e1 Tension

rea de Mecnica de Medios Continuos yTeora de las Estructuras

Elasticidad y Resistencia de Materiales

E1 - Tensin

Alejandro Domnech Monforte (TC-2330-DD)Curso 2014/2015

E1.1 - Introduccin

E1.2 - Equilibrio y concepto de tensin

E1.3 - Frmula de Cauchy: Tensor de Tensiones

E1.4 - Cambio de Sistema de Referencia

E1.5 - Tensiones y Direcciones Principales

E1.6 - Crculo de Mohr. Caso plano

E1.1 - Introduccin






Marco de referencia 4 / 27

Elasticidad y Resistencia de Materiales

I Disciplina

Fsica > Mecnica >

Mecnica del punto material

Mecnica del slido rgido

Mecnica de los medios continuos

Mecnica de fluidos

Mecnica de slidosI Objeto:

Diseo mecnico de elementos estructurales y mecnicosI Requisitos:

RESISTENCIA, RIGIDEZ, ESTABILIDAD


ElasticidadLa teora de la elasticidad estudia las tensiones y deformaciones en un slido tridimensional concomportamiento elstico sometido a un sistema de fuerzas exteriores:

I Planteamiento complejo de las ecuaciones Campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensiona-

les que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales

I Dificultad en el tratamiento de las condiciones de contornoI Solucin exacta casos particulares de geometra y carga

aplicadaI Slidos con geometra arbitraria: Mtodos de resolucin

aproximados (diferencias finitas, elementos finitos...)

Sacrifica en aras del rigor la viabilidad de la resolucin exacta de los problemas del slido elstico


Resistencia de MaterialesEl objeto de la Resistencia de Materiales es el estudio de aquellos slidos deformables que por suscaractersticas de forma geomtrica, carga y condiciones de contorno, admiten hiptesis simplificativasen relacin a sus estados tensional y las deformacional.

En geometras aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosas, arcos, etc.) obidimensionales (placas y lminas, membranas, etc.) el clculo de esfuerzos internos se define sobre unalnea o una superficie en lugar de sobre un dominio tridimensional.

Las hiptesis adoptadas permiten un planteamiento simplificado apto para la resolucin analtica demultitud de problemas cotidianos de ingeniera estructural.


Hiptesis adoptadas

I Comportamiento elstico lineal El slido recupera su estado inicial al suprimir las fuerzas aplicadas Relacin lineal entre las cargas aplicadas y las deformaciones

I Material continuo Campo de funciones continuasI Material homogneo Idnticas propiedades en todos los puntosI Material istropo Idnticas propiedades en todas las direccionesI Cargas aplicadas estticas o cuasiestticas No se consideran los efectos dinmicosI Deformaciones pequeas frente a las dimensiones del slido Las ecuaciones de equilibrio se

pueden plantear en la configuracin indeformada

Como resultado de las anteriores, se admite como vlido el principio de superposicin

E1.1 - Introduccin






Condiciones de equilibrio 9 / 27

I Cada porcin del slido est en equilibrio por la accin combinada de las fuerzas externas y la distri-bucin de fuerzas internas que aparecen en cada partcula de material de la seccin de interseccin.

Concepto de Tensin 10 / 27

Vector Tensin: Fuerza interna que acta por unidad de superficie

I ~ =d~FdS

I Magnitud vectorial INTENSIDAD, DIRECCIN, SENTIDO

I El vector tensin depende de la orientacin del plano pi , de la posicinen el mismo y de la parte del slido considerada (accin - reaccin)

I ~ = (x, y, z ) DEPENDE del sistema de referencia

Componentes intrnsecas del Vector Tensin

I Tensin normal: n = ~ ~n (~n vector unitario S)

I Tensin tangencial: =~ ~ 2n

I n, INDEPENDIENTES del sistema de referencia

E1.1 - Introduccin






Frmula de Cauchy: Tensor de tensiones 12 / 27

Cuestiones

I 2 planos de corte por un mismo punto... Son iguales los vectores tensin?

pi ~I Cmo calcular ~ en funcin de la orientacin del plano pi ?I Para qu pi son mximas o mnimas las componentes intrnsecas de ~ ?

LEY DE CAUCHY

~ = [T ]~n

Tensor de tensiones [T ]

Estado tensional asociado a un determinado sistema dereferencia en el entorno infinitesimal de un punto


Un estado tensional, infinitas representaciones...

I En el entorno infinitesimal de un punto el estado tensional es nicoI Su representacin matemtica depende del sistema de referencia

Para un sistema de referencia dado...


Notacin y signos

I Notacin:I ni (i = x, y, z ) Componente normal al plano de corte iI ij (i, j = x, y, z ) i , j Componente tangencial asociada al plano de corte i en la direccin del eje j

I Criterio de signos:I Cara : Corte segn un semieje I Cara : Corte segn un semieje I ni TRACCINI ij en cara lleva el sentido de un semieje I ij en cara lleva el sentido de un semieje

Tensor de tensiones

[T ] =

nx xy xzyx ny yzzx zy nz

El estado tensional en un punto queda definido por 9 componentes


Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales ij = jiI xy = yx xz = zx yz = zy

I El tensor de tensiones es simtrico [T ] =nx xy xzxy ny yzxz yz nz

I El estado tensional en un punto queda definido por 6 componentes


La ley de Cauchy

La ley de Cauchy establece la relacin entre el tensor de tensiones en un punto y el vector tensinasociado a cierta orientacin definida por el plano pi :

xyz

=nx xy xzxy ny yzxz yz nz

~ = [T ]~n ~n =

=cos(~n, X )cos(~n, Y )cos(~n, Z )

E1.1 - Introduccin






Cambio de Sistema de Referencia 18 / 27

Expresin de [T ] y ~ en un nuevo sistema de referencia

I La expresin de [T ] y ~ depende del sistema de referencia escogidoI Se emplea la matriz de cambio de base [R]:

[R]OXYZOXY Z =

cos(xx ) cos(xy ) cos(xz )cos(yx ) cos(yy ) cos(yz )cos(zx ) cos(zy ) cos(zz )

[R] : matriz de cambio de base de un sistema ortonormal

I ~ = [R] ~

I [T ] = [R] [T ] [RT

]

E1.1 - Introduccin






Tensiones y Direcciones Principales 20 / 27

I Reciprocidad tensiones tangenciales La matriz de tensiones [T ] es simtricaI Toda matriz simtrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales

una base (~n1,~n2,~n3) en la que [T ] es diagonal= Sobre las caras definidas por (~n1,~n2,~n3) , @ tensiones tangenciales

z

x

y

I Las direcciones~n1,~n2 y~n3 son las direcciones principalesI Las tensiones normales 1, 2 y 3 son las tensiones principales (1 > 2 > 3)


I direccin principal, el vector tensin es paralelo al unitario: ~i ~ni ~i = ~niI Introduciendo esta condicin en la Ley de Cauchy:

~i = [T ] ~ni =nx xy xzxy ny yzxz yz nz

*.,

iii

+/- = *.,

iii

+/- [T ] ~ni = ~ni Problema de autovalores y autovectores

Autovalores de [T ] Tensiones principalesAutovectores de [T ] Direcciones principales

Recordando lgebra lineal...

Si un nmero y un vector no nulo~x verifican la relacin A ~x = ~x diremos que es un valor propio o autovalor de la matriz A y que~xes un vector propio o autovector de A asociado al valor propio

([T ] [I]) ~ni =~0 *.,

nx xy xzxy ny yzxz yz nz

1 0 00 1 00 0 1

+/-

*.,iii

+/- = 0Solucin no trivial (~ni , 0) [T ] [I] = 0


= 0


Polinomio caracterstico de [T ]


= 0 3 2 I1 + I2 I3 = 0 I1, I2, I3 son los coeficientes del polinomio caracterstico

I1 = nx + ny + nz

I2 = nynz + nznx + nxny 2yz 2zx 2xy

I3 = |T |

I1, I2, I3 independientes del sistema de referencia INVARIANTES DEL ESTADO TENSIONAL

El polinomio caracterstico de [T ] NO DEPENDE del sistema de referencia Un nico polinomio caracterstico los sistemas de referencia posibles


Estados tensionales asociados a las direcciones principales

E1.1 - Introduccin






Crculo de Mohr. Caso plano 25 / 27

Transformacin de tensionesOBJETIVO variacin de las tensiones en un punto segn la orientacin del plano

s

ny

t

xy

X

Y

X

Y

q

s

nx

Tetraedro de Tensiones

t X

Y

q

s

n

s

ny

txy

txy

s

nx

Tetraedro de Fuerzas

s q

nxdAcos

tdA

q

s

ndA

t q

xydAcos

s q

nydAsen

t q

xydAsen

Equilibrio esttico

n ( ) =nx + ny

2+

nx ny2

cos 2 + 2xy sin 2

( ) = nx ny2

sin 2 + xy cos 2


n ( ) =nx + ny

2+nx ny

2cos 2 + 2xy sin 2 (1) ( ) =

nx ny2

sin 2 + xy cos 2 (2)

(1)2 + (2)2 (n ( )

nx + ny2

)2+ ( )2 =

(nx ny2

)2+ 2xy

Se trata de la ecuacin de una circunferencia en el plano n,

C =(nx + ny

2, 0

)R =

(nx ny2

)2+ 2xy

I Representacin grfica de todas las combinaciones (n, ) que aparecen en un punto en funcinde la orientacin del plano considerado

I Cada par (n, ) se representa como un punto en la circunferencia


1 = C + R =nx + ny

2+

( nx ny2

)2+ 2xy

2 = C R =nx + ny

2

( nx ny2

)2+ 2xy

max = R =

( nx ny2

)2+ 2xy

tan(2 ) =2xy

nx ny

La ecuacin del Crculo de Mohr es vlida para cualquier estado tensionalse plantea a partir de las tensiones principales:(n ( ) 1 + 22

)2+ ( )2 =

( 1 22

)2

C =( 1 + 2

2, 0

)R =

( 1 22

)

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