CONTROL ANALGICO - ETAPA 1

PRESENTADO POR:

OTTO RUEFLI BARRERA 1118538282

SEGUNDO EURPEREZ GOYENECHE CUCUNUVA

CDIGO: 4208375

PRESENTADO A:

TUTOR: ING. FABIAN BOLIVAR MARIN

Grupo : 07

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

CURSO DE CONTROL ANALOGICO

INTRODUCCION

En el siguiente trabajo podremos ver como se plantea el desarrollo del problema

propuesto en la gua integradora de actividades, en cuatro fases, en las cuales no

se trata solo de ir directo a buscar una solucin, sino que debe hacerse un previo

anlisis de cmo y que mitologa se emplearan para dar solucin al mismo.

En la primera fase buscamos conocer las diferentes maneras de como

plantearamos una solucin, haciendo un anlisis con los elementos que

conocemos y los que necesitamos fortalecer. Para la segunda fase entramos a

proponer un modelo metodolgico para el desarrollo de la actividad, en este punto

ya debemos tener definido lo que se quiere resolver. Posteriormente en la Etapa 3

el plan de accin que trazamos en la anterior etapa.

En la misma Gua Integradora encontramos Actividades colaborativas, que nos

permiten analizar la dinmica del sistema propuesto.

DESCRIPCIN DEL PROBLEMA Se presentan problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos pticos en los reproductores de DVD y BLURAY, ya que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad. Para corregir este problema, la empresa ha decidido incorporar mdulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores. Disear un prototipo de controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco ptico sea ptima. Se debe garantizar igualmente un funcionamiento aceptable del controlador ante perturbaciones que se puedan presentar por fallas elctricas o seales parsitas en el sistema. La empresa solicita que se entregue la funcin de transferencia del controlador, con las respectivas simulaciones que demuestren que dicho controlador cumple con los parmetros del diseo propuesto, adems del proceso de diseo detallado descriptiva y matemticamente. Segn especificaciones tcnicas de los motores, su funcin de transferencia es:

( )

REQUISITOS DE DISEO

La velocidad del motor una vez implementado el mdulo no difiera en ms del 1% del valor requerido;

El motor debe alcanzar la velocidad de referencia en mximo 2 segundos

La velocidad del motor debe sobrepasar mximo el 5% de su velocidad de trabajo.

Fase 1: Anlisis, lluvia de ideas y listado de conceptos. Leer e identificar claramente lo que se quiere lograr en la respectiva etapa del problema. El grupo realizar una lluvia de ideas, de tal forma que se planteen algunas hiptesis sobre cmo solucionar las situaciones planteadas en la etapa, basndose en conocimientos previos y el sentido comn.

Anlisis:

Se presentan problemas en el funcionamiento de los motores de corriente continua (DC) usados para implementar el mecanismo que hace girar los discos pticos en los reproductores de DVD, puesto que giran a velocidades diferentes a las establecidas por la empresa para el correcto funcionamiento de los reproductores o cambian constantemente de velocidad Se requiere disear e incorporar mdulos controladores en las tarjetas principales de los reproductores, por medio de un controlador que permita mantener el motor DC girando a una velocidad constante para que la lectura del disco ptico sea ptima Conceptos y datos que se conocen:

Funcin de transferencia del motor:

( )

Parmetros necesarios del motor:

-La velocidad del motor una vez implementado el mdulo no difiera en ms del 1% del valor -La velocidad de referencia en mximo 2 segundos

Conceptos que se desconocen:

Controlador: Un sistema de control puede ser pensado como un sistema que por alguna entrada o entradas se utiliza para controlar el valor de la salida de un sistema.

Funcin de transferencia de un controlador: Una funcin de transferencia es un modelo matemtico que a travs de un

cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) con una seal de entrada o excitacin (tambin modelada). En la teora de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Para implementar los diferentes tipos de controladores (P, PD, PI, PID) en MatLab se hace uso de la funcin de transferencia propia del sistema a objeto de estudio.

Lugar geomtrico de las races: Es la trayectoria formada por las races de una ecuacin polinmica cuando un parmetro de sta vara. En el caso de Sistemas de Control, la ecuacin polinmica resultante es la ecuacin caracterstica, y el LGR es la trayectoria en el plano S (complejo) de las races de sta ecuacin cuando algn parmetro est cambiando:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Podemos ver ms claramente el parmetro variable de la siguiente forma:

( )

( )

( )

( )

con K como parmetro variable. Estabilidad absoluta: El aspecto dinmico ms importante de todo sistema es su estabilidad. Se entiende por estabilidad la capacidad que tiene un sistema para amortiguar con el tiempo y anular totalmente las oscilaciones de la respuesta ante una perturbacin. En la estabilidad absoluta, la variable vuelve al punto de consigna a un valor estable despus de una perturbacin, sin importar el tiempo que est oscilando hasta anularse La observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno de un sistema puede detectarse desde sus salidas La controlabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas, mientras que la observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas Fase 2: Propuesta metodolgica y obtencin de informacin

Todo proceso obedece a una planeacin, la cual nos permite seguir un orden en el desarrollo de los eventos. Para la solucin de este problema planteado en la gua se propuso en la plataforma la siguiente secuencia metodolgica: 1)- Identificacin del problema: Se identifica el problema de acuerdo a la descripcin del mismo en la gua integradora y partimos de las 6 preguntas formuladas en la misma gua integradora para dar desarrollo al planteamiento. 2)- Recopilacin de informacin necesaria. Una vez tenemos claras las preguntas a desarrollar, las cuales encontramos en la gua integradora se efecta la bsqueda en los diversos medios de que disponemos, principalmente Internet. 3)- Bsqueda de posibles soluciones Dentro de los mismos puntos se dan soluciones ya sea con el material de consulta o con la ayuda de MATLAB 4)- Desarrollo de diseos previos (modelos) 5)- Simulacin y pruebas funcionales 6)- Evaluacin y eleccin de la solucin ptima 7)- Preparacin de informes, planes y especificaciones 8)- Implementacin del diseo Las etapas fundamentales para el desarrollo de un problema permiten evitar errores importantes como una definicin incorrecta del problema evitando prdidas de tiempo o llegar a una solucin inadecuada y as generar un planteamiento correcto del problema el cual es el paso ms importante en la solucin de nuestro problema. DESARROLLO DE PLANTEAMIENTO 1- Identificar el orden del sistema.

Un sistema de primer orden queda descrito por una ecuacin diferencial del tipo

( ) ( ) ( ) La transformada de Laplace de la salida resulta en:

( )

( )

( )

Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuacin general aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). Un sistema de primer orden tiene una funcin de transferencia de la forma

( )

Un sistema de segundo orden viene descrito por una ecuacin diferencial del tipo

Un sistema de segundo orden tiene una funcin de transferencia de la forma

( )

Sistemas de Orden Superior Los sistemas de orden superior a dos se pueden expresar como suma de sistemas de primer y segundo orden, en general. La respuesta de este tipo de sistemas constar en trminos generales de una suma de trminos, uno por cada raz caracterstica, tal que:

- si la raz es real simple producir una respuesta de salida exponencial. - si la raz es real repetida dar una respuesta del tipo potencia del tiempo

multiplicando a una exponencial. - si las races son complejas se producir una respuesta sinusoidal

amortiguada por una exponencial El grado del denominador de la funcin de transferencia es el orden del sistema. Por lo tanto la ecuacin:

( )

Es una ecuacin de segundo grado

Segn especificaciones tcnicas de los motores, su funcin de transferencia es:

( )

Como requisitos de diseo se necesita que la velocidad del motor una vez implementado el

mdulo no difiera en ms del 1% del valor requerido; adems, el motor debe alcanzar la

velocidad de referencia en mximo 2 segundos y debido a que velocidades altas del eje del

motor pueden daarlo, se requiere un sobrepaso mximo del 5%.

ETAPA 1.Analizar la dinmica del sistema, graficar el lugar geomtrico de las races,

determinar su estabilidad absoluta, controlabilidad y observabilidad.

-DINAMICA DEL SISTEMA

-ESTABILIDAD DEL SISTEMA

El sistema es estable porque no hay ceros en la columna 1.

- LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES:

- Para la funcin de transferencia sin escaln unitario

-Establecer polos y ceros:

Polos:

( )

Los polos sern:

La funcin de transferencia no tiene ceros.

-Ubicamos los polos y ceros en el plano s:

-Tenemos dos lugares geomtricos de la raz, que son iguales al nmero de polos.

-Encontramos lugares geomtricos que terminan en ceros en el infinito, para ello

encontramos el punto de partida de las asntotas:

( ) ( )

Ahora encontramos los ngulos que son dos:

-Representacin de ceros en el infinito:

- Determinar el punto de cruce en el eje imaginario:

- Determinar los puntos de partida del eje real

-Determinar el ngulo de partida de los polos complejos y el ngulo de llegada de ceros

complejos2

- ANLISIS CON BASE EN LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA Y UNA SEAL DE

PRUEBA ESCALN UNITARIO, LA DINMICA DEL SISTEMA.

La respuesta escalon se obtiene a partir de:

( ) ( ) ( )

Descomponemos en fracciones parciales:

( )

( )

Despus de realizadas las respectivas operaciones obtenemos que:

- Reemplazando nos queda:

( )

( )

2- Determinar la estabilidad absoluta del sistema usando el criterio de Routh-Hurwitzz

Anlisis de Estabilidad: Se emplea El criterio de Routh-Hurwitz, La primera prueba que se aplica es revisar los coeficientes, si stos son todos positivos y ninguno es cero, entonces el sistema puede ser estable. Si cualquiera de los coeficientes es negativo, entonces el sistema es inestable. Si cualquiera de los coeficientes es cero, entonces, en el mejor de los casos, el sistema es crticamente estable:

Coeficientes positivos, Condicin necesaria pero no suficiente para la estabilidad de un sistema

Buscamos b1,b2,c1

El arreglo de coeficientes es:

1 25 4 0 25 0 0

De acuerdo al arreglo de coeficientes tenemos un sistema estable, el cual no posee ceros y tiene dos polos Con las instrucciones de MATLAB para obtener los polos y ceros, ejecutamos as: >> [z, p, k]=tf2zp(num, den);

Identificamos los polos (p), y vemos que z que corresponde a los ceros esta vaca Otra forma de hacerlo en MATLAB es: >> num=[25]; >> den=[1 4 25]; >> sys=tf(num,den); >> step(num,den,0:0.001:0.2); >> sys=tf(num,den) Transfer function: 25 -------------- s^2 + 4 s + 25 >> [z, p, k]=tf2zp(num, den); >> num=[25]; >> ceros=roots(num) ceros = empty matrix: 0-by-1 >> den=[1 4 25]; >> polos=roots(den)

polos = -2.0000 + 4.5826i -2.0000 - 4.5826i >> Glc=tf(num,den); >> polos=pole(Glc); >> pzmap(Glc) >> Glc=tf(num,den); >> polos=pole(Glc); >> pzmap(Glc)

3. Analizar con base en la funcin de transferencia y una seal de prueba escaln unitario: la dinmica del sistema. Identificar ganancia, constante de tiempo, tiempo de subida, tiempo de asentamiento o establecimiento, sobre impulso, atenuacin, frecuencia natural no amortiguada, factor de amortiguamiento relativo, frecuencia natural amortiguada, amortiguamiento real, amortiguamiento crtico, tiempo pico, si el sistema es sub-amortiguado, crticamente amortiguado o sobre-amortiguado, elaborar grficas con la respuesta, etc. Todo depende del orden del sistema, por lo que es importante que el grupo tenga claro este aspecto y la seal de prueba a utilizar. Si el grupo desea, puede agregar a la respuesta escaln, la respuesta a una rampa o impulso. La siguiente es la grfica de la respuesta del sistema a la salida en el dominio del tiempo >> num=[25]; >> den=[1 4 25]; >> step(num,den,0:0.001:5);

Con seal de impulso: >> impulse(num,den,0:0.001:5)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5Impulse Response

Time (seconds)

Am

plitu

de

La ganancia y la constante de tiempo: Se definen como y K respectivamente en los sistemas de primer orden de acuerdo a la frmula:

C(s) / R(s) = k / s + 1 De acuerdo a la Funcin de transferencia general para los sistemas de Segundo orden tenemos la frmula:

C(s)/R(s) = Wn/s+2Wns+Wn Dnde: Wn = Frecuencia natural no amortiguada.

= Razn de amortiguamiento. La ecuacin caracterstica para un sistema de segundo orden es:

S + 2Wns + Wn = 0 s+2Wns+Wn = s+6s+25 Frecuencia natural no amortiguada Wn = 25 Wn = 5 Razn de amortiguamiento

2Wn = 4 = 4/10 = 0,4 La naturaleza de las races de la ecuacin caracterstica depende de la razn de amortiguamiento, se identifica este caso.

Cuando 0 < < 1

S1,2 = -Wn Wn - 1

Sustituyendo 0< < 1 tenemos que:

S 1,2= -Wn Wn -1

Como se puede apreciar al sustituir el radical siempre ser negativo por lo tanto es un nmero imaginario.

S1 = -Wn + j Wn - 1 S2 = -Wn - jWn - 1

Wd = Wn 1 - = frecuencia natural amortiguada Las races son complejas conjugadas y la respuesta en el tiempo sub-amortiguada

C(t) r(t) t Frecuencia natural amortiguada

Wd = Wn1 - = 0,3666 rad/seg Tiempo de Elevacin (tr).- Es el tiempo en el cual la variable controlada va del 0 al 100% de su valor final de una sola vez.

tr = - / Wd

= 1,57079 rad

= 2

tr = - / Wd

seg

Tiempo de Pico (tp) .- Es el tiempo en el cual la variable controlada alcanza su valor mximo.

tp = / Wd tp = 3.1416 / Wd

= 3.1416 / 0,36664 = .8,5695 seg

Tiempo de Estabilizacin (ts).- Es el tiempo en el cual la variable controlada alcanza su estado estable dentro de determinado rango (habitualmente 5% o 2%) del valor final

ts = 5 / Wn = 5 /.4*5

= 0,25 seg Sobrepaso Mximo (Mp).- Es el valor pico mximo que presenta la variable controlada tomando como base su referencia.

El mximo sobre-impulso es un parmetro indicativo de la estabilidad relativa del sistema 4. Construir, interpretar y analizar el lugar geomtrico de las races del sistema.

La tcnica del Lugar Geomtrico de las Races (LGR) es un mtodo grfico para dibujar la posicin de los polos del sistema en el plano complejo a medida que vara un parmetro, la informacin que proporciona este mtodo es utilizada para el anlisis de la estabilidad y funcionamiento del sistema El lugar geomtrico de las races lo graficamos hallando las races del polinomio del denominador de la funcin de transferencia del sistema.

( )

Hallamos la ecuacin caracterstica para un sistema cerrado:

( )

Que corresponde con:

Las races de una ecuacin de la forma estn dadas por:

De esta forma las races del polinomio del denominador de la funcin de transferencia son:

y Que son dos races complejas conjugadas, la parte real de estas races es negativa lo que indica que es estable, y por ser complejas conjugadas nos dice que habr oscilaciones y ser sobre amortiguado

Lugar de las races

asntotas

centroide

-3 -2 -1

Para hallarlo con MATLAB colocamos: >> num=[25]; >> den=[1 4 25]; >> sys=tf(num,den); >> rlocus(num,den)

5. Representar el sistema en espacio de estados

Una ecuacin diferencial de n-simo orden se puede descomponer en n ecuaciones diferenciales de primer orden Funcin de transferencia a espacio de estados

-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds

-1)

y(s)/u(s)=num/den=C(sI-A)-1 B+D

Representacin mediante objeto

CONCLUSIONES

Fue posible establecer que al tener una funcin de transferencia debemos hacer un anlisis completo para determinar cmo poder trabajar con ella, en primera medida identificar el orden a que pertenece, luego su estabilidad, posteriormente la razn de amortiguamiento nos mostrara el comportamiento del sistema.

Los programas de simulacin son muy tiles a la hora de precisar ciertos

parmetros, pero si nos acostumbramos a ellos perderemos la esencia que nos deja la teora en el conocimiento de las cosas, es recomendable tratar de hacer las cosas a mano para no perder la prctica.

Finamente se pudo conocer que las seales de prueba nos arrojan tambin

bastante informacin, no solo podemos tener una grfica, a esa grafica la debemos analizar y con ello saber el comportamiento del sistema y los parmetros

El diseo de sistemas de control es muy importante para la mejora de los

tiempos de ejecucin y las respuestas de las plantas industriales.

El anlisis y diseo de sistemas de control es bsico para la aplicacin del

mtodo ingenieril en los procesos industriales.

Iniciamos el proceso de modelamiento usando la aplicacin Matlab.

Se logr interactuar con los compaeros del aula logrando aclarar los

conceptos ms relevantes de los temas tratados en el presente trabajo.

BIBLIOGRAFIA

[1] NAVARRO, Rina. Ingeniera de control: analgica y digital. McGraw-Hill/Interamericanade Mxico, 2004. [2] Dinmica y Control De Procesos. Recuperado el 22 de marzo de 2015 de: http://www.fing.edu.uy/iq/cursos/dcp/teorico/7_FUNCION_DE_TRANSFERENCIA_PRIMER_ORDEN.pdf [3] Tema 3. Anlisis de La Respuesta de Sistemas en Tiempo Continuo. Recuperado el 20 de marzo de 2015 de: http://www.isa.uma.es/C11/Ingenier%C3%ADa%20de%20Sistemas/Document%20Library/Tema3.pdf [4] Matlab. Recuperado el 15 de marzo de: http://www.eis.uva.es/~eduzal/icontrol/matlab.pdf [5] Lugar Geomtrico de las Races. Recuperado el 15 de marzo de: http://ingenieria.udea.edu.co/~evelilla/ARCHIVOS/LGR.pdf [6] Lugar de las Races. Recuperado el 15 de Marzo de: https://www.youtube.com/watch?v=Num-m-KnPjU [7] Respuesta en el Tiempo de un sistema de control. Recuperado el 15 de marzo de: http://html.rincondelvago.com/respuesta-en-el-tiempo-de-un-sistema-de-control.html