FACULTAD DE CIENCIAS DE LA SALUD Y DE LOS ALIMENTOSMAGSTER EN CIENCIA E INGENIERIA EN ALIMENTOSDOCTORADO EN INGENIERIA DE ALIMENTOS

Chilln, Junio de 2014.Prof. Guillermo Petzold M.

GUIA 2 TALLER DISEO EXPERIMENTAL EN ALIMENTOS1. Un ingeniero realiza un diseo factorial a dos niveles para estudiar el rendimiento del proceso como una funcin del tiempo, temperatura y catalizador. Los siguientes efectos fueron calculados a partir del estudio:EfectoValor

Tiempo2.9594

Temperatura2.7632

Catalizador0.1618

Tiempo x Temperatura0.8624

Tiempo x Catalizador0.0744

Temperatura x Catalizador-0.0867

a) Usando un grfico de probabilidad normal, encuentre los posibles efectos significantes.El primer paso para la construccin del grafico de probabilidad normal es la ordenacin de los efectos estimados de mayor a menor, como se muestra en la siguiente tabla.ORDEN (i)EFECTOVALORPROBABILIDAD (Pi)

1Tiempo2,95948,333

2Temperatura2,763225,000

3Tiempo x Temperatura0,862441,667

4Catalizador0,161858,333

5Tiempo x Catalizador0,074475,000

6Temperatura x Catalizador-0,086791,667

Los valores de i son asignados en orden creciente entre 1 y m, donde m es el mximo valor de i (orden del ltimo efecto estimado). El valor de la probabilidad Pi se determina mediante la siguiente ecuacin.

El orden, efecto estimado, valor del efecto estimado y el clculo de la probabilidad se presenta en la tabla previamente expuesta. A partir de los valores de los efectos (x) y el valor de la probabilidad estimada (y) para cada efecto, se construye la representacin grfica de probabilidad normal presentada a continuacin.

Los efectos significativos sobre el rendimiento del proceso en estudio quedan ms alejados de la lnea recta trazada y se encuentran en negrita en la tabla de resultados. Dichos efectos corresponden a; Temperatura, Tiempo x Catalizador y temperatura x catalizador, ubicados de derecha a izquierda en la representacin grfica.

2. Un experimento se lleva a cabo para analizar 4 factores en un proceso qumico, para ello se realiza un diseo factorial.Factor-+

(1) Concentracin de catalizador (%)(2) Concentracin de NaOH (%)(3) Velocidad de agitacin (rpm)(4) Temperatura (C)5401015074520180

Orden exp.1234impurezas

2-1.0-1.0-1.0-1.00.38

61.0-1.0-1.0-1.00.40

12-1.01.0-1.0-1.00.27

41.01.0-1.0-1.00.30

1-1.0-1.01.0-1.00.58

71.0-1.01.0-1.00.56

14-1.01.01.0-1.00.30

31.01.01.0-1.00.32

8-1.0-1.0-1.01.00.59

101.0-1.0-1.01.00.62

15-1.01.0-1.01.00.53

111.01.0-1.01.00.50

16-1.0-1.01.01.00.79

91.0-1.01.01.00.75

5-1.01.01.01.00.53

131.01.01.01.00.54

a) Determine el valor de los efectos y un modelo predictivo para la variable de respuesta considerada.Para determinar el modelo que prediga el comportamiento de la variable de respuesta, en primera instancia se desarrolla el clculo de los efectos estimados. En la tabla siguiente se expone el valor de los efectos estimados para el orden 3 adems se presenta el valor del error estndar para los efectos estimados que permite discriminar la importancia de dichos efectos. Notar que tambin se presenta en la tabla 5.3 el factor de inflacin de varianza (V.I.F.). Para un diseo perfectamente ortogonal, todos los factores seran igual a 1. Factores de 10 o ms normalmente se interpretan como indicativos de confusin entre los efectos.

EfectoEstimadoError Estd.V.I.F.

promedio0,49750,005

A:10,00250,011,0

B:2-0,17250,011,0

C:30,09750,011,0

D:40,21750,011,0

AB0,0050,011,0

AC-0,010,011,0

AD-0,010,011,0

BC-0,0750,011,0

BD0,010,011,0

CD-0,0050,011,0

ABC0,01750,011,0

ABD-0,00750,011,0

ACD0,00250,011,0

BCD0,00250,011,0

El modelo determinado que predice el comportamiento de la variable de respuesta sin descontar aquellos efectos estimados cuyo error posee una magnitud de igual o mayor magnitud que el valor del efecto estimado propiamente tal, se presenta a continuacin.

Impurezas = 0,4975 + 0,00125*1 - 0,08625*2 + 0,04875*3 + 0,10875*4 + 0,0025*1*2 - 0,005*1*3 - 0,005*1*4 - 0,0375*2*3 + 0,005*2*4 - 0,0025*3*4 + 0,00875*1*2*3 - 0,00375*1*2*4 + 0,00125*1*3*4 + 0,00125*2*3*4

Al descontar aquellos efectos estimados cuyo error posee un valor de igual o mayor magnitud que el valor del efecto estimado propiamente tal, marcados en negrita en la tabla anterior, se obtiene el siguiente modelo predictivo para las impurezas en el proceso qumico analizado.

Impurezas = 0,4975 - 0,08625*2 + 0,04875*3 + 0,10875*4 - 0,0375*2*3 + 0,00875*1*2*3

Tras la exclusin los factores y sus interacciones restantes poseen significancia estadstica, basndose en el anlisis de varianza, por tanto el modelo predictivo anterior se considera idneo para estimar el valor de las impurezas en el proceso qumico en estudio. La representacin grafica siguiente pone de manifiesto el buen ajuste entre los valores predichos por el modelo v/s los valores observados.

Notar que para conseguir la minimizacin de las impurezas se deben considerar niveles altos de Catalizador e NaOH, 7 y 45 % respectivamente y niveles bajos de Velocidad de agitacin y Temperatura. Ahora bien se observ previamente que el factor; Catalizador no tena efecto sobre el contenido de impurezas por lo cual puede ser descontado de la minimizacin sealada.

3. Un ingeniero estudia el porcentaje de conversin o rendimiento de un proceso. Existen dos variables de inters: el tiempo de reaccin y la temperatura. Dado que el ingeniero tiene cierta incertidumbre sobre la suposicin de linealidad en la regin de inters, decide efectuar un diseo 22 (con una sola rplica de cada corrida experimental) aumentando con cinco puntos centrales, tal como se muestra en la figura:40.0 41.5

160 40.3 40.5 40.7 40.2 40.6

Temp (C) 155

39.3 150 40.9

30 40 35

Tiempo de reaccin (min)

a) Analice los datos y realice las conclusiones pertinentesMediante el anlisis de la variable de respuesta en estudio; rendimiento del proceso, desde el esquema proporcionado, se especula que debemos desplazarnos en una direccin diagonal para aumentar el rendimiento del proceso. Esto sugiere que el proceso hipotticamente debera operar a condiciones de mayor tiempo de reaccin y mayor temperatura. Sin embargo como se sugiere la incertidumbre sobre la suposicin de linealidad en la regin de inters, vamos a analizar este experimento.Para ello los datos del esquema proporcionado son vertidos a la matriz de diseo del experimento como lo muestra la tabla siguiente.BLOQUEtiempoTemperaturaRendimiento

minC%

1-1-139,3

11-140,9

1-1140

11141,5

10040,3

10040,5

10040,7

10040,2

10040,6

Para determinar el modelo que prediga el comportamiento de la variable de respuesta, en primera instancia se desarrolla el clculo de los efectos estimados. En la tabla siguiente se expone el valor de los efectos estimados para el orden 2 adems se presenta el valor del error estndar para los efectos estimados que permite discriminar la importancia de dichos efectos. Notar que tambin se presenta en la tabla 5.3 el factor de inflacin de varianza (V.I.F.). Para un diseo perfectamente ortogonal, todos los factores seran igual a 1. Factores de 10 o ms normalmente se interpretan como indicativos de confusin entre los efectos.EfectoEstimadoError Estd.V.I.F.

promedio40,44440,0623114

A:tiempo1,550,1869341,0

B:Temperatura0,650,1869341,0

AB-0,050,1869341,0

Notar que el error de la interaccin entre los factores AxB, es decir, tiempo por temperatura, posee un valor de mayor magnitud que el valor de la interaccin estimada propiamente tal. Tras excluir este valor del modelo predictivo la siguiente ecuacin.

Rendimiento = 40,4444 + 0,775*tiempo + 0,325*Temperatura

La exclusin de la estimacin de la interaccin AB dependiendo del valor calculado para la desviacin estndar, se conoce como chequeo o verificacin de curvatura. Al ser despreciable la interaccin entre los factores en estudio se asume linealidad en el comportamiento del proceso en funcin de los factores tiempo y Temperatura. Se advierte tal como se haba anticipado que un mayor rendimiento se obtendr a niveles altos de ambos factores de inters (tiempo y Temperatura).

Las representaciones graficas anteriores muestran a la izquierda un grafico de contorno para un modelo predictivo que considera la interaccin entre los factores, cuyo valor optimo corresponde a 41.5194 % de rendimiento y a la derecha uno que la excluye como se ha visto, con un valor optimo equivalente a 41.5444%, si bien este valor es levemente mayor, junto a las representaciones graficas nos sirve como un indicador que valida la eliminacin de la interaccin al no presentarse curvatura en el comportamiento del proceso en la regin de inters.

4. R.D. Snee describe un experimento con un diseo 25-1 con I=ABCDE que fue usado para investigar los efectos de 5 factores sobre el color de un producto alimentario. Los factores son A= solvente/reactante, B= catalizador/reactante, C= temperatura, D= pureza del reactante, y E= pH del reactante. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

a) Usando un grfico de probabilidad normal determine los efectos significativos. Realice un informe ejecutivo de las conclusiones. Los datos del diseo proporcionado son vertidos a la matriz de diseo del experimento como lo muestra la tabla siguiente.BLOQUEABCDEColor

1-1-1-1-11-0,63

11-1-1-1-12,51

1-11-1-1-1-2,68

111-1-111,66

1-1-11-1-12,06

11-11-111,22

1-111-11-2,09

1111-1-11,93

1-1-1-11-16,79

11-1-1115,47

1-11-1113,45

111-11-15,68

1-1-11115,22

11-111-14,38

1-1111-14,3

1111114,05

Dado que no se presentaron el nmero de datos suficientes para desarrollar un anlisis mas acabado del experimento, el orden mximo de efectos correspondi a 2. Aun as no quedan grados de libertad para estimar los errores estndar y discriminar que factores o sus interacciones tienen un efecto significativo sobre la variable de respuesta. Apoyados en la representacin grafica de probabilidad normal y el diagrama de pareto expuesto a continuacin se pueden excluir los efectos que no son estadsticamente significativos, es decir, tienen un comportamiento normal.

Los efectos que no son estadsticamente significativos corresponden a; BE, AE, BD, CE, BC, C y DE. Para construir la representacin grfica de probabilidad normal antes expuesta se emplearon los efectos calculados alojados en la siguiente tabla.

ORDEN (i)EFECTOVALORPROBABILIDAD (Pi)

1D:Factor_D4,423,33

2A:Factor_A1,3110,00

3AB1,2816,67

4AE0,3023,33

5BE0,2930,00

6BD0,2536,67

7BC0,1743,33

8DE0,0950,00

9C:Factor_C-0,1556,67

10CE-0,2463,33

11CD-0,7170,00

12AC-0,7976,67

13E:Factor_E-0,8383,33

14B:Factor_B-1,3490,00

15AD-1,3696,67

b) Calcule los residuos y estime la adecuacin del modelo predictivo (determine un valor que permita estimar esa adecuacin).Tras la exclusin del modelo predictivo de los efectos que no eran estadsticamente significativos (BE, AE, BD, CE, BC, C y DE). El modelo predictivo queda como lo muestra la siguiente ecuacin.Color = 2,7075 + 0,655*A - 0,67*B + 2,21*D - 0,41375*E + 0,6375*A*B - 0,39375*A*C - 0,6775*A*D - 0,35625*C*DA partir de este modelo y mediante la matriz de diseo del experimento, se reemplazan en el modelo las 16 combinaciones de los 5 factores que influyen en la variable de respuesta; color. De este modo se obtiene la siguiente tabla en la que se presentan los valores observados, los modelos provenientes del modelo predictivo y los residuos calculados como la diferencia entre el valor predicho meno el valor observado. As se tiene lo siguiente.

FilaValores ObservadosValores ajustadosResiduos

1-0,630-0,6910,061

22,5102,3140,196

3-2,680-2,479-0,201

41,6601,4210,239

52,0601,6360,424

61,2201,411-0,191

7-2,090-1,806-0,284

81,9302,174-0,244

96,7906,6240,166

105,4705,2640,206

113,4503,1810,269

125,6806,026-0,346

135,2205,871-0,651

144,3804,591-0,211

154,3004,0840,216

164,0503,6990,351

La representacin grfica siguiente se obtiene al representar los residuos calculados en funcin de los valores predichos.

La adecuacin del modelo predictivo seleccionado corresponde al clculo del coeficiente de determinacin; R2, obtenido al correlacionar los valores predichos v/s los observados. El valor de R2 para el modelo predictivo que se ha estado estudiando corresponde a 0.9878. Este valor a sido determinado mediante mnimos cuadrados a travs del software de Microsoft Excel al igual que la representacin grfica siguiente. El valor obtenido para el coeficiente de determinacin nos muestra que la adecuacin del modelo predictivo estudiado representa apropiadamente el comportamiento de la variable de respuesta; color en funcin de los factores que influyen sobre ella.

5. Se piensa que cuatro factores tienen influencia sobre el sabor de un refresco: tipo de edulcorante (A), proporcin jarabe/agua (B), nivel de carbonatacin (C) y temperatura (D). Cada factor puede correrse en dos niveles, lo que produce un diseo 24. En cada corrida del diseo, se dan muestras de la bebida a un panel formado por 20 personas. Cada una de ellas asigna un puntaje a la bebida, que flucta entre 1 y 10. El puntaje total es la variable de respuesta, y el objetivo es encontrar una frmula que maximice el puntaje total. Se corren dos rplicas de este diseo.Combinacin de tratamientosRplicaCombinacin de tratamientosRplica

IIIIII

1ababcacbcabc159168158166175179173179163175163168178183168182dadbdabdcdacdbcdabcd164187163185168197170194159189159191174199174198

a) Analice los datos.Analizando los datos presentados en la tabla anterior, se advierte que efectivamente se trata de un diseo factorial de cuatro factores y dos niveles por factor (24). Sin embargo la notacin de la combinacin de los tratamientos no permite verificar que nivel se est empleando para cada factor en cada una de las 16 combinaciones generadas a partir de este diseo. Por ello los datos se presentan en la siguiente tabla de modo que su interpretacin sea ms sencilla. Las rplicas consideradas son tomadas como bloques obteniendo as 32 filas. Una vez diseado el experimento en el software STATGRAPHICS con las caractersticas sealadas en este ejercicio e ingresado los puntajes totales, obtenido por las bebidas en cada combinacin de tratamientos, en el libro de datos generado, se ha analizado el experimento obteniendo una serie de resultados y representaciones grficas.

El mximo orden para la estimacin de los efectos corresponde a 4. Observando el diagrama de Pareto, que se expone en la figura siguiente, para la estimacin de los efectos de orden 4, se aprecia que los efectos significativos sobre el puntaje total de la bebida corresponden a; efecto A, efecto C, efecto D y la interaccin AD, correspondientes con el tipo de edulcorante, el nivel de carbonatacin, la temperatura y la interaccin entre el tipo de edulcorante y la temperatura.

Lo anterior es respaldado por la representacin grfica de probabilidad normal para los efectos calculados. El anlisis de varianza permite concluir que los factores que inducen diferencias estadsticamente significativas sobre la variable de respuesta (puntaje total de la bebida) corresponde con; A, C, D y AD para los rdenes entre 2 y 4 con p < 0.05, obviamente para orden 1 solo los factores puros A, C y D inducen diferencias estadsticamente significativas sobre la variable de respuesta puesto que este orden no considera las interacciones. Cabe destacar que para los rdenes entre 2 y 4 la fuente de variacin Bloque manifiesta diferencias estadsticamente significativas sobre la variable de respuesta lo que indica que cuando se replic el experimento no se obtuvieron comportamientos similares respecto al obtenido en primera instancia. Sin embargo como la prueba de Fisher es muy potente y menos conservadora esta diferencia puede ser ignorada cuando se trabaja con datos obtenidos a partir de un panel de evaluacin sensorial pequeo cuyo nivel de entrenamiento es desconocido.

BLOQUEABCDPuntajeBLOQUEABCDPuntaje

1-1-1-1-11592-1-1-1-1163

11-1-1-116821-1-1-1175

1-11-1-11582-11-1-1163

111-1-1166211-1-1168

1-1-11-11752-1-11-1178

11-11-117921-11-1183

1-111-11732-111-1168

1111-11792111-1182

1-1-1-111642-1-1-11159

11-1-1118721-1-11189

1-11-111632-11-11159

111-11185211-11191

1-1-1111682-1-111174

11-11119721-111199

1-11111702-1111174

1111119421111198

Anticipando la frmula que maximiza el puntaje total obtenido por la bebida, se puede sealar que esta debe poseer niveles altos para los factores A, C, D y un nivel bajo del factor B, obteniendo as un puntaje total optimizado igual a 198,0. Lo anterior se puede apreciar en la figura siguiente, donde se expone una representacin grfica de los efectos principales para el puntaje total de la bebida.

b) Determine un modelo apropiado y comente su idoneidad.Para determinar el modelo que prediga el comportamiento de la variable de respuesta, en primera instancia se desarrolla el clculo de los efectos estimados. En la tabla siguiente se expone el valor de los efectos estimados para el orden 4, adems se presenta el valor del error estndar para los efectos estimados que permite discriminar la importancia de dichos efectos. EfectoEstimadoError Estd.V.I.F.

Promedio175,250,474067

A17,00,9481341,0

B-1,6250,9481341,0

C10,8750,9481341,0

D8,3750,9481341,0

AB-0,1250,9481341,0

AC-0,6250,9481341,0

AD9,1250,9481341,0

BC-0,250,9481341,0

BD1,250,9481341,0

CD-1,250,9481341,0

ABC0,750,9481341,0

ABD-0,50,9481341,0

ACD0,00,9481341,0

BCD0,1250,9481341,0

ABCD-1,6250,9481341,0

Bloque2,3750,9481341,0

El modelo determinado que predice el comportamiento de la variable de respuesta sin descontar aquellos efectos estimados cuyo error posee una magnitud de igual o mayor magnitud que el valor del efecto estimado propiamente tal, se presenta a continuacin.

Puntaje Total = 175,25 + 8,5*A - 0,8125*B + 5,4375*C + 4,1875*D - 0,0625*A*B - 0,3125*A*C + 4,5625*A*D - 0,125*B*C + 0,625*B*D - 0,625*C*D + 0,375*A*B*C - 0,25*A*B*D + 0,0*A*C*D + 0,0625*B*C*D - 0,8125*A*B*C*D

Notar que tambin se presenta en la tabla anterior el factor de inflacin de varianza (V.I.F.). Para un diseo perfectamente ortogonal, todos los factores seran igual a 1. Factores de 10 o ms normalmente se interpretan como indicativos de confusin entre los efectos. Al descontar aquellos efectos estimados cuyo error posee una magnitud de igual o mayor magnitud que el valor del efecto estimado propiamente tal, marcados en negrita en la tabla anterior, se obtiene el siguiente modelo predictivo para el puntaje total de la bebida.

Puntaje Total= 175,25 + 8,5*A - 0,8125*B + 5,4375*C + 4,1875*D + 4,5625*A*D + 0,625*B*D - 0,625*C*D - 0,8125*A*B*C*D

Si solo consideramos aquellos factores o sus interacciones con significancia estadstica de los efectos sobre la variable de respuesta, basndose en el anlisis de varianza, se obtiene el siguiente modelo. En el modelo solo se consideraron el efecto de los factores A, C, D y AD como se haba anticipado en a).

Puntaje Total = 175,25 + 8,5*A + 5,4375*C + 4,1875*D + 4,5625*A*D

El conjunto de representaciones graficas anteriores corresponden al ajuste de los modelos sin exclusin (A), con exclusin (B) y el ltimo en el que solo los factores significativos estadsticamente son considerados (C). Las representaciones graficas permiten apreciar que la metodologa aplicada para la obtencin de un modelo idneo es apropiada pues el ajuste del ltimo modelo predictivo obtenido (C) es aceptable sobre todo para predecir valores elevados para el puntaje total de la bebida en estudio.

6. Un experimentador realiza un diseo 24 y obtiene los siguientes efectos estimados:

a) Determine los efectos significativos a travs de un grfico de probabilidad normal.El primer paso para la construccin del grafico de probabilidad normal, como ya se ha visto, es la ordenacin de los efectos estimados de mayor a menor, como se muestra en la siguiente tabla.ORDEN (i)EFECTOVALORPROBABILIDAD (Pi)

1A76,953,333

2BC20,7810,000

3BD14,7416,667

4AC11,6923,333

5ACD10,230,000

6AD9,7836,667

7CD1,2743,333

8ABC-2,8250,000

9ABCD-6,2556,667

10ABD-6,563,333

11C-7,8470,000

12BCD-7,9876,667

13D-18,7383,333

14AB-51,3290,000

15B-67,5296,667

Los valores de i son asignados en orden creciente entre 1 y m, donde m es el mximo valor de i (orden del ltimo efecto estimado). El valor de la probabilidad Pi se determina mediante la siguiente ecuacin.

El orden, efecto estimado, valor del efecto estimado y el clculo de la probabilidad se presenta en la tabla previamente expuesta. A partir de los valores de los efectos (x) y el valor de la probabilidad estimada (y) para cada efecto, se construye la representacin grfica de probabilidad normal presentada a continuacin.

Los efectos significativos sobre la variable de respuesta quedan ms alejados de la lnea recta trazada y se encuentran en negrita en la tabla de resultados. Dichos efectos corresponden a; Efecto B, Efecto AB y efecto A de izquierda a derecha. b) Construya un modelo tentativo.Basado en los resultados de presentados en a), y bajo la consideracin que solo los efectos A, B y su interaccin (AB) son significativos sobre la variable de respuesta, el modelo tentativo correspondera a la siguiente ecuacin.

7. A partir de los siguientes datos, determine:

X1X2y

-11-11-2+20000-1-11100-2+20074747273717275717375

a) Modelo de primer grado (lineal), chequee curvatura.Tras el anlisis de los datos al software STATGRAPHIC, se determin el valor de los efectos que son expuestos en la siguiente tabla.EfectoEstimadoError Estd.V.I.F.

promedio74,00,78293

A:X10,6035540,7829311,0

B:X2-2,164220,7829311,0

AA-2,01,035721,225

AB0,51,107231,0

BB-0,4999931,035721,225

Al comparar los errores estndares con los valores de los efectos estimados se advirti que los efectos X1X2 y X22 (AB y BB) no eran significativos sobre la variable de respuesta estudiada. Estos valores fueron excluidos del anlisis y el modelo obtenido se presenta a continuacin.Y = 73,7143 + 0,301777*X1 - 1,08211*X2 - 0,892859*X12Una vez considerado el anlisis de varianza se advirti que solo el factor X2 (B) era significativo sobre la variable de respuesta obtenindose el siguiente modelo de primer grado.Y = 73,0 - 1,08211*X2Este modelo de tipo lineal ha despreciado la curvatura puesto que los efectos de los elementos cuadrticos de X1 y X2 o sus interacciones no fueron significativas estadsticamente.b) Realice lneas de contorno en la superficie de respuesta.De la superficie de respuesta obtenida fueron representadas las lneas de contorno y dicha representacin se presenta a continuacin.

c) Dibuje una lnea que indique la etapa de ascenso en la superficie.La lnea que se ha agregado en la representacin grfica de contorno antes presentada, representa la etapa de ascenso para la variable de respuesta Y. La optimizacin se consigue para valores de X1 iguales a 0 y valores de X2 iguales a -1.4142, el valor optimo sealado corresponde a y=74.5303. La trayectoria o etapa de ascenso va desde valores positivos para X2 a valores negativos para X2 pasando por X1 igual a cero puesto que este factor no es significativo sobre la variable de respuesta; y. .

8. Un microbilogo est interesado en determinar el efecto de dos medios de cultivo y dos tiempos de incubacin sobre el crecimiento de un virus. Realiza 6 rplicas de un diseo 22, realizando las corridas en orden aleatorizado.

a) Analice los resultados de crecimiento y realice las conclusiones apropiadas.

Mediante el diagrama de Pareto se puede apreciar a simple vista que el tiempo de incubacin influye mayormente en el crecimiento del virus, adems de este factor la interaccin entre el tiempo de incubacin y el medio de cultivo tambin influye significativamente sobre el crecimiento del virus. Lo anterior es ratificado por el grafico de efectos principales para el crecimiento del virus, que se presenta a continuacin. En l se observa que el mayor efecto es el causado por el tiempo de incubacin debido a que posee una pendiente positiva, mientras que el medio de cultivo presenta una pendiente negativa y menos pronunciada.

La representacin grfica de contorno construida a partir de la superficie de respuesta estimada con el modelo de ajuste al que se le ha excluido el factor medio de cultivo, manifiesta que a medida que aumenta el tiempo de incubacin aumenta el crecimiento del virus analizado. El valor ptimo para el crecimiento del virus bajo estas condiciones esta dado para el medio de cultivo 1 y 18 horas de tiempo de incubacin, con un valor optimo igual a 36.5417.

b) Analice los residuos y comente la adecuacin del modelo predictivo.El modelo predictivo obtenido tras la exclusin del factor medio de cultivo es el siguiente.Crecimiento = 29,625 + 4,95833*Tiempo - 1,95833*Medio*TiempoA partir de este modelo se han calculado los valores predichos para las 24 combinaciones posibles de los 2 factores considerando las rplicas efectuadas. La tabla siguiente presenta la determinacin de los residuos calculados como se ha expuesto en ejercicios previos.FilaValores ObservadosValores ajustadosResiduos

121,00021,5830,583

225,00025,5000,500

337,00035,417-1,583

431,00031,5000,500

523,00021,583-1,417

624,00025,5001,500

738,00035,417-2,583

829,00031,5002,500

920,00021,5831,583

1029,00025,500-3,500

1135,00035,4170,417

1230,00031,5001,500

1322,00023,3331,333

1426,00027,2501,250

1539,00037,167-1,833

1634,00033,250-0,750

1728,00024,083-3,917

1825,00028,0003,000

1938,00037,917-0,083

2033,00034,0001,000

2126,00024,083-1,917

2227,00028,0001,000

2336,00037,9171,917

2435,00034,000-1,000

La representacin grfica siguiente se obtiene al representar los residuos calculados en funcin de los valores predichos.

La adecuacin del modelo predictivo seleccionado corresponde al clculo del coeficiente de determinacin; R2, obtenido al correlacionar los valores predichos v/s los observados. El valor de R2 para el modelo predictivo que se ha estado estudiando corresponde a 0.8996. Este valor ha sido determinado mediante mnimos cuadrados a travs del software de Microsoft Excel al igual que la representacin grfica siguiente. El valor obtenido para el coeficiente de determinacin nos muestra que la adecuacin del modelo predictivo estudiado representa apropiadamente el comportamiento de la variable de respuesta; crecimiento en funcin de los factores que influyen sobre este.

9. M.B. Kilgo describe un experimento para determinar el efecto de la presin de CO2 (A), temperatura de CO2 (B), humedad del cacahuate (man) (C), velocidad de flujo de CO2 (D), y tamao de partcula del man (E) sobre el rendimiento de aceite total por batch de man (y). Los niveles de los factores y el diseo son los siguientes:

a) Qu tipo de diseo fue utilizado? Identifique el patrn de confusin si lo hay. El diseo corresponde a factorial fraccionado (1/2). En cuanto al patrn de confusin se puede comentar que no es posible determinar el error estndar para rdenes de los efectos mayores a 1 puesto que no se cuenta con el nmero de grados de libertad requeridos para tal efecto. Con un orden igual a 1 no se presenta confusin pues el factor de inflacin de varianza mximo es igual a 1 lo que indica un diseo perfectamente ortogonal.

b) Estime el valor de los efectos y determine cules son importantes (use grfico de probabilidad normal). El anlisis fue efectuado considerando un mximo orden de efectos de 1. A partir del grafico de probabilidad normal se puede apreciar que los factores que son significativos sobre la variable de respuesta analizada son el tamao y la temperatura. Se pudo advertir que para un orden de efectos igual a 2 mltiples eran los factores y sus interacciones que influan significativamente sobre la variable de respuesta. Puntualmente todos los factores juegan un papel importante en el rendimiento de aceite total de man ya que ciertamente es un efecto pequeo se encuentran cercanos a la lnea de tendencia, pero los que generan el efecto significativo son la presin, el tamao de partcula y la temperatura, los cuales tambin pueden estar interactuando entre ellos, pero mediante representaciones graficas de probabilidad normal no se pueden observar con claridad.

En el diagrama de Paretto se observa claramente que el tamao de partcula, la temperatura y la presin representan en mayor medida los efectos significativos sobre el rendimiento, donde adems se genera un efecto menor dado por la interaccin entre la presin y el tamao de partcula, y entre la humedad y el tamao de partcula.

c) Analice los residuos y comente la idoneidad del modelo predictivo.Modelo predictivo con los factores que tienen incidencia en el rendimiento de aceite total del man: Rendimiento = -22,3585 + 0,218291*Presion - 0,214683*Temperatura - 3,61042*Humedad + 1,69136*Flujo + 3,80398*tamao + 0,00111111*Presion*Temperatura + 0,00185185*Presion*Humedad - 0,00296296*Presion*Flujo - 0,0374382*Presion*tamao + 0,00857143*Temperatura*Humedad - 0,0025*Temperatura*Flujo + 0,0225*Humedad*Flujo + 0,451264*Humedad*tamao - 0,126354*Flujo*tamao

Los residuos no poseen una tendencia en su distribucin, por lo que se deduce que en el experimento se consideraron todos aquellos factores significativos.

Dada la complejidad del modelo presentado, no se reconoce este modelo como el ms idneo desde el punto de vista prctico, ahora bien estadsticamente es correcto y su generacin posee justificacin analtica y sigue la metodologa empleada a travs de toda esta resolucin. Por otra parte modelos ms sencillos como los de orden de efectos igual a 1 considera solo dos de los tres que influyen fuertemente sobre el rendimiento del aceite total del man.10. Analice el siguiente diseo de mezcla para la variable de respuesta resistencia a la extensin

La siguiente representacin grafica manifiesta el comportamiento de la variable de respuesta en funcin de los tres factores que componen la muestra.

Dependiendo de la meta fijada, ya sea maximizar, minimizar u obtener un valor fijo para la resistencia a la extensin de la masa de pan francs congelado, diversas va a ser las cantidades o ms bien proporciones de cada emulsionantes requeridos. Si la meta es obtener una mayor resistencia a la extensin hay que maximizar y se usara la zona cercana al componente A=0,0 es decir la superficie pintada de color amarillo, donde la proporcin de todos los componentes optimiza la resistencia a la extencion. El detalle para cumplir con esta meta se presenta a continuacin. Optimizar Respuesta

Meta: maximizar Var_1

Valor ptimo = 0,423725FactorBajoAltoptimo

Comp_A0,01,03,85853E-11

Comp_B0,01,00,631507

Comp_C0,01,00,368493

El modelo que predice la resistencia a la extensin en funcin de los factores en estudio es el siguiente:

Resistencia = 0,343231*Comp_A + 0,379231*Comp_B + 0,293231*Comp_C - 0,500615*Comp_A*Comp_B - 0,0686145*Comp_A*Comp_C + 0,327385*Comp_B*Comp_C

El modelo es de tipo cuadrtico considera el efecto principal de cada uno de los factores que componen la mezcla y su interaccin. El comportamiento de los residuos puede ser mejorado considerando un modelo predictor del tipo cubico especial. Esto se advierte en las figuras adjuntas.