Transferencia Calor Transiente

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UNIDAD 1: TRANSFERENCIA DE CALOR Dependencia del tiempo: Estado transiente Universidad de Chile Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas Departamento de Ingeniería Química y Biotecnología IQ46B - Operaciones de Transferencia I Profesor : Tomás Vargas Valero

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transferencia de calor transciente

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Page 1: Transferencia Calor Transiente

UNIDAD 1:

TRANSFERENCIA DE CALOR

Dependencia del tiempo: Estado transiente

Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Departamento de Ingeniería Química y Biotecnología

IQ46B - Operaciones de Transferencia I

Profesor: Tomás Vargas Valero

Page 2: Transferencia Calor Transiente

Introducción

• En general la temperatura de los cuerpos varía en función del tiempo y la posición

tzyxT ,,,

Hasta ahora considerada

despreciable

(ESTADO ESTACIONARIO)

Si consideramos variaciones de temperatura respecto al tiempo podemos tener dos casos:

Una pequeña esfera de cobre sacada del interior

de un horno (SIN VARIACIÓN ESPACIAL DE T)

Un trozo de carne siendo asada en el horno

(CON VARIACIÓN ESPACIAL DE T)

Page 3: Transferencia Calor Transiente

Sistema sin variación espacial

¡Generalizamos el sistema!

Sólido de forma arbitraria

En t = 0 el sólido de coloca en un medio a T

Ti < T

T = T(t)

En un diferencial dt el balance de energía será:

Energía transferida

al cuerpo en dt

= Aumento de energía

del cuerpo en dt

dTcmdtTTAh ps

, donde m = ∙V, y además dT = d(T - T)

dt

cV

Ah

TT

TTd

p

s

Page 4: Transferencia Calor Transiente

Sistema sin variación espacial

Entonces tendremos que:

tb

TT

TtT

i

exp

p

s

cV

Ahb

Constante de tiempo [1/s]

TtTAhtQ s

ip TtTcmtQ

ip TTcmQ max

Page 5: Transferencia Calor Transiente

¿Cuándo podemos aplicar este modelo?

Sistema sin variación espacial

PASO 1. Largo característico

s

cA

VL

PASO 2. Número de Biot

k

LhBi c

o también,

T

T

Lk

hBi

c

/

(convección en la superficie del cuerpo)

(conducción dentro del cuerpo) Bi = 0, aproximación perfecta

Bi < 0,1, aproximación aceptable

Page 6: Transferencia Calor Transiente

Ejemplo N° 1. Prediciendo su tiempo de muerte…

Sistema sin variación espacial

Una persona fue encontrada muerta a las 5 p.m. en una habitación a 20 °C. La temperatura del

cuerpo es 25 °C y el coeficiente de transferencia de calor por convección del aire se estima en

h = 8 W/m2-°C. Modelando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,7 m de largo,

estime el tiempo de muerte de la persona.

CkgJc

mkg

CmWk

p

178.4

996

617,0

3

Consideraciones:

- La persona estaba saludable al momento de morir por lo cual su temperatura corporal era

de 37 °C

- Si se considera que el ser humano está compuesto por un 72% de agua (% masa), entonces

a la temperatura promedio [(37 + 25)°C/2] las propiedades termodinámicas son:

Page 7: Transferencia Calor Transiente

Ejemplo N° 1. Prediciendo su tiempo de muerte…

Sistema sin variación espacial

Una persona fue encontrada muerta a las 5 p.m. en una habitación a 20 °C. La temperatura del

cuerpo es 25 °C y el coeficiente de transferencia de calor por convección del aire se estima en

h = 8 W/m2-°C. Modelando el cuerpo como un cilindro de 30 cm de diámetro y 1,7 m de largo,

estime el tiempo de muerte de la persona.

mrLr

Lr

A

VL

s

c 0689,022 2

00

2

0

1,089,0

k

LhBi c

151079,2

s

cV

Ahb

p

s

tbTT

TtT

i

exp ht 2,12

¡MODELO NO APLICABLE!

Page 8: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

En t = 0 temperatura de los cuerpos igual a Ti

Pared plana Cilindro Esfera

-Se comienzan a enfriar en t = 0 (T < Ti)

-Simetría respecto a ejes vertical o centro del cuerpo

¿Qué importancia puede tener esto?

Page 9: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

Ecuaciones en derivadas parciales: resolvamos el balance para una barra de metal

0 L

T(x,t) T(x+dx,t)

Fourier

xxx dx

dT

dx

dTAkQ

A

Energía interna

dt

dTcmQ p

xAm

Page 10: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

Ecuaciones en derivadas parciales: resolvamos el balance para una barra de metal

0 L

t

Tc

x

Tk p

2

2

Extenderlo a dos o tres dimensiones es aplicar la misma metodología…

Veamos la solución de este problema para una placa plana que está

a 0 °C y se calienta en t = 0 a 100 °C (bordes a temperatura continua)

Soluciones del tipo

0

,,m

m txTtxT

Tm obtenidos con variables separables

Page 11: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

Ya se han desarrollado soluciones analíticas de los sistemas especificados…

Se definen parámetros adimensionales (pared plana, por ejemplo)

TT

TtxTtx

i

,,Temperatura adimensional

Distancia adimensional desde

el centro L

xX

Coeficiente adimensional de

transferencia de calork

LhBi

Tiempo adimensional

2L

t

Para cilindros y esferas:

Lo mismo reemplazando L

por r0

Aproximaciones para > 0,2

Page 12: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

L

xA

TT

TtxTtx

i

pared12

11 cosexp,

,

Pared plana

Cilindro

Esfera

0

10

2

11 exp,

,r

rJA

TT

TtrTtx

i

cilindro

0

1

0

1

2

11 exp,

,

r

r

r

rsen

ATT

TtrTtx

i

esfera

A1 y 1 dependen del número de Biot

J0 función de Bessel

Page 13: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

Page 14: Transferencia Calor Transiente

Sistema con variación espacial

1

1,0

max

1

sen

Q

Qpared

pared

Pared plana

Cilindro

Esfera

También podemos tener relaciones de calor:

1

11,0

max

21

J

Q

Qcilindro

cilindro

3

1

111,0

max

cos31

sen

Q

Qesfera

esfera

Page 15: Transferencia Calor Transiente

Ejemplo N° 2. Cociendo huevitos…

Sistema sin variación espacial

Un huevo se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro. Inicialmente el huevo está

a una temperatura uniforme de 5 °C y se deja caer en agua hirviendo a 95 °C. Tomando el

coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 1.200 W/m2-°C, determine cuánto

tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a 70 °C

CkgJc

mkg

CmWk

p

178.4

993

627,0

3

Consideraciones:

-Si se considera que el huevo está compuesto por un 74% de agua (% masa), entonces

a la temperatura promedio [(5+70)°C/2] las propiedades termodinámicas son:

pc

k

Page 16: Transferencia Calor Transiente

Ejemplo N° 2. Cociendo huevitos…

Sistema sin variación espacial

Un huevo se puede considerar como una esfera de 5 cm de diámetro. Inicialmente el huevo está

a una temperatura uniforme de 5 °C y se deja caer en agua hirviendo a 95 °C. Tomando el

coeficiente de transferencia de calor por convección como h = 1.200 W/m2-°C, determine cuánto

tiempo transcurrirá para que el centro del huevo llegue a 70 °C

8,470

k

rhBi

9958,1;0753,3 11 A

209,0exp

,, 2

11

ATT

TtrTtx

i

esfera

Mayor que 0,2 (nos salvamos…)

2

0r

t min4,14t

Pero Biot exacto es:

9,153

0

k

rhBi

¡Resultado muy similar!