Distribucion Ji Chi

8/17/2019 Distribucion Ji Chi

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DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2 )

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. Osea que si se extraen todas las muestras posibles de una población

normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá ladistribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, senecesita conocer el estadstico !2. "i se eli#e una muestra de

tama$o n de una población normal con varianza , elestadstico%

&iene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con #l'n-( grados de libertad y se denota !2 )! es lamin*scula de la letra #rie#a ji+. El estadstico ji-cuadrada está dado por%

onde n es el tama$o de la muestra, s2 la varianza muestral y lavarianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadstico ji-cuadrada tambin se puede dar con la si#uienteexpresión%

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

( os valores de !2 son mayores o i#uales que /.

2 a 0orma de una distribución !2 depende del #l'n-(. Enconsecuencia, 1ay un n*mero innito de distribuciones !2.

3 El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje 1orizontal es (.

4 as distribuciones !2 no son simtricas. &ienen colas estrec1as quese extienden a la derec1a5 esto es, están ses#adas a la derec1a.

6 7uando n82, la media de una distribución !2 es n-( y la varianzaes 2)n-(+.

9 El valor modal de una distribución !2 se da en el valor )n-3+.


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a si#uiente #ura ilustra tresdistribuciones !2. :ote que el valormodal aparece en el valor )n-3+ '

)#l-2+.

a 0unción de densidad de la distribución!2 esta dada por%

para x8/

a tabla que se utilizará para estos apuntes es la del libro deprobabilidad y estadstica de ;alpole, la cual da valores crticos )#l+

para veinte valores especiales de . Para denotar el valor crtico deuna distribución !2 con #l #rados de

libertad se usa el smbolo )#l+5este valor crtico determina a su

derec1a un área de bajo la curva!2 y sobre el eje 1orizontal. Porejemplo para encontrar !2/./6)9+ en latabla se localiza 9 #l en el lado

izquierdo y a o lar#o del lado superior de la misma tabla.

Cálculo de Probabilidad

El cálculo de probabilidad en una distribución muestral de varianzas nossirve para saber como se va a comportar la varianza o desviaciónestándar en una muestra que proviene de una distribución normal.

Ejemplos%

( "upon#a que los tiempos requeridos por un cierto autob*s paraalcanzar un de sus destinos en una ciudad #rande 0orman una

distribución normal con una desviación estándar '( minuto. "ise eli#e al azar una muestra de (< tiempos, encuentre laprobabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.


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Solución:

Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2'2como si#ue%

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el ren#lón de (9 #rados delibertad y se encuentra que a estevalor le corresponde un área a laderec1a de /./(. En consecuencia, elvalor de la probabilidad es P)s282+

2 Encuentre la probabilidad deque una muestra aleatoria de

26 observaciones, de una población normal con varianza ,ten#a una varianza muestral%

a =ayor que >.(b Entre 3.492 y (/..(+ ' /./6

( "e calcularán dos valores de ji-cuadrada%

y

?qu se tienen que buscar los dos valores en el ren#lón de 24 #rados delibertad. ?l buscar el valor de (3.@49 se encuentra un área a la derec1ade /.>6. El valor de 42.>@ da un área a la derec1a de /./(. 7omo se estápidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de /.>6menos /./( quedando /.>4.

Por lo tanto la P)3.492 s2 (/.


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Estimación de la Varianza

Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la

distribución ji-cuadrada.

?l despejar esta 0órmula la varianza poblacional nos queda%

os valores de !

2

dependerán de nivel de conanza quese quiera al cual le llamamos . "i nos ubicamos enla #ráca se tiene%

Ejemplos%

( os si#uientes son los pesos, en deca#ramos, de (/ paquetes desemillas de pasto distribuidas por cierta compa$a% 49.4, 49.(,46.@, 4, 46.@, 49.>, 46.2 y 49. Encuentre un

intervalo de conanza de >6A para la varianza de todos lospaquetes de semillas de pasto que distribuye esta compa$a,supon#a una población normal.

Solución:

Primero se calcula la desviación estándar de la muestra%


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al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra

s2

' /.2@9.

Para obtener un intervalo de conanza de >6A se eli#e un ' /./6.espus con el uso de la tabla con > #rados de libertad se obtienen losvalores de !2

"e puede observar en la #ráca anteriorque el valor de !2 corre en 0orma normal,esto es de izquierda a derec1a.

Por lo tanto, el intervalo de conanza de

>6A para la varianza es%

Brácamente%

"e observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sóloen la #ráca. a interpretación quedara similar a nuestros temasanteriores re0erentes a estimación. 7on un nivel de conanza del >6A sesabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes desemillas de pasto esta entre /.(36 y /.>36 deca#ramos al cuadrado.

2 En trabajo de laboratorio se desea llevar a cabo comprobacionescuidadosas de la variabilidad de los resultados que producen

muestras estándar. En un estudio de la cantidad de calcio en ela#ua potable, el cual se e0ect*a como parte del control de calidad,se analizó seis veces la misma muestra en el laboratorio enintervalos aleatorios. os seis resultados en partes por millón0ueron >.64, >.9(, >.32, >.4@, >..29. Estimar la varianza delos resultados de la población para este estándar, usando un nivelde conanza del >/A.


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Solución:

?l calcular la varianza de la muestra se obtiene un valor de s2' /./2@6.

"e busca en la tabla los valores correspondientes con 6 #rados de

libertad, obtenindose dos resultados. Para !2

)/.>6,6+' (.(46 y para!2)/./,6+' ((./


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' /.///2n ' (/s2 ' /.///3

' /./6

Ensayo de 1ipótesis%

Go5 ' /.///2

G(5 8 /.///2

He#la de decisión%7álculos%

"i !2H (9.>(> no se rec1aza Go.

"i !

2

H8(9.>(> se rec1aza Go.

Custicación y decisión%

7omo (3.6 no es mayor que (9.>(> por lo tanto no se rec1aza G o y se

concluye con un nivel de si#nicancia de /./6 que no se puede re0utar laarmación del proveedor.

Este ejercicio se puede aprovec1arpara calcular el valor de P. En latabla se busca el valor de (3.6 en elren#lón de > #rados de libertad.Interpolando entre /.(/ y /.2/ seobtiene un valor de P de /.(4@4.

2 El contenido de az*car del almbar de los duraznos enlatados tiene

una distribución normal, donde se cree que la varianza es ' (@m#2. "e toma una muestra de (/ latas dieron una desviaciónestándar de 4.@ m#. =uestran estos datos suciente evidencia

para decir que la varianza 1a cambiadoF. Dse un ' /./6 ycalcule el valor de P.


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Solución:

atos%

' (@n ' (/s ' 4.@

' /./6

Ensayo de 1ipótesis%

Go5 ' (@

G(5 (@

He#la de decisión%

"i 2.< !2H (>./23 no serec1aza Go.

"i !2

HJ2.< ó si !2

H8(>./23 serec1aza Go.

7álculos%

Custicación y decisión%

7omo ((.62 está entre 2.< y (>./23, no se rec1aza Go, y seconcluye con un nivel de si#nicancia de /./6 que la varianza delcontenido de az*car del almbar no 1a cambiado, esto es es de (@m#2.

"i recordamos al principio de este tema se dijo que la media de ladistribución ji-cuadrada es )n-(+, por lo tanto la media de esteejercicio es de >. 7omoel valor real de !2H '((.62 este n*mero seencuentra a la derec1ade la media, lo cualquiere decir que el valorde PK2 será el área a laderec1a del valor de !2H.?l buscar el valor de((.62 en la tabla seobtiene un área de /.2423, por lo tanto PK2 ' /.2423 y P= (!("#$%! = "#$&$'


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7álculos%

Para obtener el valor de P, se busca en la tabla el (/. #radosde libertad, y el área que se encuentra es la que está a la derec1a deeste valor. 7omo la media de esta distribución ji-cuadrada es de (>, porlo tanto el valor de (/.


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El nmero de autos .ue pasan a tra/0s de un cierto punto

en una ruta (su1cientemente distantes de los semá2oros!

durante un periodo de1nido de tiempo#

El nmero de errores de ortogra23a .ue uno comete al

escribir una nica página#

El nmero de llamadas tele2ónicas en una central

tele2ónica por minuto#

El nmero de ser/idores 4eb accedidos por minuto#

El nmero de animales muertos encontrados por unidad de

longitud de ruta#

El nmero de mutaciones de determinada cadena de 5+N

despu0s de cierta cantidad de radiación#

El nmero de ncleos atómicos inestables .ue se 6an

desintegrado en un determinado per3odo#

El nmero de estrellas en un determinado /olumen deespacio#

7a distribución de receptores /isuales en la retina del ojo

6umano# 7a in/enti/a de un in/entor a lo largo de su carrera#

7a distribución de la ri.ueza 6umana#

Caracter3sticas8

En este tipo de experimentos los xitos buscados son expresados por

unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,%

- Q de de0ectos de una tela por m2

- Q de aviones que aterrizan en un aeropuerto por da, 1ora, minuto, etc,

etc.

- Q de bacterias por cm2 de cultivo

- Q de llamadas tele0ónicas a un conmutador por 1ora, minuto, etc, etc.

- Q de lle#adas de embarcaciones a un puerto por da, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x xitos por unidad de

tiempo, área, o producto, la 0órmula a utilizar sera%

ónde%

p) x , l+ ' probabilidad de que ocurran x xitos, cuando el n*mero

promedio de ocurrencia de ellos es ll ' media o promedio de xitos por unidad de tiempo, área o producto

e ' 2.


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as como cada área es independiente de otra área dada y cada producto

es independiente de otro producto dado.

Ejemplos%

( "i un banco recibe en promedio 9 c1eques sin 0ondo por da,

cuáles son las probabilidades de que reciba, a+ cuatro c1eques

sin 0ondo en un da dado, b+ (/ c1eques sin 0ondos en cualquierade dos das consecutivosF

"olución%

a+ x ' variable que nos dene el n*mero de c1eques sin 0ondo que

lle#an al banco en un da cualquiera ' /, (, 2, 3, ....., etc, etc.

l ' 9 c1eques sin 0ondo por da

e ' 2.


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b+ x ' variable que nos dene el n*mero de imper0ecciones en la

1ojalata por cada 6 minutos ' /, (, 2, 3, ...., etc., etc.

l ' /.2 x 6 '( imper0ección en promedio por cada 6 minutos en la1ojalata

'(-)/.39(@T/.39(@+ ' /.294(9

c+ x ' variable que nos dene el n*mero de imper0ecciones en la

1ojalata por cada (6 minutos ' /, (, 2, 3, ....., etc., etc.

l ' /.2 x (6 ' 3 imper0ecciones en promedio por cada (6 minutos en la

1ojalata

' /./4>@/29 T /.(4>4/@ ' /.(>>2(/9

Distribución de Poisson

El eje horizontal es el índice x

. La función solamente está definida en


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valores enteros de k . Las líneas que conectan los puntos son solo

guías para el ojo y no indican continuidad.

unción de !rob"bi#id"d

El eje horizontal es el índice k .

Función de distribución de probabilidad

P"r$%etros

Do%inio

unción de !rob"bi#id"d

(Poisson)

unción de distribución

dónde es la Función gamma

incompleta!

&edi"

&edi"n"

&od"

' "ri"n"

Coeiciente de si%etr*"

Curtosis

+ntro!*"

https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma_incompletahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma_incompletahttps://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)https://es.wikipedia.org/wiki/Moda_(estad%C3%ADstica)https://es.wikipedia.org/wiki/Varianzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Varianzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Varianzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_simetr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curtosishttps://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa_(informaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma_incompletahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gamma_incompletahttps://es.wikipedia.org/wiki/Esperanza_matem%C3%A1ticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Mediana_(estad%C3%ADstica)https://es.wikipedia.org/wiki/Moda_(estad%C3%ADstica)https://es.wikipedia.org/wiki/Varianzahttps://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_simetr%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Curtosishttps://es.wikipedia.org/wiki/Entrop%C3%ADa_(informaci%C3%B3n)https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_definici%C3%B3n


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unción ,ener"dor" de

%o%entos

unción c"r"cter*stic"
https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora_de_momentoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora_de_momentoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora_de_momentoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_generadora_de_momentoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADstica

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