3.2 Bondad de ajuste

Prueba de ji cuadrada

Chi cuadrada

• La prueba de la chi cuadrada (X2)

permite que el analista determine si el

patrón de frecuencia observado

corresponde o se ajusta al patrón

"esperado“

• Así comprueba "la calidad del ajuste" de la

distribución observada en relación con la

distribución esperada

Prueba de la chi cuadrada para

una muestra única

• Considere un gerente de mercadotecnia de una

cadena de tiendas de electrónica que necesita

probar la eficacia de tres ofertas especiales

(oferta1, oferta 2 y oferta 3), cada una será

válida un mes

• El gerente desea medir el efecto de cada oferta

en los clientes que visitan una tienda de prueba

durante el tiempo en que la oferta es válida

• El número de dichos clientes es:

OFERTA MES CLIENTES POR MES

1 Abril 11700

2 Mayo 12100

3 Junio 11780

TOTAL 35580

El gerente necesita saber si el número de clientes que visitó la

tienda durante el periodo en que estuvo vigente cada oferta

difiere en forma significativa. Este problema se resuelve

aplicando la prueba de la chi cuadrada (X2) a la muestra única,

como sigue:

1. Se especifican la hipótesis nula y la hipótesis alterna

• Hipótesis nula H0: la cantidad de clientes que visitan la tienda en el

curso de las ofertas es igual.

• Hipótesis alterna Ha: hay una diferencia significativa en dicha

cantidad.

2. Se determina el número de visitantes esperados de cada

categoría, si la hipótesis nula fuera correcta (Ei)

En el ejemplo, la hipótesis nula indica que no hay diferencia

en la cantidad de clientes atraídos por las diferentes ofertas

Por lo tanto, es de esperarse que haya un número igual de

clientes en el curso de cada oferta

Por supuesto, se supone que no hay otros factores que

influyan en la cantidad de visitas a la tienda

• Según la hipótesis nula (de que no hay

diferencia), el número esperado de

clientes que visitó la tienda en cada

periodo de ofertas fue 11860

• Y se calcula:

Se calcula el valor de X2

mediante la ecuación:

El resultado es:

• Se elige el nivel de significado a.

Para el nivel de significado a de .05,

el valor tabulado de X2 con dos

grados de libertad (k- 1) es 5.99.

(véase TABLA)

• Como el valor calculado para X2

(7.55) es más alto que el valor

tabulado (véase la tabla para k - 1 =

2, gl, a = .05), se rechazaría la

hipótesis nula

CONCLUSIÓN• Por lo tanto, se concluye con 95 por ciento

de confianza que la respuesta de los

consumidores a las ofertas fue

significativamente distinta

• Por desgracia, esta prueba sólo indica que

la variación general entre las frecuencias

de las celdas es mayor de lo que podría

esperarse de manera casual y no indica si

una celda difiere en forma significativa de

las otras.

EJEMPLO 1:

Se evalúan cuatro variedades de sabores de refrescos de cola. Los resultados fueron los

siguientes:

SABORES PREFERENCIAS

A 104

B 92

C 101

D 87

Pasos a seguir:

Hipótesis:

• H0 = Las preferencias de los clientes son

iguales

• Ha = Las preferencias de los clientes son

diferentes

Numero de preferencias

esperadas para cada sabor (Ei)

Se calcula el valor de X2

Después:• Se elige el nivel de significado a. Para el

nivel de significado a de .05, el valor tabulado

de X2 con dos grados de libertad (k- 1) es

7.81

• Como el valor calculado para X2 (1.94) es

menor que el valor tabulado para k - 1 = 3,

gl, a = .05), se aceptaría la hipótesis nula.

• Por lo tanto, se concluye con 95 por ciento

de confianza que la respuesta de los

consumidores a las ofertas no fue

significativamente distinta

Ejemplo 2:• Un gerente de marketing tiene 5 colores de

donde escoger para el diseño de un

empaque

• Sólo puede usar uno

• ¿Cuál es el preferido del mercado?

• Realizo un muestreo aleatorio de 400

consumidores y obtuvo estos resultados.

• Los resultados sugieren el Azul

• Hay que saber que este resultado no sea

por casualidad

Color del empaque

Preferencia de Los consumidores

Rojo 70

Azul 106

Verde 80

Rosa 70

Naranja 74

TOTAL 400

Color del empaque

Frecuencia observada (O)

Frecuencia Esperada (E) (O – E)2

Rojo 70 80 100 1.25

Azul 106 80 676 8.45

Verde 80 80 0 0.00

Rosa 70 80 100 1.25

Naranja 74 80 36 0.45

TOTAL 400 400 ----- 11.40

Resultados:

• La hipótesis nula da igual preferencia para

todos los colores

• El valor de ji cuadrada es 11.40

• El valor crítico de ji cuadrada con un nivel de

significancia de 0.05 y 4 grados de libertad

es 9.488.

• Se elimina la hipótesis nula

• Los consumidores no prefieren por igual

todos los colores, realmente prefieren el azul

Prueba de la chi cuadrada para dos

muestras independientes

• Los investigadores de mercados a menudo necesitan

determinar si dos o más variables están asociadas

• Tienen que contestar preguntas como:

– "¿Hombres y mujeres se dividen de igual manera

entre las categorías de usuarios fuertes, intermedios

y ligeros?“

– "Los compradores y no compradores se distinguen de

igual modo en grupos de ingresos bajos, intermedios

y altos?"

• En este caso es adecuado aplicar la prueba de la chi

cuadrada (X2) para dos muestras independientes

Ejemplo:

• Una cadena de tiendas de conveniencia desea

determinar la naturaleza de la relación, si es que la hay,

entre el sexo del consumidor y la frecuencia con que

visita las tiendas.

• Se divide la frecuencia de visitas en tres categorías:

– De una a cinco visitas al mes (usuario ligero)

– De seis a 14 visitas al mes (usuario intermedio)

– 15 o más visitas al mes (usuario fuerte)

• A continuación se describen los pasos necesarios para

llevar a cabo esta prueba:

Datos para X2 , prueba con dos muestras independientes

TABLA 3: Datos para X2 , prueba con dos muestras independientes

Visita de mujeres a la tienda de conveniencia Visita de mujeres a la tienda de conveniencia

Número

Xm

Frecuencia

fm %

%

Acumulativo

Número

Xf

Frecuencia

ff %

%

Acumulativo

2 2 4.4 4.4 2 5 7.0 7.0

3 5 11.1 15.6 3 4 5.6 12.7

5 7 15.6 31.1 4 7 9.9 22.5

6 2 4.4 35.6 5 10 14.1 36.6

7 1 2.2 37.8 6 6 8.5 45.1

8 2 4.4 42.2 7 3 4.2 49.3

9 1 2.2 44.4 8 6 8.5 57.7

10 7 15.6 60.0 9 2 2.8 60.6

12 3 6.7 66.7 10 13 18.3 78.9

15 5 11.1 77.8 12 4 5.6 84.5

20 6 13.3 91.1 15 3 4.2 88.7

23 1 2.2 93.3 16 2 2.8 91.5

25 1 2.2 95.6 20 4 5.6 97.2

30 1 2.2 97.8 21 1 1.4 98.6

40 1 2.2 100.0 25 1 1.4 100.0

Total nm = 45 nf = 71

Se formulan la hipótesis nula y

la hipótesis alterna.– Hipótesis nula H0: no hay relación entre el

sexo y la frecuencia de las visitas

– Hipótesis alterna Ha: hay una relación

significativa entre el sexo y la frecuencia de

las visitas

Se colocan las frecuencias observadas (de la muestra) en

una tabla k x r (tabla de tabulación cruzada o de

contingencia); las columnas k se emplean para los

grupos de la muestra y los renglones de r, para las

condiciones o tratamientos. Se calcula la suma de cada

renglón y cada columna. Los totales se registran en los

márgenes de la tabla (se llaman totales marginales).

También se calcula el total para toda la tabla (N).

FRECUENCIA

DE VISITAS MASCULINO FEMENINO TOTALES

1 – 5 14 26 40

6 – 14 16 34 50

15 o más 15 11 26

TOTALES 45 71 116

Se determina la frecuencia esperada para cada celda de la tabla de

contingencia calculando el producto de los dos totales marginales

comunes a esa celda y dividiendo dicho valor entre N

El valor de X2 se distorsiona si más del 20 por ciento de las

celdas tiene una frecuencia esperada inferior al 5 por ciento o si

cualquier celda ofrece una frecuencia esperada inferior a 1. En

esas condiciones, la prueba no debe emplearse.

Calcule el valor de X2 usando

Oij = número observado en la pésima fila de la pésima columna

Eij = número esperado en la pésima fila de la pésima columna

Para el ejemplo

Para concluir:

• El valor tabulado de X2 a nivel de

significado del .05 Y con (r- 1) (k-l) = 2

grados de libertad es 5.99 (véase el

Tabla)

• Como la X2 = 5.12 calculada es inferior al

valor tabulado, no se rechaza la hipótesis

nula y se concluye que no hay diferencia

significativa entre la frecuencia de visitas

de los varones y las mujeres

OTRO EJEMPLO:

Se evalúa si el tipo de envase es

determinante en la preferencia de

jugos y néctares. Los datos son los

siguientes:

Tipo de envase

Hojalata Vidrio

0.170 0.240

0.010 0.110

0.260 1.250

0.070 0.160

0.040 1.270

0.110 0.410

0.150 0.260

0.110 0.350

0.220 0.710

0.120 1.200

0.210 0.670

0.430 0.370

0.000 0.450

0.210 0.060

0.260 0.310

0.070 0.240

0.250 0.000

0.200 0.000

0.000 0.000

0.130 0.600

0.160 1.080

0.040 0.640

0.480 0.850

0.030 1.050

0.250 0.100

0.200 0.000

Pasos a seguir:

1. Se formulan la hipótesis nula y la

hipótesis alterna

• Hipótesis nula H0: no hay relación entre el

tipo de envase y su aceptación

• Hipótesis alterna Ha: hay una relación

significativa entre el tipo de envase y su

aceptación

Se obtienen una tabla de contingencias

Frecuencias Hojalata Vidrio Totales

0 a 0.1 8 6 14

0.01 a 0.2 9 2 11

0.201 a 0.3 7 3 10

0.301 a 0.4 0 3 3

0.401 a 0.5 2 2 4

0.501 a 1.27 0 10 10

Totales 26 26 52

Se determina la frecuencia esperada para cada celda de la tabla de

contingencia calculando el producto de los dos totales marginales

comunes a esa celda y dividiendo dicho valor entre N

FRECUENCIA HOJALATA VIDRIO

0 a 0.1 = 7 = 7

0.01 a 0.2 = 5.5 = 5.5

0.201 a 0.3 = 5 = 5

0.301 a 0.4 = 1.5 = 1.5

0.401 a 0.5 = 2 = 2

0.501 a 1.27 = 5 = 5

Calcule el valor de X2

Conclusión:

• El valor tabulado de X2 a nivel de

significado del .05 y con (r- 1) (k-l) = 5

grados de libertad es 11.0705 (véase

TABLA)

• Como la X2 = 19.33 calculada es mayor al

valor tabulado, se rechaza la hipótesis

nula y se concluye que hay diferencia

significativa entre las preferencias por tipo

de envase