m Transferencia Calor

TRANSMISION DE CALOR

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UNIDAD 1 TRANSMISION DE CALOR


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PROLOGO El presente módulo se revisa y actualiza ampliando las aplicaciones de los mecanismos de transferencia de calor a los procesos alimentarios, siendo de mencionar el flujo de calor por conducción en estado inestable o no estacionario y la convección.

Se profundiza en los mecanismos de convección que hoy por hoy se constituyen en los más empleados en el ámbito industrial y se presentan bases muy importantes para la aplicación de tecnologías, algunas tradicionalmente no tratadas en las operaciones unitarias como el escaldado, la crioconcentración, y liofilización

Igualmente se introduce una herramienta importante, en ingeniería, para el manejo de los diversos procesos y operaciones unitarias como es la simulación operacional empleando programas de computadora.

Como ayuda para los estudiantes y en el ánimo de introducirlos a tan interesante campo, se complementa la resolución de problemas mediante el uso de la hoja electrónica, en el programa excel. En estas hojas de cálculo ya se puede hacer simulación a un nivel sencillo y al alcance de los contenidos del presente texto. Para ello el módulo se acompaña de un archivo que contiene tanto las memorias como las hojas de cálculo.


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INTRODUCCION:

Prácticamente todas las operaciones que tienen lugar en la industria de alimentos, implican la generación y/o absorción de energía en la forma de calor.

Multitud de equipos en el desarrollo de su trabajo requieren de calor para su servicio o desprenden calor como subproducto o excedente de operación.

La termodinámica estudia el calor y su relación con las formas de energía en un sistema previamente seleccionado. La transferencia de calor estudia el flujo o transporte de calor que ocurre en un sistema, las leyes que rigen dicho flujo y su aplicación práctica en los equipos que transfieren el calor. En el presente texto se estudiarán los mecanismos básicos del flujo de calor y los sistemas o métodos cuantitativos de cálculo para su posterior aplicación en operaciones como: Calentamiento o Enfriamiento Evaporación Secado Destilación Humidificación Refrigeración Congelación Liofilización, etc.

Dado que algunas de estas operaciones implican transferencia de masa, es importante tener presente las consideraciones sobre balance de materiales y obviamente sobre balance de energía.


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4

OBJETIVOS General • Definir los mecanismos de transferencia de calor, los coeficientes de transferencia y realizar sus cálculos teóricos de transferencia de calor.

Específicos - Identificar los mecanismos de transferencia de calor.

- Establecer la ecuación general de transmisión de calor.

- Hallar los coeficientes de transferencia de calor.

- Realizar cálculos teóricos de procesos de transferencia de calor por conducción, convección y radiación.

- Elaborar memorias de cálculo para aplicaciones en problemas de la industria.

- Resolver problemas ingenieriles mediante hojas de cálculo.


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AUTOEVALUACION INICIAL Seleccione la respuesta correcta 1. El calor es una energía debida a:

a. movimiento gravitatorio

b. posición de los cuerpos

c. movimientos moleculares

d. interacción atómica

2.- La temperatura es la medida de:

a. el contenido de calor de los cuerpos

b. el equilibrio de sistemas termodinámicos

c. la energía interna de los cuerpos

d. calor o frio de los cuerpos

3. El flujo de calor ocurre cuando se tienen cuerpos:

a. fríos y calientes

b. a diferentes temperaturas

c. en diferentes fases

e. en diferentes estados

4.- Las unidades del flujo de calor en el sistema MKS son a.- Julios / segundo

b.- kilocalorias / segundo

c.- kilocalorias / hora

d.- calorias / minuto

5. Complete las siguientes afirmaciones:

A. El enfriamiento de los alimentos en los cuartos fríos implica la aplicación de la _________________________ ley de la termodinámica.


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6

B. El flujo de calor entre dos cuerpos que se encuentran a diferente temperatura y se ponen en contacto ocurre en el sentido de _____________________________

C. La transmisión de calor ocurre mediante los mecanismos de _______________, ____________________y _____________________

D. El mecanismo de transmisión de calor que ocurre mediante una camisa de vapor como en el caso de una marmita se denomina __________________________

E. El principal mecanismo de flujo de calor para los sólidos se denomina __________________________________

F. La energía radiante emitida por un cuerpo caliente es transmitida por el espacio en forma de __________________________ G. La ley referida a la transferencia de calor ( enfriamiento o calentamiento) por convección se denomina __________________________________

H. El mecanismo de transmisión de calor en fluidos que ocurre cuando se inducen artificialmente movimientos que asignan mezcla o turbulencia se denomina _____________________

6. Para el escaldado de frutas se prepara agua caliente a 90 oC. Determine la cantidad de calor necesaria para preparar 4.500 litros de agua que se encuentran 15 oC . El calor específico del agua puede tomarse como 1 cal/gr oC.

7.- Establezca la cantidad de calor que se requiere retirar a 465 kilos de mermelada que se encuentran a 75 oC y debe ser enfriada a 55 oC para su envasado. El calor específico es de 3,2 J / kg oC

8. Una fuente de calor produce 80000 kca/hr y se emplea para concentrar una salmuera del 20% al 50%. Asumiendo un aprovechamiento del 70% del calor producido, determine la cantidad de salmuera concentrada por hora, cuando se alimenta a 20oC.

Datos obtenidos de tablas:

Entalpía solución al 20%: 34 kcal/kg. Temperatura ebullición: 108oC.


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Entalpía solución al 50%: 154 kcal/kg. Temperatura ebullición: 143oC. Temperatura de ebullición del agua: 100oC. Calor latente de vaporización del agua: 540 kcal/kg.


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8

1.1. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Todo flujo de masa o energía implica una fuerza motriz que ha de vencer una resistencia que se opone al flujo; en el caso de fluidos la fuerza motriz es una presión que se aplica a la masa y vence la viscosidad que posee el fluido; el resultado es un movimiento que puede ser medido por la magnitud conocida como velocidad. La corriente eléctrica o intensidad eléctrica tiene lugar cuando una diferencia de potencial eléctrico vence una resistencia eléctrica. Para la transferencia de calor, la diferencia de temperaturas es la fuerza motriz que vence una resistencia térmica para permitir el flujo de calor, así:

RFM

sistenciaMotrizFuerzaFlujo ==

Re.

(1-1)

El flujo tiene como base de medida la cantidad de masa, peso o energía que se transporta por unidad de tiempo.

Para el calor la magnitud a transportar es: calorías en el sistema CGS, kilocalorías en MKS, BTU en el inglés o Julios en el internacional, siendo común para todas ellas el segundo como unidad de tiempo. El flujo de calor, conocido por la letra q se expresa como cantidad de calor Q transportada por unidad de tiempo t.

tQq = (1-2)

Con unidades .

;.

;. seg

BTUsegkcal

segcal

Dadas las cantidades de calor que se transfieren durante un proceso, se acostumbra a usar Kcal/hr, BTU / hr ó Watios. El calor fluyendo de cuerpos o zonas de cuerpos, de alta temperatura a cuerpos o zona de cuerpos a baja temperatura lo hace fundamentalmente en uno ó más de tres mecanismos de transferencia de calor.

Ellos son conocidos como CONDUCCION, CONVECCION Y RADIACION mecanismos que en la práctica se presentan en forma individual o simultánea.

Para efectos de un estudio teórico, inicialmente se estudiará cada uno en forma independiente para concluir con el estudio simultáneo de ellos.

1.1.1 Conducción La conducción es un mecanismo de transferencia que ocurre sustancialmente


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en sólidos y en muy poco grado en fluidos y obedece al cambio de momentum o cantidad de movimiento de los átomos o moléculas de los cuerpos por la variación de la energía interna consecuencia de los cambios de temperatura.

En los sólidos el cambio de la cantidad de movimiento trae como consecuencia un arrastre de electrones y en los fluidos en reposo colisiones en las moléculas.

Ocurre transferencia de calor por conducción en las paredes de un horno, en placas metálicas de un radiador, en la base de una plancha, en paredes de tuberías, en las cuales fluyen líquidos calientes, etc.

Cuando las caras de un objeto están expuestas a diferentes temperaturas ocurre un flujo de calor de la zona de más alta temperatura a la de más baja temperatura.

Fourier, Biot y otros investigadores establecieron que el flujo de calor es proporcional directamente al área a través de la cual fluye el calor, al gradiente o diferencia de temperatura e inversa a la distancia que recorre el calor.

q α A ∆ T / x (1-3)

Siendo q el flujo de calor

A el área normal o perpendicular al flujo

∆ T gradiente o diferencia de temperatura

x gradiente de distancia o recorrido.

En un comienzo Fourier y col, establecieron para cada sustancia una constante de proporcionalidad K, llamada conductividad térmica para expresar:

xTAKq /.. ∆= (1-4)

Las unidades para conductividad térmica, deducidas de la ecuación (1-4) son:

Kcal m Btu ft W m ----------, ----------- , ------------, s m2 0C s ft2 0F m2 0K

En la práctica se emplean las unidades siguientes:

Kcal Btu W ----------, -------------, ----------, hr m2 0C hr ft2 0F m2 0K Estudios posteriores demostraron que la conductividad térmica no es constante sino que varía en mayor o menor grado con la temperatura; en la mayoría de los sólidos la variación es muy pequeña pero en los líquidos y gases la variación es muy amplia.


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En los metales los valores de K son altos, en sólidos no metálicos los valores son relativamente bajos en tanto que los líquidos y gases poseen valores bajos como se aprecia en la lista siguiente:

K Btu/hr ft 0F

Metales 30 - 240 Aleaciones 7 - 70 Sólidos no metálicos 1 - 10 Líquido no metálico 0,1 - 0,4 Materiales aislantes 0,02 - 0,1 Gases 0,004 - 0,1

En las figuras 1-7 y 1-8 y Tabla No 1 se dan valores de K para los materiales más comunes en ingeniería.

Algunos autores presentan la ecuación (1-4) con signo menos

q = - KA dT/ dX (1-5) en concordancia a un gradiente matemático que se toma como estado final menos estado inicial. Dado que el flujo de calor obedece a un gradiente físico o diferencial positivo de temperatura como se establece en la 2ª. ley de la termodinámica, en el presente texto se empleará la ecuación 1-4 tomando siempre como gradiente de temperatura, la diferencia entre la más alta y la más baja.

Ejemplo 1. Determinar el flujo de calor a través de la pared de un cuarto cuyas temperaturas superficiales en la pared son -20 oC y 40 oC, la conductividad térmica del material es de 0,8 Kcal/hr m oC y su espesor es de 10 cms.

Solución.- Dado que no se especifica el área de la pared, se puede o bien calcular el flujo de calor por unidad de superficie q/A, o el flujo de calor en 1 m2 de pared.

La figura 1 da una representación gráfica del flujo.


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FIGURA 1

Para la segunda opción, aplicando la ecuación 1-4 y con datos. K = 0,8 Kcal / hr m oC A = 1 m2 ∆ T = 40 - (-20) oC = 60 oC x = 0,1 m

Para aplicar la ecuación 1-5 el gradiente matemático de temperatura puede ser 60 oC ó -60 oC, dependiendo de cual temperatura 40 ó -20 se toma como inicial.

Con la ecuación (1-4), se establece que el flujo de calor ocurre de la superficie que está a 40 0C hacia la que está a -20 0C.

1.0))20(40(18.0 −−

=xxq

Resp: q = 480 Kcal/hr

Ejemplo 2. En un ensayo para determinar la conductividad térmica de un material, se empleó un bloque de 1 x 1 pies de área y 1 pulgada de espesor; cuando se tuvo un flujo de 800 BTU/ hr a través del bloque, se registraron temperaturas de 80 y 120 oF en cada una de sus caras.

Calcular el valor de la conductividad térmica.

Solución.

La figura 2 representa gráficamente el flujo de calor

Aplicando la ecuación general de la transferencia por conducción, se obtiene el valor de K así:

DIAGRAMA DE FLUJO DEL CALOR

-20 C

2

40O O

0,1 m

1 m Q


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12

TAxqK

∆=

..

FIGURA 2

Para la resolución del problema inicialmente deben establecerse unidades consistentes, así:

con q = 800 BTU/hr

x = 1" = 1/12 pies = 0.083' A = 1 x 1 pies = 1 pie2 ∆T = 120 oF - 80 oF = 40 oF

Luego FfthrBTUxxK 0../67,1401

83.0800==

Resp. K = 1,67 BTU/hr ft oF 1.1.2 Convección La convección es un fenómeno de transferencia que ocurre únicamente en los fluidos y tiene lugar por la mezcla de porciones calientes de un material con porciones frías del mismo. Igualmente existe el mecanismo de convección cuando un fluido en movimiento pasa sobre un cuerpo sólido ó a través de ductos o tuberías que se encuentran a temperatura diferente a las del fluido.

En términos generales la convección ocurre cuando se tiene flujo de calor por mezcla o turbulencia.

En el flujo laminar o de capas delgadas de los fluidos puede ocurrir

1 in.

Q


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transferencia de calor por conducción pero normalmente tiende a cambiarse al mecanismo por convección debido a la formación de remolinos o turbulencia causadas por los cambios de densidad con la temperatura.

En la práctica el flujo de calor por convección siempre va acompañado de flujo por conducción debido a que el calor pasa a través de películas o capas laminares en el mecanismo propio de la conducción y no es sencillo o no se acostumbra considerarlos independientes para su aplicación. En su estudio teórico cada mecanismo inicialmente se estudiará por separado, pero en los problemas se plantearán situaciones concordantes con la realidad en la que influyen por lo menos dos de los tres mecanismos existentes.

Transferencia de calor por convección ocurre en el calentamiento de una habitación empleando un calentador eléctrico ó de vapor; en el calentamiento de líquidos en recipientes, vasijas y en la industria en innumerables equipos que se denominarán intercambiadores de calor y en los cuales el flujo de calor se efectúa entre la superficie del equipo y el fluido que pasa en contacto con ella.

Para facilitar los cálculos de transferencia de calor entre una superficie que se encuentra a una temperatura Ts y un fluido que se desplaza sobre ella a una temperatura Tf si Ts>Tf se ha introducido un coeficiente de transferencia de calor, h, y se aplica la ecuación

q = h A (Ts-Tf) (1-6) donde q que es el flujo de calor en dirección normal o perpendicular a la superficie y h coeficiente de transferencia de calor por convección también conocido como coeficiente de película y cuyas unidades son:

en sistema internacional

KmW

02 .

y en un sistema, llamémoslo comercial

CfthrBTU

CmhrKcal

0202 ..;

..,

A diferencia de la conductividad térmica K, que es especifica para un material a una temperatura dada, el coeficiente de película h, varía de acuerdo a la velocidad del fluido, por consiguiente es función del ducto que transporta el fluido o del tamaño del recipiente que lo contiene, igualmente es función de ciertas propiedades del fluido como son calor específico, densidad, viscosidad y aún de la misma conductividad térmica, propiedades que como bien se sabe varían con la temperatura.


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Ejemplo 3 Una superficie transfiere 28 Btu / min ft2 a un fluido que se encuentra a 42 oF. a) Determinar la temperatura de la superficie cuando el coeficiente de película es de 40 Btu/hr ft 2 oF. b) Determinar la temperatura del fluido cuando la superficie conserva su temperatura y el coeficiente varia a 50 Btu/hr ft 2 oF.

Solución.- En el problema, típico de convección se dispone para la parte a) de los datos siguientes

q/A = 28 Btu / min ft2 Tf = 42 oF

h = 40 Btu / hr ft2 oF

La temperatura de la superficie puede obtenerse de la ecuación 1-6, en la que puede tomarse como área de transferencia de calor 1 ft2, o expresar la ecuación como:

q/A = h(Ts-Tf), de esta expresión, Ts = q/Ah + Tf

Para aplicarla, se debe tener consistencia de unidades y el flujo por unidad de área debe llevarse a horas, luego BTU min BTU q/A = 28 ------- x 60 ---- = 1680 ------ min ft2 hr hr ft2

Reemplazando para Ts

1680 BTU / hr ft2 Ts = --- ---------------------- + 42 oF Ts = 42 + 42 = 84 oF 40 BTU/ hr ft2 oF

b) Siendo el flujo por unidad de área q/A = 1680 Btu / hr ft2

q 1680 BTU / hr ft2

Ts - Ta = --- --- = --------------------------- = 33,6 oF hA 50 BTU / hr ft oF

y Ta = 84,0 - 33,6 = 50,4 oF

Resp a) Ts = 84,0 oF b) Ta = 50,4 oF

1.1.3 Radiación


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Todo cuerpo emite radiaciones que se transmiten a través del espacio o a traves de ciertos cuerpos..

La naturaleza de estas radiaciones se ha planteado por diversas hipótesis, la de Planck establece que las radiaciones están constituidas por fotones o paquetes de energía también llamados quantum.

Maxwell en su teoría clásica establece que ellas son ondas electromagnéticas, las dos teorías pueden conjugarse considerando que los paquetes de energía, de carácter electromagnético, viajan en forma ondulatoria.

Acorde a la longitud de onda, las radiaciones producen efectos específicos, desde los denominados rayos cósmicos cuyos efectos son de orden termonuclear hasta las ondas hertzianas de amplio uso en las telecomunicaciones y su clasificación se hace por dichos efectos.

Así y en secuencias de las más pequeñas longitudes a las más grandes longitudes de onda se tiene:

Longitudes de onda metros

Rayos cósmicos 10-13 Rayos gamma 10-10 a 10-13 Rayos equis 6 x 10-6 a 10-10 Ultravioleta 14 x 10-9 a 4 x 10-7 Visibles o luz 0,4 x 10-7 a 0,8 x 10-6 Infrarrojos 0,8 x 10-6 a 4 x 10-6 Radio 4 x 10-6 a 104 Ultralargas > 104

En todo el espectro se genera calor pero los efectos son notorios en la zona de los rayos infrarrojos y la emisión o absorción de energía radiante térmica ocurre principalmente para estas longitudes de onda.

La emisión o absorción de energía radiante en los sólidos y líquidos es un proceso secuencial. Para la emisión de energía, la temperatura interior genera la radiación que fluye hacia el exterior y se emite a través de la superficie,.

Para la absorción, la radiación que llega al cuerpo, incide sobre la superficie del mismo y penetra en él, en donde se va atenuando pero aumentando la temperatura del cuerpo.

En la mayoría de los sólidos el efecto de la radiación incidente se atenúa a una distancia muy pequeña de la superficie (distancia del orden de micras) y el fenómeno recibe el nombre de RADIACION DE SUPERFICIE. En los gases la radiación actúa sobre todo el volumen, bien sea emitida o absorbida, en este caso se tiene la RADIACION GLOBAL.


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No toda la radiación que incide sobre un cuerpo es absorbida por el mismo. Parte es reflejada y en algunos la radiación pasa de largo. Igualmente no toda la radiación disponible de un cuerpo es emitida, parte de ésta es retenida.

Los cuerpos ideales que absorben toda la energía radiante que incide sobre ellos se llaman cuerpos negros, igual denominación reciben los cuerpos ideales que emiten toda energía radiante disponible.

Los cuerpos reales que no absorben o emiten la totalidad de la energía radiante que incide o disponible, reciben el nombres de cuerpos grises.

De acuerdo a como se comporta un cuerpo, respecto a la radiación que incide sobre él, se clasifican en:

a) Cuerpos Opacos: aquellos que absorben la casi totalidad de la energía radiante y la convierten en calor, son la mayoría de cuerpos que existen en el universo.

b) Cuerpos Transparentes: aquellos que dejan pasar la casi totalidad de la energía radiante que llega de ellos, ejemplo de ellos son el cuarzo fundido, el vidrio transparente y gases no polares.

c) Cuerpos Reflexivos o Espejos Térmicos: aquellos que reflejan la mayor parte de la radiación incidente, cuerpos metálicos con superficies opacas pulidas y los espejos ópticos son ejemplos.

Los cuerpos de color negro y las superficies mate absorben la mayor parte de la radiación incidente transformándolas cuantitativamente en calor.

Experimentalmente se ha establecido que la energía radiante emitida por un cuerpo negro es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta a la cual se encuentra.

E α T4 (1-7) Siendo E la energía radiante.

Los científicos, Stefan por métodos experimentales y Boltzman por deducciones matemáticas establecieron que la constante de proporcionalidad llamada de Stefan-Boltzman y representada por la letra δ, tiene valores de:

0,1714 x 10-8 Btu/hr ft2 oR4

4,878 x 10-8 Kcal/m2hr oK4

0,56697 x 10 W/m2 oK4 La ecuación (1-7) se convierte en

E = δ T4 (1-8) Con unidades de E Btu/hr ft2 , Kcal/hr m2 , W/m2

El flujo de calor por radiación implica un cuerpo emisor, con A1 que se encuentra a una temperatura T1 y un cuerpo receptor con A2 que se encuentra


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a una temperatura T2, siendo T1>T2. Cuando los dos cuerpos son negros e infinitos, el flujo de calor por radiación para el cuerpo de área A2, que absorbe toda la radiación del cuerpo de área A1 es

q = δ A1(T14 - T2

4) (1-9) Donde q es el flujo de calor en Btu/hr ó Kcal/hr ó Watios. La ecuación (1-9) expresa lo que se denomina la ley de Stefan-Boltzman. Desde el punto de vista de radiación térmica, se llama cuerpo infinito aquel que recibe toda la radiación que sale de otro cuerpo. El ejemplo más clásico es el de una cuerpo A, encerrado totalmente por un cuerpo B, es decir un objeto dentro de una caja o una esfera. Toda la radiación que sale del cuerpo A ó del objeto llega al cuerpo B ó a la caja.

En el capítulo específico de radiación se estudiará la radiación de los cuerpos grises, fundamentada en el fenómeno para los cuerpos negros.

Hoy por hoy, la radiación térmica adquiere una preponderante importancia en el aprovechamiento de la fuente térmica más importante de la naturaleza como es el sol.

Ejemplo 4 Calcular la energía radiante disponible de un cuerpo negro que se encuentra a 80 oF.

Solución.- Para aplicar la ley Stefan-Boltzman se tiene

T = (80 + 460)0R = 540 0R y δ = 0,1714 x 10-8 Btu/hr ft2 0R4

E = δT4 = 0,1714 X 10-8 X 5404 BTU/hr ft2 0 = 145,7 BTU/hr ft2 0

Resp 145,7 BTU/hr ft2 0

Ya se mencionó como en la naturaleza o en la industria el flujo de calor se hace por dos ó los tres mecanismos y es el empleo de la resistencia térmica R, lo que nos permite trabajar la presencia simultánea de los mecanismos.

1.1.4. - Circuito termico - Resistencia termica. En aplicaciones industriales se pueden presentar simultáneamente dos o los tres mecanismos. En la conducción se puede presentar flujo a través de paredes compuestas.

Para estos casos se introduce la analogía con los sistemas eléctricos y más concretamente con los circuitos y resistencias. De la ecuación de flujo, igual a fuerza sobre resistencia se obtienen las resistencias térmicas así:

∆T ∆T x Para conducción q = K A --- = ------ ==> R = ----- (1-10)


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x R K A ∆T 1 Para convección q = h A ∆ T = ------ ==> R = ----- (1-11) R h A

∆T ∆ T Para radiación q = δ A (T1

4-T24) ------ ==> R = ------------------ (1-12)

R δA(T14-T2

4) Teniendo en los tres casos como unidades: hr oF / BTU, hr oC / Kcal, 0 / W

El concepto de resistencia permite emplear los llamados círcuitos térmicos, que de acuerdo a los mecanismos o cuerpos involucrados serán en serie o en paralelo.


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X1 X2 X3

Ta

TbA

T1T2

K1 K2 K3

CIRCUITO TERMICODIAGRAMA DE FLUJO DE CALOR

DIAGRAMA DE FLUJO DE CALOR

-1 2

3a

3b

TaTb

T1 T2

R1 R2 R3

Ta Tb

CIRCUITO TERMICO

R3a

R3b

R2R1

Ta Tb

FIGURA 1-3

FIGURA 1-4

DIAGRAMA DE FLUJO DEL CALOR

X4X2 X3

A

B

R3a

CIRCUITO TERMICO

R2

R3b

R4 R5R1

FIGURA 1-5


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1.2. Conducción

La conducción se puede estudiar fácilmente a partir de la conducción en los sólidos, ya que no hay interacción de la convección o mejor este último mecanismo no tiene incidencia en los sólidos.

Como todas las leyes físicas, la ley básica de la conducción del calor se basa en observaciones experimentales iniciadas por el físico Biot pero planteadas matemáticamente por el físico Joseph Fourier.

En muchas situaciones, un material es sometido a un calentamiento o enfriamiento y su temperatura va cambiando a medida que transcurre el tiempo. Al cabo de un lapso de tiempo la temperatura se estabiliza, como en las paredes de los hornos de panadería.

Con base al comportamiento de las temperaturas se establecen dos casos particulares que merecen estudios muy enfatizados al comportamiento de las temperaturas del cuerpo o de partes del cuerpo.

Cuando la temperatura se mantiene constante a través del tiempo se tiene el estado estacionario o estable y cuando la temperatura cambia con el tiempo se tiene el estado inestable, no estacionario o transitorio

1.2.1. Conducción en estado estacionario Recordando que la tasa de operación es la relación entre la fuerza o potencial y la resistencia que se opone a esa fuerza, podemos establecer: Fuerza conductora dT Rata o tasa = ---------------------------- = ----------- (1-13) Resistencia dR En este caso la fuerza conductora es la diferencia o gradiente de temperatura a lo largo del sólido, siendo necesario que exista una desigualdad de temperaturas para que el calor fluya, como se aprecia en la figura No. 1-6.

Con estas consideraciones la ley de transferencia de calor por conducción establece que la tasa o rata de transferencia de calor q, efectuada en una dirección dada, es proporcional al área A normal o perpendicular a la dirección del flujo del calor y al gradiente de temperatura


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FIGURA 1- 6 Flujo de calor en placa plana

∆T (fuerza conductora) en esa dirección, e inversamente proporcional al espesor ∆X en la dirección dada así:

dT Adt q = ------------ = K ---------- (1-14) dR dX

Siendo K una propiedad de los cuerpos conocida como conductividad térmica del material.

La conductividad térmica, K, es una característica física o propiedad específica del material.

El valor de K depende pues del material y de su temperatura, aunque la variación con esta última es relativa y para valores pequeños de T puede considerarse a K como constante.

En las figuras 1-7 y 1-8 se relacionan los valores de las conductividades térmicas para diferentes sustancias.

La conductividad térmica de los metales en estado sólido y de composición conocida disminuye con la temperatura aunque en las aleaciones el fenómeno se presenta a la inversa.

En términos generales, la conductividad térmica puede ser representada en un amplio rango de temperatura por la ecuación general:

K = Ko [1 +b∆T +c(∆T)2j (1-15) donde Ko es la conductividad a una temperatura de referencia y ∆T la diferencia entre temperatura para K y la temperatura de referencia; b y c son constantes específicas para cada sustancia. Para materiales no homogéneos, la conductividad depende de la densidad


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aparente lo cual se define como la relación de masa de la sustancia, dividida

FIGURA 7 por el volumen total que ocupa, que incluye a su vez el volumen vacío, tal como el de las burbujas de aire o gas,

o aun vacíos dentro del material; como regla general para las sustancias no homogéneas la conductividad térmica aumenta al incrementarse la temperatura o la densidad aparente.


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FIGURA 8 Los líquidos tienen un comportamiento en general similar al de los metales, la conductividad disminuye con el aumento de la temperatura y no varía con la presión. El agua presenta un comportamiento diferente pues muestra aumento de K hasta cerca de los 3000F y luego disminuye

teniendo de todas formas la más alta conductividad térmica de los líquidos, con excepción de los metales líquidos.

Para los gases el comportamiento en general es opuesto a los líquidos y sólidos; aumentan al elevar la temperatura, siendo independiente de la


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presión en una franja de presión cercana a la atmosférica. Para altas presiones, el efecto de ésta es muy significativo y debe hacerse corrección.

Cuando K varía sensiblemente con la temperatura y se tienen valores grandes de ∆T, puede emplearse sin inducir error apreciable un valor K promedio bien sea de los valores de la constante para las temperaturas inicial o final o al valor de la constante para la temperatura promedio.

Los sólidos tienen valor relativamente alto de conductividad térmica en tanto que para la mayoría de los líquidos y gases los valores son bajos.

Son pocos los datos seguros y exactos de la conductividad térmica debido principalmente a la dificultad de su medida ya que ella es muy sensible a los cambios aun pequeños de la composición química y estructura física de los cuerpos.

1.2.2-. Flujo de calor en estado estacionario a través de una lámina plana Considerando flujo de calor en una dimensión y a través de una lámina plana como en la figura 1- 6, en que la conducción de calor tiene lugar en estado estacionario o en el cual no hay ni acumulación ni desprendimiento de calor en el interior de la lámina para una distancia X, tenemos:

Comparando las ecuaciones 1- 5 y 1- 6 se encuentra que

dx x dR = ----- y R = ----- KA KA

Igualmente q, tasa de transferencia, es la cantidad de calor Q, transmitida por unidad de tiempo t, es decir:

Q q = ------ (1-16) t luego

T2 - T1 ∆T q = KA ------------ = KA ----- (1-17) x x Para estas ecuaciones se tiene como unidades de

q Cal/hr o BTU/hr Q Calorías o BTU X metro o pie (ft) A metro2 o pie2 (ft2) K Cal-m/m2 hr0C o BTU - ft / ft2 hr0F o watios / m0C T 0C o 0F


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t Tiempo en segundos u horas Como ya se había mencionado en las figuras 1-7 y 1-8 se gráfican las conductividades térmicas de algunas sustancias empleadas en Ingeniería. Como puede apreciarse en las figuras, la conductividad térmica es función de la temperatura y muy diferentes para los distintos materiales.

Ejemplo 5 Un horno tiene paredes en ladrillo refractario de 1 pie de espesor, con temperatura interior de 6000F y exterior de 700F. ¿Cuál es la tasa de transferencia de calor para una pared de 9 ft2 de espesor.

Solución : Aplicando la ecuación (1-15) , con valor de K = 0,25 BTU / (ft hr o F) obtenido de la tabla 1.

∆T 600 - 70 q = K A ------ = 0,25 x 9 x ------------- = 1.192,5 BTU/hr x 1 Para este ejemplo establezca la consistencia de unidades

Resp: 1.192,5 BTU /hr

Flujo estacionario en una placa plana Ejemplo 6 Se desea construir en ladrillo, la cámara de combustión de una caldera siendo las paredes laterales de 24 ft2 cada una.

La temperatura interior es de 2.2000F y se busca que la exterior sea de 1000F.

Determine el espesor de la pared para tener pérdidas de calor de 3,7 BTU/seg.

Solucion: De la ecuación 1-15 obtenemos X

OO

CIRCUITO TERMICO

R

600 F 70 F

DIAGRAMA

FIGURA 1 -9


26

26

K A ∆T X = ------------------- q Siendo q = Q BTU /seg x 3.600 (seg / hr ) = 3,7 x 3.600 = 13.320 BTU / hr

0,25 x 24 x (2.200 - 100) y X = ----------------------------------- = 0,95 ft. 13.320

Nuevamente verifique usted la consistencia de unidades.

Resp: 0,95 pies

Una pregunta que surge de los dos ejemplos anteriores es ¿pueden construirse paredes en ladrillo de espesores tan definidos como 1 ft (30,5 cm) ó 0,95 ft (28,98 cm) cuando normalmente los ladrillos tienen dimensiones de 25 x 6 x 12 cm? ó ¿qué ocurre con el espesor de la mezcla que se emplea para pegar los ladrillos? Pues bien, los fabricantes de ladrillos refractarios, proveen cementos igualmente refractarios con coeficientes iguales de tal forma que las dimensiones se ajustan haciendo más o menos anchas las juntas o pegues de los ladrillos.

Ejemplo 7 Una cava o cuarto frío para almacenamiento de productos perecederos debe ser mantenida a 2 0C, siendo la temperatura ambiente de 38 0C. Para aislar las paredes se emplea lámina prensada de corcho, que tiene conductividad térmica de 0,021 BTU ft / ft2 hr oF a 32 0F y 0,032 a 200 0F. Determine el espesor de la lámina si se espera un flujo de calor de 200 BTU/hr a través de la pared de 25 ft2.

Solucion: Comercialmente se acostumbra a expresar la conductividad térmica en la unidades BTU ft / ft2 hr oF ó BTU in / ft2 hr oF , consecuente al espesor de la lámina ( en pies, ft o pulgadas, in ) y a la superficie o área de transferencia ( en pies cuadrados, ft2 ). Para determinar K se puede tomar la temperatura promedio e interpolar para el valor obtenido 2 + 38 0C T = ---------------------- = 20 0C = 68 0F 2 K para 68o F es,


27

(68-32) (0,032-0,021) K = 0,021+ ------------------------------- = 0,021 + 0,002 = 0,023 BTU ft /ft2 hr 0 F 200 - 32

Otro método de encontrar K, es interpolando gráficamente (figura 1-10).

Con este valor, reemplazamos en la ecuación 1-14 y tomando

∆T= (380 - 20) C = 360C = 64,8 0F

Luego

0,023 x 64,8 x 25 q = 200 = ----------------------------- ===== x = 0,186 ft =2,24 in x Resp: 2,24 in. NOTA: Debe recordarse que para convertir diferencia de temperatura en grados centígrados a grados Farenheit, se multiplica por 1,8 el ∆T.

Interpolación gráfica para determinar la conductividad térmica FIGURA 10

En los anteriores ejemplos, se ha tomado la tasa de transferencia de calor a través de una resistencia constituida por un solo cuerpo uniforme de espesor X.

El flujo de cualquier energía, como calor o electricidad, puede ser considerado como la relación entre una fuerza conductora y una resistencia; para el caso de la energía eléctrica la tasa de flujo eléctrico se expresa como


28

28

la relación: I = E/R

Siendo E la fuerza conductora o voltaje y R la resistencia. Comparando esta ecuación con la correspondiente a la del calor o ecuación de Fourier, se encuentra que la tasa de flujo de calor es análoga a la intensidad eléctrica.

En la industria es de común ocurrencia tener placas planas de diferentes materiales unidas en serie formando un conjunto sólido o pared.

El flujo de calor a través de varias resistencias térmicas en serie presenta un comportamiento análogo al flujo de corriente a través de varias resistencias eléctricas en serie.

Al tomar un conjunto de placas de diferente material unidas entre sí formando una serie de capas como se aprecia en la figura 1-11 el flujo de calor a través de cada una de ellas es constante y para cada una de ellas puede hacerse un análisis independiente para determinar el flujo de calor.

Relacionado a la figura 1-11 las temperaturas interior y exterior del conjunto son Ti y Te respectivamente cuando Ti > Te el flujo ocurrirá en el sentido de izquierda a derecha.

Para la primera placa que tiene conductividad térmica K1 el flujo a través del área común A es

FIGURA 11 Flujo de calor a través de placas plana en serie

A ∆T1 Ti - T1 q1 = K1 ------------- = K1 A ------------- (1-18) X1 X1 Para la placa 2 de conductividad K2 se tiene flujo


29

A ∆T2 T1 - T2 q2 = K2 ---------- = K2 A ------------------ x2 x2

y para placa 3 con conductividad K3

A ∆T3 T2 – T3 q3 = K3 ---------- = K3 A ------------------ x3 x3

de las anteriores ecuaciones obtenemos

q1 x1 ∆ T1 = ----------- (1-19) A K1 q2 x2 ∆ T2 = ---------- A K2

q3 x3 ∆ T3 = --------- A K3

La caída total de temperatura en todo el sistema es

∆ T = Ti - Te = ∆T1 + ∆T2 + ∆T3 (1-20) q1x1 q2x2 q3x3 ∆T = ------ + ------- + ------- (1-21) A K1 A K2 A K3 Como el flujo de calor es constante a través del sistema

q = q1 = q2 = q3 , reemplazando en (1-21) y tomando a q común

X1 X2 X3 ∆T = q ( ------- + ------- + --------) (1-22) AK1 A K2 A K3


30

30

Las expresiones dentro del paréntesis corresponden a las resistencias térmicas de cada una de las placas, R1, R2, y R3, ecuación (1-10 ), reemplazando

∆T = q ( R1 + R2 + R3 ) (1-23) despejamos q

∆ T q = -------------------- (1-24) R1 + R2 + R3

expresión que corresponde a la definición de flujo térmico ∆T ∆T1 ∆T2 q = ------- = ------- = ------- (1-25) R R1 R2 Siendo ∆T la caída total de temperatura del sistema

R resistencia total del sistema, así

R = R1 + R2 + R3 (1-26) Como en el caso del flujo de corriente a través de una serie de resistencias eléctricas la resistencia total es igual a la suma de las resistencias individuales.

Esta analogía lleva a establecer que en un sistema o circuito térmico de placas planas en serie, las caídas de temperaturas son proporcionales a las resistencias térmicas individuales, es decir

∆ T ∆T1 ∆ T2 ∆ T3 ------ = -------- = ------- = -------- (1-27) R R1 R2 R3 Ejemplo 8. Las paredes de un horno, paralelipípedo están construidas de una placa de ladrillo silica -o- cel, de 12 cm. de espesor, con conductividad térmica de 0,09 Kcal m/m2 hr 0C y ladrillo común formando capa de 24 cm., la conductividad térmica de esta última es de 1,2 Kcal m/m2 hr oC. (unidades comerciales). La temperatura en la pared interior del horno es de 800 0C y la de la pared exterior es de 85 0C, Dibujar el circuito térmico correspondiente y determinar las resistencias térmicas, la temperatura de la interfase de los ladrillos y el flujo de calor en Kcal / hr

Solución.- En la figura 12 se representa el circuito térmico respectivo. Como el flujo de calor es por m2 , bien puede tomarse como área de transferencia 1 m2 .Se denomina interfase a la zona ó superficie de contacto de los dos materiales.

Para la solución se dispone de los siguientes datos


31

X1 = 12 cm = 0,12 m K1 = 0,09 Kcal / m hr 0C ó Kcal m / m2 hr0C A = 1 m2 Ti = 800 0C X2 = 24 cm = 0,24 m

FIGURA 1-12 Distribución de temperatura a través de una placa plana

K2 = 1,2 Kcal/hr m0C

Te = 85 0C

y se pide determinar R1, R2 y T1 as como q

Las resistencias térmicas son

X1 0,12 R1 = ---- = ------------ = 1,33 hr oC / Kcal K1A 0,09 x 1 X2 0,24 R2 = ---------- = ------------ = 0,20 hroC / Kcal K2A 1,2 x 1

La resistencia total R = R1 + R2 = 1,53 hr oC / Kcal y el flujo de calor


32

32

∆ T 800 - 85 q = ----- = --------------- = 467,32 Kcal / hr R 1,53

La temperatura de la interfase se obtiene a partir de la caída de temperatura en el ladrillo sílica -o- cel, acorde a (1-25)

∆ T1 = q x R1 = 467,32 x 1,33 = 621,53 oC

y ∆ T1 = Ti - T1 T1 = Ti - ∆ T1

T1 = 800 - 621,53 = 178,470C

Resp R1 = 1,33 hroC / Kcal R2 = 0,20 hroC / Kcal R = 1,53 hroC / Kcal q = 467,32 Kcal/ hr T1= 178,470C La situación representada en la figura 1-12 esquematiza el evento cuando el interior del horno y la pared están a 8000C, y el flujo de calor ocurre unidimensionalmente; sin embargo al iniciarse la operación de calentamiento la temperatura de la pared interior es la ambiente. Suponiendo que ella es de 850C la recta A representa la distribución de temperatura en las paredes.

Al ocurrir una exposición brusca de la pared a la temperatura de 800 0C , la cara de la pared alcanza dicha temperatura y comienza el flujo de calor al cabo de cierto tiempo; la distribución de la temperatura puede representarse por la curva B. En este Instante, la temperatura para un punto dado P, está aumentando y obviamente ella depende del tiempo, el proceso de transferencia de calor es de conducción de flujo no estacionario. Ya cuando la pared se mantiene en contacto con el foco caliente y el foco frío durante largo tiempo se obtiene el flujo estacionario cuya representación gráfica es la línea C.

En este estado estacionario, T es una función exclusiva de la posición y la velocidad de flujo de calor en un punto cualquiera es constante.

Al iniciar el estudio de flujo por convección se tomó el flujo unidimensíonal y en una área perpendicular a la dirección del flujo siendo esta área plana.

1.2.3 Elaboración de la hoja de calculo en procesos térmicos Las Hojas de Cálculo permiten resolver múltiples problemas con base a sencillos programas elaborados ya bien sea para situaciones particulares o situaciones generales.

En la elaboración de la Hoja de Cálculo, para problemas de conducción unidimensional en estado estacionario se establece las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor y ellas son:


33

Material M Conductividad Térmica K Espesor X Resistencia Térmica R Temperatura Alta Ta Temperatura Baja y Tb Diferencial o gradiente de temperatura ∆T

A estas variables se les asignan sendas columnas con los símbolos correspondientes, e igualmente se colocan las unidades consistentes, en los diversos sistemas ingenieriles o en unidades comerciales.

Se pueden anotar las palabras, como se muestra en las hojas de cálculo inicialmente presentadas, o los símbolos como se ve en algunos ejemplos presentados en el anexo.

Son normales los casos de varias placas o paredes en problemas que se llaman de paredes compuestas; en este caso de deja una fila para totalizar las resistencias y las caídas o diferencias de temperaturas.

Normalmente en los problemas de Transferencia de Calor q, para la situación del enunciado, pretende encontrar el flujo q, de calor a través de una pared de área A. Para estas variables se asignan filas tal como se representa en el siguiente cuadro: FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PLACAS PLANAS EN SERIE EN ESTADO ESTACIONARIO

DETERMINACION DE LA TASA DE TRANSFERENCIA O FLUJO DE CALOR PLACAS PLANAS

PRESENTACION DE LA HOJA

CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb ∆Τ

kcal/m hr 0 C m 0C 0C 0C

Total Total

AREA metros cuad.

HOJA 1 Es conveniente acompañar el desarrollo del problema con un diagrama de la situación presentada, ya que ello facilita su solución.

Se puede adicionar una fila de comprobación para las caídas de temperaturas, las resistencias térmicas o el flujo de calor, obtenidas por un medio diferente a como se calculó en el total.

En términos prácticos el problema se plantea, anotando en las casillas respectivas los datos suministrados en el enunciado del problema, u obtenidos de tablas y diagramas. La resolución del problema consiste en realizar un


34

34

análisis de la situación que permita llenar todos los espacios vacíos.

Para la resolución de problemas la fundamentación está en las resistencias térmicas y las analogías con circuitos, de ahí que la resolución por la hoja de cálculo implica siempre el cálculo de las resistencias térmicas.

La Hoja de Cálculo es una valiosa ayuda o herramienta para el ingeniero, pero no reemplaza en ninguna circunstancia los conocimientos ni el proceso analítico que obligadamente debe tenerse para la resolución de problemas. Por el contrario para hacer una Hoja de Cálculo se requieren sólidos conocimientos de la temática a trabajar.

En principio la resolución a través de la hoja de cálculo es más dispendiosa al plantearla en las memorias de cálculo, no obstante una vez se tenga la experiencia y habilidad adecuadas no se requieren de las memorias salvo para plantear el problema y acudir a referencias bibliográficas como se muestra en próximos ejemplos. En el ejemplo 8 ya presentado, se resolvió en forma convencional , enseguida se hará la presentación para la hoja de cálculo. Es decir se establecerán claramente los datos a consignar en la hoja. En lo posible se debe establecer antes de consignar los datos que se tengan unidades consistentes. En el caso de unidades de fácil conversión ello se puede hacer directamente en la casilla correspondiente como por ejemplo pulgadas a pies en que el valor en pulgadas se transcribe dividiéndolo por 12, o centímetros a metros dividiendo el valor por 100

En el cuadro de presentación de datos se anotan en los respectivos espacios, los valores dados en el ejemplo y que se constituyen en los datos necesarios para resolver el problema. Igualmente se ha tomado como base de cálculo un área de 1 metro cuadrado. FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PLACAS PLANAS EN SERIE EN ESTADO ESTACIONARIO DETERMINACION DE LA TASA DE TRANSFERENCIA O FLUJO DE CALOR PLACAS PLANAS

PRESENTACION EJEMPLO No. 8 CAPA MATERIAL K ESPESOR RESISTENCIA Ta Tb ∆Τ

kcal/m hr 0 C m 0C 0C 0C

1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 800

2 Ladrillo 1,20 0,24 85

Total Total

AREA m2 1

HOJA 1 A En un tercer y cuarto paso se determina: el flujo de calor, aplicando q = ∆T / R y las caídas o diferencial de temperatura aplicando para cada pared ∆T = q x R. Finalmente en un sexto paso se establece la temperatura de la interfase,


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tomando la temperatura alta del primer material y restándole su respectivo diferencial o caída de temperatura . RESOLUCION PASO 1


kcal/m hr 0 C m hr oC /Kcal 0C 0C 0C

1 Lad. Silica 0,09 0,12 800

2 Ladrillo 1,20 0,24 85

Total Total 715

AREA m2. 1

FLUJO DE CALOR Kcal/hr m Comprobación

PASO 2



1 Lad. Silica 0,09 0,12 1,333 800

2 Ladrillo 1,20 0,24 0,200 85

Total 1,533 Total 715

AREA m2.. 1

FLUJO DE CALOR Kcal/hr m Comprobación

HOJA 1 B PASO 3



1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 1,333 800

2 Ladrillo 1,20 0,24 0,200 85


AREA m2. 1

FLUJO DE CALOR Kcal/hr m 466,3 Comprobación

HOJA 1 C


36

36

SOLUCION FINAL



1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 1,333 800 178,3 621,7

2 Ladrillo 1,20 0,24 0,200 178,3 85 93,3


AREA m2.. 1

FLUJO DE CALOR Kcal/hr m 466,3 Comprobación 715

HOJA 1 D A continuación se presentan dos hojas correspondientes a las simulaciones en la cuales se han modificado unas variables. SIMULACION Para diferentes temperaturas


kcal/m hr 0 C m 0C 0C 0C 1 Ladrillo Silica 0,09 0,12 1,3333 650,0 141,3 508,72 Ladrillo 1,20 0,24 0,2000 141,3 65,0 76,3

Total 1,5333 Total 585AREA metros cuad. 1

FLUJO DE CALOR 381,5 Comprobación 585 SIMULACION Para diferentes materiales


kcal/m hr 0 C m 0C 0C 0C 1 Refractario 0,07 0,12 1,7143 800,0 159,7 640,32 Ladrillo 1,20 0,24 0,2000 159,7 85,0 74,7

Total 1,9143 Total 715AREA metros cuad. 1

FLUJO DE CALOR 373,5 Comprobación 715

1.2.4. Flujo de calor en estado estacionario a través de una pared cilíndrica Numerosas aplicaciones industriales de transferencia de calor se hacen a través de las paredes de tubos o tuberías y numerosos equipos de transferencia de calor empleados en la industria de alimentos tienen paredes cilíndricas.


37

Considerando la conducción en flujo estacionario, en una dimensión para un

FIGURA 1-13

cilindro hueco, como el mostrado en la figura 1-13, la temperatura es función

sólo del radio r del cilindro.

Aplicando la ecuación 2 con distancia r.

dT q = K A ------------- (1-28) dr Siendo A = 2 π r L se obtiene 2 π r L d T q = K -------------------- (1-29)

dr

Separando variables e integrando entre r1 y r2 y entre T2 yT1

Obtenemos:

2 π K L (T2 - T1) In (r2 / r1) = -------------------------- q

Lo cual nos lleva a:

2 π K L ∆ T q = --------------------- (1-30) In (r2 / r1)


38

38

En los cilindros huecos, la resistencia térmica Rc, acorde con la ecuación 1-14 será:

In r2 / r1 Rc= --------------------- (1-31) 2 π KL

Esta ecuación puede reordenarse para lograr una ecuación similar a la de la placa plana así:

In r2 / r1 (r2 - r1) ln (2 π r2 L / 2 π r1 L) Xc In (A2 / A1) R =--------------- = ------------------------------------- = ---------------------- 2 π K L (r2 - r1)2 π K L (A2 - A1) k

Se ha llamado A2 al área 2 π r2 L (área exterior del cilindro).

Se ha llamado A1 al área 2 π r1 L (área interior del cilindro).

Se ha llamado Xc al espesor r2 - r1.

Y llamando AL al área media logarítmica (es decir el promedio logarítmico de las áreas interior y exterior).

A1 - A0 AL = ---------------- (1-32) In A1 / A0 Obtenemos:

Lc R(1) = ------------- (1-33) AL K Reemplazando este valor en la ecuación (1- 28)

∆T q = K AL --------- (1-34) L

ecuación análoga a la (1-17) empleada en flujo de calor a través de placas planas.

Volviendo a la ecuación (1-34), el área media logarítmica puede expresarse en función de un radio medio logarítmico r2 y de una longitud L.


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2 π L (r2-r1) AL = ------------------ = 2π r2 L (1-35)

In (r2 / r1) Siendo:

r2 - r1 r2 = ------------------ (1-36) In (r2 / r1)

Cuando la relación r2 / r1 es aproximadamente igual a la unidad puede emplearse para r el valor promedio aritmético.

Al tomar una pared cilíndrica compuesta, formada por capas concéntricas en contacto térmico ideal, como se muestra en la figura 1-14, se aplica la ecuación (1-27), para flujo de calor a través de resistencias térmicas individuales y

∆T ∆T3 ∆T2 ∆T1

q = ---- = ---------- = -------- = --------- (1-37) R R3 R2 R1

FIGURA 1-14 Capas concéntricas de una pared cilíndrica


40

40

En donde

∆T3 = T3 - T2 R3 = 1/A3 K3

∆T2 = T2 - T1 R2 = 1/A2 K2

∆T1 = T1 - T0 R1 = 1/A1 K1

321

23

RRRTT

RTq

++−

=∆

=

Cuando se conocen las temperaturas T3 y T0 y las magnitudes de las resistencias térmicas individuales, se puede encontrar la tasa total de flujo de calor q a través de un área A en un sistema compuesto de varias capas por medio de la ecuación (1-25).

Ejemplo 9

Una tubería de acero de 3” de diámetro conduce vapor y está cubierta por una capa de amianto de 1/2” de espesor y a su vez está recubierta con una capa de lana de vidrio de 2” de espesor.

Determinar: - La transferencia de calor (pérdidas) en BTU/hr por pie lineal de tubería, si la temperatura exterior del tubo es de 320 0F y la exterior a la lana de vidrio es de 70 0F.

- La temperatura de la interfase entre la lana de vidrio y el amianto.

De tablas, se tiene

Amianto K1 = 0,120 BIU/hrft 0F Lana de vidrio K2 = 0,0317 BIU/hr ft 0F

Solución: Aplicando la ecuación

∆T q = ------------ R debe encontrarse R = R1 + R2 y acorde a la figura 1-14

In (r2 / r1) In (r3 / r2) R1 = ---------------; R2 = --------------------- 2 π K1 L 2 π K2 L


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1 In (r3 / r2) In (r2 / r1) R = --------- (--------------- + ---------------- ) 2 π L K2 K1

2 π L ∆ T q = ---------------------------------- (1-38) 1 r3 1 r2

------ In ----- + ----- In ----- K2 r2 K1 r1 Como se pide encontrar pérdidas, por pie de tubería se deduce:

q 2 π ∆ T ------ = ----------------------------------------------------------- ; L 1 r3 1 r2

------ In ----- + ---- In -------- K2 r2 K1 r1 reemplazando:

q 2 π (320 - 70) OF ----- = ------------------------------------------------------------ L 1 4.0 1 2.0 ------- In -------- + ----------- In ------------- 0.0317 2.0 0.120 1.5 q 1570 BTU ------ = ---------------------------------- = 67,74 --------- L 0.693 0.288 hr ft ---------- + ---------

0.317 0.0120 Aplicando el valor encontrado de transferencia de calor, se aplica la ecuación (1-30) para encontrar ∆T y luego T2. Es decir: q/L r2

∆T = -------------- In -------- 2 π K r1

Para el amianto

64.74 2.0 64.74 ∆T = ---------------- In ------------ = ------------ x 0.288 = 24,73OF 2 π (0.120) 1.5 0.7536


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42

∆T = T1 - T2 = 24.73 OF T2 = T1 - 24.73 OF

T2 = 320 - 24.73 = 295.27 OF Para la lana de vidrio

64.74 4.0 64.74 ∆T = --------------------In ----- = --------------x 0.693 2 π (0.0317) 2.0 0.199

∆T = T2 - T3 = 225.27 T2 = T3 + 225.27

T2 = 70 + 225.27 = 295.27 OF

Resp: q = 64,74 BTU / hr ft Ti = 295.27 OF

El Ejemplo se resuelve analiticamente mediante la hoja de cálculo que transcribe en seguida: Se ha tomado como base de cálculo 1 pie lineal de longitud de tubería. Se han omitido algunas unidades, para facilitar la impresión de la hoja de cálculo

FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PAREDES CILINDRICAS EN SERIE PRESENTACION EJEMPLO 9 PRESENTACION DATOS CAPA MATERIAL K R. Int. ESP. R. Int. Ln Re/Ri RESISTENCIA Ta Tb ∆Τ

BTU /Hr ft °F pies pies pies ° F Hr / BTU 0F 0F 0F 1 Tuberia Acero 0,125 320,0 2 Amianto 0,12 0,042

3 Lana de Vidrio 0,0317 0,167 70,0

Long. pies 1 Total Total

RESOLUCION

CAPA MATERIAL K R. Int. ESP. R. Int. Ln Re/Ri RESISTENCIA Ta Tb ∆Τ

BTU /Hr ft 0 F pies pies pies ° F Hr / BTU 0F 0F 0F 1 Tuberia Acero 0,125 320,0 0,02 Amianto 0,12 0,125 0,042 0,167 0,2876821 0,3815502 320,0 295,3 24,7

3 Lana de Vidrio 0,0317 0,167 0,167 0,333 0,6931472 3,4800568 295,3 70,0 225,3

Long. pies 1 Total 3,8616 Total 250,0

FLUJO DE CALOR 64,74 BTU / hr Comprobación 250,0

HOJA DE CALCULO 2


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Las unidades omitidas son para:

K BTU /Hr ft °F y

RESISTENCIA ° F Hr / BTU Como se puede apreciar, este desarrollo se basó en el cálculo de las resistencias, con la Hoja muy similar a la empleada para placas planas en serie. Puede observarse como la mayor caída de temperatura ocurre en la lana de vidrio.

Ejemplo 10.

Una tubería de acero 3" calibre 80 conduce vapor a 280 oF y esta' recubierta de una capa de asbesto de 1" de espesor la que a su vez esta' cubierta por una capa de lana de vidrio de 2" . La temperatura en el interior de la tubería es de 278 oF y en el exterior de la capa de vidrio de 70 oF.

Determinar:

a) La transferencia de calor (pérdidas) en BTU/hr en 100 pies de tubería,

b) Las temperaturas de las interfases y

c) Cantidad de vapor condensado por 100 pies de tubería.

Solución: a) Para calcular el flujo de calor se toman temperaturas en el interior de la tubería y en el exterior de la capa de lana de vidrio, y algunos datos de tablas, para calcular las resistencias parciales, y luego resistencia total. De las tablas de tuberías, para diámetro = 3" cal 80

De = 3,50" = 0,292' re = 0.146'

Di = 2,90" = 0,242' ri = 0.121'

K = 30 BTU/hr ft oF Xc = 0.025'

Para la capa de asbesto r = 0,146', Xc = 1" = 0,0083, r = 0,229',

K = 0,1 BTU/hr ft oF Para la lana de vidrio r = 0,229'. Xc = 2" = 0,166' r = 0,395,

K = 0,03 BTU / hr ft oF

Las resistencias de cada capa se calculan tomando una longitud de 100 pies


44

44

FIGURA 1-15 Corte de tubería con capas aislantes

ln re /ri ln ( 0.146/0.121) R = -------------- = ------------------------------ = 1 x 10 –5 hr ft oF /BTU 2 π K L 2 π x 30 x 100 ln (0,229 / 0.146) R = ------------------------- = 7,19 x 10 –3 hr ft oF /BTU 2 π x 0,1 x 100 ln (0,395 / 0,229) R = ----------------------------- = 2,898 x 10 –2 hr ft oF /BTU 2 π x 0,03 x 100

la resistencia total es

Rt = 1 x 10 –6 + 7,19 x 10 –3 + 2,898 x 10 –2 = 0,0362 hr ft oF /BTU

y el flujo de calor para los 100 pies de tubería

q = ∆T / R = 208 / 0,0363 = 5.750 BTU / hr b) Las temperaturas de las interfases se calculan tomando las resistencias térmicas individuales y el flujo de calor.

∆ T1 = qR1 = 5.750 x 1 x 10 –6 = 0,057 oF

T2 = T1 - ∆ T1 = 278 - 0,057 = 277,943 oF

∆T2 = qR2 = 5.750 x 7,19 x 10 –3 = 41,323 oF T3 = T2 − ∆T2 = 277,943 - 41,323 = 236,620 oF

∆T3 = qR3 = 5750 x 2.898 x 10 –2 = 166,620oF

T4 = T3 - ∆T3 = 236,620 - 166,620 = 70 oF

Puede apreciarse que en la tubería la caída de temperatura es tan pequeña que puede despreciarse


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c) El flujo de calor que se transfiere al exterior de la tubería proviene del vapor que se condensa.

q = m λ = 5.750 BTU/hr

donde m es la cantidad de vapor que se condensa y λ calor latente de condensación a 280 oF también: q = m (Hv - Hl )

donde Hv es la entalpia del vapor a 280 oF = 1.173,8 BTU/lb Hl entalpia del lquido a 280 oF = 249,06 BTU/lb

q 5.750 m = ------------ = --------------------------- = 6,23 lb/hr Hv - Hl 1.173,8 – 249,6

FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PAREDES CILINDRICAS EN SERIE

PRESENTACION EJEMPLO 10

CAPA MATERIAL K R. Int. ESP. R. Int. Ln Re/Ri RESIST. Ta Tb ∆Τ

pies pies pies 0F 0F 0F

1 Tuberia Acero 30 0,121 0,146 278,0

2 Aislamiento 0,10 0,083

3 Lana de Vidrio 0,03 0,167 70,0

Long. pies 100 Total Total

RESOLUCION

CAPA MATERIAL K R. Int. ESP. R. Int. Ln Re/Ri RESIST. Ta Tb ∆Τ

pies pies pies 0 F Hr / BTU 0F 0F 0F

1 Tuberia Acero 30 0,121 0,025 0,146 0,18781 0,0000100 278,0 277,9 0,1

2 Aislamiento 0,1 0,146 0,083 0,229 0,45156 0,0071870 277,9 236,6 41,3

3 Lana de Vidrio 0,03 0,229 0,167 0,396 0,54623 0,0289788 236,6 70,0 166,6

Long. pies 100 Total 0,0362 Total 208,0

FLUJO DE CALOR 5750 BTU / hr Comprobación 208,0

HOJA DE CALCULO 3


46

46

1.2.5 Flujo de calor en estado estacionario, a través de paredes esféricas En el caso de paredes esféricas, (figura 1-16) el área para una pared de radio r es 4π r2 y la ecuación (1-14) se nos convierte en:

K 4π r2 dT q = ------------------------- (1-39) dr

Separando variables e integrando entre r1 y r2 , con T1 y T2 respectivamente

obtenemos:

FIGURA 1-16 Pared Esférica

4π K (T1 - T2) q = ----------------------------- (1-40) 1 1 ------ - ------ r1 r2

De acuerdo con esta ecuación la resistencia térmica R, para paredes esféricas será:

R = (1/r1 - 1/r2) / 4π K (1-41)

Cuando se tienen varias capas esféricas concéntricas se aplica la ecuación (1-24).


47

Ejemplo 11. Las condiciones de diseño de un reactor de síntesis implican para un volumen de 40 ft3 , una temperatura de 1400 oF; se ha seleccionado una forma esférica cuya pared interior debe ser de magnesita vitrificada con espesor de 3/4", y pared exterior lámina de acero de 1/2" . Debe seleccionarse un aislamiento en un espesor no mayor de 3" y que permita una temperatura exterior no mayor de 98 oF. El flujo máximo admisible de calor se ha calculado sea del orden de 15.000 BTU/hr . Calcular las temperaturas de las interfases y elaborar una hoja de trabajo para el cálculo del reactor.

Solución.- Para el volumen especificado se debe determinar el radio de la esfera, así como espesores y radios exteriores de cada una de las capas. Aunque el diseño no lo especifica, el aislamiento debe ser recubierto de una lámina metálica para su protección física y puede ser de 1/16" de espesor.

Para el volumen dado, el radio interior es :

r = (4V /3 ) 1/3 = (4 x 40)1/3 = 2,57 ft

Para seleccionar el aislamiento, con un espesor prefijado, se puede determinar su resistencia térmica y calcular la conductividad térmica que debe tener. Como hemos visto anteriormente las resistencias de las paredes metálicas son muy bajas y es válido considerar que en el presente caso, la resistencia total obedece a la del material vitrificado y a la del aislamiento. Ello se puede apreciar en la hoja de cálculo ∆T 1.400 - 98 Resistencia total Rt = ------- = ------------------ = 0,0868 hr oF/BTU q 15.000

La resistencia para el vitrificado, de un espesor de 3/4" = 0,75" se obtiene aplicando la ecuación (1-41), con los valores de r1 = 2,57 pies ; r2 = 2,57 + 0,75/12 = 2,6325 pies

1 1 --------- - --------- 2,57 2,6325 Vitrificado, R1 = ---------------------------- = 0,024 hr oF/Btu 4 x π x 0,03

R3 = Rt - R1 = 0,0868 - 0,024 = 0,0628 hr oF/BTU

teniendo en cuenta el espesor de la pared de acero ( ver hoja de cálculo ), de la ecuación (1-41) se obtiene para K


48

48

1 1 --------- - ---- ------ 2,6741 2,9241 K3 = ---------------------------------- = 0,04 BTU/ hrft oF 4 x π x 0,0628 1 1 ---------- - ---------- 2,6741 2,9241 K3 = ---------------------------------- = 0,04 BTU/ hrft oF

4 x π x 0,0628

Buscando en tablas, se encuentra que el fieltro de asbesto de 40 láminas por pulgada tiene una conductividad a 500 oF de 0,048 que resulta un poco alta; para el valor requerido lana de vidrio de densidad 0,5 lb/ft tiene un valor de 0,035 para 600 oF, luego puede seleccionarse este material.

El hecho de emplear la lana de vidrio especificada disminuye el flujo de calor en un 11% sobre el valor inicialmente fijado. Debe observarse que la lana de vidrio sometida a una temperatura muy próxima a la de trabajo que es del orden de 600 oC.y los datos consignados en la hoja de trabajo para iniciar los cálculos son:

MATERIAL K R Int. ESP. R. Ext.. 1 / r1 1/re Resist. Ta Tb ∆Τ

Magnesita 2,57 0,063 1400

L. de Acero 0,042

Aislamiento 1 0,019 1,0191 1 0,9813 98

Flujo 15000 BTU/hr Total Total 1302,0

(Nota: se omiten las unidades que son consistentes)

HOJA DE CALCULO 4 A Buscando en tablas los datos de conductividades térmicas y efectuando las correspondientes operaciones se llega a :

RESOLUCION PROBLEMA QUINTO PASO


49

C MATERIAL K R Int. ESP. R. Ext.. 1 / r1 1/re Resist. Ta Tb ∆Τ

1 Magnesita 0,030 2,57 0,063 2,6325 0,3891 0,3798 0,02450 1400 1032,4 367,6

2 L. de Acero 25 2,6325 0,042 2,6742 0,3798 0,3739 0,00001 1032,4 1032,1 0,2826

3 Aislamiento 0,041 2,6742 0,250 2,9242 0,3739 0,3419 0,06227 1032,1 98 934,1

FLUJO DE CALOR 15000 BTU/hr Total 0,08680 Total 1302,0

HOJA DE CALCULO 4 B Nota: No se han colocado las unidades de la conductividad termica , que son kcal / hr m o C, para facilitar la presentación del cuadro

1.2.6. Coeficiente total de transferencia de calor En resolución de problemas de transferencia de calor frecuentemente, se emplea el llamado coeficiente total de transferencia de calor U, con el fin de caracterizar la conducción unitaria de una estructura compuesta. Para la cual, la resistencia térmica total R se relaciona con U, mediante la ecuación:

UA = 1/R (1-42) En donde U tiene como unidades BTU / hr ft2 0F o w/m2 0C. La tasa total de transferencia de calor q, a través del área A en una estructura compuesta cualquiera que sea su forma geométrica y desde la temperatura T1 hasta T2 se calcula, por la ecuación:

qT = A U (T1 - T2) = A U ∆T BTU / hr o W (1-43) Siendo qT, la transferencia total de calor

Paredes planas. Tomando una pared plana que separa dos fluidos, a y b, que están a temperaturas Ta y Tb respectivamente (figura 17).

La pared plana tendrá como temperaturas T1 y T2 ; el flujo de calor en el sistema ocurre por convección en los líquidos y por conducción en la pared.

La transferencia de calor en las dos caras de la pared plana, con respecto al líquido (por convección) será:

q = A ha (Ta - T1 ) = A hb (T2 - Tb) (1-44) Equivalente a:

Ta - T1 T2 - Tb q = ---------------- = ------------- (1-45) 1 / ha A 1 / hb A

Conforme a la ecuación (1-11) 1 / h A es la resistencia térmica producida por la convección. Como el flujo de calor debe ser exactamente igual dentro


50

50

del material que constituye la pared plana se tiene:

A (Ta - Tb) A Tr q = ----------------------------- = ---------------- (1-46) 1/ha + X/K + 1/hb RT

1

Como se ha definido U = -------- A RT

FIGURA 1-17 Pared plana

Se deduce de (1-41)

1 U = -------------------------------------- (1-47) 1 X 1 ------ + -------- + ------ ha K hb

En el caso de una pared plana de capas múltiples 1, 2, etc,:

1 U = ---------------------------------------------- 1 X2 X2 1 --------- + -------- + -------- + ------ ha K1 K2 hb Ejemplo 12


51

Una pared de concreto de 15 cms. de ancho con una conductividad térmica de 0,86 W/m0C, está expuesta por un lado al ambiente cuya temperatura es de 250C , siendo el coeficiente de convección de 11,352 W / m2 0C, y el otro lado de la pared está en contacto con el aire de un cuarto frío con temperatura de -180C y coeficiente de 56,766 W/m2 0C.

Determinar la tasa de transferencia de calor, por unidad de área.

- El coeficiente total de transferencia de calor.

- Las temperaturas de superficies de la pared.

Solución: Para comprender el manejo del problema es conveniente hacer un gráfico.

FIGURA 1-18

Diferencias de temperaturas en la pared. Ejemplo 12 - La tasa de transferencia se determina: q / A = ∆T1 / R1 y a la vez:

1 X 1 Rt = Ra + R1 + Rb = -------- + ------- + ---------- ha K1 hb 1 0.15 1 rt = -----------+ ------------ + ------------ = 0.28 m2 oc / w

11.352 0.86 56.766


52

52

q 25 - ( -18) OC ------- = ---------------------- = 153,6 W / m2 A 0,28 m2

----------- OC W - El coeficiente total de transferencia de calor U es

q 153,6 W/m2 U = ---------------- = -------------------- = 3.57 W/m2 OC ∆AT 43OC

También para 1 m2 de superficie se tiene:

1 1 U = ------------- = ---------------------- = 3,57 W / m2 0C Rt 0,28 m2 0C/W - Las temperaturas pueden determinarse por

q Ta Tb ----- = -------- = ---------- A 1/ha 1/hb q 1 1 ∆Ta = ------ x ----- = 153,6W/m2 x ------------------------ =13,53 OC A ha 11,352 W/m2 0C

Como

∆Ta = Ta - T1 T1 =Ta - ∆Ta = 25 - 13,53 = 11,470C

a la vez q 1 W 1 Tb = ------- x ------- = 153, 6 ---- x ----------------------- = 2.70C A hb m2 56,766 W/m2 0C

y ∆Tb = Tb - T2 T2 = Tb - ∆Tb T2 = -180C - (-2,70C) = - 15,30C

El ejemplo se resuelve fácilmente empleando la hoja de cálculo.


53

Para cada uno de los casos que se presentan en transferencia de calor en conducción estable, paredes o placa planas, paredes cilíndricas y paredes esféricas se puede elaborar un patrón de la hoja de cálculo de tal forma que llenarla se hace fácil y rápidamente. Para el cálculo del coeficiente total de transferencia se adiciona una última fila como se observa en la resolución del problema.

El estudiante encontrará que en la hojas de cálculo, la resolución se logra por un análisis, diferente al realizado por los medios comunes

FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PLACAS EN SERIE EN ESTADO ESTACIONARIO

DETERMINACION DEL COEFICIENTE TOTAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

EJEMPLO 12

CAPA MATERIAL K h Esp. RESIST. Ta Tb ∆ T

m 0C 0C 0C

1 Ambiente Interior 11 - 25

2 Pared 0,86 0,150

1 Ambiente exterior 56,766 - -18

AREA metros cuad. 1 Total

FLUJO DE CALOR kcal/hr

RESOLUCION PROBLEMA

CAPA MATERIAL K h ESP. RESIST. Ta Tb ∆ T

m hr oC /Kcal 0C 0C 0C

1 Ambiemte Interior 11 - 0,08809 25,00 11,48 13,522

2 Lamina 0,86 0,150 0,17442 11,48 -15,30 26,774

5 Ambiente exterior 56,766 - 0,01762 -15,30 -18,00 2,704

AREA metros cuad. 1 0,28012 Total 43

FLUJO DE CALOR kcal/m hr 0C 153,5 COMPROBACION 43

COEF. TOTAL DE TRANFERENCIA DE CALOR 3,57 kcal/m2 hr 0C

HOJA 5


54

54

Paredes cilíndricas. Considerando una pared cilíndrica, (figura 1-17) en condiciones similares a la pared plana del caso anterior.

FIGURA 1-19 Pared cilíndrica

La resistencia, por convección interna del fluido a es:

1

Ra = ----------------- 2π r1 Lha

La resistencia , por conducción de la pared

ln r2 / r1 R = ------------- 2π KL y Rb la resistencia, por convección del fluido b 1

Rb = --------------- 2π r2 Lhb

La resistencia total será:

1 lnr2 / r1 1 Rt = ------------ + ----------------- + ------------------- 2π r1 Lha 2π KL 2π r2 Lhb


55

Como las áreas exterior e interior son diferentes, es necesario especificar el área sobre la cual se calcula U, (el área de un cilindro varía en dirección radial).

En ingeniería normalmente se emplea el coeficiente total de transferencia de calor basado en la superficie externa del cilindro, ya que el diámetro exterior puede medirse fácilmente.

Basado en la superficie interior A1 se tiene:

1 (1-48A) U1 A1 = ----------- R y sobre la superficie externa A2

1 (1-48B) U2 A2 = ----------- R

Cumpliéndose que U1 A1 = U2 A2

.Siguiendo la generalidad para determinar U, al emplear el área externa A2 = 2π r2L

1 U = ----------------------------------------- (1-49) r2 r2 ln (r2 / r1) 1 ----- + ---------------- + ------- r1ha K hb

Para el caso de cilindros compuestos de varias capas 1,2,3, etc. hasta n - 1 capas materiales:

1

U = ---------------------------------------------------------------------- (1-50) rn r ln (r/r1 rn ln(rn /rn-1) 1

------- + ------------- + ------------------ + ---------

r1ha K1,2 Kn - 1, n ho

donde los subíndices de K se refieren a los radios que comprenden la capa respectiva.

Ejemplo 13


56

56

10 pies de una tubería de acero de 2” de diámetro interior y 2,2” de diámetro exterior están cubiertos con una capa aislante de amianto de 0.5” de espesor. Por el interior de la tubería circula gas caliente (6000F) que transfiere calor con convección a la pared interna de la tubería con un coeficiente de transferencia de calor h = 50 BTU/hr ft2 0F. La superficie exterior del amianto está expuesta al aire ambiente a temperatura de 900F y un coeficiente de 3 BTU / hr ft2 0F.

- Determinar el calor cedido al aire ambiente por la tubería

- La caída de temperatura a través del acero, del amianto

- Establezca el coeficiente total de transferencia de calor, referido a la superficie externa.

De tablas K acero = 25 BTU/hr ft 0F ó 43,26 W / m OC

K amianto = 0,10 BTU / hr ft 0F ó 0,173 W / m 0C

Solución: - El flujo o transferencia de calor a través del tubo está dado por:

∆T q = ----------------------------------- = U A ∆T Ra+ R1 + R2+ Rb

Siendo Ra, resistencia del gas caliente, con

ha = 50 BTU/hr ft2 0F

Siendo R1 , resistencia del acero, con

K = 25 BTU/hr ft 0F

Siendo R2, resistencia del amianto, con

K = 0,10 BIU/hr ft0F

Siendo Rb, resistencia del aire, con

hb = 3 BTU/hr ft2 0F

Siendo ∆T, caída total de temperatura (600-90)0F = 5100F

Siendo ra = radio interno = 1” Siendo r1 = radio de la 1a. capa (acero) 1,1”

Siendo r2 = radio de la 2a. capa (amianto) 1,6”

Elaborando un sencillo diagrama tenemos:


57

FIGURA 1-20 Corte tubería. Ejemplo 13

Reemplazando valores, en unidades consistentes

1 Ra = ----------------------------- = 0,382 x 10-2

1 2π x ----- 10 X 50 12 1 1,1 R1 = ------------------- ln ------ = 0.606 x 10 -4 2 π x 10 x 25 1

1 1.6 R2 = ---------------------- ln ------ = 0.596 x 10 -1 2 x π x 10 x 0.10 1.1

1 Rb = ----------------------------- = 0.398 x 10 -1 2 x π x 1,6/12 x 10 x 3 La resistencia total será: R = Ra+ R1 +R2+ Rb = 0,103 hr 0F / BTU

y el calor cedido por el tubo q será:


58

58

∆T 510 q = ----- = ------------------- = 4.937 BTU/hr R 0,1033

- Las caídas de temperatura a través de la tubería de acero y del amianto son: R1 R1 0,606x 10-4 ∆T acero = ------ ∆Tt = ---------- (Ta-Tb) = ------------------ x 510 = 0, 300F R R 0,1033

R2 0,596 x 10-1 ∆T amianto = -------- ∆Tt = ----------------------- x 510 = 2940C R 0,1033

Nuevamente se observa que la caída de temperatura, a través de la tubería metálica es ínfima.

- Para determinar U referido al área exterior, ésta es:

1.6 A2 = 2π r2 h = 2π x ------ x 10 = 8,38 ft2 12

1 1 y Ue = ---------- = ----------------------- = 1,16 BTU / hr ft2 0F R A2 0,103 x 8,38

también puede calcularse: q 4.951 Ue = ------------- = --------------------------- = 1,16 BTU / hr ft2 OF A2 ∆ T 8,38 x 510

Para determinar U, referido al área interior

A 1 = 2 π r1 L = 2 π x 1/12 x 10 = 5,235 ft2

y Ui = 1 /R A = 1/ (5,235 x 0,1033) = 1,849 BTU / hr ft2 o F

también puede calcularse

Ui = q / A 1 ∆T = 4.937 / (5,235 X 510) = 1,849 BTU / hr ft2 o F

En la siguiente hoja de cálculo no se incluyen las unidades. Como se observa


59

la presentación del ejemplo y su resolución son muy sencillas y se tiene un panorama muy completo de la situación, visualizándose todas las variables que intervienen el flujo de calor.

FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PAREDES CILINDRICAS ESTADO ESTACIONARIO

EJEMPLO 13

CAPA MAT. K h R. INT ESP. R. EXT. Ln r1 /r2 RESIST. Ta Tb ∆Τ

1 Gas --- 50 ---- 0,0833 ---- 0,003820 600,00 581,14 18,86

2 Acero 25 0,0833 0,0017 0,0917 0,09531 0,000061 581,14 580,84 0,30

3 Amianto 0,1 0,0917 0,0417 0,1333 0,37469 0,05963 580,84 286,43 294,41

4 Aire ---- 3 0,133 ---- ---- 0,03979 286,43 90,00 196,43

Longitud 10 ft 0,10330 TOTAL 510,00

Area interna 5,235

Area externa 8,377

Flujo de calor 4937 BTU / hr

Coef. total de transferencia de calor 1,16 BTU / hr ft2 o F

HOJA DE CALCULO 6

1.2.6 Espesor crítico de aislantes cilíndricos

En ejemplos anteriores se ha establecido que en muchos casos la resistencia térmica que presentan las paredes de tubos metálicos o de conductos, es tan pequeña que puede ser despreciable y puede asumirse que la temperatura de las paredes del tubo es a menudo igual a la temperatura del fluido que se encuentra dentro del tubo. Las capas de aislantes presentan una resistencia térmica bastante alta, de otra parte el uso de aislantes implica obras adicionales así como sobrecostos en el montaje de tuberías y equipos en los cuales existe transferencia de calor.

Estas circunstancias llevan a buscar espesores en las capas de aislantes, que permitan un menor costo ante las menores pérdidas de calor. El espesor que cumple estos requisitos se denomina Espesor Optimo.

Para una capa de aislante (figura 1-21) la tasa de transferencia de calor por unidad de longitud se expresa:


60

60

FIGURA 1-21

Capas cilíndricas de aislantes

q A 2π (T1 - T0) ------ = U ------∆T = --------------------------- (1-51) L L In( r2 / r1) 1 --------------- + ----- K hr

Esta relación de q/L en función de r, permite establecer un mínimo de q/L para r = K/h, siendo este r el radio crítico.

r crít = r c = K/h (1-52) Así si r1 < r crit, la tasa de pérdida de calor aumenta al acrecentar el espesor del aislante hasta que el radio sea igual al crítico y luego, si disminuye.

De otro lado si r1 > r crít, la tasa de calor disminuye al aumentar el espesor del aislante.

Ejemplo 14 Determinar el radio crítico para un tubo aislado en asbesto, cuando el coeficiente de transferencia de calor externo, ho, es de 1,5 BTU/hr pie2 0F.


61

SOLUCION : De las tablas, K del asbesto es 0,12 BTU/hrft0F

K 0,12 r crít = ------ = ------- = 0,08 ft = 0,96 in ó 2,44 cm h 1,5

Resp: 2,44 cm

Ejemplo No. 15 Por una tubería de acero de diámetro 1" circula un fluido con temperatura de 4000F, en tanto que la temperatura ambiente es de 80 0F. La tubería se va a aislar con asbesto, cuyo K se supone sea constante e igual a 0,12 BTU / hr ft 0F.

Elaborar una gráfica que exprese las pérdidas de calor por unidad de longitud en función del radio del aislamiento, cuando el coeficiente de transferencia de calor externo ho es de 1,5 BTU/hr ft2 0F.

Determine en ella el radio crítico del aislamiento.

Solucion. De la ecuación (1-51) y teniendo T1 - To =T = 400 - 80 = 3200F

K = 0,12 BTU /hr ft 0F

h = 1,5 BTU/hr ft2 F

r1 = 0,5” = 0,0417ft

q 2 π (T1 - T0) 2 π (320 OF) 2010.62 -------- = ------------------- = ------------------------------ = -------------------------------- L In (r/r1) 1 In (r / 0.5) 1 In (r / 0.5) 8

----------+ ------ ------------ + -------- --------------- + ------ K hr 0.12 1.5r/12 0.12 r

Dando valores a r, radio del aislamiento (desde r = 0,5; espesor 0”).


62

62

r Pulg

q/L BTU/hr ft

r pulg

q/L BTU/hr ft

0,5 125,66 1,1 145,27

0,6 135,39 1,2 144,07

0,7 141,28 1,3 142,45

0,8 144,48 1,4 140,70

0,9 145,84 1,5 138,78

1,0 145,95 1,6 136,85

Con estos valores trazamos la curva, representada en la figura 1-22

FIGURA 1- 22 Curva de Pérdidas de calor en función del radio del aislamiento

Examinando la gráfica se establece que para el tubo sin aislamiento (r =0,5 y espesor cero) q/L tiene un valor de 125,66 y con radio de aislamiento hasta de 0,96; q/L es mayor, es decir las pérdidas son mayores aun teniendo la tubería descubierta y que las pérdidas son mayores para un aislamiento con radio igual al radio crítico.

Antes de especificar el espesor del aislante, en tubos de pequeño diámetro,


63

es necesario establecer el radio crítico, para evitar mayores pérdidas que con la tubería desnuda.

El coeficiente de transferencia de calor, se ha tomado como constante, pero este varía de acuerdo con la distribución de temperatura en el aislante que a la vez es función del espesor del mismo.

Ya con conocimientos sobre transferencia por convección puede determinarse una correlación más exacta.

1.2.7 Flujo de calor en estado no estacionario El estado estacionario se caracteriza porque no hay variaciones de parámetros correlacionados respecto al tiempo. Específicamente en la transferencia o flujo de calor, el estado estacionario implica que no hay variaciones de la temperatura con el tiempo.

Sin embargo, en muchas aplicaciones de la transferencia de calor la temperatura varía con el tiempo. Este estado se denomina no estacionario, o transitorio o de condiciones inestables.

Esta situación se presenta en la mayoria de procesos térmicos en alimentos sólidos, como escaldado, cocción, enfriamiento y subenfriamiento, etc.

Ecuación general de la energía de conducción Tomando un elemento de volumen de una sustancia homogénea (figura 1-23) que está sometido a un calentamiento, se produce un flujo de energía para el cual se aplica la primera ley de la termodinámica, llamando: Q la tasa de flujo de calor a través de un área A en la dirección positiva de una coordenada (X o Y o Z) en BTU/hr o Cal/hr o W.

q’ flujo de calor en la dirección positiva de la coordenada (X o Y o Z) en BTU/hr It2 ó cal/hr cm2 ó W/m2 ;

∂T q’ = q/A = K ------ ∂n


64

64

FIGURA 1-23

dU energía interna acumulada = m Cp dT q" tasa de energía generada en el elemento

Tenemos como aplicación de la primera ley de la termodinámica:

Tasa neta de calor que entra por con-ducción al elemento ∆X, ∆Y, ∆Z

+

Tasa de energía generada en el elemento ∆X, ∆Y ∆Z

=

Tasa de incremento de energía interna del elemento ∆X, ∆Y, ∆Z

I II III (1-52) El término I de la ecuación anterior se establece:

La tasa neta de calor que entra por conducción al elemento ∆X, ∆Y, ∆Z es la suma de las entradas netas de calor por conducción en la dirección X, Y y Z. Para la dirección X el flujo de calor en esta dirección será q’x y la tasa de flujo de calor a través del área ∆Y ∆Z será Qx, (figura 1-23), luego:

Qx = q’x ∆Y ∆Z (1-53)


65

La tasa neta de calor, que sale del elemento de volumen en dirección X a través de la superficie en la posición (X + ∆X) es:

∂Qx Q (x + ∆x) = Qx + ---------- ∆X (1-54) ∂x

Tasa neta de calor que entra por conducción al elemento en dirección X es (1-53) - (1-54).

∂Qx ∂Qx Ix = Qx - ( Qx + ------ ∆X ) = -- -------- ∆X (1-55) ∂x ∂x Reemplazando Qx por (1-53)

∂ q‘ x I x = - ------------ ∆X ∆Y ∆Z ∂x Análogamente para las direcciones Y y Z las tasas netas de calor que entran por conducción al elemento de volumen son:

∂ q‘ y ∂ q‘ z - ----------- ∆X ∆Y ∆Z y, - --------- ∆X ∆Y ∆Z (1-56) ∂y ∂z

Así, la tasa neta de calor por conducción que entra al elemento en todas las direcciones será:

∂q’x ∂q’y ∂q’z I = - (----------- + --------- + -----------) ∆X ∆Y ∆Z (1-57) ∂x ∂y ∂z

El término II o tasa de energía generada se establece partiendo de una tasa q’ por unidad de tiempo y por unidad de volumen con unidades BTU/hr ft3 o cal/ min cm3 o W/m3.

Debe recordarse que para una sustancia no comprensible cualquier trabajo hecho se convierte en energía térmica, luego:

ll = q"∆X ∆Y ∆Z (1-58) Para la tasa de incremento de la energía interna, considerando el elemento de volumen no compresible los calores específicos a presión y volumen constantes son iguales, es decir Cp = Cv.


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Para el elemento de volumen, el incremento de energía interna acumulada por unidad de volumen y de temperatura es el producto de la densidad y el calor específico:

∂U = ρ Cp ∆X ∆Y ∆Z∂T y

III = ∂U / ∂T = ρCp ∆X ∆Y ∆Z ∂T / ∂t (1-59) En donde ρ y Cp no varían con el tiempo.

Reemplazando los valores I, II, III en la ecuación (1-52) y dividiendo por ∆X ∆Y ∆Z

∂q’x ∂q’y ∂q’z ∂T - ------ + -------- + --------- + q” = ρ Cp ---- (1-60) ∂x ∂y ∂z ∂t ∂T dado que q’ = q/A = - K -------- ∂n

La ecuación (1-60) se nos convierte en: ∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T ------- ( K ------) + -----( K -----)+----- (K ------) + q” = ρCp ------ (1-61) ∂X ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t

Que es la ecuación general de conducción

En la mayoría de los problemas de ingeniería, K es constante, luego la ecuación (1-61) puede expresarse:

∂2T ∂2T ∂2T q” -1 dT - -------- + ------- + -------- + ------- = ------ ------- (1-62) ∂x2 ∂y2 ∂z2 K α dt Para manejar fácilmente las propiedades termodinámicas, Cp , K y ρ se introduce una propiedad termodinámica derivada, llamada Difusividad Térmica, identificada con la letra α

K α = ---------- (1-63) ρ Cp

Esta propiedad tiene como unidades m2 /hr, ó ft2 /hr, es función de la temperatura y se encuentran sus valores para diversos materiales, en tablas


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de diversas fuentes bibliográficas.

- Sin generación de energía (q” = 0), no hay fuentes de calor La ecuación general puede restringirse a los casos:

∂2T ∂2T ∂2T 1 ∂T

---------+ -------- + --------- = ------ --------- (1-64) ∂x2 ∂y2 ∂z2 α ∂t

Conocida como ecuación de Fourier

- Estado estable con conversión de energía interna; el estado estable implica que no hay variación de temperatura ∆T = 0 y

∂2T ∂2T ∂2T q” --------- + ------- + -------- + -------- = 0 (1-65) ∂x2 ∂y2 ∂z2 K

Denominada ecuación de Polsson

- Estado estable y sin generación de energía

(q’ = 0, T = 0) luego,

∂2T ∂2T ∂2T --------- + ----- + ------- = 0 (1-66) ∂x2 ∂y2 ∂z2

LLamada Ecuación de Laplace La solución a la Ecuación de Laplace puede ser muy compleja de acuerdo a las condiciones iniciales del flujo de calor, también llamadas condiciones de frontera. Para la mayoría de los problemas de Ingeniería se presentan soluciones particulares que pueden corresponder a casos particulares del flujo inestable. Las aplicaciones de la ecuación general a casos particulares se enmarca en el flujo a través de

a) flujo unidimensional y bi y tridimesional

b ) flujo bi y tidimensional para cuerpos finitos e infinitos A la vez se presenta el flujo para cuerpos de resistencia interna despreciable


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y cuerpos de resistencia interna significativa..

En el flujo unidimensional, como su nombre lo indica ocurre flujo de calor en una dimensión y la ecuación general tiene soluciones de acuerdo a la forma de los cuerpos, placas planas, cilindros y esferas y en función del eje de flujo que generalmente es perpendicular en las placas planas y radial en cuerpos cilíndricos y esferas.

El flujo en dos y tres dimensiones se maneja desde el punto de vista de los cuerpos finitos e infinitos.

Se denominan cuerpos infinitos, aquellos sólidos cuyas formas geométricas permiten el flujo de calor a traves de una dimensión, lo suficicientemente grande como para considerar el flujo a traves de la otras dimensiones insignificante o despreciable. En una torta rectangular muy delgada el mayor flujo es el perpendicular a sus caras en tanto que el flujo a lo ancho o a lo largo es muy pequeño; en una salchicha sometida a un cocimiento, el flujo de calor en las punta es muy pequeño comparando con el flujo a traves de su superficie cilíndrica. En una esfera el flujo siempre es radial y se puede considerar como cuerpo infinito.

FIGURA 1-24

Cuerpo térmicos finitos Un cuerpo finito geometricamente se conforma por el corte de dos o tres


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cuerpos infinitos; un helado en tarro resulta de la intersección de un cilindro infinito y de una placa plana infinita., como se aprecia en la figura. 1-24

En un buen numero de productos, con figuras geométricas definidas, en procesos térmicos de calentamiento o enfriamiento, se presentan para un tiempo dado diferentes temperaturas en diferentes zonas, el ejemplo clásico es el de una papa sometida a un proceso de cocción, en un momento dado la superficie o cáscara se ha cocinado en tanto que el centro esta crudo. En otra sustancias ya sean por tamaño pequeño o por la misma naturaleza de la sustancia, la temperatura del cuerpo se considera homogénea; si bien, existen diferencias de temperatura entre la superficie y el centro, ellas son tan pequeñas que se puede considerar homogénea la temperatura de todo el producto.

Las causas de este comportamiento están en el hecho de que el cuerpo recibe o cede calor a un sistema externo que dispone de una resistencia externa en tanto que el cuerpo tiene su propia resistencia interna. Cuando esta resistencia interna es muy pequeña respecto a la del sistema exterior la temperatura para un momento dado es homogénea. Son cuerpos de resistencia interna despreciable.

1.2.8 Flujo unidimensional en estado inestable. En la figura 1-25 se representa una lámina a través de la cual fluye calor en

una dirección X.


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FIGURA 1-25 Variación de temperatura en una lámina infinita

En la ecuación general de conducción (1-62), al tener flujo unidimensional en la dirección X, los términos referentes a Y y Z desaparecen y para el caso específico en el cual no hay generación interna de energía (Ecuación de Fourier), la expresión llega a ser:

∂2T 1 ∂T --------- = ------- ------ (1-67)

∂x2 α ∂t Equivalente a:

∂2T ∂T (1-67A) α ------ = ------- ∂x2 ∂t

Lo cual significa, que la acumulación de calor en la lámina provoca un aumento en la temperatura de la misma y es función del tiempo, condición propia del estado no estacionario. En algunos problemas de condiciones no estacionarias la diferencia de temperatura con un cuerpo, puede ser muy pequeña y poca importancia tiene; sin embargo, para gran número de problemas, la temperatura promedio de un cuerpo o la temperatura en un punto dado del objeto puede variar rápidamente con el tiempo; esto puede ocurrir con objetos cuya difusividad térmica es muy grande y según la ecuación 1-67.

Existen soluciones generales a las ecuaciones (1-67), (1-67A) de flujo unidimensional por conducción en estado no estacionario.

Para una lámina infinita de espesor conocido para calentamiento o enfriamiento y con temperaturas constantes en las superficies, es decir que cada temperatura de la superficie, de la lámina es sensiblemente igual a la temperatura de los medios de calentamiento y enfriamiento. La ecuación general (167 A) integrada corresponde a:

Ts - Tb 8 1 1 -----------= = ------( e-a F° + ----- e-9 aF° + ------ e-25 aF° +……..) (1-68) Ts - Ti π 2 9 25

Donde:

Ts = Temperatura media constante de la superficie de la lámina Ti = Temperatura inicial de la lámina Tb = Temperatura media de la lámina al instante t


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F0 = Número de Fourier = α t /L2 α = Difusividad térmica a = ( π/2)2

t = tiempo L = Longitud característica.

FIGURA 1-26 Distribución de temperatura durante el calentamiento de un sólido

Durante el calentamiento de un sólido la distribución de temperaturas es como aparece en la figura 1-26.

Número de Fourier F0

Llamado también módulo de Fourier es un tiempo adimensional que se define por: αt


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F0 = ------ (1-69) L2

Donde:

α = Es la difusividad térmica t = Tiempo dimensional L = Longitud característica, para una lámina L = X/2 de un sólido

En general la longitud característica L es resultado de dividir el volumen del sólido por su área superficial.

V L = ------------ As

Para un cilindro sólido de longitud infinita, radio rm (radio característico) la ecuación es:

Ts - Tb = 0,692e.-5,78F° + 0,131e-30,5F°+ 0,0534 - 4,9F0 +... …. (1-70) Ts - Ti

Para una esfera de radio característico rm:

Ts - Tb = 0,608e.-9,87F° + 0,152e-39,5F°+ 0,0676-88,8F° +.......... (1-71) Ts - Ti

Las anteriores ecuaciones se reducen a su primer término cuando el número de Fourier es superior aproximadamente a 0,1 ya que los otros términos de la ecuación son despreciables.

El tiempo t que se requiere para que la temperatura varíe de T1 hasta Tb puede obtenerse reordenando las ecuaciones (1-68), (1-70) y (1-71).

Para una lámina de longitud infinita

tT= 1 / α (L / π )2 ln 8 / π2 ( Ts - T1 / Ts -Tb) (1-72) Para un cilindro infinito

r m2 Ts - T1 (1-73) t = --------- In 0,692 ----------------- 5,78 α Ts - Tb Para una esfera


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r m2 Ts - T1 (1-73) t = --------- In 0,608 ----------------- 9,87 α Ts - Tb

Ejemplo No. 16

Una máquina termomoldeadora debe inicialmente calentar láminas de plástico de 2,5cm de espesor, que entran a 200C, hasta 1000C. Las planchas metálicas que calientan el plástico se encuentran a 1200C.

Determinar: El tiempo requerido para calentar la lámina y

La cantidad de calor que se transmite al plástico, durante este tiempo, por metro cuadrado de superficie.

Las características del plástico son:

Densidad = 0,85 gr/cm3 ó 850 Kg/m3

Conductividad calorífica K = 0,112 Kcal/m hr 0C

Calor específico Cp = 0,40 cal/gr 0C

Solucion: Empleamos dos expresiones donde se correlacionan el tiempo t de calentamiento o enfriamiento, una es el No. de Fourier F0, que se correlaciona con las temperaturas mediante la ecuación (1-68), la otra es directamente con la ecuación (1-72), lo que implica el conocer α, o difusividad térmica y relacionada mediante ecuación (1-69) con F0.

Empleando la gráfica que relaciona F0 con diferencia de temperatura, figura 1-27, tenemos: Ts - Tb 120 - 100 --------- = ------------ = 0,20 - Ts - T1 120 -20 De la figura , F0 = 0,58

Como

α t K Fo = ---------- y α = --------- L2 ℘CP 0,112 Kcal / m hro

C α = -------------------------------------------- = 0,000329 m2 / h 850 Kg / m3 x 0,40 Kcal/Kg0C


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de (1-69) FoL2 t = ----------- α

y L para una lámina = X/2 = 0,025 m / 2 = 0,0125 m, así:

0.58 x (0.0125m)2

t = ----------------------------------------------------- = 0,28 hr 0,000329 m2 / hr

el tiempo es de 0,28 horas o 16,70 minutos


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FIGURA 1 - 27

Para una lámina de espesor X con densidad ρ para una unidad de masa, el área total de una superficie (o cara) será:

1 Am = ------- Xρ


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La cantidad de calor transmitido (absorbido) será:

Q = m Cp ∆T y por unidad de área y unidad de masa

Q Cp ∆T -------- = ---------- = XpCp∆T A 1 / Xp Sustituyendo valores

Q / A = 0,0250 x 850 x 0,40 x (100 -20) = 680 Kcal / m2

Resp: 16,70 minutos. 680 Kcal / m2

Flujo unidimensional. Cuerpo infinito Se recuerda que el flujo inestable unidimensional ocurre cuando la temperatura del cuerpo varía con el tiempo, a lo largo de una dimensión, en tanto que en las otras dos dimensiones el flujo es tan pequeño que se puede despreciar, igualmente las temperaturas en esas dimensiones no cambian sensiblemente. En este caso particular se dice que el cuerpo es infinito en las dos dimensiones en las cuales se mantiene la temperatura constante.

EJEMPLO 17 Determinar la temperatura en el centro de un eje de acero de 8 pulgadas de diámetro y 16 pies de largo que se introduce durante 10 minutos en un molde a 600 oF.

Solución: Como se conoce el material, sus dimensiones y tiempo de proceso, se puede determinar el número de Fourier y mediante la Figura 20, obtener la relación adimensional de temperatura para luego encontrar la temperatura en el centro Tb.

Puede suponerse temperatura inicial, Ta, la ambiente, del orden de 80 oF y tomar la del molde como Ts, 600 oF

De tablas para temperatura promedio del acero (600 + 80)/2 = 340 oF, la difusividad es 0,47 , con radio de 4" = 0,333 pies y tiempo t = 10/60 = 0,167 hr, el número de Fourier es:

0,47 x 0,167 Fo = ------------------- = 0,705


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0,333 2 de la gráfica, la relación de temperaturas es 0.011

Ts - Tb ------------- = 0.011 ========= Tb = Ts - 0,011(Ts -Ta) Ts - Ta Tb = 600 - 0,011 (600 - 80) = 594,3 oF

empleando el primer término de la ecuación (1-73)

0,333 Ts - Ta 0,167 = --------------- ln 0.692 ----------- 5,78 x 0,47 Ts - Tb

Ts - Ta -------- = 85,17 y Tb = 593,2 oF Ts - Tb

Se presenta una pequeña diferencia en virtud de la lectura de la figura

Resp 593,2 oF Como se aprecia en el ejemplo, la temperatura del centro llega a ser muy cercana a la de la superficie en tan corto tiempo de proceso, ello obedece al hecho de tener el acero una conductividad térmica relativamente alta.

Cuerpos infinitos con resistencia interna despreciable.

Se debe recordar que el cuerpo infinito es, desde el punto de vista de transferencia de calor, aquel para el cual el flujo en una dimensión es tan pequeño respecto al flujo en las otras dos dimensiones que se puede despreciar en esa dirección.

Cuando el cuerpo es de alta conductividad térmica y esta en contacto con otro de alta resistencia térmica se tiene el caso particular de cuerpos de resistencia interna despreciable.

Muchos cuerpos de uso y aplicaciones en ingenieria, presentan como característica particular que su temperatura es homógenea es decir , que en cualquier instante, las temperaturas de diversos puntos del cuerpo son sensiblemente iguales. El asumir que la temperatura sea igual en todo el cuerpo puede inducir un error , pero este es menor del 5% cuando la


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resistencia térmica interna es la décima parte de la externa.

Tomando el cuerpo sumergido es un fluido, las resistencias internas y externas, serán:

Ri = x/ K A y Re = 1/h A

dividiendo una por otra

Ri x/K A hx ------- = ---------- = ---- Re 1/h A K donde h es el coeficiente de película del fluido

K conductividad térmica del cuerpo y x longitud significativa de flujo de calor, conocida como longitud característica, L, del cuerpo, con el mismo significado que se tiene para el número de Fourier. La relación de resistencias, se conoce como el número de Biot, es decir

h L Bi = ----- (1-75) K Cuando Bi < 0,1 , se establece que el cuerpo tiene resistencia interna despreciable y el flujo de calor dentro del cuerpo se hace rapidamente.

Para este caso, la temperatura dentro del cuerpo es sensiblemente igual en cualquier tiempo t; el cambio de energia interna, del cuerpo en un lapso de tiempo en que su temperatura varía en un dT obedece al calor que es cedido o retirado por el fluido.

Se tiene dQ = M C dT = V ρ C dT, dQ

a la vez q = ---- = h As (Ts -T) (1-76) dt

donde: M es la masa del cuerpo V volumen del cuerpo ρ densidad del cuerpo

C calor específico del cuerpo

dT cambio de temperatura del cuerpo

h coeficiente de película del fluido

As área superficial del cuerpo T temperatura promedio del cuerpo en el tiempo t


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Ts temperatura del fluido

dt lapso de tiempo de calentamiento o enfriamiento

Todas ellas en unidades consistentes. Igualando las expresiones

V ρ C dT = h As (Ts - T) dt (1-77) separando variables y ordenando

dT h As dt ---------- = ------------- (1-78) Ts - T V ρ C integrando la ecuación entre temperatura inicial Ta para el tiempo t = 0 y temperatura final

Tb, para el tiempo t, se obtiene:

Ts - Tb h As t ln ---------- = - -------------- (1-79) Ts - Ta V ρ C

esta ecuación se puede reorganizar con la expresión h As t/ V r C, ó h t /L r C , que corresponde al producto de los números de Biot por Fourier.

Ts - Tb h As t K L h L α t ln ---------- = - ----------- x ----- x ------ = - --------- x --------------- Ts - Ta V ρ C K L K L2 ó Ts - Tb -BiFo --------- = e (1-80) Ts - Ta Esta ecuación puede graficarse en función de los números de Biot y Fourier, como se muestra en la figura 1-28


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FIGURA 1-28

EJEMPLO 18 Bolas de acero de 4" de diámetro deben ser sometidas a un tratamiento térmico, para el efecto se introducen en un horno calentado por gases, ( h = 35 BTU/hr ft oF) a 1050 oF. Determinar el tiempo requerido para lograr que las bolas alcancen una temperatura de 730 oF

Solución.- En términos generales los metales tienen resistencia interna


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despreciable, es decir su número de Biot es menor de 0,1. Cuando se conoce la relación adimensional de temperaturas y el número de Biot, para determinar el tiempo de proceso en un cuerpo rodeado por un fluido, debemos encontrar el No. de Fourier, empleando la ecuación (1-80) ó la figura 1-27

Se asume que las bolas se introducen a temperatura ambiente, aprox. 70 oF. De los datos del problema y de tablas, tenemos:

Ta = 70 oF, Tb = 730 oF, Ts = 1050 oF.

k = 25 BTU / hr ft oF, = 0,48 m /hr , h = 35 BTU/hr ft oF

diámetro D = 4", radio r = 1" = 0.1666 ft.

La relación adimensional de temperaturas es:

Ts - Tb 1050 - 730 -------- = ------------------ = 0,3265 Ts - Ta 1050 - 70

La longitud característica de la esfera es:

V 4/3 π r r L = ---- = -------- = ---- = 0,0555 ft S 4 π r 3 El Número de Biot

h L 35 x 0,0555 Bi = ------- = ----------------- = 0,0777 K 25

Luego se puede aplicar la ecuación 1-80 y

Bi Fo = 1.119, Fo = 14,40

Despejando el tiempo t = 14,40 x 0,0555 / 0,48 = 0,09 hr

Resp: t = 0,09 hr = 5,43 min.

Este tiempo de calentamiento es realmente corto para el calentamiento tan grande.

Cuerpos infinitos con resistencia interna apreciable.

Para cuerpos geométricos definidos, con resistencia interna apreciable , es decir con números de Biot mayores de 0,1 se han calculado la distribución de


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temperaturas y el flujo de calor y los resultados se han relacionado en gráficas de fácil manejo.

En estos cuerpos las temperaturas en diferentes puntos del cuerpo varian sensiblemente para un tiempo dado, de ahí que la relación adimensional de temperaturas se establezca para un punto específico del cuerpo.

La ubicación del punto se referencia al punto ubicado en el centro geométrico y se establecen Números de Fourier y Biot, conocidos como modificados, para la superficie del cuerpo, es decir tomando como longitud característica el semiespesor de una lámina o el radio en el caso de un cilindro o una esfera.

Para una lámina: h X/2 α t Bi* = ------- Fo* = ---------- (1-81) K (X/2)2

Para un cílindro y para una esfera:

h r α t Bi* = ----- Fo* = ----------- (1-82) K r 2

La relación adimensional de temperaturas se grafica en función del Número de Fourier para diferentes inversos del número de Biot como se representa en las figuras 1-29, 1-30, 1-31

El calor intercambiado en el proceso también es función de los Números de Biot y de Fourier, ya que la temperatura en el cuerpo no es homogénea.

Se han graficado para la placa, el cilindro y la esfera la relación adimensional de Q /Qo en función de Fo y de Biot, siendo Q el calor intercambiado en el proceso y Qo el calor que se intercambia cuando todo el cuerpo está a la temperatura Tb

Ejemplo 19. Se desea enfriar una naranja de 10 cms de diámetro introduciéndola en un congelador ( -8 oC., h = 8 Kcal/hr m2 oC.). hasta que la temperatura en la corteza baje a 0 oC. Establecer el tiempo de enfriamiento y la temperatura en el centro de la fruta.

Solución: Los alimentos en general tienen resistencia interna significativa, por tal razón se debe trabajar con Biot modificado para basados en la relación adimensional de temperaturas encontrar el número de Fourier modificado y así determinar el tiempo de proceso. Para la segunda parte del problema se toman los Números. de Biot y Fourier y de gráficas se encuentra


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la relación adimensional de temperaturas.

Las propiedades de la naranja son muy similares a las del agua,

K = 0,49 Kcal/hr m oC. C = 1,0 Kcal/kg oC. ρ = 1050 Kg/m

3

α = 4,7 x 10-3 m 2 / hr D = 0,10 m ; r = 0,05 m L = r/3 = 0,0166 m

h L 8 x 0,01666 Bi = ----- = ------------------- = 0,272 > 0,1 K 0,49

dado que el número de Bi es mayor de 0,1 debe trabajarse con el número de Biot modificado

h r 8 x 0,05 Bi* = ----- = ---------------- = 0,81 K 0,49

Relación adimensional de temperaturas, para temperatura inicial de la naranja, la ambiente, 25 oC. Ts - Tb - 8 - 0 ------------- = ------------ = 0,242 Ts - Ta - 8 - 25

Con 1/Bi* = 1/0,81 = 1,22, de la gráfica , se obtiene Fo* = 0,54; despejando el tiempo,

0,54 x 0,05 t = ------------ = 2,95 hr 4,9 x 10 -3

Para determinar la temperatura en el centro, r / r = 0,

con valores de 1/Bi* = 1,22 y Fo = 0,58, la gráfica da un valor de 0,34 para la relación adimensional de temperaturas, Tb = Ts + 0,34 ( Ts - Ta )

Tb = -8 + 0,34 ( -8 - 25 ) = 3,22 oC.

Resp : t = 2,95 Hr


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T = 3,22 oC.

FIGURA 29


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FIGURA 30


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Figura 31

Ejemplo 20


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Una torta moldeada en forma de placa de 1 x 0,5 x 0,166 ft se saca de un refrigerador a 32 oF y se lleva a un horno a 250 oF (h = 24 BTU/hr ft oF.) . Establecer las temperaturas en el centro y en la superficie, al cabo de 1,5 horas de calentamiento. Se tiene como propiedades :

Conductividad térmica, K 0,35 BTU/hr ft oF. Densidad 64,4 lb/ft Calor específico, Cp 0,98 BTU/lb oF.

Solución.- Dado el espesor tan pequeño se puede considerar como una placa plana infinita, con longitud característica de x/2

L= 0,1666/ 2 = 0,08333. De gráficas, ( ver ejemplo 16, capitulo 2) la relación adimensional para el centro es 0,2, y para la superficie es 0,05.

La temperatura en el centro Tb = 250 - 0,2( 250 - [-20]) = 196 oF

La temperatura en la superficie Tb = 250 - 0.05 x 270 = 236,5 oF

Resp: 196 oF 236,5 oF

Para cuerpos finitos de geometría regular, como grandes bloques rectangulares, tambores, etc, el cuerpo se estructura en base a cuerpos infinitos, como se aprecia en la figura 1-24 y analíticamente se ha establecido que la relación adimensional de temperaturas del cuerpo finito es igual al producto de las relaciones adimensionales de los cuerpos infintos que lo estructuran. El tratamiento de estos casos , se encuentra en la bibliografia especializada.


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2.- Conveccion 2.1. Generalidades El estudio del fenómeno de la convección es más complejo ya que involucra el movimiento natural o forzado del fluido.

Igualmente puede ocurrir transferencia de calor en forma simultánea con transferencia de masa o con cambio de estado (entre fase de vapor y fase líquida o viceversa).

De ahí la importancia de un adecuado conocimiento sobre la mecánica de fluidos y el establecimiento de condiciones dadas de la conservación de momentum, masa y energía.

En gran número de casos, la transferencia de calor en que intervienen líquidos o gases, ocurre por el mecanismo de convección.

En la Industria de Alimentos, innumerables procesos implican la transferencia de calor de líquidos o gases a través de paredes sólidas a otros líquidos o gases en procesos como esterilización en intercambiadores de calor, destilación en torres, condensación de vapores en serpentines, calentamientos en ollas o marmitas con camisas o serpentines de vapor, etc.

La transferencia de calor en los fluidos ocurre por mezcla o turbulencia, eventos que pueden ser naturales, por cambios en la densidad del fluido o forzados por aparatos como bombas, ventiladores, etc. Para este segundo caso el mecanismo de convección forzada puede estar en flujo laminar o turbulento acorde al Número de Reynolds, como se ha visto en el flujo de fluidos.

En la figura 1-32 se representan los gradientes de temperatura para un flujo estacionario de calor por conducción y convección entre dos fluidos separados por una superficie sólida (la pared de un tubo, una lámina, etc.) de espesor X.

Teniendo el flujo caliente a una temperatura T1, el calor fluye hasta el fluido frío que se encuentra a una temperatura T2 Cuando se tiene un flujo turbulento en una tubería en las proximidades de las paredes o superficie de la tubería, la velocidad del fluido es aproximadamente cero; existe una zona relativamente estática o quieta del fluido en contacto con la pared. Esta zona se denomina película y una considerable cantidad de la caída de temperatura entre la superficie de la tubería y el fluido ocurre en la película, como se representa en la figura 1-32.


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FIGURA 1-32 Caída de temperatura en películas sobre paredes de una tubería Para facilitar el entendimiento y por consiguiente los cálculos de transferencia de calor en flujo turbulento bajo condiciones isotérmicas, se asume un flujo laminar de la película del fluido y la nueva capa límite se define para un número crítico de Reynolds.

En los flujos laminares a menudo se asume que el gradiente o caída de temperatura ocurre totalmente en la película; sin embargo, por la ausencia de mezcla en el cuerpo principal del fluido esta suposición puede causar errores sustanciales.

Con estas consideraciones la temperatura del fluido caliente T1 baja a T2 en la superficie exterior de la película, y pasa a T3 en la superficie interior que está en contacto con la pared.

En los cálculos de transferencia de calor es conveniente usar una temperatura del fluido, cercana a la más alta, T1, y no la temperatura exterior de la película T2 ; puede emplearse una temperatura media entre T1 y T2, considerando que existe una mezcla total y absoluta en el fluido. Esta temperatura se representa por las líneas punteadas Tn

Igual consideración puede hacerse en el fluido frío y la temperatura escogida Tm será la media entre T5 y T6. Como se mencionaba, en la película ocurre una amplia caída de temperatura y se llega a T3 en la superficie interna de la película, y es la misma temperatura de la pared sólida. En un mecanismo estrictamente de conducción la temperatura llega a T4 en la superficie exterior de la pared


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sólida. La caída de dicha temperatura en la pared sólida, T4-T3 se determina empleando la conductividad térmica del material y en la mayoría de los casos es una pequeña fracción de la caída total de temperatura en el sistema.

En la práctica las temperaturas de las películas se determinan mediante el empleo de termocuplas muy finas y exactas en tanto que la temperatura del fluido se toma con un termómetro cuyo bulbo está cerca del centro de la corriente.

Balances de energía La resolución de problemas de transmisión de calor, se logra con base en los balances de energía y en las velocidades de transmisión de calor.

Considerando que en los equipos de intercambios de calor no existe trabajo mecánico y que las energías tanto potencial como cinética son pequeñas en comparación con lo otros tipos de energía que aparecen en las ecuaciones del balance total de energía, la ecuación del balance se puede expresar como:

Q= ∆H = m (H2 - H1) (1-83)

Siendo m la velocidad del flujo del fluido Kg/hr

H1 = Entalpía del fluido a la entrada o entalpía inicial Kcal / Kg H2 = Entalpía del fluido a la salida o entalpía final Kcal / Kg q = Flujo de calor por unidad de tiempo

Al tener un fluido caliente circulando por el interior de una tubería, en tanto que por el exterior fluye un fluido frío, como se observa en la figura 1-32, se buscan las pérdidas menores o casi nulas de calor hacia el ambiente, empleando un aislamiento adecuado. Así, para el fluido caliente puede escribirse:

q1 = m1 (H1 b - H1 a) (1-83A) y para el fluido frío:

q2 = m2 ( H2 b - H2 a) (1-83B) Como el fluido caliente cede calor H1 b < H1 a y el signo de q1 será negativo, siendo:

m1 = Velocidad de flujo de masa del fluido caliente Kg/hrm2 = Velocidad de flujo de masa del fluido frío Kg/hr

H1a = Entalpía inicial del fluido caliente Kcal / Kg

H1 b= Entalpía final del fluido caliente Kcal / Kg


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H2a = Entalpía inicial del fluido frío.

H2b =Entalpia final del fluido frío

FIGURA 1-33 Intrercambio de calor en tubos concentricos

Dado que el calor perdido, por el fluido caliente es ganado por el fluido frío se tiene:

q1 = q2 y m1 ( H1 b - H1 a) = m2 (H2 a - H2 b) (1-84) que es la ecuación del balance global de energía.

Una suposición válida para líquidos es que sus calores específicos son constantes, y la ecuación (1-84) se nos convierte en:

q = m1 Cp1 (T1 b - T1 a) = m2 Cp2 ( T2 a - T2 b) (1-85) Siendo:

Cp1= Calor especifico del fluido caliente Kcal / KgoC

Cp2= Calor específico del fluido frío Kcal / Kg oC T1 = Temperatura del fluido caliente

T2 = Temperatura del fluido frío

Para un condensador, en el cual entra vapor saturado para ser únicamente condensado, sin enfriamiento ulterior

q = mv λv = m2 Cp2 ( T2 a - T2 b) (1-86) Donde m es la velocidad másica de vapor o tasa de condensación de vapor Kg/hr.

λ calor latente de vaporización del vapor Kcal / hr.

Cuando se tiene enfriamiento adicional al proceso de condensación se tiene:

q = mv ( λv + Cpv [Tc- Tf] ) = m2 Cp2 ( T2a - T2b) ( 1-87) Donde: Cpv = Calor específico del condensando Kcal / Kg oC Tf = Temperatura final del condensando oC


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Tc = Temperatura de condensación oC

EJEMPLO No. 20

Se desea recuperar calor de un aceite de freido caliente que está a 200 oC y sale a 70oC, cuyo calor específico es de 0,75 y fluye a razón de 0,8 Kg/seg, calentando aceite frío que está a 20 oC y se espera que salga a 150 oC.

Determinar la cantidad de aceite frío que se puede calentar por hora, si su calor especifico es de 0,5 Kcal / kg0C.

Solución: Aplicando la ecuación (1-85)

m2 Cp2 (T2a- T2b) 0,8 x 0,75 (200-70) m = ---------------------------- = -------------------------- = 1,2 Kg/seg Cp1 (T1b - T1a) 0,5 (150-20)

m = 1,2 x 3.600 = 4.320 Kg/hr

Resp : 4.320 Kg/hr

EJEMPLO No. 21

En un proceso de cocción de vegetales se emplea una olla con camisa de vapor. Las condiciones de proceso son: Vegetales 500 Kg

Temperatura inicial, T1a 25oC y final , T2a 85oC

Calor específico Cp = 0,9 cal / gr oC

Vapor de agua (saturado) Tc = 92 oC = λv = 540 cal/gr

Agua condensada Temperatura final, Tf = 50 oC Cp = 1 cal/gr oC Determinar la cantidad de vapor gastado.

SOLUCION: Aplicando la ecuación (1-87)

m2 Cp2 (T1a- T2a) 500 x 0,9 (85 - 25) mv = -------------------------- = -------------------------------- = 46,39 Kg λv + Cpv (Tc - Tf) 540 +1(92-50)


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Resp: 46,39 Kg/hr EJEMPLO No. 22

Establezca la temperatura máxima a que se pueden enfriar 1.000 kilos de agua a, 90oC, empleando 1.000 kilos de amoníaco que entra a ~40 oC; sale a 15 oC , siendo su calor específico Cp de 0,520. SOLUCION: El calor absorbido por el amoníaco es:

q = mCp ∆T = 1.000 x 0,520 [15 - (-40)] = 28.600 Kcal

Para el agua la caida de temperatura es:

q 28.600 ∆T = ------------- = -------------- = 28,6 mCp 1.000 x 1

T2 = T1 - ∆T = 90 - 28,6 = 61,40C

Resp: 61,4 0C Para una adecuada comprensión del tema, inicialmente se estudiará la convección dentro de un sistema térmico en el cual no hay cambio de fase ni movimientos causados por artificios o mecanismos, es decir se estudiará primero la llamada Convección Natural ó Libre, luego la Convección Forzada y terminar la temática con el fenómeno involucrado al cambio de fase.

2.3.2.- Convección libre

El mecanismo de convección libre obedece fundamentalmente a la mezcla natural de porciones frias y calientes del fluido, existiendo un movimiento del fluido sea en un espacio abierto o en un recipiente o espacios delimitados como el interior de una tubería, tanques, etc.

Cuando el movimiento obedece a fuerzas corporales generadas por el cambio en la densidad del fluido, consecuencia a la vez de los cambios de temperatura, se tiene la convección natural o libre.


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En muchas aplicaciones de Ingeniería se presenta la transferencia de calor por convección natural, como en los radiadores, transformadores, líneas de transmisión eléctrica, cocción de alimentos, etc.

FIGURA 1-34 Un caso particular de convección considerada como natural es el del fluido que se encuentra estático respecto a la tierra y un sólido a diferente temperatura se mueve a través de él, creándose movimientos en el fluido por desplazamiento del sólido, como un avión que se desplaza en el aire.

Si bien la densidad es la propiedad que más influye en el movimiento del fluido que cambia su temperatura, otras propiedades del fluido y elementos colaterales a él, también juegan papel importante.

Para el análisis del fenómeno de conducción se toma un elemento de volumen de un fluido frío que está en contacto con un sólido a más alta temperatura.

Inicialmente el calor fluye del sólido al elemento de volumen debido al íntimo contacto entre los dos, teniendo lugar flujo de calor por conducción, que es función de la conductividad térmica tanto del sólido como del fluido

El calor que llega al fluido causa una dilatación o expansión volumétrica, que es a la vez función de la temperatura del fluido

1 dV β = ---- --- (1-88) V dT p

expansión volumétrica causa un movimiento lateral y hacia arriba de los elementos de volumen adyacentes al escogido para el estudio.

La expansión volumétrica puede expresarse en función de la densidad, dado que


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el peso del elemento de volumen es constante,

1 dρ β = - --- ------- (1-89) ρ dT p

Consecuencialmente se tiene un cambio en la densidad. En la condiciones establecidas, al incrementar el volumen la densidad disminuye y acorde al principio de flotación el elemento tiende a subir, causando el movimiento del fluido por la misma ascensión del elemento y el desplazamiento de los adyacentes. Es natural que a mayor gradiente de temperatura mayor desplazamiento se tiene y en consecuencia mayor flujo de calor.

Así, se crean fuerzas ascensionales o fuerzas de empuje, que son función de la expansión volumétrica, densidad, y diferencia de temperatura.

El incremento de temperatura es función del calor específico del fluido. Para el elemento de volumen:

dQ = C dT

Al movimiento se oponen la viscosidad del fluido y la gravedad terrestre.

El flujo de calor es función entonces de:

q = f (K, ρ, β, C, ∆ T, µ, g, A)

relación que se formula, mediante análisis dimensional en la ecuación

q = h A ∆T (1-90) donde h es el llamado coeficiente de película o coeficiente de transferencia de calor por convección y es función de las propiedades del fluido y del gradiente de temperatura.

Las unidades del coeficiente, deducidas de la ecuación son:

BTU Kcal W -------- , ------------- , ----------- hr ft2 0 F hr m2 0C m2 0 C La ecuación (1-90) recibe el nombre de Ley de Enfriamiento de Newton.

La determinación del Coeficiente de Película h, es experimental ya que no se tiene una correlación directa entre las propiedades del fluido las cuales varían muy diferentemente en función del cambio de temperatura. La configuración del sólido en contacto también influye en su valorización.

Algunos investigadores han desarrollado ecuaciones basados en los comportamientos de los fluidos en sus capas limites hidrodinámicas empleando analogías, sin embargo los resultados no son satisfactorios.


96

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Como se planteó anteriormente, el fluido presenta una capa o película donde se efectúa la transferencia de calor por conducción y es en esta película donde se tiene el mayor porcentaje de caída o diferencia de temperatura, como se aprecia en la figura 1-31. El fenómeno es análogo al gradiente de velocidad que se presenta en la capa limite hidrodinámica en el movimiento de los fluidos.

El análisis experimental y el análisis dimensional han permitido encontrar las relaciones adecuadas para obtener el Coeficiente de Película. (ver lectura complementaria)

En la figura se aprecia la variación de temperatura para un fluido que se calienta como, para uno que se enfría teniendo:

Tw, temperatura de la pared en contacto con el fluido Tn, temperatura media del fluido Tf, temperatura de la película de fluido Ta, Tb Temperatura máxima o mínima del fluido.

Cuando fluye calor de una pared sólida a una corriente de fluido, el primer fenómeno es de transferencia por conducción a través de una subcapa laminar del fluido que esta en íntimo contacto la pared. La transferencia de calor depende del espesor de la subcapa y de la conductividad termica del fluido, a la vez el espesor de la subcapa depende de las variables que constituyen el No. de Reynolds.

El flujo de calor de la subcapa al grueso del fluido se hace por remolinos que estan presentes en una capa de transición. La capacidad de un remolino de determinado tamaño para transportar calor desde la subcapa es proporcional a la capacidad calorífica del fluido; a la vez la magnitud y distribución de los remolinos es función también del No. de Reynolds.

Se ha establecido que en el proceso de enfriamiento de un fluido se presenta una temperatura de película, diferente a cuando se calienta en los mismos limites de temperatura con idéntica configuración del sólido. Ello obedece a que las capas limites térmicas son diferentes, ya que dependen de la viscosidad del fluido, y a la vez el comportamiento de la viscosidad en un fluido es diferente cuando se calienta a cuando se enfría dentro de los mismos valores de temperatura

Cuando un líquido se enfría, se parte de una temperatura alta, se tiene una viscosidad más baja y se tendrá mayor fluidez.

Cuando se calienta, se parte de una temperatura baja, con viscosidad mas alta y menor fluidez.

La capa limite térmica tiene un espesor (σT ) definido por las propiedades del fluido y está relacionado con el espesor (σ) de la capa limite hidrodinámica.


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Matematicamente se ha encontrado una relación entre las capas límites. Considerando una placa plana sobre la cual hay un fluido en movimiento, figura 1-35

FIGURA 1-35

el espesor de la capa límite hidrodinámica, σ, para la distancia x del punto 0 o de iniciación del flujo, es:

5 x σ = --------- (1-91) Rex 1/2

donde Rex es el Número de Reynolds para el punto x, y está definido por :

Rex= v x / µ (1-92)

siendo v la velocidad del fluido

Recuérdese que la capa límite es la zona que está delimitada por la pared y un punto en donde la velocidad del fluido es igual al 99% del gradiente entre la velocidad media del fluido y la pared.

La capa límite térmica, por analogia es aquella delimitada por la pared y un punto en donde se tiene un gradiente de temperatura, respecto a la pared, igual al 99% del gradiente entre la temperatura media del fluido y la de la pared. Por lo tanto la temperatura de película es la más representativa del proceso de transferencia de calor y es así como la mayoría de los investigadores emplean dicha temperatura para evaluar las propiedades del fluido en su aplicación a formulismos para cálculos del coeficiente de película.

2.3.3 Gradientes de temperarura Se mencionó que en iguales condiciones de flujo los fenómenos de calentamiento, enfriamiento, llevan a establecer valores diferentes en los coeficientes de película y ello obedece a que el gradiente o caída de


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98

temperatura desde la pared al centro de la corriente del fluido es diferente para cada fenómeno como se aprecia en la figura 1-36, la curva abc muestra un enfriamiento en tanto que a’bc’ un calentamiento, tomando como temperatura promedio del fluido el valor de ∆T; para los dos casos, las propiedades Cp, µ y K serán iguales.

Observando, la figura 1-36 se encuentra que la temperatura promedio de la película laminar es mayor que t para el caso del calentamiento y menor que t cuando el líquido se está enfriando, a la vez si el fluido es un líquido, la viscosidad es menor para la película laminar en el calentamiento que aquella para el enfriamiento y puede expresar que el espesor de la película laminar durante el calentamiento sea menor que en el enfriamiento. Esto conlleva a que el valor de h es mayor en el proceso de calentamiento que el de enfriamiento.

Para gases la viscosidad es menor en el enfriamiento, la película y el coeficiente serán mayores en el enfriamiento. Para determinar la viscosidad en la pared de una tubería, µW , debe establecerse el valor de Tw.

La determinación de Tw exige cálculos por ensayo y error obteniéndose las siguientes expresiones: Para llegar en el calentamiento

Tw = t + ∆Ti (1-93) Para el enfriamiento

Tw = t - ∆Ti (1-94) donde t es la temperatura promedio del fluido y la ∆T caída de temperatura del fluido que circula por el interior de la tubería y se determina mediante la expresión.

1 /h1 ∆Ti = ------------------ ∆T (1-95) 1/h1+D1/D2h2


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FIGURA 1-36 sta ecuación requiere determinar previamente los coeficientes h1 y h2. Estos coeficientes se calculanmediante formulismos, dependiendo del equipo en el cual ocurre la transferencia de calor y que serán estudiados más adelante; por ejemplo

Para simples tuberías cilíndricas.

h2 = 0,35 + 0,56 ( D2G / µ)0.52 (1-96) Siendo D2 el diámetro exterior de la tubería

G el flujo másico y µ viscosidad del fluido Cuando dos fluidos circulan interior y exteriormente en una tubería pueden hacerlo en dos formas, una en paralelo en la cual, los fluidos circulan en la misma dirección y otra en contracorriente en la cual los fluidos circulan en sentido contrario, figura 1-36

Durante un proceso de intercambio de calor entre un fluido caliente y un fluido frío en tuberías la variación de temperaturas respecto a la longitud de la tubería ocurre como se representa en la figura 1-37, acorde al tipo de flujo que tiene lugar, es decir, si es en contracorriente o es en paralelo.

Refiriéndose a la figura 1-38 la caída de temperatura ∆T1 es mucho mayor en la izquierda que en la derecha, ∆T2, por lo tanto es más rápida la transferencia de calor en el lado izquierdo que en el lado derecho y la ecuación general de transferencia de calor:


100

100

FIGURA 1-37 q = UA ∆T

Solamente puede aplicarse, cuando la superficie de calentamiento o enfriamiento se divide en un gran número de segmentos.

dq = Ud A ∆T (1-97) La resolución de esta ecuación implica que el coeficiente total, U, debe ser constante, al igual que los calores específicos de los fluidos y que las perdidas de calor al interior del sistema sean despreciables y que el flujo de calor sea estacionario.

Debe tenerse en cuenta que el coeficiente total, U, no es una constante, sino función de la temperatura, pero el cambio de temperatura es gradual como se aprecia en la figura y en pequeños gradientes de la misma, el suponer que U es constante no induce a errores apreciables.

Cuando los calores específicos de los fluidos son constantes, el flujo de calor es estacionario, las temperaturas varían respecto al flujo de calor, q , linealmente, de tal forma que la representación gráfica de T contra q da rectas (figura 1-38).

En la parte superior están representadas las temperaturas de los fluidos en relación a q y en la parte superior la diferencia o gradiente de temperatura con respecto a q.

Tomando a qT como el flujo total de calor en toda la superficie de la tubería, puede expresarse.


101

d (∆T) ∆T2 - ∆T1 (1-98) --------- = ----------------- dq qt

FIGURA 1-38 Variación lineal de temperaturas

reemplazando el valor de dq, ecuación 1-97

d (∆T) ∆T2 - ∆T1 -------------- = ------------------ (1-99) Ud A ∆T qt

∆T2 A

∫ d ∆T / ∆T = ∫ U (∆T2 - ∆T1 ) dA / qT

∆T1 0


102

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∆T2 U ( ∆T2 - ∆T1 ) ln --------- = ----------------------- A (1-100) ∆T1 qt Ecuación que puede escribirse

∆T2 - ∆T1 q = U A ------------------------- = UA∆TL (1-101) ln (∆T2 / ∆T1 ) Siendo

∆T2-∆T1 ∆TL = --------------------- (1-102) ln ∆T2 / ∆T1

Expresión muy similar a la que define el radio medio logarítmico, ecuación 1-36

Cuando los ∆T son aproximadamente iguales puede emplearse la diferencia medio aritmética de temperatura, sin que se cause un error apreciable.

Se ha integrado la ecuación 1-99 en la suposición de que el coeficiente total de transferencia es constante. Cuando el coeficiente U varía considerablemente de un extremo a otro en la tubería, puede suponerse que U varía linealmente con la caída de la temperatura a lo largo de la superficie y U1 ∆T2 - U2 ∆T1 qt = A -------------------------------- (103) ln ( U∆T2 / U∆T1 ) Siendo U1 y U2 los coeficientes totales de transferencia de calor para los extremos de la tubería, y ∆T1 y ∆T2 , las caídas de temperaturas entre los fluidos para los extremos de las temperaturas.

El caso de la tubería representada en la figura 1-36 y cuyas variaciones de temperaturas de los fluidos que circulan interior y exteriormente en ella se representan en la figura 1-37 constituye el ejemplo más sencillo de intercambiador de calor y en él pueden efectuarse procesos de calentamiento, enfriamiento, evaporación y condensación.

EJEMPLO No. 23 En el diseño de un intercambiador de calor para enfriar en contracorriente de


103

86 a 560C un líquido caliente mediante un líquido frío que se caliente de 46 a 51 0C, se tienen valores de coeficiente totales de transferencia de calor U1 y U2 de 300 y 150 Kcal/hr0C respectivamente.

Determinar el flujo de calor por unidad de área, empleando:

- La diferencia de temperatura, media aritmética - El coeficiente total promedio y - La ecuación correspondiente.

Solución : Se pide encontrar q/A teniendo ∆T1 = 86 - 46 = 400C ∆T2 = 56 - 51 = 5oC U1 = 300 Kcal/m2 hr0C U2 = 150 Kcal/m2hr0C

La diferencia de temperatura media aritmética es

∆T1 + ∆T2 40+5 ∆Tm = ------------- = -------------- = 22,5 2 2 y q = UA ∆T

Como se ha especificado el valor de U que se va a emplear tomando el valor promedio de

U = (300 + 150)/2 = 225 Kcal / m2hr0C, se tiene:

q/A = 225 x 22,5 = 5063 Kcal / m2hr Se aplica la ecuación

q/A = U ∆TL siendo U = 225 Kcal / m2hroC

como

∆T2 - ∆T1 ∆TL = ---------------------- ln ∆T2 / ∆T1 40 - 5 35 ∆TL = --------------- = ------------ = 16,83oC ln (40 / 5 ) 2,079

Luego q/A = 225 x 16,83 = 3787 kcal / m2hr

- Aplicando la ecuación (1-103)


104

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(300 x 5 ) - (150 x 40) - 4500 q / A = ------------------------------------ = ------------ = 3.246 kcal / m2hr ln ((300 x 5) / (150 x 40)) - 1,38

Es muy notoria la diferencia y ello obedece a que los Coeficientes son muy diferentes como para usar el promedio aritmetico.

Resp: 3.246 kcal / m2hr

EJEMPLO No. 24 En un frigorífico, se enfría agua de 1000F a 400F empleando un intercambiador de calor de doble tubo con salmuera que entra a 100F y sale a 300F. El coeficiente total de transferencia de calor es de 160 BTU/hr ft2 0F Determinar las áreas requeridas cuando se tiene un enfriamiento de 30 lbs/minuto:

- Con flujo en paralelo.

- Con flujo en contracorriente.

Solución: Se pide encontrar A teniendo

U = 160 BTU/hr ft2 oF

m = 30 lbs/minuto = 1800 lb/hr

Para flujo paralelo (ver figura 1-39)

agua T1a = 1000F , T2a = 400F ∆Ta = 600F

salmuera T1a = 100F , T2a = 300F ∆Ts = 200F

∆T1 = 900F, ∆T2 = 100F

El calor que debe retirarse del agua es:

q = m Cp∆Ta

tomando

Cp = 1 BIU/lb0F

q = 1.800 lb/hr x 1 BTU/lb0F x 600F = 108.000 BTU/hr


105

FIGURA 39

Acorde a la gráfica ∆T2 - ∆T2 10 - 90 - 80 ∆T = ---------------- = --------------- = ----------- = 36,40 ln ∆T2 / ∆T2 ln 10/90 -2,1972 Q 108.000 BTU/hr A = --------- = ----------------------------- = 18,54 ft2 U∆TL 160 BTU/hrft2oF 36,40 oF


106

106

agua T1a = 1000F , T2a =400F ∆Ta =600F

salmuera T1s = 300F , T2s = 100F ∆Ts = 200F ∆T1 = 700F, ∆T2 =300F

Luego:

∆T2 - ∆T1 30 - 70 -4 ∆TL = ----------------= --------------- = --------- = 47,21oF n ∆T2 / ∆T1 ln 30/70 -0,847

108.000 A = ------------------------------------- = = 14,29 ft 2 160 BTU/hr ft2 0F x 47,210F

Resp: 18,54 ft 2 14,29 ft 2

Se requiere menos área para el flujo en contracorriente y sería de esperar que todos los areglos para los intercambiadores de doble tubo fueran hechos en esta forma. Sin embargo en algunas circunstancias las eficiencias térmicas pueden ser mejores en los arreglos en paralelo. 2.4 Relaciones adimensionales en convección

Para facilitar el manejo experimental y análisis dimensional en el planteamiento de ecuaciones que determinen el Coeficiente de Película, se han introducido números adimensionales que relacionan propiedades del fluido y establecen igualmente relaciones entre fenómenos físicos inherentes a los fenómenos de transporte de calor.

Los grupos adimensionales, números, más importantes empleados en la convección son:

h L Nusselt Nu = ------- (1-104) K

Cp µ Prandlt Pr = ----------- (1-105) K


107

g β ρ2 L3 T Grashof Gr = --------------------- (1-106) µ2

L v ρ Reynolds Re = ---------- (1-107) µ

Donde:

h Coeficiente de película

L Longitud de contacto del fluido y el sólido o diámetro para tubería horizontal

k Conductividad térmica

Cp Calor específico µ Viscosidad

g gravedad

β Coeficiente de expansión volumétrica

∆T Gradiente de temperatura entre el fluido y el sólido

ρ Densidad

v Velocidad del fluido x Distancia, a la cual se evalúa el Número.

El número de Nusselt establece la relación de la resistencia por conducción a la resistencia por convección en el fluido.

Aunque es muy similar su fórmula a la del número de Biot, en este caso las dos resistencias están referidas al fluido en tanto que en el número de Biot, una resitencia, la interna es del sólido y la otra, la externa es del fluido que rodea el sólido

Rcd x / K A h x Nu = ------ = ----------- = -------- (1-104) Rcv 1 / h A K

El número de Prandlt relaciona la capa limite térmica σt y la hidrodinamica σ del fluido σ


108

108

Pr = ----- (1-108) σt

cuando Pr < 1 la capa limite térmica es mayor que la hidrodinámica, para Pr > 1 la capa limite térmica es menor y para Pr = 1 las dos capas son iguales

El número de Grashof, empleado en convección natural, relaciona las fuerzas que causan el movimiento del fluido, fuerzas ascensionales con las fuerzas que se oponen al movimiento o fuerzas viscosas y tiene el mismo sentido físico del número de Reynolds en convección forzada.

Valores de No. de Prandlt en función de la temperatura se encuentran en tablas, para diferentes fluidos.

Igualmente en tablas se encuentra la llamada base del número de Grashof, Grb, en función de la temperatura para los fluidos más usuales en Ingeniería.

β ρ2 g Grb =----------- (1-109) µ

Para determinar Gr, se toma la base y se multiplica por el diferencial de temperatura entre el fluido y el sólido y por el cubo de la longitud de contacto de los mismos.

En la convección natural el movimiento del fluido obedece a fuerza generadas por los cambios en las propiedades del mismo.

Generalmente los movimientos son lentos y más cuando se presentan grandes masas.

Cuando los gradientes de temperatura entre el sólido y el fluido son altos se presentan rápidos movimientos, con formación de remolinos y turbulencia, ello lleva a que la Convección Natural se presente en los regímenes laminar y turbulento, con una zona de transición entre los dos.

Siendo el Número de Grashof el que relaciona la fuerza ascensional respecto a la fuerza viscosa, sus valores numéricos permiten establecer las regiones de régimen laminar y turbulento.

Se tiene para Números de Grashof:

Gr < 108 Régimen laminar

108 < Gr < 1010 Régimen de Transición Gr > 1010 Régimen Turbulento


109

EJEMPLO 25. En un tanque de 2 m de diámetro por 4 m de altura se almacena agua a 68 0C con temperatura de pared de 64 0C. y temperatura de fondo de 66 oC Determinar los regímenes de convección del agua para el fondo y paredes del tanque.

Solución.- Para determinar el número de Grashof del agua, de tablas se obtiene el valor de base del número a 66 0C (150 0F) Grb = 440 x 106 1/oF ft y:

Para paredes ∆T = 68 - 64 = 40C, y conviertiendo a unidades en sistema inglés:

Gr = 440 x 106 x (4 x 1,8) x (4 x 3,28) Gr = 7,154 x 1012 régimen turbulento

Para fondo ∆T = 68 - 66 = 20C

Gr = 440 x 106 x (2 x 1,8) x (2 x 3,28)

Gr = 4,471 x 1011 régimen transición

Resp: Régimen turbulento Régimen de transición

Algunos autores emplean el Número de Reynolds localizado como parámetro para definir el régimen. Otros autores emplean la relación GrPr, ya que esta expresión aparece muy a menudo en los formulismos para la determinación del coeficiente de película.

Se ha generalizado para la convección natural los formulismos:

Nu = a Grb Prc (1-110) y para la convección forzada:

Nu = d Ree Prf (1-111) Tanto los coeficientes como los exponentes se determinan experimentalmente. En la bibliografia se encuentran numerosísimas expresiones para un sin numero de casos de flujo de calor para convección tanto natural como forzada.

1.3.5.- Determinación del coeficiente de película, en convección natural Como ya se mencionó, el coeficiente de película se determina experimentalmente en función de los números adimensionales, teniendo por lo tanto que acudir a las fuentes bibliográficas para establecer los formulismos adecuados a aplicar en una


110

110

situación específica.

Para seleccionar el formulismo se debe tener presente los puntos siguientes:

1.- Clase de Convección, Natural o Forzada 2.- Forma geométrica del sólido

3.- Disposición espacial del sólido

4.- Régimen del flujo, Laminar o Turbulento

5.- Temperatura para evaluación de propiedades del fluido y

6.- Restricciones o campo de aplicación del formulismo

A continuacion se presentará un caso entre los más usuales en el campo de la Ingenieria.

Conveccion natural en placas El coficiente de transferencia de calor , por convección libre o natural en placas planas depende de la posición de la placa y de la orientación de la superficie de transferencia.

Generalmente se emplea la llamada temperatura ficticia o promedio del fluido y el sólido en contacto, para evaluar las propiedades del fluido aplicables en los formulismos.

Placas Horizontales McAdams, correlacionó el Número de Nusselt promedio para una superficie plana horizontal, de longitud característica L, en función de los Números de Grashof y Prandlt

Nu = c (Gr.Pr)n (1-112 ) donde c y n, constantes se presentan en la tabla 1.

La longitud característica, L, tiene como valores:

Para un lámina cuadrada, L = lado del cuadrado.

Para una rectangular, L = (a+b)/2, a y b lados del rectángulo.

Para un disco, L = 0.9 Diámetro del disco.

EJEMPLO 26 Para una placa de 1 x 1 m que tiene una cara aislada y la otra se mantiene a una temperatura uniforme de 66 oC, colocada horizontalmente, calcular el coeficiente de película entre la superficie caliente y el aire que se encuentra a 10 0C., a) cuando la superficie está dirigida hacia arriba y b) cuando está


111

dirigida hacia abajo.

TABLA 1 Constantes c y n de la ecuación 1 - 112

Flujo Orientación Rango Gr.Pr c n

Sup. superior Cal.

Laminar ó 105 hasta 2 x 107 0,54 1/4

Sup. inferior fría

Sup. superior cal.

Turbulento ó 2 x 107 hasta 3 x 1010 0,14 1/3

Sup. inferior fría

Sup. inferior cal.

Laminar o 3 x 105 hasta 3 x 1010 0,27 1/4

Sup. superior fría

Fuente: McAdams W.- Heat Transmission. Mc Graw Hill Book Company . 1990

Solución.- Se aplica la ecuación 1- 112, con valores de c y n acorde a la tabla 1.

Para el aire, sus propiedades deben ser evaluadas a temperatura promedio o temperatura ficticia de (66+10)/2 = 38o C. = 100,8 oF. de tablas a esta temperatura se encuentran los valores siguientes:

Número de Prandlt = 0,72 Conductividad Térmica K = 0,0169 BTU / hr ftoF Base del número de Grashof = 1,76 x 106 y con las variables: L en pies, 1 x 3,28 = 3,28 ∆T = ( 66 - 10) x 1,8 = 100.8 0F. Gr = 1,76 x 106 x 100.8 x 3,283 = 6,26 x 109 El número de Grashof indica que el régimen es turbulento; a la vez

Gr.Pr = 0,72 x 6,26 x 109 = 4,5 x 109

de la tabla 1, para la superficie dirigida hacia arriba:

Nu = 0,14 (4.5 x 109)1/3 = 231,13


112

112

y K 0,0169 h = Nu --- = 231 x ------------ = 1,19 BTU/ hr ft2 0F L 3,28 Para la superficie dirigida hacia abajo,

Nu = 0,27 (4,5 x 109)1/4 = 445,43

,0169 h = 445,43 ----------- = 2,30 BTU/hr ft2 0F 3,28 Resp h = 1,19 BTU/hr ft2 h = 2.30 BTU/hr ft2

Mac Adams igualmente desarrollo fórmulas simplificadas para el aire en rangos de temperaturas moderadas y presión ambiente. Para una placa plana estableció:

Superficie caliente hacia arriba :

Régimen turbulento h = 0,22 ∆ T1/3 (1-113) Régimen laminar h = 0,27 ( ∆T/L)1/4 (1-114) Superficie fría hacia arriba:

Régimen laminar h = 0,12 ( ∆T/L)1/4 (1-115) Con el gradiente de temperatura en grados Farenheit, el Coeficiente da en unidades inglesas, BTU/hr ft2 oF. Con los valores del ejemplo anterior: ∆T = (66 -10) x 1,8 = 100,8

h = 0,22 (100,8)1/3 = 1,16 Btu/hr ft2 0F. Valor sensiblemente igual al del ejemplo 26

EJEMPLO 27 Una placa plana expuesta horizontalmente al sol absorbe 100 BTU/hr ft2 .stando el aire a 70o, determinar la temperatura de equilibrio de la placa.

Solución: La placa llega al equilibrio térmico cuando la cantidad de calor que absorbe es igual a la cantidad de calor que cede a sus alrededores.

Dado que no se conoce ni la temperatura de equilibrio de la placa, ni el coeficiente de película, el problema se resuelve por ensayo y error. Para calcular el Coeficiente de Película puede emplearse una fórmula simplificada, suponiendo la temperatura de equilibrio o determinar un gradiente de temperatura basados en las ecuaciones de flujo de calor por convección y del coeficiente de pelicula del aire con una forma simplificada,


113

Para tener idea del valor de h a suponer, se puede aplicar la ecuación 1-113, estableciendo:

q = h A ∆t = 0,22 ∆ T1/3 A ∆ T = 0,22 ∆ T 0.33 A ∆ T1 = 0,22 ∆ T 1.33 A

tomando 1 ft2 de área, ∆T = (q/0,22)1/1,33

∆T = (100/0,22)1/1,33 = 98,550 F

Aplicando la fórmula simplificada 1-113, h = 1,02 Btu/hr ft2 como T del aire es 70 0 F, se puede suponer 70 + 100, la de la placa, es decir 1700 F.

Para corroborar el supuesto, se calcula el coeficiente con la ecuación 1-112 y propiedades del aire evaluadas a (100 + 70)/2 = 850 F, tomando una longitud de la lámina de 1 Ft

∆T = 170 - 70 = 100

Número de Prandlt = 0,72

Conductividad Térmica K = 0,0147 BTU/hr ft0 F Base del número de Grashof = 2,46 x 106

L en pies, = 1

Gr = 2,46 x 106 x 13 x 100 = 2,46 x 108

GrPr = 2,46 x 108 x 0,72 = 1,77 x 108, luego

Nu = 0,14 GrPr1/3 = 0,14 (1,77 x 108 )1/3 = 78,60

h = Nu K / L = 78,60 x 0,0147 / 1 = 1,15 BTU/ hr ft2 0 F

el flujo de calor es: q = 1,15 x 1 x 100 = 115 > 100 BTU/hr El gradiente de temperatura debe ser menor e igualmente el coeficiente de película, tomando T = 900F,

Gr = 2,214 x 108 , GrPr = 1,5941 x 108

Nu = 0,14 (1,5941 x 108)1/3 = 75,90 h = 75,90 x 0,0147/1 = 1.11 BTU/hr ft2 0F

q = 1,11 x 1 x 90 = 100.42 BTU/hr, Valor consistente

Con el gradiente de 900F, la temperatura de equilibrio es de 70 + 90 = 1600F

Puede apreciarse que el coeficiente calculado por la fórmula condensada es sensiblemente igual al calculado por la ecuación 1-113

Resp T = 1600F


114

114

Kern recomienda la ecuación simplificada

h = 0,38∆T0,25 (1-116) Empleando esta ecuación para el ejemplo anterior

h = 0,38 x 900.25 = 1,17 BTU/hr ft2 0F, dando una diferencia del 5,1%

Para otros caso especiales de convección natural ver anexo, memorias y hojas de cálculo

En placas inclinadas.- Para placas inclinadas, se emplea cualquiera de las fórmulas de placa horizontal, según sea el caso, con el Número de Grashoff multiplicado por el Seno del ángulo que forma la placa inclinada con la horizontal.

En placas inclinadas se afecta el número de Grashof ya que tanto la fuerza viscosa como la de gravedad actúan sobre un plano inclinado. La ecuación para Nu. Pr 2 1/4 Nu = 0,50 (-------------------) (Grp Pr)1/4 (1-117) 0,952 + Pr g β ρ2 ∆T L3 Sen α Siendo Grp = ------------------------------ = Grb ∆T L3 Sen α µ2

EJEMPLO 28 Un talud plano de 6 x 6 ft a 1350F forma un ángulo de 320 con la horizontal. Calcular el flujo de calor para aire a 800F

Solución.- La temperatura promedio es de (135 + 80)/2 = 107,5, a esta temperatura, de tablas, para el aire K = 0,0135 BTU/hr ft 0F , Pr = 0,72 y Grb es 1,75 x 10 4/0F ft2, ∆T = 135 - 80 = 550F y L = 6 ft, luego

Grp = 1,75 x 104 x Sen 320 x 63 x 55 = 1,10 x 108

A la vez Grp x Pr = 1,10 x 108 x 0,72 = 0,792 x 108

0,722 1/4 Nu = 0,50 ( ---------------- ) (0,792 x 108)1/4 = 35,19 0,952 + 0,72 h = Nu(K/L) = 35,19 x 0,0154/6 = 0,089 BTU/ hr ft2 0F

q = 0,089 x 36 x 55 = 176,22 BTU/hr


115

RESP: 176,22 BTU/hr En placas verticales Mac Adams, tambien estableció ecuaciones para placas verticales; cuando ellas no son mayores de 2 pies de alto (0,65 m) se tiene:

Nu = 0,52 (GrPr)0,25 (1-118) con aplicación para Pr entre 0,7 y 500. Para números de Prandlt menores de 0,7, se aplica

Pr 1/4 Nu = 0,68 (--------------- ) (GrPr)1/4 (1-119) 0,952 + Pr

Para régimen turbulento

Pr1.17 2/5 Nu=0.024(----------------------)Gr (1-120) 1 + 0,494 Pr2/3

Las ecuaciones para temperaturas moderadas: h = 0,28 (∆T / H)0.25 para H < 2 ft (1-121) h = 0,3 ∆T0,2 5 para H > 2 ft (1-122) EJEMPLO 29 Las paredes de un cuarto (18 x 16 x 12 ft) se encuentran a 800F, en tanto que el aire esta a 400F. Determinar el flujo de calor de las paredes al aire.

Solución.- Para el cuarto se tienen 4 paredes verticales, una placa horizontal mirando hacia arriba y una horizontal mirando hacia abajo, todas mayores de 2 ft. ∆T = 80 - 40 = 400F

Para las paredes verticales: hv = 0,3 ∆T0,25 = 0,3 x 400.25 = 0,75 BTU/hr ft2 0F

Para el techo:

ht = 0,2 ∆T0.25 = 0,2 x 400,25 = 0,50 BTU/hr ft2 0F

Para el piso:

hp = 0,38 ∆T0,25 = 0,38 x 400,25 = 0,96 BTU/hr ft2 0F

el flujo será la suma de los flujos en paredes piso y techo, teniendo como factor común el gradiente de temperatura:

q = hv x Av ∆T + ht x At x ∆T + hp x Ap x ∆T

observando que hay dos paredes iguales de 18 x 12 ft y otra dos iguales de


116

116

16 x 12, se tiene:

q = [0,75 x 2 (18x12) + 0,75 x 2 (16x12) + 0,5 x 18 x 16 + 0,96 x 18 x 16] 40

q = 41.299,2 BTU/hr.

RESP: q = 41.229 BTU/h

Para cuartos de regulares dimensiones y en rangos de temperaturas moderadas se puede emplear la ecuación

h = 0,3 ∆T0.25 (1-123) Para el ejemplo anterior h = 0,3 x 400,25 = 0,75

y con área total de 1.392 ft2 se aplica q = h A ∆T

q = 0,75 x 1392 x 40 = 41.760 BTU/hr

la diferencia con el procedimiento anterior es del 1,1%

EJEMPLO 30 La ventana de una habitación tiene 2 x 1 m. La temperatura interior es de 250C en tanto que la exterior es de -15,50C. El vidrio tiene un espesor de 5 mm. Determinar el flujo de calor a través de la ventana haciendo el estudio térmico correspondiente

Solución.- Como actividad de Aprendizaje trace el comportamiento de temperatura y el circuito térmico ya que se constituyen en ayuda para resolver el problema.

Para el problema se presenta la siguiente hoja de trabajo, con unidades en sistema inglés. FLUJO UNIDIMENSIONAL EN PLACAS PLANAS EN SERIE EN ESTADO ESTACIONARIO

DETERMINACION DEL COEFICIENTE TOTAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

EJEMPLO 30

CAPA MATERIAL K h Esp. RESIST. Ta Tb ∆Τ

m hr oF / BTU 0F 0F 0F

1 Ambiemte Interior - 77

2 Vidrio 0,016

1 Ambiente exterior - 4

AREA Pies cuad. 21,52 Total

FLUJO DE CALOR BTU / hr ft 0 F


117

Area 2 x 1 x 10,76 = 21,52 ft2

temperatura interior = 25 x 1,8 + 32 = 77 0 F

temperatura exterior = -15,5 x 1,8 + 32 = 4 0 F Para completar la hoja de trabajo se tiene :

Conductividad térmica del vidrio, de tablas 0,45 BTU/hr ft 0F Como la conductividad y los coeficientes de película con fórmulas están expresados en unidades inglesas el problema se trabajará con estas unidades y luego se convertirán al SI.

Para aire a temperaturas moderadas se emplearán fórmulas condensadas para determinar los coeficientes de película. Estas son en función de ∆T entre el vidrio y el aire, valores que no se conocen, luego se trabaja por ensayo y error. El proceso es en estado estable, y los ensayos se fundamentan en: ∆T ∆T2 q = ------ = h1A ∆T1 = h2 A ∆T3 = K A ------ R x

Siendo h1 el coeficiente de película del aire interior

h2 el coeficiente de película del aire exterior

Para paredes verticales h = 0,3∆T0,25

q = h1A∆T = 0,3 A ∆T0,25 ∆T = 0,3 A ∆T1,25 = K A (∆T3/ x) 0,3∆T1,25 = K (∆T3 / x),

Dado que el vidrio es muy delgado( 5mm = 0,01640 ft) puede suponerse una caída de temperatura en él muy baja.

Recordando que la caída total de temperatura es ∆T = ∆T1 + ∆T2 + ∆T3 , y para el presente caso ∆T = 77 - 4 = 73 0 F

Tomando como 3 0F la caída de temperatura en el vidrio, la caída de temperatura en cada película de aire puede suponerse igual es decir ∆T1 = ∆T3

De las anteriores relaciones ∆T1 + 3 + ∆T3 = 73 0 F = 2 x ∆T1 == ∆T1 = 70 / 2 = 35

y siendo el área la misma se tiene para el vidrio y el aire 0,3 x 351,25 = 0,45 x 3/ 0,01640

25,54 =/ 82,31

efectuando otros ensayos se llega a ∆T3 = 1 y ∆T2 = 36

0,3 x 361,25 = 0,45 x 1/ 0,01640

26,45 27,43


118

118

La aproximación puede considerarse suficiente.

La hoja de trabajo permite trabajar muy fácilmente el ensayo y error. Para ello se debe introducir un formulismo que nos permita establecer la comprobación del valor supuesto. En la hoja se obtiene un flujo de calor partiendo del formulismo q = ∆Τ / R . Como se está tratando de calcular los coeficientes de película, interior y exterior, se emplea el formulismo para el coeficiente de película, h = 0,3 ∆T0.25 y en base al valor obtenido se determina el flujo de calor por la ecuación

q = h1A∆T .

En la siguiente hoja de cálculo se muestra el primer ensayo colocando la caída en el vidrio de 3 0F apreciándose los resultados tan diferentes en los flujos de calor. PRIMER ENSAYO

CAPA MATERIAL K h ESP. RESIS. Ta Tb ∆Τ

BTU / hr ft 0 F BTU / hr ft 2 0F m hr oF / BTU 0F 0F 0F

1 Ambiemte Interior

0,730 - 0,06368 77,00 42,00 35,000

2 Vidrio 0,45 0,016 0,00169 42,00 39,00 3,000

5 Ambiente exterior

0,730 - 0,06368 39,00 4,00 35,000

AREA Pies cuad. 21,52 0,12906 Total 73

FLUJO DE CALOR BTU / hr ft 0 F 565,6357 COMPROB. 73

COEFICIENTE TOTAL DE TRANSF. DE CALOR 0,36 BTU / hr ft 2 0F

FLIJO DE CALOR COMPROBACION 549,6023

Después de varios ensayos, concluida la hoja se tiene.: RESOLUCION

CAPA MATERIAL K h ESP. RESIST. Ta Tb ∆Τ

BTU / hr ft 0 F BTU / hr ft 2 0F M hr oF / BTU 0F 0F 0F

1 Ambiemte Interior

0,735 - 0,06323 77,00 40,98 36,018

2 Vidrio 0,45 0,016 0,00169 40,98 40,02 0,965

5 Ambiente exterior

0,735 - 0,06323 40,02 4,00 36,018

AREA pies cuad. 21,52 0,12815 Total 73

FLUJO DE CALOR BTU / hr ft 0 F 569,6489 COMPROB. 73

COEFICIENTE TOTAL DE TRANSF. DE CALOR 0,36 BTU / hr ft 2 0F

FLIJO DE CALOR 569,6466


119

En el anexo, memorias, se describe detalladamente la forma de proceder al ensayo.

para placas verticales se han desarrollado ecuaciones empíricas más generalizadas,

Ozisik presenta:

Nu = 0,59 (GrPr)1/4 para Régimen laminar 104 <GrPr< 109 (1-124) Nu = 0,10 (GrPr)1/3 para Rég. turbul 109 <GrPr< 1013 (1-125) En cilindros horizontales Uno de los casos más usuales de transferencia por convección natural es el flujo en tubos horizontales. Cuando se tienen varios tubos dispuestos en serie o en paralelo unidos en este último caso por colectores, se tienen los llamados bancos de tubos o serpentines horizontales.

Una ecuación de resultados bastante exactos es:

Nu = α (GrPr)0,25 (1-126) donde α varia entre 0,47 y 0,53 dependiendo de la longitud de los tubos.

EJEMPLO 31 Por un serpentín de 30 m de largo construido en tubo 3/4 BWG 16, circula salmuera a - 80C, determinar el coeficiente de película para agua mantenida a 40C, estanca en el exterior del serpentín.

Solución.- Asumiendo que la temperatura del tubo es igual a la de la salmuera, ∆T es de 120C. = 21,60F. Las propiedades del agua se evaluan a 40C.

De tablas, K = 0,325 BTU/hr ft0F, Pr = 11,6 Grb = 2,3 x 106 y el diámetro del tubo en pies es de 0,75/12 = 0,0625', así:

Gr = 2,3 x 106 x 0,06253 x 21,6 = 12.129

como la tuberia es larga α = 0,53 y

Nu = 0,53 (12129 x 11,6)0,25 = 10,26 y como Nu = h x K/D

y h = 10,26 ( 0,325/0,0625) = 53,4 BTU/hr ft2 0F

RESP : h = 53,4 BTU/hr ft2 0F Para aire a temperaturas moderadas McAdams da la ecuación:

h = 0,25 (∆T/D)0,25 (1-127) McAdams establece una gráfica y un nomograma, en tanto que Kern presenta un nomograma para la determinación de los coeficientes en el exterior de cilindros horizontales.


120

120

En la gráfica se relacionan los logaritmos en base 10 del número de Nusselt con el logaritmo en base 10 del producto de los números de Grashof y Prandlt

EJEMPLO 32 Una tubería de diámetro exterior de 2" tendida horizontalmente en una azotea se encuentra a 150 0F, determinar los coeficientes de película para agua y aire cuando su temperatura es de 500F

Solución.- Tomando temperatura de película, la promedio de

(150 + 50)/2 = 100, de tablas se obtiene los valores para

Aire : Grb = 1,76 x 106, Pr = 0,72, K = 0,0133 BTU/hrft0F Agua: Grb = 118 x 106 Pr = 4,52, K = 0,364 BTU/hrft0 F

con D = 2/12 = 0.1667' y ∆T = 1000F

Para aire : Gr Pr = 1,76 x 106 x 0,16673 x 100 x 0,72 = 5,87 x 105

para Agua: Gr Pr = 118 x 106 x 0,16673 x 100 x 4,52 = 2,47 x 108

para estos valores los logaritmos en base 10 son para aire 5,76 y agua 8,39

De la gráfica 1-41 , el logaritmo del número de Nusselt para

Aire: log Nu = 1,15 y Nu = 14,1 Agua: log Nu = 1,80 y Nu = 63.1, luego los coeficientes de película son:

Aire : h = 14,1 x 0,0133 / 0,1667 = 1,12 BTU/hrft2 0F

Agua: h = 63,1 x 0,364 / 0,1667 = 137.80 BTU/hrft2 0F

Resp: Aire h = 1,12 BTU/hrft2 0F Agua h = 137,80 BTU/hrft2 0F


121

FIGURA 1-40 Nomograma para coeficientes de película


122

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FIGURA 1-41

Coeficientes de película convección natural exterior de tubos


123

Empleando la fórmula condensada para el aire se tiene:

h = 0,25(∆T/D)0,25 = 0,25 (100 / 0,1667)0,25 = 1,23 BTU/hrft2 0F , valor consistente

EJEMPLO 33.- Empleando el nomograma de McAdams, figura 1-40, determinar los coeficientes de película para las condiciones del ejemplo 32

Solución. Para emplear el nomograma se requieren las temperaturas promedio o ficticia de película y la relación ∆T; para el aire, como gas que es, se requiere la presión del mismo.

Para el agua, con los valores dados, Tf = (150 + 50) / 2 = 1000F ∆T = 100

0F, y h = 140 BTU/hr ft2 0F Para el aire con p = 1 atm. ∆T = 1000F y h = 1,10 BTU/hrft2 0F

Resp: Aire h = 1,10 BTU/hrft2 0F Agua h = 140 BTU/hrft2 0F

Valores consistentes con los obtenidos por la gráfica.

Al emplear el nomograma de Kern, se emplea la relación T/do siendo do el diámetro exterior de la tubería, en pulgadas.

En cilindros verticales.- Un aspecto muy importante de tener presente en el caso de los cilindros verticales es la dimensión establecida para el número de Grashof, debe emplearse la longitud del cilindro, L. Las ecuaciones más generalizadas son las mismas de las placas verticales con la observación referida.

Nu=0,59 (GrPr)1/4, Para Rég.laminar 104<GrPr<109 (1-128) Nu=0,10 (GrPr)1/3, para Rég. Turbul. 109 <GrPr< 1013 (1-129) EJEMPLO 34 Una resistencia eléctrica en varilla de cobre de 1" de diámetro y 1 ft de longitud se mantiene a una temperatura uniforme de 2300F. Determinar el coeficiente de película para la resistencia y el flujo de calor para el agua que se encuentra a 700F.

Solución.- Inicialmente se determina Gr, para seleccionar la ecuación a emplear. La temperatura ficticia de película es de Tf = (230 + 70)/2 = 1500F. De tablas Grb= 440 x 106 , Pr = 2,74, K = 0,384 BTU/hrft 0F y L = 1ft, ∆T =


124

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230 -70 = 1600F.

Gr = 440 x 106 x 13 x 160 = 7,04 x 1010

GrPr = 7,04 x1010 x 2,74 = 1,93 x 1011

Como el producto Gr Pr está dentro del rango 109 < Gr Pr < 1013 , se tiene un régimen turbulento y se aplica Nu = 0,10 ( Gr Pr ) 1/3

Nu = 0,10 (1,93 x 1011)1/3 = 578 a la vez Nu = h x L / K y

h = Nu x K / L h = 578 x 0,384 / 1 = 222 BTU/hr ft2 0F

El flujo de calor q = h A ∆T = 222 x 2π x 1/12 x 1 x 160 = 18.591 BTU/hr

Resp: h = 22 BTU/hrft2 0F q = 18.591 BTU/hr

En cilindros verticales, el coeficiente de película no depende del diámetro.

Determine si la resistencia colocada horizontalmente permite o no mayor flujo de calor que colocada verticalmente.

EJEMPLO 35 En un proceso de obtención de esencias se mantiene etanol en un tanque a 1400F, Las perdidas de calor del sistema son de 12.000 BTU/hr , calcular la longitud de un tubo de 3/4" , calibre 80, que se ha de emplear como serpentín horizontal, empleando vapor como medio calefactor.

Solución: Es a través del serpentín por donde tiene lugar el flujo de calor. Determinando el área de transferencia de calor, se calcula la longitud del tubo. El flujo de calor está definido por: q = U A ∆T , donde U es el coeficiente global de transferencia de calor que involucra las resistencias térmicas tanto por convección como por conducción. Se recuerda que: U = 1/A R y R = Ε Ri

siendo R la resistencia total del círcuito térmico.

Las resistencias para el presente caso son la de la película de vapor, la del tubo de acero y la de la película de etanol.

Para el vapor, cuando se emplea como elemento calefactor y está ocurriendo su condensación, el coeficiente de película es de 1.500 BTU/hr ft2 0F (Kern D.) ; en el ejemplo se toma este valor. Para la tubería, se puede despreciar su resistencia , dada la conductividad térmica del acero y el espesor tan pequeño de la pared.

El coeficiente de película del etanol se obtiene empleando el nomograma para


125

tubos horizontales, dado por Kern, con los siguientes datos:

Ts = 2120F, Te = 1400F ∆Tf = (212 + 140)/2 = 1760 F

∆ T = 212 -140 = 720F d0= 1,05" (de tablas para tubería de 3/4", cal 80)

r = 0,04375'

∆T / d0 = 72 / 1,05 = 68,6 y del nomograma ho = 64 BTU/hr ft20F

1 1 U = --------, para una unidad de área U = ----------------- A R 1/hi + 1/h0 1 U = ----------------- = 61,4 BTU/hr ft2 0F 1/1.500 + 1/64

Puede observarse que el coeficiente global es cercano al coeficiente del etanol, cuando ello ocurre al coeficiente bajo se le denomina Coeficiente Dominante, ya que un cambio sustancial para el coeficiente global se logra sólo si se cambia el coeficiente dominante. Continuando con el problema

A = 2 π r L = q / U ∆T = 12.000 / 61,4 x 72 = 2,71 ft2

L = 2,71 / 2 π 0,04375 = 9,85 ft.

Resp: L = 9,85 ft 2.6 Conveccion forzada En la gran mayoria de los procesos industriales se tiene la convección forzada, en la que a los fluido se les imparte movimiento por medios o artificios mecánicos, bombas, ventiladores, compresores, eyectores, etc. En forma similar a la convección natural los coeficientes de película se determinan empiricamente, aunque en el presente caso se emplea el No. de Reynolds y en forma generalizada se expresa:

Nu = d ReePrf (1-130) En forma similar al comportamiento de los fluidos, en la convección forzada, se presentan los regímenes laminar, de transición y turbulento, aunque los valores del Número. de Reynolds que define los flujos son diferentes.

En el flujo de fluidos para valores menores de 2.100 en Reynolds se tiene Régimen Laminar, mientras que el Régimen de Transición se presenta con


126

126

valores de Re. entre 2.100 y 10.000. El Turbulento se presenta para valores de Re superiores a 10.000.

En transferencia de calor para números de Reynolds menores de 4000, se presenta régimen laminar, entre 4.000 y 10.000 flujo de transición y superior a 10.000 turbulento

Debe recordarse que en algunos equipos diferentes a los de sección circular los números de Reynolds para flujos térmicos y flujo hidrodinámico son diferentes en virtud del diámetro equivalente, que en esencia es el que se usa para calcular Reynolds.

En tuberias , ductos, camisas y recipientes con agitadores es donde se presentan con mayor frecuencia procesos en los que se involucra la convección forzada.

2.6.1. Conveccion forzada en interior de tuberias y ductos A diferencia de la convección natural la posición de la tuberia no incide en el coeficiente de película.

Trabajos experimentales de Morris y Whitman. le permitieron establecer las fórmulas más empleadas en flujos por el interior de tuberías:

Para régimen laminar y de transición, se tiene la ecuación de Sieder y Tate:

Nu = 1,86 [Re Pr (D/L)]1/3 φ (1-131) 4 w c ó Nu = 1,86 -------- (1-132) π K L siendo: D diametro equivalente de la tubería

L longitud de la tubería

w flujo másico c calor específico

K conductividad térmica

φ factor de corrección por viscosidad, definido por la relación

µ 0,14 φ = ( ---- ) (1-133) µw Siempre a la entrada de una tubería se presenta turbulencia y el régimen se normaliza a una distancia dada, situación muy acentuada en el régimen laminar y en menor grado en la transición. De ahí la corrección por diámetro y longitud.

De otro lado se presenta una diferencia en los coeficientes de película entre los procesos de calentamiento y enfriamiento, siendo muy marcada esta diferencia


127

en fluidos viscosos. Esto conlleva a efectuar correcciones por viscosidad, mediante el factor φ, que relaciona las viscosidades del fluido a su temperatura promedio µ y a la llamada temperatura de pared , µw. En algunos fluidos, dentro del rango de temperaturas del proceso térmico, la viscosidad no cambia sensiblemente y se puede obviar el factor de corrección.

Se recuerda que el diámetro equivalente es un concepto físico introducido para evaluar el comportamiento en el flujo de fluidos en recipientes o dispositivos con secciones de flujo diferentes a secciones perfectamente circulares. El diámetro equivalente está definido como: área de flujo sobre perímetro húmedo o mojado y en términos geométricos como

4 rh De = --------- con rh = radio hidraúlico y Ph = perímetro húmedo. Ph

Para el cálculo termodinámico de equipos de transferencia de calor se emplean diferentes temperaturas a las cuales se toman las propiedades de los fluidos.

Por ejemplo en los intercambiadores de calor de tubos, sean de doble tubo o de tubo y carcaza las propiedades de los fluidos viscosos se deben evaluar a la temperatura llamada calórica Tc y para aquellos no viscosos o cuya viscosidad varía muy poco con la temperatura, se emplea su temperatura promedio Tp.

En el diseño de equipos se hará mención a dichas temperaturas y la forma de evaluarlas.

EJEMPLO 36

Por 7 pies de una tuberia de 1". cal 40 fluye agua a temperatura promedio de 140 0F, a razón de 7 pies por minuto. Determinar su coeficiente de película.

Solución. Para determinar el coeficiente de película se calcula el número de Reynolds.

El número de Reynolds está definido por Re = Dvρ/µ, de tablas se encuentra:

D = 1,049" = 0,0874 ft ρ = 61,2 lb/ft3

µ = 0, 292 x 10-3 lb/ft seg

K = 0,384 BTu/hr ft 0F

Cp = 1 BTU/lb 0F


128

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Pr = 2,74

Calculando el número de Reynolds Re = D v ρ / µ y con velocidad 7/ 60 ft /s

Re = 0,0874 x (7/60) x 61,2 / 0, 292 x 10-3 = 2.138 Aplicando la ecuación (1-131), con φ = 1 dado la temperatura y el fluido

Nu = 1,86 [2138 x 2,74 x (0.0874/7)]1/3 = 7,8

h = Nu x K/D = 7,8 x 0,384/ 0,0874 = 34,2 BTU/hr ft2 0F

Resp: h = 34,2 BTU/hr ft2 0F

Para régimen turbulento se emplea la ecuación de Dittus- Boelter

Nu = 0,023 Re0,8Prn (1-134) con n = 0,4 cuando se tiene calentamiento y 0,3 para enfriamiento .

Esta ecuación es aplicable para Re > 10.000 , L/D > 60 y 0.7< Pr <100

La ecuación de Sieder y Tate

Nu 0,027 Re0,8Pr1/3 φ (1-135) aplicable para Re > 10.000, L/D > 60 y 0,7 < Pr <16.700

La ecuación de Colburn, aplicable a lIquidos muy viscosos:

St Pr = 0,023 Re-0,2 (1-136) siendo St, el número de Stanton, St = h / ρ µ Cp

Las ecuaciones 1-135 y 1-136 pueden ser graficadas, para correlacionar Nu con Re

Tomando la ecuación general Nu = a Re0,8Pr1/3 φ, se reordena así:

Nu Pr-1/3 φ-1 = f(Re) (1-137) El término de la izquierda en la ecuación 1-137 se denomina Factor de Colburn modificado jH y es función del No. de Reynolds . jH = Nu Pr-1/3 φ-1 (1-138) de esta ecuación obtenemos

h = jH (K/D) Pr1/3 φ--1 (1-139) Para la representación gráfica se tiene presente la corrección por Diámetro y Longitud requerida en el régimen laminar. La figura 1-42 representa la curva correspondiente a la relación del factor de Colburn y el No de Reynolds, con sus valores numéricos empleada para aceites, fracciones del petróleo y


129

líquidos orgánicos. Se puede usar con otros fluidos esperando un menor grado de exactitud.

EJEMPLO 37

Resolver el ejemplo 36, empleando el factor de Colburn.

Solución. Para determinar el coeficiente de película se calcula el número de Reynolds y por la gráfica se encuentra el factor de Colburn, del cual se despeja el coeficiente. El número de Reynolds es 2.138. El agua puede tomarse como fluido no viscoso de tal forma que la viscosidad no varía sustancialmente con la temperatura y puede tomarse φ = 1, el flujo se considera iniciando el régimen de transición, por lo tanto se debe emplear la relación L/D. L/D =7/0,0874 = 80, interpolando entre la curvas de 72 y 120, se obtiene un factor de Colburn, jH de 5,6 aplicando la relación 1-139

h = 5,6 (0,384/0,0874) x 2,741/3 x 1 = 34,4BTu/hr ft2 0F

Resp h = 34,4 BTU/hr ft2 0F

Para el agua, en tuberias, y en regimen turbulento existe una gráfica desarrollada por Eagle y Ferguson , Figura 1-43 .

EJEMPLO 38 Agua a temperatura promedio de 1400F, fluye por una tuberia de 1" a razón de 3 ft/s. Determinar el coeficiente de película.


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FIGURA 1-42


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FIGURA 1-43


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FIGURA 1-44


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Solución.- Empleando la gráfica 1-44 , se obtiene coeficiente de 980 BTU/hr ft2F.

Empleando el factor de Colburn se procede, con :

D = 1,049" = 0,0874 ft

ρ = 61,2 lb/ft3

µ = 0, 292 x 10-3 lb/ft seg = 1,051 lb/ft hr

K = 0,384 BTu/hr ft 0F Cp = 1 BTU/lb 0F

Pr = 2,74

Re = 0,0874 x 3 x61,2 / 0, 292 x 10-3 = 61246

De gráfica (1-43) jH = 160

h = 160 x (0,384/0,0874) x 2,741/3 x 1 = 983

Resp h = 980 BTU/hr ft2F. EJEMPLO 39 Una caldera trabaja con 16.000 lbs/hr de Kerosene pesado que debe ser precalentado de 95 a 1450F empleando un intercambiador de calor con vapor a 2500F. El kerosene fluye por una tuberia de diámetro 0,0725 ft. Se han determinado propiedades del kerosene los siguientes valores:

Re = 1550

L/D = 331, relación logitud / diámetro de la tubería

Tp= 1200F µp= 1,36 centipoises

Cp = 0,50 BTU/lb 0F

K = 0,14 BTu/hr ft 0F

Tw= 2490F

µw= 0,60 centipoises

Calcular el coeficiente de película del Kerosene.

Solución: Acorde al Re y a la relación L/D, en la gráfica se encuentra un valor de jH = 3,10, el número de Prandtl es

Cp µp 0,50 x 1,36 x 2,42 Pr = ----------- = ----------------------------- = 11,75 * K 0,14


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* Nota: para pasar centipoises a lb/ft hr se emplea el factor 2,42

el coeficiente se obtiene aplicando h = jH (k/D) Pr 1/3 φ

h = 3.10(0,14/0,0725) 11,751/3 (1,36/0,60)0,14 h = 15,24 BTU/hr ft2 0F

Resp: h = 15,24 BTU/hr ft2 0F

EJEMPLO 40 Resolver el ejemplo 40 empleando la ecuación de Sieder y Tate.

Solución: Nu = 1,86 ( 1550 x 11,75 x 1/331)1/3(1,36/0,60)0,14

Nu = 7,92 y h = 7,92 (0,14/0,0725) = 15,30 BTU/hr ft2 0F

Resp: h = 15,30 BTU/hr ft2 0F EJEMPLO 41 Gases de un asador se extraen por un ducto de sección rectangular de 0,3 x 0,4 m. a una velocidad de 12 m/s, teniendo los siguientes parámetros de operación.

Temperatura de gases 1700C. Viscosidad promedio 1,52 x 10-5Kg/m s = 0,0547 kg/m hr

Viscosidad a Tw = 1,22 x 10-5Kg/m

Densidad 1,87 Kg/m3

Conductividad 0,031 W/m 0C

Calor especifico 0,996 W s/Kg 0C

Temperatura ducto 800C Calcular el coeficiente de película de los gases y del aire exterior al ducto.

Solución. Para el cálculo del coeficiente de los gases se establece un proceso de convección forzada ( los gases se extraen probablemente con un ventilador o extractor).

El número de Reynolds se calcula en función del diámetro equivalente

Area de flujo = 0,3 x 0,4 = 0,12 m2

Perímetro húmedo = 2 x 0,3 + 2 x 0,4 = 1,4 m


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Diámetro equivalente = 0,12/1,4 = 0,0857 m

Re = 0,0857 x 12 x 1,87/ 1,52 x 10-5 = 126520

De gráfica jH = 300 hi= 300(0,031/0,0857)( 0,996 x 0,0547/0,031)1/3(1,22/1,52)0.14

hi = 126 W/ m2 0C

Para el aire exterior se tiene convección natural y puede aplicarse una ecuación simplificada, asumiendo que la temperatura ambiente es de 20 0C ho = 0,2 ∆T1/3 (ES) ó 1,38 ∆T1/3 (SI)

en SI con ∆T = 80 - 20 = 600C

ho = 1,38 x 601/3= 5,40 W/ m2 0C Resp: hi = 126 W/ m2 0C

ho = 5,40 W/ m2 0C

2.6.2 Convección forzada en exterior de tubos y serpentines

La Convección Forzada en el exterior de tubos se tiene en equipos diseñados para tal fin, como son los intercambiadores de tubo y carcaza en donde uno ó más tubos, por los cuales fluye un fluido, se encierran en diversas configuraciones dentro de un tubo de mayor diámetro mayor llamado carcaza o coraza. Estos arreglos se estudian adecuadamente en el diseño de Intercambiadores de Calor.

Otro caso de convección forzada en el exterior de tubos, es el que se tiene en tanques con agitador en donde el fluido contenido en el tanque adquiere movimiento forzado por la acción del agitador. Este fluido a la vez sufre una transferencia de calor a través de un serpentín, colocado dentro del tanque. Numerosos casos particulares se presentan con este arreglo que también se estudiarán en el Diseño de Equipos de Transferencia de Calor.

Coeficientes de película El serpentín es uno de los medios más baratos y eficientes para obtener superficies de transferencia de calor.


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FIGURA 1-45

En un serpentín ocurre una mayor turbulencia que en una tubería recta, esto causa aumentos en los coeficientes de película interna. Varios autores han determinado que para líquidos o fluidos comunes puede emplearse la ecuación.

hsi = hi (1 + 3.5 [D/Dh]) (1-140) donde

hsi = Coeficiente interno de película para el serpentín hi = Coeficiente para el tubo por ecuacion (1-139) y (figura 1-42 y 1-43)

D = Diámetro interior del tubo en pies

Dh = Diámetro del serpentín en pies

No se precisan correcciones más exactas, máxime que por los serpentines


137

fluye generalmente vapor o agua.

Cuando fluye agua por el interior de los tubos, empleando las gráficas representadas en la figura , se determina el coeficiente interior de transferencia de calor.

Para las determinaciones de los coeficientes exteriores de los fluidos debe tenerse presente si existe o no agitación mecánica dentro del recipiente y si es proceso continuo o de cochada.

Cuando no existe agitación mecánica, la transferencia de calor se hace mediante el fenómeno de convección libre. En el serpentín de espiral simple o helicoidal, la eficiencia de transferencia es muy baja, ya que el líquido calentado se eleva verticalmente perdiéndose el efecto de los espirales superiores, por tal razón cuando no existe agitación mecánica se deben emplear espirales planas.

Para los serpentines de espirales planas, pueden emplearse con bastante aproximación las ecuaciones:

hs = 0.50 (∆ T / do )0.25 (1-141) donde

hs = Es el coeficiente externo de película para el serpentín. ∆ T = Diferencia de temperatura entre el fluido exterior y la superficie del serpentín.

do = Diámetro exterior del tubo, en pulgadas.

También puede emplearse

hs = 0.2 ∆ T0.25 (1-142) Cuando se tiene agitación mecánica, varios investigadores establecieron que para fluidos calentados o enfriados por serpentines:

hs Dr L2 Np -------- = 0.87 --------- ( Cp µ / K )1/3 ( µ / µw )0.14 (1-143) K µ donde hs = Coeficiente exterior de película Dr = Diámetro del recipiente K = Conductividad térmica del fluido exterior L = Longitud de la paleta del agitador N = Número de revolución por hora ρ = Densidad promedio del fluido µ = Viscosidad del fluido Cp = Calor específico


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FIGURA 1-46


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L2 Np No. Re = (1-144) µ Y el factor

hc Dr JcH = -----------( Cp µ / K )1/3 ( µ / µw )0.14 (1-145) K

La relación se gráfica en la figura 1-45

EJEMPLO No. 42 Un tanque de almacenamiento contiene un licor acuoso a 1500F y requiere 36000 BTU/hr para mantener su temperatura.

El diámetro del tanque es de 1 pie con fondo abombado y una altura de 5 pies, el nivel del licor llega a 10 pulgadas desde el fondo y se agita mediante un agitador de paletas de 7.0 pulgadas de largo por 1.2 pulgadas de alto y 125 r.p.m.

Para suministrar el calor requerido se emplea vapor a 2120F, circulando por un serpentín en espiral elaborado en tubo de cobre de 1/2 pulgada de diámetro exterior. Tomando un diámetro del serpentín de 9.5 pulgadas. Determinar el número de vueltas requeridas.

Solución Se hace necesario calcular el área de transferencia de calor lo que implica determinar el coeficicente de transferencia de calor de diseño Ud, calculando los coeficientes de película y teniendo en cuenta las resistencias por incrustación.

En los equipos en servicio, con el tiempo , se van formando en las superficies de transferencia de calor incrustaciones o suciedades que ofrecen resistencia al flujo de calor

y se denominan resistencias por incrustación.

Cuando no se tienen en cuenta estas resistencias por incrustación, el coeficiente global o total calculado se denomina coeficiente limpio o Uc. El coeficiente obtenido teniendo en cuenta las resistencias por incrustación se conoce como coeficiente sucio o de diseño o Ud. (ver módulo de Maquinaria y Equipos)


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Para efectuar cálculos se necesita conocer algunas propiedades del licor acuoso, como no está definido y, es una solución diluida, tomamos las propiedades correspondientes al agua y ellas son:

ρ = 62.5 lb / pie3

µ = 0.44 Cp = 1.06 lb / pie hr

K = 0.38 BTU / hr pie oF De los datos del problema

L = 7.0 / 12 = 0.583 pies

N= 125 x 60 =7.500 r.p.h

El No. Re. será:

L2 Np 0.5832 x 7500 x 62.5 N Re = --------------- = --------------------------- = 150.304 µ 1.06

De la ecuación (1-143)

k hs = Jr --------- ( Cp µ / K )1/3 ( µ / µw )0.14 Dr

Y de la figura 1-46 Jr = 1.700

0.38 hs =1.700 ----------( 1.0 x 1.06 / 0.38 )1/3 1.0 = 909 BTU / hrpie2oF 1 Se ha tomado corrección por viscosidad 1.0 ya que la temperatura permanece constante. Para vapor condensandose se toma hio = 1500 BTU/hrpie20F

Una forma de relacionar el coeficiente limpio con los coeficientes de película es mediante la ecuación:

hio x hs 1.500 x 909 Uc = --------------- = ------------------ = 566 BTU/hrpie20F hio + hs 1.500 + 909

Considerando factor de incrustación Rc = 0.005; 1/Ri = 200 que se obtiene de tablas y empleando la ecuación que correlaciona coeficientes globales


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con resistencias por incrustación. ( ver módulo de maquinaria y equipo)

Uc x 1/Ri 566 x 200 UD = --------------- = ---------------------- = 148 BTU/hrpie20F Uc + 1/Ri 566 + 200 El área será:

Q 36000 A = ------------ = --------------------------- = 3.92 pie2 UD ∆ T 148 x (212 - 150) De la tabla de tuberías el área superficial del tubo por pie lineal de tubo, As = 0.1309 pies

A 3.92 L = ------------- = -------------------- = 29,94 pies As 0.1309 La longitud por espiral es de π (9,5/12) = 2,48 pies

Número de vueltas = 29,94 / 2,48 = 12,07 vueltas

Resp: 12,07 vueltas En la literatura se encuentran los coeficientes totales U0, para serpentines en recipientes sin agitación, algunos de ellos son:

TABLA 2 Fluido dentro del serpentin

Fluido fuera del serpentín

Material del serpentín U BTU / ft2 OF

Vapor Sol. de azúcar Cobre 50 - 240

Vapor Sol. acuosas

ebullición Cobre 600 Vapor Acidos grasos Cobre 96- 100

Agua fría Agua caliente Cobre 105-1 80

Vapor Aceite vegetal Acero 23 - 29

Leche Agua Acero 200

Agua Melazas Cobre 10

Vapor Melazas Cobre 20 - 60


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EJEMPLO No. 43

En un tanque cilíndrico vertical de 5 pies de diámetro por 12 pies de largo se mantiene una melaza a 1000F. Para compensar las pérdidas por radiación del tanque al medio ambiente cuya temperatura puede bajar a 00F se suplementa un serpentín en tubería de 1” IPS. Calcular la longitud de tubería necesaria para las condiciones extremas, cuando se emplea vapor como elemento calefactor. tener en cuenta las pérdidas de calor por radiación.

Solución: La longitud se calcula determinando el área requerida para compensar las pérdidas de calor, las cuales ocurren por radiación del tanque hacia el aire y por convección.

Q = Qr + Qc

Qc puede tomarse para placas verticales de más de dos pies de alto y el coeficiente será:

ho = 0.3 (100) 025 = 0.95 BTU/hrpie20F Qc = ho A ∆T, el cálculo del área del tanque se efectúa suponiendo tapas planas y soportado el tanque en patas.

A = 2 πr2 + 2 πrl = 2 π (2,5)2 + 2 π x 2.5 x 12 = 227,8 pies2

Oc = 0,95 x 227,8 x 100 = 21,641 BTU/hr

Las pérdidas por radiación, por unidad de área se calculan tomando emisividad = 0.6 ( ver ejemplo 52) y aplicando la ecuación

hr = σ x ε x ( T14 - T1

4 ) / A

luego

hr = 0,173 x 10 -8 x 0.6 (5604 - 4604) / 100 = 0,56 BTU/hr pie2 0F

Qr = 0.56 x 227.8 x 100 = 12.757 BTU/hr

Qt= 21.641 + 12.757 = 34.398 BTU/hr

Para el cálculo del área, se debe conocer tanto Uc como ∆TL

En este problema ∆TL es la diferencia entre la temperatura del vapor se condensa (isotérmica) y la de la melaza, también isotérmica.

∆TL = 212 - 100 =1120F

Tomando un valor de Uc de 60 BTU/hrft 2 0F y un factor de obstrucción de 0.003

Uc x 1/Ri 60 x 1/0.003 UD = --------------- = ---------------------- = 50, 8 BTU/hr ft2 0F Uc +1/Ri 60 + 1/0.003


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el área será A = 34.398 / (112 x 50,8 ) = 6,045 ft2

Para tubería 1” I.P.S. el área superficial, por pie de tubos es 0.344 pies y la longitud del tubo será:

A 6.045 L = ------- = ------------- =17,057 pies As 0.344

Resp: 17,057 pies

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Para el problema anterior, determine la longitud de tubo calculando los coeficientes de película hi, hs y ho.

Recipientes de calefacción por camisa o por calandria En la práctica se emplean recipientes con camisa o con calandrias, en las cuales circula un fluido que calienta o enfría el contenido en el recipiente.

Pocos datos se disponen en la literatura para el cálculo de las áreas de transferencia de calor, en recipientes sin agitación.

Algunos autores, entre ellos Colburn, han determinado coeficientes totales limpios para algunos fluidos; así por ejemplo, cuando por la camisa circula vapor y en el recipiente agua hirviendo, el coeficiente es de 250 BTU/hrpie oF para equipo en cobre y de 170 para acero. Iguales coeficientes pueden tomarse para soluciones acuosas diluidas. Para calentamiento o enfriamiento agua- agua puede emplearse un coeficiente entre 80 y 120; para fluidos no muy viscosos el coeficiente baja a 50, en tanto que para compuestos orgánicos medios se tienen valores de 10 a 20.

Para recipiente con agitación mecánica Chílton, Drew & Jebens han desarrollado una ecuación similar a la de los serpentines, empleando el número de Reynolds modificado Rec.

hc ( Dr /K ) = 0.36 ( L2 Nρ / µ )2/3( Cp µ / K )1/3 ( µ / µw )0.14 (1-146) La correlación entre el factor JcH y el No.Re se gráfica en la figura 1-46 quedando la expresión:

k JcH = ---------- ( Cp µ / K )1/3 ( µ / µw )0.14 (1-147) Dr


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Cuya nomenclatura es similar a la de los serpentines y hc, coeficiente de película para la chaqueta o camisa.

EJEMPLO No. 44

Para coagular proteínas por calentamiento de un mosto, éste se mantiene a 1900F durante 1/2 hora en un recipiente cilíndrico enchaquetado de 24” de diámetro interior, provisto de un agitador mecánico de paletas de 8.4 pulgadas de largo y 2.4 pulgadas de altura colocado a 2 pulgadas del fondo, girando a 120 r.p.m. El recipiente se llena a una altura de 12 pulgadas; durante la operación un 10% del mosto se evapora como vapor de agua. Determinar la temperatura del vapor que se emplea como elemento calefactor y su consumo durante el proceso.

Algunas propiedades del mosto a la temperatura de operación son:

Densidad = 1.05 gr/cm3 — 65.62 lb/pie3 Viscosidad = 0.55 centipoises = 1.331 lb/pie hr

Calor específico= 0.95 cal/gr0C

Conductividad térmica = 0.38 BTU/hr pie20F

Para el agua el calor latente de vaporización a 1900F es 846.8 BTU/lb

SOLUCION: Para determinar tanto la temperatura como la cantidad de vapor se debe establecer la caída de temperatura ∆T, con base en la ecuación de Fourier, previa determinación del coeficiente total de transferencia.

La cantidad de calor requerida es la necesaria para evaporar el 10% del mosto y compensar las pérdidas por radiación y convección. Para establecer el agua evaporada se calcula el volumen de mosto. Tomando el recipiente como de fondo plano:

π D2h π x22 x 1 V = --------- = ------------- = 3.14 pies3 4 4 Se considera que el agitador tiene un volumen reducido, que no afecta al volumen de mosto.

Aplicando peso igual a volumen por densidad, el mosto tendrá un peso de 3,14 x 65,62 = 206 libras

Agua evaporada 206 x 0.1 = 20,60 libras Calor necesario para evaporación es igual a peso por la entalpía o calor latente de evaporación 20.60 x 846.8 = 17.444 BTU y es equivalente al 90%


145

del calor necesario, así para una hora.

17444 Q = ------------x 2 = 38.765 BTU/hora 0.9 Para la determinación del coeficiente de transferencia Uc, se calcula hc.

Para calcular el número de Reynolds

L = 8.4/12 = 0.7pies

N = 120 x 60 = 7200 r.p.h. 0.72 x 7200 x 65.62 No. Re = ------------------------------- = 173.935 1.331 Para este No Re JcH = 1.200

k hc = J -----(Cp µ/K )1/3 (µ/µw)0.14

Dc

El factor (µ / µw) puede tomarse como 1.0

hc =1.200 x (0.38/2)(0.95x1.331/ 0.38)1/3 x 1.0 hc = 340 BTU / hr pie2oF

Para el vapor de agua hio puede tomarse como 1.500 BTU/hrpie20F

hc.hio 340 x 1500 Uc = --------------- = --------------------- = 277 BTU/hrpie20F hc +hio 340 + 1500

Tomando como factor de incrustación Ri = 0.005

El coeficiente de incrustación hi = 1/0.005 = 200

El coeficiente total de diseño U0

Uchi 277 x 200 UD = ------------ = --------------------- = 116 BTU/hrpie20F Uc + hi 277 + 200

Asumiendo que el área de transferencia cubre exclusivamente la que está en contacto con el mosto


146

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π D2 π x 22 A = ---------+ π Dh = ------------------ + π x 2 x 1 = 9.42 ft2 4 4 La diferencia de temperatura entre el mosto y el vapor es:

Q 38.765 ∆T = --------- = ---------------------- = 35,5 0F UD A 116 x 9,42

será:

Tr = 190 + 35,5 = 225,5 0F

La cantidad de vapor puede calcularse estableciendo la entalpía de vaporización a 2250F, para este valor λ = 962 BTU/lb.

Q 38.765 BTU/hr Vapor = --------- = ----------------------- = 40,29 lb/hora λ 962 BTU/lb.

FIGURA 1- 47 Como el proceso demora únicamente media hora, el vapor requerido en el proceso es

40,29 / 2 = 20 lbs.


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Resp: 20 libras

Para los recipientes que tienen tanto serpentín como camisa es muy importante tener en cuenta la temperatura del fluido en el recipiente; cuando ella es cercana al punto de ebullición, existe la posibilidad que en la pared del serpentín o de la camisa se formen burbujas de vapor, lo que trae como consecuencia una disminución considerable en el coeficiente de película.

Un caso muy usual en la industria en el calentamiento o enfriamiento agitado de un fluido en un tanque dispuesto de un serpentín por el cual fluye otro fluido que sufre un cambio de fase dentro de un proceso isotérmico.

Cuando en un recipiente con serpentín, un fluido pasa a través del serpentín a una temperatura T, produciendo a una cantidad M del líquido en el recipiente, el cambio de temperatura de T1 a T2 . El calor necesario en el líquido para cambiar su temperatura en un tiempo t será Q = M C (T1 - T2) / t , a la vez este calor cedido por el fluido es Q = U A ∆T , donde ∆T es la caída de temperatura entre el fluido y el líquido, las ecuaciones se pueden correlacionar en su forma diferencial q = Q/ t = M C dT / dt = U A ∆T

asumiendo U, A y ∆T constantes, al integrar las anteriores ecuaciones se obtiene

T - T1 U A t ln ---------- = ----------- (1-146) T - T2 M C ecuación que reemplaza la general de Fourier Q = U A ∆T

2.7.- Coeficiente total de transferencia de calor En secciones anteriores se hacía referencia a los coeficientes de transferencia de calor, . Observando la figura No. 1-32 se concluye que los cálculos de las resistencias térmicas de los fluidos pueden resultar muy complicados; de ahí que se requiera de un método indirecto que no involucra el espesor de las películas de fluidos o las temperaturas de la interfase entre la película y el cuerpo principal del fluido, por razones obvias ante la dificultad de medición de ellas.

La transferencia de calor en el flujo de fluidos envuelve convección y conducción y la tasa diferencial de flujo de calor entre el fluido y el sólido se expresa por la ecuación general.

dq = h dA ∆T

Ecuación que referida a la figura 1-32 queda:


148

148

Para el interior dq = h1 dA (T1 - T3) (1-147) Para el exterior dq = h2 dA (T4 - T6) (1-148)

Esta ecuación llega a ser, en forma integral la igualdad (1-6)

h es llamado el coeficiente individual, coeficiente de película o coeficiente de superficie de transferencia de calor e incluye la resistencia térmica de la película laminar, de la capa buffer entre la película y el centro turbulento.

El coeficiente h es determinado dividiendo la rata de flujo de calor conocida, por la unidad de superficie de la pared por la diferencia de temperatura entre el fluido y la superficie.

dq h = ------------------ (1-149) dA (∆T) dq h 1 = ------------------- dA (T1 - T3) dq h 2= ---------------------- dA (T4 - T6)

Al comparar la ecuación (1-149) con la ecuación (1-14) se encuentra que h es análogo a K/ X y esta forma de definir el coeficiente de película es conveniente para representar la conductancia de sólidos, tal como la pared de una tubería o una capa de incrustación.

El inverso de h es una resistencia y consecuencialmente 1/h1 A es la resistencia térmica por convección como se ha explicado anteriormente Referidos a la figura No 1-32, el flujo de calor ocurre a través de vanas resistencias que una vez sumadas dan como resultado la siguiente expresión:

dq = U dA (T6 - T1) (1-150) Ecuación análoga a la 1-43 y en las cuales U es el coeficiente total de transferencia de calor, que puede ser referido a la superficie exterior o interior como ya se explicó.

Para el área interior A1, el coeficiente total de transferencia de calor está definido por


149

1 U1 = --------------------------------------- (1-151) 1/h1 + A1X / AmK + A1 / A2h2

(Siendo Am el área promedio)

En tanto que para el área exterior A

1

U2 = ----------------------------------------- (1-152) 1/h2 + A2X / AmK + A2 / A1h1

Teniendo que

q = U1 A1 ∆T = U2 A2 ∆T

Esta ecuación establece que la rata de transferencia de calor es producto del coeficiente total de transferencia, de la caída de temperatura y el área de la superficie de calentamiento o enfriamiento.

Para el caso de tuberías de espesor X, diámetro interno D1 y externo D2 la ecuación (1-152) se convierte en:

1 U1 = ------------------------------------------ = (1-153) 1/h1 + D1X / DmK + D1 / D2h2

(Siendo Dm el diámetro medio logarítmico)

Cuando los tubos son de un gran diámetro y pared delgada o para placas delgadas, puede usarse un área común sin introducir error apreciable y la ecuación se nos convierte:

1 U = ------------------------ (1-154) 1/h1 + 1/K + 1/h2

En la práctica los fluidos, especialmente líquidos, tienden a formar sobre las superficies sólidas, capas sólidas ya sean de óxido o de incrustación, debido a que la velocidad del fluido en proximidad de la superficie tiende a cero y estando parte del fluido en reposo ocurren fenómenos de oxidación o precipitación de sólidos que se ven favorecidos por efectos de temperatura.

Estas películas de sólidos se denominan incrustaciones o depósitos las cuales, causan resistencias adicionales al flujo de calor disminuyendo, por consiguiente el coeficiente global o total de transferencias.

Llamando hi1 y hi2 los coeficientes por incrustación de los depósitos interior y


150

150

exterior respectivamente, la ecuación (1-154) toma la forma:

1 U1 = --------------------------------------------------------------- (1-155 ) 1/hi1 + 1 / h1 x D1 / Dm + X / K + D1 / D2hi2

Y para el lado exterior

1 U2 = ------------------------------------------------------------------ (1-156) D2 / Dhi1 + D2 / D1h1 + D2 X / D mk + 1 / h2 + 1 / hi2

Para la mayoría de los líquidos manejados en la industria los coeficientes de incrustación varían entre 1.500 a 5000 KcaI/m2 hrOC ó 300 a 1.000 BTU / ft2hr 0F, valores más pequeños se aplican a agua contaminada en tanto que más grandes a vapores orgánicos.

En la tabla 3 se suministran algunos intervalos para coeficientes individuales de transmisión de calor, h.

Proceso Intervalo de valores de h Kcal/m2 hr OC BTU / ft2 hr OF

Vapor de agua (condensacióm por gotas)

25000 - 10000

5000 - 20000

Vapor de agua (condensación por

películas)

5000 - 15000

1000 - 3000

Condensación de vapores orgánicos

1000 - 2000

200 - 400

Agua (calentamiento)

250 - 15000

50 - 3000

Aceites (calentamiento o enfriamiento)

50 - 1500

10 - 300

Vapor de agua (recalentado)

25 - 100

5 - 20

Aire (calentamiento o enfriamiento)

1 - 50

0.2 - 10

Tabla 3 Coeficientes individuales de transferencia de calor


151

EJEMPLO No. 45 Para diseñar un cuarto frío, para almacenar vegetales a bajas temperaturas, se ha escogido un refractario cuya conductividad térmica es de 1,314 w/m0K.

En ensayos efectuados para determinar los coeficientes interior, exterior y global de transferencia de calor, se tomaron sobre un muro de 30 cms de ancho, los siguientes valores:

Ta = Temperatura exterior 20 OC Tb = Temperatura interior 0 OC T1 = Temperatura exterior del muro =16 OC T2 = Temperatura interior del muro = 2 OC Determinar ha, hb y U

Solución: Dados los siguientes valores

K = 1,314 W/m0K

X = 3Ocm = 0,3m

Se tiene la secuencia de temperaturas en el aire exterior 20 OC, en el exterior del muro 16 OC, en el interior del muro 2 OC , y en el aire interior 0

OC, de tal forma que los gradientes o caídas de temperatura son:

Entre el aire exterior y el exterior del muro ∆Tb = T2 -Tb 20 -16 = 4 oC ó 40K

a través del muro ∆Tr = T1 - T2 = 16 -2 =140C entre el interior del muro y el aire interior ∆Ta = Ta - T1 2 -0 = 2 0C ó 20K

y la diferencia total, entre el aire exterior y el interior ∆T = Ta - Tb = 20 - O = 200C Para encontrar ha, hb, U se aplican las respectivas ecuaciones, partiendo del hecho que el flujo de calor a través del muro es el mismo que entre el aire y el muro.

Para el muro se tiene el flujo por unidad de área Q ∆Tr 14 ---- = K -------- = 1.314 x --------- = 61.32 W/m2 A ∆X 0.3 Aplicando

q/A 61,32W/m2 ha = ------------- = ------------------------------ = 15,33W/m20K T2 -Tb 40K

Y


152

152

q 61,32W/m2 hb = ----------- = ----------------------- = 30,66W/m20K Ta -T1 20K

q/A 61,32 U = ------- = --------------------- = 3,06W/m2 0K ATr 200K También U, puede encontrarse por la ecuación (1-154)

1 1 U= ----------------------- = ------------------------------------------ = 3,06 W/m2 0K 1/ha + X/K + 1/hb 1/15,33 + 0,3/1,314 + 1/30,66

Resp: 3,06 W/m2 0K

EJEMPLO No. 46

En un intercambiador de calor de tubos concéntricos de 1” de diámetro calibre 40 en acero cuyo K es 40 Kcal/m hr0C, fluye interiormente un líquido caliente con un coeficiente individual de 800Kcal/m2 hr0C, exteriormente para enfriar el liquido fluye agua cuyo coeficiente individual es de 1500 Kcal/m2

hr0C. Los coeficientes de incrustación son:

hi1 = 5000 Kcal/m2 hr0C


Calcular el coeficiente de transferencia de calor basados:

- en el área exterior y

- en el área interior

Solución: Ordenando los datos

K = 40 Kcal/m hr 0C

h1 = 800 Kcal/m2 hr0C

h2 = 1500 Kcal/m2 hr0C




153

D1 = 1.049 in = 2.664 cm = 0.02664 m (de tablas)

D2 = 1.315 in =3.340 cm = 0.0334 m

X = 0.133 in = 0.338 cm = 0.00338 m

0.0334 - 0.02664 0.00676 Dm = --------------------------- = ---------------------- = 0.02989 m In 0.0334/0.02664 0.266

- Aplicando la ecuación (1-155) 1

U1 = -------------------------------------------------------------------------------------------------------

1/1500 + 1/800 x 0.02664/0.02989 + 0.00338/40 + 0.02664/0.0334 x 1/2500

U1 = 447 Kcal/m2 hr 0C

Aplicando la ecuación (1-156) 1

U2 = -----------------------------------------------------------------------------------------------------

(0.0334/0.02664 x 1/5000 + 0.0334/0.02664 x 1/800 + 0.0334/0.02989 x 0.00338/40 + 1/1500 + 1/2500)

U2 = 335 Kcal/m2 hr 0C

Resp: U1 = 447 Kcal/m2 hr 0C U2 = 335 Kcal/m2 hr 0C


154

154

3. Radiación La radiación es una emisión de energía a través del espacio con una velocidad de propagación igual a la velocidad de la luz.

La transferencia de calor, por radiación térmica, generalmente va acompañada por convección y por conducción y su importancia depende de los niveles de temperatura siendo relevante su importancia a medida que la temperatura aumenta.

Cualquier cuerpo que tenga una temperatura superior al cero absoluto (00K) irradiará energía, proveniente de fenómenos electromagnéticos y ocurre sin la necesidad de tener medios que se interpongan entre los cuerpos.

La radiación se transporta en el vacío perfecto, en el espacio interestelar, así como a través de capas de aire o gases a temperaturas normales. Las ondas electromagnéticas, acorde a su longitud de onda, pueden clasificarse en varias clases y de ellas una sola produce energía térmica y es la correspondiente a los rayos infrararrojos o calóricos. La tabla siguiente nos muestra la clasificación más usual de las ondas electromagnéticas.

Ondas o Rayos Longitud de onda (micra) Cósmicas 1 x 10 -6

Gamma 1 a 140 x 10-6

Equis 6 a 100.000 x 10-6

Ultravioleta 0.014 a 0.4

Visibles o Luz 0.4 a 0.8

Infrarojas 0.8 a 400

Radio 10 a 30 x 10-6

Tabla 4 Clasificación Ondas Electromagnéticas


155

Tanto los rayos infrarrojos como la luz son fenómenos electromagnéticos y obedecen a las mismas leyes, es decir los rayos infrarrojos y la luz, se propagan en línea recta y son absorbidos o reflejados, etc.

La energía térmica irradiada por una superficie aumenta al incrementarse la temperatura de la misma y la energía radiante es continua y abarca prácticamente todas las longitudes de onda, desde cero hasta infinito; sin embargo, la mayor parte de la energía se encuentra en una zona o franja cuyas longitudes de onda van entre 0,3 y 300 micras aproximadamente. Y en este rango la mayor proporción corresponde a radiación térmica, en tanto que la visible es casi despreciable.

No todos los cuerpos irradian la misma tasa de energía para los mismos niveles de temperatura y teóricamente se ha definido al cuerpo que irradia la máxima cantidad de energía térmica como cuerpo negro, sin que ello tenga que ver con el color de los cuerpos.

3.1 Cuerpo negro Se define como cuerpo negro, aquella sustancia que irradia la máxima cantidad posible de energía a una temperatura dada. Como tal, actualmente no existe sustancia física alguna que sea un perfecto cuerpo negro. El término no implica que la sustancia sea de color negro.

Al considerar los rayos visibles o la energía térmica asociada con los rayos visibles de la luz, sustancias negras mate, se aproximan a los cuerpos negros, y aquellas de colores claros se desvían ampliamente de ellos, tomándose esta aproximación como el origen del nombre.

Cuando sólo es considerada la energía térmica irradiada, el color del cuerpo nada tiene que ver con su aproximación al cuerpo negro.

Una definición práctica de cuerpo negro es el interior de un espacio cerrado que se mantiene en su totalidad a temperatura constante.

Un cuerpo negro práctico y para fines experimentales se elabora con un tubo de carbono sellado en sus extremos y con un pequeño orificio para observaciones y mediciones en el centro de uno de sus extremos.

Puede considerarse que la energía que escapa, por el orificio es prácticamente despreciable.

El interior de un horno, cuando se encuentra a temperatura constante y es observado a través de una pequeña abertura, puede considerarse como cuerpo negro y si la temperatura en todo el espacio interior es uniforme, todos los objetos que se encuentran en este espacio pueden considerarse como cuerpos negros


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3.2 Energía radiante emitida La energía radiante emitida por un cuerpo negro, por unidad de área, por unidad de tiempo en función de la longitud de onda de la radiación λ a temperaturas diferentes, se observa en la figura 1-48.

FIGURA 1-48 Energía radiante en función de longitud de onda

Las curvas nos muestran como a mayor temperatura la emisión es mayor. Cada una de las curvas crece rápidamente hasta alcanzar un máximo para


157

longitudes de onda relativamente bajas, luego decrece asintóticamente hasta valores de cero en grandes longitudes de onda.

La unidad de medida para la radiación emitida, se basa en el hecho de que una unidad de área produce radiaciones en todas las direcciones a través de un hemisferio cuyo centro es el elemento de área.

La radiación emitida recibe el nombre de poder radiante monocromático cuyo símbolo es

Eλ, y es especifico para una longitud de onda λ dada.

FIGURA 1-49 Radiación emitida por un elemento de área

En la práctica este valor se determina efectuando la integración gráfica de las curvas representadas en la figura 1-49.

Las unidades de: Eλ son Kcal / hr m2 o BTU/hr ft2

Eb son Kcal / hr m2 o BTU/hr It2

Igualmente se emplean W/m2µ y W/m2 (vatio por metro cuadrado por micrón y vatio por metro cuadrado) respectivamente.

La integral de la ecuación 1-157 lleva la expresión:

Eb = σ T4 (1-158)


158

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Expresión corroborada experimentalmente y que se denomina la ley de StefanBoltzmanm enunciada como:

La cantidad total de energía Irradiada, por un cuerpo negro es directamente proporcional a la cuarta potencIa de la temperatura absoluta del cuerpo.

σ es la constante de proporcionalidad conocida como constante de Stefan-Boltzmanm cuyos valores son:

σ = 0,56697 x 10-7 W/m2 0K4 = 0,1714 x 10-8 BTU/hr ft2 oR4

σ = 4,878 x 10-8 Kcal / m2 hr 0K4

EJEMPLO 48 Un cuerpo negro se encuentra a 40000R. Determine:

- El poder radiante monocromático E para longitud de onda λ igual a 2 micrones.

-El poder radiante total Eσ en los dos sistemas de unidades.

Solución: Acorde a la figura la curva de temperatura de 40000R para λ = 2 nos da un valor de:

Eλ = 105 BTU/hr It2 = 3,2 x 106 W/m2

- Aplicando la ecuación de Stefan-Boltzmanm y considerando que 4000°R = 2222 °K

Eb = σT4 = 0,56697 x 10-7 W/m2 hr0K4 x (22220K)4 = Eb = 1,382x10 5 W/m2 hr

Eb = 0,1714 x 10-8 BTU/hrft2 0R (40000R)4 = Eb = 4,388 x 105 BTU/hr ft2

Resp: 1,382x106 W/m2 hr 4,388 x 105 BTU/hr ft2

EJEMPLO 49 Determinar el poder emisivo total Eb para un cuerpo negro:

- a 1.0000F a 1.0000C

Solución: Para determinar Eb , se tienen los valores de:

- σ = 0,1714x 10-8 BTU/hrft2 0R4


159

T = 1.000 + 460 = 1.4600R luego

Eb= 0,1714 x 10-8 (1.460)4 = 7.788 BTU/hr ft2 Tomando como

σ = 0,56697 x 10-7 W/m2 0K4

T =1.000 + 273 = 1.273oC

Eb = 0,56697 x 10-7 (1.273)4 = 148.893 W/m2

Resp: 7.788 BTU/hr ft2 148.893 W/m2

FIGURA 1- 50 EJEMPLO 50 Para un cuerpo negro mantenido a 20000R determinar:

- Poder o potencia radiante total.

- Longitud de onda para la cual la potencia emisiva monocromática o poder radiante monocromático es máximo.

- La potencia emisiva monocromática máxima.


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Solución: Se pide determinar Eb conociendo T = 2.0000R, luego

Eb =σT4 = 0,1714 x 10-8 x 2.0O04 =27.424 BTU/hrft2 - Para encontrar λ de la figura 1-50, se debe extrapolar la curva 2.5000R hacía la parte inferior de la figura y tener una curva de 20000R. Se tiene λmax = 2,6

- Emax , obtenida de la misma curva nos da Emax = 0,8x104 BTU/hr ft2 µ

Resp: 0,8x104 BTU/hr ft2 µ La longitud de onda para la potencia emisiva monocromática λmax que corresponde al máximo de las curvas de energía radiante se ha determinado gráficamente uniendo por una línea los máximos obteniéndose una curva, (figura 1-50) cuya ecuación es:

λmaxT = 897,6 µm0K = 5.215,6 µm0R (1-159)

La ecuación 1-159 corresponde a la llamada ley de Desplazamiento de Wien, como se aprecia en las gráficas, el valor máximo del poder emisivo monocromático se desplaza hacia las longitudes de onda más cortas, cuando la temperatura aumenta, de ahí, la ley del desplazamiento.

Para el ejemplo 50, acorde a la fórmula:

5.215,6 µm 0R λmax = ------------------------ =2,6 µm 20000R

los cuerpos reales a una temperatura dada tienen una emisividad o poder radiante inferior a la de un cuerpo negro a la misma temperatura.

La relación de energía emitida por un cuerpo y la energía emitida por un cuerpo negro a una temperatura dada se denomina emisividad ε y el poder radiante se expresa por la ley de Stefan Boltzmanm así:

E = ε σ T4

ε siempre tiene valores inferiores a 1 y aumenta generalmente con la temperatura, sólidos diferentes a metales poseen emisividad entre 0,65 y 0,95, los metales pulidos tienen valores muy bajos, entre 0,03 y 0,08 en tanto que metales oxidados tienen valores de 0,6 a 0,85. En la tabla siguiente aparecen algunas emisividades.


161

SUPERFICIE T OF ε ALUMINIO placa comercial 212 0,09

placa pulida 440 - 1070 0,039 - 0,057

COBRE pulido 212 0,052

ORO puro 440 - 1160 0,018 - 0,034

ACERO pulido 212 0,066

HIERRO pulido 800- 1880 0,14 - 0,38

ACERO dulce 450 - 1950 0,20 - 0,32

PLOMO puro 260 - 440 0,057 - 0,075

OXIDO DE MAGNESIO 530 - 1520 0,55 - 0,20

METAL MONEL 390 - 1110 0,41 - 0,46

NIQUEL pulido 212 0,072

PLATINO puro 440- 1160 0,054 - 0,104

PLATA pura pulida 440 - 1160 0,020 - 0,032

ACERO INOXIDABLE pulido 212 0,074

301 450 - 1725 0,054 - 0,064

ESTAÑO 76 0,043

HIERRO GALVANIZADO 82 0,023

CARBONDEASBESTO 74 0,96

LADRILLO ROJO 70 0,93

LADRILLO ROJO de arciila refractaria

1832 0,75

CONCRETO LOZAS 1832 0,63

ESMALTE BLANCO 66 0,90

VIDRIO LISO 72 0,94

PORCELANA 72 0,92

CAUCHO DURO 74 0,94

AGUA 32-212 0,95-0,963

Tabla 5 Emisividad ε normal total de algunas superficies

EJEMPLO 51


162

162

Calcular el poder radiante total para una lámina pulida de aluminio que se encuentra a 8320F.

Solución: De la tabla anterior e interpolando para 8320F

ε = 0,050 y como E = εT4

E = 0,050 x 0,1714 x 10-8 x (1292)4 = 238 BTU / hr ft2

Resp: 238 BTU / hr ft2 1.4.3 Energía radiante absorbida Los cuerpos que se interponen en la trayectoria de una radiación la interceptan y pueden absorber una parte de ella, transmitir otra y reflejar una tercera parte.

La fracción de radiación reflejada, por el cuerpo se llama Reflectividad o Coeficiente de Reflexión y se presenta por ρ; la parte transmitida se denomina Transmisividad y su símbolo es τ. La absorbida o absortividad, es representada por la letra α.

El total de energía que incide sobre el cuerpo es igual a la suma de las tres y tomando coeficientes:

ρ + τ + α = 1 (1-160) La energía neta en un cuerpo, es decir la ganada o perdida es la diferencia entre la energía emitida por el cuerpo y la absorbida por él, debido a la radiación de otros cuerpos.

Recordando que los cuerpos calientes pierden más rápidamente energía que los fríos y a la vez estos reciben más rápido de lo que pierden, la temperatura de los cuerpos calientes desciende y la de los fríos aumenta, y el proceso llega a un estado de equilibrio cuando logran la misma temperatura. En este caso α = ρ , para cada cuerpo.

La Ley de Kirchhoff es una importante generalización relacionada con el poder radiante para dos cuerpos y establece que las emisividades o poder radiante de dos cuerpos que están dentro del mismo sistema son proporcionales a sus absortiviadades.

-E1 E2 (1-161) -------- = --------- α1 α2 Siendo E1 y E2 los poderes radiantes totales y α1 y α2 los coeficientes de


163

absorción de los dos cuerpos.

La ley de KIRCHHOFF, también puede expresarse que para un cuerpo en equilibrio con sus

alrededores los coeficientes de absorción y emisividad son iguales.

Cuando una radiación incide sobre un cuerpo una fracción es reflejada, ρ y el resto 1 - ρ es absorbida y transmitida al penetrar en el cuerpo. En la mayoría de los sólidos a excepción del vidrio, ciertos plásticos cuarzo y algunos minerales, la fracción de radiación que penetra es absorbida en su totalidad de tal forma que τ = 0 y la radiación que no es reflejada se absorbe en una capa muy delgada y superficial del cuerpo.

FIGURA 1-51 Los cuerpos cuyo coeficiente α tienen valores cercanos a la unidad reciben el nombre de cuerpos opacos y, como en el caso del cuerpo negro, no tienen ninguna relación con el color físico del cuerpo.

Tanto los coeficientes de absorción como los de emisividad dependen de las longitudes de onda de la radiación. Para algunos cuerpos se supone que el coeficiente de absorción es el mismo para todas las longitudes de onda y el cuerpo recibe el nombre de cuerpo gris.


164

164

En la práctica la mayor parte de los cuerpos no son grises y sus coeficientes de absorción varían con la naturaleza de la radiación incidente. Para superficies metálicas pulimentadas, dicho coeficiente de absorción puede expresarse de acuerdo con la ecuación.

α = K1 ( T1 T ) 1/2 (1-162) Siendo K una constante

La figura 1-51 muestra los coeficientes de absorción para algunos materiales en función de la temperatura del manantial.

EJEMPLO No. 52

Una lámina de aluminio pulimentada está enfrentada a una pared pintada con esmalte blanco. Determinar el poder radiante por m2 de la pared y del aluminio, cuando el sistema se encuentra a 1.000 0K.

Solución : De la figura 1-51 para T = 1.000 0K, el coeficiente de absorción es para el aluminio 0,11 en tanto que el esmalte blanco tiene α2 = 0,9. Puesto que el sistema está en equilibrio

α1 = ε1 y α2 = ε2

E1 = ε1 σ T4 = 0,11 x O,56697 x 10-7 x 1.0004 = 6.237 W/m2

E2 = ε1 σ T4 = 0,90 x 0,56697 x 10-7 x 1.0004 = 51.027 W/m2

Resp: 6.237 W/m2 51.027 W/m2

Sería de esperar que el poder radiante fuese igual para las dos superficies; sin embargo, en la práctica las sustancias emiten esta cantidad de radiación solamente hacia un espacio vacío que se encuentre a temperatura del cero absoluto.

El problema de radiación más sencillo, que se presenta es entre dos superficies negras en que cada una de ellas ve completamente a la otra y se encuentran a diferente temperatura. La radiación emitida por la superficie que se encuentra a T1 será E1 = σ T1

4

Y es absorbida en su totalidad por la superficie 2, cuya radiación

E1 = σT24

Es absorbida en su totalidad por la superficie 1 suponiendo que T1 > T2 la energía neta perdida por la superficie 1 ó la energía neta ganada por la


165

superficie 2 será:

E = σ (T14 - T2

4) (1-163) En la práctica y en razón de que las superficies normalmente no se enfrentan perfectamente la ecuación se transforma:

E = σ F (T14 - T2

4) (1-164) Donde F es un factor geométrico adimensional, llamado factor de visión o factor de ángulo el cual depende de la geometría de las dos superficies, de su mutua relación espacial, de la superficie elegida y de la distancia entre las superficies. Acorde con las relaciones establecidas entre dimensiones de las placas y a su distancia se han determinado curvas para establecer F como se aprecia en las figuras 1-52 y 1-53. La energía emitida en forma de calor o radiación de una superficie negra hacia otra igualmente negra se calcula por la ecuación:

E = σ T14 - F21 αT2

4 (1-165) Siendo T1 la temperatura del cuerpo o superficie emisora, T2 la temperatura de la superficie receptora y F21 el factor geométrico adimensional establecido en las gráficas 1-51 y 1-52. Para superficies grises y en el supuesto de que T1 > T2 la energía radiante neta irradiada, por la superficie 1 a la 2 será:

E = σ ε1 T14 - σ F21 σ1T2

4 (1-166)

EJEMPLO 53 Para el caso del ejemplo 52 asumiendo que la pared se encuentra a 5000K y el factor de visión de la pared hacia la placa de aluminio es de 0,87, determinar la energía irradiada por el aluminio.

Solución: Para aplicar la ecuación 1-166

σ = 0,56697 x 10-7 W/m2 0K4

ε = 0,11

T1 =1.0000K

α1 = 0,1 (de la figura 1-51)

T2 = 5000K

F21 = 0,87, Reemplazando valores en la ecuación

E12 = 0,56697 x 10-7 (0,11 x 1.0004 - 0,87 x 0,1 x 5004) E12 = 5.928 W /m2

Resp: 5.928 W /m2


166

166

Para facilitar los cálculos en las ecuaciones 1-163 , 1-164 y 1-165 puede tomarse el valor de la constante multiplicada por 10 y los valores de temperatura divididos por 100 para suprimir el factor 10-7 al emplear la constante 0,5669 x 1 0-7 así para el ejemplo:

E12 = 5,6697 0,11 x (1000/100)4 - 0.87 x 0.1 (500/100)4

E12 = 5,6697 (0,11 x 10+4 - 0,87 x 0,1 x 625] = 5,6697 [1100 - 54,375] = 5.928 W / m2

EJEMPLO 54 Dos láminas rectangulares de 5 x 10 pies están paralelas y puestas direc-tamente a 10 pies. Asumiendo que son cuerpos negros y la lámina 1 está a 2000F en tanto que la 2 se encuentra a 6000F.

Determinar:

- La energía radiante neta.

- La tasa neta de transferencia de calor.

- La tasa neta de transferencia de calor de la superficie 1.

Solución: - Para aplicar la ecuación específica de los cuerpos negros, ecuación 1-164 debe determinarse el factor F. Acorde a los datos del problema y referidos a la figura 1-52

β = 10/10 = 1 y γ = 5/10 = ½ = 0.5 Con estos valores observando la gráfica 36 se tiene: F = 0,12

Aplicando la ecuación 1-164 con:

T1 =(600+460)= 1.060 0R

T2 = (200 +460) = 660 0R

E = 0,1714 x 10-8 x 0,12 (1.0604 - 6604) = 220,6 BTU/hrm2

- La tasa neta de transferencia de calor q será igual a la energía radiante neta, por el área

q = EA = 220,6 x (5 x 10) = 11.030 BTU/hr

- La tasa neta de transferencia de calor de la superficie 1 será:

q = EA = A ( σT41 - F σT4

2) q = (5 x 10) (0,1714 x 10-8 [6604 - 0,12 x 10604])

q = 3.278 BTU/hr


167

Resp: 220,6 BTU/hr m2 11.030 BTU/hr 3.278 BTU/hr


168

168

FIGURA 1-52


169

FIGURA 1-53 Factores de visión en cilindros concentricos


170

170

1.5 Transferencia de calor combinada por conducción convección y radiación Los cuerpos calientes ceden calor a sus alrededores simultáneamente por conducción, convección y radiación. La transmisión de calor que para un cuerpo caliente se traduce en pérdidas se realiza por cada uno de los mecanismos ya estudiados y se efectúa en forma simultánea de tal forma que las pérdidas totales serán la suma de las pérdidas por conducción-convección más las pérdidas por radiación.

Asumiendo que los alrededores de un cuerpo caliente son cuerpos negros, las pérdidas de calor del cuerpo caliente serán:

qT / A = qc / A + qr/A = h (T1 - T2) + σ ε (T42 - T4

1) | (1-167) Siendo:

qT = tasa total de transferencia de calor

qc = tasa de transferencia de calor, por conducción-convección

qr = tasa de transferencia de calor por radiación

A = Area superficial del cuerpo caliente h = Coeficiente de transmisión de calor

ε = Emisividad de la superficie del cuerpo

σ = Temperatura de la superficie

T1 = Temperatura de la superficie

T2 = Temperatura de los alrededores

El manejo de esta ecuación se ha tenido en forma parcial en secciones anteriores y las correcciones que sobre ella se efectúan están de acuerdo con consideraciones ya expuestas en cada uno de los estudios relacionados con los medios de transferencia de calor.


171

1-6 LECTURA COMPLEMENTARIA Tomada de KERN DONALD - Transferencia de calor. - - Mc Graw-Hill, 1964

Experimentación y correlación. Supóngase que se dispone de un aparato experimental del diámetro y longitud conocidos y a través del cual se podría circular líquido a varios gastos medibles. Supóngase, además, que se equipo con aditamentos especiales para permitir la medición de las temperaturas del líquido a la entrada ya la salida, así como la temperatura de la pared del tubo. El calor absorbido por el líquido al fluir a través del tubo sería idéntico con el calor que pase hacia el tubo a direcciones en ángulo recto con su eje longitudinal, o

Q = wc (t2 - t1) = h1Ai ∆ti (3.3.7)

De los valores observados en el experimento y del cálculo de Ati como se indica en la ecuación (3.3.7) , hi puede computarse de

hi = wc (t2 - t1) / Ai ∆ti

El problema que se encuentra en la industria, comparado con el experimento, no es determinar hi sino aplicar valores experimentales de hi para obtener Ai, la superficie de transferencia de calor. El diagrama de flujo ordinariamente contiene balances de calor y de material acerca de los varios items de equipo que componen el proceso. De estos balances se obtienen las condiciones que debe llenar cada parte si el proceso debe operar como una unidad. Así, entre dos puntos en el proceso, puede requerirse aumentar la temperatura de cierto flujo de líquido dado desde t1 a t2, mientras que otro fluido se enfría de T1 a T2. La pregunta en los problemas industriales es determinar cuanta superficie de transferencia de calor se requiere para llevar a efecto estas condiciones de proceso. La pista podría hacerse presente en la ecuación (3.38)

dQ = hi dAi ∆ti Q = h1Ai (∆t2 - ∆t2) / In ( ∆t2 / ∆ti) (3.38)

Excepto que no únicamente Ai sino hi también son desconocidas, a menos de que se hayan establecido por experimentos anteriores para idénticas condiciones.

Para preparar la solución de problemas industriales, no es práctico correr experimentos con todos los líquidos y bajo una variedad infinita de condiciones experimentales, para tener los valores numéricos de hi disponibles. Por ejemplo, hi diferirá para un mismo peso de líquido que absorba idénticas cantidades de calor cuando los valores numéricos de t1 y t2


172

172

difieran, puesto que las propiedades del líquido están relacionadas a esas temperaturas. Otros factores que afectan a hi son aquellos encontrados en el análisis dimensional, tales como la velocidad del liquido y el diámetro del tubo a través del que ocurre la transferencia de calor. Es aquí, donde la importancia de las ecuaciones obtenidas mediante el análisis dimensional se hace evidente. Si los valores de los exponentes y coeficientes de las ecuaciones adimensionales para condiciones extremas de operación son establecidos mediante experimentos, el valor de hi, puede ser calculado para cualquier combinación intermedia de velocidad, tubería y propiedades del líquido, a partir de la ecuación dada.

Un aparato típico para la determinación del coeficiente de transferencia de calor para líquidos que fluyen dentro de tuberías o tubos, se muestra en la figura 3.7. La parte principal es el intercambiador de prueba, que consiste de una sección de tubería de prueba encerrada por un tubo concéntrico. El ánulo usualmente se conecta de manera que permita la condensación del vapor, en experimentos de calentamiento de líquidos, o la circulación rápida de agua en experimentos de enfriamientos de líquidos. El intercambiador auxiliar se conecta para efectuar la operación opuesta de la sección de prueba, y enfría cuando la sección de prueba es usada para calentar. Para experimentos de calentamiento, el líquido frío del depósito se recircula al circuito por medio de una bomba centrífuga. Se incluye una línea de derivación en la descarga de la bomba para permitir la regulación del flujo a través del medidor. El líquido pasa entonces a través del aditamento medidor de temperatura, tal como un termómetro o termocupla calibrado, donde se obtiene t1; t2 se toma a cierta distancia en la tubería antes de la sección de prueba, de manera que el aditamento para medir la temperatura no tenga influencia en los remolinos de convección en la sección de prueba propia-mente dicha. Luego el líquido pasa a través de la sección de prueba y un tramo de tubo sin calentar antes de mezclarse y de que se registre la temperatura t2. Las extensiones sin calentar del tubo de prueba se conocen como secciones amortiguadoras. Después, el líquido pasa a través del enfriador donde su temperatura se cambia a t1. El ánulo de la sección de prueba se conecta a una purga de condensado calibrada, cuyos tanques sirven para chequear el balance de calor midiendo el vapor, Dowtherm (un fluido que permite alcanzar altas temperaturas de vapor a presiones considerablemente menores que las obtenidas con el vapor) u otra cantidad de vapor. La presión del vapor se puede ajustar mediante una válvula reductora de presión, y en el caso de que el vapor de calentamiento no tenga una curva de temperatura, presión de saturación, bien establecida, los termocuplas o termómetros pueden insertarse en la coraza.


173

La temperatura de la superficie exterior del tubo calentado es obtenida insertando cierto número de termocuplas en la superficie del tubo y registrando su temperatura promedio. Los termocuplas pueden calibrarse circulando aceite precalentado a través del tubo, mientras que el ánulo fuera del tubo de prueba se mantiene al vacío.

La temperatura en el exterior de la superficie del tubo de prueba puede entonces calcularse a partir de la temperatura uniforme del aceite precalentado después de corregir por la caída de temperatura a través de la pared del tubo y calibrar la temperatura contra fem mediante un potenciómetro. Las terminales de los termocuplas de la superficie del tubo tienen su salida a través de los empaques de la sección de prueba.

La ejecución del experimento requiere la selección de una temperatura inicial del depósito t1, la que puede alcanzarse recirculando el líquido a través del intercambiador a gran velocidad hasta que el líquido en el depósito alcance la temperatura deseada. Se selecciona un gasto dado y se recircula agua a través del enfriador, de manera que la temperatura del aceite que vuelve al depósito es también la t1. Cuando las condiciones estables de t1 y t2 persistan por cinco minutos o más, se registran las temperaturas t1 y t2 junto con el gasto, las lecturas de los termocuplas de la superficie del tubo y el incremento en el nivel del condensado durante el intervalo de prueba. Con aparatos versátiles y usando buenas válvulas reguladoras, un experimento de esta naturaleza se puede llevar a efecto en menos de una hora.

Varios puntos importantes deben tomarse en cuenta en el diseño del aparato experimental si se esperan resultados consistentes. Las cubiertas al final de la sección de prueba no deben conectarse directamente al tubo de prueba, puesto que actúan como colectores de calor. Si tocan el tubo de prueba en un contacto metal-metal, añaden grandes cantidades de calor en secciones


174

174

locales. Para prevenir inexactitudes para esta fuente, las tapas y el tubo de prueba deberán estar separados por un estopero no conductor. Otro tipo de error resulta de la acumulación de aire en el Anulo, lo que previene la condensación libre de vapor en el tubo de prueba. Esto usualmente se detecta si hay una falta de uniformidad en las lecturas de los termocuplas de la superficie del tubo y de los termocuplas del Anulo cuando se emplea este último. Esto puede evitarse proveyendo el aparato con una purga para eliminar el aire entrampado. Los problemas relacionados con la instalación y calibración de los termocuplas y termómetros se pueden consultar en varias fuentes. Lo mismo es verdad respecto a las ecuaciones para corregir el flujo de fluido a través de orificios estandar cuando las propiedades del líquido varían.

Evaluación de una ecuación forzada a partir de datos experimentales. Como un ejemplo de correlación, se dan en la tabla 3.3 datos obtenidos por Morris y Whitman en el calentamiento de gasoleo y straw oil con vapor en un tubo de 1/2 plg IPS, con una longitud de calentamiento de 10,125 pies.

Los datos de viscosidad se dan en la figura 3.8 y se toman de la publicación original. Las conductividades térmicas pueden ser obtenidas en la figura 1 y los calores específicos de la figura 4. Ambos se grafican en el Apéndice con grados API como parámetros. La conductividad térmica del metal fue tomada por Morris y Whitman constante a 35 Btu/ (h) (pie2) (0F/pie), aun cuando es más alto que el valor dado en el Apéndice Tabla 3.3. Unicamente las columnas 2,3,4 y 5 en la tabla 3.3 se observaron aquí.

t1 = temperatura del aceite a la entrada, 0F

t2 = temperatura del aceite a la salida, 0F

tw = temperatura de la superficie exterior del tubo promediada de los termocuplas w = peso del flujo, lb/h

El primer paso en la correlación de una ecuación de convección forzada, es determinar si los datos corresponden a flujo turbulento, de otra manera, tratar de correlacionar los datos mediante la ecuación (3.26) sería incorrecto. En la columna 11 han sido calculados los números Reynokls usando el diámetro y área de flujo de un tubo lPS de 1/2 plg que se pueden encontrar en la tabla 1.1. Las propiedades del fluido han sido encontradas a la temperatura media (t, + t2) / 2. Todos los números de Reynolds exceden de 2.100 en la región de flujo turbulento. La ecuación (3.26) está dada como

hi D / k = α (DG / µ)p (C µ / K)q


175

y α, t y q, pueden ser obtenidas algebraicamente tomando los datos para tres puntos de prueba.

Solución algebraica. Este método de correlación se demuestra tomando tres puntos B4, B12 y C12, en la tabla 3,3, lo cual incluye un gran margen de hi.D/k, DG/µ y cµ/k calculados de flujo y propiedades del fluido y que se tabulan en las columnas 9, 11 y 12.

hi D / k = α (DG / µ)p (C µ / K)q

C12: 191 = α (10,200)P (57,8)q B12: 356 = α (25,550)P (32.9)q

B4: 79.5 = α (4,620)P (41,4)q

Tomando logaritmos de ambos lados,

C12:2.2810 =log α +4.0086p + 1.7619q

B12: 2.5514 = log α + 4.4065p + 1.5172q

B4: l.9004=log α + 3.664p+ 1.6170q

Eliminando las incógnitas una por una se obtiene α = 0.00682, p = 0,93 y q = 0,407, la ecuación final es


176

176

hi D / k = 0.00892 (DG / µ)0.93 (C µ / K)0.407

Cuando la ecuación se va a usar frecuentemente, puede simplificarse fijando q como la raíz cúbica del número de Prandtl y resolviendo los nuevos valores de α y p. La ecuación simplificada será

hi D / k = 0.00892 (DG / µ)0.965 (C µ / K)1/2

Solución gráfica. Para correlación dc un gran número dc puntos el método gráfico es preferible. Escribiendo la ecuación 3.26

hi D / k (C µ / K)q = α (DG / µ)p (3.39)

que es una ecuación dc la forma

y = α xp (3.40) Tomando logaritmos de ambos lados

log y = log α + p log x

la cual se reduce en coordenadas logarítmicas a una ecuación de la forma

y = α +px (3.41)

En coordenadas logarítmicas el grupo (hiD/k) (cµ/k)-q es la ordenada y en la ecuación 3.41, el número de Reynolds es x, p es la pendiente de los datos cuando se grafican y vs, x, y α es el valor de la intersección cuando

p log x = 0 la que ocurre cuando el número de Reynolds es 1.0. Para graficar valores dc j11 = (h1D/k) (cµ/k)-q , se debe suponer el exponente q. El valor más satisfactorio de estos valores supuestos será el que permita que los datos se grafiquen con la menor desviación de una línea recta

Se debe suponer un valor de k para una serie completa de experimentos, y jH se computa de acuerdo con esto. Este es un método más satisfactorio que la solución algebraica, particularmente cuando se correlacionan un gran número de pruebas de diferentes aceites y tuberías.

Si q se supone demasiado grande, los datos se esparcirán, cuando se grafican de y vs. x. Si q se supone demasiado pequeña, los datos no se esparcirán, pero darán una desviación grande produciendo una curva


177

(1)

Corrida No.

(2)

ω

(3)

T1

(4)

T2

(5)

Tω

(6)

Q

(7)

∆Ti

(8)

hi

(9)

hi D / K

(10)

G

(11)

DG/µ

(12)

rµ/k

(13)

ju = Nµ/Pr

(14)

jµ = Nµ/Pr

Bl 722 77.1 106.9 210.1 10,150 115.7 53.6 35.5 342,000

2,280 47.2 0.75 9.83

B2 890 77.9 109.3 209.0 13,150 112.6 71.4 48.3 421,000

2,825 46.7 0.99 12.85

B3 1056 86.6 117.6 208.9 16,100 104.0 94.5 62.3 501,000

3,710 43.3 1.44 17.75

B4 1260 89.8 121.9 208.0 19,350 98.5 120 79.5 5<37,000

4,020 41.4 1.92 23.0

B5 1497 91.6 123.3 207.5 22,700 96.0 14-1 95 709,000

5,780 40.7 2.33 27.7

B6 1802 99.1 129.2 207.2 26,200 88.5 181 120.5 864,000

7,140 38.7 3.12 35.5

B7 2164 102.3

131.7 206.0 30,900 84.7 223 147.5 1,026,000

8,840 37.7 3.91 44.0

B8 2575 106.5

134.3 206.4 35,000 80.3 266 176.5 1,220,000

10,850 36.5 4.83 53.2

B9 3265 111.5

137.1 205.0 41,100 74.2 338 223 1,548,000

14,250 35.3 6.32 68.0

B10 3902 113. 138.2 203.8 46,600 70.6 403 266.5 1,850,0 17,350 35.1 7.6.0 81.4


178

178

9 00

B11 4585 116.8

139.7 203.0 51,900 66.9 474 313 2,176,000

20,950 34.1 9.18 96.5

B12 5360 122.2

142.9 202.9 54,900 62.3 538 356 2,538,000

25,550 32.9 10.82 111.2

B13 6210 124.8

144.1 202.2 59,500 .59.1 6.15 407 2,938,000

30,000 32.7 12.43 127.5

Corridas de calentamiento de straw oIl 29.4 • API con vapor

C8 2900 100.0

115.4 206.3 20,700 95.8 132 87.5 1,375,000

3,210 133 0.66 17.2

C9 2920 86.7 99.3 208.0 16,800 112.7 91.1 60.4 1,387,000

2,350 170 0.34 10.7

C10 3340 101.7

117.6 206.0 24,800 92.9 163 108 1,585,000

3,820 129.5 0.83 21.4

Ch 3535 100.5

115.7 205.5 25,000 94.0 162 107.5 1,675,000

3,880 133.3 0.81 21.1

C12 3725 163.0

175.1 220.1 22,600 47.9 288 191 1,767,000

10,200 57.8 3.30 49.5

C13 3810 160.5

173.6 220.5 24,900 50.0 304 201.5 1,805,000

10,150 59.3 3.39 51.6

C14 3840 109.0

124.4 205.7 27,800 85.2 199 131.5 1,820,000

4,960 115 1.15 27.1

C15 4730 112.0

127.3 205.3 34,100 81.0 257 170 2,240,000

6,430 110 1.55 35.5


179

Cltj 5240 154.9

167.6 217.7 33,100 51.9 389 257.5 2,485,000

13,150 62.9 4.08 64.7

C17 5270 150.9

164.3 217.0 34,900 54.7 389 257.5 2,500,000

12,520 65.6 3.92 63.7

C18 5280 142.3

156.8 216.7 37,500 82.0 369 244 2,510,000

11,250 72.6 3.36 58.5

CiD 5320 132.3

148.1 215.9 40,600 70.2 353 234 2,520,000

9,960 81.5 2.87 54.1

C20 5620 118.8

133.1 <204.7 38,200 73.5 317 210 2,660,000

8,420 100.4 2.09 45.2

C21 6720 122.2

135.9 204.3 43,900 69.2 387 256 3,185,P00

10,620 95.6 2.88 56 9

C22 8240 124.1

137.0 204.4 47,900 67.3 434 287 3,905,(~00

12,650 93.3 3.08 63.~


Ing. VICTOR JAIRO FONSECA

180

180

Como paso preparatorio a una solución gráfica, la corrida El en la tabla 3.3, se computa completamente de los datos observados. La corrida B1 consiste de una prueba empleando gasoleo de 36.80 API en un tubo de 1/2 plg IPS.

Datos observados en la prueba:

Peso del gasoleo, w = 722 lb/h

Temperatura del aceite en la entrada, t1 = 77.10F Temperatura del aceite a la salida, t2 = 106.90F

Temperatura promedio de la superficie exterior del tubo, tw = 210.10F

Datos físicos y resultados calculados:

Carga térmica, Btu / h:

Temperatura promedio del aceite =77.1+106.9 / 2 = 92.00F

Calor específico promedio, c = 0.472 Btu/(lb) (0F)

Q = wc (t2 - t1) = 722 x 0.472(106.9 - 77.1) = 10 150 Btu/h

Temperatura del tubo en la superficie interna, tp: D.I. de tubo de 1,2 plg IPS = 0.62 plg; D.E. = 0.84 plg

Longitud, 10.125 pies; supeficie, 1.65 pie2

Conductividad térmica del acero, 35 Btu / (h) (pie2) (0F / pie)

Q por pie lineal, q = 10150 / 10.125 = 1007 Btu tp = tw - 2.3q / 2π k log D2 / D1 = 210.1 - 2.3 x 1007 / 2 x 3.14 x 35 log 0.84 / 0.62 = 208.7 OF

∆ti en expresión Q = hi Ai ∆ti:

Entrada, ∆t2 = 208.7 - 77.1 = 131.6 OF

Salida, ∆t1 = 208.7 - 106.9 = 101.8 OF ∆ti = LMTD = 131.6 - 101.8 / 2.3 log (131.6 / 101.8) = 115.7 OF

hi = Q / Ai ∆ti = 10.150 / 1.65 x 115.7 = 53.6 Btu / (h) (pie2) (OF)

La conductividad térmica del aceite se considerará constante a 0.078 Btu / (h) (pie2) (0F /pie)

Número de Nusselt, Nu = hi D / k = 53.6 x 0.62 / 0.78 x 12 = 35.5. adimensional


181

Masa velocidad, G = W / π D2/4 = 722 / (3.14 x 0.622) / (4 x 122) = 342000 lb/(h)(pie2)

La viscosidad de la figura 3.8 a 920F es 3.22 centipoisis [gramo-masa /1 00 (cm) (scg)] ó 3.22 x 2.42 = 7.80 lb/(pie) (h)

Número de Reynolds, Re = DG / µ = 0.62 / 12 x 342.000 x 1/ 7.80 = 2.280, adimensional

Número de Prandtl, Pr = c µ / k = 0.472 x 780 / 0.078 = 47.2, adimensional

Suponiendo valores de q de 1.0 y 1/3 respectivamente. Primer intento: jH~ = Nu/pr = 0.75 graficado en la figura 3.9

Segundo intento: jH = Nu!Pr1/3 = 9.83 graficado en la figura 3.10

Los valores del primer intento en los cuales la ordenada es jH = (hi D / k) / (c µ / k ) para un valor supuesto de q = 1, se grafican en la figura 3,9 donde resultan dos líneas distintas, una para cada aceite. El objeto de una buena correlación es proveer una ecuación para un gran número de líquidos, y esto puede alcanzarse ajustando el exponente del número de Prandtl. Suponiendo un valor de q = 1/3 y graficando la ordenada jH = (hi D / k) / (c µ / k )1/2 es posible obtener una sola línea recta como se muestra en la figura 3.10. Trazando la mejor línea recta a través de los puntos de la figura 3.10, la pendiente puede ser medida en la misma forma que en las coordenadas rectangulares, que en el caso particular presente se encuentra que es 0.90. Extrapolando la línea recta hasta que el número de Reynolds es 1.0, se obtiene a = 0.0115 en la intercepción. La ecuación para todos estos datos es



182

182

hi D / k = 0.0115 (D G / µ)0.90 (c µ / k )1/2 (3.42)

Un valor de q = 0.40 causaría menor inclinación y una desviación más pequeña. La correlación de estos datos no debe ser confinada al calentamiento o enfriamiento de líquidos separadamente. Es completamente posible combinar ambos tipos de datos en una sola correlación, llamada ecuación isotérmica de transferencia de calor, pero este procedimiento involucra consideraciones adicionales que se diferirán hasta el capítulo 5.

Proceso Intervalo de valores de h

Kcal/m2 hr OC BTU / ft2 hr OF Vapor de agua

(condensacióm por gotas) 25000 - 10000

5000 - 20000

Vapor de agua (condensación por

películas)

5000 - 15000

1000 - 3000

Condensación de vapores orgánicos

1000 - 2000

200 - 400

Agua (calentamiento)

250 - 15000

50 - 3000

Aceites (calentamiento o enfriamiento)

50 - 1500

10 - 300

Vapor de agua (recalentado)

25 - 100

5 - 20

Aire (calentamiento o enfriamiento)

1 - 50

0.2 - 10


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Tabla 4 Coeficientes individuales de transferencia de calor

METAL K BTU / hr pie OF Cp ρ α

320F 640F 2120F BTU/IboF IbIpIe pIe2/h

pIe2/h

Acero 26,5 26,2 26,0 0,110 450 0,45

Acero (1% carbono)

26,5 26.2 25,9 0,110 488 0,15

Acero INOX 304 8,0 8,3 9,4 0,110 488 0,15

AcerolNOX3l6 8,0 8,3 9,4 0,110 488 0,15

AceroINOX347 8,0 8,3 9,3 0,110 488 0,15

AcerolNOX43O 13,2 13,2 13,2 0,110 488 0,15

Aluminio 117,0 117,0

119,0 0,208 170 3,33

Bronce (70,30) 56,0 57,0 60,0 0,082 540 0,34

Cobre 224,0 222,0

218,0 0,091 558 4,42

Estaño 36,0 35,3 34,0 0,055 458 1,5

Hierro (PURO) 42,5 40,0 37,0 0,110 474 0,63

Hierro aleado 32,0 31,4 30,0 0,100 455 0,66

Hierro fundido 35,0 34,9 34,6 0,100 491 0,7

Magnesio 102,0 102,0

101,0 0,232 109 3,6

Mercurio 4,8 5,2 7,0 0,034 848 0,17

Níquel 36,0 35,4 34,0 0,106 556 0,92

Oro 165,0 169,0

170,0 0,030 1203 4,68

Plata 242,0 241,0

238,0 0,056 655 6,57

Plomo 21,0 20,0 19,0 0,030 705 0,95

Zinc 65,0 64,7 64,0 0,051 446 1,6



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Tabla 5 Propiedades de los metales

SUSTANCIA T Cp ρ K1 OF OC BTU / lbm -

OF lbm / pie3 BTU / lbm -

pie Estructurales

Asfalto

68

20

0.38

39.5

0.43

Baquelita 68 20 0.534

Ladrillos

Corrientes

68

20

0.20

100

0.40

de fachada 68 20 128 0.76

1110 600 10.7

de Carborundo 2550 1400 6.4

392 200 1.34

crómicos 1022 550 0.20 188 1.43

1652 900 1.15

de tierr diatomácia 400 205 0.14

(refractarios) 1600 870 0.18

de arcilla refractaria 932 500 074

1472 800 0.23 145 0.79

2012 1100 0.81

magnesita 400 205 2.2

1200 650 0.27 1.6

2220 1205 1.1

Cemento portland 94 0.17

Cemento mortero 75 24 0.76

Concreto 68 20 0.21 119 - 144 0.47 - 0.81


185

Aislantes

Asbesto

-328 -200 0.043

32 0 29.3 0.090

32 0 0.087

212 100 0.110

Asbesto 392 200 36.0 0.120

752 400 0.129

-328 -200 43.5 0.09

Asbesto 32 0 0.035

Asbesto cemen 1.2

Hojas de asbestoto 124 51 0.096

Fieltro de asbesto 100 38 0.033

(40 láminas por pulgada 300 149 0.040

500 260 0.048

Fieltro de asbiesto 100 38 0.045

(20 láminas por pulgada)

300 149 0.055

500 260 0.065

Cartón corrugado 0.037

Cartón de bagazo 90 32 0.028

Cartón 80 30 10 0.025

Corcho molido 86 30 9.4 0.025

Tierra diatomácea 200 93 0.033

(pulverizada) 400 204 14 0.039

600 616 0.046

Carton aislante fibroso 70 21 14.8 0.028

20 -7 0.0217

Lana de vidrio 100 38 1.15 0.0313

200 93 0.0435



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20 -7 0.0179

Lana de vidrio 100 38 4.8 0.0239

200 93 0.0317

20 -70 0.0163

100 38 6 0.0218

200 93 0.0288

100 38 0.039

Magnecia 85% 300 149 0.043

400 204 0.046

20 -7 0.0150

200 93 16.9 0.041

Lana de roca (lana mineral)

100 38 40 0.0224

200 93 0.0317

20 -7 0.0183

Lana de roca (lana mineral)

100 38 12.0 0.0226

Vario Silice aerogel

248 120 8.5 0.03

Arcilla 68 20 0.21 91.0 0.739

Carbón, antracita 68 20 0.30 75 - 94 0.15

Carbón pulverizado 86 30 0.31 46 0.067

Algodón 68 20 0.31 5 0.034

Tierra gruesa 68 20 0.44 128 0.30

Hielo 32 0 0.46 57 1.28

Caucho duro 32 0 74.8 0.087

Acerrin 75 24 0.034

Tabla 5 Calor específico, densidad y conductividad térmica de algunos

materiales


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AUTOEVALUACION No. 1 1. Desarrolle su autoevaluación de entrada

2. Para el flujo de calor por conducción y serie de placas paralelas demuestre que la tasa de transferencia de calor (q/A) es proporcional en cada una de ellas a la respectiva caída de temperatura por el coeficiente de transferencia de calor sobre el espesor de la placa, es decir

q Ka

--------- = Ta ---------------

A Xa

3. Un horno industrial está construido con ladrillo refractario con coeficiente de transmisión de calor k = 0,6 BTU/hr ft0F. Siendo el espesor de la pared de 1 pie. La superficie exterior está aislada con una lámina de asbesto (K = 0,03 BTU/hr ft0F) de 0,1 pie de espesor. La temperatura interior del horno es de 20000F y la exterior del asbesto 1100F. Determine la transferencia de calor (en estado estacionario) por pie cuadrado. Elabore la respectiva hoja de cálculo

4. El máximo flujo de calor admisible para un horno de panadería es de 50 BTU/hr ft2. El ancho de la pared en ladrillo (K = 0,6 BTU/hrft 0F) es de 1 ft y su temperatura interior 6000F. Determine el grosor de una capa de aislante asbesto (K = 0,03 BTU/hr It 0F) para que la temperatura exterior sea de 60 0F.

5. Asumiendo en el problema anterior un flujo máximo admisible de 500 BTU/hr It2, calcule de nuevo el espesor de la pared.

6. Para los problemas 2 y 3 establezca la temperatura de la interfase para el asbesto. Elabore la hoja de cálculo

7. Una cava (cuarto de refrigeración) tiene muros compuestos de una capa



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de 3 mm de espesor en lámina galvanizada con K = 42 BTU/hr ff2 0F, una capa de 30 cms de poliuretano con K = 0,020 BTU/hr ft2 0F y una placa cemento-asbesto de 2 cms de espesor con K = 0,030 BTU/hr It2 0F. Determine el flujo de calor cuando la temperatura interior es de -950F y la exterior en la placa cemento-asbesto es de 700F, mediante la hoja de cálculo

8. Para el problema 7, elabore un perfil de temperaturas en función del espesor de las placas.

9. La pared de un túnel de cocimiento, esterilización de latas de sardinas está compuesta de una capa de aluminio de 1/2 cms de espesor, una hoja de asbesto de 1/4 cm de espesor y lana mineral de 2,0 cm de espesor. Determine el flujo de calor por unidad de área, cuando la temperatura exterior del aluminio es de 2300C y la exterior de la lana es de 300C. Elabore el respectivo perfil de temperatura.

10. Para el problema anterior, eliminada la capa de aluminio asuma temperatura exterior del asbesto a los 2300C establezca el nuevo flujo de calor. Teniendo en cuenta consideraciones de índole térmica, ¿se justifica emplear la lámina de aluminio? ¿Por qué?

11. Un laboratorio de control de calidad debe ser mantenido a 150C en tanto que el ambiente registra temperatura promedio de 320C . Las paredes del salón, cuyas dimensiones son 10 x 6 x 2,5, son de ladrillo común. Determine la capacidad del equipo de aire acondicionado que se requiere para mantener los 150C , si se asume que las pérdidas de frío por ingreso y estadía de personas en el salón son del 27%.

12. Un tubo de hierro de 4 pulgadas de diámetro está recubierto con una capa de asbesto de 1/2 pulgada de espesor, la cual se encuentra recubierta con una capa de lana de vidrio de 1 pulgada de espesor. Determine: a) La transferencia de calor por pie lineal cuando la temperatura del hierro (interior) es de 4000F y la exterior de la lana es de 1000F. b) La temperatura interfacial entre la capa de asbesto y la lana de vidrio.

13. En la resolución de problemas se ha asumido que los coeficientes de transferencia de calor por conducción o conductividades térmicas K son constantes. Sin embargo, K es variable y es función de las temperaturas de la placa. Puede emplearse un valor de km (conductividad promedio) acorde a la expresión


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Km = Ko (1 + b θm)

Siendo Ko la conductividad a una temperatura de referencia, θm la temperatura promedio de la placa y b una constante, a la vez :

θ1 + θ2 T1 + T2 θm = -------------------- = --------------- - Tref 2 2

Siendo θ1 y θ2 las diferencias de temperaturas de las paredes de la placa y la temperatura de referencia. Partiendo de la ley de Fourier q / A = dT / dY demuestre que el flujo de calor por conducción través de una placa plana es

q = ∆ T / (∆x / KmA ) = KmA ∆t / ∆x

14. Para un cilindro hueco de radio exterior r2 e interior r1 deduzca la reacción de transferencia de calor por unidad de longitud del cilindro en función de Km.

15. Para determinar la variación de conductividad térmica en función de la temperatura de una nueva aleación se estableció que ella es de 290,5 w/m 0K a 2000C y empleando una hoja de 1 cm de espesor se obtuvo un flujo de calor de 1,2 x 106 w/m2 cuando las temperaturas de las caras de la placa eran de 5000C y 3000C. Establezca la ecuación respectiva.

16. Para un equipo especial de transferencia de calor se emplearán tubos de la aleación descrita en el problema 15. Los tubos tienen radio interior de 1,2 cm y el exterior 2,0 cm, teniéndose previstas la temperatura interior de 4100C y exterior de 4000C . Determine la pérdida de calor por unidad de longitud.

17. En un caldero de cobre se permite el calentamiento de 22000 litros de agua-miel (densidad = 1,3 gr, calor específico 1,3 cal/gr)de 20 a 800C en 85 minutos. Para el calentamiento se emplea un serpentín de cobre de 6 pulgadas de diámetro y corno elemento calefactor vapor de agua a 30 psi. Determine la longitud del serpentín y la cantidad de vapor requeridos para el proceso, cuando los coeficientes de película y radios del tubo son:

h1 = 1500 BTU/hr pie 0F

h2 = 830 BTU/hr pie0F r1 = 3.03 pulgadas



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r2 = 3,31 pulgadas

18. En un ensayo de escaldado de guayaba se establecieron los parámetro relacionados adelante. Mediante una hoja de cálculo, estableza las cantidades de calor consumidas, el flujo de calor inicial, el flujo de calor final, flujo promedio de calor, coeficiente inicial y coeficiente final de película, tomando los siguiente datos:

Temperatura fuente de calor 300 0C (en contacto con la olla)

Peso de una olla de aluminio 350 gramos Calor especifico promedio 0,2 cal/gr 0C.

Conductividad térmica promedio 120 BTU / hr ft 0F

Diámetro de la olla 20 centímetros

Temperatura inicial 15 0C

Temperatura final promedio 93 0C

Peso de agua para escaldar 500 gramos Calor especifico promedio 1,0 cal/gr 0C

Conductividad térmica promedio 0,33 BTU / hr ft 0F



Agua evaporada 1,5%

Entalpia de Evaporación 979 BTU/lb Peso de guayaba a escaldar 1000 gramos

Calor especifico promedio 0,85 cal/gr 0C




Perdidas de calor 15% del calor consumido

Agua evaporada 1,5% Entalpia de Evaporación 979 BTU/lb

Peso de guayaba a escaldar 1000 gramos

Calor especifico promedio 0,85 cal/gr 0C




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Perdidas de calor 15% del calor consumido

CAPITULO 2

PROCESOS TERMICOS



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INTRODUCCION

La transmisión o transferencia de calor es la operación más aplicada en la industria de alimentos.

Prácticamente todo alimento sufre un proceso en que se involucra calor, aún en el manejo de productos crudos como el caso de verduras que se consumen tal cual, pero antes deben ser sometidas a un proceso de escaldado para inactivar enzimas.

La transferencia de calor puede realizarse en dos formas; la primera , única sin otras operaciones y la segunda acompañada de transferencia de masa.

Las operaciones térmicas en las cuales no se tiene transferencia de masa , reciben el nombre de procesos térmicos, que contemplan no solamente operaciones de elevación de temperatura sino aquellas que involucran bajas temperaturas o frío.

La esterilización, día tras día , toma un lugar relevante en la industrialización de los alimentos y aunque su aplicación data de siglo y medio atrás, continuamente se investiga sobre ella, dada la incidencia , en cierto grado adversa a las características organolépticas de los productos.

Las bajas temperaturas no solamente se están aplicando a operaciones de conservación sino para el manejo de muchos productos entre ellos las bebidas.

Los cambios de fase, siempre asociados a transmisión de calor, tienen aplicación bien como operación complementaria en la destilación, o como operación de conservación que involucra bajas temperaturas; la congelación, se constituye en operación necesaria a partir desde el mismo manejo de alimentos en el hogar, hasta proyecciones muy importantes en el manejo de alimentos listos o precocidos. también se constituye la congelación como etapa previa a otra importante operación especializada como es la liofilización.

Obligatoria es la congelación en una línea especial de productos, como son los helados y similares.


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OBJETIVOS

General - Conocer los principales procesos térmicos aplicados a la industria de

alimentos

Especificos

- Conocer los principios generales de la esterilización

- Conocer el mecanismo de la pasteurización

- Aplicar los mecanismos de transferencia de calor a los procesos de cambio de fase

- Realizar cálculos para establecer variables y parámetro térmicos en proceso a bajas temperaturas.

- Conocer los principios de la congelación y aplicarlos a la resolución de problemas.

- Elaborar hojas de cálculo para algunos procesos térmicos



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2.1 Esterilización La esterilización es un proceso físico en el cual se disminuye el contenido de bacterias o microorganismos, a tal nivel que desaparece el riesgo de deterioro de un producto y este puede ser conservado en sus condiciones fisicoquímicas durante mucho tiempo. Uno de los medios físicos más importantes empleados para esterilizar los alimentos, es el calor aplicado directa o indirectamente al producto en sí mismo o en un empaque en el que haya sido envasado previamente.

Si bien no existe una clara diferenciación entre los procesos de esterilización , por tratamiento térmico, se suele llamar pasterización al proceso que se lleva a cabo a temperaturas inferiores a 100 grados centígrados, en tanto que la esterilización se lleva a cabo por encima de los 100 grados centígrados.

La esterilización llevada a cabo a bajas temperaturas está basada en los estudios que hizo el científico francés Pasteur sobre contaminaciones bacteriales en vinos y cervezas una vez se envasaban estos producto. En honor a él se bautizó el proceso inicial de esterilización por calor y la llamada unidad de pasterización, que establece una relación tiempo-temperatura a la cual se ha definido como la permanencia de un producto durante un minuto a 60 O C. Cada producto para lograr una adecuada esterilización requiere de un número de unidades de pasterización, que a la vez depende de los microorganismos que pueden contaminar el producto.

Para la cerveza y vinos se ha establecido que 15 unidades de pasterización permiten darle estabilidad biológica al producto. En términos prácticos se debe llevar el producto a 60 O C y mantenerlos a esta temperatura durante 15 minutos. A más altas temperaturas se requiere menos tiempos

Existe lo que se llama pasterización instantánea o ultrapasterización en la cual se emplean temperaturas superiores a 100OC, pero en tiempo de residencia o de contacto térmico de pocos segundos. Igualmente se tiene esterilizaciones por ebullición, en productos que hierven por debajo de los 100 OC. Hoy es muy usual, para grandes volúmenes la ultrapasterización de leches, en un proceso que se lleva a cabo durante 3 segundos a 121 OC

Ajustándonos a la clasificación mencionada, la pasterización se lleva a cabo directamente empleando equipos de intercambio de calor como los tubulares, los de placas y recipientes


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FIGURA 57 Pasterizador de cerveza

con serpentines o camisas. Los primeros se utilizan para procesos continuos, en tanto que los segundos se emplean para pasterizaciones por cochada. En la figura 2-1 se aprecia la instalación para una pasterización de cerveza.

La pasterización indirecta se utiliza para los elementos envasados, en equipos que genéricamente se denominan esterilizadores. Un equipo específico de pasterización indirecta es el pasterizador de túnel, que permite un flujo continuo de los envasados. A medida que los recipientes avanzan en el túnel, duchas de agua caliente o vapor elevan progresivamente la temperatura del producto, hasta que llega a la pasterización acorde con las unidades de pasterización que requiere el producto; éste se mantiene durante el tiempo necesario a su temperatura de pasterización, para que luego, mediante duchas de agua fría, el producto se enfríe lentamente.



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Estos equipos son apropiados para grandes volúmenes de producción, en razón de la longitud que requiere recorrer el producto para sufrir lentamente los cambios de temperatura.

La figura 58 nos representa un diagrama de una pasterizadora para productos envasados en botellas de vidrio.

EJEMPLO 1 En la pasterización de cerveza, se ha establecido que las botellas de vidrio requieren 45 minutos para su calentamiento y enfriamiento con pasterización de 15 minutos. Una línea de envase produce 12.000 botellas por hora y cada botella tiene un diámetro de 6.5 cm. Determine las áreas del piso del túnel que se deben destinar a las zonas de calentamiento, pasterización y enfriamiento y posibles dimensiones del túnel.

Solución: Como el proceso total de pasterización emplea 45 minutos, el número de botellas que debe contener el túnel será:

n = (12000 x 45 ) / 60 = 9000 botellas

Una forma sencilla de calcular el área total requerida, es tomar las bases de las botellas como cuadrados, teniendo el diámetro como lado. Área equivalente botella = 6.52 = 42.25 cm2

Área total = (9000 x 42.25) / 1002 = 38 m2

Las dimensiones aproximadas tomando ancho 3.0 metros dará de lo largo 38/3.8 = 12.7 metros.

Como el proceso de pasterización demora 15 minutos es de esperar que el calentamiento y enfriamiento demoren 15 minutos y cada área será de 38/3 = 12.7 m2. En la práctica la cerveza entra a la pasterizadora a 0OC y sale del equipo entre 30 y 38 OC, luego los tiempos de calentamiento y enfriamiento son diferentes y , por consiguiente, las áreas también lo serán.

Podría esperarse hacer un calentamiento más rápido, pero el limitante es la resistencia del envase al choque térmico que causa la rotura del mismo.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Tomando el área real de la base de botella y un arreglo triangular en la disposición de la misma, con las consideraciones de temperaturas dadas anteriormente y temperatura de pasterización de 60 OC, recalcule de nuevo las áreas del equipo.


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FIGURA 58 Diagrama de pasteurización

La pasterización directa del producto tiene como ventaja el empleo de equipos sencillos, lo que se traduce en uso de menor espacio, menores servicios y menor costo de operación. Su desventaja es la extremada condición aséptica del área de empaque, para evitar que el producto pierda el efecto de pasterización, por contaminación del empaque o por manipuleo de envasado. La pasterización indirecta implica mayores costos de equipo, espacio y operación por riesgos de daños en los envases, pero asegura la completa pasterización del producto. En la esterilización directa se emplean recipientes abiertos o cerrados con elementos de calefacción fluidos calientes o resistencias eléctricas para pequeños volúmenes. El fluido más empleado para la esterilización es el agua en su forma líquida o gaseosa por su bajo costo, no produce olores o sabores contaminantes y sus propiedades termodinámicas excepcionalmente ventajosas. Últimamente se han desarrollado equipos basados en fenómenos electromagnéticos como esterilizadores por rayo x , rayos gamma, rayos ultravioletas, hornos microondas e irradiadores de partículas nucleares. No obstante estando todavía en etapas de experimentación, sus uso debe ser



198

198

cauteloso.

FIGURA 63

En la esterilización indirecta igualmente, se emplean recipientes abiertos y cerrados, operados estos últimos a presiones relativamente altas para favorecer la transmisión de calor, a través de los recipientes y lograr así la temperatura de esterilización para todo el producto.

Acorde al tipo de industria, disponibilidad del mano de obra y costos de operación se tienen esterilizadores discontinuos o de cochada y esterilizadores continuos.

Los esterilizadores discontinuos más comunes son las marmitas o autoclaves que pueden ser verticales u horizontales. . En la literatura se describe ampliamente los esterilizadores tanto discontinuos como continuos.

La termización es un proceso intermedio en el cual se busca mantener muy bajos los contenidos de bacterias y se aplican a productos de consumo prácticamente inmediato. Es un tratamiento aplicado en flujo continuo parecido a la pasterización, pero difiere en el tiempo de aplicación que es muy corto, del orden de 15 a 20 segundos con temperaturas de 60 a 65 0 c.

Un aspecto muy importante de tener en cuenta es la velocidad de penetración del calor en los envases; los productos no se calientan ni se


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enfrían rápidamente. La temperatura alcanzada en un producto depende del índice de penetración calórica, que a su vez depende del estado del producto, las condiciones del procesamiento técnico, la geometría del recipiente y aún la misma temperatura del medio calefactor. Los líquidos se calientan más rápidamente que los sólidos debido a los fenómenos de convección, ya que en los sólidos tiene lugar el fenómeno de conducción.

Se tiene una esterilización adecuada en los productos envasados, cuando se logra la temperatura de esterilización y se mantiene durante el tiempo requerido en el llamado punto frío del alimento. Para los líquidos en reposo y los sólidos, la figura 59 nos muestra el punto frío.

Estudios microbiológicos dan las pautas para establecer los tiempos y temperaturas de esterilización, parámetros requeridos para el cálculo de áreas de transferencia y requerimientos del elemento calefactor.

2.2. Condensación Para el cambio de fase vapor a líquido, llamado licuación o licuificación, se emplean intercambiadores de calor llamados específicamente condensadores. El cambio de fase para fluidos puros ocurre a una temperatura dada que es función de la presión del fluido; esta temperatura se conoce como temperatura de saturación o de equilibrio.

Generalmente en la industria, la vaporización o condensación de un fluido ocurre a presión constante y es un proceso isotérmico. Cuando el cambio de fase ocurre para una mezcla de fluidos el proceso isobárico no siempre es isotérmico por la variación en las presiones de vapor, composición molar y temperatura de equilibrio de cada uno de los compuestos de la mezcla.

Desde un punto de vista físico, el fenómeno de condensación puede ocurrir en dos formas: de gota o de película.

La condensación en forma de gota ocurre cuando un vapor puro saturado se pone en contacto con una superficie fría; al ceder calor a la superficie fría el vapor se condensa y puede formar gotitas en la superficie; estas gotitas pueden desprenderse de la superficie dejando libre el área para posterior formación de más gotitas.

En el otro mecanismo, se forma una película de líquido sobre la superficie a medida que el vapor se va enfriando, más vapor se condensa sobre la película inicialmente formada.

Los dos mecanismos son distintos e independientes, aunque el de gota es propio del vapor de agua y de algunos vapores cuyos líquidos no son miscibles como el caso de aceites y agua.

El mecanismo de condensación por gota permite altos coeficientes de



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transmisión de calor (seis a ocho veces de los de película) pero debido a que el fenómeno es propio de muy pocos fluidos, los estudios se concentran hacia la condensación por película, que además permite un relativo fácil análisis matemático. Los equipos de condensación se dividen en dos grandes grupos; los de carcaza y tubos (intercambiadores comunes) y los de contacto.

Los condensadores de contacto implican que los fluidos vapor y líquidos refrigerante sean los mismos, o al menos afines en ciertas propiedades. El proceso implica transferencia de masa, lo que obliga a postergar su estudio. Una vez se conozcan los mecanismos de transferencia de masa, el estudiante aplicará sus conocimientos de transferencia de calor para los cálculos correspondientes.

Para los cálculos de condensadores de carcaza y tubos, se emplean las consideraciones generales en los intercambiadores del mismo tipo. Consideraciones específicas se plantean en la disposición de los tubos que pueden ser verticales u horizontales.

En los condensadores de tubos verticales, en la parte superior de los tubos existe para la zona de vapor, menos cantidad de líquido, su flujo es laminar y a medida que el líquido desciende se condensa más vapor, existe más líquido y su flujo llega a ser turbulento. La velocidad másica G es diferente en las distintas secciones del tubo.

Igual situación aunque en menor grado se presenta en los tubos horizontales, es decir la velocidad no es constante durante el recorrido a lo largo del tubo.

Está circunstancia lleva a considerar el empleo de una velocidad másica que sea representativa del flujo de condensado que circula por unidad de tiempo a través de todos los tubos.

Esta velocidad másica se denomina carga de condensado por pie lineal y es representada por G’. Para tubos verticales G definida por

W’ G’= ---------- lb / hr pie (2-1) P

Siendo W la carga por tubo, lb/hr tubo P perímetro mojado por tubo, pies a la vez

W


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W’= ---------- lb / hr tubo (2-2) Nt

Siendo W rata de flujo lb/hr

La película formada en el tubo vertical puede considerarse que ocupa el espacio anular en un intercambiador de doble tubo como se aprecia en la figura 60

Para los intercambiadores de doble tubo, se emplea para el ánulo el diámetro equivalente

Area de flujo De = 4 RH = 4 ----------------------- Perímetro húmedo

Tomando At, Area de flujo P, Perímetro mojado por tubo

Af De = 4 ------- P DeG El número de Reynolds, N Re = ----------- µ Puede calcularse partiendo de que la velocidad másica para un tubo es:

W’ G’= -------- lb/pie2hora (2-3) Af

Af W’ 4W’ No. Re = 4(-------x ------- ) / µ = -------- (2-4) P Af µ P



202

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FIGURA 60

Condensación en un tubo Reemplazando a W’/P por G’

No. Re = 4G’ / µ (2-5) Nusselt, investigador alemán, en estudios sobre condensación estableció que para tubos verticales el coeficiente promedio de transferencia de calor h está expresado por la ecuación.

h = 0.943 (K3f pf2 / µfL ∆Tf)1/4 (2-6) Con Kf, pf, µf, propiedades estipuladas a la temperatura de película.

Tf= 1/2(Tv+Tw) (2-7) ∆Tf = Tf -Tw (2-8) Siendo:


203

Tf= Temperatura de película

Tv= Temperatura del vapor

Tw= Temperatura de la pared del tubo ∆Tf= Caida de temperatura entre la película y la pared

El coeficiente de película se correlaciona con la carga de condensado partiendo de la cantidad de calor transferida durante la condensación. Q = h A ∆Tf (2-9) a la vez

Q = λ W’ (2-10) reemplazando los valores de W’ en función de G’ se llega a

h (µ f2 / k3f pf2 g )1/3 = 1,47 ( 4G’ / µf )-1/3 (2-11) Para tubos horizontales la ecuación es

h (µ f2 / k3f pf2 g )1/3 = 1,51 ( 4G’’ / µf )-1/3 (2-12) donde la carga de condensado para el tubo horizontal está definida por

G’’ = W’ / LNt (2-13) Para un haz de tubos horizontales hay escurrimiento de líquido de ¡os tubos superiores a los inferiores, por tal razón G” se modifica a

G’’ = W’ / LNt2/3 (2-14) Los coeficientes de película para condensación generalmente varían entre 150 y 300 BTU/hr píe2 0F. Para vapor de agua el coeficiente tiene un valor de 1500 BTU/hr pie2 0F.

EJEMPLO 2 Se requiere condensar 25000 kilos/hora de alcohol propílico proveniente de una torre de destilación que opera a dos atmósferas. Como líquido refrigerante se emplea agua a 300C previéndose que sale del condensador a 500C. Determinar la cantidad de agua del proceso y calcular el coeficiente de película del alcohol, cuando se tienen 506 tubos horizontales de 12 pies

Solución: El procedimiento que se debe seguir es similar al empleado en un intercambiador de tubo y carcaza.

Puesto que las tablas constantes y propiedades se encuentran en unidades inglesas, operaremos en este sistema con los datos dados en el problema y algunos obtenidos en tablas; los parámetros de trabajo se dan en la tabla:

Agua



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Propanol Tasa de flujo 55000 lb/hr

Presión de operación 29.4 psi 14.7 psi Temperatura inicial 2430F 860F

Temperatura final 2430F 1220F

Calor específico (liq) Cp 0.75 BTU/lb0F 1.0 BTU/lb0F

Calor latente vaporización 285 BTU/lb

Conductividad térmica K (liq)

0.094 BTU/hr pie20F 0.33 BTU/hrpie2 0F

Gravedad específica (líq) 0.80 1.0

Viscosidad (líq) 1.50 lb/piehr 1.74 lb/piehr

Densidad 50 lb/pie3 62.5 lb/pie3

Balance de calor Para el propanol Q = m λ = 55.000 x 285 = 15.675.000 BTU/hr

Agua necesaria = Q / (Cp ∆T = 15.675.000 / [1 x ( 122 -86)] = 435.416 libras

Carga del condensador (para transferencia de calor) G’

G´´= W / L nt 2/3 = 55.000 / 12 x 506 2/3 = 72,5 lb/hr pie2 el coeficiente de película ho, se calcula con la ecuación

ho ( µ2f / k3 p2g )1/3 = 1.5 ( 4G’” / µ f ) -1/3

ho= 1.5 (4 G’’ / µ f)-1/3 / (µ f2 / k3 ρ2g)1/3

El factor g en unidades pie / hr 2 tiene un valor de 4,18 x 10 8

ho = 1.5 (4 x 72.5 / 1.5)-1/3 / (1.52 / 0.0943 x 502 x 4.18 x 108)1/3

ho = 190 BTU/hr pie 2 OF

Resp: 435.416 lb 190 BTU/hrpie2 OF

Para la condensación de mezclas de vapores debe tenerse en cuenta las consideraciones de transferencia de masa. En la condensación de vapor sobrecalentado, debe tenerse presente el calor sensible que posee el vapor. El proceso consta de dos etapas: la primera en la cual el vapor se enfría de su temperatura de sobrecalentamiento a la


205

temperatura de condensación y la segunda en la que ocurre la condensación.

Llamando:

Ts = La temperatura del vapor sobrecalentado o recalentado Tc = La temperatura de condensación

∆Ts = La caída de temperatura en el enfriamiento del vapor recalentado

∆Tc = La caída de temperatura en la condensación del vapor

As = Area para el proceso de enfriamiento

A = Area total de transferencia en el equipo

Ac = Area para la condensación Us = Coeficiente total limpio para el enfriamiento

Uc= Coeficiente total limpio para la condensación.

Para el enfriamiento del vapor recalentado, el calor transferido es

Qs= Us As ∆Ts (2-15) Para la condensación

Qc = Uc Ac ∆Tc (2-16) Los dos coeficientes de cada etapa se pueden reemplazar por un coeficiente total limpio equivalente Ue, que se obtiene por

Ue = ∑ UA / ∑A (2-17) Con los valores escogidos

Ue = ( Us As + Uc Ac ) / A (2-18) La ecuación general para el equipo con Q = Qs + Qc

Q= Ue A ∆Te (2-19) siendo ∆Te una caída de temperatura equivalente

como ∆Te = Q / Ue A

reemplazando a Ue y A se llega a la expresión

∆Te = Q / [(Qs / ∆Ts) + (Qc / ∆Tc)] (2-20) EJEMPLO No. 3 Un vapor recalentado de un compuesto aromático a 2000C, tiene temperatura de condensación de 1300C. Para enfriar 10.000 kilos se emplea agua que entra a 650C. y sale a 950C. Determinar la caída de temperatura equivalente para el proceso de condensación. Cp vapor aromático = 0.45, λ = 250 cal/gr.

Solución: Tomando las etapas de enfriamiento y condensación. Para



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enfriamiento

Qs = 10000 x 0.45 (200 - 130) = 315.000 kcal. Para condensación

Qc = 10000 x 250 = 2.500.000 kcal

El calor total a retirar es:

Q = 315.000 + 2.500.000 = 2.815.000 kcal

Balance para el agua

m = Q/ ∆T Cp = 2815000 / 1 x 30 = 93833 kilos Para el enfriamiento, la caída de temperatura del agua es

∆T = 315000 / 93833 x 1 = 3.350C

Para la condensación, la caída de temperatura del agua es

∆T = 2.500.000 / 93.833 x 1 = 26.650C

Con estos valores ya podemos encontrar las caídas medias logarítmicas, para cada etapa.

Para enfriamiento Fluido caliente Fluido frío Diferencia Temperatura alta 200 95.0 105

Temperatura baja 130 91.65 38.35

Diferencia 70 3.35 66.65

Asumimos para esta etapa flujo en contracorriente, para así lograr mayor eficiencia.

∆Ts = (105 - 38,35) / ln (105 / 38.35) ∆Ts = 66,65 / ln (105 / 38.35) = 66.17 oC ⇒ 66oC

Para Condensación Fluido caliente Fluido frío Diferencia Temperatura alta 130 91.65 38.35

Temperatura baja 130 65 65

Diferencia 26.65 26.65

∆Tc = ( 91,65 - 38,35) / ln (65 / 38.35)

∆Tc = 26,65 / ln (65 / 38.35) = 50.5 oC ⇒ 51oC


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Con estos valores

Qs / ∆Ts = 315.000 / 66 = 4.773 ; Qc / ∆Tc = 2.500.000 / 51 = 49.020

y ∆Te = 281.5000 / (4.773 + 49.020) = 52,33 ⇒ 52 OC

Para efecto de cálculos del equipo, el Coeficiente de Diseño UD se calcula tomando esta caída de temperatura equivalente:

UD = Q / A ∆Te El enfriamiento posterior a la condensación puede realizar en el mismo equipo y las consideraciones son muy similares a las expuestas en la sección anterior. En el diseño de estos equipos debe evitarse cruces entre las temperaturas secuenciales del medio enfriante y las del condensado, en su condensación y posterior enfriamiento.

2.3 Ebullición En la Industria de Alimentos numerosos productos líquidos o en solución son sometidos a ebullición, ya sea a alta o baja presión, para favorecer reacciones fisicoquímicas, esterilizarlos o, aun, concentrarlos.

Una aplicación muy importante de la ebullición es la generación de vapor de agua para múltiples propósitos. Entre ellos podemos mencionar: generación de energía eléctrica a través de turbogeneradores, calefacción o como elemento calefactor en procesos industriales, aseos y esterilización de equipos, obtención de agua destilada, etc. La ebullición, como la condensación, puede ocurrir cuando la vaporización o formación de vapor se efectúa por burbujas, directamente en la superficie de vaporización se tiene la llamada ebullición nucleada. Cuando la ebullición ocurre a través de una película de gas de interferencia entre la superficie y el líquido, se llama ebullición de película.

En los dos fenómenos, se generan burbujas que ascienden, a través de la masa del líquido y se rompen en la superficie.

Cuando el vapor se acumula en la superficie del líquido y escapa a medida que más vapor se produce, el líquido está en equilibrio con el vapor a la temperatura de ebullición y se tiene la ebullición de líquido saturado.

En algunos casos la masa del líquido está a una temperatura inferior a la de ebullición, pero la superficie de calefacción está a una temperatura mayor y produce una ebullición en ella, así, el vapor formado es absorbido por el resto de líquido. Se tiene la ebullición de superficie o ebullición subenfriada.

Tanto la ebullición de líquido saturado, como la de superficie pueden



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presentar ebullición nucleada a ebullición de película.

Ebullición de liquido saturado. Para la determinación de los coeficientes de transferencia de calor se han efectuado ensayos: en un recipiente dotado de un serpentín, por el cual circula el fluido calefactor a temperatura variable, se tiene un líquido en ebullición, midiendo la tasa de flujo de calor q/A y la caída de temperatura entre la superficie del tubo y la del líquido en ebullición, se tiene una gráfica como la representada en la figura 2-5. Esta gráfica corresponde a ebullición de agua a una atmósfera de presión y 2120F.

La curva obtenida corresponde a cuatro zonas muy definidas. Una primera, recta AB, para pequeñas diferencias de temperatura y en la cual la relación logarítmica es constante y puede ser expresada, por la ecuación:

q/A = K ∆T1.25 (2-21) donde K es una constante especificada para el líquido en ebullición; la segunda zona, en un tramo casi recto BC, con pendiente 3 a 4 termina en el punto C donde se obtiene un flujo máximo de calor, aproximadamente 4 x 105 BTU/hrft2 para un ∆T de 500F.

FIGURA 61 Fenómeno de ebullición

El valor máximo es la tasa máxima de flujo correspondiente a la llamada caída crítica de temperatura; a partir de este punto la tasa disminuye hasta alcanzar un mínimo en el punto D, llamado punto de LEIDENFROST ; luego se incrementa para llegar a valores muy altos en la tasa cuando la diferencia de temperatura igualmente es muy alta.

Cada una de las zonas en la figura 2-5, corresponde a mecanismos diferentes en el fenómeno de ebullición. Para la primera zona existe transferencia de calor por convección en el seno del líquido, y si bien existe formación de burbujas, éstas son pocas y pequeñas y no causan distorsiones en las corrientes de la convección, pero a partir de una caída de 80F la


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formación de burbujas es grande y se afectan las corrientes de convección, favoreciendo la transferencia de calor y el coeficiente de película crece muy rápidamente. Esta es una zona donde se tiene específicamente la ebullición nucleada. A medida que aumenta la caída de temperatura, aumenta la capa de vapor y el coeficiente de

A medida que crece el número de burbujas, ellas tienden a unirse antes de desprenderse de la superficie y forman una capa de vapor aislante, que se desprende con pequeñas explosiones a medida que aumenta la caída de temperatura aumenta la capa de vapor y el coeficiente de transferencia disminuye y, por consiguiente la tasa de transferencia de calor también lo hace, se tiene la Ebullición de Transición.

Una vez se estabiliza la capa de vapor, desaparecen las explosiones y, al

FIGURA 62 Caída de temperatura

incrementarse la caída de temperatura, tiene lugar una formación ordenada

de burbujas en la interfase entre la película de vapor y el líquido. El flujo de calor aumenta lentamente al principio, para hacerlo más rápidamente después, ya que ocurre transferencia de calor también por radiación. Este tipo de ebullición se conoce con el nombre de Ebullición de Película.

Siendo el flujo de calor proporcional a los coeficientes de película: de la gráfica representada en la figura 2-5, puede obtenerse una gráfica que relacione el coeficiente h con la caída de temperatura (figura 2-6).



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Es de esperar que el máximo coeficiente se logre para la caída crítica de temperatura, que es de 40 a 500F para el agua, de 60 a 1200F para líquidos orgánicos, aunque varia sensiblemente con la presión.

La máxima tasa de transferencia es del orden de 115.000 a 400.000 BTU./.ft2hr para el agua, dependiendo de su pureza, presión y superficie de calefacción. Para líquidos orgánicos el rango es de 40.000 a 130.000 BTU/ft2hr, a presión atmosférica. Zuber obtuvo que la tasa máxima de flujo, dimensionalmente consistente es:

(q/A)max = π λ / 24 [ σ gc g (ρ - ρv)1/4 ] ρ v (1 + ρ v / ρ L)1/2 (2-22) Siendo:

λ = Calor latente de vaporización σ = Tensión interfacial entre el líquido y el vapor g = Aceleración gravitacional gc = Factor de corrección ρ L = Densidad del líquido ρ v = Densidad del vapor

Para el correcto empleo de la ecuación (2-22) las unidades deben ser homogéneas.

Ebullición de película. En la ebullición de película, (referida a la superficie de transferencia de calor), se forman en la interfase vapor-líquido, ondas con una longitud característica (λo). Las cuales crecen para formar burbujas, cuyo diámetro es aproximadamente igual a la mitad de la longitud de onda; estas burbujas abandonan la superficie a intervalos constantes de tiempo. Experimentalmente se ha concluido que para una lámina horizontal el flujo de calor mínimo necesario para ebullición de película estable es:

(q/A) min = π λ ρ / 60 [ 4 σgc g (ρL - ρ V ) / (ρL + ρv)]1/4 (2-23) y en un amplio intervalo de condiciones, el coeficiente de película puede correlacionarse mediante la ecuación:

ho ( λo µv ∆T / Kv3 ρv (ρL - ρv) λ‘g’)1/4 = 0.59 + 0.069 λo / Do (2-24) Siendo:

ho = Coeficiente de película µ v = Viscosidad del vapor ∆T = Caída de temperatura a través de la película Kv = Conductividad térmica del vapor ρL= Densidad del líquido ρv = Densidad del vapor λ = Calor latente de vaporización λ‘ = Diferencia de entalpía entre el líquido y el vapor recalentado λo = Longitud de onda de la interfase


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Do = Diámetro del tubo de calefacción

a su vez se aplican las relaciones

λ‘ = λ (1 + (0.34 Cp ∆T / λ) )2 (2-25)

y

λo = 2π [ σ gc / g (ρL - ρv ) ]1/2 (2-26)

Siendo: Cp= Calor especifico del vapor σ = Tensión interfacial entre líquido y vapor EJEMPLO No. 4 En un recipiente provisto de un serpentín de 2 pulgadas de diámetro hierve un liquido orgánico a 700F, estando la temperatura del tubo a 212 0F.

Siendo las propiedades del líquido a 140 0F

ρL = 91 .381b/pie3 µv = 0.032 lb/pie hr ρv = 0.312 lb/pie3 σ = 0.0013 lb/pie λ = 43.5 BTU/lb k = 0.08 BTU/hr pie0F Cp = 0.15 BTU/lb0C Do = 2/12 = 0.17 pies

Determinar el coeficiente de transferencia de calor y el flujo de calor mínimo.

SOLUCION: Aplicando la ecuación (2-25) con ∆T = 212 - 70 = 1420F

0.34 x 0.15 x 142 2

λ‘ = 43.5 ( 1 + ----------------------- )= 59,2 BTU/lb 43.5



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FIGURA 63

Formación de la Burbuja De la ecuación 2-26

λo = 2π [ 0,0013 / 91,38 - 0,312 ]1/2 = 0,024 pies

Sustituyendo estos valores en la ecuación 2-24.

ho x ( 0,024 x 0,032 x 142 / 0,083 x 0,312 (91,38 - 0,312) 59,2 x 4,18 x 108 )1/4

= 0,59 + 0,69 x 0,024 / 0,17 ho = 144 BTU/hrpie2OF

q / A = ho ∆T = 144 x 142 = 20.448 BTU/hrm2

Resp ; 144 BTU/hrpie2OF 20.448 BTU/hrm2

Ebullición de superficie o subenfriada. Generalmente se logra cuando un líquido fluye en un espacio anular vertical, en el cual el tubo interior es el elemento calefactor. Cuando el líquido asciende y la temperatura del elemento calefactor aumenta, se forman burbujas en la superficie del elemento para condensarse en el resto del líquido. Relacionando el flujo de calor con la diferencia de temperatura se obtiene una gráfica como la representada en la figura 2-7 correspondiente a ensayos con agua destilada y desgasificada a una velocidad de 4 ft/seg y 60 psi en un ánulo de De = 0.77 pulgadas y Dc = 0.55 pulgadas. (Mc Adams and Day).

La gráfica consta de dos secciones ambas rectas, una primera para caída de temperatura inferior a 800F, con pendiente de 1.0, en la cual el coeficiente es independiente de la caída de temperatura , y los valores del coeficiente obtenido por la gráfica coinciden con los valores que se obtienen por ecuaciones específicas para flujo turbulento.


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Flujo de Calor en ebullición de superficie

FIGURA 64

Ebullición de superficie o subenfriada. Generalmente se logra cuando un líquido fluye en un espacio anular vertical, en el cual el tubo interior es el elemento calefactor. Cuando el líquido asciende y la temperatura del elemento calefactor aumenta, se forman burbujas en la superficie del elemento para condensarse en el resto del líquido. Relacionando el flujo de calor con la diferencia de temperatura se obtiene una gráfica como la representada en la figura 2-7 correspondiente a ensayos con agua destilada



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y desgasificada a una velocidad de 4 ft/seg y 60 psi en un ánulo de De = 0.77 pulgadas y Dc = 0.55 pulgadas. (Mc Adams and Day).

La gráfica consta de dos secciones ambas rectas, una primera para caída de temperatura inferior a 800F, con pendiente de 1.0, en la cual el coeficiente es independiente de la caída de temperatura , y los valores del coeficiente obtenido por la gráfica coinciden con los valores que se obtienen por ecuaciones específicas para flujo turbulento. Cuando la caída sobrepasa los 800F, cambia su pendiente y se tiene la verdadera ebullición de superficie. El flujo de calor se incrementa notablemente con pequeños crecimientos en las caídas de temperatura, lográndose una altísima eficiencia en la transferencia de calor del orden de 5 a 106 BTU/hrft2.

La ebullición de superficie se emplea en condiciones muy especiales, dadas las características del equipo empleado.

2.4 Enfriamiento y refrigeración

Se emplea el enfriamiento de productos para obtener temperaturas adecuadas de almacenamiento. Algunas sustancias provienen de un proceso que ha implicado altas temperaturas para favorecer reacciones físico-químicas y se requiere llevar la temperatura a un nivel adecuado, para un fácil manejo y almacenamiento, otras sustancias en especial alimentos requieren de temperaturas bajas para su conservación y almacenaje y algunos procesos requieren de temperaturas bajas para su desarrollo.

Cuando se tiene una disminución de temperaturas sin que ocurra un cambio de fase, tiene lugar el enfriamiento, que puede llevarse a cabo para sustancias en cualquier estado. Cuando se requiere mantener durante un lapso amplio de tiempo bajas temperaturas (por debajo de la temperatura ambiente), se tiene la llamada refrigeración.

Los mecanismos de transferencia de calor en las dos operaciones son muy diferentes y aunque se ha generalizado la aplicación del término refrigeración al enfriamiento de sólidos o de espacios amplios es importante tener presente que los fines son muy diversos.

El enfriamiento de gases y líquidos se lleva a cabo adecuadamente en los intercambiadores de calor ya estudiados, empleando como medio de enfriamiento líquidos o gases a muy bajas temperaturas. Estos fluidos tienen propiedades termodinámicas especiales, como bajos puntos de congelación y de evaporación e igualmente de volúmenes específicos y altos valores latentes. De los líquidos o fluidos enfriadores, también llamados refrigerantes, el que mejor propiedades presenta es el amoniaco, NH3, con un inconveniente serio como es su alta toxicidad, esto conlleva aun cuidadoso


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manejo y el empleo de equipo con sellos o cierres herméticos. El freón 12 (dicloro difluormetano) presenta como inconveniente un calor latente de evaporación de 38 kcal kg, lo que lleva a emplear volúmenes relativamente altos y limita su uso para grandes instalaciones. La obtención de los refrigerantes fríos para su empleo en enfriamiento, se efectúa en ciclos termodinámicos que prácticamente son los inversos del ciclo de Rankine. Los sistemas termodinámicos más empleados son:

Figura 65

Refrigeración por compresión de vapor El fluido refrigerante (gas) es comprimido a altas presiones, en este proceso el fluido se calienta y es necesario extraerle calor que se logra en intercambiadores empleando agua fría, o en radiadores utilizando aire frío; acorde con las características del refrigerante en esta etapa puede licuarse y ser almacenado. Para el enfriamiento, el fluido se hace pasar a través de una válvula de expansión que permite bajar la presión del fluido disminuyendo considerablemente su temperatura, si el fluido está líquido, en esta etapa se gasifica o vaporiza. A continuación o se almacena el gas o es succionado por el compresor para iniciar de nuevo el ciclo.



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Refrigeración por vacío y absorción

Figura 65 2.4.1 Refrigeración de vacío Se emplea como fluido refrigerante agua líquida, lo que limita la temperatura baja a valores siempre por encima de los 00C. En un recipiente que contenga agua, se hace vacío empleando generalmente un eyector de vapor. Al bajar la presión en el recipiente parte del agua se evapora rápidamente, causando enfriamiento de la masa de líquido hasta una temperatura cercana a su punto de congelación. Este es un ejemplo clásico del enfriamiento evaporativo o por evaporación. El agua a baja presión y baja temperatura, puede emplearse como líquido refrigerante en los equipos convencionales. Acorde a la temperatura de salida del agua


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en el proceso de enfriamiento, ella puede recircularse para completar el ciclo, representado en la figura 2-10 (a)

En algunos sistemas la expansión del gas comprimido tiene lugar directamente en el equipo de transferencia de calor. La figura 2-10 (b) nos representa un ciclo de este tipo.

2.4.2. Refrigeración por absorción Este ciclo emplea dos fluidos: uno principal, el de trabajo y otro el auxiliar, de absorción. El requisito para seleccionar los fluidos generalmente líquidos es que la entalpía de su solución sea inferior a la de cada uno de los líquidos. Uno de los sistemas más empleados es el de amoniaco y agua. El amoniaco se absorbe en agita (disolución de gas en líquido) a baja presión, dado que la entalpía de la solución es menor que la del agua y que la del amoniaco, se debe extraer calor para efectuar la absorción. La solución es bombeada a un generador de amoniaco, en esta etapa se eleva la presión y se calienta la solución lo que causa la separación del amoniaco, quedando listo como fluido refrigerante. Un esquema de este ciclo se representa en la figura 2-10

EJEMPLO 5 Determinar las toneladas de frío que produce un sistema de compresión de freón que requiere de 52 BTU/lb en el evaporador (o intercambiador de calor), cede 65 BTU/lb en el enfriador y tiene un flujo de 1920 lb/hr. Igualmente determine el trabajo efectuado por el compresor en BTU/hr, si el sistema tiene un coeficiente de operación de 4.

SOLUCION: El freón al evaporarse requiere o absorbe 52 BTU/Ib, esto significa que extrae en un proceso de enfriamiento 52 BTU/lb de freón. Para una hora el calor extraído es:

Q = 1920 x 52 = 99.840 BTU/hr

Recordando que una tonelada de frío es la cantidad de calor que se requiere extraer a una tonelada de agua para convertirla en hielo, en un lapso de 24 horas, se tiene:

1 ton de frío ⇒ 12.000 BTU/hr

Luego

99.840 Ton de frío = ------------- = 8.3 12000

El coeficiente de operación se define como la relación entre el calor extraído y la diferencia entre calor requerido y extraído, llamando W la diferencia que



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debe ser igual al trabajo efectuado, por el compresor:

β = QE / W W = QE / β = 52 /4 = 13 BTU / lb Obsérvese que el trabajo es igual a la diferencia de los calores

W = Qc - QE = 65 -52 = 13 BTU/lb

La potencia por hora será:

W = 13 x 1.920 = 24.960 BTU/hr equivalente a

W = 9.8 H.P.

Resp: 8,3 Ton. 9.8 H.P.

Para facilitar cálculos en procesos de refrigeración se han introducido las llamadas unidades de Refrigeración. La más usual es la tonelada de frío, equivalente a la cantidad de calor extraída a 2.000 libras de agua a 320F para solidificarla, en un lapso de 24 horas. Teniendo calor latente de fusión de 144 BTU/Ib.

1 Ton de frío = 2.000 Ib x 144 BTU/lb/24horas = 288.000 BTU/día

1 Ton de frío = 12.000 BTU/hr Otra unidad es la Unidad Británica de Refrigeración, basada en la tasa de enfriamiento de una kilocaloría por segundo, equivalente a 237,6 BTU/min.

EJEMPLO. 6 Para determinar el proceso de fermentación en la obtención de la cerveza, la temperatura del liquido debe bajarse de 120 0C a 40 0C en un lapso de 36 horas. Para el efecto se empleará agua a 10C que circula por un serpentín de cobre de 2 1/2” de diámetro.

Determinar las toneladas de frío requeridas para lograr el enfriamiento de un tanque que contiene 200 hls ( 20.000 kilos) de cerveza.

Solución : De las tablas el calor específico de la cerveza es de 0.95 cal /gr”C. El calor extraído en una hora será:

Q = m Cp ∆T / 36

La densidad de la cerveza puede considerarse igual a la unidad, luego:

Q = 20.000 x 1.0 x (12 - 4)/36 = 4444.4 kcal / hr

Q = 17.636 BTU/hr


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Ton. de frío = 17.636/12.000 = 1.47Ton ⇒ 1.5 Ton

Resp. : 1,5 Ton Para la refrigeración de espacios cerrados, es decir mantener temperaturas bajas en ellos y aun enfriar y conservar productos almacenados allí, se emplean los difusores de frío, constituidos por serpentines o bancos de tubos en los cuales circula el fluido refrigerante.

Normalmente los serpentines se emplean en espacios relativamente pequeños, los cuales van sujetos a los muros y la transferencia de calor se efectúa básicamente, por convección. Figura 11.

FIGURA 67 Serpentín para refrigeración

Los bancos de tubos se emplean en espacios grandes, y el frío se transmite haciendo circular aire a través de los tubos, lográndose transferencia por conducción. Figura 68

El banco de tubos se coloca dentro de una caja que hace parte del ducto por el cual circula el aire. El ducto normalmente es de una longitud similar al costado más largo del cuarto, para favorecer una circulación completa de todo el aire del recinto. Para los cálculos de los serpentines o bancos de tubos en los recintos de



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refrigeración,

llamados también frigoríficos, debe tenerse en cuenta que la cantidad total de calor es el

FIGURA 68

resultado de la suma de:

Qp = Calor cedido por el producto almacenado.

Qa = Calor cedido por la masa de aire y condensación de humedad.

Q1 = Calor irradiado a través de las paredes, pisos, cañerías, etc.

Qc = Calor cedido por los aparatos eléctricos que se encuentran en el recinto.

Qe = Calor perdido por apertura de puertas, deficiencia en cierres, etc.

QT = Qp +Qa +Q1 +Qc+Qe (2-27)

El calor cedido por el producto será:

Qp= mCp ∆T = m Cp (Te - Ta) (2-28) Siendo:

Te la temperatura inicial del producto

Ta la temperatura de almacenamiento

Cuando en la refrigeración se incluye congelación del producto debe tenerse


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en cuenta el calor de congelación del producto, que es función del contenido de agua. Generalmente los alimentos que se van a conservar contienen un 80 -90% de agua, luego, para efectos prácticos, puede asumirse una congelación total del alimento, en estas condiciones.

Qp =m [Cp1 (T1 -To)+ γ +Cp2 (To-Ta)] (2-29) Siendo:

Cp1 = Calor específico del alimento tal cual

Cp2= Calor específico del alimento congelado

T1 = Temperatura inicial del alimento

To = Temperatura de congelación

Ta = Temperatura final o de almacenamiento

γ = Calor latente de congelación

En tablas se encuentran los calores específicos de alimentos, tal cual y congelados, e igualmente temperaturas de congelación. Teóricamente pueden calcularse los calores específicos de alimentos, conocida su tasa de agua o contenido de agua Ma, en kilogramos de agua por kilogramo de producto.

Cp1 = Cpa Ma + Cp(1 - Ma) (2-30) donde:

Cp1 = Es el calor específico del producto tal cual

Cpa = Calor específico del agua

Ma = Contenido de agua

Cp = Calor específico del producto seco

Con valor de 1 para el calor específico del agua y de 0.2 para las sustancias secas (valor promedio de muchos alimentos):

Cp1 = Ma + 0.2 (1 - Ma) (2-31) Para alimentos congelados, con un contenido de agua congelada del 90% del total del agua:

Cp2 = 0.35 Ma + 0.2 (2-32)



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EJEMPLO 7

Determinar la cantidad de calor necesario de retirar para congelar y enfriar 4 toneladas de carne magra de res, de 300C a temperatura de almacenamiento para largo tiempo. El contenido de agua es del 75%.

Solución: De tablas, la temperatura de congelación de la carne es de -2.00C, y calor de congelación de 60 kcal/kg. La temperatura de almacenamiento debe ser de -180C.

El calor especifico de la carne tal cual es:

Cp1 = 0.75 + 0.2 (1 - 0.75) = 0.8 kcal/kg0C

Cp2 =0.35 x 0.75 + 0.2 = 0.46 kcal/kg0C

La cantidad de calor será:

Q = 4.000 x{ 0.8 [(30 - (-2)] + 60 + 0.46 [-2 - (-18)]}

Q = 371.840 kcal

El calor cedido por la masa de aire corresponde al calor retirado para enfriar la masa contenida en el recinto, igualmente calor retirado al condensar y, en ocasiones, congelar parte de la humedad contenida en el aire.

La condensación ocurre generalmente sobre las paredes, piso y techo del recinto, en tanto que la congelación ocurre directamente en los serpentines o bancos de tubos.

Las características del producto que se va a almacenar establecen las condiciones de la refrigeración, en ocasiones se requiere de atmósferas secas o atmósferas húmedas; lo que implica tener deshumidificadores para retirar la humedad o duchas o riegos para mantenerla y compensar el agua congelada. Los cálculos de calor, que son específicos a la masa de aire, requieren cálculos de transferencia de masa, razón por la cual, por ahora se asume que este calor es un porcentaje (entre el 10 y el 20%) del calor total requerido.

Las pérdidas o calor de irradiación se calculan acorde con las áreas de cada superficie (pisos, paredes, techos), a sus conductividades térmicas y de película, como se ha estudiado en el capítulo 1.

Para efectos prácticos, las necesidades de frío para retirar el calor producido por los aparatos eléctricos se calcula por la fórmula:

Qc=860 Pt Kcal (2-33) Siendo P la potencia de los aparatos eléctricos (incluyendo bombillos) en Kw y t el tiempo de servicio de funcionamiento de cada aparato; el calor total de los aparatos será:

Qc = ∑ Qci (2-34)


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Dada la dificultad de calcular o medir las pérdidas de calor por apertura de puertas, entrada de aire exterior o de personas, etc., ellas se asumen igualmente de un 10 al 20% de las necesidades totales de frío.

La ecuación 2-27 se nos convierte en:

0.6 Q = Qp + Qi + Qc (2-35)

EJEMPLO 8

Un matadero de pollos procesa 1000 aves por hora con peso promedio de 1.2 kilogramos cada uno. Se requiere almacenar en una cava o cuarto refrigerado a -30C la producción de una semana. Calcule los requerimientos de frío, si se emplea un difusor que tiene un motor de 5 H.P.

Solución El volumen del recinto puede determinarse acorde al número de pollos que se va a almacenar.

En una semana de trabajo se laboran 16 horas durante seis días cada semana.

No. pollos = 1.000 x 16 x 6 = 96.000

Peso de 1.000 polIos = 1000 x 1.2 = 1.200 kilos

Pesos de los pollos = 115.200 kilos

El volumen de cada pollo puede tomarse de 8 dm3 ó 0.008 m3

Volumen requerido = 96000 x 0.008 = 768 m3 Tomando áreas para tránsito y movilización del producto equivalente al 10% del volumen.

Volumen del recinto = 768 x 1.1 = 845 m3

Este volumen puede ser distribuido en dimensiones de 17 x 10 x 5 mts.

Calor extraído a los pollos. En el matadero los pollos se enfrían (chiling) a una temperatura de 2 ó 1OC y, con esta misma se envían a almacenamiento. El calor extraído se calcula partiendo de los calores específicos y de congelación, que son 0.80 y 0.43 cal / gr 0C y 59 cal / gr respectivamente. La temperatura de congelación es de -20C.

Para una hora de operación y tomando temperatura inicial 20C.

Q = 1.200 [0,8 (2-(-2) + 59 + 0,43 {-2-(-3)}] = 75.156 kca / hr El calor irradiado se calcula tomando las áreas de las paredes, piso y techo, asumiendo un correcto aislamiento en espuma, corcho, icopor u otros buenos aislantes.



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En las dimensiones estipuladas las áreas serán:

2 x 17 x 10 + 2 x 10 x 5 + 2 x 17 x 5 = 610 m2 Las temperaturas de las paredes pueden tomarse como interior de -120C y exterior de 200C, fabricadas con material de 12 cms de espesor (ladrillo 1 con ho = 25 kcal/ m2 hr OC, hi 15 kcal/m2 hr 0 C) siendo su espesor de 20 cms. Como

1 Q = U A ∆T y U = -------------------------- 1 1 x ------ + ---- + ----- ho hi ka 1 kcal U = ----------------------------- = 0.17-------------

1 1 0,20 m2 hr 0C ------+ -----+ -------- 25 15 0,035

Q = 0,17 x 610 x [20 - (-12)] = 3.318 kcal / hr

Para las pérdidas por los aparatos eléctricos, con factor de conversión de Hp a kilovatios de 0,75 y tomando una hora

Qc = 860 x (5 x 0,75) = 3.225 kcal/hr

0.6 Q = 75.156 + 3.318 + 3.225 = 81.699 kcal/hr

Q = 136.165 kcal/hr

Resp: 136.165 kcal/hr

Puede apreciarse en este ejemplo que la mayor carga, la absorbe la congelación del producto, operación que ocupa 2/3 del tiempo. Cabe la pregunta si se justifica un equipo productor de frío de esta capacidad, que funcione tan sólo 16 horas al día o, por el contrario tener un equipo específico para congelación y uno pequeño para exclusiva refrigeración de la cava de almacenamiento.

Para grandes volúmenes de producción se tiene independiente la congelación de la refrigeración, en tanto que para pequeños volúmenes de producción, las dos operaciones se llevan a cabo conjuntamente en un mismo recipiente o recinto, empleando únicamente un aparato.


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2-5 Congelación Numerosos estudios se han realizado acerca de los mecanismos y fenómenos que tienen lugar en la congelación de los alimentos.

En épocas tempranas los alimentos se congelaban colocándolos en área frías con circulación natural de aire. Hacia 1930 Clarence Birdseye y otros investigadores iniciaron estudios de congelación en hortalizas y establecieron cómo la velocidad de congelación incidía en la calidad de los alimentos, realizando trabajos importantes en la llamada congelación rápida.

Es la velocidad de congelación la que determina básicamente la capacidad y clase de equipo requerido.

Los estudios del mecanismo de congelación fijan el tiempo adecuado de congelación. No siempre una congelación rápida presenta los mejores resultados, máxime que el proceso se puede producir a distintas velocidades en las diferentes partes de una pieza de alimento. El hecho de tenerse diferentes velocidades de congelación lleva a una imprecisión sobre el tiempo de congelación. Existe un tiempo que define el momento en que se inicia la congelación y otro en que se da por terminada. Generalmente en un cuerpo existe un punto que se enfría más lentamente que se conoce como centro térmico y sirve de punto de referencia para los estudios pertinentes.

La figura 70, nos representa la variación en la formación de hielo (como porcentaje del agua contenida) y la temperatura superficial de carne vacuna. Puede apreciarse que el proceso de congelación se inicia a una temperatura inferior a 20C, con una velocidad muy alta hasta los -100C y luego se va estabilizando la congelación. La mayor congelación ocurre hasta los -100 C y basados en esto, se define como tiempo de congelación nominal, al tiempo que transcurre entre el momento en que la superficie alcanza la temperatura de 0O C y el instante en que el centro térmico llega a una temperatura de -10O C. Cuando el centro térmico llega a esta temperatura se considera para efectos prácticos que el



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FIGURA 69

producto está completamente congelado. El tiempo efectivo de congelación se define como el tiempo que tiene que permanecer un producto en un congelador para lograr la temperatura indicada de -10OC en el centro térmico. Este tiempo incluye aquel que se emplea en llevar la temperatura inicial del producto a 0OC .

Para determinarlos tiempos de congelación se deben tener en cuenta los periodos de preenfriamiento, consistentes en llevar temperatura inicial del producto a temperatura de congelación, propiamente dicho y postenfriamiento o temperado a su estado final.

Diversos investigadores han estudiado los fenómenos de congelación para determinar los tiempos de congelación, entre ellos Planck quien estableció las siguientes relaciones para la congelación cuando ella ocurre por un lado, es decir el producto está sobre una superficie o dentro de una recipiente cuyo fondo no es buen conductor de calor. Para una placa plana ρ λ x 1 t = ----- ( ---- + ------ ) x (2-36) ∆ Τ 2k h


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Donde

t = tiempo de congelación ρ = densidad del alimento λ = calor latente de congelación x = espesor de la placa k = conductividad térmica del alimento h = coeficiente de película del medio refrigerante ∆ Τ = diferencia de temperatura entre el refrigerante y el alimento.

FIGURA 70

Congelación de una lámina

Ejemplo 9 Se dispone de extracto de café concentrado para ser congelado como etapa previa a la liofilización, en bandejas de vidrio de una profundidad de 2,0 cms, determinar el tiempo de congelación y comparar con el tiempo de congelación de agua, colocadas en bandejas similares, teniendo las siguientes propiedades del extracto y del agua



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Extracto de café Agua /Hielo

Densidad kg / m3 1100 970

Calor latente de congelación J / kg 350.000 480.000 Conductividad térmica W / m 0 C 1,7 2,4

Coeficiente de película W / m2 0 C 1.200 1.200

Temperatura de congelación 0 C -2,5 0

Temperatura del refrigerante 0 C - 30 - 30

Solución: Aplicando la ecuación 2-36,

para el extracto 1.100 x 350.000 0,02 1 t = ------------------------ ( ----------- + ------- ) x 0.02 = 1880 segundos -2,5 - (- 30 ) 2 x 1,7 1.200

para el agua

970 x 480.000 0,02 1 t = --------------------- ( ------------ + ---------) x 0.02 = 1552 segundos 0 - (- 30 ) 2 x 2,4 1.200

Resp: 1880 segundos 1552 segundos

EJEMPLO 10

Determinar el tiempo de congelación de una hamburguesa, con las siguientes características:

Espesor : 0,015 m Densidad 876 kg / m3

Calor latente de congelación 334.000 J / kg Conductividad térmica 1,8 W / m 0 C Temperatura de congelación -2,5 0 C Se emplea como medio refrigerante aire : Temperatura del refrigerante - 30 0 C Coeficiente de película 350 W / m2 0 C

Solución: 876 x 334.000 0,015 1 t = ------------------- ( --------- + ------- ) x 0.015 = 1101 segundos -2,5 - (- 30 ) 2 x 1,8 350

Resp.: 1101 seg.


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Para un cuerpo cilíndrico infinito la formula es :

ρ λ R 1 R t = ----- ( ----- + ------ ) ------ (2-37) ∆ Τ 2k h 2 donde R es el radio del cilindro.

Para una esfera

ρ λ R 1 R t = ----- ( ---- + ------ ) ----- (2-38) ∆ Τ 2k h 3

donde R es el radio de la esfera

En numerosas aplicaciones la congelación se lleva a cabo en recipientes de aluminio, como foil, y en estas circunstancias se considera que la congelación tiene lugar por toda la superficie del alimento. Los formulismos se cambian a

Para una placa plana:

ρ λ a t = ----- ( ----- + ---- ) a (2-39) ∆ Τ 8k 2h donde a es el semiespersor de la placa es decir a = x/2

EJEMPLO 11

Se introducen filetes de carne de 10 centimetros de ancho, en foil de aluminio, (resistencia termica despreciable), a un congelador con corrientes de aire a -34 0 C y coeficiente de película de 600 W / m2 0 C. Determinar el tiempo de congelación teniendo la carne:

Densidad 1090 kg / m3

Calor latente de congelación 280.000 J / kg Conductividad térmica 1,6 W / m 0 C Temperatura de congelación -2,0 0 C

Solución: Aplicando la respectiva ecuación y tomando como semiespesor 0,10 / 2 = 0,05 metros, se tiene

1.090 x 280.000 1 0,05



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t = ------------------------( ----------- + ----------- ) x 0.05 = 2.260 seg -2,0 - (- 34 ) 2 x 600 8 x 1,6

t = 2.260 / 60 = 37,71 min.

Resp. 37,7 min. Para un cuerpo cilíndrico infinito la formula es :

ρ λ R 1 R t = ----- ( ----- + ------ ) ------ (2-40) ∆ Τ 8k 2h 2

Para una esfera

ρ λ R 1 R t = ----- ( ----- + ------ ) ------ (2-41) ∆ Τ 8k 2h 3 EJEMPLO 12

Determinar el tiempo de congelación de una lata de gaseosa, en un congelador doméstico, asumiendo que la lata es un cuerpo cilíndrico infinito y que el aluminio tiene una resistencia térmica despreciable.

Los parámetros son :

Radio de la lata 0,04 m Densidad 1010 kg / m3

Calor latente de congelación 310.000 J / kg Conductividad térmica 2,8 W / m 0 C Temperatura de congelación -1,5 0 C Temperatura del refrigerante - 10 0 C Coeficiente de película 300 W / m2 0 C

Solución: Reemplazando valores en la ecuación para cilindros

1010 x 310.000 0,04 1 0,04 t = ------------------------(----------- + ---------- ) ---------- = 2543 s -1,5 - (- 10 ) 8 x 2,8 2 x 300 2

Algunos productos ya vienen empacados para expender. Muchos de ellos en cartón parafinado, colocándose una resistencia por conducción al flujo de calor.


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De acuerdo a los circuitos térmicos se tiene una resistencia térmica exterior al alimento compuesta de la resistencia del refrigerante y del empaque.

En estas circunstancias se tiene un coeficiente global he, que se obtiene

1 1 1 ------ = ------ + ------- (2-42) he h ke donde ke es la conductividad térmica del empaque.

EJEMPLO 13

Determinar el tiempo de congelación para los filetes de carne empacados en hojas de cartón de 1 mm de espesor y que tiene una conductividad térmica de 60 J / m s 0 C

Solución: El coeficiente global es:

1 1 1 ------- = ------ + -------- = 0,01833 he = 54,55 he 600 60

1090 x 280.000 1 0,05 t = ------------------------( ---------- + -------------- ) x 0.05 = 6.026 s -2,0 - (- 34 ) 2 x 54,55 8 x 1,8 Resp: 6.026 seg

Para productos empacados h depende del material de empaque; experimentalmente se han obtenido valores.

Empaque h (W/m20C)

Caja de cartón 50- 60 Papel encerado 120- 300 Aluminio (hoja) 300 - 600 Celulosa 300 - 600

Para algunos productos empleados en lecho fluidizado, el coeficiente varia entre 100 y 180 W/m2 OC.

Los equipos para congelación requieren de un refrigerante que absorba calor



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por conducción y convección, generalmente convección en el proceso de enfriamiento y conducción en la congelación propiamente dicha.

Los congeladores se clasifican por el medio empleado en la transferencia de calor. Existen los congeladores por contacto con un sólido frío, los que emplean líquidos fríos y los de gases fríos.

Los congeladores por contacto de sólido emplean placas metálicas; planas, huecas por las cuales circula el refrigerante. Las placas se montan en paralelo ya sea en sentido vertical o en sentido horizontal y con espacios variables para permitir ajuste de ellas al producto que se va a congelar. Las placas verticales son ampliamente empleadas para productos empacados en cajas y para helados; los de placas horizontales son usados en la congelación de productos empacados en envases deformables como pescados, carnes, etc.

Una vez se ha logrado la congelación, se hace circular un fluido caliente por las placas para soltar los bloques congelados y descarchar las superficies.

Los congeladores que emplean líquidos fríos son recipientes tipo alberca en donde se introducen los productos ya empacados; el líquido refrigerante debe ser inocuo para evitar contaminaciones. Las ventajas sobre el sistema de placas, son el de poseer altos coeficientes de transferencia de calor, así se congelan fácilmente productos de formas irregulares y puede hacerse congelación individual del producto. Una desventaja es el consumo del líquido refrigerante en las operaciones de carga y descarga.

La versatilidad en el empleo de gases fríos, hace que este sistema sea el más utilizado y el más empleado de los gases es el aire frío. Aunque los coeficientes de transferencia son menores que en los líquidos, los costos de congelación son menores para grandes volúmenes de producto.

Los congeladores de aire son túneles por los cuales circula aire a temperaturas entre -20 a -40OC y con velocidades de 0.5 a 18 m/seg. Para impulsar el aíre se emplean ventiladores que producen el llamado Tiro Forzado. Tanto la congelación por líquido como por gas permiten procesos continuos, mientras que la de contacto con sólidos es propia de procesos de cochada.

Procesos desarrollados últimamente han permitido el uso de fluidos que absorben calor en un cambio de fase; tal es el caso del anhídrido carbónico líquido a alta presión, al pulverizarse se forma una mezcla de gas y sólido conocida como nieve carbónica, que puede ponerse en contacto con el producto que se va a congelar. El nitrógeno líquido (-1960C a presión atmosférica), se emplea para congelación a velocidades altas y empleando aspersión del líquido sobre el producto. El alto costo de obtención del nitrógeno líquido ha limitado su uso.


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2-6 Escaldado

Es una operación térmica intermedia utilizada en la industria de alimentos principalmente en frutas y vegetales con la finalidad principal de inactivar enzimas termolábiles, aunque también presenta otros efectos favorables como la eliminación de gases internos de la estructura celular lo que reduce reacciones de oxidación y facilita empaque al vacío, disminución de recuento de microorganismos: ablandamiento del tejido, lo que favorece operaciones de llenado. Esta es una operación previa comúnmente aplicada antes de varios procesos, entre ellos el de osmosis y en este caso debido a que la desnaturalización de proteínas logra, en general un mayor grado de deshidratación e impregnación.

El escaldado es una operación utilizada en la mayoría de procesos en los cuales la materia prima es la fruta, o vegetales aunque no es aplicada a todas las frutas.

En el escaldado tradicional se pretende que únicamente la cáscara de la fruta llegue a la temperatura adecuada para la inactivación de las enzimas, temperatura que en la mayoría de las ocasiones es del orden de los 75 ºC., el interior de la fruta no se calienta sensiblemente, razón por la cual se conservan prácticamente intactas sus propiedades organolépticas y fisicoquímicas. Para el proceso de escaldado los productos, en cochada o por lotes, se introducen en un fluido, generalmente agua caliente o hirviendo ; en procesos continuos son sometidas a aspersión de agua hirviendo o vapor a baja presión

No obstante todo tratamiento térmico altera en mayor o menor grado la textura de los productos por los cambios que ocurren en las células exteriores.

Para disminuir los cambios que se producen en el escaldado tradicional, se han desarrollado otros métodos. Entre ellos el uso de microondas , aplicación de microondas en presencia de vapor de agua, radiaciones infrarrojas, vapor húmedo y ondas de radiofrecuencia y últimamente el escaldado a baja temperatura y por largo tiempo (TB - TL). Varios investigadores han comparado estos métodos y han encontrado que el uso de microondas en presencia de vapor es el que arroja los mejores resultados con obtención de vegetales más firmes y con mejores características organolépticas, igualmente se encuentra que existen menores pérdidas de las vitaminas hidrosolubles, resaltándose la conservación de la vitamina C.

El escaldado a bajas temperaturas ha traído los beneficios de mantener la textura y para algunos productos mayor firmeza que los procesados a altas temperaturas. Se establece que la conservación de la firmeza obedece a que la enzima pectinesterasa, se activa por encima de los 50 oC y se inactiva hacía los 70 oC. esta enzima actúa sobre las pectinas de la pared celular, propiciando la formación de estructuras intermoleculares entre las propias



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pectinas y otros polímeros que se encuentran en la pared. Las estructuras intermoleculares incrementan la firmeza del producto.

Existen otros factores que afectan la firmeza como las presencia de sales de calcio o magnesio ( dureza) , ya que forman pectatos favorecidos a pH altos

Desde el punto de vista térmico el escaldado es un tratamiento en el cual se tiene un flujo de calor en estado inestable o no estacionario. la mayoría de los problemas que se presentan en la industria es el de establecer los tiempos óptimos de escaldado cuando se desea tener una temperatura predeterminada a nivel de las cáscaras o piel de las productos para tener los mejores resultados.

Dado el tamaño de los productos a escaldar, frutas y vegetales y de acuerdo a sus propiedades térmicas, la mayoría de ellos presenta resistencias térmicas altas, aún con productos de alto contenido de humedad.

En la determinación del tiempo de escaldado, dada la temperatura constante del fluido de proceso se acude a las gráficas que correlacionan las relación adimensional de temperaturas con los números de Biot y Fourier, recordando que siendo los productos alimenticios de alta resistencia térmica ( Número de Biot > 0,1) se deben emplear los números modificados. Igualmente tener presente el empleo de las gráficas adecuadas para la superficie del cuerpo geométrico que más se asimile al producto, ya que la mayoría de las gráficas se presentan para la relación adimensional en el centro de la figura geométrica, con curvas de corrección para diferentes puntos geométricos del producto.

Al trabajar los parámetros de el estado inestable, el tiempo calculado es aquel al cual se obtiene la temperatura de proceso; como en el escaldado se efectúa una reacción propiamente bioquímica, debe tenerse presente que se requiere de un tiempo adicional para que se realice dicha reacción. este tiempo adicional depende del producto en sí y como valor promedio puede tomarse entre un 20 y un 50% del tiempo inicialmente calculado.

Para facilitar el manejo, se incluyen las gráficas 1-29, 1-30 y -31 que muestran directamente las relaciones para diferentes sitios del cuerpo. Como se observa cada hoja consta de ocho gráficas para diferentes relaciones ( x/L y r/ro) , del punto geométrico que se quiere estudiar, respecto al centro de la lámina o del cilindro o esfera.

x se refiere a la distancia del punto a estudiar, que se tiene respecto al espesor de la lámina, e igualmente r es el radio al cual está situado el punto objeto de estudio en una esfera o en un cilindro

Para el centro de la lámina o de una esfera la relación será 0 , pues x ó r son 0, en tanto que para la superficie x = L y r = ro y en este caso la relación es igual a 1


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EJEMPLO 14.

En un proceso de osmodeshidratación de tajadas de guayaba una vez obtenidas las rodajas deben ser escaldadas. Determinar el tiempo de escaldado para tajadas de guayaba que se encuentran a 15 0C, que tienen un espesor promedio de 1 cm cuando se sumergen en agua caliente a 90 0C. Se estima temperatura de escaldado de 70 0 C . Las propiedades térmicas de la fruta se encuentran relacionadas en las hoja de cálculo, que se muestra a continuación:

ESCALDADO DE TAJADAS DE GUAYABA

EJEMPLOS 14Y 15 PARAMETROS SIMB. UNID FUENTE VALOR VALOR

Densidad tajada Kg / m3 Dato 1010 1010

Calor Especifico fruta Dato 0,89 0,89

Conductividad térmica Dato 0,5 0,5

Difusividad térmica Cálculo 0,00056 0,000556

Semiespesor tajadas m Dato 0,005 0,005

Coeficiente película Dato 300 300

Temperatura ambiente Ta Dato 15 15

Temperatura del agua Ts Dato 90 65

Temp. de escaldado(superficie) Tb Dato 70 60

Relación de Temperaturas Cálculo 0,267 0,100

Numero de Biot Bi Cálculo 1,5 1,5

Inverso del Número de Biot 1/ Bi Cálculo 0,67 0,67

Numero de Fourier Fo Grafica 0,85 1,53

Tiempo de Escaldado ti hr Cálculo 0,038 0,069

Tiempo te s Cálculo 138 248

La difusividad de obtiene con α = K / ρ Cp = 0,5 / 1010 x 0,89 = 5,6 x 10-4

El semiespesor de la tajada es de 0,5 cm. ó 0,005 m. El número de Biot es Bi = (0,005/2 ) x 300 / 0,5 = 1,5 > 0,1

Para este número, debe calcularse el número de Biot modificado, pero en el caso de placas planas es igual al normal. Dado que el número de Biot es



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mayor de 0,1, se debe determinar el inverso del número de Biot y acudir a gráficas para encontrar el número de Fourier y luego despejar el tiempo de proceso.

El inverso del número de Biot es de 0,67

La relación adimensional de temperaturas es = (Ta -Ts / Tb- Ts) = (70 - 90) / (70 - 15) = 0,267. Con estos valores, de la gráfica 2-14, en el cuadro inferior derecho con relación x / L = 1, que es la que corresponde a la superficie , se interpolan las curvas para 1/Bi ó ks/hL entre 0,50 y 0,75 y se obtiene un número de Fourier de 0,85 y despejando :

t = Fo x L2 / α = 0,85 x 0,252 / 5,6 x 10-4 = 0,038 hr = 138 seg

Resp: 138 seg ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE : Completar los símbolos y unidades de las hojas de cálculo de los ejemplos 15 y 16

EJEMPLO 15 Establecer el tiempo cuando se lleva a cabo el escaldado a baja temperatura, empleando agua a 65 0 C y la fruta se ha de escaldar a 60 0 C.

Solución: Empleando directamente la anterior hoja de cálculo y efectuando la simulación con cambios únicamente de estas dos temperaturas se encuentra la relación adimensional que es igual a 0,1. con este valor se acude a la gráfica para la placa plana y se encuentra que el número de Fourier es de 1,53, ( El punto queda fuera de la gráfica, hacia el lado derecho parte inferior, pero con las divisiones que son iguales, para los números de Fourier, puede hacerse la lectura en forma fácil).

Con Fourier de 1,53 se obtiene un tiempo de escaldado de 0,069 horas equivalente a 248 segundos. La simulación aparece en la última columna de la anterior hoja de cálculo.

Resp: 248 segundos

En algunos procesos es conveniente conocer la temperatura al interior del producto, para evaluar la posibilidad de que ocurran cambios de orden organoléptico. En el caso de la guayaba a temperaturas del orden de los 70 0 C, se inicia reacciones, entre ellas caramelización de azucares , que le pueden cambiar el sabor ( típico a bocadillo)


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EJEMPLO 16

Determinar para las condiciones del ejemplo 14 cuáles son las temperaturas en el centro de la tajada y en un punto, A, situado a 1 mm de la superficie.

Solución: En este problema se parte de temperatura de escaldado ( que corresponde a la del agua) la misma de 90º.C y que las tajadas han de permanecer el tiempo calculado de escaldado de 138 segundos. teniendo estos valores se debe encontrar la relación adimensional de temperaturas para de ello despejar Tb o temperatura del punto escogido.

Para este ejemplo , y en el caso del centro de la tajada la distancia x es igual a cero y en el punto A la distancia desde el centro es de 0,005 - 0,001 = 0,004 metros

Dado que la gráfica 2-14 emplea diferentes relaciones de x / L, para los puntos se debe emplear para el del centro la gráfica para las relación x / L = O y para el punto A, la gráfica para x / L 0 0,004 /0,005 = 0,8

En la siguiente hoja de cálculo , trabajando los números de Biot y Fourier , del ejemplo 14 ya que ellos no cambian , se acude a las respectivas gráficas y se encuentran los valores para la relación adimensional de 0,48 y 0,34 respectivamente. Despejada la temperatura final del punto se encuentra para el centro 54 0 C y para el punto A 64,5 0 C, como se aprecia en la hoja siguiente. DETERMINACION DE TEMPERATURA EN UN PUNTO INTERIOR DE LAS TAJADAS

EJEMPLO 16

PARAMETROS SIMB. UNID FUENTE VALOR VALOR







Temperatura ambiente Dato 15 15

Temperatura del agua Dato 90 90



Numero de Fourier requerido Fo Cálculo 0,85 1,53





238

238

Ubicación punto x Dato 0 0,004

Relacion x / L Calculo 0 0,8

Relacion de Temperaturas Grafica 0,48 0,34

Temperatura en el punto Calculo 54,0 64,5

EJEMPLO 17

Determinar para las condiciones del ejemplo 15 cuáles son las temperatura en el centro de la tajada y en un punto, A, situado a 1 mm de la superficie, cuando la temperatura de escaldado es de 65º.C

Solución. Empleando datos de la columna cuarta de la hoja de cálculo anterior se buscan en la respectivas gráficas los valores de las relaciones adimensionales 0,24 y 0,13 respectivamente, Anotándolos en las hojas se obtienen los valores de 53 y 58,5 0 C. La simulación se parecía a continuación. DETERMINACION DE TEMPERATURA EN UN PUNTO INTERIOR DE LAS TAJADAS

EJEMPLO 17

PARAMETROS SIMB. UNID FUENTE VALOR VALOR







Temperatura ambiente Dato 15 15

Temperatura del agua Dato 65 65



Numero de Fourier requerido Fo Cálculo 0,48 0,48



Ubicación punto x Dato 0 0,004

Relación x / L Calculo 0 0,8

Relación de Temperaturas Grafica 0,24 0,13


239

Temperatura en el punto Calculo 53 58,5

En procesos de cocción de alimentos en los cuales también se trabaja en un estado inestable, el tiempo de la cocción, que es un proceso de varias reacciones bioquímicas , se incrementa por la cinética de la reacción y el mismo carácter aislante que tiene la mayoría de los alimentos. En principio, para ciertos alimentos se puede determinar el tiempo mínimo de cocción manejando una situación similar a la de escaldado, con temperaturas de proceso cercanas a las de ebullición del agua.

Para ciertas carnes, como es el caso del murillo o lagarto, y ciertos vegetales como frijoles esta apreciación no puede aplicarse, dado que el tiempo de reacción, de algunos de sus compuestos, especialmente , la degradación o hidrólisis de proteínas es bastante largo.

2-7 Crioconcentración

Las soluciones acuosas sometidas a un proceso de congelación forman inicialmente dos fases, una sólida compuesta por cristales de hielo puro y cristales de soluto y solución concentrada debido a la separación de una parte de agua en forma de hielo.

Para el caso de los alimentos, la gran mayoría con altos contenidos de humedad, cuando ellos se llevan a temperaturas por debajo de su punto de congelación los cristales formados estan libres de inclusiones tales como sales, ácidos, sustancias aromáticas, azucares, proteínas y grasas. Separando los cristales de hielo por cualquier medio mecánico apropiado, se obtiene una solución concentrada o con un un alto contenido de sólidos.

Particular aplicación tiene la crioconcentración en la obtención de jugos concentrados, esencias y extractos de flores y hierbas para obtención de aromas, ya que se conservan prácticamente inalterables las propiedades organolepticas, sin embargo un efecto , que en ciertas circunstancias puede ser beneficioso es la degradación de proteínas por efecto de las bajas temperaturas en lo que se denomina rompimiento en frío. La temperatura de congelación de un alimento es aquella a la cual se comienzan a formar los cristales de hielo, sin embargo dependiendo del tamaño de las partículas o tamaño del producto, la temperatura es homogénea. Generalmente la superficie se enfría por debajo de la temperatura de congelación cuando el punto frío ha alcanzado dicha temperatura.

De acuerdo a los comportamientos de las fases en las trayectorias de equilibrio, se establece que a menor contenido de humedad o mayor



240

240

concentración de sólidos más baja es la temperatura de congelación del alimento.

El diagrama o curva concentración temperaturas muestra el comportamiento de un material soluble en agua, se presentan dos curvas de equilibrio con diferente pendiente y un punto de confluencia conocido como punto eutéctico.

La curva de la izquierda o curva de equilibrio hielo - líquido muestra la temperatura de formación de los primeros cristales en función de la concentración de sólidos, para el punto eutéctico el agua y la solución cristalizan simultáneamente, es decir ocurre la congelación de todo el material y no es posible tener solución.

En algunos casos, cuando se tiene mezcla de varios materiales y soluciones, situación común en alimentos, no es posible definir el punto eutéctico para el cual todas las fases están en estado sólido. Puede ocurrir que se llegue a una solución sobresaturada en la cual tiene lugar una parcial solidificación.

.Para la concentración, solamente por enfriamiento, debe tenerse presente la zona bajo la curva. En una solución llamando :

m a la cantidad de materia seca a a la cantidad de agua m la concentración inicial será Co = --------- (2-44) m + a

FIGURA 71

Si esta solución de concentración inicial Co se enfría de T0 a T1 y se ha

Solución honogénea

Curva de hielo

Curva de solución

Hielo +Solución Cristales de

soluto +solución

Eutectico +cristales de hielo

Eutectico +cristales de soluto

Eutectico

CONCENTRACION DE SOLIDOS


241

formado una cantidad de hielo, h, la nueva concentración, C1 será,:

m C1 = ----------------- (2-45)

m + as siendo as = a - h, cantidad de agua que queda en la solución .

La proporción de hielo formada, respecto a la solución inicial es

a - as Co Ch = --------- = 1 - ----- (2-46)

m + a C1 la concentración de hielo o cantidad de hielo formado puede ser fácilmente determinada en el diagrama de fases por la curva de hielo:

Ch - C0 Ch h a - as

----------------- = ------------- =- ------------- = ------------------ (2-47) C0 1 - Ch m+ as m + as La fracción de hielo basada en la cantidad inicial de agua puede se calculada a partir de la siguiente ecuación.

a - as Ch C1 - C0 h = ----------- = --------------- = ----------------- = (2-48) a 1 - C0 C1 (1 - C0) Cuando se dispone de curvas de equilibrio, de la concentración y de entalpías es viable hacer los balances de materiales y los de energía en forma gráfica, de acuerdo a la regla inversa de la palanca.

EJEMPLO 18

Refiriéndonos a la figura 72, determinar la concentración final y temperatura de una mezcla de 250 kilos de una solución que tiene 15% de concentración a 35º C y 400 kilos de una solución del 90% a 75º C.

Solución. Se ubican los puntos representativos de la mezcla en el diagrama temperatura-concentración y se unen mediante una recta. la recta que representa la mezcla tiene una longitud de 9,1 cms y equivale a la suma de los componentes 250 + 400 = 650 kilos.



242

242

El punto de mezcla C, se encontrara al equivalente de distancia a 250 kilos es decir 9,1 x 250 / 650 = 3,5 cms del punto B, ubicado el punto mididendo los 3,5 cms a partir del punto B, se encuentra que la concentración es del 60,5% temperatura de 59,5º C.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE. Efectúe los cálculos en la forma tradicional y compare los resultado obtenidos.

A medida que se emplee una gráfica de mayor tamaño, los resultados son más exactos.

FIGURA 72

La crioconcentración requiere de retiro de calor tanto para enfriar la solución a temperatura de congelación como para el cambio de fase del agua


243

Se asume que toda el agua ha sido congelada para formar cristales y que la Temperatura esta por debajo de la temperatura del punto eutéctico, Te.

La concentración de la solución y los componentes sólidos se correlacionan de acuerdo a la temperatura, en la siguiente tabla

Rango de Temperatura

Componente Sólido Fase acuosa

Fase hielo

> 0 Co 1 - Co 0 Te < T < 0 Co 1 - Co - Ch Ch

T < Te Co 0 1 - Ci Entalpia multiplicar por

Cs x T Cw x T - ( λ - Ch T)

La tabla establece las proporciones de agua, hielo y sólidos para los rangos de temperatura definidos.

Para la determinación de las entalpías se multiplica el factor de la tabla por el calor especifico del componente de la solución y la entalpía del alimento se determina por las siguientes relaciones.

Para T > 0 oC H = [( 1 - Co) Cpa + Co x Cs] x T

Te < T < 0 oC H = [( 1 - Co) Cpa + Co x Cs] x T -Ch [ λ + (Cpa -Cph )x T]

T < Te H = [( 1 - Co) Cpa + Co x Cs] x T - (1 -Co) x [ λ + (Cpa -Cph )x T]

siendo: λ Calor latente de congelación del agua = 80 kcal / kg Co Concentración inicial Ch cantidad de hielo formado Cpa el calor especifico del agua Cs calor especifico del soluto Cph Calor especifico del hielo

EJEMPLO 19 Determinar la entalpía de una solución del 15% de sólidos que tiene las siguientes parámetros termodinámicos Temperatura del punto eutéctico = -7 oC Concentración de sólidos 48% Calor específico del soluto 0,2 kcal / kg Calor específico del hielo 0,45 kcal / kg Solución. la cantidad de agua en el eutéctico es de 1 -0,48 = 0,52. Aplicando las ecuaciones respectivas se tiene:



244

244

a -2 oC. H =[(1 - 0,15) x1 + 0,15 x 0,2 ] x -2 = -1,76 Kcal /Kg

a -7 oC H =[(1 - 0,15) x1 + 0,15 x 0,2 ] x -2 - 0,52 [ - 80 + (1 -0,45) x -7] = -45,18 Kcal /Kg

a -10 oC H =[(1 - 0,15) x1 + 0,15 x 0,2 ] x -2 - (1 - 0,15) [- 80 + (1 -0,45) x -7] = - 72,73 Kcal /Kg

Resp: - 1,76 kcal /kg -45,18 kcal/kg

- 72,73 Kcal /kg Diagrama Entalpía - Concentración .- Riedel ha establecido las relaciones entre rangos de temperatura, proporciones de agua, hielo y sólidos que se puede aplicar para la mayoría de jugos de frutas y jugos de vegetales y que permite manejar los efectos de la crioconcentración , figura 73 y también la curva para extracto de café.

En estas figuras es posible leer directamente las diferencias de entalpía, la proporción de hielo formado y la concentración de sólidos del concentrado cuando se ha enfriado la solución para obtener una concentración en los sólidos.

En la figura se tienen curvas horizontales de temperatura para la solución y rectas inclinadas de temperatura constante para las fases hielo-solución ; estas líneas rectas son líneas de equilibrio y a la vez isotermas.

También se encuentran en la fase inferior, curvas horizontales para el porcentaje de hielo, respecto al agua total, formado en el material enfriado.

EJEMPLO 20 Se tiene un jugo de tomate con una concentración del 10 % a 20 oC, y se enfría a una temperatura de - 4oC.

Establecer la entalpía inicial y final, la cantidad de calor retirada por kilo de jugo, el porcentaje de hielo formado, la concentración de la solución obtenida.

Solución: Refiriéndonos a la figura 73 ubicado el punto 1 de concentración 10% y temperatura 20oC, se lee para la entalpía un valor de 77 kJ / kg de jugo, llevando el jugo al punto 2, de temperatura - 4oC, se obtienen: entalpía de -225 Kj /kg y un 72% de hielo formado. Para determinar la concentración de la solución obtenida a partir del punto 2 se sigue la línea de equilibrio hasta llegar a la línea de interfase líquido-hielo o de cero porcentaje de hielo, punto 3, leyendo en la absisas. la solución tiene una concentración de sólidos del 28%.

El calor retirado es de 77 - (- 225 ) = 302 kJ.


245

Al elaborar el balance, basados que la solución concentrada tiene un 28% de sólidos y tomando 1 kilo como base de cálculo, se tiene:

FIGURA 73

Solución inicial 10%

Sólidos = 1 x 0,1 = 0,1 kg

Agua = 1 - 0,1 = 0,9 kg

Solución concentrada = 0,1 / 0,28 = 0,357 kg Agua en solución concentrada = 0,357 - 0,28 = 0,077 kg

Hielo formado = 1 - 0,357 = 0,643 kg

Porcentaje de hielo = 0,643 / 0,9 = 71,4%, valor sensiblemente igual al obtenido por la gráfica

Resp: 77 kJ/kg -225kj/kg 302 kJ/kg

71,4% 28%

EJEMPLO 21



246

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Separando la solución del hielo formado, en el ejemplo anterior se lleva la solución a - 10 oC, qué concentración tiene la nueva solución, cuanto hielo se forma y cuanto calor se retira?

Solución. Siguiendo el procedimiento gráfico, ya explicado, se parte del punto 3 y se baja verticalmente a interceptar la isoterma o línea de equilibrio de -10 oC, punto 4 , luego se sigue la isoterma hasta interceptar la línea de interfase líquido-hielo , punto 5, y se obtiene una concentración de 47%, sobre el agua inicial.

la cantidad de solución obtenida por kilo de solución inicial es de 028/0,47 = 0,595 kilos y el hielo formado es de 1 - 0,595 = 0,405 kilos El calor retirado corresponde a la diferencia de entalpía en el trayecto vertical de enfriamiento es decir de -18 a -170, 152 kj /kg. Como se partió de 0,357 kg de solución al 28%, se requiere retirar 152 x 0,357 = 54,26 kJ.

Resp: 47% 0,405 kg / kilo de solución del 28%

54,26 Kj/kg

FIGURA 74

En estos dos últimos ejemplos se ha manejado el proceso de


247

crioconcentración para el jugo, y para llegar aun 47% de concentración final se han empleado dos etapas. Podría continuarse la operación en varia etapas adicionales para una mayor concentración, sin embargo en la práctica rara vez se pasa de un 45%, debido al aumento considerable de la viscosidad de la solución no solamente por efecto de la concentración sino por el mismo descenso de temperatura. Se incrementan las pérdidas de concentrado que sale en contacto con el hielo retirado y en el caso de pulpas con alto contenido de sólidos, las pérdidas se incrementan

Para el extracto de café se ha establecido una curva similar, pero no se tiene definido el punto eutéctico, sino una zona eutectica a causa de la variedad de sus componentes y que lleva a que durante el proceso de congelación el líquido intersticial se solidifica gradualmente en dicha zona que esta comprendida entre -24 y - 28 oC



248

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FIGURA 75 EJEMPLO 22 En el proceso de liofilización del café se parte de un extracto del 20% y se desea llevarlo a una concentración del 45% antes de hacer el espumado para luego congelar todo el extracto concentrado. cual debe ser la temperatura óptima de enfriamiento?

SOLUCION. Empleando la figura 2-20 para el extracto de café, se encuentra que a partir de la isoterma de -10 oC, se obtienen concentraciones de 50%, punto A,

La temperatura óptima debe ser la que, de una parte logre la mayor proporción de hielo y de otra, el menor consumo de energía y es a esta isoterma de -10 oC que corresponde la temperatura de enfriamiento más alta.

Siguiendo la isoterma e interceptando con la línea de 20% de concentración se encuentra una entalpía de -225 kJ / kg.

Resp : -10 oC


249

AUTOEVALUACION No.2

1. Responda brevemente a las siguientes preguntas a. Para qué se emplea la esterilización?

b. Es posible la esterilización a temperaturas a bajas temperaturas ( < 50 0C.) ? Por qué

c. Por qué no se esterilizan los alimentos sólidos ? d. Que diferencia existe entre esterilización y pasterización. ?

e. Qué es una unidad de pasterización ?

f. Un vino cuántas unidades de pasterización requiere para su conservación?

g. A que se llama el punto frió ? h. La condensación es un proceso isotérmico ? Explique su respuesta.

i. Que cambios físicos conlleva la ebullición en los alimentos?

j. Qué objeto tiene el escaldado en los alimentos

j. Cuales son las ventajas del escaldado a bajas temperaturas

2. Determine la cantidad de calor requerida para pasterizar 2.000 botellas de jugo de guayaba, con un contenido de 250 c.c . El peso promedio de cada envase es de 70 gramos y el calor específico del vidrio es de 0,2 cal /gr 0 C.

3.- En un pasterizador de placas, regenerativo, se consume un 20 % de calor y un 15% de frió del proceso de pasterización. Calcule los consumos de vapor de vapor a 110 0 C y de una salmuera que se calienta de -10 0 C a 2 0 C, para pasterizar 30.000 litros de leche que entra al pasterizador a 4 0 C y sale a 60 C.

4.- Para el ejemplo 2 establezca el área de transferencia de calor , teniendo como coeficiente de transferencia de calor interior hio = 769 BTU/hr ft 2 0 F y factor de incrustación de 0,0060 hr ft 2 0 F /BTU . los diámetros de la tubería del condensador son de 0,62 y 0,75 pies, interior y exterior respectivamente.

5.- Cuánta agua se requiere para condensar 12.000 kilos por hora de alcohol al 80% que sale de una torre de destilación a una temperatura de 88 0 C. El agua entra al condensador a 15 0C y debe salir a 75 0 C.



250

250

6.- En una industria pesquera se dispone de 45 minutos para congelar filetes de pescado e igualmente se tiene un equipo de refrigeración que trabaja con nitrógeno gaseoso con coeficiente promedio de película de 850 W /m2 . determine la temperatura del nitrógeno para congelar a -2,5 0C.

7. Establezca el tiempo de escaldado para duraznos en agua caliente a 50 0 C. Tome como temperatura de escaldado 42 0 C y diámetro promedio de las frutas 7 centímetros.

m Transferencia Calor

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