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Distribución de chi cuadrado y T de students ING. ROY DONALDO SILVA

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Distribucion de chi cuadrado y T de students

Distribucin de chi cuadrado y T de studentsING. ROY DONALDO SILVAEntre las pruebas que analizan las diferencias entre grupos tenemos:

La prueba de Chi cuadrada.El anlisis de Varianza (coeficiente F).La prueba de signo.La Prueba t de student.

Etapas Bsicas en Pruebas de Hiptesis.

Al realizar pruebas de hiptesis, se parte de un valor supuesto (hipottico) en parmetro poblacional. Despus de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadstica muestral, as como la media (x), con el parmetro hipottico, se compara con una supuesta media poblacional ( ). Despus se acepta o se rechaza el valor hipottico, segn proceda. Se rechaza el valor hipottico slo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.

Una hiptesis estadstica se denota por H y son dos:Ho: hiptesis nulaH1: hiptesis alternativa

etapasEtapa 1.- Planear la hiptesis nula y la hiptesis alternativa. La hiptesis nula (H0) es el valor hipottico del parmetro que se compra con el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hiptesis es cierta.Etapa 2.- Especificar el nivel de significancia que se va a utilizar. El nivel de significancia del 5%, entonces se rechaza la hiptesis nula solamente si el resultado muestral es tan diferente del valor hipottico que una diferencia de esa magnitud o mayor, pudiera ocurrir aleatoria mente con una probabilidad de 1.05 o menos.Etapa 3.- Elegir la estadstica de prueba. La estadstica de prueba puede ser la estadstica muestral (el estimador no segado del parmetro que se prueba) o una versin transformada de esa estadstica muestral. Por ejemplo, para probar el valor hipottico de una media poblacional, se toma la media de una muestra aleatoria de esa distribucin normal, entonces es comn que se transforme la media en un valor z el cual, a su vez, sirve como estadstica de prueba.Consecuencias de las Decisiones en Pruebas de Hiptesis.

Decisiones PosiblesSituaciones PosiblesLa hiptesis nula es verdadera

La hiptesis nula es falsa

Aceptar la Hiptesis NulaSe acepta correctamenteError tipo IIRechazar la Hiptesis NulaError tipo ISe rechaza correctamenteErrores de tipo I y de tipo II. Si rechazamos una hiptesis cuando debiera ser aceptada, diremos que se ha cometido un error de tipo I. Por otra parte, si aceptamos una hiptesis que debiera ser rechazada, diremos que se cometi un error de tipo II. En ambos casos, se ha producido un juicio errneo. Para que las reglas de decisin (o no contraste de hiptesis) sean buenos, deben disearse de modo que minimicen los errores de la decisin; y no es una cuestin sencilla, porque para cualquier tamao de la muestra, un intento de disminuir un tipo de error suele ir acompaado de un crecimiento del otro tipo. En la prctica, un tipo de error puede ser ms grave que el otro, y debe alcanzarse un compromiso que disminuya el error ms grave Etapa 4.- Establecer el valor o valores crticos de la estadstica de prueba. Habiendo especificado la hiptesis nula, el nivel de significancia y la estadstica de prueba que se van a utilizar, se produce a establecer el o los valores crticos de estadstica de prueba. Puede haber uno o ms de esos valores, dependiendo de si se va a realizar una prueba de uno o dos extremos.Etapa 5.- Determinar el valor real de la estadstica de prueba. Por ejemplo, al probar un valor hipottico de la media poblacional, se toma una muestra aleatoria y se determina el valor de la media muestral. Si el valor crtico que se establece es un valor de z, entonces se transforma la media muestral en un valor de z.Etapa 6.- Tomar la decisin. Se compara el valor observado de la estadstica muestral con el valor (o valores) crticos de la estadstica de prueba. Despus se acepta o se rechaza la hiptesis nula. Si se rechaza sta, se acepta laalternativa; a su vez, esta decisin tendr efecto sobre otras decisiones de los administradores operativos, como por ejemplo, mantener o no un estndar de desempeo o cul de dos estrategias de mercadotecnia utilizar.

Prueba de chi-cuadrado

A esta prueba tambin se le llama Chi-cuadrado o (coeficiente X2).Es un recurso de uso muy frecuente en las investigaciones sociales. Debe usarse cuando los datos obtenidos en su investigacin son de nivel nominal (es decir, asigna sujetos a categora). Esto significa que en lugar de medir los puntajes de los sujetos, slo es posible asignar los sujetos a una o ms categoras. Adems slo puede usarse cuando se asigna sujetos diferentes a cada grupo.El objetivo de la prueba de chi-cuadrado es comparar las frecuencias observadas ( fo ) en cada una de las casillas de un cuadro de doble entrada, con frecuencias esperadas ( fe ) para cada una, si las diferencias entre ambas se debieran al azar, como lo afirma la hiptesis nula Ho .Calculo de X2El valor observado del estadstico X2 (Chi-cuadrado), viene dado por la siguiente frmula: Donde :

fo= Frecuencia observada de realizacin de un acontecimiento o evento determinado. fe = Frecuencia esperada o terica, que se determina de acuerdo al enunciado de la hiptesis nula Ho.

Limitaciones de la Chi-cuadrada.

El uso de la chi-cuadrada tiene dos limitaciones:Cuando al resolver el problema solo existe un grado de libertad, esto es para tablas de 2 x 2.La chi-cuadrada, solamente debe usarse cuando las frecuencias esperadas sean mayores o iguales a cinco, en todas las celdas ( fe 5 ).

Ejemplo Supongamos que se tiene una muestra de 340 personas, cada una de las cuales ha dado su opinin en trminos de ACUERDO y DESACUERDO frente a la proporcin: El respeto a la autoridad define a un buen ciudadano. Si queremos establecer la posible asociacin entre las respuestas obtenidas y el nivel de instruccin a un nivel de significacin del 0.001 0.1%, disponemos los datos en la siguiente tabla:

Datos : RespuestasNivel de InstruccinAcuerdoDesacuerdoTotalAlto 35 (1)10 (4)45Medio 30 (2) 108 (5)138Bajo 112 (3)45 (6)157Total177163340Para poder aplicar chi-cuadrado, debemos hacer lo siguiente:

Encontrar la diferencia entre cada frecuencia observada y la correspondiente frecuencia esperada, para lo cual se sugiere numerar las celdas.

Elevar al cuadrado estas diferencias.

Dividir cada diferencia elevada al cuadrado entre las correspondiente frecuencia esperada.

Sumar los cocientes resultantes ( divisiones realizadas).Contrastar el valor X2 calculado con el terico.Aceptar o rechazar hiptesis de trabajo.

N = nmero total de frecuencias observadas. Por lo tanto Comparacin del chi cuadrado86.13 es el valor es el calculado.Si tomamos en cuenta las hiptesis; tendremos:

H1 = El respeto a la autoridad est influido por el nivel educativo de las personas. H0 = El respeto a la autoridad no est influido por el nivel educativo de las personas. Donde : H0 = Es la hiptesis nula y H1 = Es la hiptesis de trabajo.Para comparar los resultados, debemos escoger los grados de libertad. Grados de Libertad ( V ) = ( filas - 1 ) (columnas - 1 ). Para este caso: V = ( 3 1) ( 2 1 ) = ( 2 ) ( 1 ) = 2Si usamos un nivel de significacin del 0.001 0.1% entonces tendramos:

X2t = 13.8 y X2c = 86.13 Donde : X2t = Chi- cuadrado terico, buscado en tabla, con 2 grados de libertad y un nivel de significacin del 0.001 o 0.1% .X2c = Chi-cuadrado calculado.Conclusin:Como el valor terico es menor al valor calculado, es decir : X2t < X2c ( 13.8 < 86.13 ) , Rechazamos la hiptesis H0 y aceptamos H1, que dice que el respeto a la autoridad est influenciada por el nivel educativo. Lo cual indica que las variables estn asociadas, en otras palabras que la distribucin de frecuencias en la tabla no se debe al azar.

Para el primer caso: Cuando solo existe un grado de libertad.

Para este caso en aconsejable usar la frmula corregida:

Ejemplo 2:

Si desea verificar si la eleccin del tipo de carrera (Tcnica o humanstica) depende del sexo.

Se tom una muestra de 200 estudiantes de ltimo ao de bachillerato de ambos sexos y se les pregunt si estudiaran carreras universitarias tcnicas o humansticas. Las respuestas se consignan en el siguiente cuadro:

Carreras PreferidasSexoTcnicasHumansticasTotalesMasculino

Femenino ( 1 ) 26 ( 2 )( 3 )

86 ( 4 ) 88

112Total 62 138200Probar la hiptesis que la carrera preferida es dependiente del sexo, es decir, las diferencias entre las preferencias por las carreras segn el sexo, es significativa, usar un nivel de significacin de 0.05.Planteamiento de Hiptesis:H0 = La preferencia del estudiante por las carreras universitarias es independiente del sexo, es decir, el sexo no influye en la eleccin de la carrera. H1 = La preferencia del estudiante por las carreras universitarias depende del sexo, es decir, el sexo influye en el tipo de carrera.

Para contrastar tenemos:

X2 c = 6.41Para el terico: Grados de libertad V = ( f 1 ) ( c 1 ) V = 1 x 1 = 1 Nivel de significacin = 0.05 5% .Buscando en tabla : X2t = 3.48Conclusin:Como X2t < X2c , entonces se rechaza H0 y se acepta H1 , y se puede decir que el sexo del estudiante influye en la escogitacin de la carrera. Nota: Entre ms grande es el valor de X2 observado ( X2c ) ms tentado se est e rechazar la hiptesis nula, y aceptar que las diferencias son significativas. Por eso, el valor observado debe ser igual o mayor que el valor crtico dado por la tabla.

USO DE LA PRUEBA t STUDENT

Esta medida tambin es utilizada para analizar diferencias entre grupos.La prueba t student, bsicamente se utiliza para hacer:Prueba de medias de dos muestras relacionadas.Prueba de medias de dos muestras independientes o no relacionadas.

Prueba de Medias de dos Muestras Relacionadas

Para hacer uso de esta prueba se deben cumplir las siguientes condiciones:Debe de usarse para disear experimentales cuando se estudia una variable independiente, bajo dos condiciones.

Cuando los mismos sujetos se desempean en ambas condicionesEs para muestra pequeas ( n 30).

Planteamiento de la hiptesis nula (Ho) se hace diciendo que las medias bajo ambas condiciones son iguales ,es decir : H0 : . Los grados de libertad ( V ), se calculan: V = n - 1 .La frmula para hallar el t calculado (t c ) es: