DISEÑO POR BLOQUES COMPLETOS

DISEÑO EXPERIMENTAL

INTEGRANTES:

DIEGO FERNANDO RIVERA CASTRO 201311955

CARLOS ANDRÉS PENAGOS RODRIGUEZ 201311595

LUZ BENNYTH FORERO CARO 201221032

KAROL LIZETH ROA BOHÓRQUEZ 201221385

JUAN PABLO PAVA 200721210

RICARDO ALFONSO PAREDES ROA 201020922

PRESENTADO A:

Mg.JAIME ALBERTO GARCÍA SIERRA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA

DISEÑO EXPERIMENTAL

INGENIERÍA INDUSTRIAL

SOGAMOSO

2016

JUSTIFICACION

El mejoramiento de procesos constituye un campo de acción fundamental en el ingeniero industrial como gerente de la producción. En el mejoramiento de procesos ya sean industriales, agrícolas o de cualquier naturaleza se requieren probar diferentes alternativas que permitan optimizar dichos procesos. El diseño experimental por bloques completos al azar es un método científico que nos ofrece la estadística para modelar de manera sistemática estas alternativas en vez de apelar a la intuición que aunque muchas veces muestre resultados positivos es imprecisa y no acorde a políticas de mejoramiento continuo.

Diseños Experimentales

El diseño experimental es una herramienta de planeación estadística basada en el método científico que estudia fenómenos que son observables y repetibles para obtener conclusiones válidas y objetivas que lleven a la optimización de procesos (industriales, agrícolas, de mercadotecnia, etc).

Términos usados en los diseños experimentales.

Unidad experimental:Es el objeto sujeto de medición de la variable de estudio y sobre la cual se aplica un tratamiento.

Niveles:Número de veces que se aplica un tratamiento en un bloque.

Tratamiento:Conjunto de condiciones experimentales, dadas por la combinación de niveles a las que debe someterse una unidad experimental, como consecuencia de una prueba de hipótesis.

Variable de respuesta:Propiedad que caracteriza la unidad experimental y que se pretende mejorar mediante la aplicación del experimento.

Factores de ruido:Son variables que influyen en la variable de respuesta y no nos interesa conocer son controlable, durante la operación normal del proceso.

Factores estudiados: Son las variables que se estudian en el experimento, para conocer como o cuanto influyen o afectan la(s) variable(s) respuesta.

Error aleatorio:Variabilidad observada del experimento que no se puede explicar por los factores estudiados y resulta del pequeño efecto de los factores de ruido y del error experimental

Error experimental: Componente del error aleatorio y se debe a fallas del experimentador entre lo planeado y lo ejecutado.

Principios básicos del diseño experimental:

Aleatorización: Tanto la asignación del material experimental, como el orden en el que se harán los ensayos se determinara al azar, así asegurando el principio de independencia estadística.

Repetición: Repetición del experimento básico.

Formación de bloques: Un bloque es un conjunto de condiciones experimentales relativamente homogéneas, lo que busca eliminar o al menos reducir los factores de ruido o aquellos factores que no nos interesa medir pero afectan nuestra variable de respuesta.

Elección del tamaño de muestra:

Para el diseño de experimentos la elección del tamaño muestral está relacionado con los errores tipo I y tipo II o errores α o β.

Error tipo α: La probabilidad de rechazar un enunciado bueno.

Error tipo β: La probabilidad de aceptar un enunciado falso.

Ocurre un error tipo I cuando se rechaza la prueba de hipótesis, siendo esta verdadera.

Ocurre un error tipo II cuando se acepta la prueba de hipótesis, siendo esta falsa.

La elección de α o nivel se significancia se hace durante la etapa de planeación, normalmente se escoge un α del 0,05, pero existen escenarios, donde el estudio experimental requiere mayor rigurosidad, disminuyendo α a niveles del 0,01 o menores, esto implica así mismo que el tamaño muestral sea más grande y esto depende del costo que implica tomar las muestras y del costo de aceptar rechazar un enunciado bueno. Si se van a hacer inversiones fuertes se recomienda optar por un nivel de confianza alto.

β es el riesgo del consumidor este porcentaje no se puede asignar en la fase de planeación, sino depende de la diferencia del valor hipotético y el parámetro poblacional. Por lo general se asigna una prueba asignándole valores pequeños a β para de esta manera poderlo controlar con el tamaño poblacional.

Potencia de la prueba: 1-β y es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula, cuando es falsa, en otras palabras entre mayor sea el tamaño muestral mayor será la potencia de prueba. Se recomienda β de 0,1 o una potencia de prueba de 0,9.

Curva de operación característica:

Es una gráfica de β vs d.

Donde:

d=|μ1−μ2|2σ

Donde debemos buscar en tablas el n¿ que será igual a:

n¿=2n−1

entonces despejando n , tenemos :

n=n¿+12

Etapas del diseño de experimentos:

1. Planeación:a. Identificar y enunciar el problema.

Se debe identificar cual es el problema que requiere estudio y cuáles son los problemas subsecuentes, para tener un bosquejo que nos permita establecer objetivos experimentales, que nos llevan a conocer ¿qué está pasando? Y ¿a dónde queremos llegar?

b. Determinación de los factores que deben estudiarse.Se deben identificar los factores de diseño, que son los que se van a estudiar, dadas unas características homogéneas (bloques). Es importante identificar cuales factores son de ruido, para excluirlos de los factores de diseño, si llegan a existir factores perturbadores y se pueden medir, se recomienda hacer un análisis de covarianza para compensar dicho efecto.En esta etapa es importante identificar el rango en el cual nos interesa medir cada factor

c. Selección de la variable de respuesta.d. Elección del diseño experimental.

Aquí se considera el tamaño de la muestra (número de réplicas), orden de corridas y determinación si conviene o no formar bloques y otras restricciones de aleatorización.

e. Realizar el experimento.2. Análisis:

Se realiza el análisis estadístico de los datos obtenidos, donde en primera medida se debe determinar el modelo ANOVA.

3. Interpretación con análisis de sensibilidad.Factibilidad ( económica, técnica, ambiental, etc.) de aplicar o no los tratamientos óptimos.

4. Conclusiones y recomendacionesSe recomienda que se hagan corridas de prueba y confirmación.

DISEÑO POR BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS

Cuando se conoce la fuente de variabilidad o los factores de ruido en un experimento, se puede usar la técnica de formación de bloques para eliminar de manera sistemática el efecto que estas causan en los tratamientos.

En esta clase de experimentos se consideran tres fuentes de variabilidad: Factor de tratamientos.

Factor de bloques. Factor aleatorio.

La palabra completo se debe a que en cada bloque se comprueban todos los tratamientos.

Los factores de bloqueo en la práctica pueden ser: turnos, lotes, días, tipo de material, líneas de producción, operadores, maquinas, métodos, etc.

Modelo estadístico:

Y ij=μ+τ i+ β j+εij ;

i=1,2 ,…kj=1,2 ,…b

Donde:Y ij=Es lamedicion quecorresponde altratamiento y yal bloque j .μ=Media global poblacional .τ i=Elefecto debidoal tratamientoi .β j=Efecto debidoal bloque j .ε ij=Error aleatorio atribuiblea lamedicion deY ij

Se supone que los errores se distribuyen de manera normal con media 0 y varianza constante.

Por lo general los efectos de los tratamientos y los bloques se consideran desviaciones de la media global, por lo que:

∑i=1

a

τ i=0 y∑j=1

b

β j=0

En esta clase de experimentos lo que nos interesa es probar la igualdad de la media de los tratamientos. Por la tanto la hipótesis de interés es:

H 0 : μ1=μ2=…=μa

H 1: almenosuna μi≠μ j

También se pueden escribir las hipótesis anteriores en términos de los efectos de los tratamientos:

H 0 :τ1=τ2=…τa=0

H 1: τ i≠0 paraalmenosuna i .

Las anteriores hipótesis, se prueban con una ANOVA con dos criterios de clasificación, dados las fuentes de variación (tratamientos y factor bloque).

Fuentes de variabilidad

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

F0 P valor

Tratamientos SStratamientos a-1 SS tratamientos

a−1CMTratamientos

CM E

F>F0

Bloques SSbloques b-1 SSbloques

b−1CMBloques

CM E

F>F0

Error SSE (a-1)(b-1) SSE

(a−1)(b−1)Total SST N-1

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

Planteamiento del problema:

En la junta directiva que tuvo Argos en el mes de Marzo de 2016, donde los jefes de cada área presentan un informe donde muestran los rendimientos de sus respectivas áreas.

Juan Esteban Calle, actual presidente del grupo Argos se siente bastante preocupado por el informe del área de calidad donde se muestra que los índices de confiabilidad que siempre ha manejado la marca han bajado dado que la calidad de sus cinco marcas comerciales se ven comprometidas en el tiempo de fraguado que es el principal índice de calidad que maneja la marca cementera.

Entonces el presidente del grupo Argos se dirige al jefe de producción, haciéndolo responsable de esta falla, dada que la calidad comienza desde el proceso de producción. El jefe de producción explica que ya había notado estas fallas y las había comunicado al anterior presidente en Noviembre del año pasado, pero no se tomó en cuenta su recomendación de adquirir nuevos molinos los cuales son indispensables en la fabricación de un cemento de calidad.

Ahora la junta directiva analiza que acciones tomar para remediar esta situación lo antes posible y recuperar su imagen en el mercado.

Por unanimidad llegaron al consenso de comprar por lo menos 30 molinos para asignarlos en las plantas donde tienen presencia en Colombia, Panamá Puerto Rico, Guyana Francesa, Surinam, República Dominicana Estados Unidos y Honduras.

El grupo Argos adquirió en el mes de Enero cuatro molinos nuevos para 4 de sus plantas en Estados Unidos, cuyas marcas son: (Euroacero, materconstruct, sadvick, munckersa).

Entonces el jefe de producción propone elaborar un diseño de experimentos donde los factores o tratamientos que quiere probar son los molinos para observar cuál de todos ellos, después de aplicar varios niveles a las 5 marcas principales de cementos, registra el menor tiempo de fraguado que es la medida de calidad en este ítem .

Las principales marcas de cementos que trabajan son:

1. Portland gris.2. Portland blanco.3. Mortero.4. Petrolero.5. Mixto (Siderúrgico)

Factores: Las marcas de molino (Euroacero, materconstruct, sadvick, munckersa).

Bloques: Se consideraran como bloques cada una de las marcas de cementos que pueden controlar como un bloque homogéneo. Para lo cual el jefe de producción decide tomar las muestras de cemento de un solo lote por marca, para evitar variabilidad entre uno y otro, para lo cual escogen la planta de producción de Texas, ya que allí producen las cinco marcas.

Entonces se decide hacer bloques completos para poder probar cada marca de molino en cada cemento, para de esta manera eliminar cualquier factor de ruido no deseable.

Molino cementero.

La toma de datos se hizo de forma aleatoria en cada tratamiento, para cumplir con el principio de aleatoriedad.

N° muestra Molino Cemento Tiempo1 Maderconstruck Portland Blanco 64,22 Munckersa Petrolero 65,93 Euroacero Petrolero 65,64 Munckersa Mortero 64,11 Sadvick Portland Blanco 652 Sadvick Portland Gris 65,93 Euroacero Portland Blanco 63,24 Munckersa Siderurgico 67,91 Euroacero Portland Gris 63,52 Maderconstruck Siderurgico 64,93 Sadvick Mortero 63,94 Maderconstruck Petrolero 64,21 Maderconstruck Portland Gris 64,12 Sadvick Siderurgico 63,83 Maderconstruck Mortero 634 Munckersa Portland Blanco 65,21 Euroacero Siderurgico 652 Sadvick Petrolero 663 Munckersa Portland Gris 64,94 Euroacero Mortero 62,3

SOLUCIÓN

Arreglo de los datos en un diseño en bloques completos al azar.

MarcaBloques

1 2 3 4 5

Tratamientos

Euroacero63.5

63.2 62.3 65.6 65

Materconstruct 64.1 64.2 63 64.2 64.9Sadvick 65.9 65 63.9 66 65.8Munckersa 64.9 65.2 64.1 65.9 67.9

MODELO ESTADÍSTICO

En primer lugar, la situación experimental posee 4 tratamientos (i) y 5 bloques (j), el modelo estadístico que representa un Diseño en Bloques Completos al Azar (DBCA) es el siguiente:

Y ij=μ+τ i+γ j+εij ;{ i=1,2,3,4j=1,2,3,4,5}

Dónde: Y ij Tiempo de fraguado correspondiente al tratamiento i y al bloque j.μ Media global poblacional.τ i Efecto debido al tratamiento iγ j Efecto debido al bloque jε ij Error aleatorio atribuible al tiempo de fraguado Y ij

Se supone que los errores se distribuyen de manera normal con media cero y varianza constante (σ ¿¿2)¿ ¿ y que son independientes entre sí.

HIPÓTESIS A PROBARCon el fin de comparar las cuatro marcas se plantea la hipótesis:

H 0 : μ1=μ2=μ3=μ4=μH A : μi≠μ j paraalgún i≠ j=1,2,3,4

Nuestra hipótesis nula consiste en probar que el tiempo de fraguado medio poblacional logrado con cada tratamiento es el mismo para los 4 tratamientos (Euroacero, Materconstruct, Sadvick, Munckersa) y que por tanto cada respuesta media μi es igual a la media poblacional μ.Por otra parte la hipótesis alternativa señala que al menos dos tratamientos tienen media diferente.

ANÁLISIS DE VARIANZA,La hipótesis la vamos a probar mediante el análisis de varianza con los dos criterios de clasificación. Se utilizan los dos criterios porque se controlan dos fuentes de variación: el factor de tratamientos y el factor de bloque.

Fuentes de variabilidad

Sumas de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios F0

Tratamientos SCTRAT a−1 CMTRAT F0=CMTRAT

CM E

Bloques SCB b−1 CM B F0=CM B

CM E

Error SCE (a−1)(b−1) CM E

Total SCT N−1

SCT=∑j=1

b

∑i=1

k

Y ij2−Y 2

N

SCTRAT=∑i=1

k Y i2

b−Y 2

N

SCB=∑j=1

b Y j2

k−Y 2

N

Y la suma de cuadrados del error se obtiene por sustracción como:SCE=SC T−SCTRAT−SCB

Una vez realizados los cálculos en Excel la tabla ANOVA para nuestro ejemplo queda así:

Fuentes de variabilidad

Sumas de cuadrados

Grados de

libertad

Cuadrados medios F0 p-valor

Marca de molino

10.9183

3.639333339.1040233

50.002

Pruebas15.807 4 3.95175

9.88555347

0.001(Bloques)

Error 4.797 12 0.39975    

Total 31.522 19

De esta tabla se observa que para los métodos se obtuvo un p−value=0.002<α donde alfa es igual a α=0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula H 0 de que el

tiempo medio de fraguado de las marcas son iguales, y se acepta que al menos dos marcas tienen medias diferentes.

COMPARACIÓN DE PAREJAS DE MEDIAS DE TRATAMIENTOComo se rechaza la hipótesis de igualdad de los cuatro tratamientos o marcas de molinos, es lógico averiguar cuáles de ellos son diferentes entre sí. Para averiguarlo se utiliza algunas de las pruebas de rango múltiple, en nuestro caso utilizaremos la diferencia mínima significativa (LSD), la cual está dada por:

LSD=tα /2 ,(a−1)(b−1)√ 2CM E

b

Dónde:t α /2 ,(k−1)(b−1) Probabilidad a una cola y (k-1)(b-1) grados de libertadCM E Cuadrado medio del errorb Numero de bloques

Reemplazando en la fórmula tenemos:

LSD=2.179∗√ 2∗0.399755=0.8713

Al comparar esta diferencia mínima significativa con las medias de cada uno de los tratamientos se obtiene la siguiente tabla:

Diferencia poblacional Diferencia muestral

Decisión

μEuroacero−μMaterconstruct |−0.16|<0.871 No significativaμEuroacero−μSadvick |−1.4|>0.871 SignificativaμEuroacero−μMunckersa |−1.68|>0.871 SignificativaμMaterconstruct−μSadvick |−1.24|>0.871 SignificativaμMaterconstruct−μMunckersa |−1.52|>0.871 SignificativaμSadvick−μMunckersa |−0.28|<0.871 No significativa

Se concluye que el tratamiento 1 (Euroacero) es diferente del tratamiento 3 (Sadvick) y 4 (Munckersa), y que el tratamiento 2 (Materconstruct) es diferente del 3 (Sadvick) y del 4 (Munckersa). Las otras dos comparaciones (1 con 2 y 3 con 4) aceptan la hipótesis de igualdad. De acuerdo con esto, y dadas las respuestas medias muestrales:

γEuroacero=63.92 γMaterconstruct=64.08 γ Sadvick=65.32 γMunckersa=65.6

La marca de molino Euroacero es la mejor ya que tiene un menor tiempo de fraguado que las marcas Sadwick y Munckersa, sin embargo el tiempo de fraguado de Euroacero no es mejor que el de Materconstruct.

EFECTO DEL BLOQUEComo podemos ver la tabla ANOVA proporciona una prueba para el efecto de los bloques (réplicas). La hipótesis nula en este caso consiste en probar que el efecto del bloque es igual a cero para todos los bloques o replicas (efecto del bloque:γ j=μ j−μ=0)

H 0 :γ 1=γ 2=γ3=γ 4=γ5=0H A : γ j≠0 para algúnbloque j=1,2,3,4,5

Con base en el p-valor obtenido en la tabla ANOVA para los bloques p−value=0.001<α donde alfa es igual a α=0.05, por lo que se rechaza la hipótesis nula H 0 de que el efecto del bloque sea cero.

COMPARACIÓN DE PAREJAS DE MEDIAS DE TRATAMIENTOA continuación, utilizando la prueba LSD comparamos dos a dos los bloques para determinar si hay significancia o no.

LSD=2.179∗√ 2∗0.399754=0.9741

Diferencia poblacional Diferencia muestral

Decisión

μB1−μB2 |0.2|<0.974 No significativaμB1−μB3 |1.275|>0.974 SignificativaμB1−μB 4 |−0.825|<0.974 No significativaμB1−μB5 |−1.3|>0.974 Significativa

μB2−μB3 |1.075|>0.974 SignificativaμB2−μB 4 |−1.025|>0.974 SignificativaμB2−μB5 |−1.5|>0.974 SignificativaμB3−μB 4 |−2.1|>0.974 SignificativaμB3−μB5 |−2.575|>0.974 SignificativaμB4−μB5 |−0.475|<0.974 No significativa

Como podemos observar la mayoría de las comparaciones dieron significativas lo cual indica que el factor de bloques o replicas tiene influencia sobre la variable respuesta y por ende se debe tener en cuenta para mejorar o controlar.En la tabla de comparaciones concluimos que el bloque 1 es diferente del bloque 3 y 5. El bloque 2 es diferente del 3, 4 y 5. El bloque 3 diferente del 4 y 5 y el resto de bloques aceptan la hipótesis de igualdad.

DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS

Este Diseño se usa para disminuir la varianza del error experimental y proporcionar comparaciones más precisas entre tratamientos de lo que es posible con el diseño de bloques completos.

El diseño de bloques incompleto balanceado es un arreglo tal que todos los tratamientos tienen igual número de réplicas y cada par de tratamientos se presenta en el mismo bloque un número igual de veces en algún lugar del diseño.

Se supone que hay a tratamientos y b bloques, cada bloque contiene k tratamientos y que cada uno de ellos ocurre r veces en el diseño, y que hay N = ar = bk observaciones en total. El número de veces que cada par de tratamientos aparece en el mismo bloque es:

λ= r (k−1)a−1

El modelo para el diseño de bloques incompletos es:

y ij=μ+ τ i+ β j+εij ;

i=1,2 ,…a

j=1,2 ,…bDónde:Y ij=Es lamedicion quecorresponde al tratamiento y yal bloque j .μ=Media general .τ i=Elefecto debidoal tratamiento i .β j=Efecto debidoal bloque j .

ε ij=Error experimental aleatorioindependiente conmedia0 y varianzaσ2

La variabilidad total en los datos se expresa por la suma de cuadrados totales corregida:

SST=∑i∑jy ij2− y ..2

N=SStratamiento ( ajustada)+SSBloques+SSE

La suma de cuadrados de los bloques es:

SSBloques=1k∑j=1

b

y . j2− y2

NLa suma de cuadrados de los tratamientos ajustada es:

SSTratamientos (ajustada )=k∑

i=1

a

Qi2

λa

Donde Qi es el total ajustado del tratamiento i:

Qi= y i .−1k∑j=1

b

nij y . j

Con nij =1 si el tratamiento i aparece en el bloque j y nij=0 en caso contrario.

Fuentes de variabilidad

Suma de cuadrados

Grados de libertad

Cuadrados medios

F0 P valor

Tratamientos(ajustados)

SStrat .ajustados a-1 SS trat . ajustado

a−1CMTratamientos

CM E

F>F0

Bloques SSbloques b-1 SSbloques

b−1Error SSE N-a-b+1 SSE

N−a−b+1Total SST N-1