DiscretizacióndePrimitivasGráficas ComputaciónGraficaFISI2011 II

C.U. Viernes, 30 de Septiembre de 2011

Lic. John Ledgard Trujillo Trejo

Computacin Grfica

Primitive Graphs

Construction Construccin de Primitivas

Grficas

30-sep-11 Lic. John Ledgard Trujillo Trejo

Universidad Nacional Mayor de San Marcos Facultad de Ingeniera de Sistemas e Informtica

Introduccin Arquitectura

Pixel

Representacin Grafica en un Dispositivo de Salida

Primitivas Grficas

Discretizacin

Discretizacin de Lneas (Segmento de recta) Algoritmo de recta simple Algoritmo DDA (Digital Diferential Analizer)

Algoritmo de Punto Medio (Bresenham)

Discretizacin de Circunferencias Simetra de la circunferencia

Algoritmo de fuerza bruta

Algoritmo basado en la representacin paramtrica Algoritmo de punto medio

AGENDA



Introduccin

Representar figuras => iluminar pxeles apropiadamente

Ciertas primitivas son ms fciles de muestrear que otras

En una escena pueden haber miles de primitivas a dibujar => el rendimiento es esencial

Algunos paquetes grficos slo soportan ciertas primitivas => hay que reducirlo todo a ellas

Sistemas acelerados por Hardware.



Introduccin

Problema:

Los dispositivos raster son discretos y los objetos continuos

El dispositivo de salida es limitado



Introduccin

Cmo convertir figuras continuas en su representacin discreta?

Muestreo o rasterizacin, filtrado y recortado =>

Perdida de informacin

Transformacin de informacin.



Arquitectura

Memoria de presentacin (Frame buffer) alineada en y

Es ms costoso multiplicar que sumar

Muchos procesadores trabajan ms rpido con aritmtica entera que en coma flotante

Hay que evitar dibujar dos veces la misma primitiva o el mismo pxel. Coherencia.

001010010101001

010010100010100



Arquitectura

Memoria de representacin nxm puntos

La direccin d de un pxel de coordenadas enteras (x, y) es

d = x + my

Un punto matemtico no tiene rea Un pxel si

Los puntos son reales; los pxeles enteros

Representar pxeles requiere realizar al menos una traslacin un escalado y un redondeo...

0123456.m

1 0010100 ...01

2 0100101 ...00

. .

n 0110111 ...00



Pixel

Un pixel (de las palabras inglesas picture element) es el

elemento direccionable ms pequeo de la pantalla.

Es la porcin ms pequea que podemos controlar.

Todos los pixel tienen un nombre o una direccin.

Los nombres que identifican a los pixel corresponden a las coordenadas que definen a los puntos. Esto es parecido a la forma de seleccionar los elementos de una matriz mediante subndices.

Las imgenes grficas creadas por ordenador se obtienen activando la intensidad y el color de los pixel que componen la pantalla.

Se dibujan segmentos dando brillo a un conjunto de pixel situados entre el pixel inicial y el pixel final.




Sistema de Coordenadas Fsica:

Representacin matemtica de los objetos.

Independiente del Dispositivo.

Denominado Espacio Euclideano.

Valores infinitesimales Reales.




Sistema de Coordenadas Maestras: Coordenadas de Modelado a coordenadas locales.

Definen la forma del objeto.

Sistema Individual, independiente para cada objeto.




Sistema de Coordenadas Universales: Definen la posicin y orientacin de los objetos.

Espacio de la escena.

Sistema nico para todos los objetos.




Sistema de Coordenadas Normalizadas: Coordenadas de dispositivos normalizadas.

Proyeccin bidimensional del objeto en base a la posicin y la orientacin de una hipottica cmara.

Rango de valores: entre -1 y 1 o entre 0 y 1.




Sistema de Coordenadas de Dispositivo: Monitor: Coordenadas de pantalla.

Origen: Vrtice superior izquierdo.

Espacio de pantalla (pixels).

Discreto y acotado:

[0, Xmax] x [0, Ymax]

Xmax y Ymax N Valores enteros.




Correspondencia entre espacio de pantalla y espacio Euclidiano:

X = Redondeo(x)

Y = Redondeo(y)

Donde: x e y son coordenadas del espacio Euclidiano.

X e Y son coordenadas del espacio pantalla.

(X, Y) N2



Primitivas Grficas

Figuras bsicas mediante el cual se pueden construir

objetos complejos.

Puntos, segmentos de recta, circunferencia, polgonos.



Primitivas Grficas

Estas primitivas son llamadas muy frecuentemente, por lo que se hace imperativo la velocidad con que estas se ejecuten.

Para poder llevarse a cabo con una velocidad aceptable se deben evitar los clculos con nmeros flotantes que retarden el proceso y tratar de evitar las multiplicaciones sustituyndolas por sumas iterativas que son

de mucho menor costo.

Las primitivas grficas son funciones que ofrecen las

bibliotecas grficas para describir estructuras geomtricas

bsicas.



Primitivas Grficas: Punto

En la imagen" mental del usuario un punto normalmente

se representan en un espacio Euclidiano de una

determinada dimensin. En dichas condiciones un punto es

una entidad matemtica p = (x, y), donde (x, y) R2.

En el soporte aritmtico de la computadora, dicha representacin se efecta con los tipos de datos provistos, que pueden ser nmeros reales con punto flotante de simple o doble precisin (espacio de escena).

En el soporte grfico del bufer de pantalla, un punto se representa con un pixel, y dicha representacin se efecta seteando una posicin de memoria con un contenido dado (espacio pantalla).



Discretizacin

Es la operacin de llevar una primitiva del espacio

Euclideano (espacio de la escena) al espacio de pantalla.

Espacio Euclideano

(Coordenadas Fsicas) Espacio de pantalla

(Coordenadas de dispositivo)



Discretizacin

Proceso que aproxima las diferentes figuras geomtricas

con un conjunto de pixels (del ingles Scan-conversion o

rasterizacin).

El problema principal a tratar se basa en el estudio de primitivas grficas para la conversin de definiciones geomtricas continuas a un esquema discreto de pxeles, y la aproximacin necesaria para poder llevar a cabo la transformacin.



Discretizacin

Especificaciones de una discretizacin:

Apariencia: Evitar discontinuidad o puntos espreos

Debe ser uniforme

Simetra e invarianza geomtrica: Producir resultados equivalentes si se modifican

algunas propiedades geomtricas de la primitiva.

Simplicidad y Velocidad de Computo: Evitar el uso de operaciones aritmticas complejas.

Evitar los errores de las operaciones aritmticas



Cuestiones en dibujar lneas y curvas

Aproximando una curva continua con un nmero finito de puntos en posiciones fijas.

Haciendo el algoritmo tan rpido como sea posible.



Reduciendo Muchos Problemas a Uno

Comience con cualquier segmento dirigido de la lnea.

Transformar en un segmento del origen en el primer octante.

Llevar la cuenta de las transformaciones usadas.

Dibujar la lnea en el primer octante.

Pero ejerza transformaciones en orden inverso antes de sacar cada punto.



Reduciendo Muchos Problemas a Uno



Discretizacin de Lneas (Segmento de recta)

La recta es la lnea ms corta que une dos puntos y el lugar

geomtrico de los puntos del plano (o el espacio) en una

misma direccin.

Si conocemos dos puntos de la recta, P1(x1,y1) y P2(x2, y2), la pendiente es:




Ecuacin de la recta punto pendiente

La ecuacin general de la recta es de la

siguiente forma:




y = mx + b Ecuacin de la recta punto pendiente

donde m = y / x es la pendiente de la recta

b = -mx0+ y0

Para lml < 1, la lnea es mas horizontal que vertical.

Si m 0 la lnea tiende a ser horizontal

Para lml > 1, la lnea es mas vertical que horizontal.

Si m la lnea tiende a ser vertical




Para dibujar lneas rectas, hay que calcular las posiciones intermedias entre los dos extremos

Este problema no exista en las pantallas vectoriales o plotters

Las posiciones de los pixels son valores enteros, y los puntos obtenidos de la ecuacin son reales, entonces existe un error (aliasing)

A menor resolucin, mayor es el efecto




Hay que calcular las coordenadas de los pixels que estn lo ms cerca posible de una lnea recta ideal, infinitamente delgada, superpuesta sobre la matriz de pixels.




Consideraciones para la discretizacin de lneas

La secuencia de pixels debe ser lo ms recta posible.

Las lneas deben dibujarse con el mismo grosor e intensidad independiente de su inclinacin




Algoritmo de recta simple

La ecuacin de una recta es y = mx + b

Donde m es la pendiente de la recta

b es el corte con el eje y

Para un valor determinado xi

obtenemos yi = m xi + b

pintamos el pixel (xi , round(yi))





void recta_simple (int x0, int y0, int x1, int y1) {

int x, y; float dx, dy, m; dx = x1 - x0; dy = y1 - y0; m = dy/dx; b = y0 - m*x0; y = y0; for (x=x0; x





No es muy eficiente

Cada paso requiere una multiplicacin

flotante, una suma y un redondeo.

Acumulacin de errores

Producto

Suma

Redondeo

Es valido si la coordenada del primer

extremo de la recta es menor que la del

segundo extremo: x0 < x1

Solo funciona bien con pendientes

pequeas, con pendientes mas altas deja

huecos indeseables.




Algoritmo DDA (Digital Diferential Analizer)

Caso 1: m < 1

Sea xi yi = m xi + b

Para xi+1 tambien yi+1 = m xi+1 + b

Sabemos que x = xi+1 - xi

xi+1 = xi + xi

Reemplazando yi+1 = m(xi + xi) + b

yi+1 = mxi + b + mxi

yi+1 = yi + mxi

Haciendo que x = 1 xi+1 = xi + 1

y yi+1 = yi + m

En general:

xi + 1 = xi + 1

yi+1 = yi + m tal que m = y/ x

Pintar (xi + 1 , round(yi+1 ))





Caso 2: m > 1

haciendo y = 1 yi+1 = yi + 1

tambien yi+1 = m xi+1 + b

reemplazando yi + 1= m xi+1 + b

(yi + 1)/m= xi+1 + b/m

xi+1 = yi /m - b/m + 1/m

Por tanto xi+1 = xi + 1/m

En general:

yi + 1 = yi + 1

xi+1 = xi + 1/ m tal que m = y/ x






void recta_dda(int x0, int y0, int x1, int y1) {

int x; float dx, dy, m, y; dx = x1-x0; dy = y1-y0; m = dy/dx; y = y0; for(x=x0; x





Tiene mayor precisin

El algoritmo discretiza lneas eliminando la multiplicacin dentro del bucle, pero an emplea aritmtica en coma flotante.

Acumulacin de errores

Suma repetida de m

Redondeo





Solo emplea aritmtica entera

Calcula el pixel (xi+1 , yi+1 ) a partir de (xi , yi )

Supongamos el caso de 0 < m < 1

Punto extremo inferior: (x0 , y0)

Punto extremo superior: (x1 , y1)





Sea L: F(x, y) = Ax + By +C ecuacin general de la recta.

Sea P(x0 , y0) un punto cualesquiera, entonces:

i) Si F(x0 , y0) =0 P(x0 , y0) L

ii) Si F(x0 , y0) > 0 P(x0 , y0) se encuentra debajo de la recta

iii) Si F(x0 , y0) < 0 P(x0 , y0) se encuentra encima de la recta



1 1



NE: Pixel en direccin Nor Este

E : Pixel en direccin Este

Q : Punto perteneciente a la recta

M : punto medio entre pixels NE y E

NE = (xi + 1, yi + 1)

E = (xi + 1, yi )

Q = (x , y) L

M = (xi + 1, yi + )

NE

E

M Q

(xi , yi)





De la ecuacin de la recta: y = mx + b

y = y/x x + b

y x - x y + x b = 0

F(x, y) = y x - x y + x b = 0 (x, y) L

Donde A = y , B = - x , C = xb

Se trata de elegir entre los pixels NE y E, esto depender del valor

numrico de F(x, y) en el punto medio entre NE y E.

d = F(M) donde M = (xi + 1, yi + )





i) Si d = F(M) > 0, entonces M se encuentra debajo de la recta y el

punto NE se encuentra ms prxima a la recta.

ii) Si d = F(M) < 0, entonces M se encuentra encima de la recta y el

punto E se encuentra ms prxima a la recta.

iii) Si d = F(M) = 0, entonces se puede elegir cualquiera.

NE

E

M

F(M) > 0

NE

E

M F(M) < 0





Caso 1: Cuando elegimos a E:

dnuevo = F (xi + 2, yi + )

dnuevo = A(xi + 2) + B(yi + ) + C

d = F(xi + 1, yi + )

d = A(xi + 1) + B(yi + ) + C

Restando dnuevo y d:

dnuevo d = A

El incremento que se usa despues

de elegir E se denomina E y su

valor es:

E = dnuevo d = A = y

M = (xi + 2, yi + )

E

M





Caso 2: Cuando elegimos a NE:

dnuevo = F (xi + 2, yi + 3/2 )

dnuevo = A(xi + 2) + B(yi + 3/2 ) + C

d = F(xi + 1, yi + )

d = A(xi + 1) + B(yi + ) + C


dnuevo d = A + B

El incremento que se usa despues

de elegir NE se denomina NE y su

valor es:

NE = dnuevo d = A+B = y - x

M = (xi + 2, yi + 3/2)

M

NE





Para dinicial :

dinicial = F(x0 + 1, y0 + )

dinicial = A(x0 + 1) + B(y0 + ) + C

dinicial = Ax0 + By0 + C + A + B/2

dinicial = F(x0 , y0 ) + A + B/2

Pero F(x0 , y0 ) L F(x0 , y0 ) = 0

dinicial = A + B/2

dinicial = y - x/2





Para eliminar la divisin por 2 se redefine F(x, y)

multiplicndolo por 2, lo cual no afecta el signo de la variable

de decisin:

F(x, y) = 2y x - 2x y + 2x b = 0 (x, y) L

Por tanto: dinicial = 2y - x

Tambin: E = 2y

NE = 2(y - x)




Algoritmo de Punto Medio (Bresenham) void recta_punto_medio(int x0, int y0, int x1, int y1) {

int dx, dy, dE, dNE, d, x, y; dx = x1 - x0; dy = y1- y0; d = 2*dy - dx; dE = 2*dy; dNE = 2*(dy - dx); x = x0; y = y0; pintar(x, y, atributo); while (x < x1) {

if(d



Discretizacin de Circunferencias

La ecuacin de una circunferencia con centro en

(x0 , y0) es:

(x - x0)2 + (y - y0)

2 = R2

Donde R es el radio de la circunferencia.

Restringiremos el estudio de la circunferencia

con centro en el origen de coordenadas:

x 2 + y 2 = R 2

Una primera aproximacin para discretizar una

circunferencia es resolver la ecuacin:

Y = (R 2 - x 2)1/2 x Z y 0 x R



Para dibujar la circunferencia Es posible tambin reducir el

clculo al considerar la simetra de las circunferencias.

Incluso el primer octante es simtrico al segundo con respecto

a la recta y = x.

Simetra de la circunferencia




Dibujando slo el segundo octante, desde x = 0 hasta x = y

podemos pintar todo el crculo

Simetra de la circunferencia


void pintar_circunferencia (int x, int y, int atributo); {

pintar (x, y, atributo); pintar (y, x, atributo); pintar (y, -x, atributo); pintar (x, -y, atributo); pintar (-x, -y, atributo); pintar (-y, -x, atributo); pintar (-y, x, atributo); pintar (-x, y, atributo);

}



Usamos la ecuacin: Y = (R 2 - x 2)1/2 x Z

Para el primer octante: 0 x R



En general:

xi + 1 = xi + 1

yi+1 = (R 2 xi+1 2)1/2


A medida que los valores de xi se acercan a R los pixels

pintados (xi, yi) sern muy discontnuos.



Se divide el primer cuadrante en dos partes (octantes).



En general:

xi < yi

xi+1 = xi + 1

yi+1 = (R 2 xi+1 2)1/2


void circunferencia_fuerza_bruta (int R) {

float x = 0,y = R; while (x < y) {

y = sqrt(pow(R,2)-pow(x,2)); pintar (x, round(y),atributo); x = x + 1;

} }





No es nada eficiente

Cada paso requiere una raz cuadrada

El espaciado entre pixels no es uniforme

Demasiado costo computacional



Se usa las siguientes ecuaciones:

x = R cos

y = R sen donde 0 90

Algoritmo basado en la representacin paramtrica





Los cuadrantes II, II y IV

se obtienen por simetra de

la circunferencia respecto

al origen.

El valor del incremento del

ngulo debe ser lo suficientemente pequeo

para evitar los huecos

Uso de funciones

trigonomtricas

Demasiado costo

computacional

void circunferencia_parametrica(int R) {

float x,y; float PI=3.1415..; float teta=PI/4; delta=0.1; while (teta




Algoritmo de punto medio

Sea la ecuacin de la circunferencia con centro en el origen de

coordenadas (0, 0):

x 2 + y 2 = R 2 , R: radio de la circunferencia

Comenzamos a pintar en el punto (0, R) y se va desde

X =0 hasta x = y, donde la pendiente va de 0 a -1

Sea C: F(x, y) = x 2 + y 2 - R 2 = 0 ecuacin general de la de la

circunferencia.

Sea P(x0 , y0) un punto cualesquiera, entonces:

i) Si F(x0 , y0) =0 P(x0 , y0) C

ii) Si F(x0 , y0) > 0 P(x0 , y0) se encuentra fuera de la C

iii) Si F(x0 , y0) < 0 P(x0 , y0) se encuentra dentro de la C





Queremos pasar del pixel (xi , yi ) al pixel (xi+1 , yi+1)

E: Pixel en direccin Este

SE : Pixel en direccin Sur Este

Q : Punto perteneciente a la circunferencia

M : punto medio entre pixels E y SE

E = (xi + 1, yi )

SE = (xi + 1, yi -1)

Q = (x , y) C

M = (xi + 1, yi - )

E

SE

M

Q

P (xi, yi)





Se trata de elegir entre los pixels E y SE, esto

depender del valor numrico de F(x, y) en el

punto medio entre E y SE.

d = F(M) donde M = (xi + 1, yi - )

i) Si d = F(M) > 0, entonces M se encuentra fuera

de la circunferencia y el punto SE se encuentra

ms prximo a la circunferencia.

ii) Si d = F(M) < 0, entonces M se encuentra

dentro de la circunferencia y el punto E se

encuentra ms prxima a la circunferencia.

iii) Si d = F(M) = 0, entonces se puede elegir

cualquiera.

E

SE

M

F(M) > 0

E

SE

M

F(M) < 0





Los valores de M y d para el siguiente punto depende de la eleccin de E o SE.

Caso 1: Cuando elegimos a E:

dnuevo = F (xi + 2, yi - )

dnuevo = (xi + 2) 2 + (yi ) 2 - R 2

d = F(xi + 1, yi - )

d = (xi + 1) 2 + (yi ) 2 - R 2


dnuevo d = 2xi + 3

El incremento que se usa despues de elegir E se denomina E y

su valor es:

E = dnuevo d = A = 2xi + 3

M

M = (xi + 2, yi - )

E = (xi + 1, yi )





Caso 2: Cuando elegimos a SE:

dnuevo = F (xi + 2, yi 3/2 )

dnuevo = (xi + 2) 2 + (yi 3/2) 2 - R 2

d = F(xi + 1, yi - )

d = (xi + 1) 2 + (yi ) 2 - R 2


dnuevo d = 2xi - 2yi +5

El incremento que se usa despues de elegir

SE se denomina SE y su valor es:

SE = dnuevo d = 2xi - 2yi +5

M = (xi + 2, yi + 3/2)

M

SE = (xi + 1, yi + 1)





Para dinicial el punto de partida es (0, R):

dinicial = F(0 + 1, R - ) = F(1, R - )

dinicial = (1) 2 + (R ) 2 - R 2

dinicial = 5/4 R

Por tanto: dinicial = 5/4 R

Tambin: E = 2xi + 3

SE = 2xi 2yi + 5





void circunferencia_punto_medio(int R) {

// discretizacion valida en el II octante int x=0, y=R; float d=5/4-R; pintar(x,y,atributo); while (x



Discretizacin de Elipses


Planteamiento similar al despliegue de una

circunferencia.

i) Se determina los puntos (x, y) para una elipse en

posicin estndar centrada en el origen.

X2 /rx 2 + y2 /ry 2 = 1

ii) La pendiente de la curva (la tangente) se calcula a

partir de la ecuacin

En la frontera entre la regin 1 y la regin 2 dy/dx = - 1

(dy/dx < -1 en la regin 1 y dy/dx > -1 en la regin 2),



Bibliografa

1. Computer Graphics: Principles and Practice. Foley J., Van Dame A.,

Feiner S., Hughes J., Phillips R. Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts. 1996

2. Fundamentals of Computer Aided Geometric Design. Hoschek J.,

Lasser D. A.K. Peters Ltd. Wellesley Massachusetts. 1993

3. Grficas por computadora. Hearn D., Baker M.P. Prentice - Hall

Hispanoamericana. 1998



Discusin, preguntas...

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