Diseño, modelización y fabricación de un chasis

8/20/2019 Diseño, modelización y fabricación de un chasis

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Diseño, modelización y

fabricación de un chasispara una motocicleta de

competiciónProyecto para optar al Título de Ingeniero Industrial Superior,

especialidad en mecánica de máquinas Óscar González Fernández

14/09/2012

Tutorado por:

Daniel García Vallejo

Juan Manuel Ayllón Guerola

Escuela Técnica Superior de Ingenierías

Universidad de Sevilla


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Índice

Descripción del proyecto .............................................................. 2Capítulo I: Concepción ................................................................. 51.1 Material ................................................................................. 51.2 Definición de variables generales ........................................... 6Capítulo II: Diseño y optimización ................................................ 92.1 Diseño .........................................................................................................................9 2.2 Optimización ............................................................................................................16

2.2.1 Método matricial 3D .........................................................................................24 2.2.2 Descripción del programa .................................................................................41

2.2.3 Implementación real del programa .................................................................. 53 Capítulo III: Modelización y simulación: ..................................... 613.1 Cálculo a rigidez: ......................................................................................................63 3.2 Cálculo de las frecuencias naturales ........................................................................70 3.3 Cálculo tensional ......................................................................................................73 3.4 Análisis modal ..........................................................................................................87 Capítulo IV: Conclusiones ........................................................... 91Capítulo V: Bibliografía .............................................................. 92

Anexo I: ............................................................................... Planos Anexo II: ............................. Esquema del programa del programa


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Descripción del proyectoEl presente proyecto se encuentra integrado en un proyecto de mayor envergadura en el quese diseña desde cero una motocicleta de 250cc, 4T para la competición Motostudent, junto alequipo de la Universidad de Sevilla, US-R Engineering. El proyecto se lleva a cabo en la EscuelaTécnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla, en el que se colabora conprofesores de diversos departamentos de la Escuela (Ingeniería Mecánica, Energética,Organización Industrial,...) y en el que se pretende que los alumnos, que se encuentran en losúltimos cursos, se consideren incluidos dentro de un equipo real de competición y queconsigan autofinanciarse gracias a patrocinio y encuentren proveedores y fabricantes para los

componentes estructurales, electrónicos y motrices que ellos mismos diseñen.


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Concretamente, el presente proyecto, está incluido dentro del departamento estructural delequipo, concretamente en la parte más importante del mismo: el chasis. Bien es sabida lafunción de los bastidores en todo tipo de máquinas y en especial en la industria de laautomoción. Es por ello a continuación se indican alguna de sus funciones más importantes:

- Soporte estructural de la motocicleta, soportando las diferentes cargas a lasque la misma se encuentra sometida, comportándose con una determinadarigidez estructural, permitiendo cierto grado de deformaciones y siempredentro de los límites de la elasticidad de sus componentes.

- Posicionamiento de los diferentes elementos: el chasis sirve para elalojamiento de los diferentes elementos de la motocicleta y debe aportarpuntos de apoyo fijos para el sistema de suspensión y basculante, la horquilladelantera, el motor y todos sus componentes, depósito, carenado y asiento delpiloto. Es por este motivo que el entramado estructural del mismo debe teneruna forma tal que permita dar cabida a la gran cantidad de elementos queaparecen en la misma y que, además, sea una solución de compromiso entreespacio y peso.

- Proporcionar una adecuada interacción del piloto con la pista. Es fundamentalque una buena geometría permita absorber las cargas que actúan en lamotocicleta, pero también debe permitir que el piloto reciba sensaciones de lacarretera para complementar su conocimiento de la misma. Asimismo, elchasis debe favorecer una correcta distribución de pesos, evitando la pérdidade adherencia de alguna de las ruedas y permitiendo un correcto manejo delconjunto, mediante una adecuada localización del centro de gravedad.

Como todo proyecto de ingeniería, consta de diferentes fases que parten desde el diseñohasta la final explotación del mismo, pasando por las que a continuación se indican:

- Concepción: En esta fase se definen las características básicas de la estructura,como su material, perfil de las secciones, especificaciones, geometríafundamental del conjunto e interacciones con el resto de elementos de lamotocicleta que, a su vez, se encuentran en la misma fase de concepcióninicial. Es por ello que esta fase debe tener una especial comunicación entrelos diferentes departamentos del equipo.

- Diseño: Partiendo de unas prescripciones indicadas en la fase anterior, sedefine una geometría que permita cumplirlas. Dado que los medios sonlimitados, se podría pensar que la solución puede siempre estar lejos de laóptima. Esta tesitura ocurre frecuentemente en los proyectos de ingeniería,dado que el recurso temporal suele estar muy restringido. En este proyecto setratará de subsanar este problema, proporcionando una herramientamatemática que permita acercar el diseño final lo máximo posible a la soluciónóptima del mismo, de tal forma que además sirva de herramienta general paraotras estructuras. Para ello se ha realizado un programa en Matlab, el cual,mediante algoritmos de minimización por restricciones, permita obtener una

solución factible al problema de minimización que se plantea.


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- Modelización y simulación: A pesar de que estas fases se encuentranembebidas dentro de la fase de diseño, se han separado en este caso dado elgrueso de cada una de ellas. Se podría decir que la fase de diseño sirve paraproporcionar una solución rápida sobre la cual partir en el análisispormenorizado del detalle mediante métodos computacionales, tales como elmétodo de elementos finitos.

- Integración con el resto de componentes: como se indicó anteriormente, elchasis no es únicamente una estructura que sirva para soportar las cargas, sinoque además debe proporcionar puntos de unión y soporte para los diferenteselementos que se integran en él. Para ello, una vez definida la geometría, sedeben calcular una serie de elementos adicionales como pueden ser los ejesdel basculante y de unión a las cogidas del motor, los tornillos de sujeción delas diferentes orejetas (con un apriete adecuado) y los rodamientos que alojenla horquilla o suspensión delantera.

- Fabricación: La fase final del proyecto previa a la explotación del mismo es lapropia materialización de los componentes ideados. Para ello, se debeestablecer una relación comercial con proveedores que, gracias a una buenafinanciación del proyecto, permita una fabricación de los diferentescomponentes. Dentro de esta fase se puede incluir la verificación de loscomponentes, el montaje y reglaje de los mismos.

Finalmente, cabe indicar que cada una de las fases constituye un proyecto en sí misma si setienen en cuenta la gran cantidad de factores que en ella intervienen. No obstante, laexperiencia de pasadas ediciones así como el aprendizaje de la metodología, permiten alcanzar

soluciones satisfactorias y pretendidamente óptimas en un espacio de tiempo adecuado ydentro de los límites impuestos por la organización del concurso.

Sin más, se pasa a describir detalladamente las fases del proyecto que se consideran másimportantes de ser descritas en el presente documento, comenzando por la fase deconcepción del prototipo y llegando al apartado de modelización y simulación, ya que el restode apartados suponen una actuación conjunta con el resto del equipo.


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Capítulo I: ConcepciónEn esta fase del proyecto se comienza definiendo la geometría básica de la motocicleta, el

material a emplear y su calidad, perfil de las secciones de la estructura, tipología de losdiferentes sistemas de suspensión, basculante, motorización y posición de la conducción.

En primer lugar, al tratarse de un prototipo de baja cilindrada, se continúa con la tendencia deestas categorías de construir un chasis multitubular de acero. Los chasis pueden ser dediferentes tipologías, siendo los de mayor utilización en la actualidad los de doble viga dealuminio, los de espina dorsal y los multitubulares triangulados, los cuales se indican en laFigura 1.1.

Figura 1.1 Tipología común de chasis: Doble viga, espina dorsal y multitubular triangulado

La triangulación en una estructura es fundamental dada la mayor rigidez que presenta dicha

tipología, de tal forma que los chasis multitubulares buscan obtener una correcta geometría ensus diferentes planos (alzado, planta y perfil) que permita un correcto aprovechamiento delmaterial.

1.1 Material

El material seleccionado es acero de calidad E355 (St-52) DIN 2391 BK, dado que para el perfilempleado (tubos huecos de 25 mm x 1.5 mm aprox.) la relación entre rigidez y peso tiene unatendencia más claramente favorecida en el caso del acero. Las características mecánicas delacero empleado se indican a continuación:

- Límite elástico medio: 48 kg/mm2 - Resistencia a la rotura: 70 - 80 kg/mm2 - Módulo de Young: 210 GPa- Coeficiente de Poisson: 0,33- Módulo elástico transversal: 81 GPa

Concretamente, el tubo empleado es procedente de un acero estirado en frío, cuyadenominación es Ducal, de la marca Schröder.


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1.2 Definición de variables generales

Definido el tipo de chasis, se pasa a determinar las dimensiones básicas de la motocicleta. Enesta fase y con la completa colaboración de todos los integrantes del equipo, se fijan losparámetros siguientes:

- Altura del asiento: Se determina a partir de los valores habituales paramotocicletas de esta cilindrada, así como la altura del piloto para unaadecuada posición de conducción. El valor considerado será deaproximadamente 750 mm.

- Distancia entre ejes: Dicha distancia tiene una gran influencia en la estabilidad.Dada la dificultad de establecer un valor a priori, se visitan bibliografías ycatálogos comerciales en los que se indique una distancia recomendadaadecuada. El valor final se encuentra aproximadamente entre 1270 mm(posición de equilibrio estático) y 1230 mm (posición de máxima compresión

de la suspensión), ya que depende de la posición de la suspensión trasera.- Ángulo de lanzamiento de la horquilla: La horquilla necesita un ángulo de

lanzamiento* positivo para una correcta estabilidad direccional y que la huellade la misma se encuentre por detrás del eje de rotación de la misma,permitiendo la generación de un par que evite que la dirección sedesestabilice. El valor final seleccionado es de 23⁰.

- Longitud del basculante: Esta longitud es importante para el correctofuncionamiento del sistema de la suspensión, ya que una variación en lalongitud del basculante supone un mayor brazo en el par que generan lasfuerzas en la rueda trasera. La longitud considerada será de 488 mm.

- Inclinación del basculante: La inclinación del basculante viene fijada por laadecuada alineación de los puntos de salida del piñón del motor, el eje delbasculante y el eje de la rueda. Sin carga, éste deberá tener un cierto ángulopositivo (el eje del basculante por encima del eje de la rueda) para que una vezel piloto se monte, se encuentren aproximadamente alineados los citadospuntos y que la cadena no roce con la superficie del basculante y suponga unapérdida importante de potencia. La inclinación final será de 5,3 ⁰.

- Altura de la pipa (o cuello) de la dirección: La altura de la pipa de la direcciónviene fundamentalmente determinada por la horquilla delantera. Ésta no

puede verse perjudicada en su recorrido, de tal forma que en ningún instantedel funcionamiento la tija pueda colisionar con algún otro elemento de lamotocicleta, como el carenado de la rueda delantera. La distancia final resultaser de 473 mm respecto al eje delantero.

* Ángulo que forma el eje de la horquilla (suspensión delantera) con la vertical medido en sentido horario.


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En la Figura 1.2 se indican los diferentes elementos indicados, así como en el Plano 1 del AnexoI.

Figura 1.2 Dimensiones generales

Una vez definidos todos los parámetros geométricos en el plano longitudinal de la motocicleta,se le debe dar una profundidad al conjunto. En primer lugar y, partiendo del tipo de chasis

empleado, se considera que el chasis debe envolver al motor en la dimensión transversal delmismo, quedando el motor suspendido mediante una serie de cogidas a la estructura. En elapartado de integración de componentes se revisará con detalle el cálculo de los diferenteselementos como ejes, cogidas y rodamientos, indicando únicamente en este apartado laprescripción necesaria en esta materia.

En la mayoría de las motocicletas, el basculante está entre el motor y el chasis, tal y como seindica en la Figura 1.3. En esta figura se observa el eje del basculante que está biapoyado ensus extremos en el chasis. El motor se coloca en el centro del eje, con un ciertodescentramiento para permitir que el plano del piñón de salida del motor esté alineado con el

plano del plato de la rueda. Finalmente, el basculante tiene dos brazos, cada uno de los cualesse dispone a ambos lados del motor y por el interior del chasis. Si se tiene en cuenta el anchoque debe tener el basculante por requerimientos estructurales, y para alojar el motor, ademásde una cierta distancia de holgura entre el basculante y el chasis, se obtiene que el ancho delconjunto en este plano deberá ser al menos de 265 mm. El resto de dimensiones de barras, sedefinirán adecuadamente en la fase de diseño, quedando en la fase de concepción de lamotocicleta indicados únicamente los valores más importantes y que permitan trabajar a losdiferentes departamentos dentro del equipo.


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Figura 1.3 Eje del basculante

Finalmente y, aunque en esta primera fase la concepción de la motocicleta es simultánea, eldepartamento encargado de la suspensión trasera introdujo el diseño del mecanismo plano. Elmismo cuenta con dos cogidas al chasis y una al basculante, quedando determinado por lascotas de la Figura 1.4, lo que llevará a proporcionar una serie de elementos adicionales quepermitan la localización de dichos puntos.

Figura 1.4 Sistema de la suspensión


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Capítulo II: Diseño y optimización 2.1 Di seño

Una vez obtenidas las variables fundamentales de la motocicleta, se comienza la laborindividual de diseño de cada uno de los componentes de la motocicleta. El chasis,tradicionalmente, se diseña según la rigidez que presente a las deformaciones provocadas porlas cargas externas. A continuación se hace un estudio de las diferentes variables de diseño delmismo:

Rigidez: Ante la aplicación de una carga (generalmente en la pipa de la dirección) de frenado,curva, etc. el chasis debe comportarse de tal forma que permita un cierto grado dedeformaciones para que el piloto pueda tener una mejor sensación de conducción de lamotocicleta. A pesar de que este valor es altamente subjetivo, diferentes marcas del mundode la competición basan el criterio de diseño de sus chasis en fundamentos como este, en elque la opinión de sus pilotos es fundamental para el correcto desarrollo y comportamiento desu producto. Generalmente, estos valores son difíciles de conseguir y son característicos decada marca, aunque en este caso se han encontrado valores indicativos en el libro:“Motocicletas: Comportamiento dinámico y diseño de chasis, el arte y la ciencia” de TonyFoale. Estos valores son los siguientes:

- Rigidez lateral: debida a la aplicación de una carga lateral (transversal alsentido de la marcha) y de valor unidad en la pipa de la dirección. El valor deesta rigidez mínima será de:

- Rigidez vertical: debida a la aplicación de una carga vertical de igualescaracterísticas que la anterior. El valor mínimo será:

- Rigidez torsional: en este caso, se debe a la aplicación de dos cargas de valorunidad en la pipa de la dirección, en sentido contrario y que apliquen un parsobre la misma, par cuya dirección estará contenida en el plano longitudinal dela motocicleta. El valor de esta prescripción será de:

Estado tensional: Al tratarse de un elemento que debe soportar elevadas cargas que acontinuación se indican, debe mantenerse dentro de los límites de seguridad delcomportamiento elástico del conjunto. El límite elástico del material considerado (de calidadE355) fue indicado previamente, por lo que únicamente queda definir el coeficiente de


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seguridad considerado en el cálculo de la tensión equivalente de Von Mises, el cual toma unvalor de N=2. Las hipótesis de carga anteriormente citadas, se indican a continuación:

- Potro de ensayo: La organización establece que la carga que debe soportar lamotocicleta al someterse a un ensayo en un banco debe ser de 2500N

aplicados en el eje delantero y trasero de la misma. Esto, genera un momentoreducido en el cuello de la dirección de valor:

- Frenada máxima: Se considera el límite de adherencia entre el neumático

delantero y el asfalto, tomando un valor del coeficiente de rozamiento de valor, para vehículos turismo. Se debe tener en cuenta que lamotocicleta tiene una huella diferente de contacto y que, por tanto, los valorespueden diferir de estos. Según el estudio “ Reed WS, Keskin TA, 1987, VehicularResponse to Emergency Braking en Accident Reconstruction: Automobiles,Tractor-Semitrailers, Motorcycles and Pedestrians, Society of AutomotiveEngineers.”, se tiene que en función del peso de la motocicleta:

Peso (kgf) Rueda trasera Rueda delantera100 0,31:0,4 0,53:0,67150 0,36:0,43 0,62:0,76

200 0,36:0,51 0,63:0,88

Se considera por tanto un valor de para tener en cuenta el caso másdesfavorable, para un peso aproximado de 150kg.La carga se supone completamente desplazada hacia el mismo, ya que engrandes frenadas, el desplazamiento de la carga y la inercia pueden hacer quela rueda trasera pierda contacto con el pavimento. Por ello, considerando lasdimensiones previamente indicadas, esta hipótesis representa una carga en lapipa de la dirección (transmitida a través de la horquilla) en el planolongitudinal de la motocicleta, normal al eje de la dirección y un par debido al

brazo que presenta la huella de la rueda con respecto al punto de aplicaciónde la carga anteriormente indicada. En la figura 2.1 se indica un esquemasencillo de esta carga, indicando posteriormente el valor que toma la misma.Nótese que para estimar esta carga se necesita conocer la masa de lamotocicleta, la cual se ha supuesto de un valor de 100kg (el mínimo es 90kg) yel peso del piloto, que se estima en 75kg.


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Figura 2.1 Fuerza de frenado

El momento debido a esta fuerza se calcula teniendo en cuenta el radio R de larueda delantera y la altura h de la horquilla, así como el ángulo de avance :

Se observa que esta hipótesis queda asumida si el chasis resiste la carga que laorganización establece para el potro de ensayo, por lo que se obvia

- Curva: en el negociado de las curvas, la motocicleta se inclina notablementerespecto al plano vertical, de tal forma que la trayectoria se puede realizar sintener que girar apenas la dirección. El efecto giroscópico de las ruedas permite

este fenómeno, pero es el rozamiento de las ruedas con la calzada lo quepermite mantener la estabilidad de la misma, al verse afectado el conjunto porla fuerza centrífuga que hace que la motocicleta tienda a continuar por latrayectoria tangente. Nuevamente, se establece la hipótesis de máximaadherencia y se mantiene el coeficiente de rozamiento (aunque al modificarsela huella del neumático éste se ve modificado), indicándose en la figura 2.2aun nuevo esquema para la determinación de las cargas:


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Figura 2.2a Curva

En esta hipótesis se deben realizar numerosas suposiciones, las cuales

pretenderán ser suficientemente conservadoras. El modelo para la obtenciónde las cargas que se transfieren al chasis en una curva puede ser complicado sise tienen en cuenta demasiados factores. Una simplificación razonable seencuentra en el libro anteriormente citado de Tony Foale, Capítulo 4.En éste,podemos encontrar una serie de gráficos genéricos que nos permitanestablecer una relación (válida para una motocicleta genérica) de lainclinación, la velocidad y el radio de la curva a tomar. En primer lugar sesupone el ángulo de inclinación de la motocicleta de 45°. En la figura 2.2b serepresenta la relación entre estas tres variables:


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Figura 2.2b Radio de curva frente a velocidad

Se tiene por tanto que, para una inclinación supuesta de 45 grados, lavelocidad y el radio de la curva que se describe están relacionados por la curvade la figura 2.2b. Nótese que la fuerza centrífuga en la curva tiene una relacióncuadrática con la velocidad e inversamente proporcional al radio de la curva. Siescogemos la curva límite de 45 grados, obtendremos las mayores fuerzascentrífugas posibles, ya que para determinadas velocidades obtendremosmenores radios de curvatura, siendo esta opción mas desfavorable encualquier caso. Finalmente, para elegir una velocidad de paso por curva, se

tiene en cuenta que la máxima velocidad de la motocicleta está en torno a 170km/h (en recta), de forma que considerar 150km/h se considera muyconservador. De cualquier forma, se consideran velocidades medias de pasopor curva en circuitos de la categoría Moto3, donadas por la organización delmundial y resulta que las máximas velocidades se encuentran entorno a 140km/h: 150km/h. Por tanto, para esta velocidad se obtiene un radio de la curvade 175m aproximadamente, resultando:

Por tanto, esta fuerza se puede descomponer en dos componentes, unavertical y otra horizontal:

El momento generado en la pipa será:


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- Suspensión trasera: La suspensión trasera se trata de un mecanismo plano debarras en el que una de ellas se trata de un elemento elástico compuesto porun muelle y un amortiguador. Al contar un elemento elástico, la fuerza querealiza en los extremos y que, por tanto, se transmiten a la estructura,depende del alargamiento del mismo. En la figura 2.3, se indican las cargasmáximas para la hipótesis, siendo las más desfavorables las siguientes:

Figura 2.3 Cargas de la suspensión

En la figura 2.4 se indica la progresividad del sistema de suspensión, así como las cargas sobrecada uno de los elementos:


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Figura 2.4 Cargas de la suspensión

Frecuencias naturales y modos de vibración: Al tratarse de un sistema estructural con masa,estará sometido a las vibraciones debidas al funcionamiento del motor de 4T y la carretera. El

estudio de las frecuencias naturales del sistema es fundamental para que la vibración forzadano se encuentre en zonas peligrosas que provoquen desplazamientos inadmisibles en laestructura y que puedan desestabilizar la motocicleta o hacerla de difícil conducción. El rangode funcionamiento del motor tiene un valor máximo de 10000rpm, con lo que se debe evitarque ninguna de las frecuencias naturales esté en el rango de funcionamiento del mismo, por loque se fija un mínimo de 12000rpm para considerar que el sistema está suficientementealejado del rango que podríamos llamar inadecuado.

Peso del conjunto: El peso de una motocicleta influye enormemente en el consumo decombustible de la misma. El chasis debe ser tal que permita proporcionar un valor satisfactoriopara las indicaciones anteriores, pero debe tener un compromiso con el peso del conjunto, yaque es fundamental, no solo para el consumo, sino para el manejo y la estabilidad de lamotocicleta. Al tratarse de un prototipo para competición, se estima oportuno considerar elpeso como un elemento clave en el diseño del mismo, tratando siempre de minimizarlo.

Tamaño: El conjunto debe ocupar un volumen máximo de manera que la posición deconducción del piloto sea lo más cómoda posible y, además, esté dentro de las restricciones dela normativa. Además, debe permitir alojar un carenado comercial que proporcione una mejoreficiencia aerodinámica.

-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000Reacciones en Bieleta

F u e r z a

( N )

Tiempo (s)

Fx1(chasis)Fy1(chasis)Fx2(biela)

Fy2(biela)Fx3(amort)Fy3(amort)


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2.2 Op timizació n

Al comenzar el cálculo de cualquier estructura, surge la duda de saber cuál es la geometríaóptima para obtener el mejor compromiso entre peso, rigidez, estado tensional y frecuenciasnaturales. La experiencia y la intuición pueden facilitar el cálculo, pero para una geometría

compleja como la de una motocicleta, puede resultar complicado establecer una solución apriori que nos permita obtener un buen comportamiento en todos los sentidos-especialmenteen una estructura triangulada sometida a cargas en distintos planos. Por ello, en este proyectose plantea resolver un problema de minimización con restricciones que, mediante algoritmosde búsqueda, permita obtener el resultado óptimo de la disposición de los nodos de laestructura, partiendo de las condiciones anteriormente indicadas. La estructura del problemaindicado es la siguiente:

Donde cada uno de los elementos se indican a continuación:

- La variable fundamental x del problema constituye las coordenadas espaciales de cadauno de los nodos de la estructura y es la variable a modificar en cada iteración,buscando la solución óptima. El vector x, será por tanto:

()

Siendo i, el índice del nodo i-ésimo de la estructura. El eje de coordenadas se indica en lafigura 2.5, para determinar correctamente la localización del chasis en el espacio. (Lafigura 2.5 representa un resultado de una iteración obtenida tras la ejecución delprograma, donde se representa el chasis modelado por elementos tipo barra):


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Figura 2.5 Ejes Coordenados

- La función a minimizar o función objetivo es el peso del conjunto, quedando definidaésta por:

∑∑

Donde:

M, es el conjunto de m barras que unen un nodo i con un nodo jN, es el conjunto de n nodos

, es la densidad del material, siendo éste acero de , es el área transversal de la barra que une el nodo i con el j, es la longitud de la barra que une el nodo i con el j- Las restricciones indicadas vienen divididas en restricciones lineales de igualdad, lineales

de desigualdad y no lineales, de desigualdad e igualdad. No todas ellas han sidoempleadas en este problema, indicándose a continuación la formulación empleada:

o Restricciones de simetría: el chasis debe ser un conjunto simétrico, respecto alplano longitudinal de la motocicleta y, por ello, es necesario incluir en el programauna restricción de igualdad de la forma siguiente:

-0.2-0.1

0 0.1

0.2

-0.50

0.5

10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x

y

z


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( ) ()

Donde los nodos i-ésimo y j-ésimo son simétricos y m es el número de barras de laestructura. Nótese que según los ejes seleccionados, con el plano xz coincidentecon el longitudinal de la motocicleta, se obtiene que la adición de las coordenadas x de dos nodos simétricos deben ser nula, mientras que la substracción de las

coordenadas y y z respectivamente deben ser nulas.o Restricciones de volumen, rigidez, tensionales y de frecuencias naturales: estas

restricciones se modelan mediante las restricciones de desigualdad quepertenecen al vector:

Estas restricciones son no lineales y, aunque posteriormente se detalla el métodode cálculo empleado, a continuación se indican únicamente la forma de lasmismas:

Volumen: Se ha ideado un método que permita evitar que los nodos seencuentren dentro de una determinada región esférica de radio conocido ycentro prefijado en las condiciones iniciales. Para ello, conocido el centro

de cada región esférica, se obtiene la distancia (d) de cadapunto al centro de la esfera como sigue:

Obtenida la distancia al centro, queda únicamente establecer la restriccióncomo:

Donde E es el conjunto de e esferas.

Nótese que todas las restricciones deben ser negativas para que seanverificadas, de tal forma que en este caso, si el nodo se encuentra fuera delradio de la esfera, , se cumple dicha restricción. Además, senormaliza cada una de las restricciones a la unidad, de forma que losdesplazamientos de cada una de las variables de diseño del problema no se


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vean afectados por diferencias en los órdenes de magnitud entre lasdiferentes restricciones.

Rigidez, tensiones y frecuencias naturales: Para obtener la rigidez del chasisbajo cada una de las hipótesis (de carga unidad) indicadas previamente, se

ha implementado el método matricial 3D que se indicará en apartadosposteriores. Este método permite obtener, para elementos tipo barra conseis grados de libertad, los desplazamientos, esfuerzos, frecuenciasnaturales y modos de vibración del chasis. Una vez obtenidos los resultadosdel método matricial implementado, es sencillo obtener la rigidez delmismo si se hace la inversa del máximo desplazamiento ante una cargaunidad en la pipa de la dirección, valor que se comprueba con los valoresmínimos como sigue:

Donde H es el conjunto de h hipótesis para el cálculo de la rigidez.

En el caso de las tensiones, una vez obtenidos los esfuerzos en los extremosdel elemento, se obtienen los diagramas de esfuerzos del mismo y se

pueden obtener las tensiones sencillamente, mediante el criterio de VonMises. Para una sección determinada, se consideran las tensiones debidasal cortante, momento flector, axil y momento torsor. Para no despreciar enningún caso posibles esfuerzos cortantes importantes, se evalúa en cadacaso el estado tensional en cuatro puntos de la sección transversal, es decir,el punto de máximo flector y el punto de máximo cortante, tanto positivoscomo negativos. Para un sistema de cargas y tensiones como el de la figura2.6, se pueden obtener las tensiones como sigue:


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Figura 2.6 Tensiones en la sección

Las ecuaciones que describen el estado tensional de cada una de lassecciones (de diámetro d, área A,momento de inercia I, y momento polarde inercia J), en primer lugar para el caso general, son las siguientes:

Axial

Cortante:

Flector

Torsor

Siendo la tensión equivalente la indicada por el criterio de Von Mises:

Donde la tensión es la tensión obtenida de la suma (con sucorrespondiente signo) de las tensiones normales provocadas por el axil y elmomento flector. De la misma manera, es la adición (con sucorrespondiente signo) de la tensión tangencial provocada por el torsor y laprovocada por el cortante. Se debe tener en cuenta para esta expresiónque en este caso una de las tres tensiones principales es siempre nula, porlo que se puede sustituir la expresión general por la indicada.


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Realizando la particularización para cada uno de los puntos de la sección:

Punto 1

Punto 2

Punto 3

Punto 4


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Este estado tensional se evalúa únicamente en los extremos de las barras,al ser el diagrama de momento flectores de cada una de ellas con unaforma genérica como la indicada en la figura 2.7, al no tener esfuerzos debarra (no existen cargas puntuales en la longitud de ninguna de las barras niexisten cargas uniformemente repartidas) y estar biempotrada en susextremos:

Figura 2.7. Diagrama de momentos de una barra genérica

Finalmente, se obtiene la restricción debida a las tensiones (añadida alvector C anteriormente obtenido para el volumen y la rigidez) de la formaque sigue:

Para el cálculo de las frecuencias naturales se procede de igual forma queen los casos anteriores, siendo las restricciones obtenidas de la forma:

- Existen otro tipo de restricciones que hacen que los nodos no se crucen en el plano

longitudinal de la motocicleta y, además, no se excedan los límites de volumenanteriormente indicados. Estos límites vienen indicados como sigue:

̃ ̃

Siendo , las restricciones a nivel inferior para la coordenada x, definidas como sigue:


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Siendo las restricciones de y y z irrelevantes para el evitar que se crucen los nodos en el

plano longitudinal, por tanto, toman el valor del punto más negativo para la coordenaday y el valor nulo para la coordenada z.

Las restricciones a nivel superior serán tales que el chasis no adquiera unas dimensionesdesmesuradas. Para no realizar un mapeado de cada uno de los nodos y no estableceruna condición dependiente de la posición del nodo, se fija un límite superior en lalongitud del chasis para la coordenada y, es decir, 0,8 m. Para las coordenadas x y z, sefija el límite en la altura de la pipa de la dirección, es decir: 0,4 m.

Una vez definidas las bases del programa matemático para la optimización del problema, sepasa a definir detalladamente el modelo estructural empleado para el cálculo matricial.

El algoritmo empleado para realizar la búsqueda de la solución óptima del problema se tratade una función fmincon implementada en el programa de cálculo matemático Matlab . Estafunción trata de encontrar el mínimo de una función escalar de varias variables partiendo deuna estimación inicial para un problema con restricciones. Generalmente estos problemas son

denominados como: problemas de optimización no lineal con restricciones.

La función trabaja con distintos tipos de restricciones: lineales y no lineales; siendo las linealesindicadas al comienzo del apartado de tipo matricial, mientras que las no lineales deben serreferenciadas a funciones que dependan de las variables del problema. Dentro de la citadafunción fmincon se tienen diferentes algoritmos que se diferencian entre sí según la forma enla que manejen el Hessiano (matriz con las derivadas segundas del Lagrangiano) de la funciónobjetivo, las restricciones de desigualdad e igualdad. Concretamente, el algoritmo que haproporcionado buenos resultados en este proyecto se trata del conocido como Interior Point ,el cual trata de resolver el problema mediante la solución de una serie de problemas de

minimización aproximados, de tal forma que se transforman los problemas con restriccionesde desigualdad en una secuencia de problemas con restricciones de igualdad. El algoritmo seaproxima al mínimo resolviendo los problemas aproximados mediante dos pasos diferentes encada iteración: paso directo, realizando un aproximación lineal del problema, o paso medianteel gradiente conjugado , el cual trata de realizar una aproximación cuadrática del problema enuna región determinada por las restricciones lineales del problema. En líneas generales, elalgoritmo decide hacia donde continuar mediante la minimización de la norma de lasrestricciones linealizadas (o aproximadas) en una región con radio R. El tamaño del paso vieneindicado mediante la resolución de un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son losincrementos en las variables básicas del problema y las holguras, siendo éstas inversamenteproporcionales al Hessiano de las funciones indicadas anteriormente.


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2.2.1 Método matricial 3D

2.2.1.1 Definición del elemento

La implementación del método matricial 3D (obtenido del libro: “Calculo Matricial de

Estructuras de 1° y 2° Orden- Teoría y Problemas, 1° ED. - Ramón Arguelles Álvarez) conlleva ladefinición previa del tipo de elemento a emplear en el cálculo. Se considera un elemento viga3D con seis grados de libertad en cada extremo que cuenta con la formulación indicada en laFigura 2.8, en ejes principales de barra:

Figura 2.8 Esfuerzos y desplazamientos locales

Como se observa en la figura se tienen seis grados de libertad en cada uno de los nodos.Independientemente de la figura mostrada, la notación empleada, la cual se considera máspráctica y fácil de entender, es la siguiente:

, desplazamiento generalizado del nodo a de la barra ab, referido a los ejes principales

de la sección. Sus componentes son las siguientes:


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2.2.1.2 Ecuaciones y matrices de rigidez

Para establecer la relación entre desplazamientos y esfuerzos de barra en la notación indicaday, teniendo en cuenta que no existen cargas de barra y, por tanto, las reacciones de barra sepueden obviar, resulta:

{}{} [ ] [ ][ ] [ ]{}{} {}{} Donde, como se indica, las reacciones de barra son nulas:

{}{}

Las submatrices de rigidez indicadas son las siguientes:

[ ]( )

[ ]( )

[ ]

[ ] Donde se tiene que los coeficientes indicados son:


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, coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra conrelación al eje principal . Dado que en este caso, las barras se consideran biempotradas,todos los coeficientes toman el valor de la unidad.

, coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra conrelación al eje principal . Al igual que en el caso anterior, al tener barras biempotradas entoda la estructura, los coeficientes se consideran de valor unidad.

Una vez definida la estructura del cálculo matricial en coordenadas locales, se pasa al modelode la estructura en coordenadas globales, haciendo el correspondiente ensamblaje de lasmatrices. Bien es sabido que una carga sobre la estructura provoca una serie dedesplazamientos globales en cada uno de los nodos de la misma, los cuales tienen unaformulación:

( )

Y que se relacionan con las cargas en los nodos (que incluye las ligaduras libres y las reaccionesen las ligaduras impedidas que inicialmente son desconocidas) mediante la siguienteexpresión:

*+,-*+ Donde:

P, es el vector de cargas de nodos que incluye las ligaduras anteriormente indicadas

K, matriz completa de rigidez que representa el número de ecuaciones del sistema y, portanto, el número de filas y columnas de la matriz de rigidez completa. El número deecuaciones será 6 x número de nodos

, vector desplazamientos de nodos. Se conocen los desplazamientos asociados a losgrados de libertad impedidos (coacciones) y desconocidos los desplazamientos de losgrados de libertad libres.

Este sistema de ecuaciones es fácilmente resoluble al poder reducir la matriz de rigidez en

coordenadas globales al considerar únicamente los desplazamientos no nulos (y las filas de lamatriz de rigidez asociados a ellos) y obteniéndolos de la forma:


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*+ ,- *+ Nótese que los desplazamientos nulos están asociados a las reacciones, por lo que en estaecuación no se incluyen las mismas en*+. Obtenidos los desplazamientos desconocidos,se establece de nuevo la ecuación general y se obtienen los valores de las reacciones como:

*+*+*+ Donde*+ es el vector de cargas externas.2.2.1.3 Ecuaciones y matrices de cambio de base

A continuación se pasa a definir el conjunto de matrices de cambio de base. De forma general,existirán cambios de base de coordenadas globales del sistema a coordenadas locales de lasbarras. Posteriormente, para obtener los esfuerzos en ejes principales de barra (planosprincipales de inercia) se debe convertir a este último sistema, pero dado que nos

encontramos con un sistema de barras de sección transversal circular hueca, no existen planosprincipales generales, por lo que los ejes principales de barra coinciden con los locales. Noobstante, para poder mantener la generalidad del programa para cualquier tipo de estructura,se pasará a describir e implementar el sistema de matrices para poder realizar el cambio debase y que éste sea independiente del elemento seleccionado. Se ha de notar que este sistemade coordenadas locales se emplea para evitar utilizar los cosenos directores y hacer mássencillamente el cambio de base en dos etapas.

En la figura 2.8 se muestran los sistemas de coordenadas globales y locales de barra:

Como se observa, los ejes locales están únicamente asociados al eje axial de la barra. Serepresentan por x aux , y aux y zaux y son determinados automáticamente: el eje local x aux es el ejeaxial de la barra en el nodo de menor numeración (nodo a), el eje local y aux es el ejeperpendicular al plano definido por el eje global Z y el eje x aux . Finalmente, el eje local zaux es eleje perpendicular a los dos anteriores. Con esto, se define la matriz de cambio de base de ejesgenerales a ejes locales de barra como sigue:

√ Donde

y son las coordenadas de los nodos a y b de una barra de longitud

:

( )


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( )

Donde convierte los desplazamientos globales en el nodo de menor numeración deuna barra ab (nodo a) a desplazamientos locales. La matriz realiza la misma operaciónpero para el nodo de mayor numeración, es decir, el nodo b.

Por tanto, para obtener los desplazamientos y esfuerzos locales en función del desplazamientoglobal, se tienen las siguientes ecuaciones:

Para cambiar de ejes locales a globales, se utilizan las matrices traspuestas, ya que las matricesde cambio de base son ortogonales e unitarias:

Finalmente, si el eje auxiliar x aux es paralelo al eje global Z, el eje y aux queda indefinido, por loque deberá establecerse algún método para determinarlo. En este caso, el eje local y aux

coincidirá con el eje global Y , siendo la matriz de cambio de base de la forma que sigue, encaso de coincidir el eje x con el sentido positivo del eje Z :

( )

Y de la siguiente forma en caso de que coincida con el sentido negativo del mismo:

( )

Para finalizar la definición de las matrices de cambio de base, se pasa a definir el cambiorealizado entre ejes locales de barra y ejes principales de la misma. Para ello, se realiza unarotación respecto al eje x aux , con un valor del ángulo que se denominará como β , medido en elnodo a desde el eje local y aux al eje principal de la sección y p y en sentido antihorario. Esto se

representa en la figura 2.10:


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Figura 2.10 Cambio de ejes locales a principales de barra.

Para determinar el ángulo β , se deben determinar previamente los cosenos directores del eje

y p en el nodo menor mediante las ecuaciones siguientes:

si el eje local x aux no es paralelo al ejeglobal Z

si el eje local x aux es paralelo al eje global Z

Por tanto, las matrices para cada uno de los nodos quedan definidas como:

( )

Finalmente, para convertir los esfuerzos y desplazamientos en ejes principales a locales:

Para cambiar de ejes principales de barra a ejes auxiliares se utilizan las matrices traspuestas:


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Finalmente, para concluir la definición matemática del problema, se retoma la formulaciónindicada al comienzo:

{}{}

[ ] [ ][ ] [ ]

{}{}

Desarrollando la expresión y aplicando las transformaciones indicadas, se tiene:

Por tanto, queda fácilmente identificado el sistema matricial:

*+*+ *+*+ Donde:

Una vez definido el método de generación de las matrices, queda únicamente definir la matrizglobal a través del bien conocido método de ensamblaje, completamente análogo al de 2D,pero con submatrices de 3x3 en lugar de 2x2. Posteriormente se simplifica el sistema como seindicaba previamente y se obtienen las matrices reducidas, que permitirán obtener lasincógnitas de desplazamientos y reacciones, quedando cerrado el problemamatemáticamente.

Con la implementación del método matricial 3D se pueden obtener eficientemente las

matrices de rigidez de la estructura completa, con la que se pueden obtener tanto esfuerzoscomo deformaciones y, por tanto, evaluar los valores de los esfuerzos locales mediante las


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transformaciones anteriormente citadas. Con estos esfuerzos y desplazamientos, se puedenobtener, respectivamente, las tensiones (según el método indicado anteriormente) para cadauna de las barras y las deformaciones, obteniendo por tanto la rigidez de la estructura al hacerla inversa del máximo desplazamiento. Quedan por tanto, definidas las restriccionesconcernientes a rigidez, tensiones y volumen.

2.2.1.4 Ecuaciones y matrices de masa

A continuación, se hará la descripción de la implementación del análisis modal de laestructura. Para ello, es necesario previamente obtener la matriz de masa, del mismo tamañoque la matriz de rigidez global, (obtenida del libro: “Theory of Matrix Structural Analysis”, J.S.Przemieniecki ) y posteriormente obtener los modos y frecuencias de vibración del sistemaformado por la ecuación diferencial de segundo orden y homogénea:

,- ̈,-

Donde [M] es la matriz global de masa del sistema y [K] es la matriz global de rigidez. El vector representa cada una de los grados de libertad del sistema, es decir, cada uno de los

desplazamientos y rotaciones presentes en los nodos de la estructura.

Para obtener la matriz de masa global, se debe hacer el análisis dinámico de cada uno de loselementos, para posteriormente realizar el ensamblaje de cada una de las matrices de masaelementales obtenidas previamente.

Para poder realizar este procedimiento, se deben hacer consideraciones particulares como quecada elemento es susceptible de ser representado por desplazamientos estáticos. Dado que se

va a tratar el problema desde un punto de vista computacional, es preferible calcular lasmatrices de masa de elementos desacoplados en coordenadas locales y, posteriormente,realizar la transformación de estas matrices al sistema global de referencia para la estructuraensamblada. De forma general, la matriz de masa de un elemento se calcula mediante laexpresión:

∫ Donde la matriz se refiere a todos los desplazamientos nodales en coordenadas locales. Tal y

como se ha indicado anteriormente, los desplazamientos locales y los globales estánrelacionados mediante la expresión:

Donde ya han sido analizadas las correspondientes matrices de cambio de base. Si se realiza laderivada de segundo orden de ambos términos, resulta evidente:

̈ ̈ Ahora bien, es necesario aplicar el principio de trabajos virtuales para las fuerzas de inercia, de

forma que de ahora en adelante se cambiará la notación hasta ahora empleada para mantener


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la notación clásica del principio de trabajos virtuales. Por esto, se considera que el vector degrados de libertad nodales en coordenadas locales pasa a denominarse:

Y el vector en coordenadas globales pasa a ser:

̅ Por esto, que indicando de nuevo las expresiones anteriores:

̅ ̈ ̅ ̈

De esta forma, se puede formular mediante la nomenclatura clásica el principio de trabajosvirtuales mediante un desplazamiento virtual:

̅

Y como el trabajo virtual de las fuerzas de inercia debe ser independiente del sistema dereferencia, se debe cumplir:

̅ ̅ ̈ ̈ Esto quiere decir que tanto en el sistema de referencia local (coordenadas como en elglobal (coordenadas ̅) las fuerzas de inercia , ̈ ̅ ̈- obtenidas a partir delprincipio de d’Alembert deben realizar un trabajo virtual

, ̈- que sea

idéntico en ambos casos. Nótese que es la matriz de masa en coordenadas locales y es lamatriz de masa en coordenadas globales.

Por tanto, si combinamos las expresiones anteriores, se obtiene:

̅ ̅ ̈ De donde, al tener que ̅ y ̅ ̈ son arbitrarios, se deduce que:

Por lo que se obtiene la misma transformación que en las matrices de rigidez anteriormenterepresentadas, es decir:

,- ̅ ,-

Finalmente, se pueden combinar estas expresiones con la integral inicial para obtener la matrizde masa de un elemento, para llegar a la transformación generalmente conocida que resulta(en las coordenadas inicialmente presentadas):

∫


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Por tanto, se tiene que:

∫ Expresión que representa la matriz de masa global en función de los desplazamientos globalesde la estructura.

Una vez obtenida esta matriz, se debe realizar la matriz de masa global para la matrizcompleta, realizando el ensamblaje de los diferentes elementos. Este procedimiento escompletamente análogo al de la matriz de rigidez completa de la estructura en coordenadasglobales.

Se debe tener en cuenta una consideración importante en este apartado: para determinar lamatriz de rigidez fueron consideradas fuerzas externas aplicadas en los nodos (por lo que lasreacciones de barra eran nulas). En el caso de la matriz de masa, se deben considerar fuerzasde inercia aplicadas en la estructura ensamblada, es decir, que en caso de contar con masasconcentradas, se deberán tener en cuenta en la matriz global de masa, de forma que:

Donde representa las masas concentradas y M es la matriz completa de masa, encoordenadas globales y considerando las masas concentradas. En este caso particular, no setienen en cuentan las masas concentradas, dada la dificultad de cuantificar las mismas a priori.Entiéndase que estas masas concentradas pueden ser los elementos auxiliares comorodamientos, motor, suspensión y demás elementos que serán soportados por el chasis de la

motocicleta y que, debido a su gran variedad y complejidad geométrica, no son consideradosen el análisis inicial. De cualquier modo, este análisis deberá ser verificado posteriormentemediante un método computacional más complejo, tal como un análisis mediante elementosfinitos tridimensionales e, incluso, un análisis modal experimental, ya que al no considerar lasmasas concentradas no nos encontramos del lado de la seguridad.

A continuación se pasa a describir detalladamente la matriz de masa seleccionada para laobtención de las frecuencias naturales y los modos de vibración de la estructura. Como se hacitado anteriormente, se realizará el análisis de la misma en coordenadas locales, paraposteriormente pasar al ensamblaje global de la estructura. Los doce grados de libertad

considerados tienen la notación y son representados en la figura 2.11:

* + Los cuales se relacionan mediante la matriz de funciones de forma a con los desplazamientosde forma:


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Figura 2.11 Grados de libertad del elemento

Por tanto, la matriz de funciones de forma resulta ser:

( )

Donde las coordenadas adimensionales para una longitud l del elemento son:

En las figuras siguientes (2.12, 2.13 y 2.14) se representan algunos de los modos de vibraciónque anteriormente se han indicado en :


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Figura 2.12 Cuarto Modo de vibración

Figura 2.13 Quinto modo de vibración

00.2

0.40.6

0.81

-0.4-0.3

-0.2-0.1

0-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

(Axial) (Flexión Horizontal)

(

F l e x

i ó n

V e r t

i c a

l )

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.50

0.51

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0


(

F l e x

i ó n

V e r t

i c a

l )


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Figura 2.15 Noveno modo de vibración

Se puede realizar la integración a lo largo del volumen del elemento de tal forma que:

∫ ∭ Por tanto, la matriz completa del elemento, siendo esta de 12x12, resulta ser la combinaciónde cuatro submatrices de 6x6, tal y como se indicó previamente en el desarrollo de la matrizde rigidez:

[ ] [ ][ ] [ ]

-0.5

0

0.51

-1-0.5

00.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1


(

F l e x

i ó n

V e r t

i c a

l )


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(

)

(

)

(

)

(

)


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Donde, al igual que en el caso de la matriz de rigidez, se tienen en cuenta los momentos deinercia de la sección transversal e , así como el momento de inercia polar J.

Una vez obtenida la matriz de masa del problema, se pueden obtener los modos y frecuenciasde vibración del sistema a partir de la ecuación diferencial de segundo orden y homogénea

anteriormente indicada:

̈ Como se conoce la relación entre la aceleración y el desplazamiento:

̈

Se tiene por tanto que resolver el problema de autovalores y autovectores definido por:

Por tanto, se puede escribir como:

De donde se sabe que las frecuencias naturales al cuadrado son los autovalores de la matriz y que el autovector del correspondiente autovalor es el modo de vibración del sistema.

Se debe tener en cuenta que la estructura a calcular se encuentra restringida debido a unaserie de apoyos. Por este motivo, la matriz de masa y la matriz de rigidez no serán las mismasque la general, ya que se deben eliminar ciertos grados de libertad. Éstas quedaránrepresentadas como sigue:

̈

Es importante hacer esta distinción, ya que la motocicleta, bajo ninguna situación se va aencontrar sometida a una vibración libre sin restricciones. La diferencia entre los tresdiferentes tipos de vibraciones a los que puede verse sometida se representan en la figura2.16, para el caso de vibración libre, vibración estáticamente restringida (isostático) y vibraciónhiperestáticamente restringida:


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Figura 2.16 Vibraciones libres (a), isostáticas (b) e hiperestáticas (c)

Para la obtención de los modos y frecuencias naturales de vibración, se realiza la mismaoperación de eliminación de filas y columnas que se realiza en la obtención de la matriz derigidez reducida en el método matricial, previo a la resolución del sistema para obtener lasreacciones y los desplazamientos de los nodos no restringidos.

Finalmente, el análisis se ha realizado bajo la suposición de ausencia de amortiguamientoestructural, lo cual se considera más conservador.


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2.2.2 Descripción del programa

Una vez realizada la descripción de las bases teóricas del modelo, se pasará a describir elprograma realizado en Matlab. Este programa cuenta con la integración de todos los métodosanteriormente indicados, además de funciones auxiliares que facilitan la programación y la

implementación de los procedimientos. Además, se incluyen una serie de elementos decomprobación de la bondad del método, que se describirán posteriormente. La estructurafundamental del programa se indica en las figuras del Anexo II.

De cara a realizar la comprobación de los resultados, se ha implementado la optimización devigas discretizadas con los mismos elementos que componen la estructura del chasis. La figura2.17 representa la estructura citada:

Figura 2.17 Estructura de prueba

Esta estructura se puede encontrar soportada en sus extremos de tres formas diferentes:biapoyada, biempotrada o en voladizo. De cara a comprobar la bondad, en primer lugar, delprograma creado según los principios anteriormente indicados, se realiza el cálculo de los tres,sometiendo la viga a una carga centrada en el caso de la biapoyada y biempotrada; y a unacarga en el extremo en el caso de la viga en voladizo.

Dado que se trata de una estructura reticulada, el cálculo teórico para la comprobación sehace más complicado de hacer manualmente, por lo que, para poder comprobar que elmétodo está bien implementado, la viga se reducirá a una línea discretizada en varios nodoslongitudinalmente. Este cálculo es fácilmente comprobable con la teoría de la resistencia demateriales.

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.50

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

xy

z


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La sección transversal se trata de una sección circular hueca de las siguientes características:

El material será acero como el estructural empleado para el chasis, la longitud será 1m y lacarga en el extremo de 100N.

Para una discretización longitudinal en 9 nodos, se obtiene la figura 2.17:

Figura 2.17 Discretización en 9 nodos

El valor de la máxima deflexión en el extremo para este caso será:

Siendo el giro en esta sección de un valor:

Para obtener un análisis de convergencia adecuado, se realiza este mismo ensayo con máselementos:

Elementos/longitud 9 21 41 101 201Desplazamiento

(m)

Giro (rad) 1ª Frec. Nat. (rpm)

00.2

0.40.6

0.8 1

-1

-0.5

00.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

Deformada x 10 veces

y

z


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El resultado teórico para este caso, resulta ser el siguiente:

Donde

:

En el caso de la viga biapoyada, se tiene lo representado en la figura 2.18:

Figura 2.18 Viga biapoyada

Para este caso, se hace el mismo análisis de convergencia que en el caso anterior y se obtiene:

Elementos/long 9 21 41 101 201Desplazamiento

(m)

Giro central(rad)

1ª Frec. Nat.(rpm)

El valor de la máxima deflexión en el centro de la sección para este caso donde n=2 se trata de:

00.2

0.40.6

0.81

-1-0.5

0

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z


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, - Finalmente, para comprobar el caso de la viga biempotrada, se realiza el ensayo de igualmanera, resultando la geometría indicada en la figura 2.19:

Figura 2.19 Viga biempotrada

Elementos/long

9 21 41 101 201

Desplaz. (m) Giro central

(rad)

1ª Frec. Nat.(rpm)

Donde se observa una convergencia en todo caso, siendo los desplazamientos teóricoscoincidentes a los desplazamientos de las vigas discretizadas. Al observarse una convergenciaen todos los casos, se acepta la bondad del modelo y se utiliza para la representación de laestructura.

A continuación se probará el programa de minimización con restricciones, para comprobar si elmismo funciona adecuadamente. Para ello, se plantearán distintas situaciones de carga en lasque se solicitará al programa la realización de la optimización de las vigas en diferentessituaciones de carga, tratando de, como se comentó anteriormente, minimizar el peso total dela estructura.

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.50

0.51

-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z


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Se comienza por el caso de la viga biapoyada sometida a una carga vertical en el centro de lamisma. Las premisas son minimizar el peso únicamente teniendo en cuenta un criteriotensional y de rigidez, es decir, las tensiones, las menores posibles y la rigidez lo mayor posible.El resultado de la función objetivo tras varias iteraciones es la representada en la figura 2.20:

Figura 2.20 Optimización de una viga biapoyada

0 2 4 6 8 10 12 141600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

Iteration

F u n c t

i o n v a

l u e

Current Function Value: 1682.56


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Siendo el resultado de la optimización el representado en la figura 2.21:

Figura 2.21 Optimización de una viga biapoyada

Si se observa más detenidamente la estructura en la figura 2.22:

Figura 2.22 Detalle de la optimización

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

z


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Se observa que el programa ha reducido al máximo la sección transversal de la viga y hamantenido el plano de mayor inercia (plano horizontal) con una dimensión suficiente para quela flexión en el plano vertical no provoque una deformación excesiva. Además, se observa quee la estructura se ha rebajado en la zona intermedia, asemejándose al alma de los perfiles en I,que son bien conocidos por aprovechamiento del material a flexión y son ampliamenteutilizados.

A continuación se analiza la viga en voladizo, bajo las mismas indicaciones que en el casoanterior, se tiene el conjunto de datos representados en la figura 2.23-2.24:

Figura 2.23 Iteración de la viga en voladizo

0 5 10 15 201000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

Iteration number

f v a

l


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Figura 2.24 Viga en voladizo optimizada

Se observa que en la geometría general se ha disminuido al máximo la sección en la zona en laque no es necesaria debido a criterio tensional, pero que por otra parte, se ha mantenido lainercia como en el caso anterior, es decir, se ha reducido la misma en el plano vertical para

mantenerla en un número adecuado en el plano horizontal. Tal y como se observa en la figura,se ha degenerado en una estructura de espiga, ya que la tensión en el extremo es mínimateóricamente. Finalmente, en la zona de transición se observa la geometría de la misma comoun perfil en I, es decir, los nodos interiores se “juntan” mientras que los exteriores semantienen a cierta distancia para dotar de mayor inercia en dicho a la sección (figura 2.25)

Figura 2.25 Detalle de la viga en voladizo.

00.2

0.40.6

0.81

-1-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

z


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A continuación se analiza la viga biempotrada, en este caso con un mayor número de nodos, setienen los resultados siguientes, representados en la figura 2.26:

Figura 2.26 Iteración de la viga biempotrada

Es interesante también hacer la comparación entre los resultados obtenidos para la vigabiempotrada y la viga biapoyada. Para este último caso se obtuvo un peso final, tras 14iteraciones de valor superior a 1700kg. En el caso de la viga biempotrada, al contar con unamayor rigidez en los apoyos al estar impedido el giro, el peso de la misma se puede disminuirmás, ya que parece ser que el criterio de búsqueda prima en cierto modo la rigidez por encimade las tensiones. Los resultados geométricos son representados en la figura 2.27 y 2.28, dondese observa la máxima deformada del primer modo de vibración de la geometría:

0 5 10 15 20 25 30 351600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

Iteration

F u n c

t i o n v a

l u e



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Figura 2.27 Viga biempotrada

Figura 2.28 Representación deformada e indeformada de la viga biempotrada optimizada

0

0.5

1

-1

0

1-1

-0.5

0

0.5

1

x


y

z

00.2

0.40.6

0.81

-1

-0.50

0.51-1

-0.5

0

0.5

1

x

Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 51080.1202rpm

y

z


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Figura 2.29 Detalles de la iteración de la viga biempotrada

Es interesante de nuevo analizar estos detalles: al igual que ocurría con los dos casos

anteriores, la viga biempotrada es optimizada de forma que la sección en los apoyos sea lomayor posible y así compensar las tensiones debidas al empotramiento. Dado que la rigidez


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parece no ser un criterio decisivo en la geometría general del conjunto, es decir, la restricciónse ve satisfecha con holgura, la sección en la zona intermedia se ve reducida al plano de mayorinercia y mantiene las premisas anteriormente indicadas.


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Figura 2.31b Geometría del chasis de 4 nodos

Figura 2.31c Geometría lateral del chasis de 4 nodos

Figura 2.31d Solución de 4 nodos con deformada

-0.100.10.20.30.40.50.60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x


z

-0.2

0

0.2

-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

xy


z


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Esta configuración es la que menor peso tiene de todas, pero no cumple con las restriccionesde rigidez que se le solicitan, ya que el vector resultado de las restricciones no lineales derigidez es (deberían ser todos negativos):

En cuanto a la configuración de 6 nodos, la solución es satisfactoria en todos los sentidos yaque en comparación con la de 4 nodos, tiene un mayor peso, pero cumple con las restriccionesde rigidez, mientras que en comparación con la estructura de 8 nodos, se tiene un peorcomportamiento mecánico (aunque satisfactorio) pero con un menor peso. Los resultados deambos casos se encuentran representados a continuación, observándose los valores de laprimera frecuencia naturales para ambas configuraciones. Comenzando por el caso de seisnodos:

Figura 2.32a Iteración en 6 nodos

0 0.5 1 1.5 27.1

7.12

7.14

7.16

7.18

7.2

7.22

7.24

Iteration

F u n c

t i o n v a

l u e



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Figura 2.32b Geometría general de 6 nodos con deformada

Figura 2.32c Geometría general de 6 nodos con deformada II

-0.2-0.1

00.1

0.2

-0.20

0.20.4

0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x


y

z

-0.20

0.2

-0.200.20.4

0.60

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x


y

z


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Figura 2.32d Primer modo de vibración de 6 nodos

En cuanto al caso de 8 nodos:

Figura 2.33a Iteración con 8 nodos

-0.2-0.1

00.1

0.2

-0.2

0

0.20.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x


y

z

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 47.84

7.85

7.86

7.87

7.88

7.89

7.9

7.91

7.92

7.93

7.94

Iteration

F u n c

t i o n v a

l u e



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Figura 2.33b Geometría general del chasis de 8 nodos

Figura 2.33c Geometría lateral del chasis de 8 nodos

En ambos casos se observa un buen comportamiento de la estructura, estando lasrestricciones satisfechas en ambos casos. Dado que el peso de la estructura de 6 nodos es

-0.2-0.1

00.1

0.2

-0.20

0.20.4

0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x


y

z

-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

x


y

z


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menor al de la estructura de 8, se considera que este caso es más satisfactorio, de forma quela solución definitiva de los nodos móviles es:

( )

Finalmente, de cara a detallar y comparar los resultados de la solución obtenida con el modeloen Matlab, con el modelo realizado en Ansys, se indican las diez primeras frecuencias naturalessiendo el primer modo de vibración de flexión lateral, representado en las figuras 2.32.


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Capítulo III: Modelización ysimulación:Una vez obtenida una solución óptima en función de los requerimientos citados, se pasa amodelar el conjunto en un programa que permita realizar un cálculo de los elementos delchasis de una forma más precisa. Para ello se pasará a realizar el cálculo según el método delos elementos finitos, empleando software disponible en el Dpto. de Ingeniería Mecánica de laESI de la Universidad de Sevilla. La modelización del mismo se representa en la figura 3.1,incluyendo ciertos elementos auxiliares como la suspensión, detalle del cuello de la dirección,y cogidas del motor:

Figura 3.1a Renderizado del chasis I


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Figura 3.1b Rendezizado lateral del chasis

Figura 3.1c Renderizado del conjunto

Se debe, a continuación, establecer la misma relación de comprobaciones que en las realizadasen el caso anterior. Para ello, se comienza realizando la comprobación a rigidez del conjunto

en un modelo más sencillo que el 3D.


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Para la comprobación general de que la estructura es suficientemente rígida, se realizará unmodelo de elementos finitos tipo barra (BEAM) de tal forma que se pueda determinarrápidamente la bondad de la estructura. Posteriormente, en base al modelo en 3D del chasis,se comprobarán las hipótesis de tensiones y frecuencias naturales, quedando comprobadas lasde integración con el resto de elementos en el modelado del conjunto.

Se comienza por tanto con la generación de la estructura lineal en un programa de cálculo porelementos finitos. La estructura obtenida en el modelo de Matlab se exporta a éste y serealizan comprobaciones de rigidez, tensiones y frecuencias naturales. Se hará para todos loscasos un análisis de la malla, es decir, se comprobará la convergencia de la misma paraasegurar el buen comportamiento del modelo.

Para el primer caso, se cuenta con una discretización de la barra en 8 tramos circunferenciales,siendo este primer modelo el indicado en la figura 3.2:

Figura 3.2a Elementos con 8 divisiones

3.1 Cálculo a rigidez:

Se indican a continuación los gráficos obtenidos del programa de elementos finitos paraposteriormente, una vez obtenidos todos los análisis de convergencia de la malla,representarlos en la tabla correspondiente que se encuentra al final de este apartado. Paraello se aplica una carga de valor unidad en el cuello de la dirección, de forma que se obtenga

un desplazamiento que, al hacer su inversa, nos proporcione la rigidez del conjunto en cadaeje, es decir, rigidez lateral, vertical y torsional.


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Figura 3.2b Cálculo de la rigidez lateral

Figura 3.2c Cálculo de la rigidez vertical


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Figura 3.2d Cálculo de la rigidez torsional



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Figura 3.3b Cálculo de la Rigidez lateral

Figura 3.3c Cálculo de la Rigidez vertical


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Figura3.3d Cálculo de la rigidez torsional



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Figura 3.4b Cálculo a rigidez lateral

Figura 3.4c Cálculo a rigidez vertical


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Figura 3.4d Cálculo de la rigidez torsional

Se observa que el mallado de la estructura es satisfactorio desde el mallado más grueso (quecuenta con 8 elementos en cada circunferencia, es decir, la barra está dividida en 8 tramos deigual arco) hasta el mallado más fino, con 32 elementos que discretizan circunferencialmenteel tubo.

Número de elementos Desplazamiento lateral(mm)

Desplazamientovertical (mm)

Desplazamientotorsional (mm)

8 16 32

Se aceptan por tanto los resultados del modelo como válidos, aunque se hace notar losiguiente: las rigideces obtenidas en este caso son mucho mayores respecto al caso anterior yaque las barras han cambiado su diámetro. En el modelo generado en matlab, las barras son de25x2mm, mientras que, tras el análisis tensional del modelo 3D se obtienen tensiones debido aconcentradores de tensión inadmisibles, debiéndose cambiar en ciertas zonas el diámetro delas barras para poder salvar este inconveniente. De cualquier modo, la geometría empleada enel cálculo de este modelo es la misma que la obtenida mediante el programa de matlab.


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3.2 Cálculo de las frecuencias naturales

Dado que la resolución del modelo de líneas no revela los concentradores de tensiones, eneste caso se realiza únicamente el análisis adicional de las frecuencias naturales de vibración,dejando el análisis tensional para el modelo en tres dimensiones del conjunto. Para ello, se

emplea el mismo programa de elementos finitos y se obtienen, para el caso de máximonúmero de elementos en cada barra:

( ) ( )

Se observa que las frecuencias son parecidas a las obtenidas al método programado enmatlab, aunque no iguales debido a la variación de las secciones de las barras. Para comprobarla bondad del método programado en matlab, se propone el mismo cálculo con las mismassecciones, donde se obtiene, a título de comprobación y mera comparación de resultados delas frecuencias lo siguiente:

( ) ( )

( )

Donde se observan dos circunstancias. En primer lugar y dada la modelización del elementotipo barra del modelo matricial, existen ciertas discrepancias entre los valores de lasfrecuencias naturales y aunque no es de un orden de magnitud, el error es considerable y el

modelo de matlab resulta incompleto en este sentido. Por otra parte, la formulación delelemento parece ser adecuada para capturar los diferentes modos de vibración presentes, en


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cuanto a número de grados de libertad se refiere, aunque cabe plantearse que la no divisióndel elemento en diversos tramos sea muy adecuada. Si se realiza una comparativa entre elprimer modo obtenido en cada uno de los programas, se observa que el primer modo devibración es el semejante en ambos, obteniendo únicamente discrepancias en las frecuenciasnaturales:

Figura 3.5a Obtención del primer modo de vibración mediante el modelo de matlab

-0.2-0.1

00.1

0.2

-0.2

0

0.2

0.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x


y

z


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Figura 3.5b Obtención del primer modo de vibración mediante el modelo de MEF


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3.3 Cálculo tensional

En este apartado se hará el estudio tensional del modelo anteriormente dimensionado, deacuerdo a las cargas presentes en el mismo. Para ello, se recuerda brevemente que sesometerá al conjunto a cuatro hipótesis de carga, cada una de las cuales se indicarán a

continuación: frenada, curva, suspensión y potro de ensayo. Las propiedades del material serecuerdan a continuación:

- Límite elástico medio: 48 kg/mm2 - Resistencia a la rotura: 70 - 80 kg/mm2 - Módulo de Young: 210 GPa- Coeficiente de Poisson: 0,33- Módulo elástico transversal: 81 GPa

La geometría definitiva del chasis no varía de la obtenida del cálculo mediante el modelo de

Matlab, aunque sí se han hecho algunas modificaciones en el diámetro de algunas de lasbarras del mismo, aumentando éstas hasta los valores indicados en los planos. Además se hanrealizado modificaciones en las sujeciones de los elementos, como la suspensión trasera y elmotor, detalles de las cuales se representan en los planos. El modelo de elementos finitostiene una gran cantidad de elementos que dificultan el cálculo con una geometría complejaque incluya los redondeos correspondientes en las soldaduras de los materiales. Se consideraque los modelos empleados obtienen resultados suficientemente acordes a la realidad, siendolos detalles del mallado representados en las figuras siguientes:

Figura 3.6a Mallado


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Figura 3.6b Mallado II

Figura 3.6c Mallado III


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Se trata por tanto que en el mallado tengamos siempre una relación de aspecto del elementoadecuada y que no tengamos elementos con una dimensión característica muy superior a otradimensión del mismo, de forma que los resultados sean suficientemente fiables.

De cara a dar unos detalles sobre el mallado realizado:

- Mallado:o Número total de nodos: 2110693o Número total de elementos: 1145339o Tipo de elemento: Tetraédrico con interpolación parabólica en las

aristas de máximo tamaño 0,002m

En cuanto a los criterios de seguridad empleados, se debe tener en cuenta las limitaciones delmodelo empleado en cuanto a precisión del número de elementos. Aunque pueda parecer queel número de elementos es muy grande, en realidad en algunas zonas del chasis sería

necesario realizar un refinamiento, pero dada la ausencia de memoria en el ordenadorempleado, se considera que los resultados son suficientemente fiables.

El criterio de seguridad empleado debe tener en cuenta que los concentradores de tensiónpresentes en la estructura modelo pueden hacer parecer que la misma falla, aunque tal ycomo se ha comentado con los fabricantes del chasis, existen dos factores importantes quepermiten considerar que estamos del lado de la seguridad. En primer lugar, la soldadura deacero conseguida se puede considerar mucho más resistente que el propio tubo de acero asoldar, por lo que los concentradores en esta zona tienen un mayor rango de tensionesdisponibles. Por otra parte, como se ha indicado anteriormente, la soldadura supone en cierto

modo un radio de acuerdo entre las aristas de la intersección de los tubos pero que, parasimplificar la geometría del modelo y reducir el coste computacional, ha sido omitida ya quede otra forma el modelo no podía ser resuelto. Con estas consideraciones, se realiza el análisistensional en elementos finitos del conjunto, siendo los resultados, los indicados acontinuación.

- Frenada:

Figura 3.6a Fuerza de frenado


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Los resultados obtenidos son los siguientes:

- Máximo desplazamiento =

- Máxima tensión = 620 MPa (en presencia de concentrador de tensiones, verimágenes)

Figura 3.6b Distribución global de tensiones. Frenado I


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Figura 3.6c Distribución global de tensiones. Frenado II


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Figura 3.6d Detalle de la distribución de tensiones. Frenado I

Figura 3.6e Detalle de la distribución de tensiones. Frenado II

Se observa que, en todas las figuras, los concentradores de tensión se encuentran en las zonasde unión de los tubos donde, como se ha indicado anteriormente, no se ha modelado la

soldadura. De cualquier modo, se observa que el valor de la tensión máxima no está en el


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rango de rotura (70 kg/m 2), aunque sí supera el valor del límite elástico (40 kg/m 2 en unapequeña región.

- Curva:

Figura 3.7a Fuerzas en curva

Los resultados obtenidos son los siguientes:

- Máximo desplazamiento = - Máxima tensión = 643,38 MPa (en presencia de concentrador de tensiones,ver imágenes)


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Figura 3.7b Distribución global de tensiones. Curva I

Figura 3.7c Distribución global de tensiones. Curva II


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Figura 3.7d Detalle de la distribución de tensiones. Curva I

Figura 3.7e Detalle de la distribución de tensiones. Curva II


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- Suspensión

- Figura 3.8a Cargas de la suspensión

Los resultados obtenidos en el mallado grueso son los siguientes:

- Máximo desplazamiento = - Máxima tensión = 667 MPa (en presencia de concentrador de tensiones, verimágenes)

8/20/2019 Diseño, model

Diseño, modelización y fabricación de un chasis

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