Ejemplo Diseño de Bloques

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Ejemplo Diseño de Bloques Completos al Azar (Comparación de cuatro métodos de ensamble) Un equipo de mejora investiga el efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos. En primera instancia la estrategia experimental es aplicar cuatro veces los cuatro métodos de ensamble en orden completamente aleatorio (las 16 pruebas en orden aleatoria). Los tiempos de ensamble obtenidos se muestran en la tabla 2 siguiente. Si se usa este diseño llamado diseño completamente al azar (DCA), se supone que de acuerdo a como se ha hecho el estudio, además del método de ensamble, no existe ningún otro factor que pueda influir de manera significativa sobre la variable de respuesta (tiempo de ensamble). Si los experimentadores se dan cuenta que hay cuatro operadores y consideran que esto puede afectar de manera significativa los tiempos de ensamble, y por ende la comparación de los métodos, entonces debe utilizar el diseño en bloques completos al azar (DBCA). Los datos para este diseño se pueden ver en la tabla 3 que aparece a continuación Tabla 2 DCA Método de ensamble A B C D 6 7 10 10 9 10 16 13 7 11 11 11 8 8 14 9 Tabla 3 DBCA Método A B C D Operad 1 6 7 1 1

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Ejemplo Diseño de Bloques Completos al Azar

(Comparación de cuatro métodos de ensamble)Un equipo de mejora investiga el efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos. En primera instancia la estrategia experimental es aplicar cuatro veces los cuatro métodos de ensamble en orden completamente aleatorio (las 16 pruebas en orden aleatoria). Los tiempos de ensamble obtenidos se muestran en la tabla 2 siguiente. Si se usa este diseño llamado diseño completamente al azar (DCA), se supone que de acuerdo a como se ha hecho el estudio, además del método de ensamble, no existe ningún otro factor que pueda influir de manera significativa sobre la variable de respuesta (tiempo de ensamble). Si los experimentadores se dan cuenta que hay cuatro operadores y consideran que esto puede afectar de manera significativa los tiempos de ensamble, y por ende la comparación de los métodos, entonces debe utilizar el diseño en bloques completos al azar (DBCA). Los datos para este diseño se pueden ver en la tabla 3 que aparece a continuación

Tabla 2 DCAMétodo de ensamble

A B C D6 7 10 109 10 16 137 11 11 118 8 14 9

Tabla 3 DBCAMétodo

A B C DOpera

dor1 6 7 1

010

2 9 10

16

13

3 7 11

11

11

4 8 8 14

9

Para comparar los cuatro métodos se plantea la hipótesis

H 0 : μA=μB=μC=μD=μ

H 1: μ i≠ μ jpara algún i≠ j=A ,B ,C , D

Tabla DBCA (Desarrollada)Método de ensamble

A B C D ∑Filas

(∑Filas)2

o

Y i .2

∑i , j=1

4

Y ij2

Operador

1 6 7 10 10 33 1089 H1=285

2 9 10 16 13 48 2304 H2=606

3 7 11 11 11 40 1600 H3=412

4 8 8 14 9 39 1521 H4=405

∑Columnas

30 36 51 43 ∑=160

(∑Columnas)2 o Y . j

2 900

1296

2601

1849

∑=6646

∑=160

∑=6514

∑=1708

b=4k=4N=16Para la columna:

∑i , j=1

4

Y ij2

Se cálculo de la siguiente manera:

H 1=∑i , j=1

4

Y ij2=62+72+102+102=285

H 2=∑i , j=1

4

Y ij2=92+102+162+132=606

H 3=∑i , j=1

4

Y ij2=72+112+112+112=412

H 4=∑i , j=1

4

Y ij2=82+82+142+92=405

Estadísticos para el Anova

SCT=∑ ∑i , j=1

4

Y ij2−¿¿

SCB=∑i=1

4 Y i .2

b−¿¿

SCTr=∑j=1

4 Y . j2

k−¿¿

SCE=SCT−SCB−SCTr=108−28.5−61.5=18

Tabla 5 Tabla ANOVA para el DBCAFuente de variabilidad

SC GL CM F0

Método de ensamble

SCTr=61.5

4-1=3 61.53

=20.5 20.52

=10.25

Bloques (operadores)

SCB=28.5

4-1=3 28.53

=9.5 9.52

=4.75

ErrorSCE=18 (4-1)(4-

1)=9189

=2.0

TotalSCT=10

816-1=15

A partir del valor crítico se tiene:

F> f

Sea:

F Fα ;V 1 ;V 2

Donde:

α: Nivel significativo o de nivel de confianza

ν 1: Grados de libertad del numerador

ν 2: Grados de libertad del denominador

Para un nivel significativo α = 0,05, tenemos un valor crítico:

V1=3 Grados de libertad del numerador

V2=9 Grados de libertad del denominador

Buscamos en la tabla de Distribución FF0.05 ;3 ;9=¿?

De esta tabla se observa que para los métodos de ensamble se obtuvo F0.05 ;3 ;9=3.86<10.25, por lo que se rechaza la hipótesis H 0, de que el tiempo medio poblacional de los métodos de ensamble son iguales, y se acepta que al menos dos de los métodos son diferentes en cuanto al tiempo promedio que requieren. De la misma manera para operadores, por el hecho que F0.05 ;3 ;9=3.86<4.75 factor de bloques (operadores)

también afecta, es decir, existen diferencias entre los operadores en cuanto al tiempo promedio. Sin embargo, recordemos que no es objetivo del experimento comparar a los operadores, y su control en el estudio se utiliza para lograr una comparación más justa y precisa de los métodos de ensamble.

Ejemplo de un Diseño en Cuadrado Latino (DCL) y en Cuadrado Grecolatino (DCGL)

Suponga que un experimentador estudia los efectos que tienen cinco formulaciones diferentes de la carga propulsora, utilizada en los sistemas de expulsión de la tripulación de un avión basado en la rapidez de combustión. Cada formulación se hace con un lote de materia prima que solo alcanza para probar cinco formulaciones. Además, las formulaciones son preparadas por varios operadores, y puede haber diferencias sustanciales en las habilidades y experiencias de los operadores. Por lo tanto, hay dos factores perturbadores que serán “calculados en promedio” en el diseño: los lotes de materia prima y los operadores. El diseño apropiado para este problema consiste en probar cada formulación exactamente una vez con cada uno de los cinco operadores. Al diseño resultante se llama diseño de cuadro latino (DCL), que usaremos para eliminar las dos fuentes perturbadoras.Factor de interés: Formulaciones de la carga propulsora.Niveles del Factor: cinco formulaciones A; B; C; D; y E (cinco niveles k = 5)Variable de interés Y = Rapidez de combustiónReplicas por nivel n = 1.

Diseño en Cuadrado Latino (DCL)

Suponga que la secuencia de la prueba es el cuadro latino estándar

Datos de la rapidez de combustión YTabla 6. Diseño en cuadro latino (DCL)

columna: l (operadores) 1 2 3 4 5

renglones: j(materia prima)

1 A=24 B=20 C=19 D=24 E=242 B=17 C=24 D=30 E=27 A=363 C=18 D=38 E=26 A=27 B=214 D=26 E=31 A=26 B=23 C=225 E=22 A=30 B=20 C=29 D=31

A B C D EB C D E AC D E A

Modelo estadísticoY ijl=μ+τ i+γ j+δl+εijl

donde Y ijl≔ rapidez de combustión de la i-ésima formulación; realizada por el j-ésimo operador (factor columna) con el l-ésimo lote de materia prima (factor renglón); T i≔ es la medida del efecto de la i-ésima formulación a la rapidez de combustión, ε ijl≔ es el error aleatorio y μ≔ es la media global real de todos las formulaciones.Hipótesis del problema

H 0 : μA=μB=μC=μD=μE=μH 1: μ i≠ μ j paraalgunos i , j

Significancia de la prueba: α=0.05Codificamos los datos restando a cada observación 25. Se obtiene el siguiente resumen de los datos

Tabla 6. Diseño en cuadro latino (DCL)columna: l (operadores) total

1 2 3 4 5 ∑ FilasoY ∙ j ∙ (∑ Filas )2oY ∙ j∙2 ∑

i ,l=1

5

Y ijl2

renglones: j(materia prima)

1 A=24

B=20

C=19

D=24

E=24

111134130128132

1232117956169001638417424

F1=248

9F

2=3790F

3=3614F

2 B=17

C=24

D=30

E=27

A=36

3 C=18

D=38

E=26

A=27

B=21

4 D=26

E=31

A=26

B=23

C=22

5 E=22

A=30

B=20

C=29

D=31

4=3326F

5=3586

∑Columna oY .. l107 143 121 130

134ΣY ..l=635

(∑ Columna)2oY ..l2 11449 20449 14641

16900 17956ΣY ..l

2 =81395

Total ΣY ∙ j ∙=635 ΣY ∙ j ∙2 =80985

Σ=¿16805

Para la columna:

∑i ,l=1

5

Y ijl2

Se realizo los siguientes cálculos:

F1=∑i ,l=1

5

Y ijl2 =242+202+192+242+242=2489

F2=∑i ,l=1

5

Y ijl2 =172+242+302+272+362=3790

F3=∑i ,l=1

5

Y ijl2 =182+382+262+272+212=3614

F4=∑i , l=1

5

Y ijl2=262+312+262+232+222=3326

F5=∑i ,l=1

5

Y ijl2 =222+302+202+292+312=3586

Totales de tratamientos

Letra latina

Total del tratamiento

A Y 1 ∙∙=143

B Y 2 ∙∙=101

C Y 3 ∙∙=112

D Y 4 ∙ ∙=149

E Y 5 ∙∙=130

∑i=1

5

Y i∙ ∙2 =82295

k=5Para obtener Y i ∙∙

2 :

∑i=1

5

Y i∙ ∙2 =14 32+1012+1122+14 92+1302=82295

Fuentes de variabilidad: Estadísticos de la ANOVA

SCT= ∑i , j ,l=1

5

Y ijl2 −¿¿

SC formulaciones=SCTr=∑i=1

5 Y i..2

k−¿¿

SClotes=SCB1=∑j=1

5 Y . j .2

k−¿¿

SCoperadores=SCB 2=∑l=1

5 Y .. l2

k−¿¿

SCE=SCT−SCTr−SCB1−SCB 2=676−330−68−150=128

ANOVA para rapidez de combustión

Tabla ANOVA para rapidez de combustión de un DCLFuente Sumas de

cuad.GI Cuadrado de

medioCociente-F

Formulaciones

330 5-1=4 3304

=82.50 82.5010.67

=7.73

Lotes de materia prima

68 5-1=4 684

=17.00 1710.67

=1.59≈1.60

Operadores 150 5-1=4 1504

=37.5 37.510.67

=3.51

Error 128 (5-2)(5-1)=12

12812

=10.67

Total 676 52-1=24

A partir del valor crítico se tiene:

F> f

Sea:

F Fα ;V 1 ;V 2

Donde:

α: Nivel significativo o de nivel de confianza

ν 1: Grados de libertad del numerador

ν 2: Grados de libertad del denominador

Para un nivel significativo α = 0,05, tenemos un valor crítico:

V1=4 Grados de libertad del numerador

V2=12 Grados de libertad del denominador

Buscamos en la tabla de Distribución FF0.05 ;4 ;12=¿?

Como F0.05 ;4 ;12=3.26<7.73 Se concluye que hay una diferencia significativa en la rapidez de combustión media generada por las diferentes formulaciones de la carga propulsora. También hay indicios de que hay diferencias entre los operadores debido aF0.05 ;4 ;12=3.26<3.51, por lo que la formación en bloques de este factor fue una buena precaución. No hay evidencia sólida de una diferencia entre los lotes de materia prima por el hecho de que F0.05 ;4 ;12=3.26>1.59, por lo que al parecer en este experimento particular hubo una preocupación innecesaria en esta fuente de variabilidad. Sin embargo, la formación de bloques de los lotes de materia prima es por lo general una buena idea.

Diseño Cuadro Grecolatino

Haciendo uso de Cuadro Grecolatino: DCGL Suponga que en el experimento de la carga propulsora un factor adicional: los montajes de prueba, podría ser importante. Sea que haya cinco montajes de prueba denotados con las letras griegas α ,β , γ , δ , y ε.

Tabla 6. Diseño en cuadro Grecolatino (DCGL)columna: l (operadores) total

1 2 3 4 5 ∑ FilasoY ∙ j ∙ (∑ Filas )2oY ∙ j∙2 ∑

i ,l=1

5

Y ijl2

renglones: j(materia prima)

1 Aα=24

Bγ=20

Cε=19

Dβ=24

Eδ=24

111134130128132

1232117956169001638417424

F1=248

9F

2=3790F

3=3614F

4=3326F

5=3586

2 Bβ=17

Cδ=24

Dα=30

Eγ=27

Aε=36

3 Cγ=18

Dε=38

Eβ=26

Aδ=27

Bα=21

4 Dδ=26

Eα=31

Aγ=26

Bε=23

Cβ=22

5

Eε=22

Aβ=30

Bδ=20

Cα=29

Dγ=31

∑Columna oY .. l 107 143 121 130 ΣY ..l=635

134

(∑ Columna)2oY ..l2 11449 20449 14641

16900 17956ΣY ..l

2 =81395

Total ΣY ∙ j ∙=635 ΣY ∙ j ∙2 =80985

Σ=¿16805

Letra latina

Total del tratamiento

Letra Griega

Total del ensamble

A Y 1 ∙∙ ∙=143 α Y ∙ ∙∙1=135

B Y 2 ∙∙ ∙=101 β Y ∙ ∙∙2=119

C Y 3 ∙∙ ∙=112 γ Y ∙ ∙∙3=122

D Y 4 ∙ ∙∙=149 δ Y ∙ ∙∙ 4=121

E Y 5 ∙∙ ∙=130 ε Y ∙ ∙∙5=138

∑i=1

5

Y i∙ ∙∙2 =82295 ∑

k=1

5

Y ∙∙∙ k2 =80955

K=5

∑i=1

5

Y i∙ ∙∙2 =1432+1012+1122+1492+1302=82295

∑k=1

5

Y ∙∙∙ k2 =1352+1192+1222+1212+1382=80955

Modelo estadísticoY ijlk=μ+τ i+θ j+ωl+ψk+ε ijlk

donde Y ijlk≔ rapidez de una combustión de la i-ésima formulación, realizada por el j-ésimo operador (factor columna) con el l-ésimo lote de materia prima (factor renglón) con el k-ésimo montaje; τ i≔ es la medida del efecto de la i-ésima formulación a la rapidez de combustión, ε ijl≔ es el error aleatorio y μ≔ es la media global real de todas las formulaciones.Hipótesis del problema

H 0 : μA=μB=μC=μD=μE=μH 1: μ i≠ μ jPara algunos i , j

Estadísticos para el Anova

SCT= ∑i , j ,l , k=1

5

Y ijlk2 −¿¿

SC formulaciones=SCTr=∑i=1

5 Y i...2

k−¿¿

SClotes=SCB1=∑j=1

5 Y . j ..2

k−¿¿

SCoperadores=SCB 2=∑l=1

5 Y .. l.2

k−¿¿

SC ensambles=SCB3=∑l=1

5 Y …k2

k−¿¿

SCE=SCT−SCTr−SCB1−SCB 2−SCB3=676−330−68−150−62=66

Tabla ANOVA para rapidez de combustión de un DCGL

Fuente Sumas de cuad.

GI Cuadrado de medio

Cociente-F

Formulaciones SCTr=330 5-1=43304

=82.50 82.58.25

=10

Lotes de materia prima

SCB1=68 5-1=4684

=17.00 178.25

=2.06

Operadores SCB2=150 5-1=41504

=37.5 37.58.25

=4.55

Montajes de la prueba

SCB3=62 5-1=4624

=15.5 15.58.25

=1.88

Error SCE=66(5-3)(5-

1)=8664

=8.25

Total SCT=676 52-1=24A partir del valor crítico se tiene:

F> f

Sea:

F Fα ;V 1 ;V 2

Donde:

α: Nivel significativo o de nivel de confianza

ν 1: Grados de libertad del numerador

ν 2: Grados de libertad del denominador

Para un nivel significativo α = 0,05, tenemos un valor crítico:

V1=4 Grados de libertad del numerador

V2=8 Grados de libertad del denominador

Buscamos en la tabla de Distribución FF0.05 ;4 ;8=¿?

Como F0.05 ;4 ;8=3.84<10 Se concluye que todavía hay una diferencia significativa en la rapidez de combustión media generada por las diferentes formulaciones de la carga propulsora. También continúan los indicios de que hay diferencias entre los operadores debido a F0.05 ;4 ;8=3.84<4.55, por lo que la formación en bloques de este factor sigue siendo una buena precaución.Además hay indicios de que no hay diferencias entre los lotes de materia debido a F0.05 ;4 ;8=3.84>2.06, por lo que la formación en bloques de este factor continúa siendo una precaución innecesaria, además señala que no hay evidencia sólida de una diferencia entre los Montajes de la prueba por el hecho de que F0.05 ;4 ;8=3.84>1.88, por lo que al parecer en este experimento particular hubo una preocupación innecesaria en esta fuente de variabilidad.

Al comparar los dos diseños DCL y DCGL, se observa que al sacar la variabilidad debida a los montajes de prueba, el error experimental disminuye. Sin embargo, al disminuir el error experimental, se han reducido también los grados de libertad de 12 a 8. Por lo tanto, la estimación de error tiene menos grado de libertad y la prueba puede ser menos sensible.