

uaci

ón).

CAPITULO SEXTO

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

UTILIZANDO BL SISTEMA DE PROGRAMAS PARA SIMULACIÓN DE REDES RLC

143

En este capítulo se ilustrará, con la ayuda de varios ejemplos de

aplicación, la manera de utilizar el sistema de programas para la

simulación de redes RLC*

Para cada ejemplo se expone en primer lugar la forma de deter-

minar las ecuaciones nodales de equilibrio, tanto para las condi -

clones iniciales, como para las condiciones siguientes, luego se -

determinarán las ecuaciones que intervienen en los subprogramas —

CORE y R33SP* A continuación se hará una indicación de la forma de -

preparar los datos* Y por último se pondrá los resultados obteni -

dos tales como: una tabla de valores y los gráficos correspondien -

tes.

6-1 • E.1 emplo 1_; aplicación del método de simulación lineal en un -

circuito RC serie.-

En el circuito serie RC representado en la

Fig. 6-1 la carga inicial del condensador es 0 = 2.500x1 O* -

Culombios* En el instante t *= O, se cierra el interruptor,

con lo que al circuito se le aplica una fuente de tensión -

constante V = 100 voltios. Determinar la variación de la in -

tensidad de corriente que circula por el circuito.

-oX-

100v "-i- ' ^

Pig. 6-1

144

6-1-1. Análisis del circuito para t = O *-

Para el siguiente análi-

sis se considera el circuito de la Fig. 6-2.

VE(1"

Fig. 6-2

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es:

VN(1? - VE(1) = Q ,6 }RÍO} ^ •*•* w Vo 'y

El valor del voltaje VN(1) en condiciones iniciales es i -

gual al valor del voltaje VE(3). Por lo tanto el iSnico va -

lor desconocido es la corriente i_, siendo este, el valor -

de la corriente que circula por el circuito en condiciones-

iniciales.

El valor de VB(j) se determina de la siguiente forma:

Por lo tanto,

= VEO) -(2)

6-1-2* Análisis del circuito para t > 0 «-

(6-2)

En este caso se conside-

ra el circuito de la ílg1. 6-3.

145

-AMVH(2)

VE(1) -e H/0(3)

r- 6-3

La ecuación de equilibrio en el nudo 1 es:

(6-3)

De la ecuación (6-3) se despeja VK(l)t ya que este es el va -

lor que debe ser determinado; por lo tanto,

(6-4)

VN(1) ~ VE(1) TOÍ.1) C(3l VE(3) * OR(2) + H/C(3) * H

H

6-1-3. Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y

De acuerdo al manual de utilización del sistema de pro-

gramas del apéndice At en el arreglo VN se depositarán los a

valores de las incógnita tanto para las condiciones inicia -

les como para las demás condiciones, de tal manera que el ya

lor de i_ de la ecuación (6-2) se depositará en el elemento-

W(l), del arreglo anteriormente mencionado, y en el elemen-

to Víí(l)t el valor de la incógnita VK(l) de la ecuación (6-4)

Aclarando un poco más esta situación, de acuerdo a la -

.forma como está estructurado el sistema de programas, debe -

considerarse a la ecuación (6-2), como un sistema matricial-

al igual que la ecuación (6-4)t de tal manera que:

para la Ec. (6-2) el sistema matricial es,

1 1 VN(1) VE(1) - VE(3)RC27

(6-5)

146

y para la Ec. (6-4) el sistema matricial correspondiente es;

1 'H

VN(1) , 0(3) VE(3)HÍ2) fí

(6-6)

Observando los sistemas matriciales (6-5) y (6-6) se puede ~

distinguir claramente: una matriz de constantes, que se encuentra

en el extremo izquierdo de cada sistema, acompañada por la matriz

de incógnitas, representada en este caso por VN(l), y por líltimo-

una matriz de corrientes que se encuentra a la derecha de la i -

gualdad *

Tomando en cuenta las consideraciones anteriores, es posible

estructurar los subprogramas CORR y BESP, en los cuales intervie-

nen las siguientes ecuaciones:

para el subprograma C0HH,

- VE(3) (6-7)

(6-8)R(2) T H

para las condiciones generales o t>0 .

Debido a que nos interesa determinar la variación de la co -

rriente en el circuito RC serie de la Fig. 6-1, es necesario esta-

blecer las ecuaciones que definirán dicha variación, a partir de -

los valores que se encuentren en el arreglo VN, por lo tanto, el -

subprograma RBSP tendrá las siguientes ecuaciones:

VOUT(1,1) *= VJí(l) (6-9)

para las condiciones iniciales» y

VOUO?(r2tl) * VE(I) - VM(1.) (6-10)¿(2)

RC2T

en condiciones iniciales, y

+ 0(3) VB(3)

147

para las condiciones generales o t> O .

Según la estructura del sistema de programas para la simula -

ci<5n de circuitos RLC, para determinar un punto de variación de la

función de respuesta, se parte de una cierta condición inicial o-

condición anterior, la cual varfa para cada punto de dicha función.

Por lo tanto, debe establecerse las nuevas condiones iniciales,

que permitan determinar el siguiente punto de variación de la fun-

ción de respuesta» Para el presente ejemplo, la ilnica condición -

que varfa es el valor de la tensión en el condensador la cual está

determinada por la siguiente ecuación;

VB(3) « VH(1) (6-11)

Los correspondientes listados de estos dos subprogramas se en

cuentran detallados en los ANEXOS 9 y 1Q respectivamente.

6-1-4. Datos para la ejecución del sistema de programas.-

La fonna-

y el orden de estructurar y proporcionar los datos al compu

tador, se encuentra en todos ,sus detalles en el Apéndice A»

pero, para aclarar un poco más el asunto, procederemos a de_

tallar con detenimiento, este punto*

En lo que respecta a las matrices de constantes de los

sistemas (6-5) y (6-6), deben ser consideradas como tales -

es decir como matrices de orden 1,

La matriz de datos para las condiciones generales o tt

mayor que O , debe obtenerse a partir del sistema (6-6), -

reemplazando los valores de los elementos del circuito, en.-

IOB sitios correspondientes, de tal manera que:

0.1 + 0.3x10H H

~4

148

(6-12)

En lo que respecta a la matriz de constantes del sistema (6*5)

es necesario indicar, que no debe modificarse su estructura origi-

nal, puesto que sus elementos tienen valores determinados, que pu£

den ser iguales a 1, o a cero, indistintamente dependiendo de la -

estructura del circuito.

Hecha esta aclaración procederemos a detallar la estructura ¿¿

de los datos para el presente ejemplo

Tarjeta 1

00 (col 1/2 IGOD Formato: 12).

Tarjeta 2

001 (col 1/3 NOJRDI Formato:

Tarjeta 3

1.0 (col 1/10 Y(1,1) formato :E10. 3).

Tarjeta 4010101003065(col 1/2 KORD Formato: 12, col 3/4 KPfílN For-

mato: 12, col 5/6 JJRES Formato: 12, col 7/9 NELE Formato:

1$, col 10/12 NP Formato: 13)..

Tarjeta 5

0.1 +0.500E-04(coI 1/10 EBS(ltl) Formato: E10.3, ~

col 11/20 COH(1,1) Formato: B10.3).

Tarjeta 6

0.0 +0.163E-02 (col 1/10 TIN Formato: B10.3» col -

11/20 TFIN Formato: E10.3).

Tarjeta ?

0.0 0.0 0.0 100.0 (col 1/10 R(1) -Forma-

to: E10.3» col 11/20 C(1) Formato: B10.3,1 col 21/30 B(i)-

149

col 51/40 VB(1) Formato: E10.3).

Tarjeta 8

10*0 (col 1/10 R(2) formato £10.3).

Tarjeta 9

0.0 -(-0.50033-040,0 -50.0 (col 1/10 R(3) Porma-

to: S10.3, col 11/20 C(3) formato: B10.3t col 21/30 B(3)-

Formato E10*3, col 31/40 VB(3) formato £10.3).

Tarjeta 10

I (col 1/4) SIGNO) Formato i A4 ).

Tarjeta 11

Esta tarjeta va en "blanco y es obligatoria.

Conio se verá, el número de tarjetas de datos para la ejecu -

ci<5n del sistema de programas es 11, Es necesario aclarar que las-

tarjetas 10 y 11 para el presente ejemplo, son usadas para indicar

al programa el nombre de las respuestas que se desean obtener. Co-

mo para este ejemplo se requiere de un nombre solamente, que es I,

siendo este el nombre que aparecerá en la tabla de respuesta, y en

el gráfico correspondiente^ la tarjeta 11 deberá quedar en blanco.

La tabla de variación de la corriente para el circuito de la-

íig-. 6-1 , se encuentra en la tabla 6-1, y el gráfico correspondien

te en la íMg* 6-4*

DO S—FORTR AN I V -36ON-FO- 47 9~3-~8-

-ooo-i-

0002

0003

0004

0005

0006

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/- O 008-

c ---- SUBRUTINA DE MATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

C ---- INICIALES» COMO PARA UN TIEMPO MAYOR QUE 0+

DIMENSIÓN VEÍ40) ,CE<403 ,R(40 ) ,C ( 40 ) ,BÍ40 ) ,C IN(30 )

IFÍI.NE.OÍGO TO 10

C -- PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

-C -

: — LES- DEL- CIRCUITO»- Y GUARDAR EN LOS CAMPOS CIN( I )— CORRESPtW-

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0002

0003

0004

0005

0006

0007

0008

0009

C

SU8RUTINA PARA INDICAR LAS RESPUESTAS NECESARIAS* GUARDÁNDOLAS

C

EN LOS CAMPOS VOUTÍI»J) CORRESPONDIENTES EN FUNCIÓN DE LOS CAM

G

P G-S—V N<~I 3 »—Y—DE- LO S- V AtOR ES ~GE-teS—Et&ME-NTQS

— ~~

——

SUBROUTINE RESP(I,VN,VE,CE»R,C,B»VOUT,T,H}

DIMENSIÓN VNÍ303 ,VE(40) »CE(40)»R(40) »C(40) ,8(40 ) ,VOUT(20O,30)

IF(l.NE*0)GO 70 10

£

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS -RESPUESTAS SEGÚN—tAS CON

C

DICIONES INICIALES EN LOS CAMPOS VOUTÍ1,J) CORRESPONDIENTES*

VOUTÍ1t1)=VNÍ1 )

C—

FIN DE LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

—C

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C

MAYORES QUE O* EN LOS CORRESPONDIENTES CAMPOS VOUTÍI,J).

10 VOUTÍ1,1|=fVE<1J-VNI1)J/R(2)

C

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

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FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

END

ANEX

O-10

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154

6-2* £Bj emplo 2 : aplicación del método de simulación lineal en un

circuito HL serie.»-

En el circuito serie RL representado en -

la Fig* 6-5» se cierra el interruptor en el instante t = Ot~

con lo que al circuito ¿e le aplica una tenei<5n constante de

50 voltios. Determinar la variación de la intensidad de co -

rriente que circula por el circuito.

50v i=:25-n.

0.01 fíen

Fig. 6-5

6-2-1. Análisis del circuito para t « O .-

En este caso se -

considera el circuito de la Pig-. 6-6.

r. 6-6

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 ee:

TO(1) - VB(1) CE(3) » O (6-13)J 2j +

Debido a que la corriente inicial en la bobina Cí)(3)f

155

es igual a cero; el valor del voltaje de nudo W(1 ) es igual al va

lor del voltaje VE(l). Por lo tanto la ecuación que debe conside -e_

rarse para los subprogramas CORR y RESP es: •

OE(3) VE(1) - VE(1)R(2)

(6-14)

6-2-2. Análisis del circuito para t ? O *»

En el presente análisis *

se considera el circuito de la Fig* 6-7.

VE(1) -n

CB(3)

, Fig, 6-7

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es la siguiente:

TO(-4) - VB(1) TO(lfr CB(3) - O (6-15)¿(2) EÜ7/H+

De la ecuación (6-15)» se obtiene la siguiente, que -

viene a ser la representación matricial de la;misma;

H VN(1) » CB(3) (6-16)

6-2-3. Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y RBSP«-

Partiendo de la ecuaciones (6-14) y (6-16)t se determi-

na las ecuaciones que intervienen en el subprograma CORR, -

de tal manera que:

0139(1) m VB(1) ~ VE(1) (6-17)R(2)

para las condiciones iniciales» y

156

VE(1) CJS(3) (6-18)RÍ2T "

para las condiciones generales o txO .

Debido a que interesa determinar la variación de la corriente

en el circuito serie SL, de la Fig-. 6-5t es necesario establecer -

las ecuaciones que definirán dicha variación, a partir de los valo_

res que se encuentren en el arreglo VN, por lo tanto, el subprogra

ma HESP tendrá las siguientes ecuaciones*

VOTO(ltl) « TO(1) (6-19)

para las condiciones iniciales, y

) « vE(r). - vy(i) (6-20)H(2)

para las condiciones generales o t >0 .

La ecuación que determina la variación de las condiciones ini

ciales para el presente ejemplo es la siguiente:

CE.(3) « VEÍ-.1). -. VN(1) (6-21)"

Los correspondientes listados de estos dos subpr o gramas se en

cuentran detallados en los ANEXOS 11 ly/1 2,:. -respectivamente.

6-2-4* Datos para la ejecución del sistema de programas, -

La matriz

de datos para las condiciones generales, debe ser determina

da a partir del sistema (6-l6)f de tal manera que:

1 H_

5(27 *0.04 +100H (6-22)

157

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25*0

0.0 0,0 0.01

I

Tarjeta en "blanco obligatoria

Tabla 6-2 Datos de entrada para el ejemplo 2

En la tabla 6-2 se encuentra especificado el orden en que de-

ben estar estructurados los datos de entrada, representando cada -

línea de la tabla 6-2, una tarjeta de datos.

La variación de la corriente para el circuito de la Fig. 6-5»

se encuentra representada en la tabla 6-3» y el gráfico cprrespon¿-

diente en la Fig. 6-8.

-DOS- FORTRAN—IV 360 N-FO-479—3~8

-MATNPGM-

-DATE

-000-1

0004

0005

0006

0007

0-0-0-8

C ---- SUBRUTINA DE NATRICES OE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

C ---- INICIALES t COí^Q PARA UN TIEMPO MAYOR OUH 0 +

— —

SÜBROÜTTNe €QRR-<'T-fV^,Cefíi-,e-, B-»e'IN,-TH-) --------------- —

------- — --------

DIMENSIÓN V£Í40),CE{405 »ÍH 40 ) *CÍ 40) .B(40),CIN(30J

IFÍI.NE.O)GO 10 10

C ---- PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

----- e -

LES DEL ClRCUlTO-t - Y GUARDAR EN LOS CAMPOS C tNM )

* ------ CCRRESPON-

C -

--- DIENTES

,

CINÍ I )={V£Í D-VEÍ 1) J/R( 21

-

C ---- FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

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C ---- FIN DE LAS ECUACIONES PARA T MAYOR QUE 0+

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END- - .

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ANEXO-11.

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del

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_pONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS S£<5UN-trAS-CON

C

DICIONES INICIALES EN LOS CAMPOS VQUT(1*J) CORRESPONDIENTES.

VOUTdf l)s=VNClÍ

C

— FIN DE LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CONDICIONES INICIALES

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_

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

CEÍ3I=(VEÍ1 0-VNC U)/fí(2i

C

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

END

ANEX

O-1Z

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X1 » X

X•ít X

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XH- X

tt X

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162

6-3* E.1 emplg ¿: aplicación del método de simulación lineal en un -

circuito fíLG serie>-

En el circuito serie HLC, representado en

la Fig. 6-9» B° existe carga inicial en el condensador, si se

cierra el enterruptor en el instante t = Oi» Hallar la intensjl

dad de corriente que circula por el circuito, aplicando el m£

todo de simulación lineal en el dominio del tiempo, para cir-

cuitos £I>C.

50v t=T

1 Hen

0*5

Pig. 6-9

-5-1. Análisis del circuito para t == O .-

Para el análisis en

este caso se considera el circuito de la Fig. 6-10.

R(2)WV1

Fig. 6-10

Las ecuaciones de equilibrio para los nudos 1 y 2 son:

f OB(3) - O (6-23)

para el nudo 1, y

163

±4 - OB(3) » O (6-24)

para el nudo 2.

Considerando el hecho de que, CE(3) *= O, el valor del voltaje

es igual al voltaje VE(l), por lo tanto,

CE(3)(2)

(6-25)

La ecuación (6-25) debe tomarse en cuenta, para la aplicación

del método de simulación» ya que la estructura del mismo así lo exL

6*3-2. Análisis del circuito para t>0 »-

El circuito equivalente -

en este caso se encuentra representado, en la Fig* 6-11.

B(3)/H

7B(1)H/C(4)

Pig. 6-11

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 esi

TO(1) • VEC.1.) 4 W(1) - VN(2) CB(3) * O (6-26)H(2) + B(3)/H +

Para el nudo 2 se tiene:

C&4) VB(4) - OB(3) » 0(6-2?)* H/0(4) " HB(3)/H

Las ecuaciones (6-26) y (6-2?) pueden ser representa -

das en forma de un sistema matricial; por tanto,

164

H

- HB(3)

0(4)+

HBÜ7

.•••y

~VN(1)~

VN(2)

,__VB(1) CE(3)~RÍ2T "

VB(4) + CE(3)"- H

(6-28)

6-3-3* Ecuaciones que intervienen en loe subprogramas CORE y BBSP.-

Para determinar las ecuaciones c ue intervienen en el

su"bprograma CORR, partimos de (6-25) y (6-28), de tal manera

que para las condiciones iniciales se tiene i

VE(1) (6-29)

y para las condiciones generales se tiene:

(6-30)

(6-51)

Debido a que nos interesa determinar la variación de -

la corriente en el circuito serie RLC, de la Fig. 6-9, es *

necesario establecer las ecuaciones que definirán dicha va-

riaci<5nf a partir de los valores que se encuentren en el a-

rreg-lo VNt por lo tanto» el subprograma RESP tendrá las si-

guientes ecuaciones:

TOTO(lfl) * VK(1) (6-32)

para las condiciones iniciales, y

(6*53)(2)

para las condiciones generales,

Las ecuaciones que determinan la variación de las con-

diciones iniciales para el presente ejemplo, son:

CE(3) =

165

(6-34)H(2)

y, VB(4) - VN(2) (6-35)

Los correspondientes listados de estos dos subprogramas ee en

cuentran detallados en los ANEXOS 13 y 14» respectivamente.

6-3-4* Datos para la ejecución del sistema de programas.-

La matriz

de datos para las condiciones generales, debe ser determina

da a partir del sistema (6-28), por lo tanto,

H HBT3

H

0.5 + 1.0H -1.0H

-1.0H 0.5/H + 1.0H

(6736)J

El orden como debe proporcionarse los datos al computa

dor, debe estar de acuerdo a la tabla 6-4» representando ca

da Ifnea; una tarjeta de datos*

íi 1 2 3 4 5Col. 12345678901234567890123456789012345678901234567890

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001

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026101004:100

0.5

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0.0

0.5

12.57

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1.0

-1.0

-1.0

1.0

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0.0 50.0

j¿t ' 166""*' 1 2 3 4 5

Col. 12345678901234567890123456789012345678901234567890

2.0

0*0 0.0 1*0

o.o 0.5

I

Tarjeta en blanco obligatoria.

Tabla 6-4 Datos de entrada para el Ejemplo 3

La tabla de variación de la corriente para el circuito de la-

Plg* 6*91 se encuentra representada en la Tabla 6-5» y el gráfico

correspondiente se encuentra en la Fig. 6-12.

í

U U U 1

0002

0003

0004

0005

0006

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UA

1 t.

i V/ 1 1 / / V

1 AME

SUBRUTINA DE MATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

INICIALES, COMO PARA UN TIEMPO MAYOR QUE 04-

DIMENSIÓN VE(40J,CEÍ40),H(40)»CÍ40 ) ,8(40) ,CINÍ30 )

,

IFitl .NE.O)GQ TQ

10

_

';>"

:,,

PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

LES DEL CIRCUITO» Y AGUARDAR EN LOS CAMPOS CINC I}»

CORRESPON-

DIENTES

CINÍ 1 1=< VEÍ 1 )-VEí 1 ) J,/

RC2J

FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

:

PONER LAS ECUACIONES GU£ CORRESPONDEN A T MAYOR QUE 0+

Y GURDAR EN LOS CAMPOS CINÍ I ) CORRESPONDIENTES

CIN( 1 )=VE(1 )/R(2)-CEí 3.

C INl 2) — C(4)*VEí4) /H + CEC 3 )

FIN DE LAS ECUACIONES PARA T MAYOR' QUE 04-

Hfc

1 UWN

END

ANEX

O-13

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3.

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•i 5 6 7 a 9 10"

U 12 14 15

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0002

0003

0004

0005

0006

0007

0008

0009

0010

c

SUBRUTINA PARA INDICAR LAS RESPUESTAS NECESARIAS, GUARDÁNDOLAS

c

EN LOS CAMPOS VQUTtI.J) CORRESPONDIENTES EN FUNCIÓN DE LOS CAM

~G

P&S—VN<-l-K~Y— De-tH3S-V^ibQRE5-DE-L-QS-EtEWENT-eS —-

:-

SUBROUTíNE RESP(I,VN.VE*CE ,R»C»B*VOUT*T»H)

DIMENSIÓN VNÍ30),VE< 40) ,CE(40)*R(40) ,CÍ40) ,8(40) ,VOUTí200,30)

IFCI -NE.O)GQ TO 1 O

-C~

—

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VOUTÍ1, 1)=VN(1)

c

FIN OE LAS RESPUESTAS SEfiUN LAS CONDICIONES INICIALES

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C

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS

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O-14

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RLC

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XXXX

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XXX

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I ' x

i «X

( V

i X

-é 171

6-4» E.1 emplo ¿;: aplicación del método de simulación lineal en un -

circuito RC serie con alimentación senoidal*-

Al circuito serie

RC representado en la Pig» 6-13» se le aplica una tensión se -

noidal V = 180 Sen(2000t + ©) voltios, y el condensador tiene»

una carga 0 » 1250x10*" culombios, con la polaridad indicada.

Hallar la variación de la intensidad de corriente que circula-

por el circuito si se cierra el interruptor en el instante en-

que 9 « 90°.

40-n-

Mg. 6-13

6-4-1* Análisis del circuito para t * O ,-

El circuito equiva -

lente para el presente análisis se encuentra en la Pig*

6-14*

. 6-14

172

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es:

- V(2)

= O (6-37)

En condiciones iniciales el valor del voltaje W(l) es igual -

al valor del voltaje VB(3)f"siendo VE(3> - qO/C(3).

El tínico valor desconocido en la ecuación (6-37) es por tanto,

i,. Despejando i, de la Ec. (6-37) ee tiene:

(6-38)

•4-6-4-2. Análisis del circuito para t>0 .-

En este caso el circuito e_

quivalente que debe considerarse se encuentra representado -

en la Fig. 6-15*

H/C(3)

Fig. 6-15

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es;

« V VN(1) C(3) VE(3) „ 0 (6-39)* H/C(3) " E

La ecuación (6-39) debe ser representada en forma matrdL

cial, de acuerdo a las normas establecidas en el manual de £

peración del sistema de programas, apéndice A; entonces,

v CÍ21 TO(3) (6-40)•T-ZV + H

175

6-4-3* Ecuaciones que Intervienen en los Subprogxamas CORE y HESP.-

Para determinar las ecuaciones que intervienen en el

subprograma SGSR, partimos de (6*38) y (6-40)? de tal manera

que para las condiciones iniciales se tiene:

CIK(1 ) 180 SeS$20Qa$ +Í7/2) -~

y para las condiciones generales se tiene:

_ 180 S_en(2QOOt 4-77/2) C(3) VB(3) (6-42)- H

Debido a que nos interesa determinar la variación de la

corriente en el circuito serie RC de la Pig* 6-1 39 es necesa

rio establecer las ecuaciones que definirán dicha variación»

a partir de loe valores que se encuentren en el arreglo VK»-

por tanto» el subprograma RESP tendrá las siguientes ecuaci£

nes:

VOUT(1,1) = VN(1) (6-43)

para las condiciones iniciales, y

VOUT(lfl) * 180 Sen(2000t + fT/2) ~ TO(1 ) (6-44)'

para las condiciones generales*

La ecuación que determina la variación de las condicio-

nes iniciales para el presente ejemplo es:

VB(3) - W(1) . (6-45)

Los correspondientes listados de estos dos subprogramas

se encuentran detallados en los ANEXOS 15 y 16, respectiva -

mente *

174

6-4-4* Datos para la ejecución del sistema de programas.-

La matriz

de datos para las condiciones generales, debe ser determina

da a partir del sistema (6-40), por lo tanto,

1RT2

0(3)E 0.025 (6-46)

El orden como debe proporcionarse los datos al compu -

tador, debe estar de acuerdo a la tabla 6-6, representando-

cada línea; una tarjeta de datos.

1 2 3 4 5Col . 1 234567Q901 2345678901 2345678901 2345678901 234567690

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001

1.0

010101003100

0.025 +0.250E-04

0.0 +0.629K1-02

0.0

40.0

0.0 4-0 . 250E-040 .0 50 . O

I

Tarjeta en blanco obligatoria.

Tabla 6-6 Datos de entrada para el ejemplo 4

La tabla de variación de la corriente para el circuito de la-

Fig. 6-13* se encuentra representada en la Tabla 6-7» y el gráfico

correspondiente se encuentra en la Fig. 6-1 6*

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S-f

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f C™~— ~

C y-

n

10

£.._— . .— —

SUBRUTINA DE MATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

INICIALES* COVQ PARA UN TIEMPO MAYOR QUE 0+

b U oKU U I INc C_uRRlT»VL:iCC»H*C»B»CIN*ItllJ

DIMENSIÓN VEÍ 40 > »CEÍ4G) »R(40 > ,C( 40 ) , 8 í 40 3 , C IN ( 30 )

IFÍI.NE.OJGO TO 10

,

PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

L.C--O UtL- ti-Ktu 1

\-\J

•*

-Y- vrUARUAK fcN LQb CHAMPÚS CiNl 1

J i

CUKKtoHUlN

DIENTES

'

~

CIN( 1 ) = ( 180.#SIN( 2000.*T-»-3.14l5/a. J~VE(3) }/R(2)

FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

HUNcK LAo Lri.Ufl'C~l-U Nfco ÜUfc t-OKHfcroHuNUtrN A

J

MAYUK UUli U

•*Y GURDAR EN LOS CAMPOS CINÍI) CORRESPONDIENTES

CINÍ 1 ) =

í 180. *SIN< 2000 .*T43. 1415/2. )

3 /R ( 2 ) + C (3 ) *VE ( 3 ) /H

FIN DE LAS ECUACIONES PARA T MAYOR QUE 0+

RETURN

ANEX

O-15

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RR p

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con

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ción se

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al, del

ejemplo

4.

-4-

DOS- FORTRAN-IV 36QN~FQ-479—3-0

-MATNPGM-

DATE

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SUBRUTINA PARA INDICAR LAS RESPUESTAS NECESARIAS, GUARDÁNDOLAS

EN LOS CAMPOS VOUT(I,J) CORRESPONDIENTES EN FUNCIÓN DE LOS CAM

POS VNC 11 t Y DE LOS 'VALORES- DE LOS~ELEMENTQS -

SU8ROUTINE RESP

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DIMENSIÓN VN<20) ,VE( 40) ,CEÍ 40) ,R(40) ,CÍ40) ,8<40 )

* VOUT(200 ,30 )

IFCI -NE.O)GO TO 10

PONER LAS ECUACIONES QUE DEF INEN LAS RESPUESTAS S£GÜN~ LAS CON-

DICIONES INICIALES EN LOS CAMPOS VOUTÍ1,J) CORRESPONDIENTES.

VOUT( 1 ,

1 Í=VN< U

FIN DE LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

PONER LAS ECUACIONES QUE^ DETERMINAN LAS RESPUESTAS ~PAR~A T IEMPQS'

MAYORES QUE 04 EN LOS CORRESPONDIENTES CAMPOS VOUTÍI^J).

VOUTÍ 1,1 )=í 180.*S I N< 2000. *T+3 .

1 415/2. )-VNO ) )/R(2)

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS

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PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDI C IONES INIC I AL ES

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FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

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179

6-5* E.1 eroplo ¿t aplicación del método de simulación lineal en un -

circuito HL serie con alimentación senoidal**

En el circuito -

RL serie representado en la Fig. 6-17» la tensión senoidal -

del generador viene dada por V = 100 Sen( 5QQt + G) voltios .

Hallar la variación de la intensidad de corriente que circula

en el circuito, si se cierra el circuito en el instante en ;•-

que © ~ 0.

;0.01 fíen

Fig. 6-17

6-5-1. Análisis del circuito para t = 0+*-

sidera el circuito de la Fig. 6-18

En este caso se con

Fig. 6-18

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 esj

r v + CE(3) - o (6-47)

180

Debido a que la corriente inicial en la bobina CE(3)» es igual

a cero; el valor del voltaje Ylí(l) es igual al valor del voltaje VE

(i). Por lo tanto, la corriente total del circuito para las condi -

clones iniciales está dada por:

CE(3) _ 100 Sen500t - 100 Sen500t (6-48)

6-5-2. Análisis del circuito para t > 0 *-

Para el presente análisis-

se considera el circuito de la Fig. 6-19-

CB(3)( J

Jig. 6-19

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 esí

Y TO(1) CB(3) = O (6-49)

De la ecuación (6-49) se obtiene la siguiente que viene

a ser la representación matricial de la misma.

1RT2:

100 Sen300t CE(3)" (6-50)

6-5-3. Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORE y EESP.-

Partiendo de la ecuación (6-48) y (6-50), se determinan

las ecuaciones gue intervienen en el subprograma CORE.

Para las condiciones iniciales:

181

100 Sen5QOt - 100 Sen500t (6-51

y para las condiciones generales;

_ 100 Sen500t OB(3) (6-52)

Puesto que nos interesa la variación de la corriente en el -

circuito RL serie, de la Fig. 6-17» es necesario establecer-

las ecuaciones que definen dicha variación, a partir de los-

valores que se encuentran en el arreglo VN, por lo tanto, el

subprograma RESP tendrá las siguientes ecuaciones:

vouT(i,i) = ~ra(i) (6-53)

para las condiciones iniciales, y

) 100 Sen50Qt - TO(1) (6-54)

para las condiciones generales»

La ecuación que determina la variación de las condicio-

nes iniciales para el presente ejemplo es la siguiente?

CE(3) _ 100 Sen500t - VN(1 ) (6-55)"

Los listados correspondientes de estos dos subprogramas

se encuentran en los ANEXOS 1.7 y 18; respectivamente.

6-5-4. Datos para la ejecución del sistema de programas.-

La matiz -

de datos para las condiciones generales, de"be ser determinacb

a partir del sistema (6-50), de tal manera que:

1 H (£-56)

El orden de la estructura de los datos es el siguiente:

182

1 2 3 4 5Col. 1.2345678901234567890123456789012345678901234567890

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0.0 0*0 0.01

I

Tarjeta en "blanco obligatoria.

Tabla 6-8 Datos de entrada para el ejemplo 5»

La variación de la corriente para el circuito de la

6-17» se encuentra representada en la tabla 6-9» y el gráfico-

correspondiente; en la Pig*6-20.

1* ,5

Da-S-FORT-RAN-IV

3— 8

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DATE

/I- i/ 79

TTME-

0-QO-l

0002

0003

0004

0005

0006

C ---- SUBRUTINA DE MATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

C ---- INICIALES, COfO PARA UN TIEMPO MAYOR QUE 0+

S U B RO UT-I N E— CQ R R -Í-J-* VE>-G E~, R * C * 6-, ei N y-I-rH-) ---------

- --------- — -- —

DIMENSIÓN VE4 40 ) ,CE<( 40),R(40)fCÍ40),8í40),ClN(30)

IF(I.NE.O)GO TO 10

C --- PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

G ----- !_ES DEL- CIRCUITO^-V GUARDAR- EN LOS CAMPOS CIN ( I-?-,— — C0RRESPQN

C ---- DIENTES

CINÍ 1 ) =

í IOO,*SINÍ50Q.#T)--100,*SIN(500.*T) }/R(2)

C ---- FIN DENLAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

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10 CíNÍ 1 ) = (100**SINÍ500.*T) )/R(2)-CEÍ3)

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0007

. -

00-08

C --- FIN DE LAS ECUACIONES PARA T MAYOR QUE 0+

RETURN

END

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O-17

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-DOS—-FOftTR-AN- IV -3-6-ON—FO-479—3—8

DATE

-TI-ME-

0001

0002

0003

0004

0005

0006

C

SUBRUTINA PARA INDICAR LAS RESPUESTAS NECESARIAS, GUARDÁNDOLAS

C

EN L.GS CAMPOS VOUTM»J> CORRESPONDIENTES EN FUNCIÓN DE LOS CAM

SUBROUTINE RESP(I,VN,VE,CE.R,C,B,VOUT,T» HU

DIMENSIÓN VNÍ30)-»VEÍ 40) ,CEt40) ,R (40 ) ,C(40 ) . B (40 ) ,VQUTÍ200,30 )

IFÍI.NE.OJGO TO 10

-C——PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN -L-

AS-R

ESPU

EST-

AS SEGUN~LAS OON

C

DICIONES INICIALES EN LOS CAMPOS VOUT(1,J) CORRESPONDIENTES.

VOUTÍ1,1)=VN(13

C

FIN OE LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

G~<—--PONER L-AS-ECUACIONBS--GUE-DETERMINAN-tA-S-RESPU&ST-AS--PARA-~T-ieW^aS—

C

MAYORES QUE 0-f

EN LOS CORRESPONDIENTES CAMPOS VQUTtI,J).

10 VOUT( I ,l)=í 10C.*SlN<500.*Tj-VNCm/RÍ 2)

-C—^-^-—r-T—. -—-—r.—.—

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C

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

CEO )=( 100.*SIN(500.*T)-VNÍ 1

C ---- FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

END

co

ANEX

O-18

. Li

stad

o de

l su

bpro

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a RE

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120E

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91 1E

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797E

740E

683E

626E

S69E

512E

.397S

.3405

.233E

-22ÓE

-IfiSE

, I 12E

,S52E

.1515-

,SS9E

. I 16E

. I73E

.230E

-2Ü7E

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.4S9E

.SISE

.572E

.629E

.6Q6E

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y V X X X X y —

X X V y y X Y -

y V X y y X X . V .--

Q-248E-02

j

O -7ASC-Q2

|

O. l2ftp-0l

|

O . 1 74F-0 I

[

....

U-497E-02

O.994(5-02

0,1 4-5C-01

O. 119F-C1

O.?4PC-M

Fig. 6-20 Va

riac

ión

de l

a corriente

para

el

circ

uito

RL

con

alim

enta

ción

se

noid

al,

del

ejem

plo

5.

CD

18?

6-6. E.1 em-plo 6\n del método de simulación lineal en un' --

circuito RLC serie con alimentación senoidal*-

Al cerrar el in-

terruptor en el circuito RLC serie de la Fig. 6-21, se le apli_

ca una tensión senoidal V = 50 Sen(2000t + 0)voltios. El con -

densador no tiene carga inicial. Determinar la variación de la

intensidad de corriente:total del circuito, y la variación del

voltaje en los tres elementos que intervienen en el circuito ,

si se cierra el interruptor en el instante en que 9=0.

Fig. 6-21

6-6-1. Análisis del circuito para t = 0+.-

El circuito equíva -

lente en el presente caso se encuentra representado en-

la Fig. 6-22.E(2) W(1)

VB(4)

Fig. 6-22

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es:

• Y CE(3) = O (6-5?)+

188

Para el nudo 2 se -tiene:

i - CB(5) = O - (6-58)

Considerando el hecho de que, CB(3) = O, el valor del voltaje VN(1 )

es igual al voltaje V, por lo tanto, de las ecuaciones (6-57) y -

(6-58) queda;

OE(3) = O (6-59)

siendo la Ec. (6-59)» la que formará parte del subprograma CORR en-

condiciones iniciales.

6-6-2. Análisis del circuito para las condiciones generales. -

Para -

este análisis se considerará el circuito de la í*ig. 6-23.

VWl •CE(3)

C(4)VB(4)H

:E/C(4)

. 6-23

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es:

- YH(2) B(3)/H

Para el nudo 2 se tiene:

OB(3) = O+

(6-60)

- VN(1) W(2) C_(4)VE(4)+ H/C(4) H

= O (6-61)

Las ecuaciones (6-60) y (6-61) pueden ser expresadas en

forma matricial; por tanto,

189

1 H _ Hrj /* O Y ' TI ( ~Z ^ *~ T3 ^ T ^•RV^/ -DO; ü\->)

-*r ^ + ér^

W(1)

VN(2)

=

50 Sen2000t

O í A il/TJ1 1 /I 1L»l¿i-y V J l j V ¿ f y

_ H +

CB(3)

(6-62)

6-6-3. Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y RESP.-

Para determinar las ecuaciones que intervienen en el -

subprograma GORR, partimos de las ecuaciones (6-59) y (6-62)

por lo tanto,

CIN(1) = O (6-63)

para las condiciones iniciales, y

« 50 Sen2000t CE(3) (6-64)

y, CIN(2) = CB(3) (6-65)H

Puesto que el objetivo de este ejemplo es determinar, -

la variaci<5n de la corriente total del circuito, y la ten -

sión de los tres elementos que intervienen en el circuito de

la Fig. 6-21, partiendo de los valores que se encuentran en-

el arreglo VN, se obtiene las siguientes ecuaciones que in -

tervienen en el subprograma RESPr

YOUO?(1,1) = YN(1) (6-66)

para las condiciones iniciales, en lo que tiene que ver con-

la variación de la corriente total,

VOUO!(1,2) = O (6-6?)

que corresponde a la variación del voltaje en la resistencia

en condiciones iniciales,

VOUT(1,3) = O (6-68)

que corresponde a la variación del voltaje en la bobina, en-

190

condiciones iniciales, y

VOUQ?(1,4) = O (6-69)

que corresponde a la variación del voltaje en el condensador, en -

condiciones iniciales.

Para las condiciones generales se tiene;

VOUO?(I,1) _ 50 Sen2000t - W(1 ) (6-70)

VOUO?(I,2) = 50 Sen2000t - TO(1) (6-71 )

VOUT(I,3) = VN(1) - 7N(2) (6-72)

y, VOUT(I,4) = W(2) (6-73)

Las ecuaciones que determinan la variación de las condiciones-

iniciales para el presente ejemplo son:

VE(4) - VN(2) (6-74)

y, CB(3) = VOUT(I,O (6-75)

Los correspondientes listados de los subprogramas CORRE y KESP

se encuentran detallados en los ANEXOS 1.9 y 20; respectivamente.

5 -5-4. Latos para la ejecución del sistema de programas.-

La matriz-

de datos para las condiciones generales, debe ser determina-

da, a partir del sistema (6-62)* Por lo tanto,

1 H - H5(27 + sny BÍ3T

H 0(4) H—

0.2 + 1.0H -1.0H

-1.0H 0.25 1.0HH +

(6-76)

El orden como de"be proporcionarse los datos al computa-

dor, debe estar de acuerdo a la tabla 6-10, representando ca

da línea; 'una tarjeta de datos.

1 2 3 4 5Col. 12345678901234567890123456789012345678901234567890

00

001

1*0

020104004100

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

5.0

0.0

0.0

0.0 1.

0.0 -1

0.0 -1

0.25 1.

+0.628E-02

0.0 1.

0.25

0

.0

.0

0

0

ITOTVEESVBOBVCON

Tarjeta en blanco obligatoria

Tabla 6-10 Datos de entrada para el ejemplo 6.

La tabla de respuestas para el circuito de la Fig. 6-21 -

se encuentra representada en la .Tabla 6-11, y los gráficos pa-

ra la variación de la corriente total del circuito, la varia -

ci<5n del voltaje en la resistencia, la variación del voltaje -

en la bobina y la variación del voltaje en el condensador, se-

encuentran representadas en las Figuras: 6-24, 6-25, 6-26, y -

6-27; respectivamente.

-D0S -FORTRAN-IV 360N-FO-479-~S

WAiNPGM-

10 II u 13 14 M u" 17 u

DATE

-0001"

0004

0005

0006

-000-7-

C --- SU6RUTINA DE MATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

C ---- INICIALES, COWQ PAPA UN TIEMPO MAYOR QUE 0+

5UBRQUT-INH--C-QRR HS VE-rC

» R

» e, 8

,-e-I-N-»-I-,-H-J- --- — ----- ---- ..... -

------- — ---

DIMENSIÓN VEÍ 40J*CE,(40) , R ( 40 } ,C< 40 ) , B ( 40 ) ,C IN { 30 )

IF( I .NE.OGO TQ 10

C ---- PONER L.AS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A l-AS CONDICIONES INICIA

C ---- LES O El_- -CIRCUITO-,— Y GUARDAR EN LOS CAMPOS C IN (U * ------ -CORRESPQN—

C ---- DIENTES

.

-

CIN< 1}=CEÍ 3)

C ---- FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

£-.

--

____

_

___________

_.

_________________________________

•

___________

RETURN*

—C- -- — PONER -L-AS- ECUACIONES— GUH-C-aRRESPQNDEtf-A -T -MAYGR-QUE

C --- y GUROAR EN LCS CAMPOS C IN{ I } CORRESPONDÍ ENTES

10 CINÍ 1 )=50.*5IMC2000.*T)/R(2)-CE(3)

C ---- FIN DE LAS ECUACIONES PARA T MAYOR QUE 0+

RETURN

END

ANEXO-19.

Listado

del

subprograma

CORR

pa

ra e

l ci

rcui

to R

LC

cona

lime

ntac

ión

seno

idal del

ejemplo

6.

-—DQ-S-FOR-TR-AN- IV 3*ON~FO-4-79—3—8

MAINPGM-

-0-ATE-

0008

0009

0010

-001-1-

0012

0013

-0-0-1-

-0-0-15-

0016

C

SU8RUTINA PARA INDICAR LAS RESPUESTAS NECESARIAS, GUARDÁNDOLAS

C

EN LOS CAMPOS VOUT(I,JJ CORRESPONDIENTES EN FUNCIÓN DE LOS CAM

—-c

~~-~

PQ

S~-

VN

X-I

-)-,

Y

—ce

-Los

-v-A

CO

RE-

S- C

E -L

OS—

ELEM

ENTO

S ~

SUBROUTINE RESP(I,VN,VE-CE,R.C»8»VOUT,T»H)

DIMENSIÓN VNÍ30, »VE£40) *CE(40),RÍ40) ,C(40) ,B(40J-VOUT<200,30)

IF(I .NE.O)GQ TQ 10

— C—'—PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS SE-GUN-1LAS CQN=-

C

DICIONES INICIALES EN LOS CAMPOS VOUT(ltJ) CORRESPONDIENTES.

VO

UT

(1,1

Í =

VN

(1

)-•

VO

UT

t l,

-2-)

—50-.

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1,4

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_____

RETURN

• ;

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DETERMINAN LAS RESPUESTAS PARA TIEMPOS

:

—G- —MADORES QUE O-f EN LOS CQRRESPQNDIENTES CAMPCS VOUT ( I »J )

>

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_ —

10 VOUT(I,1)=(50.*SIN{2QGO.*T!-VNÍ1 )')/RÍ 2)

VOUTCI,2)=50.*SIN(20ÓO»*?)-VN(1)

™

VOOT<I,3)=VN< U-VNÍ2)

~-

~ — —

VOUTi I,4)=VNÍ2¿

f~_— ____

- .

, __-

C

FIN DE LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUESTAS

f_

-

..

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..-

_ — -

T

,-r

--

_^_

__

_-,

,

- -_.,

-—-

r-

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS NUEVAS CONDICIONES INICIALES

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- —,^.^_, __ —,- - . _

, — —

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ANEX

O-2

0.

List

ado

del

subp

rogr

ama

RESP

pa

ra e

l cir

cu

ito

RLC

con

alim

en

taci

ón

seno

idal

de

l ej

empl

o 6.

-454-

TIEMPO:O . O O O E oo0.627E-04

~Q7T25r-03

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

13

20

21

22

23

24

25

26

27

26

29

30

31

32

33

34

35

36

37

30

39

40

41

4243

44

45

46

47

48

49

50

51

O . O O O E 000.393E-03

- O 2"

0.376E-03 0.783E-020.tf39E-03 0.102E-01

"O 75 O2E^O3 "07128ET- 01

— VREBO.OOOE: oo0.196E-02o.071•0719TE-OT

-VBT3BO . O O O E 00 O . Ü O O E 000.626E 01 0.98QE-07

~~07 293E" 02""0.391E-01 0.34-lE 02 0.533E-05

02 0.791E-05

"0.7B6E-OT-6276 9 O E

.753E

.816E

0"3" D03 -072X7É-or03 0.2^9É-0103 0.230E-01

000.14-OE 000.155E 00

'02"0.4-97E 02

02

- O 3-OY3&9--01-

"O . T97 E~01T0.209E 000.220E 000.229E~0O'

OÍ383E 02 OÍ847E-Óíf02 Q.957E-04

02 0.419E-0102

07 239 ET 0'2

0.609E 01 0.156E-030.168E 00 0.168E-03

ÜT 07~

229 E219E209E

02 0.439E-0102 0.418É-Q1

.188E

.194E0.295E: 02 0.227E-030.343E 02 0.238E-Q3

2T9 E.226E.232E

•02 0.278E-01 0.139É 00 -0.492E 02 0.280E-03•02 0.246E-01 0.123E 00 -0 .500E 02 0.2S7E-03

• 2&3E-.270E-

02 0.991E-0202 0.7^8^-02-05 OV532É--02-

01 -0.4-23E 02 0.306E-030.374E-01 -0.386E 02 0.308E-03

.301E-02 -0.123E-OM-

.307E-02 -0.ífl5E-03-0.6l9E-Otf -0.125E 02 0.311E-Q3

01 0.311E-03

Ta"bla 6-11. Tatla de variación de la corriente total, del voltajeen la resistencia, del voltaje en la bobina y del vol_taje en el condensador para el circuito del ejemplo 6

en o

í oí

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200

6-7- Ej emplo "]_• aplicación del método de simulación lineal en uri -

circuito RC de tres malías.-

Determinar la variación de la co -

rriente total del circuito de la Fig. 6-28, al igual que la va

riación del voltaje en los dos condensadores.

10_o. . 0.001 F

0.00? íVE(4)=

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O Á,t=0

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0.01A,

6-28

6-7-1. Análisis del circuito para t = O .-

El circuito equiva -

lente para considerar las condiciones iniciales se en -

cuentra en la Fig* 6-29.

R(2) 1

VB(1) CE(6)

Fig. 6-29

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es:

VK(1) - YE(1) i = O

+ ^

(6-77)

y para el nudo 2,

CB(6) ~ O

201

(6-78)

1 0

-1 . 1

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A= "VB(1<> - VM(1)"

R(2)

" *&)-

+ 4 - ' 3 -

Representando las ecuaciones (6-77) y (6-78) en forma de un -

sistema matricial, se tiene:

E(2)(6-79)

pero, VN(1) - VE(3) + TO(4) (6-80)

y, W(2) = ra(4) (6-81)

Reemplazando (6-80) y (6-81) -en el sistema (6-79), queda:

(6-82)

6-7*-2. Análisis del circuito para las condiciones generales.-

El cir

cuito equivalente en este caso se encuentra representado en-

la Fig* 6-30*

1 0

-1 1 i—

~ V B ( 1 ) - VBÍ3) - TO(4l

OE(6) YB(4.)" Rv5;

CB(6)

Fig. 6-30

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es;

- VE(1)¿(2) + H/C(3)

_ CÍ¿]VE(3) = O (6-83)

202

y para el niido 2,

7N(2) - + M&+ SÍ2l s(3)

- C¡Í4.)VE(4) - CE(6) = OH

(6-84)

Representando las ecuaciones (6-83) y (6-84) en forma matrl -

cial se tiene:

"" VN(l)"i +fi£2lR(2) + E

H HVN(2)

, 0(3)VB(3)"*" H

H_. C(3)VE(3)

(6-85)

6-7-3- Ecuaciones que intervienen en los subprogramas CORR y RESP.-

Para determinar las ecuaciones que intervienen en el -

subprograma CORR, partimos de los sistemas (6-82) y (6-85)-.

Por lo tanto, para las condiciones iniciales se tiene:

- YE(3) -R(2

y, CIM(2) _ CB(6) *"

Para las condiciones generales se tiene:

R(2)

y, CIN(2) __ CE(6)

H

+

(6-86)

(6-87)

(6-88)

(6-89)H H

Para indicar la variación de la fuente de corriente -

CE(6) al programa, debe considerarse en las condiciones ge-

203

neralesf ia siguiente instrucción:

rF(T.GE.O«,l)CE(6) = 0.01

Esta instrucción de"be ir antes de las ecuaciones (6-88) y (6-89).

Para determinar las ecuaciones que intervienen en el subpro -

grama RSSP, se parte de los valores que se encuentran almacenados-

en el arreglo VN, de tal manera que, en condiciones iniciales se -

tiene:

YOÜT(1,1) = VW(1) (6-90)

para la variación de la corriente total en condiciones iniciales,

VOXrO?(l,2) = VE(3) (6-91)

para la variación del voltaje en el condensador 0(3),

VOTJO?(1,3) = VE(4) (6-92)

para la variación del voltaje en el condensador G(4).

Era las condiciones generales se tiene en primer lugar, la -

instrucción que determina la variación de corriente en la fuente -

CE(6). Por lo tanto,

IF(T.GE.0.1)CE(6) = 0.01

y las ecuaciones que determinan las respuestas en estas condiciones

son:

VOUT(I,1) = YB.Í1) • VK(1) ' (6-93)¿(2)

para la variación de la corriente total,

VOUT(I»2) = W(1) - W(2) (6-94)

para la variación del voltaje en el condensador c(3)t y

VOUO?(I,3) = VN(2) (6-95)

para la variación del voltaje en el condensador 0(4).

Las ecuaciones que definen la variación de las condiciones i-

niciales, y que van incluidas en el subprograma RESP son:

204

YE(3) « VN(1) - VN(2) (6-96)

y, VE(4) = TO(2) (6-97)

Los listados correspondientes para estos dos subprogramas se-

encuentran detallados, en los ANEXOS 21 y 22; respectivamente.

6-7-4* Datos para la ejecución del sistema de programas. -

La matriz

de datos para este ejemplo, se toma de los sistemas (6-82)-

y (6-85). Del sistema (6-82) se toma la matriz de constan-

tes tal como resulta del análisis en condiciones iniciales,

mientras que para tomar la matriz de constantes en condicio_

nes generales del sistema (6-85)» se de"be reemplazar los c£

rrespondientes valores de los elementos del circuito que -

intervienen en- ella. Por lo tanto,

1R(2 •f H H

0(3)H

1 , c(3)i^u+ H0.1 0.001

0.001H

H

0.001H

0.025 O»008+ H

(6-97)

El orden como de"be proprocionarse los datos al computa

dor, de"be estar de acuerdo a la tabla 6-12, representando -

cada línea; una tarjeta de datos.

205

1 2 3 4 5Col. 12345678901234567890123456789012345678901234567890

00

002

1.0

0.0

-1.0

1.0

020103006050t v *>0.1 0.001

0.0 -0.001

0.0 -0.001

0*1025 Q.OQ8

0.0 1.25

0.0 Ó1Ó 0.0 1.0

10.0 ,;

ífO^-l0.0 0.001 ' 0.0 0.1

o.o 0.007

40.0

0.0

ITOTVC3. VC4

Tarjeta en blanco obligatoria.

Tabla 6-12. Datos de entrada para el ejemplo 7«

La tabla de respuestas para el circuito de la Pig. 6-21,

se encuentra en la tabla 6-13» y los gráficos correspondien -

tes en la Figuras:: 6-3'l» 6-32 y 6-33.

DQ

-S-H

=O

RT

R"A

N-I

V—

360N

-FO

— 47-9

-3—

8M

AJN

PG

M

-0-0-0-1-

0002

0003

0004

-0-005-

17

II 11"__O..OOT~

u

oooa

00

09

00

10

00

11

C

SUBRUTINA DE VATRICES DE CORRIENTES TANTO PARA LAS CONDICIONES

C

INICIALES* CONO PARA UN TIEMPO MAYOR QUE 0+

-IN6-GQRR^-T , VE , CE *R ,C . B *C-I N,-I~*-H-;

DIMENSIÓN VE(40 J,CEÍ 4O),R(40 ) *Cí40)*B(40) ,CINÍ303

IF-Í I .NE.O) GO TO 10

¡C

PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

!-C

LES -DEL CIRCUITO,- Y GUARDAR EN LOS CAMPOS C IN( I ) ,-—CCRRESPON

1C

DIENTES

J

CIN(2)=CE(6J~VEÍ4J/R{S)

l

!._._„

-C-IN(-H=(-VE-C-H—V&í-3~Ve(4-)-i-/R(2)

—:

~~~

(

C

FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

,

RETURN

C

PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A T MAYOR QUE 0+

C

Y GURDAR EN LOS CAMPOS CINII) CORRESPONDIENTES

-—10-IF^T^GE.^1>CEÍ6) = 0.01

—-

CIN( 1 )=VECi )/R(2)+C(3)*VE(3)/'H

CIN(2$=CEÍ6)-I-C(41)*VE<4)/H-CÍ 3}*VE(3)/H

_Q

FIN DE LAS ECUAC-IONES-PARA-T MAYOR—QUe 0+

f*._

|

__r

^__

- -

_.. „_•*..._...:..

„.

—«_ — — •——. —————— _ — — —»

RETURN

END

—i --1

ANEX

O-2

1.

Lis

tad

o de

l su

bpro

gram

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RR

para

el

cir

cu

ito

RC

de t

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o 7.

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3—

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10

O 0

-1-1

-

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12

00

13

0014

-0-0

-15.

C

SU

8R

UT

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03 ,

VE

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J »

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0),C

Í40

3,B

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0J

,VO

UT

Í20

0_

30

3I

F<

I*

NE

.O)

GO

T

O

10

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DEFINEN LAS RESPUES-TAS SEGÚN—LAS CON —

C

DICIONES INICIALES EN íLQS CAMPOS VOUT(l.J) CORRESPONDIENTES.

VQUTd.l

J = VN< 1)

VQ

UT

(1

,3)=

VE

(4

I

C

FIN OE LAS RESPUESTAS SEGÚN LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

C

PONER LAS ECUACIONES QUE DETERMINAN LAS RESPUESTAS PARA TIEMPOS

C

MAYORES QUE

O-*- EN ^OS CORRESPONDIENTES CAMPOS VOUT(I»J).

f-

,_

/"•-___—

C~~

~"~"

~- G

——

—'—

-

10

IF

(T

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E.,1

ÍC

EÍ6

Í=

0.0

1V

OU

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I,l)

=(

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VN

Í1

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I ,2

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VN

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NÍ2

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ANEX

O-22

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SP pa

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ci

rcui

to R

C

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o 7.

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14

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U

17

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0*750 E- 01Ó0

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. i £3 O E* 1 25E.150 E.175E>VS 0; 0 Eí*;2á5E •-^250E-,275E• 300E• 325E»350E.375E• 400E.425E.-450 E

.500E¿S2-5E-.550E-.575E¿ -6 10 Q E• 62J5E.Ó50E -»675E»70OE.7 25 E.750 E• 775E.80ÓE.825E«850E-*875E..900E.925E.950E.975E. 100E*102E•105E-.107E.1 10E¿iiae.USE.117E

TT 1-2, í5£.1226

00O QQO—0000oooo-00oo00-oo-00000000-000000000000000000oo0000 -000000oo0000000000010101-0101010101•0-101

00

- 00

-0*-Q— 0-o—ó-0— 0-0-0-0— 0-0-0-0_o— 0-0-0— 0-0— 0-0— 0— 0-0-0—-..¡0-0-0-0

,-— - 0

-0-0-0-0-0-0-0=0-0-0— 0-0-0— "Q-0

ITOT.900E-01.235E-01.63-1E-02-.18-4E-02.1S2E-03,'6 5 8 E^ 03~.~737e-03•717E-03.673;E»Q3.«¡27.E-Q3é-582E-03-.540E-03..SOÍE-Ó3.46SE-03-.-432E-03-.400E-03.371IE-03-345E-03-.320E-03-297E-03.275E-CÍ3•255E-03.237E-03*220E-03^ 2'.Q;4'&i-03/:. iéf&É^-JÓat-'r.^_-l_7^g — 03 -.163E-03. 151E-03. 140E-03» l^OE-03» 121E-03»ÍÍ2£-03. 104E-03.-963E-0-4.894£— O4.830E-04•770E-04.714E-04-•663H-04•615E-04-570E-04.5296-04-•491E-04.456E-04¿42.2 E- 04.392E-04•363E-04w 3^3SH — Q-4^.313E-04

0.0.

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... . -Q-v

0.0.0.0.0.0»(U0.0.

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-0.0.0*0.0.0.0.0,0-.0.0.-0.0*0.

c»

VC3100E688E6 4^5 E -89 2 E887E871 E85 2 e834E8Í7EJBCI2E

0000oo—00000000 —0000oo

787E--00774E761 E749E739E -729E719E711E7 03 E695E6 8 SE6 82 E6 7:6 E671 EOÍJ'O.fc ' *

OíO 1 D"' •

6-5 6 E —'6S2E649E64SE"642 E-639E636E633E€31 E~629E627E625E623E621E620E618E617E-616E61SE614E613E612E61 rl-E610E

000000oo —00000000000000000000Ótí 'n f\

00000000- -00000000 —000000oo -000000-00 —0000000000oo »00 1

G .0,C~v0.0,.0.Q-v0,a.0.

VC40771E-01'9"l~4Ei~• 0 1 —900E-01115E136E

0000

-1-5-5E—0-0-173E189B205É

G-S-21-9E-c.0.0.G.0.c .c.G.0-.0.G.o-*G.0.0.0--.0.0.0.c.0..0.c*o-..0.G.0.G.0.G.0.c.0.0.0*0.c.fems^v

232E244E255E26 6£-275E284E293E30 OE308E314E320E326E332E336E3-41E-345E-349E353E356E359E-362E,36SE368E37 OE372E374E376E378E-379E381E382£384E385E386E387É388H38 9Hggigg|

00txooox:-oo-000000OQ—OQ0000000000000000óoó ór\u u000000oo -0000OGao-00 /00GO000000000000OG00^oo00

•QiO^M

Ta"bla 6-15. Ta"bla de variación de la corriente total, variación del

voltaje en el condensador C(3), variación del voltaje -

en el condensador C(4), del circuito RC de tres mallas-

del ejemplo 7-

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XX

XX

XX

XX

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Fig. 6-31. Va

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-749E-

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.713E;

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^624E

.6C6E

.568E

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.55311

.535E

. S17E

.AS9E

.A8IG

-A2S

E.A

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.392S

.303E

.2S5E

.267E

.2506

-222E

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. 196E

. 178E

-16QE

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.892E-

•713E-

.52SE-

.357E-

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Fig. 6-32. Va

riac

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yyyx

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0.3S2E OOX.

Q,375E OOX.

0.367E OOX.

0.351E-. OOX.

0.343E OOX.

0.326S OOX,

0.32SE OOX.

0.31 2E OOX.

0.304E OOX.

0.297E OOX.

o.sa-JE oox.

0.273E OOX.

0,2t:5E OOX.

0.25HE OOX.

0.250E OOX .

0.234E OOX.

0.226G OOX.

0.219É OOX.

Q .21 IE OOX,

0. 195E OOX,

0. 187g OOX.

o.ia

oE oox.

O.I72E OOX.

0.155E OOX, -

.

0 .

1 46H OOX .

0.14Cg OOX.

0.132F OOX.

0.1 17E OOX.

O.IC9E OOX-

0 . 10IE OOX. * *

C.937E-01X.

.. -

0.7HOE-01 X.

0.70?E-0 IX .

O.621E-0! X.

0.5-*6E-01 X.

0.3905-OJX.

0 .312E-01X.

0.234E-01X.

0-lStr-O! X.

0.7BOE-02 *.....

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'», I 101- Ül

í- — * X "n.imiji-

(if

<

Fig. 6-33. Va

riac

ión del

voltaje

en e

l condensador C(4)

del

circ

uito

RC

de t

res

mall

as de

l ej

empl

o 7.

212

6-8. E.1 emplo 8_: aplicación del método* de simulación lineal en un -

circuito RLGM de dos mallas»-

En la 2Pig. 6-33» se tiene repre-

sentado un circuito RLCM de dos mallas. Obtener la variació*n-

de la corriente para las "bobinas del circuito equivalente, se_

gdn la teoría del apéndice B, y la variación de la corriente-

en el condensador»

ig. 6-33

6-8-1. Circuito equivalente con acoplo conductivo.-

Pra deter-

minar el circuito equivalente con acoplo conductivo, -

se determina las ecuaciones de malla, aplicando la se-

gunda ley de Kirchhoff.

Malla 1

« i . n "i

,dt 1+ B(3) 1 1 f i"dt + cnyJB(4) 1 _ V.

dt ~ n

(6-98)

Malla 2

dt

dt

i2dt i dt

(6-99)

213

En la Ec. (6-98), si se suma y se resta el factor B(4) 1 » ydt

en la ecuación (6-99)» ee suma y se resta el factor B(4) 2 ,dt

dan de la siguiente forma:

.1

- B(4)

dt dt(6-100)

y, B(6) - B(4)

+ B(4)

dt + cdJ11« di

')dt

"1 (6-101)dt dt

De acuerdo a las ecuaciones (6-100) y (6-101), se puede dibu-

jar el circuito equivalente con acoplo conductivo. Por lo tanto,

B(3) B(6)H(2)-\MM— -WVV-

B(4)

0(5)

Fig. 6-34

Los valores que toman las "bobinas B(3), B(4') y B(6) son:

B(4) = 3H

B(6) = 2H

Una vez obtenido el circuito equivalente con acoplo conducti-

vo, se le aplica el método de simulación lineal para circuitos fíLC.

214

6-8-2. Análisis del circuito para t = O .-

El circuito equivalente -

para estas condiciones se encuentra detallado en la Fig. -

6-35.

Fig. 6-35

La ecuación de equilibrio para el nudo 1 es¡

CB(3) = O+

para el nudo 2,

- OE(3) + OE(4) + CE(6) = O

para el nudo 3»

- CE(5) + ic = O

y, para el nudo 4»

- CE(6)+ 'H(Y)

= O

(6-102)

(6-103)

(6-104)

(6-105)

De"bido a que todas las corrientes en las bobinas, en -

condiciones iniciales son iguales a cero, se. tiene que,

ic = O (6-106)

Puesto que para utilizar el método de simulación li -•

neal, es necesario que exista por lo menos una ecuación pa-

ra las condiciones iniciales, se tomará la siguiente;

1 i

215

.(6-107)

6-8-3- Análisis del circuito para las condiciones generales,-

Para-

este caso de"be considerarse-el circuito de la Fig. 6-36.

B(3)/H B(6)/HH(7)

1 CE(3)

CE(4)

1 CE(6)

B(4)/E

3 "VN(3)

CÍ5lVB(5) © ?H/C(5)E

irFig. 6-36

Las ecuaciones de equilibrio son:

para el nudo 1,

CB(3) = O (6-108)

para el nudo 2,

VN(2) - YN(2) -B(3)/H B(4)/H B(6)/H

- CB(3) 4- CB(4) + CE(6) = O

para el nudo 3»

CB(4)B(4)/H + iTcTfy

y, 'para el nudo 4»

B(6)/HCB(6) = O

(6-109)

= O (6-110)

(6-111)

216

Las ecuaciones (6-108), (6-109), (6-110) y (6-111) pueden ser

representadas en forma de un sistema matricial. Por lo tanto,

r i H H o o~1 j if 4- • • mt '\ ™ / ~.'\7 + IÍ37 5(37

E E E S E E"5117 1(37 + BÍ4J B(6) B(4) "5(67

0 E . C(5) E 0" B(47 E + B?47

0- ?"V

J3 1 O y

1 OIPí X i1 VjlA ^ J

CE(3) - CE(4) - CB(5)

CE(4) ^ 0(5)VB(5)"+ E

le CE(6)5T/7

0 1 E

" VN(1)

W(2)

W(3)

VN(4)

(6-112;

6-8-4* Ecuaciones gue intervienen en los su"bprogramas CORE y RESP.-

La ecuación para el subprograma CORE, en condiciones i-

niciales, es;

OIN(1) = O (6-113)

y, para las condiciones generales son:

CllSf(l) = 10 Sen t CB(3)"

(6-114)CIN(2.) = CE(3) - CB(4) - CE(6)

= CB(4) , G(5)VE(5)+ E

CIN(4) = 10 Sen (t -t- 3.14/2) OB(6)

217

Las ecuaciones que intervienen en el subprograma HESP, para -

las condiciones iniciales son:

VOUT(1,1) = CE(3)

VOUO?(1 ,2) = CE(6)(6-115)

VOTJO?(lf3)=VH(l)

VOTJT(1,4) * VE(5)

y, para las condiciones generales son:

VOTTO?(l t l ) = 10 Sen t - V K ( l )

VOÜO?(I,2) = VN(4) - 10 Sen(t + 3.14/2)

'* E17)VOÜO?(I,3) « VOUO?(I,1) - VOUT(I,2)

VOUT(I,4) =

Las ecuaciones gue definen la variación de las condiciones i-

ni cíales son:

CE(3) = YOÜQ?(I,1)

CB(4) = VOTJT(I,3)(6-117)

CB(6) =

VB(5) =

Los listados correspondientes para los subprogramas CORE y -

RESP, se encuentran detallados en los ANEXOS: 23 y 24; respectiva-

mente,

6-8-5. Datos para la ejecución del sistema de programas*-

La matriz

de datos para las condiciones generales, se toma del siste-

ma (6-112), reemplazando los correspondientes valores de -

218

los elementos que intervienen en el circuito. Por lo tanto, una-

vez realizados dichos r.eemplazos se tiene:

0.2+0.0+0.333 0.0+0.0-0.333 0.0+0.0+0.0 o.o+o. o+o. o

0.0+0.0-0.333 0.0+0.0+1 .167 0.0+0.0-0.5 0.0+0.0-0.333

o.o+o.o+o.o 0.0+0.0-0.5 0.0+10.0+0.5 o.o+o.o+o.o

o.o+o.o+o.o 0.0+0.0-0.33 o.o+o.o+o.o 0.2+0.0+0.333— —Como se verá, en (6-11$) , cada elemento de la matriz tiene -

tres sumandos, siendo el primero, la parte resistiva, el segundo -

la parte capacitiva y el tercero la parte inductiva de la matriz -*

de admitancias. Siendo esta la forma como debe obtenerse la matriz

de admitancias para ser utilizada como datos de entrada para el -

sistema de programas.

El orden como debe proporcionarse los datos al sistema de pro_

gramas, se encuentra especificado en la tabla 6~14> representando-

cada línea; una tarjeta de datos.

1 2 3 4 5Col. 1 2345678901 2345678901 2345678901 2345678901 234567890

00

001

1.0

040104008100

(6-118)

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.333

-0.333

0.0

0.0

-0.333

1.167

0.0

0.0

0.0

0.0

10.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

12.29

-0.5

-0.333

0.0

-0.5

0.5

0.0

0.0

-0.333

0.0

0.333

219

1 2 3 4 5Col. 12345678901234567890123456789012345678901234567890

o.o

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

0.2

0.0

0.0

5.0

o.o "o.o 3.0

0.0 0.0 2.0

0.0 10.0 0.0

o.o o.o 3*0

5.0

0.0

IB03IB06IC5 VC5

Tarjeta en blanco obligatoria.

Tabla 6-14. Datos de entrada para el ejemplo 8.

La tabla de respuestas para el ejemplo 8 se encuentra en

la tabla 6-15» y los gráficos correspondientes en las Figuras

6-38, 6-39, 6-40. y 6-41.

—OG-S--FQR T-RAN— IV 360 N-FO-47 9~3—8 -

MA-INPGM-

-DATE

-OO01

0002

0003

0004

0005

0006

-0007

0008

0009

C --

- SU

BRUT

INA

DE MA

TRIC

ES DE

COR

RIEN

TES

TANT

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CIAL

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COMO

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TI

EMPO

MA

YOR

QUE

0 +

B ,

DIMENSIÓN VE (4 O.) ,CEÍ 40) ,RÍ40 } ,C(40) ,8(40} ,CIN(30)

IFí I .NE.OJGO TQ 10

C --- PONER LAS ECUACIONES QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

C ------ LES DEL CIRCUITO»— Y GUARDAR EN LGS C AMPOS <-INM 3 ,

------- CORRESPON—

C --- DIENTES

CIN( 1 )=CEt 4J

C --- FIN DE LAS LINEAS QUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIALES

RETURN

_c -- -

--- PONER -L-AS-E^UAC-laNES-QUE-GORRESPSNDEN— A-T— AYQÍ^-QUE— 0-»—

------ - ------

c ---- y GURDAR EN LOS CAMPOS CIN(I) CORRESPONDIENTES

10 CINt 15=10 »*SIM T)/R( 2J-CEÍ3)

CÍNÍ4 )=10.*SINÍT-f3.14159/23yR(7 ) +CE ( 6 3

< ------ FIN DE LAS ECLACIQNES PARA T MAYOR- QUE 0+

RETURN

END

ANEXO-23,. L

ista

do de

lsub

prog

rama

COR

R pa

ra eV

cir

cuit

o

RLCM d

el e

jemplo

8.

ro ro O

222

12

3

4

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1

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U

12

U

M

15

16

17

in• 19

20

21

22

23

24

25

26

?7

2 U

29

30

31

32

33

34

35

36

37

30

TIEMPO0 .00.1 23E 00

-0.246&-00-0.369E 000.4-92E 000.614E 00

-0-.7-37E-OQ-0.860E 000.983E 000.111E 01

0.1 35E 010.1. 47E 01O.l^OE 010. -17-2 E -01 -0.184E 010.197E 010.2O9E 01

~0 .-221 E 0-1—0.234E 010.246E 010.258E 01

-0-.-27-06— 0-1-0.2S3E 010.295E 010.307E 01

- 0^.3,20 E- -0-1-0.332E 010.344E 010.356E 01

~Q .-369E Oío,.38ie oí0*393E 010.406E 01

-Q .4~1-8E-01^0.430E 010.442E 010.45SE 01

-0.467-&-OX_0.479E 010.492E 01O.504E 01-0-.5 1-óE -01—0.528E 010.541E 010.553E 010.565E 010.57SE 010*590E 010.6 02E Oí

I0.

-0.— 0~»

-0.0.0.

—0-.0.0.0.

0.0.0.

— 0-.0.0.0.

-—Q^-0.0.0.0.0.0.0.

—0.0.0.0*0 •0,0.

-0.--0.-0.-0.-o.--0.-0,-0.-0.^-0 *-0.-o.-0*-0.-o.-o»

B030579E-6-57E —

01

31SE-01373E-01134E 002526—00386E531E682E

982E112E126E

-1-3-76-147E156E162E166E-168E167E164E-159E-1S1E141E129E-1-1-6 E-100E829E646E^-S^F253E489E-156E359E556E746E924E1-09E124E137E148E

-157-E163E167E169E168E165E

.15SEJL5JUE

QQ00OO

00010101010101-Q-l-01010101-01010101-010000QO000100-000000000 1-010101-0-1-01010101010101

0.-0.

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— 0.-0.-0.-0.

-0.-0,-0»

IBO60238E4 2-7 E572E677E747E784E792E773E731Eft.f.acL

587E490E380E

— O-s-259^-0.

.0.0.

- — 0 •0.0.0.

— - 0.0.0.0.

— 0.0.0.0.

0.0.0.

— 0.0.0.0.0.

131E

__..

00oo-oo000000000000

000000-oo-oo

208E-02138E2-74 E-408ES38E«60E7 74 E878E969E10SE

-1-1-16-115E118E119E1 1 <3 F~117E113E107E^997 E911E810E6^8E57 6 E-

0.4 46 E• o*

0.Q...

-0.-0,-0.-0*-0.-C-.•"p^

310E1^69E-25 8 E^117E258E394E524E6 45 E7 57 E-

00-0-0-00000000000001

-O-l-0101010 1010101

-OO-OO0000

.-OO-OO0000

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00000000000000

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— 0-»-o.-0.-c*— fi-

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IC50180E-36-1-E-540E71 SE881E104E118E130E141E

00-o-o —000000oí -010 101

157E 01161E163E163E-161E156E148E139E-127E114E983E815E636E446E249E

0101

-01-01010101 -010100oo -G O0000

484 E— 01154E354E549E7 3 SE

000000n^n_ __

914E 00108E123E

-13 6 E—147E156E162E1^67E-168E168E165E1 5-9E-152E142E130E116E100E

—&* 831 E~o, », 65QE

0101,_o^._010101

.-0^101010 1

-0-101010101010000

VC50.00.22ie-020^6 6 5 E— O2—0.133E-0 10*221E-010.329E-010.456E-010.601E-010.761E-010.935E-01

0.13 i E 000.151E 000-171E 000-«rlJ9-l'E — 0 O —0.211E 000..230E 000.248E 000.265E 000.281 E 000.295E 000.307E 000.317E-OO-0.325E 000.330E 000.333E 000.334E-000.332E 000.328E 000.321E 000 . 1 1 ? F O A ^0.3'01E Q$y,0.287E tío0.272E 000.256E 00o.23:ee o o0.24.&E 000 . T99E 000.1-715E 00G.Í.S7E 00O.Í37E 000.:ta,7E 000.9^ GE- 010.78;4E-010.6ÍÍÍÍE-010.4S1E-010.309E-010.186E-01O •Q315Ci-r(X20.366E-03

Ta"bla 6-1?. Tabla de variacidn de la corriente de las "bobinas, B(3)-

y B(6), variación de la corriente en el condensador -

C(5) 7 variación del voltaje en el condensador C(5) del

circuito KLCM del ejemplo 8..

Q O .

O.

O,

o o.

o,

o,

o,

o o.

o o o o o o o o o 0.

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o-o -o -c -o -o

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154E OIX.

11BE OIX.

1 34E OIX.

1276 OÍX.

121E OIX.

1 1 4E OIX.

101E OIX .

938E OOX,

B70E OOX.

H036 OOX.

ÓGBE OOX.

601 e oox.

*534E OOX..

466E OOX. •

*

332E OOX,

+264E OOX.

Í<)7E OOX.

* -

125S OOX, *

ñPIE-01* .

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.207E QOX.

409E OOX.

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679E OOX.

7¿£E OOX.

.813E OOX.

.Í381E OOX.

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122E OIX.

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CONCLUSIONES

228

En el análisis de circuitos BLC, desarrollado en los capítu -

los tercero y cuarto, en los cuales se plantea la solución teórica

para dichos circuitos» se nota en forma muy clara que el análisis-

se va complicando a medida que el niímero de elementos que intervi£

nen en un circuito es mayor. Además la complicación del análisis -

es más grande aun, cuando la fuente de alimentación es variable en

el tiempo.

Si el circuito está formado por varias mallas» para determi -

nar el comportamiento de dicho circuito es decesario establecer -

tantas ecuaciones» como mallas tenga el circuito; en consecuencia-

la determinación del comportamiento» presenta muchas dificultades-

sobre todo por la presencia del sistema de ecuaciones planteado en

el análisis del circuito» el cual contiene elementos diferenciales

e integrales, que son en definitiva los que llevan a dicha compli-

cación; en la determinación de la solución de un circuito»

El método de simulación lineal en el dominio del tiempo para-

circuitos HLC, utiliza básicamente la primera ley de Kirchhoff» p£

ro con la particularidad de que no toma en cuenta» la variación d¿

ferencial que tiene el condensador» en lo que se refiere a la co -

rriente, ni la integral que define la variación de la corriente en

la bobina, si no que estos- dos elementos son tratados como,una re-

sistencia en paralelo con una fuente de corriente» lo cual permite

en definitiva centrar el análisis del circuito» como que tiene so-

lamente elementos resistivos. Este método como puede observarse en

los ejemplos desarrollados en el capítulo sexto, no demanda:1.' de un

esfuerzo muy grande; para la determinación del comportamiento de -

229

circuitos RI»0, puesto que es suficiente determinar las ecuaciones-

nodales de equilibrio, para que el sistema de programas se encar -

gue de encontrar la solución deseada» Además la flexibilidad que -

tiene dicho sistema de programas permite al usuario obtener no so-

lamente una respuesta general, como podría ser la corriente total-

de un determinado circuito, sino» que se podría acondicionar ade -

cuadamente las ecuaciones, de tal manera que se pueda determinar -

el comportamiento de cada uno de los elementos que forman parte -

del circuito, y no solamente uno de sus parámetros, sino, los tres

más importantes como son: la variación de corriente, la variaciÓn-

del voltaje y la variación de la potencia, dependiendo de los re -

querimientos del usuario. Observando los ejemplos desarrollados en

el capítulo sexto, se peude ver que, como primer punto, se analiza

y determina las ecuaciones que definen el comportamiento inicial -

del circuito, ya que este paso es fundamental para la determinación

de los puntos restantes, de la función de respuesta, puesto que la

estructura del sistema de programas está conformada de tal manera-

que la solución en un determinado punto, sea dependiente del valor

que tenga la función respuesta, en el punto inmediatamente ante -

rior, es decir que la solución de un circuito es determinada en -

forma iterativa^ dentro de un cierto intervalo de tiempo.

Haciendo una comparación de los resultados obtenidos en el ca

pítialo cuarto, usando el método de Laplace, por medio del cual se-

determina la variación de la corriente total en diferentes circui-

tos, llegando a establecer tablas de valores con sus gráficos co -

rrespondientes, y loe resultados obtenidos en el capítulo sexto, u

230

tilizando los miemos ejemplos, y aplicando el método de simulación

lineal en el dominio del tiempo para circuitos RLCt en igualdad de

condiciones y requerimientos, se nota claramente que los valores -

de las tablas correspondientes, coinciden muy estrechamente, lo v.t¿

mismo que la forma de los gráficos correspondientes. Esta \5ltima -

parte, nos lleva a la conclusión de que, el método de simulación -

lineal en el dominio del tiempo para circuitos RLC, es lo suficien_

teniente "bueno, como para reflejar la realidad del comportamiento -

de dichos circuitos»

En lo que se refiere a la grafizaciÓn de la funciones respue£

ta, de circuitos £LC, el programa ha sido acondicionado para que -

pueda llenar completamente el gráfico, sin importar que los valo -

res de la funciones sean muy pequeños, o grandes, facilitando de -

esta manera la visualización de dichas funciones.

Adicionalmente se ha desarrollado, en el apéndice B, la teo -

rfa de autoinducción e inducción mutua en forma muy general,;sin -

llegar a profundizar en ello, ya que la extensión del trabajo ser¿

a mayor- Por lo tanto, el sistema de programas tiene también la ca

pacidad para simular circuitos con inductancia mutua* Es suficien-

te, determinar el circuito equivalente, que permita aplicar el mé-

todo de simulación lineal en el dominio del tiempo, teniéndose una

demostración de esta parte, en el ejemplo 8 del capítulo sexto.

APÉNDICE A

MANUAL DE USO DEL PROGRAMA

SIMULACIÓN LINEAL EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PARA CIRCUITOS RLC

I. Algoritmo utilizado .-

En la teoría se ha establecido que la va

riación de la corriente en una bobina pura están determinadas -

por las siguientes ecuaciones:

W (t.) = I ( £c(t)dt, (1.)0 C ) °

para el condensador, e

%Ctl = 1 í V (t)dt (2)* I J L

para la "bobina.

De acuerdo al método de integración de Buler se establéce-

las siguientes ecuaciones, que determinan la variación del vol-

taje en el condensador y la variación de la corriente en la

bobina; de tal manera que:

para el condesador,. y para la bobina,

Resultando de esta manera un circuito equivalente para ca

da uno de los dos elementos mencionados anteriormente, y, que

deben ser considerados dentro del análisis previo que debe lia

cerse antes de utilizar el programa,

Los circuitos equivalentes, para el condesador y la bobina

se encuentran representados en las figuras 1 y 2,. respectiva -

mente.

232

—AMV

fí/G

Fig. 1. "Circuito equivalente para un condensador

puro,, aplicando el método de integración

de Euler»

+ V Vi > -L/H

Eiff. 2. Circuito equivalente para una botina pu-

ra, aplicando el método de integración -

de Euler.

II.- Descripción del programa.-

Á continuación se hace una descri]D

ción tanto de todo el proceso en general, así como del papel-

que desempeña el programa principal y cada una de las subruti

ñas utilizadas.

1.- Diagrama de flujo de todo el proceso.

233

INICIO

ANÁLISIS DEL -CIRCUITO

-^PREPARACIÓN -SUBRATINA CORR

XPREPARACION -SUBRUTINA RESP

^PERFORACIÓNDE LOS DATOS

LECTURA DE LOSDATOS Y PROCESO

IMPRESIÓN DETABLAS DE RESULTADOS

IMPRESIÓN DEGRÁFICOS

ES -DIGO DE RE-PETICIÓN » O

Eig. 3

2.- Descripción del programa principal y las subrutinas utilizadas^

Todo el proceso de simulación lineal en el dominio del V--""

tiempo para circuitos itLC es ejecutado por un programa princi-

pal y siete subrutinas.

a.— JB! programa principal llamado SLRlsC, ha sido estructurado-

unicamente para transmitir el control a la subrutina TSGMS

sin argumentos, siendo su función, acompañar a las subruti

ñas CORR y RESP, las cuales son variables en su estructura

ya gue son propias para cada circuito, dando de esta mane-

ra las facilidades, necesarias para que las subrutinas CORR

234

y RESÉ sean compiladas siempre que se desee hacer la simulación de

un determinado circuito RLC.

Además el programa principal lee un código de repetición de -

proceso,, el cual puede ser igual a cero si ño- se desea repetir d£ -

cho proceso, o diferente de cero si se desea repetir el proceso.

b.- Subrutína TSCMS: esta subrutina se encarga de la simulación de

circuitos RLC. Recibe el control del programa principal, sin -

argumentos siendo su función entregar el control a las demás —-

subrutinas, y de esta manera determinar la respuesta en el do-

minio del tiempo de un cierto circuito RLC. Además se encarga

de la impresión de tablas de resultados.

c.- Subrutina IiECTtT: Esta subrutina se encarga de leer los datos -

de entrada necesarios para la ejecución de todo el proceso de

simulación de circuitos HLC. Los datos soní Orden de la ma -----

triz de constantes en condiciones iniciales, lectura de los e-

lementos de la matriz de constantes en condiciones iniciales,-

siendo el orden de lectura, por filas de izquierda a derecha y

de la fila superior a la fila inferior. Lectura del orden de

la matris de admitancias para las condiciones generales, lectu

ra de un código de impresión de tablas el cual puede ser dife-

rente de cero si se requiere la impresión de las tablas de re-

sultados, o igual a cero si no se desea que aparezcan impresas

dichas tablas. Lectura del niímero de tablas que se desean ob

tener y que corresponde al mlmero de gráficos que aparecerán -

impresos. Lectura del númeroAde elementos que intervienen en-

el circuito, tomando en cuenta las fuentes de excitación. Le_c

^ 235

tura del numero de puntos que deberán ser calculados por el progra

ma. Lectura de la matriz de admitancias para las condiciones gene---'

rales, siendo el orden de lectura, el orden establecido para la ma

triz de constantes para las condiciones iniciales. Lectura del in-

tervalo de tiempo dentro del cual se desea determinar el comporta-

miento de un circuito, considerándose para dicho intervalo, el tiejn

p'p inicial y final del mismo. Lectura de los valores de los elemen

tos que intervienen en el circuito. En este illtimo caso se dispone

de cinco campos independientes con un máximo de diez espacios cada

C_ uno* Estos campos tienen la siguiente funci<5n: el primer campo sir

ve para poner el valor de un elemento del circuito, si este elemeii

to es una resistencia,: el segundo campo sirve para poner el valor-

de un elemento del circuito, si se trata de un condensador,, el ter

cero si el elemento es una bobina, el cuarto si se trata de una -

Jkr" fuente de tensión constante y el quinto si es una fuente de corrien3fr "~

te constante. Además la utilidad de estos cinco campos descritos-

anteriormente radica en que pueden ser utilizados, dos a la vean,, -

particularmente en el caso del condensador el cual puede tener un-

valor de tensión en condiciones iniciales, para el cual deberá usar

se los campos segundo y cuarto, y el caso de la bobina que puede -

tener una corriente inicial,, siendo los campos tercero y quinto los

que deberán usarse para tal caso. Por último lectura de los nom -

bres de las tablas y gráficos de respuesta *

d.- Subrutina CORfít esta subrutina es utilizada para incluir en lar

ejecución del programa las ecuaciones que corresponden a la ma

triz de corrientes tanto para las condiciones iniciales, como

. • . • 256para las condiciones generales. Esta subrutina de"be ser preparada

vpara la simulación de cada circuito en particular.

e.- Subrutina SEPS: se utiliza esta subrutina para indicar al pror-

graroa, las ecuaciones que definen las respuestas tanto, en con

diciones iniciales, como en condiciones generales, al igual que

se incluyen las ecuaciones que determinan la variación de las -

condiciones iniciales para el cálculo de cada punto»

Jf.- Subrutina ADMIT: esta 'subrutina se encarga de acondicionar la

matris de admitancias de acuerdo al método numérico de integra,

cien de Euler, puesto que la matriz, de admitancias para las -

condiciones generales que fue leída por medio de la subrutina-

LECTÜ contenía en cada elemento de la misma una parte resisti-

va, una parte capacitiva y una inductiva, pero no se incluye -

el valor del paso de integración "h" , que multiplica a la par

• • ~te inductiva de cada elemento de la matris de admitancias, y ,

divide a la parte capacitiva de la misma»,

g.- Subrutina GAÜSS: esta subrutina es utilizada para resolver sijs

temas de ecuaciones lineales, por el método de eliminación Gau_

ssiana.

tu- Subrutina 3)Í£R"AN: esta subrutina se encarga de la grafización -

de una o varias características del circuito; de una en una*

III. Nomenclatura utilizada_Para! la ejecución de este programa en un computador di-

gital, se ha utilizado la siguiente nomenclatura;

.1.- Variables de entrada.-

Símbolo

IKDIC

KORDI

ÍTOED

RES

CON

BOB-

237

Descripción

Cddigo de repetición de proceso» Este código puede

ser igual a cero si no se desea que se repita el —

proceso, o diferente de cero si se desea que el pro_

ceso se repita una vez: más. Para ilustrar la utili

dad del código de repetición del proceso, tomamos -

como ejemplo el siguiente: si se desea procesar u -

nos datos, pon dos veces consecutivas sin necesidad

de salir.del programa,, entonces, el primer dato de^

"berá ser diferente de cero,, y para procesar los da-

tos por segunda ocación el primer dato que corres -

ponde al código de repetición de proceso deterá ser

igual a cero.

Orden de la matriz de constantes, para las condicio

nes iniciales.

Arreglo de 30 x 30 que se utiliza para almacenar -

los elementos de la matriz, de constantes; en condi-

ciones iniciales.

Orden de la matriz de armitancias, para las condi -

cienes generales.

Arreglo de 30 x 30 que sirve para almacenar los ele,

mentes de la parte resistiva de la matriz de a'dmi -

tancias.

Arreglo de 30 x 30 utilizado para almacenar los ele

mentós de la parte capacitiva de la matriz de admi-

tancias.

Arreglo de 30 x: 30 utilizado para almacenar los ele

Símbolo

NPRIN

MEES

NELE

NP

TIN

TSTN

238Descripción

mentes de la parte inductiva de la matriz de ad

mitancias.

Código de impresión de ta"blas el cual tiene un =-f

valor igual a cero, si no es necesario imprimir-

las tablas de resultados. Si el código de impre

si<5n es diferente de cero, aparecerán impresas -

las ta"blas de resultados.

Numero de respuestas que se desean obtener al fi

nalizar el proceso. Este número debe ser igual-

al número de tablas y gráficos que se deseen ob-

tener.

Número de elementos que intervienen en el circui

to, contando también con las fuentes de tensión-

y corriente constantes.

Número de puntos que deberá calcular el programa,

para determinar el gráfico de respuestas de un -

circuito.

Dato del tiempo inicial del intervalo de tiempo-

dentro del cual se hará la simulación de un cir-

cuito RLC.

Tiempo final del intervalo de tiempo, anterior -

mente indicado.

Arreglo de 40 elementos que se utiliza para alma

cenar los valores de las resistencias que inter-

vienen en el circuito.

239

Símbolo Descripción

G Arreglo dé 4 elementos que se utiliza para alma

cenar los valores de los condensadores que Ínter

vienen en el circuito.

B. .Arreglo de 40 elementos que sirve. para almacenar

loe valores de las '"bobinas que intervienen en el

cir'cuito.

YE Arreglo de 40 elementos utilizado para almacenar,

tanto los valores de las fuentes de tensión cons

tan tes .que intervienen en el circuito,, así como-

las condiciones iniciales de tensión, de los con

densadores del circuito.

CE Arreglo de. 40 elementos que. sirve para almacenar,.

tanto los valores de las fuentes de corriente —

constantes que intervienen en el circuito, así -

como los .valores de las condiciones iniciales de

corriente de las "bobinas del circuito.

SIGIí Arreglo de JO elementos, conteniendo cada elemen

to el nombre de cada una de las respuestas que —

se des.ean obtener. De esta manera se prodrá i -

dentiíicar la tabla y gráfico correspondiente p_a

ra una determinada respuesta. Además cada ele -

mentó del arreglo SIGN solo podrá contener un -

máximo de cuatro caracteres de cualquier tipo»

2.- Variables de Salida«-

Sfmbolo Descripción

TIME Arreglo de 200 elementos, el cual contiene los -

240

Símbolo Descripción

pasos de tiempo que se consideran, adentro de un —

intervalo de tiempo.

VT Arreglo de 200 elementos,que contine una de las -

diferentes respuestas que definen el comportamim

to de un circuito, el cual se utiliza para deter-

minar los puntos del gráfico correspondiente.

SIGN Arreglo de JO elementos, explicado en los datos -

de entrada.

SIS Arreglo de 50 elementos que se utiliza para Ímpr¿

mir la escala de variación de la respuesta, de un

circuito y que acompaña al gráfico.

NGR Arreglo de 52 x 102 en el cual se sitúan los dife

rentes puntos del gráfico de respuesta de un cir-

cuito.

Tin Arreglo de 10 elementos que contiene la escala de

tiempo, en pasos de diez, que se ha considerado -

para determinar la respuesta de un cierto circui-

to.

XV". Forma de Proporcionar los datos al programa.-

Dado el siguien-r-

• te circuito, se hace el correspondiente análisis y se determi-

nan todos los requerimientos necesarios para llegar a la obten-

ción de los datos necesarios; para la simulación de circuitos-

n un computador.

En el circuito serie RC representado en la Fig. 4] la car_

ga inicial del condensador es 0 = 2500 x 10* Culombios. En el :.-

instante t = O, se cierra el interruptor,, con lo que al circuito se

le aplica una fuente de tensión constante Y s= 100 voltios. Deternd

nar la variación de la intensidad de corriente en el circuito.

10

100v

g. 4

El análisis comienza determinando las condiciones iniciales del

circuito, para lo cual se determina el circuito equivalente del mi_s

mo . Por lo tanto, el circuito equivalente para las condiciones -

iniciales será el circuito de la figura 5»

VB(3)

¿ntes de continuar con el análisis para las condiciones inicia

les, se recomienda utilizar la nomenclatura descrita en el circuito

de la Fig. 5 •

242

Para aclarar el uso de esta nomenclatura, se ha previsto en el

programa la disposición de un arreglo E. de 40 elementos,; para repr¿

sentar los diferentes valores de las resistencias, un arreglo C de

40 elementos, para representar los diferentes valores de los conden

sadores y un arreglo B de 40 elementos para representar los diferen

tes valores de las botanas que forman parte del circuito. Además —

se dispone de los arreglos VE y CE de 40 elementos cada uno, para -

representar los valores de las fuentes de voltaje y corrientes cons

tantes que intervienen en el circuito; respectivamente. Adicional -

mente, los arreglos "VE y GE, pueden ser utilizados para representar-

los valores de las condiciones iniciales, al igual que su variacidí

dentro del programa, para condensadores y bobinas respectivamente.

Los subíndices de los arreglos mencionados -anteriormente, deben es-

tar en orden ascendente, de izquierda a derecha; partiendo de un va

lor igual a 1. Por illtimo el arreglo OT de 30 elementos, se utili-

za para representar los valores de las tensiones en los nudos, sien-

do las características del subíndice iguales al caso anterior.

Una vez; hecha la aclaración anterior pasamos a determinar las

ecuaciones nodales de equilibrio, siendo el número de nudos para el

circuito de la Fig. 5> igual a 1. Por" lo tanto, la ecuación para -

el nudo 1 será:

VNÍ1) -R(2)

_ n , *3 -0 (5)

despejando i, de la Ec (5) se tiene:

(6)

243

La ecuación (6) de"be ser representada en forma de matriz. Por

lo tanto,

1 VE(1) - (7)-R(TJ

Para el programa, el sistema (?) será reconocido de la siguien

te forma:

1 VN(1) _ - VE(3)H(2J

(8)

siendo, VE(3) = qO/C (9)

La Ec. (9) viene a ser la condición inicial del voltaje en el -

condensador»

Una vez terminado el análisis en condiciones iniciales, debe -

pasarse al análisis para las condiciones generales, para lo cual se

considerará el circuito equivalente para dichas condiciones, repre-

sentado en el circuito de la Fig. 6.

VE(1)

1

Hfí/c(3)

Fig. 6

Como se podrá observar en el circuito de la Fig* 6, el conden-

sador ha sido reemplazado por una resistencia en parálelo'-con una—

fuente de corriente, de acuerdo al reemplazo indicado en la 3Pig. 1.

Además el sentido de la fuente de corriente es contrario al sentido

de la corriente total del circuito. El sentido de la fuente de co -

rriente está determinado por la Ec.

Kn el caso de la "bobina debe considerarse el reemplazo de acuer

do a la Fig. 2, siendo el sentido de la fuente de corriente igual al

sentido que tiene la corriente en la rama.

Por lo tanto» la ecuación de equilibrio para el nudo 1 será;

Para estar de acuerdo con la estructura del programa, la Ec. -

(10) debe representarse en forma matricial. Por lo tanto,

r •>[5(27 + H

VN(1) (11)R(2) " H

Ahora bien, una vez determinadas las ecuaciones nodales de e -

quilíbrio para las dos condiciones, se debe pasar a determinar las-

ecuaciones que intervienen en el subprograma CORE., de tal manera -

que aparezcan de la siguiente forma;

CIW(1) VE(1) * VE(3) (12)= ¿(2)

La ecuación (12) ha sido determinada a partir de la Ec* (8), -

representando el valor de la corriente total en el circuito en con-

diciones iniciales.

VB(1RT2

VB(3)H

(13)

Para la Ec* (13)> se tomará en cuenta la Ec. (11), que repre -

senta la variación de la corriente total del circuito en condicio -

nes generales»

Nótese que, en la ecuaciones (12) y (13)» aparece el término -

CIN(1), el cual representa un elemento del arreglo CIN, que dispone

245

de 30 elementos para la estructuración de la subrutina COER. Además

se notará que en las ecuaciones (12) y (13) se utiliza el elemento-

CIN(1), y esta situación no de"bc provocar confuciones puesto que, -

en el programa están "bien definidas las dos condiciones analizadas-

anteriormente y, por tanto, el efecto es diferente para los dos ca-

sos.

Una vez definidas totalmente las-jecuaciones que intervienen en

la subrutina COBR, pasaremos a estructurar las ecuaciones que Ínter

vienen en la subrutina RESP, en la cual se definirán las ecuaciones

que representan las respuestas. Por lo tanto,

VOUT(1,1) = VN(1) (14)

para las condiciones iniciales, y

VOTJT(I,1) VE(1) - W(1) (15)" ¿(2)

para las condiciones generales.

De la misma manera que en el caso anterior, se notará la pre-

sencia del elemento Vtt("l)f en las ecuaciones (14) y (15)? Esto es -

posible, gracias a que en el programa están plenamente definidas tanto

las condiciones iniciales, como las condiciones generales. Además, -

VN(1) en la Ec. (14) representa el valorque tiene la corriente to -

tal del circuito, para las condiciones iniciales, mientras que W(1 )

en la Ec. (15) representa el valor del voltaje en el nudo 1, del" -

circuito de. "la Mgv 6. "Esto se puede verificar observando las-' §cuju

cion.es (8) y (11 )•

El arreglo VOUT de dimensiones 200 x JO se encarga de guardar-

los diferentes puntos de cada una de las respuestas. Generalizándo-

la forma del arreglo VOUT, este puede ser representado de la siguien

te forma: VOUT(l,j), en donde I representa los docientos puntos de-

24-6

variación de una de las respuestas, y «I, las treinta diferentes re£

puestas que pueden obtenerse luego de la aplicación de los datos en

el programa. Para el caso "presente, J es igual a 1 , puesto que sola

mente se desea o"btener una respuesta.

Dentro de la subrutina RESP, de"berá considerarse la variaciÓn-

de las condiciones iniciales, observando para este caso la Ec. 1 y-

el circuito de la 3?ig. 6. Por lo tanto, dicha variación está deter-

minada por la Ec. sigílente:

para las condiciones generales.

Los listados correspondientes para la subrutina CORR y la sub-

rutina BESP, se encuentran detallados en los ANEXOS 1.' y 2, respecti_

vamente.

Por último para determinar la estructura de los datos, se debe^

rá considerar los sistemas matriciales (8) y (11), en los cuales se

tiene la matriz de constantes para las condiciones iniciales y la'-

raatrlz dé admitancias;:;en condiciones generales; respectivamente.

La matriz de constantes en condiciones iniciales, deberá ser -

tomada tal como resulta del análisis, mientras que la matriz de admi

táñelas para las condiciones generales, deberá ser tomada del siste-

ma (11), reemplazando los valores correspondientes, de los elemen -

tos del circuito, y resolviendo cada uno de los términos de dicha -

matriz, dejándolos en forma fraccionaria. Por lo tanto,

i , £Í2l 1 _ F 0.1 + o.foio"4] (17)H(2) H J " [ H J

Tal como se explicó anteriormente, en la parte de los datos -""-

isr

. 247de entrada, cada elemento de la matriz de admitancias Be. (17) -

cruenta con -una parte resistiva, una capacitiva y una parte inducti-

va. Estas tres partes deben ser plenamente definidas ya que la par-

te resistiva de"berá ir en el arreglo RES, la parte capacitiva en el

arreglo CON y la parte inductiva en el erreglo BOB. El orden de es-

tas tres partes deberá ser igual, al orden indicado en la til tima -

parte. Estas tres partes especificadas anteriormente deberán ocupar

los sitios correspondientes en las tarjetas de datos ya que la lec-

tura de los mismos se realiza tomando en cuenta cada uno de los ele

mentos de la matriz de admitancias; tomando las tres partes conjun-

tamente. Además se debe prescindir del factor H, puesto que este -

factor se incluye en los sitios correspondientes, dentro del progra

ma»

Para terminar, es necesario aclarar que, si el circuito cuenta

con fuentes de alimentación, variables, en los sitios determinados-

por los arreglos "VE y CE, deberán ir las funciones de variación de-

dichas fuentes, como podrá observarse en los ejemplos desarrollados

en la Tesis de Grado "Métodos numéricos de simulación lineal en el-

dominio del tiempo para circuitos RLC" de Carlos Mosquera S. 1979 -

B.P.M.

Para el presente caso, la estructura de los datos se encuentra

detallada en el ANEXO-3.

V» Forma de utilizar el programa»-

Debido a la estructura del progra

ma explicado en el punto II-2-a, la forma de utilizar el progra-

ma, es como si se tratara de ejecutar un programa acompañado de-

_ 248

rsubrutinas, con las correspondientes tarjetas de control, según pr£

cedimientos del centro de Cómputo de la E.P.N.

VI. Restricciones ^

1. Limitaciones del programa.-

En cuanto se refiere al programa,

este está en capacidad de resolver mallas de hasta 30 nudos-

con un número máximo de elementos que intervienen en el cir-

cuito igual a 40. Además está en condiciones de entregar 30-

respuestas distintas, con un igual número de tablas y gr'áfi-

% eos, disponiendo, para cada una de las respuestas, una capaci

ir-dad en el arreglo correspondiente de -200 "elementos. Por últi

mo, la subrutina G-AÜSS, que resuelve sistemas de ecuaciones-

lineales, tiene una capacidad para resolver un máximo de 30-

ecuaciones con 30 incógnitas.

W 2. Tiempo de compilación y ejecución del programa.-

A continua -

ción se expone los tiempos de compilación y ejcución, de cua

tro ejemplos, que se encuentran en la Tesis de Grado mencio-

nada anteriormente.

Ejemplo 1 ; Aplicación del programa en un circuito BC serie-

con fuente de excitación constante. -

1.- Número de elementos del circuito = 3

2.- Número de respuestas obtenidas s= 1

3.- Número de gráficos obtenidos = 1

4.- Tiempo de compilación del programa principal

(SLRLC) y las subrutinas COfíR y RESP, más el

tiempo de ejecución = 40.18 Seg."

Ejemplo 3 : Aplicación del programa en un- circuito RLC Berie con -

una fuente de excitación constante.

1.- Numero de elementos del circuito -4

2.~ Numero de respuestas obtenidas = 1•

3.- Numero de gráficos obtenidos — 1

- • .4*- Tiempo de compilación del programa principal (SI RLC)

•y las' subrutinas CORE y KESP, más el tiempo de eje-

cuci<5n = 44.41 Seg.• •

Ejemplo 6 : Aplicación del programa en un' circuito BIiC serie con —•

••'alimentación senoidal»

• 1.- Número de elementos del circuito = 4

2.- Número de 'respuestas o.btenidas = 4

3*- Numero de gráficos obtenidos =4

4.- Tiempo de compilación del programa principal (SLRLC)

y las subrutinas COlíR y fíESP, más el tiempo de eje-

cución = 71.97 Seg,

Ejemplo:7 : Aplicación del programa en un circuito RC de tres mallas

10- Número de elementos del circuito =6

2.- Numero de respuestas obtenidas = 3

3*™ Número de gráficos obtenidos « 3

4«- Tiempo de compilación del programa principal (SLRLC)

y las subrutinas COfiH y ÍÜ3SP, más el tiempo de eje-

cución =r 57*82 Seg.

VII. Resultados del ejemplo del capítulo 6 de la lOesis de G-rado -

'Métodos numéricos de.simulación lineal en'el dominio del tiem

po para circuitos KLC* de Carlos Mosquera Í3« Noviembre de 1979

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DATE

16/11/79

TIME

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AS CONDICIONES

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» B Í40 ) ,C I N C 30 )

IFC I .NE.O.JGO TO 10

PONER LAS ECUACIONES OUE CORRESPONDEN A LAS CONDICIONES INICIA

LhS DEL CIRCUITO

» y üUAHUAR EN LOS CAMHUb C 1N t 1 ) ,

CU'HHfcüHO'N-

DIENTES

CIN(l)=(VECi)— VEC3í)/R(2j)

FIN DE LAS LIKEAS QUE CORRESPONDEN A i- AS CONDICIONES INICIALES

RETURN

PONER LAS ECUACIONES OUE COKREbPGNÜEN A 1 MAVUH UUfc 0+

Y GURDAR EN LCS CAMPOS CINC I } CORRESPONDIENTES

CINC 1 )=VE{ 1 }/fiC2) + C(3)*VE(3)/H

FIN DE LAS ECUACIONES PARA T MAYOR OUE 0+

RETURN

END

ANEX

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256

VIII. Recomendaciones e_ interpretación de los resultados.

1.- Recomendaciones.-

En cuanto a las recomendaciones, las u-

nidades con las que se debe trabajar son: para voltajes,

las unidades deben estar en voltios. Para las corrientes

se debe trabajar en amperios, para las resistencias en -

ohmios, para los condensadores en faradios, para las bo-

binas, en henrios,para- la potencia en wattios y el tiem-

po en segundos.

2.- Interpretación de los resultados.-

En primer lugar apare-

ce una tabla de variacic5n de una o varias respuestas, se_

gun las necesidades del usuario.

Para la interpretación del gráfico debe tomarse en-

cuenta las siguientes observaciones: los ejes de varia -

ción del tiempo y de la función respuesta se encuentran-

especificados con líneas de puntos; por lo tanto, indican

el punto cero en ambas direcciones. Las unidades del grá

fico están de acuerdo a las recomendaciones hechas anter-

riormente. Por tíltimo, si uno de los ejes no aparece en-

el gráfico, significa que la función no llega al valor -

cero, en uno de los dos sentidos del gráfico.

ir

APÉNDICE B

ESTUDIO BE AUTOINDUCCIÓN E INDUCCIÓN EN FORMA GENERAL

I- Autoinducción _e inducción.-

Los circuitos estudiados anteriormen

te estaban formados por mallas y nudos. Como dos mallas tienen-

•una rama común, y dos nudos están unidos por elementos pasivos-

o activos; las mallas y los nudos están acoplados conductivamen

te.

En esta parte se hará un estudio de otro tipo de acoplo; -

el acoplamiento magnético* Cuando la interacción entre dos ma -

lias tiene lugar a travéz de un campo magnético en vez de un a-

¡ coplamiento conductivo,, las mallas en cuestión están acopladas-4

o unidas inductiva o magnéticamente*

II, Autoinducción.-

Si la corriente que circula por una "botana de -

un circuito varía, en el transcurso del tiempo tam"bién lo hace

i,. £1 flujo magnético que lo abraza, induciéndose en él una fuer-

za electromotriz (f.e.m.). Suponiendo que la permeabilidad mag

nética es constante, la f.e.m. inducida es proporcional a la -

variación de dicha corriente, esto es,

V = Ldi (1)11 dt

La constante de proporcionalidad 1¡ se llama coeficiente -

de autoinducción del elemento* En el sistema mksa la unidad de

autoinducción se le llama Henrio (H) y corresponde al coefí —

cíente de un elemento que al ser recorrido por una corriente -

variable a razón de 1 amperio por segundo (A/s) se induce en -

sus bornes una f.e.m. de 1 voltio. Por tanto, 1H=1V;s/A o, lo-

que es igual, como 1V/s es la unidad de-inducción del campo —

258

magnético, que se llama Weber (Wb) , 1H - 1Wb/A. La unidad de flujo

magnético o inducción magnética por unidad de superficie se llama-n

Tesla (T), de manera que, 1T = 1Wb/m .

En una bobina de N espiras o vueltas la f.e.m. inducida viene

dada por:

VT = Nd* (2)^ dt

en donde Nd(p es el flujo que abraza al circuito o flujo de acopla-

miento. Combinando las ecuaciones (1) y (2) se tiene:

Ldi _ Nd4) (5)dt " dt

en donde L _ Wd( (4)~ di

III. Inducción mutua^-

Si la corriente i, que circula por la "bobina

1 varía en el tiempo (Fig. 1), se establece un flujo magnéti-

co (J>1 . Tina parte de este flujo atravieza o abrasa solamente a

la bobina 1 y esta parte se llama flujo de pérdida o de fuga-

$. ,. El flujo remanente ([).-, es el que atravieza también la bp_

bina 2, como se representa en la Fig. 1.

Fig- 1

La tensión inducida en la bobina 2 viene dada por la ley

de Faraday.

259

r2 = N2- dt

Como $ _ está relacionado con la corriente i , Y es propor -

cional a la variación de iL con el tiempo, o sea,

Y- = M l (6)dt

en donde la constante de proporcionalidad M se llama coeficiente -

de inducción mutua entre las dos bobinas. En el sistema mksa la u-

nidad de inducción mutua es la misma que la de autoinducción, el -

Henrio (H).

Combinando las ecuaciones (5) y (6) se obtiene:

o "~ O M \ /dt dt

y, M = K2 J2 (8)

Con un conjunto de bobinas devanadas sobre un mismo nácleo de

hierro, la relación entre el flujo y la corriente no es lineal y -

la inducción mutua viene dada por (8). Si el medio de acoplo de la

bobina es el aire, la relación entre el flujo y la corriente es 1:1

neal y la inducción mutua es:

tf) / <.M = N 12 (q}* n xc- \ }

Í1El acoplamiento mutuo es bilateral y se obtiene análogos re -

sultados si por la bobina 2 (Fig. 1 ) circula una corriente, varia-

ble con el tiempo, 1 . Entonces, los flujos son (|> , 0 , (¡) y la-

tensión inducida en bornes de la bobina 1 es V*= (di /dt), con lo

que las ecuaciones (8) y (9) se transforman, respectivamente en,

M = N. d(|>21 (10)

260

l21"~"

(11)

IV. Coeficiente de acoplo k.-

En la Fig* 1 el flujo de acoplamiento

depende de la separación y orientación de los ejes de las bob¿

ñas y de la permeabilidad magnética del medio* La fracción del

flujo total que .abraza o acopla a las dos bobinas se llama coe_

ficiente de acoplamiento k*

* - Üll _ Í21 (12)(D1 ~ <P2

Por ser fp ? - <D, y (D?1 - (D?f el valor máximo de k es la unidad.

SI coeficiente M se puede expresar en función de las aut£

inducciones L. y L? de la forma siguiente. Multiplicando (9) y

(11);U O N <P U k(p H k<p

1

%

(13)

y sustituyendo 1 = N /i y L2 = H /i , en la ecuacií5n (13)

M2 *

V. Análisis de circuitos con acoplo magnético»*

(H)

Para comprender me-

jor el sentido del devanado y sus efectos en las tensiones de r-

inducción mutua, las bobinas se han representado sobre un nú -

cleo (?ig. 2).

261

R.

. 2

Puesto que cada circuito tiene una fuente de tensión, se eli-

gen las corrientes de malla i,e ip en la misma dirección que las -

fuentes, con lo que las dos ecuaciones de malla, deducidas de la -

segunda ley de Kirchhoff, son:.

± M(15)

dt

Va di2 - M ádt dt

Las tensiones de inducción mutua pueden ser de una u otra po-

laridad, segdn el sentido del devanado. Para determinar los signos

correctos en (15) se aplica la regla de la mano derecha a cada u -

na de las "bobinasi Si los dedos envuelven a la "bobina en el senti-

do supuesto para la corriente, el dedo pulgar señala el sentido -

del flujo. Por consiguiente, los sentidos positivos de <p y 3>2 —

son los señalados en la Fig. 2 . Si los flujos $ y $>2 debidos a -

las corrientes supuestas positivas tienen el mismo sentido, es de-

cir, se ayudan, ;.los signos de las tensiones de inducción mutua son

iguales que los de las tensiones de autoinducciones. En la Pig. 2¿

$ y 0 se oponen mutuamente. Por lo tanto, el sistema de ecuacio-

• 262>

nes (15)> con los signos correctos, es

fi± + d - M di = V (16)

dt dt

di - M di «

dt dt

Recordando el sistema general de ecuaciones en la corrientes -

de malla se tiene:

Z I-, Í 212I2 « V1 (17)

± Z21Z1 + 222X2 = V2

Se vio que S1 ~ = Z91 era la copedancia o impedancia común a -

las dos mallas de corrientes I. e I-. El acoplo de mallas es de ti-

po conductivo, ya que las corrientes pasan por una rama común. Aho-

ra, en el circuito de la Pig. 2, se tiene un sistema de ecuaciones-

análogo. En las ecuaciones (1?) las mallas no están acopladas con -

ductivamente, ya que las dos corrientes no circulan por una impedan_

cia común. Sin embargo, las ecuaciones indican que existe un acó

plamiento. En tales casos, el acoplo se llama mutuo o magnético.

VI. Corriente Natural.-

En la sección anterior se ha analizado un -

circuito de dos mallas con un acoplo mutuo y,.sendas fuentes de

tensión, en donde se ha supuesto un sentido de circulación de -

corrientes. Á veces, ea necesario estudiar la corriente natural

que circula por una malla que carezca de fuentes de tensión» El

sentido de la corriente viene dada por la ley de Lena»

263

//•a

M

R2-U/VO-

Fig. 3

Considerando el circuito de la 3?ig. 3 en que existe -una sola -

fuente de tensión en la-- raalla.ul. Se elige la corriente i, de acuerE l""""'

do con la fuente V y aplicando la regla de la mano derecha se de -

termina el sentido del flujo (j) . Ahora "bien, la ley de Lenz esta -

blece que la polaridad de la tensión inducida debe ser tal que si -

se cierra el circuito circula por la "bobina una corriente de mane -

ra que el flujo que origina, se opone al flujo principal creado por

la corriente I . Por tanto, al cerrar el interruptor en la Fig. 3 -

el sentido del flujo $ será, de acuerdo con la ley de Lenz, el -

señalado en la misma. Si ahora se aplica la regla de la mano dere -

cha con el dedo pulgar señalando en el sentido de fy , los dedos -

envolverán la botina 2 en el sentido de la corriente natural.

VII. Jtegla de los puntos para "bobinas con acoplo magnético.-

La po-

laridad relativa en el caso de tensiones de inducción mutua -

se puede determinar partiendo de esquemas del núcleo en que -

se vean los sentidos del devanado, pero este no es un método-

práctico. Para simplificar la representación esquemática de ~

circuitos con acoplo magnético se señalan los terminales con-

puntos, Pig. 4.-(o). En cada bobina se marca un punto en los

4

264

terminales que tienen la misma polaridad instantánea, considerando-

solamente la inducción mutua. Por tanto, para aplicar esta notación

hay que saber a qué terminal de las "bobinas se asigna el punto. Kay

que determinar, además, el signo asociado con la tensión en la in -

ducción mutua cuando se escriben las ecuaciones, en las corrientes-

de malla.

Para asignar los puntos a un par de "bobinas acopladas se eli -

ge un sentido para la corriente en una de ellas y se coloca un pun-

to en el terminal por el que la corriente entra en el arrollamien -

to. Aplicando la regla de la mano derecha se determina el flujo co-

rrespondiente, Pig. 4Í-3-)- Ahora en la segunda bobina, según la ley-

de Lena, el flujo ha de oponerse al creado por la variación de co -

rriente Kvéase

fe

fnlí

(a) (b) (c)

Fig. 4

"Utilizando nuevamente la regla de la mano derecha, se determi-

na el sentido de la corriente natural colocando el otro punto en el

terminal por el que dicha corriente sale del arrollamiento. No es -

preciso, pues dibujar los nádeos y el diagrama queda como indica -

la Fig. 4-(e).

265

4

Para determinar el signo de la tensión de inducción mutua en-

las ecuaciones en las corrientes de malla se -utiliza la regla de -

los puntos» que dice; (1 ) Si las dos corrientes supuestas entran o

salen de las botanas acopladas por los terminales con punto, los -

signos de los términos en W son los mismos que los términos en L;-

(2) Si una corriente entra por un terminal con un punto y la otra-

sale por el otro terminal con punto, los signos de los términos -

en M son opuestos a los de los términos en L.

(a) (b)

Fig. 5 Fig. 6

La Fig. 5 muestra cuando los signos de los términos en M y en-

L son opuestos. En la Fig. 6 se representan dos casos en los cuales

dichos signos son iguales.

VIII. Circuitos equivalentes con acoplo conductivo.-

Analí ti carnen te-

es posible sustituir un circuito con acoplo mutuo por un cir-

cuito equivalente con acoplo conductivo. Sea el circuito de -

la Fig. 7(a) y tomemos los sentidos de las corrientes i e i -

como se indica. El sistema de ecuaciones en las corrientes

de malla es:

R-i. + L di - M di9 * y (18)

dt dt

Vadt

L1 =V2dt

266

4 (a) 00

Sean los sentidos de las corrientes en la Pig. 7b los mismos —

que en la Fig. 7[a). Las intensidades i- e i pasan por la rama co

nnín en sentidos opuestos; por lo tanto el circuito de la Fig. 7W ~

es equivalente al circuito de la Fig. 7(a), puesto que al plantear -

las ecuaciones de mallas, según la segunda ley de Kirchhofr, estas-

coinciden en su totalidad.

El método anterior de análisis no siempre conduce a un circui-

to equivalente realizable. Esto es cierto cuando M> L1 o M >L_ .

Para sustituir la conexión en serie de las bobinas con acoplo-

mutuo de la Fig. 8(a) se procede de la siguiente manera: :Se aplican,-

en primer término, los métodos estudiados y se obtiene el equiva -

lente con puntos de la Fig. 6(b). Después se sustituye este último -

por el equivalente conductivo de la Fig. 8(c).

V-

M

EL:'UÍ:~ i

(a)

M

•ww—TO—w—

O») (c)

El análiEis del circuito de la Fig* 6(a) exige considerar los

flujos magnéticos para determinar los signos de las tensiones de -

inducción mutua. Con el circuito de la Fig. 8("b) no hace falta con

siderar los flujos, pero sí la regla de los puntos. Por ultimo, -

con el circuito de la Fig. 8(0) se puede escribir directamente las

ecuaciones necesarias» sin prestar atención ni al flujo, ni a los-

puntos, ni a la inducción mutua. Los tres circuitos son equivalen-

tes y tienen la misma impedancia.

B I B L I O G R A F Í A

(1 ) .- Director, Stephen W. , "Circuit theory, a computational approach"

(2) .- Joseph A. Edminister, "Circuitos eléctricos teoría y problemas"

Libros Me Graw-Hill, 1969.

O) *- William Schick/Charles J. Merz, Jr, "Fortran para ingeniería",-

Libros Me Graw-Hill, 1972.

(4) .- Ronald E. Scott, "Linear Circuits", Edison-Vesley putlishing -

Company, Inc.,19 4.

(5) .- A. Balfour y V* T. Beveridge, "Análisis nxunérico "básico con For

tran", Compañía editora Continental, S. A. t México, 1978.

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