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ESTUDIOS PROFESIONALES PARA EJECUTIVOS MATEMÁTICA DISCRETA (CE16)

Examen Final Ciclo 2012 – 2 – Módulo 1

Secciones : Todas Profesores : Raúl Acosta De la Cruz, Marcos Medina Martínez, Marco Tamariz Milla. Duración : 170 minutos

Sólo serán calificadas las preguntas desarrolladas en las caras derechas del cuadernillo, donde debe aparecer el procedimiento y la respuesta. Las caras izquierdas se utilizarán como borrador.

El orden y la claridad de los desarrollos serán considerados en la calificación.

No se permite el intercambio ni préstamo de útiles durante la práctica.

No se permite el uso de libros ni apuntes de clase.

(4,0 puntos)

1) Sea fedcbaA ,,,,, y R una relación sobre el conjunto A, cuya

matriz se muestra a la derecha:

(a) Determine los valores de tsr y , , si R es una relación de orden

parcial, Justifique su respuesta. (b) Trace su diagrama de Hasse.

(c) ¿Los elementos a y f, son comparables? Justifique su respuesta.

(d) ¿Los elementos b y f, son comparables? Justifique su respuesta.

Solución: a)

0 ;0 ;1 rts

b)

11110

11111

001000

00010

001110

00110

r

r

t

s

M R

101110

011111

001000

000100

001110

001101

RM

001110

001111

000000

000000

001100

001100

1M

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d c a b e f

c) a y f no son comparables, porque ),( fa y ),( af no están en R

d) b y f son comparables, porque ),( bf está en R

(4,0 puntos)

2) Para el conjunto parcialmente ordenado ,A donde ihgfedcbaA ,,,,,,,, se cumple que:

hgcba , hgfbi , hda , hea .

(a) Trace el diagrama de Hasse del conjunto parcialmente ordenado ,A .

(b) Determine los elementos: maximales, minimales, máximo y mínimo de ,A . En caso de no existir algún

elemento, justifique su respuesta.

(c) El diagrama de Hasse de ,A , ¿es una estructura del tipo retícula? Justifique su respuesta.

(d) Determine las cotas superiores, cotas inferiores, mínima cota superior y máxima cota inferior del

subconjunto gfeB ,, . En caso de no existir algún elemento justifique su respuesta.

001100

001100

000000

000000

000000

000000

2M

000010

000011

000000

000000

001100

001100

3M

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Solución: h a) g d c f e b a i b)

Maximales=h Minimales=a, i Máximo=h Mínimo=No tiene, porque i y a no son comparables CS(B)={h} CI(B)={a} MCS(B)=h MCI(B)=a

(4,0 puntos)

3) Dada la retícula ),( AL , donde ihgfedcbaA ,,,,,,,, y cuyo diagrama de Hasse se muestra a la

derecha:

(a) Determine los complementos de todos los elementos de A.

(b) Determine c (e g) y (c e) (c g).

(c) ¿Es L distributiva? Justifique su respuesta.

(d) ¿Es L un Álgebra Booleana? Justifique su respuesta. Solución:

a) Vértice Complemento

a i

b c, g

c d, e, f, g

d c, g

e c, g

f c, g

g f, e, d, c

h c, g

i a

b) c (e g) =c a = c

(c e) (c g) = i i = i

c) No es distributiva, porque c (e g) ≠ (c e) (c g) d) No es un álgebra Boole, porque no es distributiva

e g

b

i

a

c d f

h

g

i

e

r

b

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(4,0 puntos) 4) Se tienen 16 celdas de un panel publicitario, donde, mediante bombillas de luz se inscribirá el número.4. El

diagrama inferior muestra el esquema; los unos indican que en la celda ira una bombilla y los ceros indican que la celda quedará vacía. El circuito necesario para este panel puede ser descrito mediante una función

boolena BBf 4: :

1 0 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

0 0 0 1

(a) Empleando los mapas de Karnaugh, determine la expresión más simplificada de la función booleana f. (b) Construya el circuito lógico correspondiente a una función booleana f. Solución:

a) )'()()''(),,,( zwyxwxwzyxf

b) x y z w

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(4,0 puntos)

5) Del árbol T definido en el conjunto PNMKJIHGFEDCBAQ ,,,,,,,,,,,,, , se conoce su

listado en entreorden y su árbol binario posicional, aunque en cada uno de ellos hay elementos que se han borrado:

Entreorden: C A B N J H F G P

(a) Trace el dígrafo del árbol T ordenado indicando la raíz y el tipo de n - árbol.

(b) Determine el contenido de los arreglos LEFT, DATA,RIGHT.

(c) Liste los nodos (vértices) del árbol )(TB en preorden y postorden.

Solución:

a)

A

M

B

N P

J A B E F G

H C D J H I K

I

Raíz=M, es un 3-árbol

b)

índice LEFT DATA RIGHT

1 13 X X

2 4 A 3

3 5 B 0

4 0 C 0

5 0 D 0

6 11 E 7

7 9 F 8

I

M

P

E

F

G

K

N

C

D

M

P

E

F

G

K

N

C

D

c) Preorden: M N A C B D P E J F H I G K

Postorden: C D B A J I H K G F E P N M

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8 12 G 0

9 0 H 10

10 0 I 0

11 0 J 0

12 0 K 0

13 14 M 0

14 2 N 15

15 6 P 0

Monterrico, Octubre de 2012