Derivada de una funcin en un puntoLa derivada de la funcin f(x) en el punto x = a es el valor del lmite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Hallar la derivada de la funcin f(x) = 3x2en el punto x = 2.

Calcular la derivada de la funcin f(x) = x2+ 4x 5 en x = 1.

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la funcin f(x) en P, y por tanto el ngulo tiende a ser .

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la funcin en ese punto.mt= f'(a)Dada la parbola f(x) = x2, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuacin y = x, por tanto su pendiente es m = 1.Como las dos rectas son paralelas tendrn la misma pendiente, as que:f'(a) = 1.Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

La funcin derivada de una funcin f(x) es una funcin que asocia a cada nmero real su derivada, si existe. Se denota porf'(x).

Calcularla funcin derivada de f(x) = x2 x + 1.

Hallarf'(1), f'(0) y f'(1)f'(1)= 2(1) 1 =3f'(0)= 2(0) 1 =1f'(1)= 2(1) 1 =1Derivadas lateralesDerivada por la izquierda

Derivada por la derecha

Una funcin es derivable en un punto si, y slo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.Derivada de lasfunciones a trozosEn lasfunciones definidas a trozoses necesario estudiar lasderivadas lateralesen lospuntosde separacin de los distintostrozos.Estudiar la derivabilidad de la funcin f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la funcin no es derivable en dicho punto.

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

No es derivable en x = 0.

Derivabilidad y continuidadSi una funcin es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La funcin no es continua, por tanto tampoco es derivable.

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La funcin es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 0.

f(x) = x2en x = 0.La funcin es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

En x = 0 la funcin es continua y derivable.

Ejercicios resueltos de derivadasCalcula las derivadas de las funciones:1

2

3

4

5

6

7

8

9

Calcula mediante la frmula de la derivada de una potencia:1

2

3

4

5

6

7

Calcula mediante la frmula de la derivada de una raz:1

2

3

Deriva las funciones exponenciales:1

2

3

4

5

Calcula la derivada de las funciones logartmicas:1

2Aplicando laspropiedades de los logartmosobtenemos:

3Aplicando laspropiedades de los logartmosobtenemos:

4Aplicando laspropiedades de los logartmosobtenemos:

5Aplicando laspropiedades de los logartmosobtenemos:

Ejercicios y problemas resueltos de derivadasCalcular las derivadas en los puntos que se indica:1en x =5.

2en x = 1.

3en x = 2.

4en x = 3.

Dada la curva de ecuacin f(x) = 2x2 3x 1, halla las coordenadas de los puntos de dicha curva en los que la tangente forma con el eje OX un ngulo de 45.

Cul es la velocidad que lleva un vehculo se mueve segn la ecuacin e(t) = 2 3t2en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su grfica.

La funcin es continua en toda.

f'(2)= 1f'(2)+= 1No ser derivable en: x= 2.

En x =2 hay un pico, por lo que no es derivable en x=2.Hallar los puntos en que y = |x2 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su grfica.

La funcin es continua en toda.

f'(2)-= 1f'(2)+= 1f'(3)-= 1f'(3)+= 1Como no coinciden las derivadas laterales la funcin no ser derivable en: x = 2 y x = 3.

Podemos observar que en x=2 y en x=3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la funcin no ser derivable en ellos.Estudiar la continuidad y derivabilidad de la funcin definida por:

La funcin no es continua en x = 0 porque no tiene imagen. Por tanto tampoco es derivable.

Por lo que es continua, veamos si es derivable mediante lasfrmulas de derivadas trigonmetricas inmediatas.

Como las derivadas laterales no coinciden no es derivable en el punto.Dada la funcin:

Para qu valores deaes derivable?

Estudiar para qu valores de a y b la funcin es continua y derivable:

Determinar los valores de a y b para que la siguiente funcin sea derivable en todos sus puntos:

Para qu una funcin sea derivable tiene que ser continua. En este caso la funcin no es continua para x = 0 cualesquiera que sean a y b, es decir, no existen valores de a y b que hagan continua la funcin.Por tanto, no existen valores de a y b para los cuales la funcin sea derivable.Definicin de integralFuncin primitiva o antiderivadaFuncin primitivade una funcin dada f(x), es otra funcin F(x) cuya derivada es la funcin dada.F'(x) = f(x)Si una funcin f(x) tiene primitiva, tieneinfinitas primitivas, diferencindose todas ellas en unaconstante.[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)Integral indefinidaIntegral indefinidaes el conjunto de lasinfinitas primitivasque puede tener una funcin.Se representa por f(x) dx.Se lee :integral de x diferencial de x.es el signo de integracin.f(x)es elintegrandoo funcin a integrar.dxesdiferencial de x, e indica cul es la variable de la funcin que se integra.Ces laconstante de integraciny puede tomar cualquier valor numrico real.Si F(x) es unaprimitivade f(x) se tiene que: f(x) dx = F(x) + CPara comprobar que laprimitivade una funcin es correcta basta conderivar.Lnealidad de la integral indefinida1.La integral de una sumade funciones es igual a lasuma de las integralesde esas funciones.[f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx2.Laintegral del producto de una constantepor una funcin es igual a laconstante por la integralde la funcin. k f(x) dx = k f(x) dxFrmulas de integralesSeana,k, yCconstantes(nmeros reales) y consideremos aucomofunciny au'como laderivadade u.

Integral de una constanteLaintegral de una constantees igual a la constante por x.

Ejemplo

Integral de cero

Integral de xSi la funcin a integrar esx, lasfrmulasde integracin son:

Ejemplos

Integrales de potencias

Ejemplos

Integral logaritmica

Ejemplos

Integral exponencial

Ejemplos

Integral del seno

Ejemplos

Integral del coseno

Ejemplos

Integral de la tangente

Ejemplos

Integral de la cotangente

Ejemplos

Integral del arcoseno

Ejemplos

Integral del arcotangente

Ejemplos

Vamos a transformar el denominador de modo que podamos aplicar la frmula de la integral del arcotangente.Transformamos el denominador en un binomio al cuadrado.

Multiplicamos numerador y denominador por 4/3, para obtener uno en el denominador.Dentro del binomio al cuadrado multiplicaremos por su raz cuadrada de4/3.

1Resolver las siguientesintegrales de tipo potencial:123456789101112131415161718192021222Calcular lasintegrales logartmicas:12345678910113Resolver las siguientesintegrales exponenciales:1234567894Calcular lasintegrales trigonomtricas:1234567891011121314155Resolver laintegrales trigonomtricas:123456Calcular las integrales:1234566Problemas de integrales1Hallar una funcin F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.2De las infinitasfunciones primitivasde la funcin y = x - x + 1, cul es la que para x = 3 toma el valor 5?3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por l punto P(0, 4).4Escribe lafuncin primitivade y = x + 2x cuya representacin grfica pasa por l punto (1, 3).5Calcular la ecuacin de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x + 5x 2.6Hallar laprimitiva de la funcin, que se anula para x = 2Resolver las siguientesintegrales de tipo potencial:1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

Calcular lasintegrales logartmicas:1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Resolver las siguientesintegrales exponenciales:1

2

3

4

5

6

7

8

9

Calcular lasintegrales trigonomtricas:1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Resolver laintegrales trigonomtricas:1

2

3

4

5

Calcular las integrales:1

2

3

4

5

6

1Hallar una funcin F(x) cuya derivada sea f(x) = x + 6 y tal que para x = 2 tome el valor 25.

2De las infinitasfunciones primitivasde la funcin y = x - x + 1, cul es la que para x = 3 toma el valor 5?

x = 3y = 5

3Hallar una recta cuya pendiente es 2 y pasa por l punto P(0, 4).f '(x) = 2f(x) = 2x + C4 = 2 0 + Cf(x) = 2x + 44Escribe lafuncin primitivade y = x + 2x cuya representacin grfica pasa por l punto (1, 3).

5Calcular la ecuacin de la curva que pasa por P(1, 5) y cuya pendiente en cualquier punto es 3x + 5x 2.

6Hallar laprimitiva de la funcin, que se anula para x = 2

En cada uno de los problemas1a12verifique por sustitucin que cada funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial considerada:

En cada uno de los problemas17a26, compruebe primero quey(x) satisface la ecuacin diferencial dada. Entonces, determinar un valor de la constante C de modo quey(x) satisfaga la condicin inicial dada.

En los problemas27a31, se describe una funcin y=g(x) mediante alguna propiedad geomtrica de su grfica. Escriba una ecuacin diferencial de la forma dy/dx=f(x,y) cuya solucin (o una de sus soluciones) seag(x).

.

En los problemas37a42, determine por inspeccin al menos una solucin de la ecuacin diferencial dada. Esto es, utilice sus conocimientos sobre derivadas para hacer una prediccin y despus compruebe su hiptesis.

En los problemas1a10, encuentre una funcin y=f(x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.

En los problemas11a17, encuentre la funcin de posicin x(t) de una partcula mvil con aceleracin a(t), posicin inicial xo=x(0) y velocidad inicial vo=v(0).

Unaecuacin diferenciales unaecuacinen la que intervienenderivadasde una o ms funciones desconocidas. Dependiendo del nmero de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o ms variables.IntroduccinUna ecuacin diferencial es una ecuacin que incluye expresiones o trminos que involucran a una funcin matemtica incgnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: es una ecuacin diferencial ordinaria, donderepresenta una funcin no especificada de la variable independiente, es decir,,es la derivada decon respecto a. La expresines una ecuacin en derivadas parciales.A la variable dependiente tambin se le llama funcin incgnita (desconocida). La resolucin de ecuaciones diferenciales es un tipo deproblema matemticoque consiste en buscar una funcin que cumpla una determinada ecuacin diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un mtodo especfico para la ecuacin diferencial en cuestin o mediante una transformada (como, por ejemplo, latransformada de Laplace).Orden de la ecuacinEl orden de la derivada ms alta en una ecuacin diferencial se denominaorden de la ecuacin.Grado de la ecuacinEs la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuacin, siempre y cuando la ecuacin est en formapolinmica, de no ser as se considera que no tiene grado.Ecuacin diferencial linealSe dice que una ecuacin es lineal si tiene la forma, es decir: Ni la funcin ni sus derivadas estn elevadas a ninguna potencia distinta de uno o cero. En cada coeficiente que aparece multiplicndolas slo interviene la variable independiente. Unacombinacin linealde sus soluciones es tambin solucin de la ecuacin.Ejemplos: es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de primer orden, tiene como soluciones, conkun nmero real cualquiera. es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, conaybreales. es una ecuacin diferencial ordinaria lineal de segundo orden, tiene como soluciones, conaybreales.UsosLas ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de laingenierapara el modelado de fenmenos fsicos. Su uso es comn tanto enciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (fsica,qumica,biologa) omatemticas, como eneconoma. Endinmica estructural, la ecuacin diferencial que define el movimiento de una estructura es:

DondeMes lamatrizque describe lamasade la estructura,Ces la matriz que describe elamortiguamientode la estructura,Kes lamatriz de rigidezque describe larigidezde la estructura,xes vector de desplazamientos [nodales] de la estructura,Pes el vector de fuerzas (nodales equivalentes), ytindica tiempo. Esta es una ecuacin de segundo orden debido a que se tiene el desplazamientoxy su primera y segunda derivada con respecto al tiempo. La vibracin de una cuerda est descrita por la siguiente ecuacin diferencial en derivadas parciales de segundo orden: dondees el tiempo yes la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuacin se le llamaecuacin de onda.Ecuaciones semilineales y cuasilinealesNo existe un procedimiento general para resolver ecuaciones diferencialesno lineales. Sin embargo, algunos casos particulares de no linealidad s pueden ser resueltos. Son de inters el caso semilineal y el caso cuasilineal.Una ecuacin diferencial ordinaria de ordennse llama cuasilineal si es "lineal" en la derivada de ordenn. Ms especficamente, si la ecuacin diferencial ordinaria para la funcinpuede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuacin es cuasilineal sies unafuncin afn, es decir,.Una ecuacin diferencial ordinaria de ordennse llama semilineal si puede escribirse como suma de una funcin "lineal" de la derivada de ordennms una funcin cualquiera del resto de derivadas. Formalmente, si la ecuacin diferencial ordinaria para la funcinpuede escribirse en la forma:

Se dice que dicha ecuacin es semilineal sies unafuncin lineal.Solucin de una ecuacin diferencialTipos de solucionesUna solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que al reemplazar a la funcin incgnita, en cada caso con las derivaciones correspondientes, verifica la ecuacin, es decir, la convierte en una identidad. Hay tres tipos de soluciones:1. Solucin general: una solucin de tipo genrico, expresada con una o ms constantes. La solucin general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuacin sea lineal, la solucin general se logra como combinacin lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuacin) de la ecuacin homognea (que resulta de hacer el trmino no dependiente deni de sus derivadas igual a 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa.2. Solucin particular: Si fijando cualquier puntopor donde debe pasar necesariamente la solucin de la ecuacin diferencial, existe un nico valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuacin, ste recibir el nombre de solucin particular de la ecuacin en el punto, que recibe el nombre de condicin inicial. Es un caso particular de la solucin general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor especfico.3. Solucin singular: una funcin que verifica la ecuacin, pero que no se obtiene particularizando la solucin general.Definicin de ecuacin diferencial (ED):Una ecuacin que contiene las derivadas o diferenciales de una o ms variables dependientes con respecto a una o ms variables independientes se llamaecuacin diferencial.Clasificacin de las ED:las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar segn tres caractersticas:tipo,ordenylinealidad. Segn el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que slo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones deuna sla variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones dedos o ms variables independientes). El orden de una ecuacin diferencial lo determina el orden de la ms alta derivada presente en lla.

Solucin de una ED:una funcin f, definida en algn intervaloI, es solucin de una ecuacin diferencial en dicho intervalo, si al sustituirla en la ED la reduce a una identidad. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden serexplcitasoimplcitas. Una ED tiene, generalmente, un nmero infinito de soluciones o ms bien unafamilia n-paramtricade soluciones. El nmero de paramtros,n, depende del orden de la ED. Cuando se dan valores especficos a los paramtros arbitrarios, es decir, cuando se asignan valores numricos a los paramtros, se obtiene unasolucin particularde la ED. En algunas ocasiones se tiene una solucin que no pertenece a la familia n-paramtrica, a tales soluciones se les llamasingulares.

Ejercicios resueltos

En cada uno de los problemas1a6, determine el orden de la ecuacin diferencial dada; diga tambin si la ecuacin es lineal o no lineal. En cada uno de los problemas7a11, verifique que la funcin o funciones que se dan son una solucin de la ecuacin diferencial:

DGZ (1.1;1.2) - B&D (1.1) - E&P (1.1) - MRS (1.1.2)

S o l u c i o n e s

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Para emprender la tarea de hallar la solucin de una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden,

,debemos conocer diversos mtodos. El mtodo que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuacin. Los mtodos que vamos a estudiar son: Integracin directa, Separacin de variables, Factor de integracin, Sustitucin apropiada. Pero, antes de entrar de lleno a solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a tratar algunos conceptos importantes.

Integracin directaLa ecuacin diferencial de primer orden y' = f (x, y)toma una forma particularmente simple si en la funcin fno aparecen trminos con y:

En este caso, para hallar la solucin general basta con integrar ambos miembros de la igualdad, obtenindose:

Nota:es aconsejable que se repasen las tcnicas de integracin, quien desee repasarlas puede hacer clic en el enlace correspondiente del marco izquierdo de esta ventana.

Ejercicios resueltos

En los ejercicios1a6encuentre una funcin y = f (x)que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.

S o l u c i o n e s1.Solucin:

2.Solucin:

3.Solucin:

4.Solucin:

5.Solucin:

6.Solucin: