DUALIDAD

DUALIDADMBA Ing. Denis Benavente RiverosTEORA DE LA DUALIDADTodo problema de programacin lineal tiene asociado con l otro problema de programacin lineal llamado DUAL.

El problema inicial es llamado PRIMAL O PRIMO y el problema asociado (sombra) es llamado el problema DUAL. Los dos juntos son llamados problemas duales ya que ambos estn formados por el mismo conjunto de datos.

La solucin bsica factible ptima de estos problemas es tal que una puede fcilmente ser usada para la solucin de la otra. La dimensin del problema de programacin lineal influencia la eleccin del clculo del primo o del dual.

Si el primo tiene mas ecuaciones que variables, es frecuentemente mas fcil obtener la solucin del dual ya que menor numero de iteraciones son requeridas. Adems si el primo tiene solucin, el dual tendr solucin.

Una vez que el problema dual es formulado, el procedimiento de solucin es exactamente el mismo que para cualquier problema de programacin lineal.Mecnicamente el dual es formulado partiendo del problema primo en la siguiente forma:Si el primo es un problema de Maximizacin, el dual es un problema de Minimizacin y viceversa.

Los coeficientes de la funcin objetivo del primo se convierten en las restricciones constantes de las ecuaciones del dual.

2. Las restricciones de las ecuaciones del primo se convierten en los coeficientes de la funcin objetivo del dual.

3. Los coeficientes de las variables del dual en las ecuaciones restrictivas son obtenidas sacando la transpuesta de la matriz de coeficientes del primo ( los arreglos de los coeficientes en las columnas del primo se convierten en los coeficientes de las filas en el dual y viceversa ).

4. Los signos de la desigualdad son invertidos.

5. Las Xn variables del primo son remplazadas por Wm variables en el dual.NOTACIN MATEMTICASi el Primal contiene m ecuaciones y n variables.El dual contendr n ecuaciones y m variables.

La notacin matricial del Primal es:Max Z = CXSujeto a :AX < b X > 0La notacin matricial del Dual es:Min Z = bt WSujeto a :AtW > CtW > 0EJEMPLOS:Ejemplo 1:PrimalMax Z = 40X1 - 18X2

Sujeto a:

16X1 + 2X2 700 6X1 + 3X2 612 X1 80 X2 120 xi 0DualMin C = 700W1 - 612W2 + 80W3 - 120W4Sujeto a:16W1 - 6W2 + W3 40 2W1 + 3W2 +W4 18

wi 0

EJEMPLOS:Ejemplo 2:PrimalMin Z = 3X1 - 2X2 + X3Sujeto a:

2X1 - 3X2 + X3 1 2X1 - 3X2 + X3 12X1 - 3X2 + X3 1 - 2X1 + 3X2 - X3 -12X1 + 3X2 - X4 8 2X1 + 3X2 - X4 82X1 + 3X2 - X4 8 - 2X1 - 3X2 + X4 -8xi 0DualMax Z = W1 - W2 + 8W3 - 8W4Sujeto a:

2W1 - 2W2 + 2W3 - 2W4 3-3W1 + 3W2 + 3W3 - 3W4 -2W1 - W2 1 - W3 + W4 0wi 0SOLUCIN SIMPLEX PRIMAL DUA:

Hoja1PRIMALDUAL

CannicaCannicaMaximizar Z = 40 x1 + 60 x2Minimizar C = 2000 y1 + 1000 y2

S.R.S.R.3x1 + 2x2 < 20003y1 + y2 > 40 x1 + 2x2 < 10002y1 + 2y2 > 60

x1 > 0 ; x2 > 0y1 > 0 ; y2 > 0

EstndarEstndarMazimizar Z = 40x1 + 60x2 + 0h1 + 0h2Minimizar C = 2000y1 + 1000y2 - 0h1 - 0h2 + MA1 + MA2

S.R.3x1 + 2x2 + h1 + 0h2 = 2000 S.R.3y1 + y2 - h1 + 0h2 + A1 +0A2 = 40 x1 + 2x2 + 0h1 + h2 = 1000 2y1 + 2y2 +0h1 -h2 + 0A1 +A2 = 60x1 > 0 ; x2 > 0y1 > 0 ; y2 > 0Solucin del Primal Mtodo Cj - ZjSolucin del Dual Mtodo Cj - ZjCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn0h13210200010001000000A131-10104013.33333333330h2120110005001000000A2220-1016030Zj00000Zj5,000,0003,000,000-1,000,000-1,000,0001,000,0001,000,000100,000,000Cj - Zj406000Cj - Zj-4,998,000-2,999,0001,000,0001,000,00000veveCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn0h1201-1100050020000y110.3333333333-0.333333333300.3333333333013.33333333334060x20.5100.550010001000000A201.33333333330.6666666667-1-0.6666666667133.333333333325Zj306003030000Zj20,0001,340,000660,000-1,000,000-660,0001,000,00033,600,000Cj - Zj1000-30Cj - Zj-18,000-1,339,000-660,0001,000,0001,660,0000veveCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn40x1100.5-0.55002000y110-0.50.250.5-0.25560x201-0.250.752501000y2010.5-0.75-0.50.7525Zj406052535000Zj2,0001,000-500-25050025035,000Cj - Zj00-5-25Cj - Zj00500250999,500999,750Todos las variables 0 negativas , se encontr solucin factibleTodos las variables son 0 positivas , se encontr solucin factible

Hoja2

Hoja3

Hoja1PRIMALDUAL

CannicaCannicaMaximizar Z = 40 x1 + 60 x2Minimizar C = 2000 y1 + 1000 y2

S.R.S.R.3x1 + 2x2 < 20003y1 + y2 > 40 x1 + 2x2 < 10002y1 + 2y2 > 60

x1 > 0 ; x2 > 0y1 > 0 ; y2 > 0

EstndarEstndarMazimizar Z = 40x1 + 60x2 + 0h1 + 0h2Minimizar C = 2000y1 + 1000y2 - 0h1 - 0h2 + MA1 + MA2

S.R.3x1 + 2x2 + h1 + 0h2 = 2000 S.R.3y1 + y2 - h1 + 0h2 + A1 +0A2 = 40 x1 + 2x2 + 0h1 + h2 = 1000 2y1 + 2y2 +0h1 -h2 + 0A1 +A2 = 60x1 > 0 ; x2 > 0y1 > 0 ; y2 > 0Solucin del Primal Mtodo Cj - ZjSolucin del Dual Mtodo Cj - ZjCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn0h13210200010001000000A131-10104013.33333333330h2120110005001000000A2220-1016030Zj00000Zj5,000,0003,000,000-1,000,000-1,000,0001,000,0001,000,000100,000,000Cj - Zj406000Cj - Zj-4,998,000-2,999,0001,000,0001,000,00000veveCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn0h1201-1100050020000y110.3333333333-0.333333333300.3333333333013.33333333334060x20.5100.550010001000000A201.33333333330.6666666667-1-0.6666666667133.333333333325Zj306003030000Zj20,0001,340,000660,000-1,000,000-660,0001,000,00033,600,000Cj - Zj1000-30Cj - Zj-18,000-1,339,000-660,0001,000,0001,660,0000veveCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn40x1100.5-0.55002000y110-0.50.250.5-0.25560x201-0.250.752501000y2010.5-0.75-0.50.7525Zj406052535000Zj2,0001,000-500-25050025035,000Cj - Zj00-5-25Cj - Zj00500250999,500999,750Todos las variables 0 negativas , se encontr solucin factibleTodos las variables son 0 positivas , se encontr solucin factible

Hoja2

Hoja3

Hoja1PRIMALDUAL

CannicaCannicaMaximizar Z = 40 x1 + 60 x2Minimizar C = 2000 y1 + 1000 y2

S.R.S.R.3x1 + 2x2 < 20003y1 + y2 > 40 x1 + 2x2 < 10002y1 + 2y2 > 60

x1 > 0 ; x2 > 0y1 > 0 ; y2 > 0

EstndarEstndarMazimizar Z = 40x1 + 60x2 + 0h1 + 0h2Minimizar C = 2000y1 + 1000y2 - 0h1 - 0h2 + MA1 + MA2

S.R.3x1 + 2x2 + h1 + 0h2 = 2000 S.R.3y1 + y2 - h1 + 0h2 + A1 +0A2 = 40 x1 + 2x2 + 0h1 + h2 = 1000 2y1 + 2y2 +0h1 -h2 + 0A1 +A2 = 60x1 > 0 ; x2 > 0y1 > 0 ; y2 > 0Solucin del Primal Mtodo Cj - ZjSolucin del Dual Mtodo Cj - ZjCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn0h13210200010001000000A131-10104013.33333333330h2120110005001000000A2220-1016030Zj00000Zj5,000,0003,000,000-1,000,000-1,000,0001,000,0001,000,000100,000,000Cj - Zj406000Cj - Zj-4,998,000-2,999,0001,000,0001,000,00000veveCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn0h1201-1100050020000y110.3333333333-0.333333333300.3333333333013.33333333334060x20.5100.550010001000000A201.33333333330.6666666667-1-0.6666666667133.333333333325Zj306003030000Zj20,0001,340,000660,000-1,000,000-660,0001,000,00033,600,000Cj - Zj1000-30Cj - Zj-18,000-1,339,000-660,0001,000,0001,660,0000veveCj406000Cj200010000010000001000000x1x2h1h2LDRazny1y2h1h2A1A2LDRazn40x1100.5-0.55002000y110-0.50.250.5-0.25560x201-0.250.752501000y2010.5-0.75-0.50.7525Zj406052535000Zj2,0001,000-500-25050025035,000Cj - Zj00-5-25Cj - Zj00500250999,500999,750Todos las variables 0 negativas , se encontr solucin factibleTodos las variables son 0 positivas , se encontr solucin factible

Hoja2

Hoja3