Republica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

I.U.P. “Santiago Mariño”Escuela de Sistemas

Autor: Argenis León C.I: 13.134.766

Maracay – Noviembre de 2016

Optimización de Sistemas y funciones

Conceptos Básicos

La programación lineal: Estudia las situaciones en las que se

exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a

determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Función objetivo: La programación lineal consiste en optimizar

(maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función

lineal de varias variables: f(x,y) = ax + by.

Restricciones: La función objetivo está sujeta a una serie

de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:

a1x + b1y ≤ c1

a2x + b2y ≤c2

anx + bny ≤cn

Solución factible: El conjunto intersección, de todos los

semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto,

acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona

de soluciones factibles.

Conceptos Básicos

Conceptos Básicos

Solución óptima: El conjunto de los vértices del recinto

se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el

vértice donde se presenta la solución óptima se

llama solución máxima (o mínima según el caso).

Valor del programa lineal: El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

Variables de decisión y parámetros: Las variables de decisión

son incógnitas que deben ser determinadas a partir de la solución

del modelo. Los parámetros representan los valores conocidos

del sistema o que se pueden controlar. Las variables de decisión

se representan por: X1, X2, X3,…, Xn ó Xi, i = 1, 2, 3,…, n.

Conceptos Básicos

Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo

en dos trozos para formar con uno de ellos un círculo y con el

otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a

cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del

círculo y del cuadrado sea mínima.

Formulación de un problema de Optimización

 

Formas de la Función Objetivo

Función Objetivo: La función objetivo es una relación matemática

entre las variables de decisión, parámetros y una magnitud que

representa el objetivo o producto del sistema. Es la medición de la

efectividad del Modelo formulado en función de las variables.

Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar).

La solución ÓPTIMA se obtiene cuando el valor de la Función

Objetivo es óptimo (valor máximo o mínimo), para un conjunto de 

valores factibles de las variables. Es decir, hay que reemplazar las

variables obtenidas X1, X2, X3,…, Xn; en la Función Objetivo Z

= f (C1X1, C2X2, C3X3,…, CnXn) sujeto a las restricciones del modelo

matemático.

Por ejemplo, si el objetivo es minimizar los costos de operación, la

función objetivo debe expresar la relación entre el costo y las

variables de decisión, siendo el resultado el menor costo de las 

soluciones factibles obtenidas. Trazar la recta de la función objetivo

en la grafica nos permite identificar de forma más objetiva la

solución óptima del modelo de PL. Para obtener la solución óptima

se siguen los siguientes pasos:  Seleccionar cualquier punto dentro de la región factible, tomando en cuenta a la

ecuación de la función objetivo. Trazar la recta de la función objetivo a través del punto elegido. Determinar el lado de mejora de la recta de la función objetivo. Mover la recta de la función objetivo en forma paralela a sí misma en la dirección de mejora hasta que la recta esté a punto de dejar la región factible. (El punto extremo final es la solución óptima al modelo de PL..) Calcular los valores de las variables en la solución óptima resolviendo las dos ecuaciones de las dos rectas que pasan por ese punto.  

Formas de la Función Objetivo

Un problema de programación lineal que involucra la optimización de

una función de dos variables puede tener:

Ninguna solución óptima

Exactamente una solución óptima  

Una infinidad de soluciones óptimas  

Formas de la Función Objetivo

Ninguna solución óptima: Se identifican infinidad de soluciones factibles pero ningún punto como solución óptima, porque siempre habrá una mejor solución por ser un problema no-acotado. 

 

Formas de la Función Objetivo

No se identifica región de soluciones factibles por lo tanto tampoco solución óptima. Es un problema que no tiene solución.

Formas de la Función Objetivo

Exactamente una solución óptima: Se identifican infinidad de soluciones factibles pero solo un punto como solución óptima.  

Formas de la Función Objetivo

Se identifica un punto y solo un punto como punto factible por lo tanto, ese punto es la solución óptima.  

Formas de la Función Objetivo

Una infinidad de soluciones óptimas: Se identifican infinidad de soluciones factibles y además soluciones óptimas múltiples.   

Formas de la Función Objetivo

Procedimiento General para Resolver un Problema de Optimización

Un problema de optimización puede ser representado de la siguiente

forma

Dada: una función f : A R.

Buscar: un elemento x0 en A tal que f(x0) ≤ f(x) para

todo x en A ("minimización") o tal que f(x0) ≥ f(x) para

todo x en A ("maximización").

Típicamente, A es algún subconjunto del espacio euclídeo Rn, con

frecuencia delimitado por un conjunto de restricciones, igualdades o

desigualdades que los elementos de A tienen que satisfacer. El 

dominio A de f es llamado el espacio de búsqueda o el conjunto de

elección, mientras que los elementos de A son llamados soluciones

candidatas o soluciones factibles.

 

Procedimiento General para Resolver un Problema de Optimización

La función f es llamada, diversamente, función objetivo, función de

costo (minimización), función de utilidad (maximización), función de

utilidad indirecta (minimización), o, en ciertos campos, función de

energía, o energía funcional. Una solución factible que minimice (o

maximice, si este es el propósito) la función objetivo, es llamada

una solución óptima.

Por convenio, el formato estándar de un problema de optimización

está declarado en términos de minimización. Generalmente, a menos

que ambas, la función objetivo y la región factible sean convexas en un

problema de minimización, puede haber varios mínimos locales, donde

un mínimo local x* se define como un punto para el cual existe algún δ

> 0, donde para todo x tal que la expresión es verdadera.

Procedimiento General para Resolver un Problema de Optimización

Es decir, en alguna región alrededor de x* todos los valores de la

función son mayores que o iguales al valor en ese punto. El máximo

local se define de modo similar. Un gran número de algoritmos

propuestos para resolver problemas no-convexos – incluyendo a la

mayoría de los solucionadores disponibles comercialmente – no son

capaces de hacer una distinción entre soluciones óptimas locales y

soluciones óptimas rigurosas, y tratan a las primeras como soluciones

actuales del problema original.

Métodos de Optimización

Los métodos de optimización es una rama de las

matemáticas que consistente en el uso de modelos matemáticos,

estadísticos y algoritmos con objeto de realizar un proceso de toma de

decisiones. Frecuentemente trata del estudio de complejos sistemas

reales, con la finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento.