Diseño Factorial 2^k y 3^k

8/10/2019 Diseo Factorial 2^k y 3^k

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ContenidoDISEO FACTORIAL ......................................................................................................... 21.1 El diseo experimental en la industria y en la investigacin............................................... 2

Diseo de experimentos en la investigacin ................................................................................. 31.2 CONCEPTOS Y ETAPAS EN EL DISEO DE EXPERIMENTOS.............................................. 3

Experimento ................................................................................................................................... 3

Unidad experimental ...................................................................................................................... 3

Etapas en el diseo de experimentos ............................................................................................ 4

Planeacin y realizacin ................................................................................................................. 4

Anlisis ............................................................................................................................................ 5

Interpretacin ................................................................................................................................. 5

Control y conclusiones finales ........................................................................................................ 5

1.3 LA VARIABILIDAD EN LOS PRODUCTOS Y PROCESOS. ...................................................... 6

Variable de respuesta. .................................................................................................................... 6

Factores controlables. .................................................................................................................... 6

Factores no controlables o de ruido. ............................................................................................. 6

Factores estudiados. ....................................................................................................................... 7

Niveles y tratamientos. .................................................................................................................. 7

Error aleatorio y error experimental. ............................................................................................ 7

1.4 DISEO FACTORIAL ................................................................................................... 8Diseo factorial ........................................................................................................................ 8Representacin geomtrica ........................................................................................................... 9

Clculo de los efectos ..................................................................................................................... 9

Anlisis de varianza ...................................................................................................................... 10

Definicin de contraste ................................................................................................................ 10

Mtodos para calcular contrastes. .............................................................................................. 10

Pasos para llegar al ANOVA. ........................................................................................................ 11

EJEMPLO........................................................................................................................................ 12

Diseo factorial ................................................................................................................. 14Anlisis del diseo factorial .................................................................................................... 15EJEMPLO........................................................................................................................................ 16

BIBLIOGRAFA ................................................................................................................................... 18


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DISEO FACTORIAL 1.1 El diseo experimental en la industria y en la investigacin.

En la industria es frecuente hacer experimentos o pruebas con la intencin de

resolver un problema o comprobar una idea; por ejemplo, hacer algunos cambios en los

materiales, mtodos o condiciones de operacin de un proceso. Sin embargo, es comn

que estas pruebas o experimentos se hagan con base en el ensayo y error, apelando a la

experiencia y a la intuicin, en lugar de seguir un plan experimental adecuado que

garantice una buena respuesta a las interrogantes planteadas.

El diseo de experimentos consiste en determinar cules pruebas se deben realizar

y de qu manera, para obtener datos que, al ser analizados estadsticamente,

proporcionen evidencias objetivas que permitan responder las interrogantes planteadas, yde esa manera clarificar los aspectos inciertos de un proceso, resolver un problema o

lograr mejoras. Algunos problemas tpicos que pueden resolverse con el diseo y el

anlisis de experimentos son los siguientes:

1. Comparar a dos o ms materiales con el fin de elegir al que mejor cumple los

requerimientos.

2. Comparar varios instrumentos de medicin para verificar si trabajan con la

misma precisin y exactitud.

3. Determinar los factores (las x vitales) de un proceso que tienen impacto sobreuna o ms caractersticas del producto final.

4. Encontrar las condiciones de operacin (temperatura, velocidad, humedad, por

ejemplo) donde se reduzcan los defectos o se logre un mejor desempeo del

proceso.

5. Reducir el tiempo de ciclo del proceso.

6. Hacer el proceso insensible o robusto a oscilaciones de variables ambientales.

7. Apoyar el diseo o rediseo de nuevos productos o procesos.

8. Ayudar a conocer y caracterizar nuevos materiales.

En general, cuando se quiere mejorar un proceso existen dos maneras bsicas de

obtener la informacin necesaria para ello: una es observar o monitorear va herramientas

estadsticas, hasta obtener seales tiles que permitan mejorarlo.


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La otra manera consiste en experimentar, es decir, hacer cambios estratgicos y

deliberados al proceso para provocar dichas seales tiles. Al analizar los resultados del

experimento se obtienen las pautas a seguir, que muchas veces se concreta en mejoras

sustanciales del proceso. El diseo de experimentos (DDE) es un conjunto de tcnicas

activas, en el sentido de que no esperan que el proceso mande las seales tiles, sino que

ste se manipula para que proporcione la informacin que se requiere para su mejora.

Diseo de experimentos en la investigacinEl objetivo de los mtodos estadsticos es lograr que el proceso de generar

conocimiento y aprendizaje sea lo ms eficiente posible. En este proceso, que ha

demostrado ser secuencial, interactan dos polos, por un lado estn la teora, los

modelos, las hiptesis, las conjeturas y los supuestos; por el otro, estn la realidad, los

hechos, los fenmenos, la evidencia y los datos. As, una hiptesis inicial lleva a un

proceso de deduccin en el que las consecuencias derivadas de la hiptesis pueden ser

comparadas con los datos. Cuando las consecuencias y los datos no corresponden,

entonces la discrepancia puede llevar a un proceso de induccin, en el cual se modifica lahiptesis original. De esta manera inicia un segundo ciclo de la interaccin de teora y

datos, en el cual las consecuencias de la hiptesis modificada son comparadas con los

datos (los viejos y los que se obtengan en este nuevo ciclo); esto puede llevar a futuras

modificaciones y a la obtencin de conocimiento.

1.2 CONCEPTOS Y ETAPAS EN EL DISEO DE EXPERIMENTOS.

El diseo de experimentos es la aplicacin del mtodo cientfico para generar

conocimiento acerca de un sistema o proceso, por medio de pruebas planeadas

adecuadamente.

ExperimentoUn experimento es un cambio en las condiciones de operacin de un sistema o

proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambio sobre una o varias

propiedades del producto o resultado. Asimismo, el experimento permite aumentar el

conocimiento acerca del sistema.

Por ejemplo, en un proceso qumico se pueden probar diferentes temperaturas ypresiones, y medir el cambio observado en el rendimiento (yield, ppm, defectivo) del

proceso.

Unidad experimentalLa unidad experimental es la pieza o muestra que se utiliza para generar un valor

que sea representativo del resultado del experimento o prueba. En cada diseo de


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experimentos es importante definir de manera cuidadosa la unidad experimental, ya que

sta puede ser una pieza o muestra de una sustancia o un conjunto de piezas producidas,

dependiendo del proceso que se estudia.

Por ejemplo, si se quiere investigar alternativas para reducir el porcentaje de

piezas defectuosas, en un proceso que produce muchas piezas en un lapso corto detiempo, es claro que no sera muy confiable que la unidad experimental fuera una sola

pieza, en la cual se vea si en una condicin experimental estaba defectuosa o no. Aqu, la

unidad experimental ser cierta cantidad de piezas que se producen en las mismas

condiciones experimentales, y al final se analizar cuntas de ellas estn defectuosas y

cuntas no.

Etapas en el diseo de experimentosPara que un estudio experimental sea exitoso es necesario realizar, por etapas,

diferentes actividades. En este sentido, la etapa ms importante y a la que se le debe

dedicar mayor tiempo es la planeacin. A continuacin se describen de manera breve lasetapas del diseo de experimentos con objeto de dar una visin global de lo que implica

su correcta aplicacin.

Planeacin y realizacin1. Entender y delimitar el problema u objeto de estudio. En la etapa de planeacin se

deben hacer investigaciones preliminares que conduzcan a entender y delimitar el

problema u objeto de estudio, de tal forma que quede claro qu se va a estudiar, por qu

es importante y, si es un problema, cul es la magnitud del mismo.

2. Elegir las variables de respuesta que ser medida en cada punto del diseo y

verificar que se mide de manera confiable. La eleccin de estas variables es vital, ya que

en ella se refleja el resultado de las pruebas. Por ello, se deben elegir aquellas que mejor

reflejen el problema o que caractericen al objeto de estudio. Adems, se debe tener

confianza en que las mediciones que se obtengan sobre esas variables sean confiables.

3. Determinar cules factores deben estudiarse o investigarse, de acuerdo a la

supuesta influencia que tienen sobre la respuesta. No se trata de que el experimentador

tenga que saber a priori cules factores influyen, puesto que precisamente para eso es el

experimento, pero s de que utilice toda la informacin disponible para incluir aquellos

que se considera que tienen un mayor efecto.

4. Seleccionar los niveles de cada factor, as como el diseo experimental adecuado

a los factores que se tienen y al objetivo del experimento. Este paso tambin implica

determinar cuntas repeticiones se harn para cada tratamiento, tomando en cuenta el

tiempo, el costo y la precisin deseada.


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5. Planear y organizar el trabajo experimental. Con base en el diseo seleccionado,

organizar y planear con detalle el trabajo experimental, por ejemplo, las personas que van

a intervenir, la forma operativa en que se harn las cosas, etc.

6. Realizar el experimento. Seguir al pie de la letra el plan previsto en la etapa

anterior, y en caso de algn imprevisto, determinar a qu persona se le reportara y lo quese hara.

AnlisisEn esta etapa no se debe perder de vista que los resultados experimentales son

observaciones mustrales, no poblacionales. Por ello, se debe recurrir a mtodos

estadsticos inferenciales para ver si las diferencias o efectos mustrales (experimentales)

son lo suficientemente grandes para que garanticen diferencias poblacionales (o a nivel

proceso). La tcnica estadstica central en el anlisis de los experimentos es el llamado

anlisis de varianza ANOVA (acrnimo en ingls).

InterpretacinAqu, con el respaldo del anlisis estadstico formal, se debe analizar con detalle lo

que ha pasado en el experimento, desde contrastar las conjeturas iniciales con los

resultados del experimento, hasta observar los nuevos aprendizajes que sobre el proceso

se lograron, verificar supuestos y elegir el tratamiento ganador, siempre con apoyo de las

pruebas estadsticas.

Control y conclusiones finalesPara concluir el estudio experimental se recomienda decidir qu medidas

implementar para generalizar el resultado del estudio y para garantizar que las mejoras se

mantengan. Adems, es preciso organizar una presentacin para difundir los logros.


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1.3 LA VARIABILIDAD EN LOS PRODUCTOS Y PROCESOS.

En todo proceso intervienen distintos tipos de variables o factores como los que se

muestran en la figura, donde tambin se aprecian algunas interrogantes al planear un

experimento.

Variable de respuesta.

A travs de esta variable se conoce el efecto o los resultados de cada prueba

experimental, por lo que pueden ser caractersticas de la calidad de un producto y/o

variables que miden el desempeo de un proceso. El objetivo de muchos estudios

experimentales es encontrar la forma de mejorar la variable de respuesta. Por lo general,

estas variables se denotan con la letra y.

Factores controlables.

Son variables de proceso o caractersticas de los materiales experimentales que se

pueden fijar en un nivel dado. Algunos de stos son los que usualmente se controlan

durante la operacin normal del proceso, y se distinguen porque, para cada uno de ellos,

existe la manera o el mecanismo para cambiar o manipular su nivel de operacin. Esto

ltimo es lo que hace posible que se pueda experimentar con ellos.

Por ejemplo, si en el proceso se usa agua a 60C entonces debe existir un mecanismo que

permita fijar la temperatura del agua dentro de un rango de operacin.

Factores no controlables o de ruido.

Son variables o caractersticas de materiales y mtodos que no se pueden

controlar durante el experimento o la operacin normal del proceso.Por ejemplo, algunos factores que suelen ser no controlables son las variables

ambientales (luz, humedad, temperatura, partculas, ruido, etc.), el nimo de los

operadores, la calidad del material que se recibe del proveedor (interno o externo)


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Factores estudiados.

Son las variables que se investigan en el experimento, respecto de cmo influyen o

afectan a la variable de respuesta. Los factores estudiados pueden ser controlables o no

controlables, a estos ltimos quiz fue posible y de inters controlarlos durante el

experimento. Para fines de un diseo de experimentos deben seleccionarse los factores

que se considera, por conocimiento del objeto de estudio, que pueden tener efecto sobrela respuesta de inters. Obviamente, si se decide o interesa estudiar el efecto de un factor

no controlable, parte de la problemtica a superar durante el diseo es ver la manera en

que se controlar durante el experimento tal factor.

Niveles y tratamientos.

Los diferentes valores que se asignan a cada factor estudiado en un diseo

experimental se llaman niveles. Una combinacin de niveles de todos los factores

estudiados se llama tratamiento o punto de diseo.

Por ejemplo, si en un experimento se estudia la influencia de la velocidad y latemperatura, y se decide probar cada una en dos niveles, entonces cada combinacin de

niveles (velocidad, temperatura) es un tratamiento. Es necesario probar cada tratamiento

y obtener el correspondiente valor de y.

Error aleatorio y error experimental.

Siempre que se realiza un estudio experimental, parte de la variabilidad observada

en la respuesta no se podr explicar por los factores estudiados. Esto es, siempre habr un

remanente de variabilidad que se debe a causas comunes o aleatorias, que generan la

variabilidad natural del proceso. Esta variabilidad constituye el llamado error aleatorio.

Por ejemplo, ser parte de este error aleatorio el pequeo efecto que tienen losfactores que no se estudiaron, as como la variabilidad de las mediciones hechas bajo las

mismas condiciones. Sin embargo, el error aleatorio tambin absorber todos los errores

que el experimentador comete durante los experimentos entonces hablaremos de error

experimental.

Cuando se corre un diseo experimental es importante que la variabilidad

observada de la respuesta se deba principalmente a los factores estudiados y en menor

medida al error aleatorio, y adems que este error sea efectivamente aleatorio. Cuando la

mayor parte de la variabilidad observada se debe a factores no estudiados o a un error no

aleatorio, no se podr distinguir cul es el verdadero efecto que tienen los factoresestudiados, con lo que el experimento no alcanzara su objetivo principal. De aqu la

importancia de no dejar variar libremente a ningn factor que pueda influir de manera

significativa sobre el comportamiento de la respuesta (principio de bloqueo).


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1.4 DISEO FACTORIAL Diseo factorial

Con un diseo factorial se estudia el efecto de dos factores considerando dosniveles en cada uno. Cada rplica de este diseo consiste de 2 2 = 4 combinaciones otratamientos que se pueden denotar de diferentes maneras, como se muestra a

continuacin.

La notacin +1, 1 es til a la hora de hacer los clculos para ajustar por mnimos

cuadrados un modelo de regresin a los datos.

La notacin de signos +, es muy prctica para escribir las matrices de diseo;

esta notacin, combinada con la de Yates (vase ltima columna de la tabla)

permite representar y calcular fcilmente los efectos de inters.

La notacin con letras A+, A se utiliza para escribir, al final del anlisis del

experimento, el mejor punto o tratamiento ganador que se ha encontrado.

La notacin de Yates [(1), a, b, ab] tiene un significado diferente a las dems: con

ella se representa el total o la suma de las observaciones en cada tratamiento, ms

que al tratamiento mismo. Hay que observar que la lgica de la notacin de Yates es la

siguiente: si una letra minscula est presente, entonces el factor correspondiente se

encuentra en su nivel alto; si est ausente, el factor est en su nivel bajo; por ejemplo,

ab se refiere al tratamiento en el que los factores A y B estn en su nivel alto.


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Representacin geomtricaEl diseo factorial se representa de manera geomtrica por los vrtices del

cuadrado de la figura.

Cada vrtice representa un punto de diseo o tratamiento. El rea limitada por

este cuadrado se conoce como regin experimental y, en principio, las conclusiones que

se obtengan del experimento slo tienen validez sobre esta regin.

Clculo de los efectosEn este diseo hay tres efectos de inters: los dos efectos principales (A y B) y el

efecto de interaccin (AB). Con el uso de la notacin de Yates podemos ver que si cada

tratamiento se corre n veces, entonces la media de Y en el nivel alto de A es (a + ab)/2n y

en el nivel bajo es (b + (1))/2n. De aqu, y de la definicin de efecto dada en el captulo

anterior, el efecto A se calcula como:

[ () ( ) ]

[ () ( ) ]

El efecto de interaccin entre los factores A y B est dado por la diferencia entre el

efecto de A en el nivel alto de B y el efecto de A en el nivel bajo de B, esto es:

[ () ( ) ]


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Anlisis de varianzaAunque los efectos calculados con datos mustrales sean nmeros distintos de

cero, esto no implica que el efecto correspondiente sea estadsticamente diferente de

cero. O, si en su representacin grfica aparentan ser importantes, eso tampoco es

suficiente para concluir que afectan de manera significativa la variable de respuesta. Para

afirmar que tales efectos contribuyen a explicar el comportamiento de la respuesta, se

debe hacer la prueba estadstica del anlisis de varianza

Definicin de contraste

Una combinacin lineal de la forma , con se llama contraste.Se sabe que la suma de cuadrados para cualquier contraste C est dada por

( )

la cual slo tiene un grado de libertad. Note que en el contexto de los diseos factoriales,las sumas corren sobre los tratamientos del diseo factorial , y cada trmino Yirepresenta un trmino de la notacin de Yates.

Por ejemplo, los contrastes correspondientes a los tres efectos A, B y AB en el

diseo factorial estn dados por:Contraste A = [a + abb(1)],

Contraste B = [b + aba(1)]

Contraste AB = [ab + (1)ab]

que, como ya hemos visto, son las cantidades que definen a los efectos.

Mtodos para calcular contrastes.Una manera prctica de establecer los contrastes de cualquier efecto, sea principal

o de interaccin en el diseo factorial 2k es mediante el auxilio de una tabla de signos. La

tabla de signos se construye a partir de la matriz de diseo, multiplicando las columnas

que intervienen en la interaccin que se quiera calcular. Por ejemplo, si se quiere obtener

el contraste de la interaccin doble AB, se multiplica la columna de signos A por la

columna B, y el resultado son los signos de contraste AB. Esto se muestra en la siguiente

tabla de signos para el diseo factorial .


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En la tabla de signos, las columnas que corresponden a los efectos principales

coinciden con la matriz de diseo. Una vez obtenidas las columnas de signos de los efectos

de inters, el contraste de cada efecto resulta de multiplicar su columna de signos por la

columna de los datos expresados en la notacin de Yates.

Por ejemplo, al multiplicar las columnas A y B por la notacin de Yates, se obtiene

el contraste de AB que ya conocemos: Contraste AB = [(1) + ab a b]. El clculo decontrastes se complica en la medida de que el nmero de factores crece, dado que se

incrementa rpidamente el nmero de trminos que contiene el contraste.

Pasos para llegar al ANOVA.

Para obtener el ANOVA se necesita calcular la suma de cuadrados de cada uno de

los efectos. Las sumas de cuadrados se pueden obtener ya sea de los efectos o

directamente de los contrastes. Una vez obtenidos los contrastes se procede a estimar los

efectos, dividiendo stos por la constante que los convierte en diferencias de medias. En

particular, el diseo factorial

que est constante es 2n. Para investigar cules de los

tres efectos estn activos o son significativos se procede a probar las hiptesis dadas por:

H0 : Efecto A = 0

H0 : Efecto B = 0

H0 : Efecto AB = 0

cada una contra la alternativa de que el efecto en cuestin es diferente de cero. Estas

hiptesis se prueban con el anlisis de varianza. Para obtener las sumas de cuadrados para

cada efecto se aplica el resultado sobre contrastes, y resultan las expresiones dadas por:


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Los efectos medios y las medias de cuadrados son:

()

() ()

( )

La tabla de anlisis de varianza es:

F.V. S.C. G.L. M.C FFactor A 32 1 32 Factor B 7688 1 7688

Interaccin 3528 1 3528 Residual 172 4 43

Total 11420 7

De modo que el factor B y la interaccin entre A y B son significativos al nivel 0.05.


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Diseo factorial Con el diseo factorial se estudian tres factores en dos niveles cada uno. Consta

de = 2 2 2 = 8 tratamientos diferentes, los cuales pueden identificarse con lasmismas notaciones introducidas con el diseo . Los tratamientos del diseo y surepresentacin geomtrica se muestran a continuacin:

1, 1412, 153

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

1 2 3 4

EFECTO DE INTERACCIN


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La regin experimental ahora es un cubo regular centrado en el origen (0, 0, 0),

cuyos vrtices son los ocho tratamientos. La matriz de diseo se construye fcilmente

alternando el signo menos y el signo ms en la primera columna, dos menos y dos ms en

la segunda columna, y cuatro menos y cuatro ms en la tercera; el diseo resulta

acomodado en el orden estndar o de Yates. Con este diseo se pueden estudiar los

1

= 7 efectos: tres efectos principales A, B, C; tres interacciones dobles AB, AC, BC y unainteraccin triple ABC. Por lo general, el inters se enfoca en estudiar los efectos

principales y las interacciones dobles.

Anlisis del diseo factorial Sean A, B y C los factores que se quieren estudiar y sean (I), a, b, ab, c, ac, bc y abc,

los totales observados en cada uno de los ocho tratamientos escritos en su orden

estndar.

Al igual que en el diseo

, las columnas de los efectos principales A, B y C son las

mismas que en la matriz de diseo, y las columnas de los efectos de interaccin seobtienen multiplicando las columnas correspondientes.

Al multiplicar las columnas de signos de la tabla por la columna de totales

representados por la notacin de Yates, se obtienen los contrastes para los siete efectos,

dados por:

Contraste A = *a ab ac abc (1) b c bc+

Contraste B = *b ab bc abc (1) a c ac+

Contraste C = *c ac bc abc (1) a b ab+

Contraste AB = *ab b a abc (1) bc ac c+

Contraste AC = *(1) a b ab c ac bc abc+

Contraste BC = *(1) a b ab c ac bc abc+

Contraste ABC = *abc bc ac c ab b a (1)+


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Si se hacen n rplicas de cada tratamiento, los efectos de un diseo 23 se estiman

dividiendo los contrastes entre 4n. Por ejemplo, el efecto principal de A se estima de la

siguiente manera: Efecto

Tambin las sumas de cuadrados de los efectos se calculan a partir de sus

contrastes con la frmula:

() La suma total de cuadrados se obtiene de la manera usual como:

Y, por ltimo, la suma de cuadrados del error se calcula por sustraccin. Con esta

informacin se obtiene ANOVA para el diseo 23, dada en la tabla 6.6. Aquellos efectos

cuyos valores-p son menores a a = 0.05 se consideran activos y son los efectos a

interpretar para conocer mejor cmo est operando el proceso y para determinar el

mejor tratamiento. Tambin recordemos que mientras menor sea el valor-p para un

efecto, significa que ste tiene mayor influencia sobre la variable de respuesta. Ntese

que se requieren al menos dos repeticiones (n 2) para calcular el cuadrado medio del

error, puesto que la SCE tiene 0 grados de libertad cuando n = 1. Entonces se recomiendacorrer este diseo con al menos dos rplicas para contar con suficientes grados de libertad

para el error.

EJEMPLO

Supongamos la siguiente tabla con n=2 rplicas

Factor B0 1

Factor A Factor C Factor C

0 1 0 1

0 4 7 20 105 9 14 61 4 2 4 14

11 7 4 16

Se tiene que

(1)=9 c=16 b=34 bc=16


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a=15 ac=9 ab=10 abc=30

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Como, en cada caso:


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( )

La tabla de anlisis de la varianza es

F.V. S.C. G.L. M.C FFactor A 7.56 1 7.56 Factor B 105.06 1 105.06 *

Interaccin AB 5.06 1 5.06 Factor C 0.56 1 0.56 0.06

Interaccin AC 39.06 1 39.06 4.49Interaccin BC 0.06 1 0.06 0,01Interaccin ABC 162.56 1 162.56 18.71*

Residual 69.53 8 8.56

Total 389.44 15

Como el valor de , entonces los valores marcados con * son significativos anivel 0.05.

BIBLIOGRAFA

Anlisis y Diseo de experimentos; Gutirrez Pulido Humberto, De la Vara Salazar Romn;

McGraw Hill; Segunda edicin, 2008, Mxico.

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