Derivada de Una Funcion
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MATEMÁTICA I
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL
.
LOGRO DE LA SESIÓN
• Al término de la sesión, el estudiante calcula derivadas de funciones reales de variable real en ejercicios y/o problemas, empleando las propiedades y reglas de derivación. Sigue un proceso lógico fundamentado y comunica sus resultados.
Situación Problemática
Un fabricante determina que cuando se producen x (miles) unidades de cierto artículo, la utilidad generada está representada por: P(x)=-400x2+6800x-12000 dólares¿Cuál es la razón de cambio de la utilidad respecto al nivel de producción, cuando se producen 9 000 unidades?
RECORDAR
• Operaciones combinadas de números reales• Simplificación de expresiones algebraicas
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
T h 0
F(x h) F(x)m lim
h
x
f(x)
TL
Pendiente de la recta tangente en el punto
(x; f(x))
S
F(x h) F(x)m
h
(x+h)-x = h
f(x+h)-f(x)
f(x+h)
f(x+h)
x+hx+h
Definición:La derivada de una función f respecto a x, es la función f‘ dada por
T h 0
f(x h) f(x)f '(x) m lim
h
f '(x) se lee como ”f prima de x”, y se interpreta como la razón de cambio de f en un instante x.
Se dice que f es derivable en x=c, si f '(c) existe.
Notaciones
x
df(x)f '(x) D f(x)
dx
REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivada de una función de la forma:
NOTA:
Si f(x) x f '(x) 1
Si f(x) K(cte) f '(x) 0
1)(')( nn ncxxfcxxf
1)(')( nn nxxfxxf
EJEMPLOS
)x(f
Calcule la derivada de la función
3 x 4
Solución
DERIVADA DE UNA SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES
)(')(')]'()([ xgxfxgxf
)'675( 2 xx
EJEMPLOS
1) 2) )'6
52( 23
xxx
DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES
)(')()()(')]'()([ xgxfxgxfxgxf
]')2)(13([ 325 xxxEJEMPLO
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COCIENTE
2'
)(
)(')()()(')()(
xg
xgxfxgxfxgxf
EJEMPLO
'
3
2
44
xx
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
xx ee )'(
)ln()'( aaa xx
xx
1)]'[ln(
)ln(1
)]'([logax
xa
COSTO MARGINAL
Definición: Es la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida).
Si es la función del costo total de producción de x artículos
es la función del costo marginal.
( )C f x
( )dC
f x Cdx
COSTO UNITARIO
El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por:
CC C Cx
x
Es decir, el costo total es el producto del número de unidades fabricadas y el costo promedio por unidad
INGRESO MARGINAL
Definición: Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida). Es decir,
Si es la función del ingreso total por la venta de q unidades, entonces
es la función del ingreso marginal. donde: Ingreso = (precio unitario)(No. de unidades vendidas) :
)(')(
qfdqqdf
pqqf )(
f
RESOLVER EL CASO INICIAL
Un fabricante determina que cuando se producen x miles de unidades de cierto artículo, la utilidad generada será
P(x)= -400x2+6800x-12000
dólares. ¿Cuál es la razón de cambio de la utilidad respecto al nivel de producción, cuando de producen 9 000 unidades?
TAREA:
Formule y resuelva un problema de su entorno haciendo uso de las derivadas, tomando como modelo el caso inicial.