1

Abstract—En el presente documento se detallaran los pasos

para la modelación y simulación de una barra sometida a un

flujo de calor, tarea correspondiente a una de las tareas del

módulo integración I de ingeniería en Mecatrónica, en donde se

verá un cálculo asociado estado estacionario y luego el método

numérico de diferencias finitas para describir temperaturas en el

tiempo.

I. INTRODUCCIÓN

n proceso o sistema en ingeniería puede estudiarse en

forma experimental o en forma analítica, la primera

implica realización de pruebas y toma de decisiones y la

segunda implica la realización de cálculos, el proceso

experimental suele ser caro para sistemas complejos, en

cambio el procedimiento analítico, el cual por lo demás pude

ser numérico, tiene la ventaja que es más rápido y barato en

algunos casos.

Lo que hay que tener en cuenta es que los resultados

obtenidos analíticamente y numéricamente están sujetos a la

exactitud de las suposiciones, de las aproximaciones y de las

idealizaciones tomadas en cuenta para realizar los cálculos.

En este caso se modelará un sistema en el que se produce

transferencia de calor, calor que se define como “la forma de

la energía que se puede transferir de un sistema a otro como

resultado de la diferencia en la temperatura”.

El problema que se tratará en este documento se relaciona con

la transferencia de calor, ciencia que determina el tiempo en

donde hay un intercambio de temperaturas o razones de

transferencia de energía, para el cual se resolverá de manera

discreta por medio del método de diferencias finitas.

II. PROBLEMA A RESOLVER

El sistema a resolver corresponde a una placa de plomo que se

encuentra en un ambiente con temperatura de 25° C, a la cual

se le aplica un flujo de calor constante de 15 W en una cara de

la placa.

Se pretende describir la temperatura de una cantidad de puntos

de la placa, y el comportamiento de ésta en el tiempo.

Las dimensiones de la placa son:

1 metro de largo.

1 cm de espesor.

10 cm de ancho.

El problema se expresa en la siguiente figura:

Fig. 1 Esquema del problema a resolver.

Para abordar este problema se deben reconocer los fenómenos

que se están produciendo, la transferencia de calor se puede

presentar en 3 formas:

Conducción: Es un proceso de transmisión de calor basado en

el contacto directo entre los cuerpos, sin intercambio de

materia, por el que el calor fluye desde un cuerpo de mayor

temperatura a otro de menor temperatura que está en contacto

con el primero

Radiación: La radiación a la transmisión de calor entre dos

cuerpos los cuales, en un instante dado, tienen temperaturas

distintas, sin que entre ellos exista contacto ni conexión por

otro sólido conductor. Es una forma de emisión de ondas

electromagnéticas que emana todo cuerpo que esté a mayor

temperatura que el cero absoluto.

Convección: se caracteriza porque se produce por medio de un

fluido (líquido o gas) que transporta el calor entre zonas con

diferentes temperaturas

Con los datos proporcionados para el problema, se pueden

identificar transferencia de calor por medio de dos formas,

conducción y convección, la primera se produce en el contacto

directo de una fuente de flujo de calor de 15 W en un extremo,

y la segunda es la convección con el aire del ambiente a 25°C.

III. ENFOQUE ANALÍTICO

Para la solución de los distintos análisis, se deben considerar

las propiedades o parámetros del sistema, las cuales se

Tareas Taller de integración I –Tarea térmica

José Quintanilla Acevedo1, Nicolás Vicencio Mora

2

Facultad de Ingeniería, Universidad de Talca, Curicó 1jquintanilla12@alumnos.utalca.cl 2nvicencio12@alumnos.utalca.cl

Ingeniería en Mecatrónica

Chile

U

2

presentan a continuación:

Constante Térmica Plomo:

*

+

Calor específico Plomo:

[

]

Densidad Plomo:

[

]

Difusidad Térmica de plomo:

*

+

(Cengel, 2007)

Coeficiente de convección aire :

*

+

Flujo entrada al material:

[ ] *

+

Temperatura aire o ambiente:

Para la estimación analítica del problema se tomará como

referencia el análisis de superficies extendidas o bien llamadas

aletas, estas son de uso común en la práctica para mejorar la

transferencia de calor para incrementar la razón de

transferencia.

Se elige este análisis ya que el caso es muy cercano a la

aplicación de estas generalmente solo una superficie tiene

consigo un flujo de calor el cal de debe disipar el cual es

transferido a la aleta, cosa que sucede en el problema, ya que

se tiene un flujo de calor constante hacia la placa.

Como se trata de este tipo de análisis se deben tener

suposiciones claras, cosa común en el análisis de transferencia

de calor, en este tipo de análisis se presentan las suposiciones

siguientes:

En el análisis de aletas se considera una operación

estacionaria sin generación de calor en la aleta y se supone

que la conductividad térmica del material permanece constante

(Cengel, 2007).

Flujo Unidimensional:

se toma en cuenta que las magnitudes de las medidas de la

placa son comparablemente grandes porque el largo de 1

metro es una medida demasiado mayor a su ancho y espesor

de 0,1 y 0,01 metros, por lo cual es entendible que la dirección

sea a lo largo de la placa que será representada como la

dirección “x”. Lo que corresponde a dejar la extensa ecuación

de calor por conducción así:

No hay generación interna de calor.

Para aletas de sección transversal uniforme se tiene la

distribución de temperaturas es:

( ) (

) ( )

(

)

Donde los elementos de la ecuación son iguales a :

( )

Donde es la temperatura de la base de la aleta.

La transferencia de calor en la aleta está dado por la siguiente

expresión:

(

)

(

)

Donde

√

√

También es una constante y corresponde al área

transversal y es el perímetro de la pieza y es el largo a

analizar.

Con estas relaciones entregadas por la literatura[1], es posible

encontrar una solución analítica para encontrar temperaturas

en puntos de la placa. Se puede encontrar temperatura en la

base de la aleta:

√

(

)

(

)

3

Reemplazando los paramentos del problema antes

mencionados, con un perímetro de aleta de 22 cm, y L=1

debido a las dimensiones, se tiene que:

√

√ (

)

(

)

Despejando desde

La temperatura en la base es:

Ya con esta temperatura adquirida se está en condiciones de

encontrar la temperatura en distintos puntos de la barra ya que

se presenta la relación antes mencionada:

Por ejemplo para el final de la barra con x=1:

( ) (

) ( )

(

)

[ ]

Esto quiere decir que en la aleta más exactamente en su punto

final la temperatura es la temperatura del ambiente.

Si se hace un pequeño barrido de puntos se podrá comprobar

que a medida el largo avanza hay menos temperatura.

Distancia "x" Temperatura en °C

0 78.75

0.2 36

0.5 26.02

0.8 25.09

1 25

IV. SOLUCIÓN NUMÉRICA

Los problemas de transferencia de calor casi siempre se

clasifican como estacionarios o transitorios, el termino

estacionario implica que no hay cambio con el tiempo en

todos los puntos del sistema, al contrario de un análisis

transitorio que implica la variación con el tiempo de las

variables, durante la transferencia de calor transitoria, la

temperatura suele variar con el tiempo como con la posición.

Para los efectos de simulación se intentara aproximar la

ecuación de calor unidimensional:

Para discretizar esta ecuación, se debe recurrir a algún método

numérico,en donde se acostumbra el reemplazo de ecuaciones

diferenciales por ecuaciones algebraicas.

Existe un popular método que reemplaza las derivadas por

diferencias, método llamado diferencias finitas, este método

puede ser aplicado para problemas de transferencia de calor en

estado estacionario y de forma diferente para problemas de

régimen transitorio. Para problemas de estado estacionario se

aplica una doferenciacion del problema en el sentido de las

variables espaciales, que es valida para cualquier instante del

estado estacionario, sin embargo en régimen transitorio, se

produce una diferenciación con respecto al tiempo y al

espacio.

Fig. 2 formulación en diferencias finitas en r. transitorio.

Ahora para proceder con el método hay que tener en cuenta

que se tiene una segunda derivada, por lo cual se debe realizar

dos veces la diferenciación.

Se debe aplicar el método en la primera derivada, definiendo

como el número del nodo a analizar.

(

)

Ahora cada gradiente se expresa, como función de las

temperaturas nodales.

4

Al sustituir los dos gradientes en la primera aproximación

queda lo siguiente:

( )

Ya discretizado el espacio, la ecuación debe discretearse en el

tiempo, esto se hará con el método explicito, el cual representa

a la derivada con respecto al tiempo en forma de diferencia

hacia adelante. El entero se introduce en la diferenciación

para lo que se debe tomar en cuenta que . Tomando

en cuenta esto la aproximación por diferencias finitas para la

derivada respecto del tiempo se expresa como:

El superíndice se sirve para denotar la dependencia con

respecto al tiempo y la derivada respecto al tiempo se expresa

como la diferencia de las temperaturas asociadas con los

tiempos ( ) y ( ), donde . Lo que conlleva a que temperaturas deben ser

medidas o muestreadas con un intervalo de desfase entre

cada tiempo de muestra.

Tomando en cuenta el tiempo la relación se debe incluir a la

ecuación final:

( )

Quedando finalmente:

Equivalente a:

( )

Ahora despejando la variable de temperatura:

( ) (

)

Desde esta ecuación se define el número discreto de Fourier,

que es adimensional:

( )

Quedando finalmente para un sistema unidimensional en la

coordenada x, o sea :

(

) ( )

Esta última formula es explicita ya que las temperaturas

nodales desconocidas se determinan desde las temperaturas

nodales conocidas del tiempo anterior, además es factorizada

así, por que más adelante se verá una interesante propiedad de

estabilidad en la cual se deben tener un coeficiente de .

Se definirá un espaciamiento de , un número par

que permitirá conocer la temperatura en la última parte de la

barra.

Como el valor

no está disponible en un principio se debe

aplicar un balance de energía alrededor el nodo 1. Este balance

viene dado por:

Por lo que el balance se expresa de la siguiente forma:

Despejando el valor de inicio:

(

) ( )

Para realizar el código se debe seguir el siguiente

procedimiento:

Evaluando dentro de un ciclo o bucle de iteraciones.

5

Ahora para elección de normalmente se tienen que tener

en cuenta la presicion requerida, sin embargo se debe ser

cuidadoso ya que al hacer la elección, se debe tener en cuenta

el cual debe ser elegido mediante un criterio de

estabilidad, para evitar resultados erróneos el valor de

debe mantenerse por debajo de cierto limite, el cual depende

de y algunos de los parámetros.

El criterio se determina requiriendo que el coeficiente

asociado con el nodo de interés en el tiempo anterior mayor o

igual a 0, esto se hace reuniendo todos los términos que

incluyen .

Entonces para la forma de diferencias finitas de un nodo

unidimensional, que es el caso tratado se debe cumplir que:

( )

Lo que significa:

Para forzar al límite el sistema, para describir temperaturas, se

elegirá un numero de Fourier de 0.5, para el cual se tendrá el

tiempo superior de :

( )

( )

( )

[ ]

Definiendo entonces el número de Fourier y el flujo de calor

como sigue:

Y la fórmula para el primer nodo:

(

) ( )

Arroja los siguientes resultados en código C.

TABLA I

RESULTADOS SOLUCIÓN EXPLICITA FO=1/2.

(s)

0 25 25 25 25 25 25

828 109.99 25 25 25 25 25

1656 109.99 67.49 25 25 25 25

2484 152.48 67.49 46.25 25 25 25

3312 152.48 99.36 46.25 35.62 25 25

4140 184.35 99.36 67.49 35.62 30.31 25

4968 184.35 125.92 67.49 48.90 30.31 27.66

Se puede observar que el cálculo de temperaturas es igual en

tiempos sucesivos para el mismo nodo, esto corresponde a un

vicio del algoritmo al escoger el número de Fourier máximo

permitido por el criterio de estabilidad antes mencionado,

comportamiento que no se asemeja al comportamiento real de

transferencia de calor, ya que ante un flujo constante al menos

los nodos más cercanos a la conducción deben cambiar de

forma continua con el tiempo.

Para mejorar estos resultados y eliminar la deformación

expuesta se debiera reducir e valor de Fo, se probará un

numero de Fourier reducido a la mitad Fo=1/4, para lo cual se

se usara el mismo espaciamiento en x:

( )

( )

[ ]

TABLA I

RESULTADOS SOLUCIÓN EXPLICITA FO=1/4.

(s)

0 25 25 25 25 25 25

414 67.49 25 25 25 25 25

828 88.74 35.62 25 25 25 25

1242 104.67 46.25 27.66 25 25 25

1656 117.95 56.21 31.64 25.66 25 25

2070 129.57 65.50 36.29 26.99 25.17 25

2484 140 74.22 41.27 28.86 25.58 25.04

Como se observa el paso de tiempo se reduce a la mitad, no

así las temperaturas en el tiempo, el cambio solo fue que el

algoritmo está siendo más fino en su respuesta, lo que prueba

que para un número pequeño de Fo la precisión de los cálculos

mejora, pero se debe aumentar la cantidad de puntos a analizar

si se quiere analizar un lapso de tiempo específico.

V. CONCLUSIÓN

La técnica numérica aproximada de diferencias finitas sirve

frente a casos con complejidades geométricas en problemas

de transferencia de calor, aun así en este documento se llevó a

cabo un sistema muy básico de transferencia de calor, en

primer lugar se conoció el concepto de cómo se tratan los

ejercicios en forma estacionaria, los cuales entregan datos solo

cuando el sistema no cambia sus variables en el tiempo, y

aunque en el caso analítico se estudió la convección, fue una

manera de expresar con algún método la transferencia de calor

en estado estable de la barra propuesta y dejar a entrever que

los datos entregados en modo estable muchas veces

corresponden a datos máximos de transferencia o temperatura

que suelen ser tomados en cuenta en cálculos de productos o

prestaciones con el simple trabajo de reemplazar valores en

correlaciones que están plasmadas en los textos.

En segunda instancia se hicieron suposiciones más estrictas

respecto a la barra, asignándola solo con transferencia de calor

por conducción, lo cual fue hecho para expresar de manera

más sencilla el método de diferencias finitas que de todos

modos es aplicable para sistemas donde, no solo exista

conducción, si no también convección y radiación o

combinaciones, solo que habría que reescribir la

diferenciación en el espacio en caso de un análisis estacionario

6

o una diferenciación en el sentido del espacio y el tiempo, que

es lo que se hizo en las últimas páginas.

Se pudo aprender mucho de la literatura, nunca se había

mencionado el método de diferencias finitas en los cursos de

termodinámica y transferencia de calor, por lo cual fue una

buena ocasión para conocer el método y saber todo lo que está

detrás de los simuladores mecánicos, como por ejemplo el

software Ansys que a veces trabaja con estos métodos pero

aplicados en forma no tan solo unidimensional si no que hasta

en tres dimensiones de nodos, por ultimo destacar que todos

los métodos discretos que se han visto en las distintas tareas

son aplicables, precisamente por su condición discreta a

sistemas de control y de soluciones tecnológicas.

.

VI. BIBLIOGRAFÍA

Cengel, Y. A. (2007). transferencia de calor y masa.

McGRAW-HIL.

incropera, F. (1999). Fundamentos de transferencia de calor.

Pearson.