AUTOR:Lezama Sulimar

TUTORIng. Amelia Malave

Diciembre 2013

¿Qué es una variable discreta?

Una variable discreta es sencillamente

una variable para la que se dan de modo

inherente separaciones entre valores

observables sucesivos. En otras palabras, se

define una variable discreta como la variable tal

que entre 2valores cualesquiera observables,

hay por lo menos un valor no observable

¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD?

Indica en una lista todos los resultados posibles de un experimento, junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de los resultados.

Ejemplo: Supongamos que queremos conocer el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda al aire ( Experimento ). Los posibles resultados son: 0, 1, 2, y 3 caras.

Solución: Hay ocho posibles resultados: En el primer

lanzamiento puede caer cruz (+), otra cruz enel segundo y otra en el tercero.

O puede caer cruz, cruz y cara (C), en eseorden.

Pregunta:

¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras?

TABLA DE PROBABILIDADES

Resultados posibles

Primero Segundo Tercero Numero de caras

(C)

1 + + + 02 + + C 13 + C + 14 + C C 25 C + + 16 C + C 27 C C + 28 C C C 3

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA LOS EVENTOS

Numero de caras Probabilidad del resultado

0 1/8 = 0,125

1 3/8 = 0,375

2 3/8 = 0,375

3 1/8 = 0,125

Total 1,000

Es la cantidad que dacomo resultado de un

experimento, y debido alazar, puede tomar valores

diferentes. Pueden servariables aleatorias

discretas o continuas

Variable que solo puede tomar ciertos valores claramenteseparados.

Ejemplo: Las puntuaciones otorgadas por los jueces a los deportistas de Danza Rítmica son cifras decimales como: 7.2, 8.7 y 9.7. Son discretos porque existe una distancia entre estas puntuaciones por ejemplo: entre 8.7 y 8.8 no puede ser la puntuación 8.74 o 8.747.

MEDIA, VARIANZA Y

DISTRIBUCIÓN

ESTANDAR

DE UNA DISTRIBUCION

DE PROBABILIDAD

Es un valor típico que sirve para representar una

distribución de probabilidades.

También es el valor promedio, a largo plazo de la

variable aleatoria.

Es conocida también como su “valor esperado”.

MEDIA

Formula:

P(x)= probabilidad de puede tomar la variable aleatoria X

MEDIA DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD

Ejemplo:

Juan Pablo Torres vende automóvilesnuevos de la agencia Tronco Movil.Generalmente, los sábados vende el

mayor número de vehículos. El Sr. Torres, tiene la siguientedistribución de probabilidad que

espera vender en un día sábado enparticular

Número de automóviles

vendidos x

Probabilidad

P(X)

0 0,101 0,202 0,303 0,304 0,10

Total 1,00

Pregunta:En un sábado común, ¿cuántos vehículos

espera vender?

Solución:

El número medio de automóviles vendidos

se calcula estimando la cantidad de vehículos

vendidos, con la probabilidad de vender ese

número, y luego se suman todos los productos

aplicando la fórmula:

¿Cómo interpretar la media de 2.10?

Este valor nos indica que, en un gran númerode sábados, el Sr. Torres espera vender unpromedio de 2.10 vehículos por día. Por tanto,a la media se la denomina valor esperado yaque desde luego no se puede vender 2.10autos.

VARIANZA

Se utiliza para describir el grado dedispersión o variación en una distribución

de probabilidades.

Pasos:

Restar la media ( u ) a cada valor ( x ) y elevar la diferencia al cuadrado.

Multiplicar el cuadrado de cada diferencia, por su probabilidad ( P(x) ).

Sumar los productos resultantes para obtener finalmente la varianza.

Ejemplo:

Distribuciones discretas: Bernouil l i

Es aquel modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos

soluciones: acierto o fracaso:

Cuando es acierto la variable toma el valor 1 Cuando es fracaso la variable toma el valor 0

Ejemplo: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda alaire (sale cara o no sale); probabilidad de seradmitido en una universidad (o te admiten o no teadmiten); probabilidad de acertar una quiniela (oaciertas o no aciertas) Al haber únicamente dos soluciones se trata de sucesos

complementarios: A la probabilidad de éxito se le denomina "p" A la probabilidad de fracaso se le denomina "q"

Verificándose que: p + q = 1

Veamos los ejemplos anteriores :Ejemplo 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda alaire: Probabilidad de que salga cara: p = 0,5 Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5 p + q = 0,5 + 0,5 = 1Ejemplo 2: Probabilidad de ser admitido en la universidad: Probabilidad de ser admitido: p = 0,25 Probabilidad de no ser admitido: q = 0,75 p + q = 0,25 + 0,75 = 1Ejemplo 3: Probabilidad de acertar una quiniela: Probabilidad de acertar: p = 0,00001 Probabilidad de no acertar: q = 0,99999 p + q = 0,00001 + 0,99999 = 1

Distribuciones discretas: Binomial

- Las distr ibución binomial parte de la distribución de Bernouilli:- La distr ibución de Bernouii l i se aplica cuando se realiza una

sola vez un experimento que tiene únicamente dos posibles resultados (éxito o fracaso), por lo que la variable sólo puede tomar dos valores: el 1 y el 0

- La distr ibución binomial se aplica cuando se realizan un número"n" de veces el experimento de Bernouiili, siendo cada ensayo independiente del anterior. La variable puede tomar valores entre:

0: si todos los experimentos han sido fracaso n: si todos los experimentos han sido éxitos

Ejemplo: se tira una moneda 10 veces: ¿cuantas caras salen? Si no ha salido ninguna la variable toma el valor 0; si han salido dos caras la variable toma el valor 2; si todas han sido cara la variable toma el valor 10.

La distr ibución de probabil idad de este tipo de distribución sigue el siguiente modelo:

¿Alguien entiende esta fórmula? Vamos a tratar de explicarla con un ejemplo:

Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener6 caras al lanzar una moneda 10 veces?" k " es el número de aciertos. En este ejemplo" k " igual a 6 (en cada acierto decíamos que la variable

toma el valor 1: como son 6 aciertos, entonces k = 6)" n" es el número de ensayos. En nuestro ejemplo son 10" p " es la probabilidad de éxito, es decir, que salga

"cara" al lanzar la moneda. Por lo tanto p = 0,5

Luego,

P (x = 6) = 0,205

Es decir, se tiene una probabilidad del

20,5% de obtener 6 caras al lanzar 10 veces

una moneda.

Ejemplo 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtenercuatro veces el número 3 al lanzar un dadoocho veces?" k " (número de aciertos) toma el valor 4" n" toma el valor 8" p " (probabilidad de que salga un 3 al tirar el

dado) es 1 / 6 (= 0,1666).

La fórmula queda:

Luego,

P (x = 4) = 0,026Es decir, se tiene una probabilidad del 2,6% deobtener cuatro veces el números 3 al tirar undado 8 veces.

Distribuciones discretas: Poisson

  Las distr ibución de Poisson parte de ladistribución binomial:Cuando en una distribución binomial se realizael experimento un número "n" muy elevado deveces y la probabilidad de éxito "p" en cadaensayo es reducida, entonces se aplica elmodelo de distr ibución de Poisson:Se tiene que cumplir que: " p " < 0,10 " p * n " < 10

La distr ibución de Poisson sigue el siguientemodelo:

Vamos a explicarla:

El número "e" es 2,71828." l " = n * p (es decir, el número de veces " n " que se realiza el experimento multiplicado por la probabilidad " p " de éxito en cada ensayo)" k " es el número de éxito cuya probabilidad se está calculando.

Veamos un ejemplo: La probabilidad de tener un accidente de tráfico

es de 0,02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?

Como la probabilidad " p " es menor que 0,1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Luego,P (x = 3) = 0,0892Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8,9%

Otro ejemplo:La probabilidad de que un niño nazca pelirrojoes de 0,012. ¿Cuál es la probabilidad de queentre 800 recién nacidos haya 5 pelirrojos?

Luego,P (x = 5) = 4,602Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 pelirrojos entre 800 recién nacidos es del 4,6%.

Distribuciones discretas: Hipergeométrica

Las distr ibución hipergeométrica es el modelo que se aplica enexperimentos del siguiente tipo: En una urna hay bolas de dos colores (blancas y negras), ¿cuál es

la probabilidad de que al sacar 2 bolas las dos sean blancas?Son experimentos donde, al igual que en la distribuciónbinomial, en cada ensayo hay tan sólo dos posibles resultados:o sale blanca o no sale. Pero se diferencia de la distribuciónbinomial en que los distintos ensayos son dependientes entre

sí: Si en una urna con 5 bolas blancas y 3 negras en un primer ensayo

saco una bola blanca, en el segundo ensayo hay una bola blanca menos por lo que las probabilidades son diferentes (hay dependencia entre los distintos ensayos).

La distr ibución hipergeométrica sigue elsiguiente modelo:

Donde:

Vamos a explicarlo:

N: es el número total de bolas en la urna N1: es el número total de bolas blancas N2: es el número total de bolas negras k: es el número de bolas blancas cuya

probabilidad se está calculando n: es el número de ensayos que se realiza

Veamos un ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean blancas?

Entonces:N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4Si aplicamos el modelo:

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%.

Pero este modelo no sólo se utiliza con experimentos con bolas, sino que también se aplica con experimentos similares:

Ejemplo: en una fiesta hay 20 personas: 14 casadas y 6 solteras. Se eligen 3 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 sean solteras?

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,0175. Es decir, la probabilidad de que las 3 personas sean solteras es tan sólo del 1,75%.

La distribución multinomial es similar a ladistribución binomial, con la diferencia de queen lugar de dos posibles resultados en cadaensayo, puede haber múltiples resultados:

Ejemplo de distribución binomial: a unas elecciones se presentaron 2 partidos políticos: el POPO obtuvo un 70% de los votos y el JEJE el 30% restante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 4 de ellos hallan votado al JEJE?

Ejemplo de distr ibución mult inomial : a esas elecciones se presentaron 4 partidos políticos: el POPO obtuvo un 40% de los votos, el JEJE el 30%, el MUMU el 20% y el LALA el 10% restante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 5 ciudadanos al azar, 3 hayan votado al POPO, 1 al MUMU y 1 al LALA?

La distribución multinomial sigue el siguiente modelo:

Donde:X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en el

ejemplo, que el partido POPO lo hayan votado 3 personas)n: indica el número de veces que se ha repetido el suceso (en el

ejemplo, 5 veces)n!: es factorial de n (en el ejemplo: 5 * 4 * 3 * 2 * 1)p1: es la probabilidad del suceso X1 (en el ejemplo, el 40%)

Veamos el ejemplo:

Luego: P = 0,0256Es decir, que la probabil idad de que las 5

personaselegidas hayan votado de esta manera es tan

sólo del2,56%Nota: 0! es igual a 1, y cualquier número elevado a 0 es también igual a 1

Veamos otro ejemplo:En una fiesta, el 20% de los asistentes son españoles, el 30%

franceses, el 40% italiano y el 10% portugueses. En un pequeño grupo se han reunido 4 invitados: ¿cual es la probabilidad de que 2 sean españoles y 2 italianos?

Aplicamos el modelo:

Luego;P = 0,0384Por lo tanto, la probabilidad de que el grupo esté formado por personas de estos países es tan sólo del 3,84%.

La distr ibución mult ihipergeométrica es similar a la distribución hipergeométrica, con la diferencia de que en

la urna, en lugar de haber únicamente bolas de dos colores, hay bolas de diferentes colores.

Ejemplo: en una urna hay 7 bolas blancas, 3 verdes y 4 amarillas: ¿cuál es la probabilidad de que al extraer 3 bolas sea cada una de un color distinto?La distribución multihipergeométrica sigue el siguiente modelo:

Donde:X1 = x1: indica que el suceso X1 aparezca x1 veces (en

el ejemplo, que una de las bolas sea blanca)N1: indica el número de bolas blancas que hay en la urna

(en el ejemplo, 7 bolas)N: es el número total de bolas en la urna (en el ejemplo,

14 bolas)n: es el número total de bolas que se extraen (en el

ejemplo, 3 bolas)

Veamos el ejemplo:

Luego: P = 0,2307Es decir, que la probabil idad de sacar una bola de cada

color esdel 23,07%.Veamos otro ejemplo:En una caja de lápices hay 10 de color amarillo, 3 de color azul y 4 de color rojo. Se extraen 7 lápices, ¿cual es la probabilidad de que 5 sean amarillos y 2 rojos?Aplicamos el modelo:

LuegoP = 0,0777Por lo tanto, la probabilidad de que los 5 lápices sean de los colores indicados es del 7,77%.