Del libro: Estadstica para administracin Cuarta edicin, Autores: David M. Levine, Timothy C.

Krehbiel y Mark L. Berenson, Editorial: Pearson Educacin, 2006.

Distribuciones muestrales

En muchas aplicaciones usted quiere realizar inferencias estadsticas, esto es, utilizar estadsticos

calculados a partir de muestras para estimar los valores de los parmetros de la poblacin. La

media muestral es un estadstico utilizado para estimar la media poblacional (un parmetro).

Tambin aprender acerca de la proporcin muestral, un estadstico que se utiliza para estimar la

proporcin poblacional (un parmetro). El principal problema al realizar una inferencia

estadstica radica en obtener conclusiones sobre la poblacin, no sobre la muestra.

Por ejemplo, una persona que se encarga de realizar encuestas polticas se interesa en los

resultados mustrales slo como mecanismo para estimar la proporcin de votos real que recibir

cada uno de los candidatos a partir de la poblacin de votantes. Del mismo modo, como gerente

operativo de la Oxford Cereal Company, a usted slo le interesa utilizar la media muestral

calculada a partir de una muestra de cajas de cereal para estimar el peso medio incluido en una

poblacin de cajas.

En la prctica, de la poblacin total usted selecciona una muestra aleatoria simple de tamao

predeterminado. Determina qu elementos forman parte de la muestra mediante el uso de un

generador de nmero aleatorio, como una tabla de nmeros aleatorios, o a travs de Excel o

Minitab.

Hipotticamente, al utilizar un estadstico muestral para estimar un parmetro poblacional, debe

examinar toda posible muestra que pudiera presentarse. La distribucin muestral es la distribu-

cin de los resultados que se presentan si en realidad se seleccionaron todas las muestras

posibles.

Distribucin muestral de la media

La media es la medicin de la tendencia central que ms se utiliza. Con frecuencia, la media

muestral se utiliza para calcular la media poblacional. La distribucin muestra de la media es la

distribucin de todas las medias posibles que surgen si en realidad se seleccionaran todas las

muestras posibles de cierto tamao.

Propiedades de la media

a) Es no sesgado, esta propiedad implica que el promedio de todas las medias mustrales

posibles ser igual a la media poblacional. = .

b) Es eficiente, esta propiedad se refiere a la precisin del estadstico muestral como estimador

del parmetro de la poblacin.

c) Es consistente, se refiere al efecto del tamao de la muestra en la utilidad de un estimador.

Conforme aumenta el tamao de la muestra, la variacin de la media de la muestra con relacin a

la media de la poblacin se disminuye (Teorema de lmite Central).

La distribucin muestral de medias muestrales se vuelve normal a medida que aumenta el

tamao de la muestra.

Del libro: Manual de estadstica, Autor: Emil Hernndez Arroyo, Editorial: Universidad

cooperativa de Colombia, 2006.

Distribuciones muestrales

Considere todas las muestras posibles de tamao n que pueden ser extradas de una poblacin

dada. Por cada muestra podemos computar un estadstico, tal como la media, la desviacin

estndar, entre otras, la cual puede variar de una muestra a otra; de esta forma obtenemos una

distribucin de los estadsticos, que es llamada su distribucin muestral.

Si, por ejemplo, el estadstico particular es la media muestral, la distribucin es llamada la

distribucin muestral de medias. Similarmente podramos tener distribuciones mustrales de

desviaciones estndar, varianzas, medianas, proporciones, etc.

Para cada distribucin muestral, podemos computar la media, la desviacin estndar, etc. As

podemos hablar de media y desviacin estndar de la distribucin muestral de medias, etc.

Distribuciones muestrales de medias

Suponga que todas las muestras posibles de tamao n son extradas de una poblacin. Si

denotamos la media y la desviacin estndar de la distribucin muestral de medias por: x y x y

la media y desviacin estndar de la poblacin por y , respectivamente. Entonces:

= y =

1 poblacin finita

=

poblacin infinita

Si

> 0.05 entonces poblacin finita

0.05 Entonces poblacin infinita

Nota:

Si no se conoce el tamao de la poblacin se supone que la poblacin es infinita.

Aproximadamente la distribucin muestral est distribuida normalmente y todos estos

resultados se conocen segn el teorema del lmite central.

Ejemplo:

Una poblacin consiste de cinco nmeros 2, 3, 6, 8, 11. Considere todas las muestras posibles de

tamao 2, la cual puede ser obtenida con remplazo (se puede repetir el nmero) de esta

poblacin. Encuentre:

a) La media de la poblacin.

b) Desviacin estndar de la poblacin.

c) La media de la distribucin muestral de medias.

d) La desviacin estndar de la distribucin muestral de medias, o error estndar (con

reemplazamiento).

e) La media de la distribucin muestral de medias (sin reemplazamiento).

f) La desviacin estndar de la distribucin muestral de medias (sin reemplazamiento).

Solucin:

a) =2+3+6+8+11

5= 6

b) 2 =(26)2+(36)2+(66)2+(86)2+(116)2

5= 10.8

= 10.8 = 3.29

c)

Hay 25 muestras de tamao 2 (52=25)

(2,2) (2,3) (2,6) (2,8) (2,11)

(3,2) (3,3) (3,6) (3,8) (3,11)

(6,2) (6,3) (6,6) (6,8) (6,11)

(8,2) (8,3) (8,6) (8,8) (8,11)

(11,2) (11,3) (11,6) (11,8) (11,11)

Las medias de las muestras correspondientes son:

2 2.5 4 5 6.5

2.5 3 4.5 5.5 7

4 4.5 6 7 8.5

5 5.5 7 8 9.5

6.5 7 8.5 9.5 11

y la media de distribucin muestral de medias es:

=

25=

150

25= 6

ilustrando el hecho que =

d) 2 = 5.4, = 2.32

ilustrando el hecho que: =

=

3.29

2= 2.32

e) Hay (52

) = 10 muestras de tamao 2, las cuales pueden ser extradas sin reemplazo. Esto

significa que extraemos un nmero y luego otro diferente del primero de la poblacin a

saber:

(2,3) (2,6) (2,8) (2,11)

(3,6) (3,8) (3,11) (6,8)

(6,11) (8,11)

(2,3), es considerado lo mismo que (3,2).

Las medias muestrales correspondientes son:

2.5 4 5 6.5

4.5 5.5 7 7

8.5 9.5

y la media de la distribucin muestral de medias es:

=2.5 + 4 + 5 + 6.5 + 4.5 + 5.5 + 7 + 7 + 8.5 + 9.5

10

= 6

Ilustrando el hecho que: =

f) La varianza de la distribucin de medias es:

2 =

(2.5 6)2 + (4 6)2 + (5 6)2 + + (9.5 6)2

5= 4.05

y = 2.01

Esto ilustra el hecho de que:

2 =

2

(

1) =

10.82

2(

5 2

5 1) = 4.05

= 4.05 = 2.01