2 Calculo Diferencial Curso Calculo Rapido

download 2 Calculo Diferencial Curso Calculo Rapido

of 109

  • date post

    09-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    89
  • download

    2

Embed Size (px)

description

CALCULO DIFERENCIAL

Transcript of 2 Calculo Diferencial Curso Calculo Rapido

  • CAPITULO 11

    CALCULO DIFERENCIAL

    Seccin l.

    97LIMITES

    Antes de entrar de lleno al estudio del Clculo Diferencial, debemosdetenemos un poco para aprender algo acerca de los LIMITES. La ideade Lmite, puede ser completamente nueva para el lector, pero es la partemedular del clculo y se debe tener mucho cuidado en entender muy bienesta seccin antes de seguir adelante.

    Una vez que usted sepa realmente qu se entiende por Lmite, estaren condiciones de entender fcilmente las ideas del clculo diferencial.

    Los lmites son tan importantes en el clculo, que los discutiremos des-de dos puntos de vista diferentes. Primero desde un punto de vista intui-tivo e inexacto. Luego, cuando ya nos hayamos familiarizado con la idea,daremos la definicin matemtica precisa de lmite.

    Pase a 98.

    63

  • 64 Clculo Diferencial

    98

    Aqu tenemos una pequea aplicacin matemtica que nos puede serde utilidad.

    Sea x una variable que toma valores dentro de un intervalo con laspropiedades siguientes:

    1) El centro del intervalo es un cierto nmero a.

    2) La diferencia x y a debe ser menor que otro nmero B.

    3) x no puede tomar el valor de a (pronto veremos por que se ex-cluye este punto).

    Los tres postulados anteriores pueden resumirse como sigue:

    Ix - al > O

    Ix-al

  • 99

    Lmites 65

    25 ------------

    Para comenzar nuestra disru-sin sobre lmites, veamos unejemplo. Trabajaremos con laeruacin y = f( x) = x2 que semuestra en la grfica de la dere-cha. P representa un punto de larurva cuyas coordenadas son:x = 3, y= 9.

    Observemos el comportamien-to de y para valores de x toma-dos en un intervalo en la vecin-dad de x = 3. Por razones quepronto veremos, es importanteexcluir del intervalo el punto departirular inters P y para no ol-vidado lo encerramos dentro deun crrulo.

    eje y

    20

    15

    10

    5

    O

    A

    2 3

    Fig. 45

    4

    A'

    y=l

    5 eje"

    Empezaremos por considerar los valores de y correspondientes a valoresde x dentro de un intervalo en la vecindad de x = 3 Y variando entrex = 1 Y x = 5.

    Con la notacin del prrafo anterior, esto se puede escribir O < I x-3 I < 2. El intervalo para la x se indica en la figura por la lnea A, elintervalo correspondiente para y est indicado por la lnea A' incluyendolos puntos comprendidos entre y = 1 Y Y = 25, con excepcin de y = 9.

    Un intervalo ms pequeo para la x lo muestra la lnea B enO < I x - 3 I < 1, Yel intervalo que corresponde a y es 4 < Y < 16,excluyendo y = 9.

    El intervalo para x mostrado por la lnea e est dado por O < I x-3 I < 0.5. Escriba el intervalo correspondiente para la y en el espacioen blanco de abajo, considerando que y =..9 est excluido.

    Para encontrar la respuestacorrecta, pase al prrafo 100.

  • 66 Clculo Diferencial

    100

    El intervalo para y correspondiente a O< I x - 3 I < 0.5 es

    6.25 < y < 12.25

    Fig. 46

    y

    Se puede comprobar fcilmente, substituyendo los valores de 2.5 y 3.5para la x en y = Xl- Y encontrando los valores de y en los dos extremos.

    Hasta aqu, hemos considerado tresintervalos, cada vez ms pequeos pa-ra x, en la vecindad de x = 3, Y losintervalos correspondientes de y. Con-. tinuaremos este proceso. La figura re- 9.5presenta la grfica de la ecuaciny = x2 para valores de x compren-didos entre 7.9 Y 3.1. (Esta figura 9.0es una amplificacin de la del prrafoanterior.) Se muestran tres intervarlospequeos para la x en la vecindad dex = 3 con los correspondientes inter- 8.5valos para la y. La tabla de abajo con-tiene los valores de y que correspondena las fronteras de x en los extremos 8.0del intervalo. (El ltimo rengln es 2.9para un intervalo demasiado pequeopara ponerse en la figura.)

    Intervalo intervalo corres-dex pon diente de y

    1-5 1-252-4 4-16

    2.5-3.5 6.25-12.252.9-3.1 8.41-9.61

    2.95-3.05 8.70-9.302.99-3.01 8.94-9.062.999-3.001 8.994-9.006

    Pase a 101.

  • Lmites 67

    101

    Esperamos que sea evidente de la discusin anterior, que a medidaque se disminuye el intervalo de x en la vecindad de x =3, los valores dey = x2 se acercan ms y ms a y = 9. De hecho, parece que podemos ha-cer que los valores de y sean tan cercanos como se quiera a y = 9, limi-tando nicamente los valores de x en un intervalo lo suficientemente pe-queo en la vecindad de x = 3. Ya que esto es cierto, podemos decir queel lmite de x2, cuando x se aproxima a 3, es igual a 9 y lo escribimos as:

    lim x2 = 9.x ->3

    Poniendo lo anterior en trminos generales:

    Si una funcin f(x) est definida para valores de x cercanos a uncierto valor fijo a, y si la x est restringida a tomar valores dentro de in-tervalos cada vez ms pequeos en la vecindad de a, los valores de f (x)se acercan ms y ms a un cierto nmero fijo L, el nmero L se llamael lmite de f(x), cuando x se aproxima al nmero a.

    El enunciado que dice: "el lmite de f(x) cuando x se aproxima alnmero a, es L y se abevia comnmente:

    lim f(x)=L.x ->a

    En el ejemplo discutido, f(x) = x2; a = 3, Y L = 9.

    La idea importante en la definicin es que los intervalos usados estnen la vecindad del punto de inters a, pero dicho punto no est incluidoen el intervalo. De hecho, f (a), el valor de la funcin en el punto a,puede ser completamente diferente de lim f(x), como pronto veremos.

    x->a

    Pase a 102.

  • 68 Clculo Diferencial

    102Usted se preguntar porqu hemos hecho una discusin tan complicada

    de un problema aparentemente simple. Por qu molestarse con ellim x2 = 9 cuando es obvio que x2 = 9 para x = 3?"'-+3

    La razn es que a menudo el valor de una funcin para un valor par-ticular x = a no est definido, mientras que el lmite cuando x tiende a a

    sen ()est perfectamente definido. Por ejemplo, para ()= O la funcin --

    ()

    tiene el valor ~, que es una indeterminacin. Cuando lleguemos al prrafoO

    110,veremos que

    l. sen ()lffi--=l.() -+ o ()

    Consideremos otra ilustracin.

    (x)=x2-1x - 1

    Para x = 1,f( 1)= 1- 1= ~, no est definido. Sin embargo pode-1-1 O

    mos dividir entre x - 1 teniendo en menta que x no es igual a 1, obte-niendo

    (x) = x2

    - 1 = (x + 1) (x - 1) = x + 1.x-1 x-1

    Por lo tanto, aunque f(l) no est definida,

    lim (x) = 1im (x + 1) = 2.x-+l x-+l

    La demostracin rigurosa de los dos ltimos pasos est dada en elapndice A2, con las reglas para manejar los lmites. No es necesario leerel apndice en este momento, a menos que lo desee.

    Tambin se pueden obtener los resultados de arriba, estudiando la gr-fica de la funcin en la vecindad de x = 1 como se hizo en el prrafo 99.

    Pase a 103.

  • 103

    Lmites 69

    Para comprobar si lo entendi, encuentre los lmites de las siguientesfunciones, un poco ms complicadas, en forma anloga al prrafo ante-rior: (Posiblemente tenga que hacerlos en su cuaderno. En los dos debetrabajar con lgebra).

    (a) lim (l + x)2 - 1 = [I Ixl - 1 I 2Jx -+0 x

    (b) im 1 - (l + x)3 = [I Ixl 3 I - 3Jx -+0 x

    Si acert, pase a 105.Si no, pase a 104

    104Estas son las soluciones a los problemas del 103:

    (a) im _(_1_+_x_)_2_-_1= lim (_I_+_2_x_+_x_2_)_-_1x-+o x x-+o X

    =lim 2x+x2_lim (2+x)= lim 2+ lim x=2

    x-+o x x-+o x-+o x-+o

    lim 1 - (l + x) (l + x) (l + x)(b)1-(l+x)3

    lim-----x -+0 x x -+0 x

    1 - (1 + 3x + 3x 2 + X 3)= lim ----------

    x -+0 Xlim (- 3 + 3x + X 2)x -+0

    = im (-3)+ lim 3x+ im x2=-3x-+o x-+o x-+o

    Si necesita la demostracin de los pasos usados, vea el apndice A2.Pase a 105.

  • 70 Clculo Diferencial

    105Hasta aqu, hemos discutido los lmites de una manera informal e

    intuitiva, usando expresiones tales como, "confinado a un intervalo cadavez ms pequeo" y "acercndose ms y ms". Esas expresiones nos danel significado intuitivo de un lmite, pero no son trminos matemticosprecisos. Ya nos preparamos para la definicin precisa de lmite.

    Como es una costumbre muy generalizada, emplearemos en la definicin de lmite, las letras griegas 8 (delta) y E (psilon). Continuemos.

    Definicin de un lmite

    Sea f(x) definida para toda x en un intervalo en la vecindad dex = a, pero no necesariamente en x = a. Si hay un nmero L tal que acada nmero positivo E corresponda un nmero positivo 8 de tal modoque se cumpla

    I/(x) - L I < ( considerando que 0< Ix - al < O

    decimos que L es el el lmite de f(x) cuando x tiende a a, y se escribe

    lim /(x) = L.x -+a

    Pase a 106.

    Respuestas: (103) 2, - 3.

  • Lmites 71

    106

    La definicin formal de un lmite en el prrafo 105, sienta las basespara iniciar una discusin sobre la existencia del lmite y si este es L. Con-sidrese que afirmamos que lim f(x) = L, Y alguien no est de acuerdo.

    Z-.4

    Como primer paso, decimos que escoja un nmero positivo e, tan peque-o como se quiera, digamos 0.001 si se quiere ponemos en apuros1000-1000. Nuestro trabajo consiste en encontrar algn otro nmero, S, talque para toda x en el intervalo O < I x - a I < S, la diferencia entref(x) y L sea menor que E. Si podemos hacer esto, ya ganamos la discusin;el lmite existe y es L. Estos pasos estn ilustrados para una funcin enparticular, en las figuras de abajo.

    f(x)

    L -------- }2.

    xa

    (a)Fig.47

    f(x)

    L -------- }2.

    xa

    (b)

    Nuestro oponente nos ha retado aencontrar una S compatible con es-ta E.

    Esta es la S escogida. Por supues-to que para todos los valores dex en el intervalo mostrado, f(x)satisface: ,I f(x) -L I < E

    Posiblemente nuestro oponente pueda encontrar una e tal que nos-otros nunca podamos encontrar una S que llene los requisitos pedidos.En este caso, l gana y f(x) no tiene por lmite L. (En ei prrafo 114 v