Dinámica de gases y transferencia de calor y masa...de un medio, existe una transferencia neta de...

Índice 1. Introducción .......................................................................................................................... 1

1.1. ¿Qué y cómo es? ............................................................................................................ 1

1.2. Orígenes físicos y modelos ............................................................................................ 1

1.3. Relevancia de la transferencia de calor ......................................................................... 2

2. Transferencia de calor por conducción ................................................................................. 4

2.1. El modelo para la conducción ........................................................................................ 4

2.2. Propiedades térmicas de la materia .............................................................................. 6

2.2.1. Conductividad térmica .......................................................................................... 6

2.2.2. Otras propiedades relevantes ............................................................................. 11

2.3. Ecuación de difusión de calor ...................................................................................... 12

2.3.1. Condiciones iniciales y de frontera ..................................................................... 16

2.4. Conducción unidimensional de estado estable ........................................................... 18

2.4.1. La pared plana ..................................................................................................... 18

2.4.2. El cilindro ............................................................................................................. 24

2.4.3. La esfera .............................................................................................................. 28

2.5. Conducción con generación de energía térmica ......................................................... 31

2.5.1. La pared plana ..................................................................................................... 32

2.5.2. El cilindro ............................................................................................................. 35

2.5.3. La esfera .............................................................................................................. 39

2.6. Aletas o superficies extendidas ................................................................................... 40

2.6.1. Análisis de conducción general ........................................................................... 41

2.6.2. Aletas de área de sección transversal uniforme ................................................. 43

2.6.3. Eficiencia de la aleta ............................................................................................ 50

3. Métodos numéricos aplicados a la conducción ........................................................... 51

3.1. Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones .................................................... 51

3.2. Resolución numérica.................................................................................................... 54

3.2.1. Flujo unidimensional ........................................................................................... 55

3.2.2. Flujo Bidimensional ............................................................................................. 67

3.2.3. Régimen transitorio ............................................................................................. 69

4. Transferencia de calor por convección ........................................................................ 85

4.1. Notación vectorial ........................................................................................................ 85

4.2. Teorema del transporte de Reynolds .......................................................................... 87

4.3. Ecuaciones de conservación ........................................................................................ 89

4.3.1. Conservación de la masa ..................................................................................... 89

4.3.2. Conservación de la cantidad de movimiento ...................................................... 92

4.3.3. Ecuación de la energía cinética ........................................................................... 95

4.3.4. Ecuación de la energía total y de la energía térmica .......................................... 96

4.3.5. Ecuación de la entropía ....................................................................................... 97

4.4. Capa límite de convección ........................................................................................... 98

4.4.1. Capa límite de velocidad o hidrodinámica .......................................................... 98

4.4.2. Capa límite térmica ............................................................................................. 99

4.4.3. Significado de las capas límite ........................................................................... 100

4.5. Flujo laminar y turbulento ......................................................................................... 101

4.6. Adimensionalización de las ecuaciones ..................................................................... 103

4.6.1. Teorema PI de Buckingham ............................................................................... 106

4.7. Forma funcional de las soluciones ............................................................................. 112

4.8. Analogía de Reynolds ................................................................................................. 113

4.9. Método empírico ....................................................................................................... 115

4.10. Regímenes del flujo ................................................................................................... 116

4.10.1. Régimen incompresible ..................................................................................... 118

4.10.2. Régimen compresible ........................................................................................ 135

4.11. Problemas combinados de conducción y convección ............................................... 154

5. Transferencia de calor por radiación ......................................................................... 166

5.1. Introducción ............................................................................................................... 166

5.2. Intensidad radiante específica ................................................................................... 171

5.2.1. Definiciones ....................................................................................................... 171

5.2.2. Flujo radiante sobre o desde una superficie arbitraria ..................................... 172

5.3. Radiación de cuerpo negro ........................................................................................ 175

5.3.1. Distribución de Planck ....................................................................................... 176

5.3.2. Ley de desplazamiento de Wien ....................................................................... 179

5.4. Caracterización de superficies reales ........................................................................ 179

5.4.1. Ley de Kirchhoff de la radiación ........................................................................ 181

5.4.2. Superficie gris .................................................................................................... 183

5.5. Ecuación general de la transmisión de calor por radiación ....................................... 185

5.6. Radiación en gases ..................................................................................................... 187

5.7. Intercambio de radiación entre superficies ............................................................... 188

5.7.1. Radiación térmica sobre o desde una superficie .............................................. 189

5.7.2. Factor de vista ................................................................................................... 190

5.7.3. Método de las radiosidades .............................................................................. 191

6. Problemas combinados ............................................................................................. 203

7. Métodos de resolución avanzados ............................................................................ 211

8. Anexo ......................................................................................................................... 211

Grado en Ingeniería en Tecnologías Aeroespaciales Dinámica de gases y transferencia de calor y masa

Xavi Paneque Linares Página 1

Dinámica de Gases y Transferencia de Calor y Masa

1. Introducción El objetivo de este texto es ampliar el análisis termodinámico a través del estudio de los modos

de transferencia de calor y por medio del desarrollo de relaciones matemáticas para calcular

velocidades de transferencia de calor.

1.1. ¿Qué y cómo es? La transferencia de calor es la energía en tránsito debido a una diferencia de temperaturas.

Siempre que exista una diferencia de temperaturas en un cuerpo o entre cuerpos, debe ocurrir

una transferencia de calor.

1.2. Orígenes físicos y modelos Como ingenieros es importante que entendamos los mecanismos físicos que sirven de base a

los modos de transferencia de calor y seamos capaces de usar los modelos que proporcionan

la cantidad de energía que se transfiere por unidad de tiempo.

Nos referimos a los distintos tipos de procesos de transferencia de calor como modos. Existen

tres modos de transferencia de calor.

Conducción

Cuando existe un gradiente de temperatura en un medio estacionario utilizamos el término

conducción para referirnos a la transferencia de calor que se produce a través del medio. A la

palabra conducción debemos atribuir de inmediato el concepto de actividad atómica y

molecular, pues hay procesos en estos niveles que sustentan este modo de transferencia de

calor. La conducción se considera como la transferencia de energía de las partículas más

energéticas a las menos energéticas de una sustancia debido a las interacciones entre las

mismas.

Convección

El término convección se refiere a la transferencia de calor que ocurrirá entre una superficie y

un fluido en movimiento cuando están a diferentes temperaturas. El modo de transferencia de

calor por convección se compone de dos mecanismos. Además de la transferencia de energía

debida al movimiento molecular aleatorio (difusión), la energía también se transfiere mediante

el movimiento global o macroscópico del fluido. El movimiento del fluido se asocia con el



hecho de que, en cualquier instante, grandes números de moléculas se mueven de forma

colectiva o como agregados. Tal movimiento, en presencia de un gradiente de temperatura,

contribuye a la transferencia de calor. Como las moléculas en el agregado mantienen su

movimiento aleatorio, la transferencia total de calor se debe entonces a una superposición de

transporte de energía por el movimiento aleatorio de las moléculas y por el movimiento global

del fluido. Se acostumbra a utilizar el término convección cuando se hace referencia a este

transporte acumulado y el término advección cuando se habla del transporte debido al

movimiento volumétrico del fluido.

Radiación

Se utiliza el término radiación para referirse al calor transmitido a través de cualquier

superficie con temperatura finita en forma de ondas electromagnéticas. Por tanto, en ausencia

de un medio, existe una transferencia neta de calor por radiación entre dos superficies a

diferentes temperaturas. Aunque más adelante nos centraremos en la radiación de superficies

sólidas, esta radiación también puede provenir de líquidos y gases. Sin importar la forma de la

materia, la radiación se puede atribuir a cambios en la configuración electrónica de los átomos

o moléculas constitutivas. Así pues mientras la transferencia de energía por conducción o por

convección requiere la presencia de un medio material, la radiación no lo precisa, de hecho, la

transferencia de radiación ocurre de manera más eficiente en el vacío.

1.3. Relevancia de la transferencia de calor A través del tiempo, la transferencia de calor ha sido en verdad un tema relevante, para no

mencionar que es en sí parte fascinante de las ciencias de la ingeniería.

Los fenómenos de transferencia de calor tienen un papel importante en muchos problemas

industriales y ambientales.

En una escala más pequeña hay muchos problemas de transferencia de calor relacionados con

el desarrollo de sistemas de conversión de energía solar para calentamiento de espacios, así

como para la producción de energía eléctrica. Los procesos de transferencia de calor también

afectan al funcionamiento de sistemas de propulsión, como los motores de combustión

interna, de turbinas de gas y propulsión de cohetes. Los problemas de transferencia de calor

surgen en el diseño de sistemas de calentamiento de espacios convencionales y de agua, en el

diseño de incineradores y de equipo de almacenamiento criogénico, en el enfriamiento de

equipo electrónico, en el diseño de sistemas de refrigeración y de acondicionamiento de aire y



en muchos procesos de producción. La transferencia de calor también es relevante para la

contaminación del aire y del agua e influye fuertemente en el clima local y global.



2. Transferencia de calor por conducción Recuerde que la conducción (transferencia de calor por difusión) se refiere al transporte de

energía en un medio debido a un gradiente de temperatura, y el mecanismo físico es el de la

actividad aleatoria atómica o molecular. En este capítulo consideraremos con gran detalle la

ecuación o modelo de la conducción y la relación de la conservación de la energía con el

proceso de conducción.

2.1. El modelo para la conducción Tomemos un sólido y dos isotermas 𝑇1 y 𝑇2 de este

El flujo de calor es la energía que atraviesa una superficie por unidad de tiempo, es decir, la

velocidad con la que se transfiere el calor de un foco con temperatura 𝑇1 a otro 𝑇2 con 𝑇1 >

𝑇2.

La conducción térmica está determinada por la ley de Fourier. La ley de Fourier es

fenomenológica, es decir, se desarrolla a partir de los fenómenos observados más que

derivarse de los principios básicos. Por ello vemos el modelo como una generalización que se

basa en numerosas pruebas experimentales. Considérese el experimento de conducción de

estado estable basado en una varilla cilíndrica de material conocido que se aísla en la

superficie lateral, mientras sus extremos se mantienen a diferentes temperaturas con 𝑇1 > 𝑇2.

La diferencia de temperatura ocasiona una transferencia de calor por conducción en la

dirección 𝑥 positiva. Podemos medir la rapidez de transferencia de calor 𝑞𝑥, y buscamos

𝑇1

𝑇2 𝑞



determinar cómo 𝑞𝑥 depende de las siguientes variables: diferencia de temperaturas

Δ𝑇, longitud de la varilla Δ𝑥 y área de la sección transversal 𝐿. Tratando distintos

experimentos se observa que la transferencia de calor 𝑞𝑥 es directamente proporcional al área

𝐿 y a la diferencia de temperaturas Δ𝑇 mientras que es inversamente proporcional a la

longitud de la varilla Δ𝑥. El efecto colectivo es entonces

𝑄𝑥 ∝ 𝐿Δ𝑇Δ𝑥

Al cambiar el material encontraríamos que la proporcionalidad anterior sigue siendo válida,

pero sin embargo encontraríamos que para valores iguales se darían otros valores de 𝑞𝑥. Esto

sugiere que la proporcionalidad se puede convertir a una igualdad al introducir un coeficiente

que es una medida del comportamiento del material. De aquí escribimos

𝑄𝑥 = 𝜆𝐿Δ𝑇Δ𝑥

Donde 𝜆 es la conductividad térmica 𝑊/𝑚𝐶𝑐, es una propiedad importante del material. Al

evaluar esta expresión en el límite conforme Δ𝑥 → 0, obtenemos para la rapidez de

transferencia de calor

𝑄𝑥 = −𝜆𝐿d𝑇d𝑥

[𝑊]

O para el flujo de calor

𝑞𝑥 = −𝜆d𝑇d𝑥

�𝑊𝑚2

�

Recuerde que el signo menos es necesario puesto que el calor siempre se transfiere en la

dirección de la temperatura decreciente. Si aceptamos que el flujo de calor es una cantidad

vectorial, es posible escribir un planteamiento más general de la ecuación de conducción como

𝑞 = −𝜆 · ∇𝑇 = −𝜆 �𝜕𝑇𝜕𝑥

𝚤 +𝜕𝑇𝜕𝑦

𝚥 +𝜕𝑇𝜕𝑧

𝑘�⃗ �

Está implícito en esta ecuación que el vector de flujo de calor se encuentra en una dirección

perpendicular a las superficies isotérmicas. Una forma alternativa de la ley de Fourier es, por

tanto,

𝑞𝑐 = −𝜆𝜕𝑇𝜕𝑛



También se ha considerado que el medio en el que ocurre la conducción es isotrópico. Para

este medio el valor de la conductividad térmica es independiente de las direcciones

coordenadas.

Para el caso bidimensional y como la temperatura debe ser forzosamente una función

continua, podemos escribir

𝜕𝑇𝜕𝑛

=𝜕𝑇𝜕𝑥

𝜕𝑥𝜕𝑛

+𝜕𝑇𝜕𝑦

𝜕𝑦𝜕𝑛

=𝜕𝑇𝜕𝑥

cos𝛼 +𝜕𝑇𝜕𝑦

cos𝛽

Y por tanto la ley de Fourier queda

𝑞𝑐 = −𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥

cos𝛼 − 𝜆𝜕𝑇𝜕𝑦

cos𝛽

Y de forma vectorial

𝑞𝑐𝑛�⃗ = 𝑞𝑥𝚤 + 𝑞𝑦𝚥

De esta ecuación podemos deducir que el flujo será máximo cuando el gradiente sea máximo y

para ello la distancia entre isotermas debe ser mínima. Por tanto el flujo será máximo siempre

está en la dirección perpendicular a la isoterma.

Finalmente, se ha de observar que la ley de Fourier se aplica para toda la materia sin importar

su estado: sólido, líquido o gaseoso.

2.2. Propiedades térmicas de la materia El uso de la ley de Fourier hace obligatorio el conocimiento de la conductividad térmica. Esta

propiedad, a la que se hace referencia como propiedad de transporte, proporciona una

indicación de la velocidad a la que se transfiere energía mediante el proceso de difusión, y

depende de la estructura física de la materia, atómica y molecular, que se relaciona con el

estado de la materia. En esta sección consideramos varias formas de materia, mediante la

identificación de aspectos importantes de su comportamiento y la presentación de valores

típicos de sus propiedades.

2.2.1. Conductividad térmica En cuanto a la conste de proporcionalidad 𝜆, podemos decir que depende del material y se

denomina conductividad térmica. La conductividad térmica mide la capacidad de conducción

de calor, es la capacidad de una sustancia de transferir la energía cinética de sus moléculas a

otras moléculas adyacentes. Tiene unidades de 𝑤 𝑚 · 𝐶𝑐⁄ y su significado físico es la cantidad

𝛽 𝛼

𝑛

𝒚

𝒙



de calor necesario por unidad de superficie, para que al ser atravesado durante una unidad de

tiempo, 1 m de material homogéneo obtenga una diferencia de 1𝑐𝐶 de temperatura entre las

dos caras.

La conductividad térmica es un valor que se obtiene de forma experimental ya que no se

conocen modelos de la materia que permitan el cálculo, solo de forma excepcional para el

caso de gases mediante la teoría cinética molecular de los gases.

El rango de valores que toma la conductividad térmica depende del estado de la sustancia que

tratemos. En general se tiene la conductividad térmica de un sólido es mayor que la de un

líquido, que a su vez es mayor que la de un gas. La conductividad térmica de un sólido puede

ser hasta cuatro órdenes de magnitud más alta que la de un gas. Esta tendencia se debe en

gran parte a las diferencias en el espacio intermolecular para los dos estados.

Veamos con más detalle estos valores para cada estado de la materia.

Estado sólido

En la visión moderna de los materiales, un sólido se compone de electrones libres y de átomos

unidos en un arreglo periódico denominado estructura cristalina. Por consiguiente, el

transporte de energía térmica se debe a dos efectos: la migración de electrones libres y las

ondas vibracionales de la estructura cristalina. Estos efectos son aditivos, de modo que la

conductividad térmica 𝜆 es la suma del componente electrónico 𝜆𝑒 y el componente de la

estructura cristalina 𝜆𝑙

𝜆 = 𝜆𝑒 + 𝜆𝑙

En una primera aproximación, 𝜆𝑒 es inversamente proporcional a la resistencia eléctrica 𝜌𝑒.

Para metales puros, que son de baja 𝜌𝑒, 𝜆𝑒 es mucho mayor que 𝜆𝑙. En contraste, para

aleaciones, que son sustancialmente de 𝜌𝑒 grande, la contribución de 𝜆𝑙 a 𝜆 ya no es

insignificante. Para sólidos no metálicos, 𝜆 está determinada principalmente por 𝜆𝑙, que

depende de la frecuencia de las interacciones entre los átomos de la estructura cristalina. La

regularidad del arreglo de la estructura cristalina tiene un efecto importante sobre 𝜆𝑙, en los

materiales cristalinos (bien ordenados) como el cuarzo que tienen una conductividad térmica

más alta que los materiales amorfos como el vidrio. De hecho, en sólidos cristalinos no

metálicos, como el diamante y el óxido de berilio, 𝜆𝑙 puede ser bastante grande y exceder los

valores de 𝜆 asociados con buenos conductores, como el aluminio.



La dependencia de 𝜆 con la temperatura se muestra a continuación para sólidos metálicos y no

metálicos representativos.

Sistemas aislantes

Los aislantes térmicos se componen de materiales de baja conductividad térmica combinados

para lograr un sistema de conductividad térmica aún más baja. En aislantes tipo fibra, polvo y

escamas, e material sólido se dispersa finalmente en el espacio de aire. Estos sistemas se

caracterizan por una conductividad térmica efectiva, que depende de la conductividad térmica

y de las propiedades radiativas de la superficie del material sólido, así como de la naturaleza y

fracción volumétrica del aire o espacio vacío. Un parámetro especial del sistema es su

densidad global (masa del sólido partido por su volumen total), que depende en gran medida

de la forma en la que se interconecta el material sólido.

Si se forman pequeños vacíos o espacios huecos al pegar o fundir partes del material sólido, se

crea una matriz rígida. Cuando estos espacios se sellan, el sistema se denomina aislante

celular. Ejemplos de estos aislantes rígidos son los sistemas de espuma, en particular los que se

hacen con materiales plásticos y de vidrio. Los aislantes reflectores se componen de láminas u

hojas delgadas muticapa paralelas de alta reflexividad, que están espaciadas para reflejar el

calor radiante de regreso a su fuente. El espacio entre las hojas se diseña para restringir el



movimiento del aire, y el espacio incluso está vacío en aislantes de alto rendimiento. En todos

los tipos de aislantes, la evacuación del aire en el espacio vacío reduce la conductividad

térmica del sistema.

Es importante reconocer que la transferencia de calor a través de cualquiera de estos sistemas

aislantes incluye varios modos: conducción por los materiales sólidos; conducción o

convección a través del aire en los espacios vacíos; y, si la temperatura es suficientemente alta,

intercambio de radiación entre las superficies de la matriz sólida. La conductividad térmica

efectiva da cuenta de todos estos procesos.

Estado líquido y gaseoso

Como el espacio intermolecular es mucho mayor y el movimiento de las moléculas es más

aleatorio para el estado líquido y gaseoso que para el sólido, el transporte de energía térmica

es menos efectivo. La conductividad térmica de los gases y líquidos es por tanto menor que la

de los sólidos en general.

El efecto de la temperatura, presión y especies químicas en la conductividad térmica de un gas

se explica en términos de la teoría cinética de los gases. De esta teoría se sabe que la

conductividad térmica es directamente proporcional al número de partículas por unidad de

volumen 𝑛, la velocidad molecular media 𝐼̅ y la trayectoria libre media 𝜆, que es la distancia

promedio que viaja una molécula antes de sufrir una colisión.

Dado que 𝐼̅ aumenta con el incremento de la temperatura y la disminución de la masa

molecular, la conductividad térmica de un gas aumenta con el incremento de la temperatura y

con la disminución del peso molecular. Estas tendencias se muestran en la figura de la

siguiente página. Sin embargo, como 𝑛 y 𝜆 son directa e inversamente proporcionales a la

presión del gas, la conductividad térmica es independiente de la presión. Esta suposición es

apropiada para las presiones de interés en este texto.

Las condiciones moleculares asociadas con el estado líquido son más difíciles de describir, y los

mecanismos físicos para explicar la conductividad no están bien comprendidos. Como se

muestra en la figura, la conductividad térmica de líquidos no metálicos por lo general

disminuye al aumentar la temperatura; las excepciones notables son la glicerina y el agua. Esta

propiedad es insensible a la presión excepto cerca del punto crítico. También, por lo común se

sigue que la conductividad térmica disminuye con el aumento en el peso molecular. Los

valores de conductividad de los líquidos metálicos son mucho mayores que los no metálicos.



El orden de magnitud para los líquidos es de aproximadamente

0,07 ≤ 𝜆 ≤ 0,7 𝑊

𝑚 · 𝐶𝑐

A continuación tenemos un gráfico con el orden de magnitud para distintos estados de la

materia así como distintas familias de materiales.

2.2.2. Otras propiedades relevantes En nuestro análisis de problemas de transferencia de calor, será necesario utilizar muchas

propiedades de la materia. Estas propiedades por lo general se denominan propiedades

termofísicas e incluyen dos categorías distintas: las propiedades de transporte y las

termodinámicas. Las propiedades de transporte incluyen coeficientes de la velocidad de

difusión como 𝜆, conductividad térmica y 𝜈, viscosidad cinemática. Las propiedades

termodinámicas, por otro lado se relacionan con el estado de equilibrio de un sistema. La

densidad 𝜌 y el calor específico 𝐼 son dos de estas propiedades que se usan extensamente en

el análisis termodinámico. El producto 𝜌𝐼 normalmente denominado capacidad térmica

volumétrica, mide la capacidad de un material para almacenar energía térmica. Puesto que las

sustancias de densidad grande se caracterizan por pequeños calores específicos, muchos

sólidos y líquidos, que son excelentes medios de almacenamiento de energía, tienen



capacidades térmicas comparables. Sin embargo, debido a sus muy pequeñas densidades, los

gases son muy poco adecuados para el almacenamiento de energía térmica.

En el análisis de transferencia de calor, la razón de la conductividad térmica a la capacidad

térmica es una importante propiedad denominada difusividad térmica 𝐼

𝐼 =𝜆𝜌𝐼

�𝑚2

𝐼�

Mide la capacidad de un material para conducir energía térmica en relación con su capacidad

para almacenar energía térmica. Materiales de 𝐼 grande responderán rápidamente a cambio

en su medio térmico, mientras que los materiales de 𝐼 pequeña responden más lentamente y

tardan más en alcanzar una nueva condición de equilibrio.

2.3. Ecuación de difusión de calor Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de

temperatura en un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronteras. Es

decir, deseamos conocer la distribución de temperaturas, que representa cómo varía la

temperatura con la posición en el medio. Una vez que se conocer esta distribución, el flujo de

calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la

ley de Fourier. También es posible determinar otras cantidades importantes. Para un sólido, el

conocimiento de la distribución de temperaturas sirve para comprobar la integridad

estructural mediante la determinación de los esfuerzos térmicos, sus expansiones y

deflexiones. La distribución de temperaturas también es útil para optimizar el espesor de un

material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos

especiales que se usen con el material.

Definimos un volumen de control

diferencial, identificamos los procesos de

transferencia de energía relevantes e

introducimos las ecuaciones de flujo

apropiadas. El resultado es una ecuación

diferencial cuya solución, para las

condiciones de frontera que se

establecen, proporciona la distribución

de temperaturas en el medio.

𝒙

𝒚

𝒛

𝑄𝑥

𝑄𝑦 𝑄𝑧

𝑄𝑥+d𝑥

𝑄𝑦+d𝑦 𝑄𝑧+d𝑧



Considere un medio homogéneo dentro del cual no hay rozamiento de volumen (advección) y

en la que la distribución de temperaturas 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) se expresa en coordenadas cartesianas. Al

seguir la metodología de aplicar la conservación de la energía, definimos primero un volumen

de control infinitesimalmente pequeño

d𝑉 = d𝑥d𝑦d𝑧

Como se muestra en la figura. Después de elegir que se formule la primera ley en un instante,

el segundo paso es considerar los procesos de energía que son relevantes para este volumen

de control. El primer principio de la termodinámica nos dice que

d𝐸 = d(𝑇 + 𝐸𝑐) = �̇� + �̇�

Es decir, la variación de la energía potencial y cinética es igual al calor y trabajo que se aplica o

recibe del volumen de control. Esto son propiedades extensivas, lo podemos escribir de forma

integral con propiedades intensivas (no dependen de la masa, valores por unidad de masa)

como

dd𝐼� (𝑢 + 𝑒)𝜌

𝑉d𝑉 = −��⃗̇� · d𝐼

𝑆+ �𝑓 · �⃗�

𝑆d𝐼 + �𝑏�⃗ · �⃗�𝜌

𝑉d𝑉

Estos términos representan de izquierda a derecha, la variación de la energía como suma de

potencial y cinética, el calor que atraviesa la superficie y el trabajo de las fuerzas de superficie

y volumen.

Para plantear la ecuación supondremos algunas hipótesis

- Densidad constante 𝜌 = 𝐼𝐼𝑒

- Sólido estático �⃗� = 0�⃗

- Los calores específicos a presión y volumen constante son iguales 𝐶𝑜 = 𝐶𝑣

- La energía interna viene dada por d𝑢 = 𝐼𝑜 d𝑇. Debemos tener en cuenta que aquí no

estamos suponiendo que el calor específico sea constante 𝐶𝑜 ≠ 𝐼𝐼𝑒.

De esta manera la ecuación resulta

dd𝐼�𝑢𝜌

𝑉d𝑉 = −��⃗̇� · d𝐼

𝑆→ 𝜌d𝑉

𝜕𝑢𝜕𝐼

= 𝐶𝑜𝜌d𝑉𝜕𝑇𝜕𝐼

= −�⃗̇�

Y el balance del calor entrante y saliente es

�⃗̇� = 𝑄𝑥 − 𝑄𝑥+d𝑥 + 𝑄𝑦 − 𝑄𝑦+d𝑦 + 𝑄𝑧 − 𝑄𝑧+d𝑧 + 𝑄𝑣



Donde por Taylor y quedándonos con términos de primer orden

𝑄𝑐+d𝑐 = 𝑄𝑐 +𝜕𝑄𝑐𝜕𝑛

d𝑛

Así pues queda

𝐶𝑜𝜌d𝑉𝜕𝑇𝜕𝐼

= −𝜕𝑄𝑥𝜕𝑥

d𝑥 −𝜕𝑄𝑦𝜕𝑦

d𝑦 −𝜕𝑄𝑧𝜕𝑧

d𝑧 + �̇�𝑣

Por otro lado el valor del área de las caras de nuestro volumen diferencial así como su

volumen son

d𝑆𝑥 = d𝑦d𝑧 d𝑆𝑦 = d𝑥d𝑧 d𝑆𝑧 = d𝑥d𝑦 d𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

Sustituyendo ahora la ley de Fourier

𝑄𝑐 = −𝑆𝑐𝜆𝑐𝜕𝑇𝜕𝑛

Se llega a

𝐶𝑜𝜌𝜕𝑇𝜕𝐼

=𝜕𝜕𝑥

�𝜆𝑥𝜕𝑇𝜕𝑥� +

𝜕𝜕𝑦

�𝜆𝑦𝜕𝑇𝜕𝑦� +

𝜕𝜕𝑧�𝜆𝑧

𝜕𝑇𝜕𝑧� + �̇�𝑣

Esta es la ecuación de la difusión del calor en el caso más general a pesar de las hipótesis que

ya se han realizado. Veamos algunos casos concretos que simplifican aún más la ecuación.

- Considerando material isotrópico con conductividad térmica constante

𝐶𝑜𝜌𝜆

𝜕𝑇𝜕𝐼

= ∇2𝑇 +�̇�𝑣𝜆

Donde el término

𝐶𝑜𝜌𝜆

=1𝐼

Es la difusividad térmica mencionada en el capítulo anterior.

- Considerando estado estable, el problema es estacionario y no habrá cambio en la

cantidad de energía almacenada. La ecuación se reduce a

∇2𝑇 +�̇�𝑣𝜆

= 0

- Finalmente, y si no hay generación de energía entonces resulta



∇2𝑇 = 0

En algunos casos puede ser más interesante expresar la ecuación de calor en coordenadas

cilíndricas y esféricas. El resultado de la ecuación se obtiene de forma análoga a la anterior y se

omitirá el procedimiento

Coordenadas cilíndricas

En este caso la ecuación queda


=1𝐼𝜕𝜕𝐼�𝐼𝜆𝑟

𝜕𝑇𝜕𝐼� +

1𝐼2

𝜕𝜕𝜙

�𝜆𝜙𝜕𝑇𝜕𝜙

� +𝜕𝜕𝑧�𝜆𝑧

𝜕𝑇𝜕𝑧� + �̇�𝑣

Coordenadas esféricas

En este caso la ecuación queda


=1𝐼2

𝜕𝜕𝐼�𝐼2𝜆𝑟

𝜕𝑇𝜕𝐼� +

1𝐼2 sin2 𝜃

𝜕𝜕𝜙

�𝜆𝜙𝜕𝑇𝜕𝜙

� +1

𝐼2 sin𝜃𝜕𝜕𝜃

�𝜆𝜃 sin𝜃𝜕𝑇𝜕𝜃� + �̇�𝑣



Ejemplo 1. Encuentra la ecuación diferencial siendo 𝝀 = 𝑨 + 𝑩𝑻.

Partimos de la ecuación general para materiales isotrópicos sin fuentes internas


=𝜕𝜕𝑥

�𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥� +

𝜕𝜕𝑦

�𝜆𝜕𝑇𝜕𝑦� +

𝜕𝜕𝑧�𝜆𝜕𝑇𝜕𝑧�

Desarrollando obtenemos


=𝜕𝜕𝑥

�𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥� +

𝜕𝜕𝑦

�𝜆𝜕𝑇𝜕𝑦� +

𝜕𝜕𝑧�𝜆𝜕𝑇𝜕𝑧� = 𝜆 · ∇2𝑇 +

𝜕𝜆𝜕𝑥

𝜕𝑇𝜕𝑥

+𝜕𝜆𝜕𝑦

𝜕𝑇𝜕𝑦

+𝜕𝜆𝜕𝑧𝜕𝑇𝜕𝑧

Sustituyendo la ley que sigue la conductividad se obtiene


= (𝐿 + 𝑇𝑇) · ∇2𝑇 + 𝑇‖∇𝑇‖2

Para un problema estacionario e unidimensional tenemos

0 = (𝐿 + 𝑇𝑇) ·d2𝑇d𝑥2

+ 𝑇 �d𝑇d𝑥�2

Ejemplo 2. Tenemos la siguiente distribución de temperaturas

𝑻(𝒙,𝒚) = 𝟐𝟒𝒙𝒚𝟐 − 𝟐 𝒍𝒏𝒙

En un medio bidimensional infinito con 𝛌 = 𝟑𝟎 𝐖/𝐦𝐊. Se pide el flujo de calor en el punto

𝑷(𝟐 𝟓⁄ ,𝟏𝟑 𝟏𝟎⁄ ) y su proyección según el vector unitario 𝒏��⃗ = √𝟐 𝟐⁄ (𝟏,𝟏).

Por la ley de Fourier tenemos

�⃗� = −𝜆∇𝑇 = −𝜆 �24𝑦2 −2𝑥

, 48𝑥𝑦� = 1066,8𝚤 − 748,8𝚥

Proyectando el vector según la dirección 𝑛�⃗ obtenemos

�⃗�(𝑐) = (�⃗� · 𝑛�⃗ ) · 𝑛�⃗ = �𝑞𝑥𝑛𝑥 + 𝑞𝑦𝑛𝑦� · 𝑛�⃗ = −1283,8 · (1,1)

2.3.1. Condiciones iniciales y de frontera Para determinar la distribución de temperaturas en un medio es necesario resolver la forma

apropiada de la ecuación de calor. Sin embargo, esta solución depende de las condiciones

físicas que existan en las fronteras del medio y, si la situación depende del tiempo, también

dependerá de las condiciones que existan en el medio en algún tiempo inicial. Con respeto a

las condiciones de frontera, hay varias posibilidades comunes que simplemente se expresan en



forma matemática. Como la ecuación de calor es de segundo orden en las coordenadas

espaciales, deben expresarse dos condiciones de frontera para cada coordenada necesaria en

la descripción del sistema. Sin embargo, dado que la ecuación es de primer orden en el tiempo,

debe especificarse sólo una condición, denominada condición inicial.

Las tres clases de condiciones de frontera que normalmente se encuentran en la transferencia

de calor se resumen a continuación

Temperatura superficial constante

Corresponde a una situación en que la superficie se mantiene a una temperatura fija 𝑇𝑠. Se

denomina normalmente condición de Dirichlet, o condición de frontera de primera clase. Se

aproxima mucho cuando, por ejemplo, la superficie está en contacto con un sólido que se

funde o con un líquido en ebullición. En ambos casos hay una transferencia de calor a la

superficie, mientras que la superficie permanece a la temperatura del proceso de cambio de

fase.

𝑇(0, 𝐼) = 𝑇𝑠

Flujo de calor superficial constante

Corresponde a la existencia de un flujo de calor fijo o constante en la superficie. Este flujo de

calor se relaciona con el gradiente de temperatura en la superficie mediante la ley de Fourier.

Esta se denomina condición de Neumann o condición de frontera de segunda clase, y se logra

uniendo un calentador eléctrico de película delgada o de parche a la superficie. Un caso

especial de esta condición corresponde a la superficie perfectamente aislada, o adiabática.

o Flujo finito de calor

−𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=0

= 𝑞𝑥

o Superficie adiabática o aislada

𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=0

= 0

Condición de convección superficial

Corresponde a la existencia de calentamiento por convección en la superficie y se obtiene del

balance de energía en la superficie.



−𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=0

= 𝛼[𝑇∞ − 𝑇(0, 𝐼)]

Más adelante veremos más en detalle el fenómeno de la convección y algunas características

de la constante de convección 𝛼

2.4. Conducción unidimensional de estado estable En este capítulo tratamos situaciones en las que el calor se transfiere por difusión en

condiciones unidimensionales de estado estable. Lo de “unidimensionales” se refiere al hecho

de que sólo se necesita una coordenada para describir la variación espacial de las variables

dependientes. Así. En un sistema unidimensional existen gradientes de temperatura a lo largo

de una sola dirección coordenada y la transferencia de calor ocurre exclusivamente en esa

dirección. Es sistema se caracteriza por condiciones de estado estable si la temperatura en

cada punto es independiente del tiempo. A pesar de su simplicidad inherente, los modelos

unidimensionales de estado estable sirven para representar de forma precisa numerosos

sistemas de ingeniería.

2.4.1. La pared plana Para la conducción unidimensional en una pared plana, la temperatura es una función sólo de

la coordenada 𝑥, y el calor se transfiere exclusivamente en esta dirección. Una pared plana

separa dos fluidos con temperaturas diferentes. La transferencia de calor ocurre por

convección del fluido caliente a 𝑇𝑔1 hacia una superficie de la pared a 𝑇1, por conducción a

través de la pared y por convección de la otra superficie de la pared a 𝑇2 al fluido frío a 𝑇𝑔2.

Comencemos por tomar en cuenta las condiciones dentro de la pared. Primero determinamos

la distribución de temperatura, de la que se obtiene la transferencia de calor por conducción.

Distribución de temperatura para

una pared plana

La distribución de temperatura en la

pared se determina resolviendo la

ecuación de calor con las condiciones

de frontera apropiadas.

Para condiciones de estado estable

sin una fuente o sumidero de energía



dentro de la pared, la forma apropiada de la ecuación de calor es

dd𝑥

�𝜆d𝑇d𝑥� = 0

En consecuencia, para la conducción unidimensional de estado estable en una pared plana sin

generación interna de calor, el flujo de calor es una constante, independiente de 𝑥. Si la

conductividad térmica del material de la pared se supone constante, la ecuación se integra dos

veces para obtener la solución general

𝑇(𝑥) = 𝐶1𝑥 + 𝐶2

Introduciendo las condiciones de frontera

𝑇(0) = 𝑇1 𝑇(𝑒) = 𝑇2

Se llega a

𝑇(𝑥) =𝑇2 − 𝑇1

𝑒𝑥 + 𝑇1

De este resultado es evidente que, para la conducción unidimensional en estado estable de

una pared plana sin generación interna de calor ni conductividad térmica constante, la

temperatura varía de forma lineal con 𝑥.

Ahora que tenemos la distribución de temperaturas, utilizaremos la ley de Fourier para

determinar la transferencia de calor por conducción. Es decir


=𝑇1 − 𝑇2𝑒/𝜆

Donde el término del denominador representa la resistencia al paso del calor a través de la

pared. Esta ecuación indica que el flujo de calor es constante e independiente de 𝑥.

Distribución de temperatura para una pared compuesta

La transferencia unidimensional de calor para este sistema se expresa como

𝑞𝑥 =𝑇1 − 𝑇2𝑒1/𝜆1

𝑞𝑥 =𝑇2 − 𝑇3𝑒2/𝜆2

𝑞𝑥 =𝑇𝑐 − 𝑇𝑐+1𝑒𝑐/𝜆𝑐

→ 𝑞𝑥 =𝑇1 − 𝑇𝑐+1∑ 𝑒𝑖𝜆𝑖𝑐𝑖=1



Distribución de temperatura con convección

Debido a que la temperatura cerca de la pared izquierda es algo inferior a 𝑇𝑔1 por efectos de

convección natural, el gas en esta zona es más denso y en consecuencia, se crea un perfil de

velocidades descendente cerca de esta. Algo parecido sucede en la pared derecha, que se

encuentra a una temperatura ligeramente superior a 𝑇𝑔2 formándose un perfil de velocidades

ascendente. La transferencia de calor por convección a la izquierda de la pared ha de ser igual

a la conducción de la primera capa de pared y como esta se mantiene constante, también ha

de coincidir con la convección del fluido 2 en 𝑥 = 𝑒. Suponiendo que no hay transferencia de

energía por radiación entonces

𝑞𝑐𝑐𝑐𝑣 = −𝜆𝑓1𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=0−

= −𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=0+

= 𝑞𝑐𝑐𝑐𝑟

Y también tenemos que

𝑞𝑐𝑐𝑐𝑟 = −𝜆𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=𝑒−

= −𝜆𝑓2𝜕𝑇𝜕𝑥�𝑥=𝑒+

= 𝑞𝑐𝑐𝑐𝑣

La transferencia de calor por convección se expresa con la ley del enfriamiento de Newton

𝑞𝑐𝑐𝑐𝑣 = 𝛼�𝑇𝑔1 − 𝑇1� 𝛼 �𝑊

𝑚2𝐶𝑐�

Donde la constante de proporcionalidad 𝛼 es el coeficiente superficial de la transferencia de

calor por convección y depende de varios factores como, entre otros

- Tipo de convección (natural o forzada)



- Régimen del fluido (laminar o turbulento)

- Velocidad del flujo

- Viscosidad, densidad, conductividad térmica, calor específico y coeficiente de

dilatación del fluido

- Superficie de intercambio

- Rugosidad de la superficie de intercambio

- Temperatura

Teniendo en cuenta todo esto, podemos resolver de nuevo la ecuación de la pared compuesta

con gases a izquierda y derecha con constantes de convección 𝛼1 y 𝛼2. Igualando la convección

y la conducción en cada una de los extremos se llega a

𝑞𝑥 =𝑇𝑔1 − 𝑇𝑔2

1𝛼1

+ 1𝛼2+ ∑ 𝑒𝑖𝜆𝑖

𝑐𝑖=1

Donde los términos 1/𝛼 representan la resistencia que opone el fluido. Si queremos aumentar

la conducción de calor a través de la pared, es relativamente fácil actuar y reducir el término

de la conductividad del materia y, a menudo, este llega a ser despreciable respecto la

resistencia del fluido.

Configuraciones en serie-paralelo

Las paredes compuestas también se caracterizan por configuraciones en serie-paralelo como la

mostrada a continuación

Aunque el flujo de calor ahora es bidimensional, a menudo es razonable suponer condiciones

unidimensionales. Sujetos a esta suposición, supondremos que las paredes normales a la

dirección 𝑥 son isotérmicas mientras que las superficies paralelas se considerarán adiabáticas.

Así pues la transferencia de calor del sistema de la figura debe cumplir, por conservación de la

energía

𝑄𝐸 = 𝑄𝐺 + 𝑄𝐹 = 𝑄𝐻

𝑄𝑇 =𝑇1 − 𝑇𝐸𝐿𝐸 𝜆𝐸⁄

=𝑇𝐸 − 𝑇𝐻𝐿𝐹 𝜆𝐹⁄

+𝑇𝐸 − 𝑇𝐻𝐿𝐺 𝜆𝐺⁄

=𝑇𝐻 − 𝑇2𝐿𝐻 𝜆𝐻⁄



Ejemplo 3. La pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los cuales

son de conductividad térmica conocida, 𝝀𝑨 = 𝟐𝟎 𝑾/𝑲𝒎 y 𝝀𝑪 = 𝟓𝟎 𝑾/𝑲𝒎, y de espesor

conocido 𝑳𝑨 = 𝟎,𝟑𝟎 𝒎 y 𝑳𝑪 = 𝟎,𝟏𝟓 𝒎. El tercer material 𝑩, que se intercala entre los

materiales A y C, es de espesor conocido 𝑳𝑩 = 𝟎,𝟏𝟓 𝒎, pero de conductividad térmica 𝝀𝑩

desconocida.

En condiciones de operación de estado estable, las mediciones revelan una temperatura de

la superficie externa 𝑻𝟎 = 𝟐𝟎𝒐𝑪, una temperatura de la superficie interna 𝑻𝒊 = 𝟔𝟎𝟎𝒐𝑪, y

una temperatura del aire del horno 𝑻𝒈 = 𝟖𝟎𝟎𝒐𝑪. Se sabe que el coeficiente de convección

interior es 𝜶 = 𝟐𝟓 𝑾/𝒎𝟐𝑲. ¿Cuál es el valor de 𝝀𝑩?

En primer lugar calculamos el flujo de calor mediante la relación

𝑞𝑥 = 𝛼�𝑇𝑔 − 𝑇𝑖� = 25 · (800 − 600) = 5000𝑊𝑚2

Este flujo se debe mantener constante a lo largo de toda la pared. La temperatura en la capa

izquierda de la región B es

𝑞𝑥 =𝑇𝑖 − 𝑇𝐵𝑖𝑒/𝜆𝐴

=600 − 𝑇𝐵𝑖

0,3/20= 5000 → 𝑇𝐵𝑖 = 525𝑐 𝐶

En la pared derecha tenemos

𝑞𝑥 =𝑇𝐵𝑟 − 𝑇0𝑒/𝜆𝐶

=𝑇𝐵𝑟 − 200,15/50

= 5000 → 𝑇𝐵𝑟 = 35𝑐𝐶



Imponiendo de nuevo el flujo constante en la zona B se obtiene

𝑞𝑥 =𝑇𝐵𝑖 − 𝑇𝐵𝑟𝑒/𝜆𝐵

→ 5000 =525 − 350,15/𝜆𝐵

→ 𝝀𝑩 = 𝟏,𝟓𝟑𝟏𝑾𝑲𝒎

Ejemplo 4. Las paredes exteriores de un edificio son un compuesto que consiste en un

tablero de yeso de 𝟏𝟎 𝒎𝒎 de espesor, espuma de uretano de 𝟓𝟎 𝒎𝒎 de espesor y 𝟏𝟎 𝒎𝒎

de madera blanda. En un típico día de invierno las temperaturas del aire exterior e interior

son −𝟏𝟓𝒐𝑪 y 𝟐𝟎𝒐𝑪, respectivamente, con coeficientes de convección externo e interno de

𝟏𝟓 𝑾/𝒎𝟐𝑲 y 𝟓𝑾 𝒎𝟐𝑲⁄ , respectivamente.

𝝀𝒑 = 𝟎,𝟏𝟕𝑾𝒎𝑲

𝝀𝒇 = 𝟎,𝟎𝟐𝟔𝑾𝒎𝑲

𝝀𝒘 = 𝟎,𝟏𝟐𝑾𝒎𝑲

𝝀𝒈 = 𝟏,𝟒𝑾𝒎𝑲

𝝀𝒂 = 𝟎,𝟎𝟐𝟔𝟑𝑾𝒎𝑲

a) ¿Cuál es la carga de calentamiento para una sección de 𝟏 𝒎𝟐 de pared?

La carga de calentamiento viene dada por

𝑸 =𝑇𝑔1 − 𝑇𝑔2

1𝛼1

+ 1𝛼2+ ∑ 𝑒𝑖𝜆𝑖

𝑐𝑖=1

· 𝐿 =20 + 15

115 +

15 +

0,010,17 +

0,050,026 +

0,010,12

· 1 = 𝟏𝟓,𝟎𝟏 𝑾

b) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared compuesta se reemplaza por una

ventana de vidrio de 𝟑 𝒎𝒎 de espesor?

En este caso el calor es


1𝛼1

+ 1𝛼2+ ∑ 𝑒𝑖𝜆𝑖

𝑐𝑖=1

· 𝐿 =20 + 15

115 +

15 +

0,0031,4

· 1 = 𝟏𝟑𝟎,𝟐𝟎 𝑾



c) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared compuesta se reemplaza con una

ventana de doble vidrio que consiste en dos placas de vidrio de 𝟑 𝒎𝒎 de espesor

separadas por un hueco de aire estancado de 𝟓 𝒎𝒎 de espesor?

Si añadimos el aire como aislante se obtiene que el calor total transferido es


1𝛼1

+ 1𝛼2+ ∑ 𝑒𝑖𝜆𝑖

𝑐𝑖=1

· 𝐿 =20 + 15

115 +

15 + 2 ·

0,0031,4 +

0,0050,0263

· 1 = 𝟕𝟓,𝟗𝟏 𝑾

Observamos que la pared hecha de compuesto es claramente superior des del punto de

reducir la pérdida de calor, y la contribución dominante de la resistencia térmica total (82%)

está asociada a la espuma aislante. Incluso con la construcción del doble cristal, la pérdida de

calor a través de la ventana es significantemente superior que para la pared hecha de

compuesto.

2.4.2. El cilindro Los sistemas cilíndricos y esféricos (que veremos más adelante) a menudo experimentan

gradientes de temperatura sólo en la dirección radial y, por consiguiente, se tratan como

unidimensionales. Además, bajo condiciones de estado estable sin generación interna de calor,

estos sistemas se analizan con el método estándar, que comienza con la forma apropiada de la

ecuación de calor, o el método alternativo, el cual inicia con la forma apropiada de la ley de

Fourier. En esta sección, el sistema cilíndrico se analiza por medio del método estándar y el

sistema esférico mediante el método alternativo.

Distribución de temperatura para un cilindro

Un ejemplo común es el cilindro hueco, cuyas superficies interna y externa se exponen a

fluidos con diferentes temperaturas. Para condiciones de estado estable sin generación de

calor, la forma apropiada de la ecuación de calor es

1𝐼

dd𝐼�𝜆𝐼

d𝑇d𝐼� = 0

El significado físico de este resultado se vuelve evidente si consideramos también la forma

apropiada de la ley de Fourier. La rapidez a la que se conduce la energía a través de cualquier

superficie cilíndrica en el sólido se expresa como

𝑄𝑟 = −𝜆𝐿d𝑇d𝐼

= −𝜆(2𝜋𝐼𝐿)d𝑇d𝐼



Observando la primera ecuación podemos deducir que la transferencia de calor por

conducción 𝑄𝑟 (no el flujo de calor 𝑞𝑟) es una constante en la dirección radial.

Es posible determinar la distribución de temperaturas en el cilindro resolviendo la ecuación y

aplicando condiciones de frontera apropiadas. Si se supone que el valor de la conductividad

térmica es constante, la ecuación se integra dos veces para obtener la solución general

𝑇(𝐼) = 𝐶1 ln 𝐼 + 𝐶2

Para obtener las constantes de integración introducimos las siguientes condiciones de frontera

𝑇(𝐼1) = 𝑇1 𝑇(𝐼2) = 𝑇2

Al aplicar estas condiciones a la solución general se obtiene

𝑇(𝐼) = 𝑇2 +𝑇1 − 𝑇2

ln 𝐼1𝐼2ln𝐼𝐼2

A partir de la ecuación y por la ley de Fourier se puede encontrar el flujo de calor. Este no es

constante dado que a menudo que el flujo avanza, el radio de la superficie cilíndrica que

atraviesa aumenta. Pero si escribimos el flujo de calor por unidad de altura este queda



𝑞𝑟 = −𝜆 ·d𝑇d𝐼

· 2𝜋𝐼 =𝑇1 − 𝑇21

2𝜋𝜆 ln𝐼2𝐼1

�𝑊𝑚�

Donde el término del denominador representa la resistencia térmica que opone el cilindro.

Distribución de temperatura para un cilindro compuesto

Considere ahora el sistema compuesto de la siguiente imagen

Si se recuerda cómo tratamos la pared plana compuesta y dejando de lado las resistencias

térmicas de contacto interfacial, la transferencia de calor se expresa como

𝑞𝑟 =𝑇𝑔1 − 𝑇𝑔2

12𝜋𝐼1𝛼1

+ 12𝜋𝐼𝑐+1𝛼2+ ∑

ln 𝐼𝑖+1𝐼𝑖2𝜋𝜆𝑖

𝑐𝑖=1

Espesor de aislamiento óptimo

La presencia de efectos que compiten asociados con un aumento del espesor sugiere la

existencia de un espesor de aislamiento óptimo para sistemas radiales. En particular, aunque

la resistencia de conducción aumenta al agregar un aislante, la resistencia de convección



disminuye debido al aumento del área de la superficie exterior. Por ello puede existir un

espesor de aislamiento que minimice la pérdida de calor al maximizar la resistencia total a la

transferencia de calor. Tomando el denominador de la expresión el cual representa la

resistencia 𝑅, para 𝑛 = 1 para simplificar el resultado, tenemos

𝑅 =1

2𝜋𝐼1𝛼1+

12𝜋𝐼2𝛼2

+ln 𝐼2𝐼12𝜋𝜆

→d𝑅d𝐼2

= −1

2𝜋𝐼22𝛼2+

12𝜋𝜆𝐼2

= 0 → 𝐼2 =𝜆𝛼2

Avaluando la segunda derivada se puede verificar que realmente es un mínimo para la

resistencia y máximo para el calor transferido. Por ello no existe un espesor de aislamiento

óptimo. Del resultado anterior tiene más sentido pensar en términos de un radio de

aislamiento crítico

𝐼𝑐𝑟 =𝜆𝛼2

Por debajo del cual el calor transferido aumenta al aumentar el radio y por arriba del cual el

calor transferido disminuye con el aumento del radio.

Ejemplo 5. El vapor que fluye a través de un tubo largo de pared delgada mantiene la pared

del tubo a una temperatura uniforme de 𝟓𝟎𝟎 𝑲. El tubo está cubierto con una manta

aislante compuesta con dos materiales diferentes A y B.

Se supone que la interfaz entre los dos materiales tiene una resistencia de contacto infinita,

y que toda la superficie externa está expuesta al aire, para el cual 𝑻𝒈 = 𝟑𝟎𝟎 𝑲 y 𝜶 =

𝟐𝟓 𝑾/𝑲𝒎𝟐. Para las condiciones que se establecen ¿Cuál es la pérdida total de calor del

tubo? ¿Cuáles son las temperaturas de la superficie externa 𝑻𝟐𝑨 y 𝑻𝟐𝑩?



Suponiendo que las paredes que separan las zonas A y B son adiabáticas, la pérdida de calor

total viene dada por la suma de la resistencia del material A y del material B. Fijémonos que

cada una tiene una superficie de contacto de media circunferencia y por lo tanto la calor total

vendrá dada por

𝑄𝑟 = 𝑄𝐴 + 𝑄𝐵 =𝑇1 − 𝑇𝑔2

1𝜋𝐼2𝛼2

+ 1𝜋𝜆𝐴ln 𝐼2𝐼1

+𝑇1 − 𝑇𝑔2

1𝜋𝐼2𝛼2

+ 1𝜋𝜆𝐵ln 𝐼2𝐼1

=500 − 300

1𝜋 · 0,1 · 25 +

1𝜋 · 2 ln

0,10,05

+

+500 − 300

1𝜋 · 0,1 · 25 +

1𝜋 · 0,25 ln

0,10,05

= 841,60 + 198,05 = 1039,65𝑊𝑚

Igualando la transferencia de calor por conducción a la de convección tenemos

𝑄𝐴 = 2𝜋𝐼2𝛼�𝑇2𝐴 − 𝑇𝑔� → 841,60 = 𝜋 · 0,1 · 25 · (𝑇2𝐴 − 300) → 𝑇2𝐴 = 407,16 𝐾

𝑄𝐵 = 2𝜋𝐼2𝛼�𝑇2𝐵 − 𝑇𝑔� → 198,05 = 𝜋 · 0,1 · 25 · (𝑇2𝐵 − 300) → 𝑇2𝐵 = 325,22 𝐾

2.4.3. La esfera Para el volumen diferencial de control de la imagen, aplicaremos la ecuación diferencial de la

transferencia de calor para coordenadas esféricas para un caso de 𝜆 constante, unidimensional

y estacionario.

1𝐼2

𝜕𝜕𝐼�𝐼2

𝜕𝑇𝜕𝐼� = 0

Transferencia de calor en una esfera

Integrando la ecuación resulta

𝑇(𝐼) =𝐶1𝐼

+ 𝐶2

Imponiendo las condiciones de contorno

𝑇(𝐼1) = 𝑇1 𝑇(𝐼2) = 𝑇2

Llegamos a

𝑇(𝐼) =𝐼1(𝑇1 − 𝑇2)𝐼2 − 𝐼1

�𝐼2𝐼− 1� + 𝑇2

Por la ley de Fourier el flujo de calor será



𝑞𝑟 =𝑇1 − 𝑇2𝐼2 − 𝐼1𝜆𝐼1𝐼2

1𝐼2

Y la transferencia de calor total resulta constante y de valor

𝑄𝑟 =𝑇1 − 𝑇2𝐼2 − 𝐼1𝜆𝐼1𝐼2

1𝐼2

· 4𝜋𝐼2 =𝑇1 − 𝑇2𝐼2 − 𝐼1

4𝜋𝜆𝐼1𝐼2

De donde podemos identificar el término que representa la resistencia térmica

𝑅𝑇 =𝐼2 − 𝐼1

4𝜋𝜆𝐼1𝐼2

En el caso de que la esfera esté rodeada de un fluido interior y otro exterior tenemos, de

forma análoga al cilindro

𝑄𝑟 =𝑇𝑔1 − 𝑇𝑔2

1𝛼14𝜋𝐼12

+ 1𝛼24𝜋𝐼22+ 𝐼2 − 𝐼14𝜋𝜆𝐼1𝐼2

Transferencia de calor en una esfera compuesta

Se puede demostrar de forma análoga al caso del cilindro y la pared plana que la ecuación que

da el calor transferido es

𝑄𝑟 =𝑇𝑔1 − 𝑇𝑔2

1𝛼14𝜋𝐼12

+ 1𝛼24𝜋𝐼22+ ∑ 𝐼𝑖+1 − 𝐼𝑖4𝜋𝜆𝑖𝐼𝑖+1𝐼𝑖

𝑐𝑖=1

Espesor de aislamiento óptimo

La resistencia adquiere un valor óptimo para un determinado grosor de la capa externa.

Derivando su valor respecto el radio externo obtenemos

d𝑅d𝐼2

= −1

𝛼22𝜋𝐼23+

14𝜋𝜆𝐼22

= 0 → 𝐼2 =2𝜆𝛼2

Cuyo valor corresponde a un mínimo.

Ejemplo 6. Un tanque esférico para almacenar oxígeno líquido en un transbordador espacial

se construye de acero inoxidable de 𝟎,𝟖𝟎 𝒎 de diámetro exterior y una pared de 𝟓 𝒎𝒎 de

espesor. El punto de ebullición y la entalpía de fusión del oxígeno líquido son 𝟗𝟎 𝑲 y

𝟐𝟏𝟑 𝒌𝑱/𝒌𝒈, respectivamente. El tanque se instalará en un compartimiento grande cuya



temperatura se mantendrá a 𝟐𝟒𝟎 𝑲. Diseñe un sistema de aislamiento térmico que

mantenga las pérdidas de oxígeno debidas a la ebullición por debajo de 𝟏𝒌𝒈 𝒅𝒊𝒂⁄ .

Conductividades térmicas del acero inoxidable y del papel de aluminio reflexivo

respectivamente

𝝀𝒔 = 𝟗,𝟐𝑾𝒎𝑲

𝝀𝒂 = 𝟏,𝟕 · 𝟏𝟎−𝟓𝑾𝒎𝑲

Para plantear el problema supondremos estado estable, flujo unidimensional, resistencia

térmica asociada a la convección despreciable, transferencia de calor por radiación

despreciable y conductividad térmica constante.

La energía requerida para que se den esas pérdidas es

𝐸 = 1𝑘𝑔𝑑𝑖𝐼

·1 𝑑𝑖𝐼

86 400 𝐼·

213 𝑘𝐽1 𝑘𝑔

·1000 𝐽

1 𝑘𝐽= 2,465 𝑊

El calor transferido será

𝑄𝑟 =𝑇3 − 𝑇1

𝐼2 − 𝐼14𝜋𝜆𝑠𝐼2𝐼1

+ 𝐼3 − 𝐼24𝜋𝜆𝑎𝐼3𝐼2=

240 − 900,4 − 0,395

4𝜋 · 9,2 · 0,4 · 0,395 +𝐼3 − 0,4

4𝜋 · 1,7 · 10−5 · 𝐼3 · 0,4

≤ 2,465

De donde se obtiene

𝐼3 ≥ 0,4021 𝑚

Por tanto la capa de aislante debe tener un grosor de 𝑒 = 𝐼3 − 𝐼2 = 2,1 𝑚𝑚.

La transferencia de calor podría reducirse bien por debajo el máximo permitido añadiendo más

aislante. Además, en vista de las restricciones que impone el peso con el lanzamiento de

vehículos espaciales, se debería considerar fabricar el contenedor de LOX con un material más

ligero.



Ejemplo 7. La superficie externa de una esfera hueca de radio 𝒓𝟐 se sujeta a un flujo de calor

uniforme 𝒒𝟐. La superficie interna en 𝒓𝟏 se conserva a una temperatura constante 𝑻𝟏.

a) Desarrolla una expresión para la distribución de temperaturas 𝑻(𝒓) en la pared de la

esfera en términos de 𝒒𝟐,𝑻𝟏, 𝒓𝟏, 𝒓𝟐 y la conductividad térmica de la pared 𝝀

El flujo de calor viene dado por la ley de Fourier como

𝑄𝑟 = −𝜆 · 4𝜋𝐼2d𝑇d𝐼

Si consideramos este uniforme, podemos integrar la ecuación de forma sencilla.

𝑇(𝐼) =𝑄𝑟

4𝜋𝜆𝐼+ 𝐶1

Imponiendo la condición de contorno 𝑇(𝐼1) = 𝑇1 obtenemos

𝑇(𝐼1) =𝑄𝑟

4𝜋𝜆𝐼1+ 𝐶1 = 𝑇1 → 𝐶1 = 𝑇1 −

𝑄𝑟4𝜋𝜆𝐼1

Y la expresión que buscamos será, con 𝑄𝑟 = 4𝜋𝐼22𝑞2

𝑻(𝒓) =𝑄𝑟

4𝜋𝜆�

1𝐼−

1𝐼1� + 𝑇1 =

𝒒𝟐𝒓𝟐𝟐

𝝀�𝟏𝒓−𝟏𝒓𝟏� + 𝑻𝟏

b) Si los radios interno y externo son 𝒓𝟏 = 𝟓𝟎 𝒎𝒎 y 𝒓𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎, ¿Qué flujo de calor

𝒒𝟐 se requiere para mantener la superficie externa a 𝑻𝟐 = 𝟓𝟎𝒐𝑪, mientras que la

superficie interna está a 𝑻𝟏 = 𝟐𝟎𝒐𝑪? La conductividad térmica del material de la

pared es 𝝀 = 𝟏𝟎 𝑾/𝑲𝒎.

Imponiendo las condiciones del enunciado tenemos

50 =𝑞20,12

10�

10,1

−1

0,05� + 20 → 𝒒𝟐 = −𝟑𝟎𝟎𝟎

𝑾𝒎𝟐

El signo negativo implica que la transferencia de calor es en la dirección radial negativa, de

fuera hacia el centro de la esfera.

2.5. Conducción con generación de energía térmica Hasta ahora consideramos problemas de conducción para los de la distribución de

temperaturas en un medio, se determinó solamente mediante condiciones en las fronteras del

medio. Queremos analizar ahora el efecto adicional sobre la distribución de temperaturas de



procesos que pueden ocurrir dentro del medio. En particular, deseamos considerar situaciones

para las que la energía térmica se genera debido a la conversión de alguna otra fuente de

energía.

2.5.1. La pared plana Considere la pared plana de la imagen, en la que hay generación de energía uniforme por

unidad de volumen constante, y las superficies se mantienen a 𝑇1 y 𝑇2. Para una conductividad

térmica constante, la forma apropiada de la ecuación de calor es

d2𝑇d𝑥2

+�̇�𝜆

= 0

Cuya solución general es

𝑇(𝑥) = −�̇�

2𝜆𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2

Para las condiciones de frontera que se establecen

𝑇(−𝐿) = 𝑇1 𝑇(𝐿) = 𝑇2

Se obtiene que la distribución de temperaturas es

𝑇(𝑥) =�̇�𝐿2

2𝜆�1 −

𝑥2

𝐿2� +

𝑇2 − 𝑇12

·𝑥𝐿

+𝑇1 + 𝑇2

2

El flujo de calor en cualquier punto en la pared se determina mediante el uso de la ley de

Fourier y se obtiene un flujo de valor

𝑞𝑥 = −�̇�𝜆𝑥 +

𝑇2 − 𝑇12𝐿

Se observa que ahora el flujo deja de ser constante y pasa a depender de la coordenada 𝑥.

Si nuestra pared está rodeada de dos fluidos, podemos obtener el flujo de calor en función de

sus temperaturas y sus coeficientes de convección

𝑞 =− �̇�𝜆 𝑥 +

𝑇𝑔2 + 𝑇𝑔12𝐿

12𝐿𝛼2

+ 12𝐿𝛼1+ 1

Ejemplo 8. El aire dentro de una cámara a 𝑻𝒈𝒊 = 𝟓𝟎𝒐𝑪 se calienta convectivamente con

𝜶𝒊 = 𝟐𝟎 𝑾/𝒎𝟐𝑲 mediante una pared de 𝟐𝟎𝟎 𝒎𝒎 de espesor que tiene una conductividad



térmica de 𝟒 𝑾/𝒎𝑲 y una generación de calor uniforme de 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑾/𝒎𝟑. Para prevenir que

algo del calor generado dentro de la pared se pierda hacia el exterior de la cámara a

𝑻𝒈𝒆 = 𝟐𝟓𝒐𝑪 con 𝜶𝒆 = 𝟓 𝑾/𝒎𝟐𝑲, se coloca un calentador de listón muy delgado sobre la

pared exterior para proporcionar un flujo de calor uniforme 𝒒𝟎.

a) Dibuje la distribución de temperaturas en la pared en coordenadas 𝐓 − 𝐱 para la condición donde no se pierde nada de calor generado dentro de la pared hacia el

exterior de la cámara.

Asumiremos cuatro hipótesis

- Condición de estado estable

- Flujo unidimensional

- Generación de calor volumétrico uniforme

- Propiedades constantes

En este caso la ecuación diferencial que describe la situación es

d2𝑇d𝑥2

+�̇�𝜆

= 0

Resolviendo obtenemos

𝑇(𝑥) = −�̇�

2𝜆𝑥2 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2

Para las condiciones de frontera debemos tener en cuenta la condición de que no se pierde

nada de calor generado dentro de la pared hacia el exterior de la cámara. Imponer esta

condición significa que el flujo de calor a través de la pared en 𝑥 = 0 es nulo. Así pues nuestras

condiciones de frontera serán

𝑇(𝐿) = 𝑇1 d𝑇d𝑥

(0) = 0

De donde obtenemos el sistema



−�̇�

2𝜆𝐿2 + 𝐶1𝐿 + 𝐶2 = 𝑇𝑖 𝐶1 = 0

Y por tanto la solución queda

𝑇(𝑥) =�̇�

2𝜆(𝐿2 − 𝑥2) + 𝑇𝑖

Si representamos esta función obtenemos una parábola con su vértice en 𝑥 = 0

b) ¿Cuáles son las temperaturas en los límites de las paredes 𝐓(𝟎) y 𝐓(𝐋), para las condiciones de la parte a)?

El flujo de calor viene dado por la ley de Fourier y es


= �̇�𝑥

En la pared que da al interior de la cámara tenemos

𝑞(𝐿) = �̇�𝐿 = 𝛼𝑖�𝑇𝑖 − 𝑇𝑔𝑖� → 1000 · 0,2 = 20(𝑇𝑖 − 50) → 𝑻𝒊 = 𝟔𝟎𝒐𝑪

No podemos aplicar esta condición para la pared exterior dado que existe un calentador por

medio. Sustituyendo el valor encontrado de 𝑇𝑖 en la ley de temperaturas

𝑇(0) =�̇�𝐿2

2𝜆+ 𝑇𝑖 =

1000 · 0,22

2 · 4+ 60 = 𝑻𝒆 = 𝟔𝟓𝒐𝑪

c) Determine el valor de 𝐪𝟎 que debe suministrar el calentador de listón de modo que todo el calor generado dentro de la pared se transfiera al interior de la cámara.

Para que esta condición se cumpla, el flujo total de calor debe ser nulo. Por la ley de Fourier

𝑇𝑒

𝐿



𝑞𝑐𝑐𝑐𝑣 = 𝑞0 → 𝒒𝟎 = 𝛼𝑒�𝑇𝑒 − 𝑇𝑔𝑒� = 5(65 − 25) = 𝟐𝟎𝟎𝑾𝒎𝟐

d) Si la generación de calor en la pared se cortara mientras el flujo de calor al calentador de listón permanece constante, ¿Cuál sería la temperatura de estado

estable 𝐓(𝟎) de la superficie de la pared exterior?

En este caso tenemos �̇� = 0. El flujo 𝑞0 entrante debe ser igual a la suma de salidas que

tenemos en la cámara exterior e interior. El primero podemos expresarlo en función de la

temperatura del fluido de la cámara interior y a temperatura de la pared de la cámara exterior

a partir de la ley de convección

𝑞0 = 𝑞𝑖 + 𝑞𝑒 =𝑇𝑒 − 𝑇𝑔𝑖

1𝛼𝑖

+ 𝐿𝜆+ 𝛼𝑒�𝑇𝑒 − 𝑇𝑔𝑒� → 200 =

𝑇𝑒 − 501

20 +0,24

+ 5(𝑇𝑒 − 25) → 𝑻𝒆 = 𝟓𝟓𝒐𝑪

2.5.2. El cilindro La generación de calor ocurre en una variedad de geometrías radiales. Considere el cilindro

sólido, largo de la imagen, el cual podría representar un alambre conductor de corriente o un

elemento de combustible en un reactor nuclear. Para condiciones de estado estable, la razón a

la que se genera calor dentro del cilindro debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor

por convección de la superficie del cilindro a un fluido en movimiento. Esta condición permite

que la temperatura de la superficie se mantenga en un valor fijo 𝑇𝑠.



A fin de determinar la distribución de temperaturas en el cilindro, comenzamos con la forma

apropiada de la ecuación de calor. Para una conductividad térmica constante 𝜆, la ecuación se

reduce a

1𝐼

dd𝐼�𝐼

d𝑇d𝐼� +

�̇�𝜆

= 0

Cuya solución analítica al suponer generación uniforme es

𝑇(𝐼) = −�̇�

4𝜆𝐼2 + 𝐶1 ln 𝐼 + 𝐶2

Aplicando las condiciones de frontera

𝑇(𝐼0) = 𝑇𝑠 d𝑇d𝐼

(0) = 0

La segunda condición proviene de la simetría, es decir, para el cilindro sólido la línea central es

una línea de simetría para la distribución de temperaturas y el gradiente de temperaturas debe

ser cero. Recuerde que existen condiciones similares en el plano medio de una pared que tiene

condiciones de frontera simétricas. De la condición de simetría en 𝐼 = 0 es necesario que

𝐶1 = 0. Al usar la condición de frontera para 𝐼 = 𝐼0 se obtiene

𝑇(𝐼) =�̇�𝐼02

4𝜆�1 −

𝐼2

𝐼02� + 𝑇𝑠

Finalmente podemos relacionar la temperatura de la superficie con la del fluido haciendo un

balance de energía

�̇� · (𝜋𝐼02𝐿) = 𝛼 · 2𝜋𝐼0𝐿�𝑇𝑠 − 𝑇𝑔� → 𝑇𝑠 = 𝑇𝑔 +�̇�𝐼2𝛼

Ejemplo 9. Un reactor nuclear de altas temperaturas enfriado por gas consiste en una pared

cilíndrica compuesta para la que un elemento de combustible de torio 𝝀𝒕 = 𝟓𝟕 𝑾/𝑲𝒎 se

encapsula en grafito 𝝀𝒈 = 𝟑 𝑾/𝑲𝒎 y para la cual fluye helio gaseoso por un canal anular de

enfriamiento. Considere condiciones para las que la temperatura del helio es 𝑻𝒈 = 𝟔𝟎𝟎 𝑲 y

el coeficiente de convección en la superficie externa del grafito es 𝜶 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝑾/𝒎𝟐𝑲.



Para la resolución del problema supondremos las siguientes hipótesis

- Condición de estado estable

- Conducción unidimensional


- Resistencia de contacto despreciable

- Transferencia de calor por radiación despreciable

a) Si se genera energía térmica de manera uniforme en el elemento de combustible a

una rapidez �̇� = 𝟏𝟎𝟖 𝑾/𝒎𝟑, ¿Cuáles son las temperaturas 𝑻𝟏 y 𝑻𝟐 en las superficies

interna y externa, respectivamente, del elemento de combustible?

Por conservación de la energía, tenemos que la energía generada menos la perdida debe ser

nula

�̇�𝜋(𝐼22 − 𝐼12) −𝑇2 − 𝑇𝑔

12𝜋𝐼3𝛼

+ 12𝜋𝜆𝑔ln 𝐼3𝐼2

= 0 → 𝑻𝟐 = 𝟗𝟑𝟎,𝟖𝟗 𝑲

Por otra banda tenemos que la ecuación que gobierna el comportamiento en la sección para

𝐼1 ≤ 𝐼 ≤ 𝐼2 es

1𝐼

dd𝐼�𝐼

d𝑇d𝐼� +

�̇�𝜆

= 0 → 𝑇(𝐼) = −�̇�

4𝜆𝑜𝐼2 + 𝐶1 ln 𝐼 + 𝐶2

Imponiendo las condiciones de frontera (no hay flujo hacia la cara interna y la externa se

encuentra a 𝑇2)

𝑑𝑇d𝐼

(𝐼1) = 0 𝑇(𝐼2) = 𝑇2



Se obtiene la solución

𝑇(𝐼) = 𝑇2 +�̇�𝐼22

4𝜆𝑜�1 −

𝐼2

𝐼22� −

�̇�𝐼12

2𝜆ln𝐼2𝐼

Por tanto para 𝐼 = 𝐼1 tenemos

𝑇1 = 𝑇2 +�̇�𝐼22

4𝜆𝑜�1 −

𝐼12

𝐼22� −

�̇�𝐼12

2𝜆ln𝐼2𝐼1

Sustituyendo los datos se obtiene

𝑻𝟏 = 931 +108 · 0,0112

4 · 57�1 −

82

112� −

108 · 0,0082

2 · 57· ln

811

= 𝟗𝟑𝟖 𝑲

Ejemplo 10. Observa la situación de la figura. Se trata de un semicírculo agujereado, donde la

parte inferior, en contacto con el suelo, es adiabática. Consta de dos materiales, donde el

interior tiene fuentes internas �̇�𝒗. En la parte interior tiene un fluido a temperatura 𝑻𝒈𝟏 y en

la parte exterior tiene otro a temperatura 𝑻𝒈𝟐. El conjunto está en régimen permanente.

Plantea el cálculo de las temperaturas del sólido 𝑻𝟏,𝑻𝟐,𝑻𝟑 dejando indicado claramente el

sistema de ecuaciones numérico a resolver sin necesidad de encontrar la solución concreta.

Datos:

𝑻𝒈𝟏 = 𝟖𝟎𝒐𝑪 𝑻𝒈𝟐 = 𝟏𝟓𝒐𝑪 𝜶𝟏 = 𝟒𝟎𝟎𝑾𝒎𝟐

𝜶𝟐 = 𝟐𝟎𝑾𝒎𝟐

𝝀𝟏 = 𝟑𝟎𝑾𝒎𝑪

𝝀𝟐 = 𝟎,𝟎𝟑𝑾𝒎𝑪

𝑹𝟏 = 𝟎,𝟎𝟐 𝒎 𝑹𝟐 = 𝟎,𝟎𝟑 𝒎 𝑹𝟑 = 𝟎,𝟏𝟎 𝒎 �̇�𝒗 = 𝟓𝟎𝟎𝒌𝑾𝒎𝟑

Para abordar el problema haremos las siguientes suposiciones

- Régimen permanente

- Flujo unidimensional

𝑇𝑔1,𝛼1

𝑇𝑔2,𝛼2 𝜆2

𝜆1 �̇�𝑣

𝑇1 𝑇2

𝑇3

𝑅2 𝑅3 𝑅1




La ecuación que gobierna la transferencia de calor en un cilindro con fuentes internas es

𝑇(𝐼) = −𝑞𝑣4𝜆

𝐼2 + 𝐶1 ln 𝐼 + 𝐶2 𝑞𝑟(𝐼) =𝑞𝑣2𝐼 −

𝐶1𝜆𝐼

Para el material 1 tenemos

𝑇(𝑅1) = −𝑞𝑣

4𝜆1𝑅12 + 𝐶1 ln𝑅1 + 𝐶2 = 𝑇1 𝑇(𝑅2) = −

𝑞𝑣4𝜆1

𝑅22 + 𝐶1 ln𝑅2 + 𝐶2 = 𝑇2

Además debemos igualar los flujos de calor de conducción a los de convección en la superficie

expuesta al fluido

𝑞𝑟(𝑅1) =𝑞𝑣2𝑅1 −

𝐶1𝜆1𝑅1

= 𝛼1�𝑇𝑔1 − 𝑇1�

Para el material 2 resulta

𝑇(𝑅2) = 𝐾1 ln𝑅2 + 𝐾2 = 𝑇2 𝑇(𝑅3) = 𝐾1 ln𝑅3 + 𝐾2 = 𝑇3

Además debemos igualar los flujos de calor de conducción a los de convección en la superficie

expuesta al fluido

𝑞𝑟(𝑅3) = −𝐾1𝜆2𝑅3

= 𝛼2�𝑇3 − 𝑇𝑔2�

A este sistema de ecuaciones debemos añadir la ecuación que iguala el flujo de calor entre los

dos materiales

𝑞𝑣2𝑅2 −

𝐶1𝜆1𝑅2

= −𝐾1𝜆2𝑅2

De esta manera obtenemos el sistema de 7 ecuaciones con 7 incógnitas 𝐶1,𝐶2,𝐾1,𝐾2,𝑇1,𝑇2,𝑇3

cuyas soluciones son

𝐶1 = 7,43𝑐𝐶 𝐶2 = 126,12𝑐𝐶 𝐾1 = −66,70𝑐𝐶 𝐾2 = −137,58𝑐𝐶

𝑇1 = 95,37𝑐𝐶 𝑇2 = 96,31𝑐𝐶 𝑇3 = 16,00𝑐𝐶

2.5.3. La esfera Consideremos una esfera sólida. Para condiciones de estado estable, la razón a la que se

genera calor dentro de la esfera debe ser igual a la rapidez con que se transmite calor por



convección de la superficie de la esfera a un fluido en movimiento. Esta condición permite que

la temperatura de la superficie se mantenga en un valor fijo 𝑇𝑠. A fin de determinar la

distribución de temperaturas en la esfera, comenzamos con la forma apropiada de la ecuación

de calor. Para una conductividad térmica constante 𝜆, la ecuación se reduce a

1𝐼2

𝜕𝜕𝐼�𝐼2𝜆𝑟

𝜕𝑇𝜕𝐼� + �̇�𝑣 = 0

Dado que el valor de q̇v es constante, la integración de la ecuación proporciona el siguiente

resultado

𝑇(𝐼) = −�̇�𝑣𝐼2

6𝜆+𝐶1𝐼

+ 𝐶2

Y el flujo de calor será

�̇�(𝐼) =�̇�𝑣𝐼

3+𝐶1𝜆𝐼2

2.6. Aletas o superficies extendidas La frase superficie extendida se usa normalmente con referencia a un sólido que experimenta

transferencia de energía por conducción dentro de sus límites, así como transferencia de

energía por convección (y/o radiación) entre sus límites y los alrededores. Tal sistema se

muestra de forma esquemática en la siguiente imagen.

Se usa un puntal para proporcionar soporte mecánico a dos paredes que están a temperaturas

diferentes. Un gradiente de temperatura en la dirección 𝑥 mantiene la transferencia de calor

por conducción internamente, al mismo tiempo que hay una transferencia de energía por

convección desde la superficie.

Aunque hay muchas situaciones diferentes que implican efectos combinados de conducción y

convección, la aplicación más frecuente es aquella en la que se usa una superficie extendida de



manera específica para aumentar la rapidez de transferencia de calor entre un sólido y un

fluido contiguo. Esta superficie se denomina aleta.

Considere la pared plana de la imagen. Si 𝑇𝑠 es fija, hay dos formas en las que es posible

aumentar la transferencia de calor. El coeficiente de convección 𝛼 podría aumentarse

incrementando la velocidad del fluido, y/o podría reducirse la temperatura de fluido 𝑇∞. Sin

embargo, se encuentran muchas situaciones en las que aumentar 𝛼 al valor máximo posible es

insuficiente para obtener la transferencia de calor que se desea o en las que los costos

asociados son prohibitivos. Estos costos están relacionados con los requerimientos de potencia

del ventilador o de bomba necesarios para aumentar 𝛼 a través de un creciente movimiento

de fluido. Más aún, la segunda opción es reducir 𝑇∞ es a menudo poco práctica. Sin embargo,

al examinar la imagen, vemos que existe una tercera opción. Es decir, la transferencia de calor

se incrementa aumentando el área de la superficie a través de la cual ocurre la convección.

Esto se logra con el empleo de aletas que se extienden desde la pared al fluido circundante. La

conductividad térmica del material de la aleta tiene fuerte efecto sobre la distribución de

temperaturas a lo largo de la aleta y, por tanto, influye en el grado al que la transferencia de

calor aumenta. Idealmente, el material de la aleta debe tener una conductividad térmica

grande para minimizar variaciones de temperatura desde la base hasta la punta. En el límite de

la conductividad térmica infinita, toda la aleta estaría a la temperatura de la base de la

superficie, proporcionando con ello el máximo aumento posible de transferencia de calor.

2.6.1. Análisis de conducción general Como ingenieros estamos interesados principalmente en conocer el punto al que superficies

extendidas particulares podrían mejorar la transferencia de calor de una superficie al fluido

circundante. Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta, debemos primer

obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta. Como hicimos para sistemas



anteriores, comenzamos por llevar a cabo un balance de energía sobre un elemento diferencial

apropiado. Considere la superficie extendida de la imagen.

El análisis se simplifica si se hacen ciertas suposiciones. Elegimos suponer condiciones

unidimensionales en la dirección longitudinal 𝑥, aunque la conducción dentro de la aleta es en

realidad bidimensional. La rapidez a la que se desarrolla la convección de energía hacia el

fluido desde cualquier punto sobre la superficie de la aleta, debe balancearse con la rapidez a

la que se la energía alcanza ese punto debido a la conducción en la dirección transversa

Dinámica de gases y transferencia de calor y masa...de un medio, existe una transferencia neta de...

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