Dualidad poincaré (Efraín Vega)
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Segundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones
Dualidad de Poincaré
Efraín Vega Landa
2015-09-04
Dualidad de Poincaré 2
La dualidad de Poincaré
Es un resultado que relaciona los grupos de homología y cohomología de una
variedad cerrada y orientable.
Hk (M) =̃Hn−k (M)
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Dualidad de Poincaré 3
¿Qué es la homología de una variedad?
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Dualidad de Poincaré 4
Es una sucesion de grupos
Hk =ker ∂kim∂k+1
asociada a un complejo de cadenas
0∂n+1→ Cn
∂n→ Cn−1∂n−1→ · · · ∂2→ C1
∂1→ C0∂0→ 0
∂k ◦ ∂k+1 = 0
extraido con la información topológica de una variedad
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Dualidad de Poincaré 5
La no trivialidad de cada uno de estos grupos Hk (M) está asociada con la existencia
de agujeros en la variedad
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Dualidad de Poincaré 6
Algunos ejemplos
S1
H0
(S1)
= Z
H1
(S1)
= Z
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Dualidad de Poincaré 7
S2
H0
(S2)
= Z
H1
(S2)
= 0
H1
(S2)
= ZSegundo Congreso Internacional de Matemáticas y sus Aplicaciones
Dualidad de Poincaré 8
T 2
H0
(T 2)
= Z
H1
(T 2)
= Z2
H1
(T 2)
= Z
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Dualidad de Poincaré 9
S3
H0
(S3)
= Z
H1
(S3)
= 0
H2
(S3)
= 0
H3
(S3)
= Z
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Dualidad de Poincaré 10
T 3
H0
(T 3)
= Z
H1
(T 3)
= Z3
H2
(T 3)
= Z3
H3
(T 3)
= Z
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Dualidad de Poincaré 11
¿Qué es la cohomología?
Es una sucesión de grupos
Hk =ker δk+1
imδk
asociada a un complejo de cadenas "duales"
Para construirlo notamos que en el complejo de cadenas de la homología
0∂n+1→ Cn
∂n→ Cn−1∂n−1→ · · · ∂2→ C1
∂1→ C0∂0→ 0
los mapeos ∂k son lineales, así podemos tomar el complejo de espacios duales
0δn+1← Cn δn← Cn−1 δn−1← · · · δ
2
← C1 δ1← C0 δ0← 0
conectados por los mapeos transpuestos δk
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Dualidad de Poincaré 12
La idea de la dualidad de Poincaré es ver que cada funcional en Hk (M) se puede
obtener a partir del producto de intersección con un (n− k)-ciclo.
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Dualidad de Poincaré 13
Imaginemos un 1-ciclo y un 2-ciclo en un 3-toro T 3
A ∈ H1
(T 3)
y B ∈ H2
(T 3)
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Dualidad de Poincaré 14
Si deformamos un poco alguno de los ciclos ¿Seguirá intersecando al otro?
Resulta ser que la intersección se preservará
Es decir, será un invariante asociado a las clases de homología de los ciclos A y B.
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Dualidad de Poincaré 15
Pero si deformo más pueden aparecer más puntos de intersección
¿Cómo contarlos adecuadamente?
A las intersecciones les podemos asignar un signo
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Dualidad de Poincaré 16
Escogemos una orientación en los ciclos A, B y nos fijamos en el espacio tangente a
la variedad TpT3 en el punto p, donde se intersecan los ciclos.
Escogemos un par de bases para TpA y TpB, de orientación positiva.
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Dualidad de Poincaré 17
ip (A,B), será ±1;
1 si al tomar la base de TpA y luego la de TpB formamos una base de TpT3 de
orientación positiva en M ;
−1 si tiene orientación negativa en M.
Definimos el número de intersección sumando sobre las intersecciones
# (A,B) =∑p∈A∩B
ip (A,B)
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Dualidad de Poincaré 18
Resulta ser que la intersección de ciclos depende solo de las clases de homología de
los ciclos A y B
Si uno de los ciclos, por ejemplo B está en la clase del 0 entonces, el otro ciclo A lo
intersecaría en general un numero par de veces y
# (A,B) = 0
Y es también es lineal en cada factor
vale para cada pareja de clases de homología α ∈ H1
(T 3)
y β ∈ H2
(T 3)
podemos encontrar ciclos A y B que representen dichas clases y al intersecarlos
transversalmente
definimos un mapeo bilineal
H1
(T 3)×H2
(T 3)→ Z
Llamado apareamiento de intersección.
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Dualidad de Poincaré 19
Finalmente, estas ideas se pueden generalizar para cualquier variedad orientable Mdonde para cada pareja de clases de homología α ∈ Hk (M) y β ∈ Hn−k (M)podemos encontrar ciclos A y B suaves por trozos que las representen y al
intersecarlos transversalmente tendremos un mapeo bilineal
Hk (M)×Hn−k (M)→ Z
dado por
〈α, β〉 =# (A,B)
llamado producto de intersección
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Dualidad de Poincaré 20
Si tomamos en el producto de intersección el orden inverso, a veces conmuta y a
veces no (en el caso de T 3 hubiera sido indistinto el orden tomado)
# (A,B) = (−1)k(n−k) [# (B,A)]
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Dualidad de Poincaré 21
Mencionamos que se puede definir también el producto de intersección de ciclos
cuya suma de dimensiones exeda la de la variedad
Hn−k1 (M)×Hn−k2 (M)→ Hn−k1−k2 (M)
en el caso que ya vimos
n− k1 + k2 = 0
y ahora podríamos tener
n− k1 + k2 > 0
Un ejemplo:
en T 3 podríamos tener, haciendo k1 = k2 = 1, un mapeo
H2 (M)×H2 (M)→ H1 (M)
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Dualidad de Poincaré 22
H2 (M)×H2 (M)→ H1 (M)
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Dualidad de Poincaré 23
El resultado fundamental sobre el producto de intersección es el teorema de Poincaré
Si M es una variedad cerrada y orientable, el producto de intersección
Hk (M,Z)×Hn−k (M,Z)→ Z
es unimodular, es decir, cada funcional lineal
Hn−k (M,Z)→ Z
se expresa como el producto de intersección con alguna clase α ∈ Hk (M,Z)
〈α, _〉 =# (A, _) ,
y cualquier clase α ∈ Hk (M,Z) que tenga número de intersección 0 con todas las
clases en Hn−k (M,Z) será una clase de torsión
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Dualidad de Poincaré 24
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Dualidad de Poincaré 25
Otra versión del teorema de Poincaré es que el mapeo
Hk (M,Q)P←→ Hn−k (M,Q)∗ =̃Hn−k (M,Q)
El isomorfismo P le asocia al k ciclo A el funcional
P (A) (B) =# (A,B)
en Hn−k (M,Q)∗ =̃Hn−k (M,Q) dado por el producto de intersección (omitiendo aquí
el hecho de que es unimodular).
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Dualidad de Poincaré 26
El isomorfismo de de Rham
Hn−kdR (M)←→ Hn−k (M,R)
nos garantiza que para el k-ciclo A en el funcional
P (A) (B) =# (A,B)
existe una (n− k)-forma ϕn−k diferencial en Hn−k (M,R) tal que al integrarla sobre
los (n− k)-ciclos B en Hn−k nos da el mismo funcional∫B
ϕn−k =# (A,B)
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Dualidad de Poincaré 27
Pensemos los dos puntos de vista del funcional∫B
ϕn−k =# (A,B)
en el toro T 3, donde k = 1 y n− k = 2.
El 1-ciclo A = S1 es uno de los 3 generadores de H1
(T 3).
La 2-forma ϕn−k = ϕ2 es la que arroja período en el toro T 2 generador de H2
(T 3)
cuya intersección con A es distinta de cero∫B
ϕ2 =#(S1, B
)Donde B corre en H2
(T 3).
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En formas diferenciales existe el producto cuña
ϕk1 ∧ ψk2 = ωk1+k2
En particular, manda formas cerradas en formas cerradas.
Respeta las clases de cohomología, es decir, tenemos un mapeo
Hk1dR (M)⊗Hk2
dR → Hk1+k2dR (M)
y en particular si k1 + k2 = n
HkdR (M)⊗Hn−k
dR → HndR (M) =̃R
que algo tiene de parecido con el producto de intersección
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Dualidad de Poincaré 29
Relacionemos el producto cuña con el producto de intersección
Tomemos un k-ciclo σk y un (n− k)-ciclo τn−k en M . Y tomemos (usando el teorema
de de Rham) sus formas ϕn−k y ψk duales de Poincaré, es decir
∫µn−k
ϕn−k =#(σk, µn−k
)para cualquier (n− k) -ciclo µn−k
∫νkψk =#
(τn−k, νk
)para cualquier k-ciclo vk
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Dualidad de Poincaré 30
Si tomamos ahora el producto de los ciclos en el producto de M con sí misma
µn−k × νk ⊂M ×M
con los mapeos de proyección en cada factor
π1 : M ×M →M y π2 : M ×M →M
resulta que∫µn−k×νk
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk =
∫µn−k
ϕn−k∫νk
ψk =#(σk, µn−k
)# (τn−k, νk
)
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Notamos que las parejas de ciclos
σk y µn−k
τn−k y νk
se intersecan en M si y solo sí la pareja de ciclos
σk × τn−k y µn−k × νk
se interseca en M ×M y las intersecciones están relacionadas a través de
i (p1, p2)(σk × τn−k, µn−k × νk
)= (−1)n−k ip1
(σk, µn−k
)ip2(τn−k, νk
)
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de donde al tomar en cuenta todos los puntos de intersección llegamos a que
#(σk × τn−k, µn−k × νk
)= (−1)n−k
[#(σk, µn−k
)# (τn−k, νk
)]= (−1)n−k
∫µn−k×νk
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk
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Dualidad de Poincaré 33
Notamos que en la igualdad
#(σk × τn−k, µn−k × νk
)= (−1)n−k
∫µn−k×νk
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk
los n-ciclos µn−k × νk son arbitrarios y de hecho combinaciones lineales de ellos
generan (Fórmula de Kunneth) cualquier elemento
ηn ∈ Hn (M ×M)
Por la linealidad en el producto de intersección tenemos
#(σk × τn−k, ηn
)= (−1)n−k
∫ηn
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk
que para cualquier n-ciclo ηn en M ×M .
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Dualidad de Poincaré 34
La iguladad
#(σk × τn−k, ηn
)= (−1)n−k
∫ηn
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk
nos dice (teorema de Rham) que la n-forma en HndR (M ×M)
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk
es dual de Poincaré del n-ciclo η en Hn (M ×M)
(−1)n−k σk × τn−k
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Dualidad de Poincaré 35
Si tomamos la diagonal ∆ como nuestro n-ciclo ηn
ηn = ∆ ⊂M ×M
resulta que
(−1)n−k[
#(σk × τn−k,∆
)]=
∫∆
π∗1ϕn−k ∧ π∗2ψk =
∫M
ϕn−k ∧ ψk
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Dualidad de Poincaré 36
Por otro lado, las intersecciones del ciclo σk × τn−k con la diagonal ∆ se dan si y solo
sí los ciclos σk y τn−k se intersecan en M y la relación es
i (p, p) (σ × τ ,∆) = (−1)n−k ip(σk, τn−k
)y al tomar en cuenta todas las intersecciones llegamos a
#(σk, τn−k
)= (−1)n−k
[#(σk × τn−k,∆
)]=
∫M
ϕn−k ∧ ψk
La interseccion de ciclos en la homología es dual de Poincaré al producto cuña de la
cohomología
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Dualidad de Poincaré 37
Finalmente notamos que es el producto cuña el análogo al producto de intersección
para la cohomología de de Rham, es decir, el producto cuña induce un isomorfismo
HkdR (M)⊗Hn−k
dR → R=̃HndR (M)
dado por([ϕn−k
],[ψk])→∫M
ϕn−k ∧ ψk
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Bibliografía
Phillip Griffiths & Joseph Harris, Principles of Algebraic Geometry
V. A. Vassiliev, Introduction to topology
Isadore Manuel Singer & John A. Thorpe, Lecture notes on elementary topology and
geometry
Raoul Bott & Loring W. Tu, Differential forms in algebraic topology
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Dualidad de Poincaré 39
FIN
Gracias a todos
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