derivadas

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GUA: LA DERIVADA

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3. LA DERIVADA

3.1 Introduccin

Esta ciencia (matemticas) no tiene como nico objetivo contemplar eternamentesu propio ombligo; ella toca la naturaleza y algn da har contacto con ella. En eseda ser necesario descartar las definiciones puramente verbales y no ser nuncams la vctima de palabras vacas. (Henri Poincar)

En los captulos anteriores hemos introducido de manera intuitiva la nocin de derivada y,

luego, hemos estudiado el concepto de lmite y sus propiedades.

Esto nos va a permitir establecer en lo que sigue la definicin de la derivada con un mayor

grado de precisin matemtica. Aunque esta precisin se empezara a desarrollar con los

matemticos del siglo XIX, la realidad es que, en sus aspectos esenciales, los resultados

que vamos a estudiar a continuacin fueron obtenidos en los dos siglos anteriores. Los

padres del Clculo, Newton y Leibniz, y los grandes matemticos que les siguieron como

los hermanos Bernoulli, Euler, D'Alembert y otros, desarrollaron ampliamente el nuevo

campo matemtico y sus aplicaciones a las ciencias fsicas sin las precisiones y el rigor

que solo se lograra en el siglo XIX.

3.2 El Concepto de Derivada

Definicin 1: y = f (x) definida en x0, y en v (x0) para valores menores que x0.

h 0 0tal que x h v (x ) +

Entonces :

Si 0 0h 0

f (x h ) f (x )lim

h+

existe, el numero real correspondiente se

llama La derivada lateral por la izquierda de y f(x) en x = x0, respecto

de x Se denota ,

f (x0)

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Definicin 2: y = f (x) definida en x0, y en v (x0) para valores menores que x0.

h 0 0tal que x h v (x )+ +

Entonces :

Si 0 0h 0

f (x h ) f (x )lim

h+

existe, el numero real correspondiente se

llama La derivada lateral por la derecha de y f(x) en x = x0, respecto

de x Se denota ,

f+ (x0).

Definicin 3: y = f (x) definida en x0, y en v (x0). Si las derivadas laterales de y= f(x) respecto de x, existen y son iguales en x = x0, el numero real

comn se llama La derivada de y = f(x) en x = x0, respecto de x

Se denota:,

f (x0), ,

0xy , 0x

dydx

, ] 0X xD f (x)

Observaciones:

1) En las definiciones anteriores: h se llama El Incremento de la VariableIndependiente, que tambin se denota x y que tiene un valor muypequeo dado que 0x h+ o 0 xx + estn en v (x0).A 0 0f (x h ) f (x )+ o 0 x 0f (x ) f (x )+ se le llaman ElIncremento de la funcin o de la variable dependiente : y .

A 0 0f (x h ) f (x ) y

h x+ = cuociente de incrementos

,0 x 0

yf (x ) limx

=

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2) La definicin 3) de derivada de y = f (x) definida en x = x0 respecto dex es:

y = f(x) definida en x0 y en v (x 0).

Si 0 0h 0

f (x h ) f (x )lim

h+ = entonces es la derivada de y = f(x) en

x = x0 respecto de x.

3) Grficamente:

Ejercicio 1: Calcular la derivada lateral por la izquierda en x0 = 4 para y = 3x + 1.

Resolucin : f (x) = 3x + 1, 0 0f (x h ) f (x )+ = f(4 + h) f(4) = 3h donde h

0 0h 0 h 0 h 0

f (x h ) f (x ) hlim lim 3 lim 3 3h h

+ = = =

,f (4) = 3

y

xx0 x0 + h

xh = 14243

y= f (x)

f( x0 +h

f(x0)

f(x h ) f (x ) y0 0

+ =

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Ejercicio 2: Calcular la derivada de y = sen x en x = x0 = 4

Resolucin : f (x) = sen x , 0 0f (x h ) f (x )+ = sen (x0 + h) sen (x0) =

2 cos ( x0 + h2 ) sen h2

0 0h 0 h 0

f (x h ) f (x )lim lim

h + = 0

hsenh 2cos x h22

+ = cos x0

,f (x0) = cos x0

Ejercicio 3: Calcular la derivada de y = x

7 en x = x0.

Resolucin : f (x) = x

7 , 0 0f (x h ) f (x )+ = x h x0 07 7

+

x h x h0 0 x x0 00 0h 0 h 0 h 0

f (x h ) f (x ) 7 7 7 1lim lim 7 lim 7 ln 7h h h

+

+ = = =

,f (x0) x07 ln 7=

Observaciones:

1) En adelante cuando nos refiramos a las derivadas, nos estamosrefiriendo a la tercera definicin: con h . Cuando nos refiramos a lasderivadas laterales, lo sealaremos explcitamente.

2) Si existe la derivada de y = f(x) en x = x0, diremos que y = f(x) esDerivable o diferenciable en x = x0. El proceso para encontrar la

derivada: Derivacin o Diferenciacin ( respecto de x ) en x = x0.3) La derivada de y = f(x) en x = x0 es un numero real.

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Teorema 1: Si y = f (x) es derivable en x = x0 entonces es continua en x = x0

Observacin : La proposicin reciproca es falsa

3.3 Las Funciones Derivadas.

Definicin 1: y = f (x) es derivable en D (Dominio) si y solo si es derivable 0x D .Definicin 2: La funcin que da la derivada de y = f (x) en D, se llama la funcin

Derivada de y = f (x) en D.

Se denota:

( ) ( ), ,, Xdy df x , f(x) , y , , f (x), D f(x)dx dxEjercicio 1: Encontrar la funcin derivada de y = 5x2 2x + 3.

Resolucin : f (x) = 5x2 2x + 3 tiene D = . Sea 0x D

20 0 0

0f (x h ) f (x ) 5h 10 x h 2h

5h 10 x 2h h

+ = = +

( )0 0 0 0h 0 h 0f (x h ) f (x )

lim lim 5h 10 x 2 10 x 2h

+ = + =

La funcin derivada es ,

y = 10 x0 2 donde 0x D = Esta funcin se anota:

,y = 10 x 2 , ( ), Xdyf x 10 x 2, 10 x 2, D f(x) 10 x 2dx= = =

La funcin derivada ,

y = 10 x0 2 da la derivada de y = 5x2 2x + 3

x .

Ejemplo si x = 5 o x = 5 ( ),f 5 10 5 2 48...........etc.= =

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Ejercicio 2: Encontrar la funcin derivada de y = 1x

Resolucin : y = f (x) = 1x

tiene D = .

( )h1 1f (x h ) f (x)

x h x x x h+ = + =+ +

( ) 2f (x h ) f (x) 1 1

h x x h x xh+ = = + +

2 2h 0 h 0

f (x h ) f (x) 1 1lim limh x xh x

+ = = +

2, 1y

x = es la funcin derivada de y = 1 en

x

Ejercicio 3: Encontrar la funcin derivada de y = x

Resolucin : f (x) = { }x tiene D 0+= el nico valor conflictivo es x0pero no hay elementos de v (x0) menores que 0, esto debe reflejarse

en la funcin derivada.

( )

x h x x h xf (x h ) f (x)h h x h x

h 1x h xh x h x

+ + ++ = + += = + ++ +

h 0 h 0

f (x h ) f (x) 1lim limh 2 x

+ =

, 1y2 x

= y tal como dijimos, ,y no existe.

, 1y x es derivable en solamente, y su derivada y2 x

+ = =

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Ejercicio 4: Dada

x 1 si x 2, ,

f (x) 5 si x 2 Calcular f (3) y f (2)x si x 2

+ >= = + = + =

f ( 2 h) f(2) 3 h 5 21h h h

+ + = =

h 0 h 0

, ,

f (2 h ) f (2) 2lim lim 1h h

f (2) no existe f (2) no existe.

+

+ = =

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Grficamente:

3.3 Reglas de DerivacinAn cuando se puede calcular un solo lmite que nos da la funcin derivada de una

funcin dada, los clculos tal como usted lo ha visto suelen ser muy engorrosos. Pero

aqu, tambin, podemos tomar caminos ms cortos que nos permiten calcular derivadas

con un mnimo de esfuerzo. Para ello veremos un teorema que da una lista de

propiedades de la derivada.

Teoremas : . Propiedades de las Derivadas

1) f(x) = x es derivable en , y ,

f (x) 1=2) f(x) = k es derivable en , y

,f (x) 0=

Observacin : Los dos teoremas anteriores se pueden enunciar:

1) ( ),x 1 en= 2) ( ),k 0 en=

0

3

2

5

2

o

o

x

yf (x)

Figura 3.3.1

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Teoremas : f(x), g(x), derivables en D, entonces:

3) ( ), , ,f (x) g(x) f (x) g (x)+ = +

4) ( ), , ,f (x) g(x) f (x) g (x) = ....... ( ), , , ,f (x) g(x) h(x) f (x) g (x) h (x)+ = +

5) ( ), , ,f (x) g(x) f (x) g(x) g (x) f(x) = + ...... ( ), , , ,f (x) g(x) h(x) f (x) g(x) h(x) g (x) f(x) h(x) h (x) f(x) g(x) = + +

6) ( )2, , ,

f (x) f (x) g(x) g (x) f (x)g(x) g(x)

= ......... en D.

7) ( ), ,k g(x) k f (x) =

8) ( )2, ,

f (x)1f(x) f (x)

=

9) ( ) [ ]n1 1, ,n1f (x) f (x) f (x)

n

=

10) [ ]( ) [ ]r , r 1 ,f(x) r f (x) f (x) , r=

Observacin: ( ) ,, f (x)f (x)2 f(x)

=

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Teoremas : En sus dominios de definicin.

11) ( ),sen x cos x=12) ( ),cos x sen x= 13) ( ) 2,tgx sec x= 14) ( ) 2,cot x cosec x= 15) ( ),sec x sec x tgx= 16) ( ),cosec x cosec x cot x=


17) ( )2

, 1arc sen x1 x

=

18) ( )2

, 1arc cos x1 x

=

19) ( ) 2, 1arc tgx

1 x= +

20) ( ) 2, 1arc cot x

1 x= +

21) ( )2

, 1arc sec xx x 1

=

22) ( )2

, 1arc cosec xx x 1

=

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23) ( )x x,a a lna= 24) ( )x x,e e=25) ( )a a, 1log x log ex=

26) ( ), 1ln xx

=

3.4 Derivacin de Funciones Compuestas.

La derivacin de las funciones compuestas esta regida por el siguiente teorema:

Teorema ( REGLA DE LA CADENA)

y = g (u) , u = f(x), tales que

u = f(x) es derivable respecto a x en Df , y tiene recorrido Rf.

y = g (u) es derivable respecto a u en Rf.

Entonces: y = g ( f(x)) es derivable respecto a x en Df y se tiene

,dy dy du ydx du dx

= =

Observacin 1: La regla de la cadena se generaliza a funciones compuestas de mas dedos funciones, cuyos dominios y recorridos estn relacionados como lo

exigi el teorema. De este modo, si

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y = h (u), u = g (v), v = f (x)

y existen dydu

dudv

dvdx

Entonces y = h (g(f(x))) es derivable respecto a x en Df

y se tiene ,dy dy du dv y

dx du dv dx= =

..... el resultado se expresa en funcin de la variable x.

Observacin 2: Los teoremas que dan las funciones derivadas se acostumbran aanotarlas llevando implcita la regla de la cadena.

u = f(x)

ejemplo:

.....................

7) d duk u kdx dx

=

...............................

11) d ducos u senudx dx

=

......................................

26) d 1 duln udx u dx

=

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3.5 Derivadas de Orden Superior.

Dada una funcin, una vez que se calcula la primera derivada, es posible a su vez

calcular la derivada de esta derivada y as sucesivamente. Estas se llaman derivadas de

orden superior. As

A partir de f(x) derivando respecto a x obtenemos. Pero ,

f (x) puede a su vez ser

derivada respecto a x, obtenindose: la funcin derivada de, llamada tambin La Funcin

Segunda Derivada de f(x. Este proceso puede repetirse y se tiene:

f(x)

1) Derivando respecto a x : ,

f (x) , ,

y , dydx

, d f(x)dx

o Dxf(x), llamada Funcin

Primera Derivada de f(x).

2) Derivando respecto a x nuevamente:

"f (x) , "y , 2

2d ydx

, 2

2d f(x)

dx o 2XD f(x), llamada Funcin Segunda Derivada de f(x) o

Derivada de Segundo Orden.

3) Derivando respecto a x nuevamente:

,,,f (x) ,

,,,y ,

3

3d ydx

, 3

3d f(x)

dx o 3XD f(x), llamada Funcin Tercera Derivada de f(x) o

Derivada de Tercer Orden.

........................................................................................................................................

n)................. nf (x) , n

y , n

nd ydx

, n

nd f(x)

dx o nXD f(x), llamada Funcin Ensima o

Derivada de Orden n.

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Ejercicios propuestos

1-. Usando solo la definicin, calcular f ( x0 ) en el x0 donde :

0 0

0 0

2 x0 0

1a) f(x) 3x , x 2 b) f(x) , x 3x

c) f(x) x , x 5 d) f(x) log x , x 4

e) f(x) 1 x , x 5 e) f(x) e , x 3

= = = =

= = = =

= = = =

2-. Comprobar las siguientes derivadas:

( )4 2 3da) 3x 2x 8 12x 4xdx + = 2 7

6d z zb) z zdz 2 z

= d 1 dvc) v

dx dx2 v=

2 2 3d 2 3 2 6d)

dx x x x x = +

3 1 1 54 4 4 4d 3e) 2t 4t t t

dt 2

+ = 2

2d a bx cx af) cdx x x

+ + =

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d x 2 1 1h)dx 2 x 4 x x x

= +

d a a ai) ax

dx ax 2 ax 2x ax + =

d 1j) 1 2d 1 2

=

( )3

23

d 3k) 4 9 xdx 4 9x

=

( )2 2 32 2d 1 xl)

dx a x a x

=

3-. Hallar las siguientes derivadas:

2

2dyb 2b ba) y a a

x dx xx = =

3 2

2 3 2dyb 6b bb) y a adxx x x

= = + dy 2a 3bxc) y x a bxdx 2 a bx

+= + = +2 2

2 22 2

a 2tdsd) s t a tdt a t

+= + =+

2a bt ctd a b 3c tg)dt 2t 2t t 2 t

+ + = + +

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( )2dya x 2ae) y

a x dx a x

= = + +

( )2 2 2

2 2 22 2

a x dy 4a xf ) ydxa x a x

+= =

( )2 2 2

12 2 2 2

dya x ag) ydxx

x a x

+= = +

( )2

32 22 2 2

x dy ah) ydxa x a x

= =

22 6 10dri) r 3 4

d 3 4 = =

( ) 2 2dy1 cx cj) y

1 cx dx 1 cx 1 c x

= = + +

( )2 2 2

2 2 2 2 4 4

dya x 2a xk) ydxa x a x a x

+= =

( ) ( )3

2 43 3

2 3t ds 4l) s2 3t dt

2 3t 2 3t

+= = +

dy pm) y 2pxdx y

= =

22 2

2dyb b xn) y a x

a dx a y= =

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4-. Derivar las siguientes funciones:

( ) dy aa) y ln ax bdx ax b

= + = +

( )2 2dy 2axb) y ln ax b dx ax b= + = +( )2 dy 2ac) y ln ax b

dx ax b= + = +

n dy nd) y lnaxdx x

= =

23 dy 3 ln xe) y ln x

dx x= =

dy log e2f ) y logx dx x

= =

( )2

2x dy 2g) y ln

dx1 x x 1 x= =+ +

22

dy 2xh) y ln 9 2xdx 9 2 x

= =

( ) ( )dy 2a 3xi) y ln ax a x dx 2x a x+= + = +( )'j) y x ln x f x 1 ln x= = +

( )2 ' 21k) y ln x 1 x f (x) 1 x= + + = +( )2 ' 21l) y ln x 1 x f (x) 1 x= + + = +

2 2 2a bt ds abm) s lna bt dt a b t+= =

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ax nxdyn) y e nedx

= =

nx nxdyo) y 10 n10 ln10dx

= =

2 2x xdyp) y e 2x edx

= =

x xdy2 2q) ydxe e

= =

tt ds er) s e

dt 2 t= =

2ln x dy 1 ln xs) y

x dx x= =

( )x x

x 2x

e 1 dy 2 et) ydxe 1 e 1

= =+ +

x x x xa a a adya 1u) y e e e e

2 dx 2 = = +

2

2 3ln t 2 4ln tdsv) s

dtt t= =

( )2 '2 2

x 1 x 2w) f(x) ln f xx 1 x x 1

+ = =+ + +

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5-. Derivar las siguientes funciones:

2 2dya) y sen ax 2 ax cos axdx

= =

2dy sec 1 xb) y tg 1 xdx 2 1 x

= =

3 2dyc) y cos x 3 sen x cos xdx

= =

'd) y sen ax y a cos ax= ='e) y 3 cos 2 x y 6 sen 2x= = 'f ) y sec 4x y 4 sec 4x tan 4x= =

sen 2tdsg) s cos 2tdt cos 2t

= =

( )2

323

sec 3dh) tan 3d

tan 3

= =

dy 2 tan x4i) ydxsec x sec x

= =

2sen cos sendj)

d = =

dyk) y ln sen ax a cot axdx

= =

dyl) y ln cos 2x tan 2xdx

= =

2dyx 1 x xm) y ln tan cot sec2 dx 2 2 2

= =

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1 sen x dyn) y ln sec x1 sen x dx

+= =

6-. Hallar las siguientes derivadas:

( )x xdya) y x x 1 ln xdx

= = +

( )xx x 2 ln xdyb) y xdx 2 x

+= =

t ta ds a ac) s ln 1t dt t t

= =

sen x senxdy sen xd) y x x cos x ln xdx x

= = +

( ) ( )x dye) y cos x y ln cos x x tan xdx

= =

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3.6 Aplicaciones Geomtricas de la Derivada.

3.6.1 Tangente a una curva en un punto dado de ella.

Definicin 1: Sean P0 y Q dos puntos de la curva correspondiente a y = f(x). La rectaP0Q se llama una secante (geomtrica) de la curva por P0 y Q. Si Q

tiende a P0, la posicin limite que adopta la secante se llama la

tangente geomtrica de la curva en el punto P0 de ella.

Teorema 1: La ecuacin de la Tangente (geomtrica) de la curva correspondiente ay = f(x), en el punto P0(x0,y0) de ella es:

y - y0 =,

f (x) ( x x0)

Observaciones:

La pendiente o direccin de la recta y - y0 =,

0f (x ) ( x x0) es m =

,0f (x ) , que es numricamente igual a tg , donde es el ngulo que

la recta forma con el eje OX, medido desde OX:

Q

Q

P0

Secante

y = f(x)

P0

Tangente

y = f(x)

Figura 3.6.1

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Respecto de y = f(x) se dice entonces:

La pendiente o direccin de la curva de ecuacin y = f(x) en el punto P0 (x0,y0) de ella es,

0f (x ) , y dado que ,

0f (x ) = tg se dice tambin que el ngulo ( que forma......) de lacurva con el eje OX en P0 es , medido desde OX.Si = 0o en P0, se dice que la curva es paralela a OX en P0.

0

x

y

0

x

y

Figura 3.6.2

P0

x0

x

,0( )f x = tg

0x0

P0

y

x

,0( )f x = tg

Figura 3.6.2

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3.6.2 Normal de una curva en un punto dado de ella.

Definicin 2: La normal a una curva en un punto P0 de ella es la recta perpendiculara la tangente geometrica en el punto P0.

Teorema 2: La ecuacin de la (recta) Normal a la curva de ecuacin y = f(x) en elpunto P0 (x0, y0) de ella es:

y - y0 = ,0

1

f (x ) ( x x0)

P0

Normal en P0Tangente en P0

NC

Figura 3.6.3

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3.7 Aplicaciones de la Derivada al Estudio de Funciones.

3.7.1 Teorema 1: Teorema de Rolle

f(x) continua y derivable en [ ]a,b , f(x) = f(b) = 0.Entonces : existe ( )0x a, b donde , 0f (x ) 0=

Grficamente :

Si una curva continua parte de a y llega a b sobre el eje OX, existen x0 donde la curva es

paralela a OX.

3.7.2 Teorema 2: Teorema del Valor Medio para las Derivadas

f(x) continua y derivable en [ ]a,b . Entonces : existe ( )0x a, b donde,

0f(b) f(a)f (x )

b a=

Grficamente :

bx 0x

x 0a

Figura 3.7.1

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3.7.3 Funciones Crecientes y Decrecientes

Definicin 1: f(x) en D.

a) ( f(x) es una Funcin Creciente en D ) ( x1, x2 D; y x1< x2entonces f(x1) < f(x2)).

b) ( f(x) es una Funcin Decreciente en D ) ( x1, x2 D; y x1< x2entonces f(x1) > f(x2)).

c) ( f(x) es una Funcin No Creciente en D ) ( x1, x2 D; yx1< x2 entonces f(x1) f(x2)).

d) ( f(x) es una Funcin No Decreciente en D ) ( x1, x2 D; yx1< x2 entonces f(x1) f(x2)).

bx0a

( ) (f b f a

14444444244444443b a

P

x

Figura 3.7.2

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Grficamente:

Teorema 3: f(x) derivable en D:

a) ( f(x) es Creciente en D ) ( ),f (x) 0 en D> :b) ( f(x) es Decreciente en D ) ( ),f (x) 0 en D< :

Ejemplo 1: Para f(x) = x3 x2 encontrar los intervalos donde es creciente y losintervalos donde es decreciente.

Resolucin : f(x) = x3 x2 es derivable en ., ,2 2f (x) 3x 2x f (x) 0 si x 0, x

3= = = =

Para estudiar las variaciones del signo de ,

f (x)

x : - 0 23

+ ,

f (x) + 0 - 0 +

Creciente Decreciente No Creciente No Decreciente

x x x x

Figura 3.7.2

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f(x) es creciente en ( ) 2, 0 ,3

+ :

es decreciente en 20,3

:

3.7.4 Mximos y Mnimos Locales de Funciones

Definicin 4: f(x) definida en D, entonces:

a) (f(x) tiene un Mximo Local en x = x0) ( v(x0) donde f(x0) > f(x) x v(x0) ).

b) (f(x) tiene un Mnimo Local en x = x0) ( v(x0) donde f(x0) < f(x) x v(x0) ).

Observaciones:1) Los Mximos Locales (ML) y los Mnimos Locales (mL) de f(x) se

llama tambin, Valores Extremos de f(x). (VE).

2) Recordemos que x0 v(x0).

Para determinar los valores de x para los cuales y = f(x) tiene valores extremos,

utilizaremos el siguiente teorema:

Teorema 4: f(x) continua en (a,b), , ,

0 0 0x (a,b), f (x ) 0 o f (x ) no existe : =Entonces:

a) (en x0 hay un ML) ( v(x0) donde : ,f (x) 0> x < x0 y ,f (x) 0< x > x0 ).

b) (en x0 hay un mL) ( v(x0) donde : ,f (x) 0< x < x0 y ,f (x) 0> x > x0 ).

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Observaciones:1) Llamaremos Valores Crticos (VC) de x a los valores de x para los

cuales la primera y segunda derivada se anulan o no existen.2) Dado que la existencia de un VE esta asociado a un cambio de

signo de la primera derivada, para determinarlos, estudiaremos las

variaciones de signo de la primera derivada en los intervalos

determinados por los VC de la primera derivada.

Ejemplo 2: Determinar los valores extremos de f(x) = x3 x2.

Resolucin : f(x) = x3 x2 es derivable en es continua en .,

,

2f (x) 3x 2x que existe x

2VC de f (x): x 0, x3

=

= =

Las variaciones del signo de ,

f (x)

x : - 0 23

+ ,

f (x) + 0 - 0 +

en x = 0 hay un Mximo Local. x = 2

3 hay un Mnimo Local.

mLML

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3.7.5 Concavidades y Puntos de Inflexin de una curva.

La curva correspondiente a la funcin f(x) la podemos considerar compuestas de

segmentos de arcos que pueden estar abiertos hacia arriba o hacia abajo

En la figura 3.7.3, podemos decir que aproximadamente en los intervalos [a,x1] y [x2, b]

los arcos correspondientes de la curva estn abiertos hacia abajo, y en [x1, x2] el arco

esta abierto hacia arriba.

Definicin 5: a) f(x) tiene Concavidad Positiva en un intervalo, si y solo si en eseintervalo le corresponde un arco abierto hacia arriba.

b) f(x) tiene Concavidad Negativa en un intervalo, si y solo si en eseintervalo le corresponde un arco abierto hacia abajo.

c) f(x) tiene un Punto de Inflexin en P0 (x0, y0 ) si y solo si P0 separaarcos de concavidades opuestas.

Teorema 5: f(x) en D, "

f (x) existe en D

a) ( f(x) tiene Concavidad Positiva en D ) ( )"f (x) 0 en D> : b) ( f(x) tiene Concavidad Negativa en D ) ( )"f (x) 0 en D< :

f(x)

PIPI

a x1 x2 b

x

Figura 3.7.3

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Observacin : En la figura 3.7.3, en los puntos de abscisas x1 y x2 hay Puntos deInflexin (PI).

Teorema 6: f(x) en (a,b), " "0 0 0x (a,b), f (x ) 0 o f (x ) no existe : =Entonces:

a) (en x0 hay un PI) ( v(x0) donde : "f (x) 0> x < x0, y "f (x) 0< x > x0 ).

b) (en x0 hay un PI) ( v(x0) donde : "f (x) 0< x < x0 y "f (x) 0> x > x0 ).

Observacin : Para determinar los puntos de inflexin de y = f(x) hay que estudiar las

variaciones de signos de "f (x) en los intervalos determinados por sus

valores crticos.

Ejemplo 3: Determinar VE, zonas de crecimiento, de decrecimiento, concavidades

y PI de 3

2xy 2x3

=

Resolucin : 3

2xy 2x3

= ,

"

2f (x) x 2x VC : 0 , 4

f (x) 2x 2 VC : 1

= =

x : - 0 1 4 + ,

f (x) + 0 - - - 0 +

"f (x) - - - 0 + + +

PI mLML

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Observacin : Haciendo uso de "

f (x) tambin es posible determinar los VE de y = f(x),

de acuerdo al siguiente teorema:

Teorema 7: f(x) en (a,b); , ,"

0 0f (x), f (x) existen en (a,b), x (a,b), f (x ) 0 =Entonces:

a) Si "f (x) 0> entonces en x = x0 hay un mL.b) Si "f (x) 0< entonces en x = x0 hay un ML.

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