Derivadas

Estudio de diferentes tipos de funciones y el calculo de la

derivada

Curso de Analisis Real Prof. Alberto Soto

Tipos de funciones

• Funciones reales de variable real

• Funciones reales de variable vectorial (campo escalar)

• Funciones vectoriales de variable real (curvas)

• Funciones vectoriales de variable vectorial (campos vec-toriales)

Funciones reales de variable real

El calculo de la derivada en este caso corresponde a la pro-ceso usual de calcular la pendiente de la recta tangente enel punto (x, f (x)).

Funciones reales de variable vectorial (campo escalar)

En este tipo de funciones utilizamos las derivadas parciales,en el caso de dos dimensiones permite calcular la ecuaciondel plano tangente. Vemos esto con mas detalle.

Si z = f (x, y) indica que la variable z depende de x y dey. Por lo que se puede derivar con respecto a una variable,considerando la otra como una constante. Esto es lo quesignifica derivar parcialmente. Se define el vector gradientecomo

∇f = (fx, fy) =

(∂f

∂x,∂f

∂y

)=

(∂z

∂x,∂z

∂x

)Este vector permite calcular derivadas direccionales pormedio de la igualdad

Dfµ((x0, y0)) = ∇f (x0, y0) · µ

donde el producto indicado es el producto escalar o productopunto.

Al ver el punto (x0, y0, f (x0, y, 0)) en la superficie, se notaque los vectores ~u = (1, 0, fx(x0, y0)) y ~v = (0, 1, fy(x0, y0))son los vectores directores del plano tangente por lo que

~n = ~u× ~v = (fx(x0, y0), fy(x0, y0),−1)

es el vector perpendicular al plano. Por lo que la ecuaciondel plano tangente es

~n · (x− x0, y − y0, z − z0) = 0

Funciones reales de variable real definidas implıcitamente

Lo indicado para las derivadas parciales, es util paracalcular la derivada de una funcion univariada definidaimplıcitamente, por medio de la ecuacion F (x, y) = 0. Yaque, como es una funcion constante su derivada, vista comofuncion de dos variables, es cero. Ası

DF = Fxdx + Fydy = 0⇒ dy

dx= −Fx

Fy

Funciones reales de variable vectorial definidasimplıcitamente

En forma semejante al caso con una variable, si se tiene unaecuacion F (x, y, z) = 0, la cual define una funcion de dosvariables z = f (x, y) se calculan las derivadas parciales

zx =∂z

∂x= −Fx

Fzy zy =

∂z

∂y= −Fy

Fz

Por lo que Dz = ∇(z) = (zx, zy)

Funciones reales de variable real definidas en formaparametrica. (Curvas Planas)

Ahora las variables x y y dependen de una tercera variable,digamos t, ası x = x(t) y y = y(t). Se puede calcular laderivada al considerar la funcion G : R→ R2 cuya derivadaes DG = G′(t) = (x′(t), y′(t)). Para calcular la pendientede la recta tangente a una curva en el punto (x(t0), y(t0)),basta con ver el angulo de este vector con el eje X , que eneste caso es m = y′(t)

x′(t) justificable tambien al usar la regla dela cadena

Dy =dy

dx=dy

dt· dtdx

=dydtdxdt

=y′(t)

x′(t)

Funciones reales de variable vectorial definidas en formaparametrica con un parametro. (curvas en el espacio)

La situacion se simplifica, pues ya no hay pendiente de larecta tangente, solo se calcula el vector director y se utiliza laecuacion vectorial de la recta para describirla: L : P −P0 =vt. Ası, si x = y(t), y = y(t) y z = z(t). Para calcularla ecuacion de la recta tangente a una curva en el punto(x(t0), y(t0), z(t0)) se utiliza la formula

(x− x(t0), y − y(t0), z − z(t0)) = (x′(t0), y′(t0), z

′(t0))t

Funciones vectoriales de variable vectorial. Camposvectoriales.

En este caso f : Rn → Rm, para simplificar el ejem-plo supondremos m = 3 y n = 2, ası f (x, y) =(f1(x, y), f2(x, y), f3(x, y)) cada una de las funciones fi soncampos escalares. Para calcular la derivada definimos la ma-triz Jacobiana, con tantas columnas como la dimension delespacio dominio y filas como la del codominio.

Df =

f1x f1y

f2x f2y

f3x f3y

Tambien se define el Jacobiano, como el determinante de lamatriz anterior, cuando este definido.

Regla de la cadena

Ahora se mezclaran los tipos anteriores de funciones paracalcular la derivada de funciones compuestas.Sean f : Rn → Rm y g : Rm → Rp funciones derivablesentonces se sabe que la composicion de f y g, la funciong ◦ f : Rn → Rp es una funcion derivable y la derivada deg ◦ f se calcula por medio de la formula

D(g ◦ f ) = Dg(f ) ·Df

Donde el producto indicado se modifica dependiendo del tipode expresiones se tengan.

Caso particular

Suponga que z = f (x, y) y que x = x(t) y y = y(t), todasfunciones derivables ¿Cual es dz

dt?

Defina G : R → R2 tal que G(t) = (x(t), y(t)). G es unacurva derivable y DG = (x′(t), y′(t)), como z = F (t) =(f ◦G)(t) entonces

F ′(t) =dz

dt= Df (G) ·DG = ∇f (G(t)) ·DG(t)

= (fx(G(t)), fy(G(t))) · (x′(t), y′(t))= fx(G(t))x′(t) + fy(G(t))y′(t)

Aquı, la multiplicacion es el producto escalar.

Funciones reales de variable vectorial definidas en formaparametrica con varios parametros. (superficies)

Se hara el calculo con dos variables que dependen de tresvariables, de forma que la situacion es que z = f (x, y) yx = x(u, v, w) y y = y(u, v, w). Ası, defina G : R3 → R2

tal que G(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w)), de esta formaz = (f ◦G)(u, v, w), por lo que:

Dz = Df (G) ·DG = ∇f (G) ·DG

= (fx(G(u, v, w)), fy(G(u, v, w))) ·(xu xv xwyu yv yw

)= (fxxu + fyyu, fxxv + fyyv, fxxw + fyyw)

En particular ∂z∂u

= ∇f (x, y) · ∂∂u

(x, y) = (fx, fy) · (xu, yu) =fxxu + fyyu

Otra mezcla para usar la Regla de la cadena

Suponga que F (x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)), x = x(u, v) yy = y(u, v). Defina G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) entonces,F = (f1, f2) ◦G es una funcion Vectorial de dos variables uy v, usando la regla de la cadena:

DF (u, v) = DF (G)·D(G) =

(f1x(G) f1y(G)f2x(G) f2y(G)

)·(xu xvyu yv

)En particular se tiene que

∇fi(u, v) = ∇fi(x, y) ·∂(x, y)

∂(u, v)

= (fix, fiy) ·(xu xvyu yv

)= (fixxu + fiyyu, fixxv + fiyyv)