4 DUALIDAD MateNegocios_unidad 4

Unidad 4Anlisis de dualidad

Objetivos

Alnalizarlaunidad,elalumno: Identicareltipodeproblemasqueseresuelvenconelmtododual-smplex. Utilizarelmtododual-smplexpararesolvermodelosdePLenelentorno

de los negocios.

Matemticas para negocios 133

Introduccin

El mtodo dual-smplex, utilizado hasta ahora para resolver modelos de programacin lineal en su forma estndar, ha demostrado ser una ecienteherramienta en apoyo a la toma de decisiones basadas en resultados cuantitativos.

Sin embargo, los problemas o casos a resolver no siempre se presentan de tal

manera que puedan expresarse en la forma estndar y resolverse por el mtodo

dual-smplex, por lo que es necesario plantear una metodologa para resolver estos

casos. Se tiene un mtodo aprovechando uno de los resultados del desarrollo de

la programacin lineal, el concepto de dualidad plantea que, asociado a todo

problema de programacin lineal, existe otro problema lineal llamado dual. En

este captulo se desarrolla la teora y aplicacin del mtodo dual-smplex en la

resolucin de problemas y casos prcticos.

4.1. DenicindelproblemaElproblemadeprogramacinlinealdualquesedeneapartirdeunproblemaoriginal (primal), comparte conl losmismos coecientes tantode la funcinobjetivo como de las restricciones, pero en diferente posicin como ms adelante seespecicar.Por otra parte, es importante tener presente que:

Si un problema tiene solucin ptima y factible, el problema dual tambin la tiene. Si un problema tiene solucin factible pero no ptima, entonces el problema dual no tiene solucin factible.

A manera de sntesis, lo que se desea recuperar del anlisis de dualidad es:

Cuando se tiene un modelo de programacin lineal en el que el objetivo es

minimizar, llamaremos a este modelo primal y obtendremos el modelo dual

134 Unidad 4 Anlisis de dualidad

asociado que es un modelo de maximizacin, el cual puede resolverse con el

mtodo dual-smplex; y al obtener la solucin del problema dual encontraremos

la del modelo primal.

Existen otros aspectos importantes del anlisis de dualidad que es necesario

tener presentes, por ejemplo, para el modelo primal el objetivo es minimizar y las

restricciones son del tipo (mayor o igual que), mientras que para el modelo dual el objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo (menor o igual que). Lo anterior se ilustra en la Figura 4.1., donde se aprecian estas diferencias en las

representaciones matriciales de los modelos.

Figura4.1. Problemasprimalydualasociadosaunmismoproblemareal.

Observe que el problema primal no se encuentra en la forma estndar necesaria

para aplicar el mtodo dual-smplex, y es por esto que se genera el problema dual.

Adems en el problema dual se empleta AT que es la matriz transpuesta de la

matriz de coeficientes del sistema de restricciones.

De manera desarrollada los problemas se ven como:

Problema primal

min 1 1 2 2 n nZ c x c x c x= + + +

Sujeto a:

11 1 12 2 1 1n na x a x a x b+ + +

21 1 22 2 2 2n na x a x a x b+ + +

1 1 2 2m m mn n m

a x a x a x b+ + + 1 2, , , 0nx x x Mientras que el problema dual se ver en la forma estndar.

Zmin

=CX

Sujeto a:

AX B X 0

Zmax

=BY

Sujeto a:

ATY C Y 0

Primal Dual


Problema dual

max 1 1 2 2 m mZ b y b y b y= + + +

Sujeto a:

+ + + + + + + + + + + +

11 1 21 2 1 1

12 1 22 2 2 2

13 1 23 2 3 3

1 1 2 2

...

m m

m m

m m

n n mn m n

a y a y a y c

a y a y a y c

a y a y a y c

a y a y a y c

1 2, , , 0

my y y

Cabe resaltar que si el modelo primal tiene n variables y m restricciones, el modelo

dual tendr m variables y n restricciones, como se puede observar en los problemas

primal y dual desarrollados. La solucin ptima de un problema corresponde a

la solucin del otro, como ya se ha mencionado, y de este resultado se desprende

la siguiente seccin.

Propiedad de las soluciones bsicas complementarias

Cada solucin bsica ptima en el problema primal tiene una solucin bsica

ptima complementaria en el problema dual, en donde los valores respectivos de

las funciones objetivos son iguales, min maxZ Z= , y el valor de las restricciones del problemaprimalsernloscoecientesdelasvariablesarticiales(y

i ).

Esto quiere decir que los valores de las restricciones del modelo primal son los

valores que se encuentran en el rengln R0 en las columnas de las variables

artificiales de la tabla smplex del modelo dual.

A continuacin se presenta el algoritmo para generar el modelo dual a partir del

problema primal, para lo cual utilizaremos la tabla primal-dual.

4.2. Mtodo dual-smplex

Tabla primal-dual

Partiendo de un modelo con el objetivo de minimizar, se utiliza la llamada tabla

primal-dual para trasladar el problema a maximizacin y volver al uso del mismo

algoritmo.


Si tenemos el modelo primal de minimizacin:

Problema primal

min 1 1 2 2 n nZ c x c x c x= + + +

Sujeto a:

11 1 12 2 1 1n na x a x a x b+ + +

21 1 22 2 2 2n na x a x a x b+ + + (1)

1 1 2 2m m mn n m

a x a x a x b+ + + 1 2

, , , 0n

x x x Para formar la tabla primal-dual se procede como sigue:

El tamao de la tabla es de m+2 renglones y n+2 columnas. (n nmero de variables

y m nmero de restricciones del problema primal).

1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal,

en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior

dual (max).

2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el smbolo , mientras que en la primera columna en el ltimo rengln se escribe el smbolo .

3. En la primera columna a partir del segundo rengln se escriben los nombres

de las variables del problema dual (mvariablesarticiales). 4. En el primer rengln se escriben los nombres de las variables del problema

primal (n variables).


5. Seescribenloscoecientesdelafuncinobjetivodelmodeloprimalenelltimo rengln.

6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema

primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla.

7. En la ltima columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones

del modelo primal.

8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo nico que debemos hacer esleerelmodelodemaneraverticalyloscoecientesdelafuncinobjetivose obtienen de la ltima columna.

Obtener el modelo dual asociado al problema:

min 1 2 35 8Z x x x= + +

Sujeto a:

1 2 34 6 9x x x+ +

1 2 37 3 2 7x x x+ +

1 2, , , 0

nx x x

El problema primal tiene 3 variables y 2 restricciones, por lo tanto el problema

dual tendr 2 variables y 3 restricciones.

El tamao de la tabla es de 2 2 4+ = renglones y 3 2 5+ = columnas para este caso.

1. La celda de la esquina superior izquierda se divide en dos con una diagonal,

en la parte superior escribimos la palabra primal (min) y en la parte inferior

dual (max).

2. En la celda de la esquina superior derecha se escribe el smbolo , mientras que en la primera columna en el ltimo rengln se escribe el smbolo .

3. En la primera columna a partir del segundo rengln se escriben los nombres delasvariablesdelproblemadual(2variablesarticiales).

Ejemplo 1


4. En el primer rengln se escriben los nombres de las variables del problema

primal (3).

5. Seescribenloscoecientesdelafuncinobjetivodelmodeloprimalenelltimo rengln.

6. Se escribe cada uno de los coeficientes de las restricciones del problema

primal en forma horizontal, ocupando los renglones de la tabla.

7. En la ltima columna se escriben las cantidades limitantes de las restricciones

del modelo primal.


8. De esta tabla podemos obtener el modelo dual, lo nico que debemos hacer es leerlodemaneraverticalyloscoecientesdelafuncinobjetivoseobtienende la ltima columna.

El resultado obtenido es el modelo dual con el objetivo de maximizar y, as como

las restricciones del tipo (menor igual que). max 1 2

9 7Z y y= + Sujeto a:

1 27 5y y+

1 24 3 8y y+

1 26 2 1y y+

1 2 3, , 0y y y

El modelo dual obtenido consta de 2 variables y 3 restricciones, sin contar la

restriccin de no negatividad, como se haba previsto.

Si bien se ha obtenido el modelo dual asociado a un modelo primal, esto no es suciente para resolver el problema; entonces, es necesario resolver elmodelodualporelmtododual-smplex,yparaejemplicarestosemuestraelsiguienteejemplo hasta la obtencin del modelo de programacin lineal apoyndonos en la

propiedad de las soluciones bsicas complementarias.


Resolver el siguiente modelo de programacin obteniendo el modelo dual y

aplicando el mtodo dual-smplex.

min 1 212 7Z x x= +

Sujeto a:

1 24 2 80x x+

1 23 4 90x x+

1 2, 0x x

La tabla dual est dada por:

Entonces, el modelo dual de maximizacin es:

max 1 280 90Z y y= +

Sujeto a:

1 24 3 12y y+

1 22 4 7y y+

1 2, 0y y

Ahora se utiliza el mtodo dual-smplex para resolver el modelo dual. La tabla

inicial de este modelo es:

Ejemplo 2


El primer elemento pivote de la tabla inicial es:

Con operaciones entre renglones se obtiene la siguiente tabla:

Como en el rengln asociado a la funcin objetivo todava se encuentran coecientesnegativos,nosehacompletadoelproceso,porloqueseidenticaunnuevo pivote en la tabla obtenida.

El nuevo pivote se encuentra en:

De manera similar con el primer pivote, con operaciones bsicas entre renglones

se resuelve la tabla smplex:

En esta iteracin, todos los coecientes del rengln de la funcin objetivoson no negativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del

mtodo dual-smplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un


problema primal-dual, por lo que la solucin del modelo primal se obtiene del valordeloscoecientesasociadosalasvariablesdeholguraquedenelrenglnde la funcin objetivo.

Es decir:

Por lo que al transferir la solucin de la tabla smplex a las variables originales del

problema primal se tiene:

Con la transferencia de la solucin de la tabla a las variables del problema primal

concluye la aplicacin del mtodo dual-smplex primal-dual.

El desarrollo de tres estrategias de un proceso administrativo de fondos de

inversin a largo plazo causa costos de 1, 3 y 2 millones de pesos por ao

de procesamiento, respectivamente. Cada estrategia genera 10, 20 y 40 millones enbeneciosporao,enelmismoorden,yserequiereunnivelmnimode800millonesenbeneciosparaqueelnegocioseaconvenientealosinversionistas.Por ltimo se sabe que la diferencia entre el triple de la duracin de la estrategia

con costo de 3 millones menos la duracin de la estrategia de 2 millones debe

ser de por lo menos 10 aos. Cul es la duracin ptima de cada estrategia que garantizalosbeneciosesperadosyminimizaloscostosdeadministracin? Para resolver este problema, primero identicamos que el objetivo del

planteamiento es minimizar el importe de los costos totales. Lasrestriccionesestnrelacionadasconelnivelmnimodebeneciosyladuracin de cada estrategia.

Ejemplo 3


Conloanteriorpodemosdenirlasvariablesdedecisincomo: 1

:x = Duracin en aos de la estrategia I.

2:x = Duracin en aos de la estrategia II.

3:x = Duracin en aos de la estrategia III.

Apartirdeestadenicinelmodelodeprogramacinlinealprimal es: min 1 2 3

3 2Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 310 20 40 800x x x+ + (1) Restriccin de la utilidad mnima.

2 33 10x x (2) Restriccin de la duracin de las estrategias

II y III.

1 2 2, , 0x x x (3) Condicin de no negatividad.



max 1 2800 10Z y y= +

Sujeto a:

110 1y

1 220 3 3y y+

1 240 2y y

1 2 3, , 0y y y


Ahora se utiliza el mtodo smplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial

de este modelo es:






De manera similar con el primer pivote, con operaciones bsicas entre renglones


Enestaiteracintodosloscoecientesdelrenglndelafuncinobjetivosonnonegativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del mtodo

smplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual,

por lo que la solucin del modelo primal seobtienedelvalorde loscoecientesasociados a las variables de holgura que den el rengln de la funcin objetivo.

Es decir:



Locualsignicaquelasolucindelproblemaprimal est dada por: 1

0x = aos de la estrategia I. 2

8.571x = aos de la estrategia II. 3

15.714x = aos de la estrategia III. Con un costo total mnimo de min $57,143,000.00Z =


En la siguiente seccin se aplica este mtodo al entorno de los negocios y

posteriormente se presenta una seccin de ejercicios.

4.3. Aplicaciones al entorno de los negocios

Cuando ya se conoce el mtodo dual-smplex como un algoritmo til para

resolver modelos de programacin lineal, los cuales de manera original tienen

como objetivo minimizar, es momento de comenzar a pensar en el entorno

donde es posible encontrar problemas con modelos como el descrito previamente.

Uno de ellos es el entorno de los negocios, ya que de manera natural, cuando se

trate de costos de produccin, de ventas o de administracin, precisamente nos

encontramos en la necesidad de llevar a cabo todos los procesos y actividades de

la empresa al menor costo posible, cumpliendo con ciertos niveles mnimos, por

ejemplo, de productividad.

La descripcin anterior muestra una alta correspondencia con lo que en la

seccin previa denominamos problema primal, es decir, un problema con objetivo

de minimizar y restricciones del tipo (mayor igual que). A continuacin se presentan un ejemplo y varios ejercicios de aplicacin a los negocios.

Paraelecientedesempeodelasactividadesdeunaempresacomercializadoradebienesraces,sehancuanticadoparalosdepartamentosloscostosdeventasy administracin en $10,500.00 y $12,000.00 respectivamente. Mientras que para

una casa los mismos costos ascienden a $18,000.00 y $10,000.00, respectivamente.

La utilidad que reporta cada departamento es de $150,000.00 y de $300,000.00

para cada casa.

La empresa desea reducir al nivel mnimo posible el importe de sus costos totales

manteniendo una utilidad de al menos $18,000,000.00, as como la necesidad de que

la cantidad de departamentos vendidos a lo menos sea el doble de casas vendidas.

Cul es la combinacin ptima de departamentos y casas que se deben comercializar?

y, cul es el importe de los costos totales con el nivel de ventas calculado?

Para resolver este problema, primero identicamos que el objetivo delplanteamiento es minimizar el importe de los costos totales de la empresa. Y que las restricciones estn relacionadas con el nivel mnimo de utilidades y la cantidad de departamentos y casas vendidas.

Ejemplo 4


Conloanteriorpodemosdenirlasvariablesdedecisin: 1

:x = La cantidad de departamentos vendidos.

2:x = La cantidad de casas vendidas.

Apartirdeestadenicinelmodelodeprogramacinlinealprimal es:

( ) ( )min 1 210,500 12,000 18,000 10,000Z x x= + + + Sujeto a:

1 2150,000 300,000 18,000,000x x+ (1) Restriccin de la utilidad mnima.

1 22 0x x (2) Restriccin de la cantidad de ventas.

1 2, 0x x (3) Condicin de no negatividad.

Nota que los costos totales son la suma de los costos de ventas y de administracin

para cada inmueble, adems, como se trata de minimizar costos, los datos de la

utilidad se emplean como una restriccin.



max 118,000,000Z y=

Sujeto a:

1 2150,000 22,500y y+

1 2300,000 2 28,000y y

1 2, 0y y


Ahora se utiliza el mtodo smplex para resolver el modelo dual. La tabla inicial

de este modelo es:






De manera similar con el primer pivote, con operaciones bsicas entre renglones,


Enestaiteracintodosloscoecientesdelrenglndelafuncinobjetivosonnonegativos, es decir, mayores o iguales a cero, por lo que el proceso del mtodo

smplex ha concluido. Cabe recordar que estamos resolviendo un problema dual,

por lo que la solucin del modelo primalseobtienedelvalordeloscoecientesasociados a las variables de holgura que dan el rengln de la funcin objetivo. Es

decir:



Locualsignicaquelasolucindelproblemaprimal est dada por: 1

60x = departamentos vendidos. 2

30x = de casas vendidas. Con un costo total mnimo de min $2,190,000.00Z =A continuacin se presenta un conjunto de ejercicios para resolver y practicar la

aplicacin del mtodo dual-smplex.


Ejercicios

1.

= +min 1 26 12Z x x Sujeto a:

+ 1 22 3 26x x

+ 1 25 20x x

2.

= +min 1 216 10Z x x Sujeto a:

+ 1 23 5 7x x

+ 1 22 1 5x x

+ 1 24 2 9x x

3. min 1 2 3

6 8 12Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 36 4 3 60x x x+ +

1 2 33 2 6 20x x x+ +

1 2 3, , 0x x x

4. min 1 2 3

7 8 6Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 36 4 3 100x x x+ +

1 2 33 2 9 60x x x+ +

1 2 3, , 0x x x

5. min 1 2 3

12 8 9Z x x x= + + Sujeto a:

1 2 310 8 9 10x x x+ +

1 2 311 2 2 60x x x+ +

1 2 35 10 3 30x x x+ +

1 2 3, , 0x x x

Resuelve los siguientes problemas e interpreta los resultados indicando la decisin

que se debe tomar para alcanzar el objetivo.

6. Un colegio privado en planeacin estima que los costos por gestin escolar

de cada alumno de nivel medio es de $7,400.00 y de $9,500.00 para

uno de nivel superior. El colegio espera iniciar actividades con al menos

1,250 inscritos en total y requiere de ingresos mnimos de $26,000,000.00,

los cuales obtendr con las utilidades de $26,000.00 y $32,000.00 por alumno


inscrito en el nivel medio y nivel superior, respectivamente. El propsito

de resolver este escenario en la etapa de planeacin es que, apoyado en los

resultados cuantitativos, se determine la cantidad ptima de inscritos en cada

nivel acadmico y se estime el monto mnimo de los costos del colegio.

7. Loscostospormanejodecuentasenuna institucinnancieradependendel tipo de servicios que ofrece. En la siguiente tabla se presenta informacin

de las diferentes cuentas que ofrece la institucin:

Cuenta Costo por manejo ($) Comisin por manejo ($)

Tipo I 360 478

Tipo II 318 424

Tipo III 376 400

La institucin debe manejar un mnimo de 87 cuentas del tipo I y del tipo III

en cualquier combinacin, y garantizar comisiones mnimas de $68,298.00.

Cul es la combinacin ptima del tipo de cuentas que la institucin debe

manejar?

8. Tres productos diferentes (A, B y C) que maneja una compaa tienen

una demanda mnima de 1,000, 500 y 250 unidades respectivamente. Por

otra parte, se conoce que los costos de produccin correspondiente a cada

producto es de $100.00, $125.00 y $124.00, adems que debido a regulaciones

externas, la produccin del producto A debe ser al menos el doble de la

produccin conjunta de B y C. Con este escenario establece las condiciones

para minimizar los costos, satisfaciendo las demandas dadas.

9. Considera que se desea realizar una inversin y que existe todo el capital

disponible para tal negocio. Sin embargo, para acceder a tres instrumentos

diferentes de inversin A, B y C, la agencia solicita un monto mnimo a

invertir en el instrumento A de $70,000.00, adems de que exige que la

inversin en el instrumento C sea al menos el doble que la cantidad total

invertida en los instrumentos A y B.

La inversin genera un costo administrativo de 6%, 3% y 5% respecto

a la cantidad invertida en cada instrumento y cada uno rinde 25%, 45%

y 30% respecto a la cantidad invertida. Si se requiere obtener un monto

por rendimientos de ms de $85,000.00 y un total mnimo por costos

administrativos, cules son las cantidades que deben invertirse en cada tipo

de instrumento?


10. Para trasladar tres materias primas, M1 , M

2 y M

3 , necesarias en un proceso

industrial se tienen que cubrir los siguientes costos: $90.00, $60.00 y $30.00 por

tonelada de materia prima respectivamente, mientras que los requerimientos

de materia prima son:

La cantidad total de los tres tipos de materia prima sea mayor a las 55 ton. La cantidad de M1 al menos sea dos veces la cantidad conjunta de M

2 y M

3

ms 10 ton.

Qu combinacin de materia prima minimiza los costos bajo estascondiciones?

Autoevaluacin

1. Todo problema real tiene asociado:

a) Tres modelos de programacin lineal.

b) Dos o ms modelos de programacin lineal.

c) Dos modelos de programacin lineal.

d) Un solo modelo de programacin lineal.

2. Se utiliza para obtener el modelo dual:

a) Tabla inicial.

b) Tabla smplex.

c) Tabla primal dual.

d) Tabla de valores.

3. Si el problema primal tiene 2 variables y 4 restricciones, el modelo dual tendr:

a) 2 variables y 4 restricciones.

b) 4 variables y 4 restricciones.

c) 2 variables y 2 restricciones.

d) 4 variables y 2 restricciones.


4. El mtodo dual-smplex se utiliza para resolver modelos de programacin

lineal donde:

a) El objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo . b) El objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo . c) El objetivo es minimizar y las restricciones son del tipo . d) El objetivo es maximizar y las restricciones son del tipo . 5. Cul es la tabla primal dual del siguiente modelo?

= + +min 1 2 37 8 10Z x x x

Sujeto a:

+ + 1 2 3 10x x x + + 1 2 35 3 2 15x x x 1 2 3, , 0x x x a)

b)

c)


d)

6. Obtn la tabla primal dual del siguiente modelo:

min 1 2 3100 200 300Z x x x= + +

Sujeto a:

1 2 35 10 15 20x x x+ +

1 330x x+

1 250x x+

1 2 3, , 0x x x

a)

b)

c)


d)

7) Obtn la tabla primal dual del siguiente modelo

min 1 2 3125 175 150Z x x x= + +

Sujeto a:

1 1,500x 2 800x 3 500x

( )1 2 32 0x x x + 1 2 3, , 0x x x a)

b)


c)

d)

8. Resuelve el siguiente modelo de programacin lineal con el mtodo dual-

smplex:

min12 15Z x y= +

Sujeto a:

5 12 117x y+ 9 6 60x y+ , 0x y a) 9.65x = ; 0.23y = ; min 147.58Z = b) 0.3x = ; 10y = ; min 147.58Z = c) 0.23x = ; 9.65y = ; min 147.58Z = d) 10x = ; 0.3y = ; min 147.58Z =


9. Resuelve el modelo:

min 1 2 310 12 17Z x x x= + +

Sujeto a:

1 100x 2 50x 3 25x 1 2 3, , 0x x x a) 1 50x = ; 2 50x = ; 3 50x = ; min 2,025Z = b) 1 100x = ; 2 50x = ; 3 50x = ; min 2,025Z = c) 1 50x = ; 2 25x = ; 3 100x = ; min 2,025Z = d) 1 100x = ; 2 50x = ; 3 25x = ; min 2,025Z = 10. Los costos de manejo de cuentas de tres inversiones (A, B y C) son $100.00,

$120.00 y $ 170.00, respectivamente. Estas inversiones se encuentran bajo las

siguientes condiciones:

El ndice de rendimiento de cada una es de 10, 12 y 15 puntos por unidad monetaria invertida, por lo que al determinar la cantidad a invertir se

debe obtener un puntaje total de por lo menos 1,000 puntos. Elndicedeecienciacomercialesde3,1y2puntosporunidadmonetariaen inversin,respectivamente,yseesperaunaeciencia totaldepor lomenos 500 puntos. Es requisito de la agencia de inversiones que el importe de inversin en A ms el doble de la inversin en C sea mnimo de $250.00.

Con esta informacin indica las cantidades a invertir en A, B y C, as como

el monto total de los costos de manejo de cuentas.

a) 1 0x = ; 2 0x = ; 3 62.5x = ; min 23,125Z = b) 1 125x = ; 2 0x = ; 3 0x = ; min 23,125Z = c) 1 125x = ; 2 0x = ; 3 62.5x = ; min 23,125Z = d) 1 0x = ; 2 125x = ; 3 62.5x = ; min 23,125Z =


Respuestas a los ejercicios

1. =1 10x ; =2 2x ; min 84Z = 2. =1 2.5x ; 2 0x = ; min 3Z = 40 3. 1 10x = ; 2 0x = ; 3 0x = ; min 60Z = 4. 1 16x = ; 2 0x = ; 3 1.33x = ; min 120Z = 5. 1 5.4x = ; 2 0.3x = ; 3 0x = ; min 67.2Z = 6. Las variables de decisin son:

1x = Cantidad de inscritos en nivel medio.

2x = Cantidad de inscritos en nivel superior.

min 1 27,400 9,500Z x x= +

Sujeto a:

1 2 1,250x x+ 1 2

26,000 32,000 26,000,000x x+ 1 2, 0x x 1

1,250x = inscritos en nivel medio y 2 0x = inscritos en nivel superior, con un costo mnimo de min 9,250,000Z = . Es decir, el colegio deber iniciar operaciones slo en el nivel medio.

7. Las variables de decisin son:

1x = Cantidad de cuentas Tipo I a manejar.

2x = Cantidad de cuentas Tipo II a manejar.

3x = Cantidad de cuentas Tipo III a manejar.

min 1 2 3360 318 376Z x x x= + +

Sujeto a:

1 2 3478 424 400 68,298x x x+ +

1 3 87x x+ 1 2 3, , 0x x x


187x = cuentas Tipo I, 2 63x = cuentas Tipo II y 3 0x = cuentas Tipo III, con

un importe mnimo de min 51,354.00Z = .Esdecir,lainstitucinnancieradeber manejar slo cuentas Tipo I y II.


1x = Cantidad de unidades Tipo A, a producir.

2x = Cantidad de unidades Tipo B, a producir.

3x = Cantidad de unidades Tipo C, a producir.

min 1 2 3100 125 124Z x x x= + +

Sujeto a:

1 1,000x 2 500x 3 250x

( )1 2 32 0x x x + 1 2 3, , 0x x x 1

1,500x = unidades Tipo A, 2 500x = unidades Tipo B y 3 250x = unidades Tipo C, con un importe mnimo de min 243,500.00Z =


1x = Cantidad a invertir en el instrumento A.

2x = Cantidad a invertir en el instrumento B.

3x = Cantidad a invertir en el instrumento C.

min 1 2 30.06 0.03 0.05Z x x x= + +

Sujeto a:

1 2 30.25 0.45 0.30 85,000x x x+ +

1 70,000x 1 2 32 2 0x x x + 1 2 3, , 0x x x 1

70,000x = a invertir en el instrumento A, 2 24,285.72x = a invertir en el instrumento B y 3 188,571.44x = a invertir en el instrumento C, con un importe mnimo de costos de administracin de min 14,357.14Z =



1x =Cantidad a transportar de M

1.

2x = Cantidad a transportar de M

2.

3x = Cantidad a transportar de M

3.

min 1 2 390 60 30Z x x x= + +

Sujeto a:

1 2 355x x x+ +

( )1 2 32 10x x x +

1 2 3, , 0x x x

140x = ton a transportar de M

1, 2 0x = ton a transportar de M2 y 3 15x = ton

a transportar de M3, con un importe mnimo de costos de transporte de

min 4,050.00Z =Respuestas a la autoevaluacin

1. c)

2. c)

3. d)

4. a)

5. b)

6. d)

7. a)

8. c)

9. d)

10. c)

4 DUALIDAD MateNegocios_unidad 4

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