Se estudian y deduce las relaciones entre el momento flexionante y los esfuerzos normales por flexin que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes. Para obtener estas relaciones se consideran las siguientes hiptesis : 1. Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. 2. El material es homogneo y obedece a la ley de Hooke. 3. El mdulo elstico es igual a traccin que a comprensin. 4. La viga es inicialmente recta y de seccin constante. 5. El plano en el que actan las fuerzas contiene a uno de los ejes principales de la seccin recta de la viga y las cargas actan perpendicularmente al eje longitudinal de aqulla.

dx

TEORA DE FLEXIN EN VIGAS

V

M

M + dM

DFC

DMF

V + dV

dx

d

y

d

d

P Neutro

Esfuerzo Normal

x = E x =E d = E yd dx d

x = E (y) x = ky

max

max

c

t

Plano Neutro

Eje Neutro

z

x

y

dA

x

dF = xdA

dM = ydF = y E ydA = E y2dA

MR = E y2dA = E Iz = x Iz

A y

MR = M x = MY Iz

y

Esfuerzo Cortante

c1 y

c

Plano Neutro

dx

F2 F1 = (M + dM) y dA - My dA Iz Iz

F2 F1 = dM ydA = dM Q = tdx Iz Iz

c

c1

c

c1 c

c1

t

= dM . Q

dz Izt

= VQ

Izt

F1 F2

APLICACIONES

1. Para la viga mostrada, calcular los mximos esfuerzos por flexin y corte

C

2m 8m

4 ton

4 ton/m

8 ton.m

A B

24 cm

18 cm

2 cm

2 cm

2 cm

36 cm

4 ton

4 t/m

8 t.m

29 t 15 t

- -

+

17

4

12

3,75 m

4.25

15

V

(t)

-

+

20,125

16 6,34 0,58

8 M

(t.m)

Calcular: Mximo y

24 cm

18 cm

2 cm

2 cm

2 cm

36 cm

18,54 cm

21,46 cm

IEN = 37,804 cm4

Q = 1115,25 cm3

A = 156 cm2

max = 1142,4 Kg/cm2

max = 987 Kg/cm2

max = 251 Kg/cm2

t

c

EN

2. Calcular la mxima carga q, que puede soportar la viga mostrada, considerando [] 210 Kg/cm2 [ ] 10 Kg/cm2

A B C D

q (ton/m)

2 m 6 m 2 m

10 cm 28 cm 10 cm

10 cm

24 cm

Calcular q [] 210 Kg/cm2 , [ ] 10 Kg/cm2

q (ton/m)

2 m 6 m 2 m

5q 5q

- -

+ +

3q

3q 2q

2q

3 m

3 m

- -

+

2q 2q

2.5 q

V

(t)

M

(t.m)

10 cm 28 cm 10 cm

10 cm

24 cm

13,5 cm

EN

20,5 cm

Yc = 2 * 10 * 24 * 12 + 10 * 48 * 29

480 + 480

Yc = 20,5 cm

IEN = 1 [ 48 (10)3 + 2 (10) (24)3] 960 (3,5)2

3

IEN = 96400 cm4 ; Q = 2(10)(20,5)2= 4202,5 cm3

2

t = (2,5q * 105) * 20,5 210 q 3,95

96400

= (3q * 1000) (4202,5) 10 q 1,53 96400 * 20

3. Dimensionar la viga mostrada, de seccin tubular hueca, considerando:

d = 0,9 ; [] 1200 Kg/cm2 ; [ ] 300 Kg/cm2 D

A B

12 ton 12 ton

3 m 3 m 3 m

d D

Dimensionar la viga, si d = 0,9 ; [] 1200 Kg/cm2 ; [ ] 300 Kg/cm2

D

3 m 3 m 3 m

12 ton 12 ton

A B

12 12

+

-

+

36

12

12

V

(t)

M

(t.m)

d D I = (D4 d4) = D4 1 - d 4

64 64 D

I = 0,01688 D4

Q = D2 * 4D d2 * 4d = 1 (D3 d3) = D3 1 d 3

8 6 8 6 12 D

Q = 0,02258 D3 D d = 0,1 D

= (36 * 105) D 1200 D 44,62 cm 2 * 0,01688 D4

= (12000) * 0,02258 D3 300 D 23,13 cm 0,01688 D4 * 0,1 D

D = 44,62 cm d = 40,16 cm

EN

4. En la viga mostrada, calcular los mximos esfuerzos por flexin y corte

3 m 2 m 2 m

Rtula 4 ton/m

A

B C D

6 ton/m

6 ton/m

2 20 2

2 cm

18

3 m 2 m 2 m

Rtula 4 ton/m

A

B C D

6 ton/m

6 ton/m

28 15

36

-

+

14

14

6

6 15

+

-

36

20

V

(t)

M

(t.m)

2 20 cm 2

2 cm

18 cm

7 cm

EN

13 cm I = 7240

Q = 338

5. Determinar la mxima carga P en toneladas que puede aplicarse a la viga mostrada, considerando as siguientes especificaciones:

[] 1500 Kg/cm2 ; [ ] 900 Kg/cm2

A B C D

P 4P P

2 m 3 m 3 m 2 m

9 m 2 9 m

2

26

2

+

A B C D

P 4P P

2 m 3 m 3 m 2 m

- -

+

- -

+

3P 3P

P

P 2P

2P

2P 2P

4P

9 m 2 9 m

2

26

2

15

EN

15 IEN = 18636 cm

4

Q = 729 cm3

(4P * 105) * 15 1500 P 4,66 tn 18636

(2P * 103) * 729 900 P 23,01 tn 18636 (2)

P 4,66 tn

P 23 tn

6. Para la viga mostrada, calcular el valor de a, considerando las especificaciones indicadas: [] 1500 Kg/cm2 ; [ ] 1200 Kg/cm2

A

B

6 m

6 ton.m

6 ton/m

6 ton/m

12 ton.m

4a a 4a

a

12a

a

A

B

6 m

6 ton.m

6 ton/m

6 ton/m

12 ton.m

+ +

-

5 5

4

6

12

9

V

M

4a a 4a

a

12a

a

7a

EN

7a

I = 906 a4

Q = 76,5 a3

METODO DE DOBLE INTEGRACION

x

y

Eje deformado

de la viga

Eje inicial de la viga

sin deformar

Seccin de la viga

sin deformar

Giro de la

seccin

Flecha de la

seccin

A una distancia x del origen o, la seccin de estudio de la viga, por efecto de las cargas que actan sobre ella, experimenta dos tipos de deformaciones:

: Giro de la seccin o deformacin angular y: Flecha de la seccin, tambin denominado desplazamiento lineal

En la seccin de estudio, en su configuracin deformada:

Tg = dy = (por ser pequeo) dx

Luego: = dy d = d2y dx dx dx2

d

Se cumple:

dx d

1 = d 1 = d2y dx dx2

Pero de la teora de flexin de vigas:

1 = M EI d2y = M EI dx2

Esta ecuacin se denomina, ecuacin

diferencial del eje deformado de la viga

o simplemente: elstica

EI d2y = M dx2

Al producto EI, se le llama rigidez a la deformacin por flexin. Ecuacin diferencial con variables separables, la solucin es:

Primera integracin :

EI dy = Mdx + C1 ; como dy = dx dx

EI = Mdx + C1 Ecuacin de giros

Segunda integracin :

EIy = Mdxdx + C1x + C2 Ecuacin de la elstica

Las constantes C1 y C2 , se obtienen de la condicin de bordes o

extremos de la viga

Ejemplos: P

B

B A

Elstica o

deformada

yB 0 B 0

A = 0 yA = 0

A B

A B q

Elstica o

deformada

A 0 yA = 0

B 0 yB = 0

P

q P

Elstica

o flecha

A B

A = 0 yA = 0

B = 0 yB = 0

Elstica o

deformada

P

A B C

q

A = 0 yA = 0

Bi 0 Bd 0 yB 0

c 0 yc = 0

E = 2 * 105 Kg/cm2

Eiy = M = -12 + 2 (t.m)

EIy` = -12x + 2 + C1 (t.m2)

EIy = -6x2 + 3 + C1x + C2 (t.m3) 3 Para x=2, yB = 0 : -6(2)

2 + 2C1 + C2 = 0

Para x=8, yc = 0 : -6(8)2 + (63)/3 + 8C1 + C2 = 0

Resolviendo: C1 = 48 y C2 = -72

(x - 2)2 12x + 48 = 0 x2 4x + 4 -12x + 48 = 0 x2 16x + 52 = 0

x` = 16 162 4(1)(52) 2

x = 8 3,464 x = 4,536 m EIy = 27,713

11

2 m 6 m

Para la viga mostrada, calcular la flecha mxima en el tramo BC

2t 2t

A C B

x

12 t.m

Ymax = 27,713

EI

IEN = 1 (30 * 103 + 10 * 303) 600(5)2

3

IEN = 85000 cm4

Ymax = 27,713 * 109 = 1,63 cm

85000 * 2 * 105

10 10 10cm

10cm

30

15

EN

P P

2P

A B C D E

2 m 3 3 2

P P

2P

A B C D E

2P 2P

2 m 3 3 2

- -

+ +

P

P

P

P

-

+

-

2P 2P

P

Iz = 24 * 363 = 93312 cm4

12

Q = 24 * 18 * 9 = 3888 cm3

= 2P * 102 * 18 600 P 15552 Kg 93312

= P * 3888 60 P 34560 Kg 93312 * 24

EIy = 2P - Px (Kg.m)

EIy = - P x2 + P 2 + C1 2

EIy = - P x3 + P 3 + C1x + C2 6 3

36

24

18

EN

Cuando x = 2 yB = 0 - P * 8 + 2C1 + C2 = 0 6

x = 5 yc = 0 yc = - 25 P + 9P + C1 = 0 2

C1 = 25 18 P C1 = 7 P 2 2

- 4 P + 7P + C2 = 0 C2 = - 17 P 3 3

EIy = - P x3 + P 3 + 7 Px - 17 P 6 3 2 3

x = 0 yA = - 17 * P

3 EI

x = 5 EIyc = - 125 P + 27 P + 35 P 17 P 6 3 2 3

EIyc = (-125 + 54 + 70 - 34) P yc= - 35 * P

6 6 EI

ymax = - 35 * P

6 EI

35 * P * 106 1

6 EI

P 1 * 6 * 2,4 * 105 * 93312 35 * 106

P 3839,12 Kg

Problema

R1 = 100 N

R2 = 200 N x

y A

C B

Y

X

300 N

2 m 1 m

EI d2y = M = ( 100x 300 < x 2 >) N.m dx2

EI dy = ( 50 x2 150 < x 2 >2 + C1) N.m2

dx

EIy = 50 x3 50 < x - 2>3 + C1x + C2 N.m3

3

1. En A, para X = 0, la ordenada Y = 0. Sustituyendo estos valores en la

ecuacin se obtiene C2 = 0. recordemos que < x 2 >3 no existe para

valores de X menores que 2, que haran negativo el parntesis.

2. En el otro apoyo para X = 3, la ordenada tambin es nula. Conocido C2 = 0 y

sustituyendo en la expresin, se obtiene

0 = 50 (3)3 50 (3 2)3 + 3C1 o C1 = - 133 N.m2

3

3. Determinadas las constantes de integracin y sustituidos sus valores ,

se pueden escribir las expresiones de la pendiente y de la ordenada de la

elstica en su forma convencional

Tramo AB (0 x 2)

EI dy = (50 x2 133) N.m2

dx

EIy = 50 x3 133x N.m2

3

Tramo BC (2 x 3)

EI dy = [50 x2 150 (x 2)2 133] N.m2

dx

EIy = 50 x3 50 (x 2)3 133x N.m3

3

50 x2 133 = 0 o x = 1,63 m

EIymax = - 145 N.m3

Expresando E en N/m2 e I en m4, se obtiene y en m.

Por ejemplo, si:

E = 10 * 109 N/m2 e I = 1,5 * 106 mm4 = 1,5 * 10-6 m4

El valor de y es:

(10 * 109) (1,5 * 10-6)y = -145

y = -9,67 * 10-3 m = - 9,67 mm

600 N

A B C

R1 = 500 N

1 m 3 m 2 m 2 m

R2 = 1300 N

X

Y

E

600 N

A B C

D R1 = 500 N

1 m 3 m 2 m 2 m

R2 = 1300 N

X

Y

E

400 N/m

400 N/m

400 N/m

Problema

A

B C

D E

Y

X

400 N/m

R1 = 500 N R2 = 1300 N

1 m 3 m 2 m 2 m

EI d2y = M = 500x 400 < x 1>2 + 400 < x 4 >2 + 1300 < x 6> N.m dx2 2 2

EI dy = 250x2 200 < x 1 >3 + 200 < x 4 >3 + 650 < x 6 >2 + C1 N.m2

dx 3 3

EIy = 250x3 50 < x 1 >4 + 50 < x 4 >4 + 650 < x 6 >3 + C1x + C2 N.m3

3 3 3 3

600 N

0 = 250 (6)3 50 (5)4 + 50 (2)4 + 6 C1 o C1 = - 1308 N.m2

3 3 3

EIy = 250 (3)3 50 (2)4 1308 (3) = - 1941 N.m3

3 3

EIy = 250 (8)3 50 (7)4 + 50 (4)4 + 650 (2)3 1308 (8) = - 1814 N.m3

3 3 3 3

Problema : Calcular las reacciones en los apoyos. Considere EI = cte

400 N

A B C

Rc RA

2 m 1 m

Mc

EI d2y = Mc + Rcx 400 < x 2 > dx2

EI dy = Mcx + Rcx2 200 2 + C1

dx 2

EIy = Mcx2 + Rcx

3 200 < x 2 >3 + C2 2 6 3 = 0

= 0

Mc + 3 Rc 400(1) = 0

Mc (3)2 + Rc (3)

3 200 (1)3 = 0 2 6 3

Rc = 193 N y Mc = 179 N.m

RA = 207 N

Problema: Calcular las reacciones en los apoyos . Considere EI = cte

A B

900 N/m

1 m 3 m

MA

MB

Y

X

EI d2y = MA + RAx 900 < x 1 >2

dx2 2

EI dy = MAx + RAx2 150 < x 1 >3 + C1

dx 2

EIy = MAx2 + RAx

3 150 < x 1 >4 + C2 2 6 4

= 0

= 0

RA RB

4MA + (4)2 RA /2 150 (3)

3 = 0

(4)2MA + (4)3 RA /6 150 (3)

4 = 0

RA = 949 N y MA = - 886 N.m

(F)Y = 0 : RB + 949 900 (3) = 0 RB = 1751 N

(M)B = 0 : -886 + 949(4) 900(3)(1.5) - MB = 0 MB = -1140 N.m

Problema: Calcular las reacciones en los apoyos y dibujar DFC y DMF

RC

MA

RA

3 m 1 m 1 m

36 t/m 12 t

A B C D

+

-

+

+

- -

78,82

0,81 m

2,19 m

29,18

12

57,28 12

29 17,18

EIy = - MA + RAx 36 x2 + 36 < x 3 >2 + Rc < x 4 >

2 2

EIy = - MAx + RAx2 6x3 + 6 < x 3 >3 + Rc < x 4 >2 + C1

2 2

EIy = - MAx2 + RAx

3 3x4 + 3 < x 3 >4 + Rc 3 + C1x + C2 2 6 2 2 6

X = 0 yA = 0 C1 = 0 ; yA = 0 C2 = 0

X = 4 yC = 0: - 8 MA + 32 RA 384 + 3 = 0

- 24 MA + 32 RA = 1147,5

- 3 MA + 4 RA = 143,44

(M)c = 0: - MA + 4 RA ( 36 * 3 )(2,5) + 12 = 0 - MA + 4 RA = 258

3 MA 4 RA = -143,44

2 MA = 114,56 MA = 57,28 RA = 78,82

RC = 41,18

METODO : AREA DE MOMENTOS

A B

C D

AB

d

t B/A

dt

dx

x

M

EI

d

dS D

C

dx

De la teora de Flexin de vigas:

1 = M ; dS = d

EI

Luego: 1 = M = d d

EI dS dx

d = M dx

EI

AB = d = 1 Mdx

EI

Asimismo: dt = xd

tB/A = dt = xd

tB/A = 1 x(Mdx)

EI

A

B

xA

xB

xA

xB

T1: la variacin o incremento de la pendiente entre las tangentes trazadas a la

elstica en 2 puntos cualesquiera A y B, es igual al rea bajo el diagrama de

momentos reducido entre estos dos puntos.

AB = rea M EI

T2: La desviacin de un punto cualquiera B respecto de la tangente trazada a la

elstica en otro punto cualquiera A en direccin perpendicular a la posicin

inicial de la viga, es igual al momento esttico del rea bajo el diagrama de

momentos reducido, entre los puntos A y B, respecto del punto B.

tB/A = rea M . XB EI AB

AB

Convencin de signos

A B

AB (+) A B

AB (-)

A B

tB/A (+)

A B

tB/A (-)

PROBLEMAS:

Calcular el giro de la seccin A y la flecha en el centro de la viga (EI = cte)

A B C

P

L/2 L/2

+

PL

4EI

M

EI

A C

L/2

L

A

B

D

tB/A tC/A

fB

TgA = tC/A A L

tC/A = AAC.XC

tC/A = 1 * L * PL * L = PL3

2 4EI 2 16EI

A = 16EI . L

A = PL2 ()

16EI

Tambin

fB = L A tB/A 2

tB/A = AAB.XB

1 * L * 1 * L * PL = PL3

3 2 2 2 4EI 96EI

fB = L PL2 - PL3 = PL3

2 16EI 96EI 48EI PL3

PROB: Calcular la flecha bajo el punto de aplicacin de la fuerza de 180 N (EI = cte)

A C

A

B tB/A tC/A

fB

180N

B 3 m 1,5 m

+

180(3)(1,5) = 180

4,5 EI EI

M

EI

L + a

3

L + b

3

a b

fB = 3A tB/A

A = tC/A 4,5

tC/A = AAC.XC

tC/A= 1 * 4,5 * 180 4,5 + 1,5

2 EI 3

tC/A = 810

EI

A = 810 / EI = 180 4,5 EI

fB = 3 * 180 AAB.XB EI

tB/A = 1 * 3 * 180 * 1 * 3 = 270

2 EI 3 EI

fB = 540 270 = 270 EI EI EI

L

PROB: Calcular las reacciones en los apoyos (EI = cte)

A B

6 tn/m

6 m

RA

6 tn/m

6 m

-

+

108

EI

6RA EI

Se observa:

tA/B = 0 = AAB.XA

-1 * 6 * 108 * 3 * 6 + 1 * 6 * 6RA * 4 = 0

3 EI 4 2 EI

RA =

A B

(F)y = 0 RB = 22,5 tn

(M)B = 0 MB = 27 tn.m

6 tn/m

6 m

Esfuerzos en Vigas.pdf (p.1-24)VIGAS-Deform Flex -Doble Integracin.pdf (p.25-48)VIGAS-Deform Flex-Area Momentos.pdf (p.49-59)