ECAES

1. Todo punto de la parábola y =√

2x− 1 es equidistante del eje y y del punto

a. (12, 0)

b. (1, 0)

c. (32, 0)

d. (2, 0)

e. (52, 0)

2. Evalúe el límite

lımn→∞

n∑k=1

(k

n2− k2

n3

)a. 2

3

b. 12

c. 13

d. 16

e. 112

3. Encuentre el volumen del sólido en el primer octante del espacio xyz, acotado porel cilindro x2 + y2 = 1 y por las superficies z = 0 y z = 8xy.

a. 12

b. 1

c. 2

d. 4

e. 8

4. Sea f(x) una función cuya gráfica pasa por el origen. Si f(2n) = n2 + f(2(2n− 1))para cada n, determine

1

a. 24

b. 30

c. 32

d. 36

e. No se puede determinar con la información dada

5. Considere X el conjunto de todas las funciones del intervalo [a, b] en sí mismo(a < b). Cuáles de las siguientes condiciones, si fueran ciertas, implicarían que lafuncióv f ∈ X sea constante en [a, b]

I. la composición f ◦ f ◦ f es constante.

II. La composición f ◦ g es constante para toda función g ∈ X.

III. |f(x)− f(y)| ≤ (x− y)2 para todo x e y en [a, b].

a. Solamente I

b. Solamente II

c. Solamente I y III

d. Solamente II y III

e. Todas

6. En el plano xy sea C la frontera del triángulo con vértices (0, 1), (1, 1) y (1, 3)orientado en la dirección opuestas a las manecillas del reloj. Calcule el valor de lasiguiente integral: ∫

C

√2x+ 1dx+ (2xy +

√y2 − y)dy

a. 1

b. 83

c. 3

d. 103

e. 4

7. Calcule el área de la superficie de la porción de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 que estádentro del cilindro x2 + y2 = a2.

8. Muestre que∫

Cydx + zdy + xdz = πa2

√3, donde C es la curva intersección de la

esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el plano x+ y + z = 0

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