1. Pr 3 Resolucin de EDPsMotivacin En matemtica, una derivada parcial de una funcin de diversas variableses su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras constantes.En efecto, las derivadas parciales son tiles en clculo vectorial y geometradiferencial. La derivada parcial de una funcin f respecto a la direccin x se representacon cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes: Ecuacin 1(donde es la letra d redondeada, conocida como la d de Jacobi). Alrealizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha funcin paralela al eje de laincgnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analticamente, el gradientede una funcin es la mxima pendiente de dicha funcin en la direccin que se elija.Mientras visto desde el lgebra lineal, la direccin del gradiente nos indica haciadonde hay mayor variacin en la funcin.EjemplosDada una funcin u que depende de x y de y, la derivada parcial de ucon respecto a x en un punto cualquiera (x,y) est definido como Ecuacin 2Dada una funcin u que depende de x y de y, la derivada parcial de ucon respecto a y en un punto cualquiera (x,y) est definido como Ecuacin 3 Una funcin que involucra derivadas parciales de una funcin desconocidacon dos o ms variables independientes, se denomina Ecuacin Diferencial Parcial,o EDP. A continuacin, se mostrarn algunos ejemplos de ecuaciones diferencialesparciales: Ecuacin 4 Ecuacin 5 Ecuacin 6 Ecuacin 7Jaime Martnez Verd Pgina 2

2. Pr 3 Resolucin de EDPs Por su amplia aplicacin en ingeniera, en esta asignatura nos concentramosen la solucin de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden: Ecuacin 8 donde A, B, y C son funciones de x y y, y D es una funcin de x, y, u, u/ x y u/ y. Dependiendo de los valores de los coeficientes de los trminos de la segundaderivada (A, B y C) esta ecuacin se puede clasificar en elptica, parablica ohiperblica. B2-4ACCategoraEjemplo Ecuacin de Laplace (en estado estable con dos dimensiones espaciales) 0 Hiperblica Ecuacin 11Comentario.El orden de una EDP es el de la derivada ms alta Se dice que una ecuacin diferencial parcial es lineal, si es lineal en lafuncin desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen slo delas variables independientesMtodos empleados antes da la computacin Antes de la llegada de las computadoras se utilizaban soluciones analticas oexactas de ecuaciones diferenciales parciales. Aparte de los casos ms simples,estas soluciones a menudo requieren gran esfuerzo y complicacin matemtica.Muchos sistemas fsicos no pueden resolverse analticamente, por lo quetienen que simplificarse usando linearizacin, representaciones geomtricassimples, y otras idealizaciones. Estas soluciones aportan algn conocimiento del sistema que se estestudiando, sin embargo, estn limitadas por la fidelidad con que representan larealidad.Jaime Martnez Verd Pgina 3 3. Pr 3 Resolucin de EDPs EDP y aplicacin en la ingeniera Cada una de las categoras de ecuaciones diferenciales parciales conformaclases especficas de problemas de ingeniera: Las ecuaciones elpticas se usan para caracterizar sistemas de estado- estable (ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o trmino transitorio). Por lo general se emplean para determinar la distribucin en estado estable de una incgnita en dos dimensiones: Tw 11 0.9 0.8 0.7 TwS 0.6 1Y(m) 0.5 kTw 0.4 0.3 0.2 0.10 0 0.51TwX(m)Ilustracin 1. Conduccin estable con generacin de calor. Las ecuaciones parablicas determinan cmo vara una incgnita tanto en espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial y temporal). Tales casos se conocen como problemas de propagacin. Ilustracin 2. Mediante la ecuacin parablica se obtiene la propagacin de ondas. Las ecuaciones hiperblicas, tambin representan problemas de propagacin, sin embargo, se diferencia de las ecuaciones parablicas en que la incgnita se caracteriza por una segunda derivada con respecto al tiempo. En consecuencia, la solucin oscila. Ilustracin 3. Mediante la ecuacin parablica se obtiene la propagacin de ondas. Jaime Martnez Verd Pgina 4 4. Pr 3 Resolucin de EDPsDiferencias finitas en ecuaciones parablicas (ME)Las ecuaciones parablicas se emplean para caracterizar problemasdependientes del tiempo y el espacio. Se emplean generalmente para caracterizarproblemas dependientes del tiempo donde se describen problemas de propagacin(difusin y evolucin suave). Para la solucin de la ecuacin se necesitancondiciones iniciales y condiciones de borde.Las EDP parablicas pueden ser resueltas sustituyendo las derivadasparciales por las diferencias divididas finitas. Sin embargo, ahora hay queconsiderar cambios en el tiempo as como en el espacio. Mientras las ecuacioneselpticas estn acotadas en todas las dimensiones, las parablicas estntemporalmente abiertas en los extremos. Existen dos aproximacionesfundamentales para la solucin de EDP parablicas:o Esquema explcitoo Esquema implcito Discretizacin: EDP EDF Mtodos explcitosu Sencillosu Inestables Mtodos implcitosu Ms complejosu EstablesEcuacin de conduccin del calorEl ejemplo clsico de una ecuacin parablica sencilla y con mayor campo deaplicacin en una dimensin es la ecuacin del calor o ecuacin de difusin. Esteejercicio se ha modelado para buscar significado fsico a los resultados y, de estemodo, buscarle un sentido prctico aplicado a un caso de ingeniera. La esencia delejercicio no cambia puesto que el sentido matemtico se conserva. Ilustracin 4. Representacin esquemtica de una barra con extremos a dos Tas.Jaime Martnez Verd Pgina 5 5. Pr 3 Resolucin de EDPs Se puede usar la conservacin de calor para desarrollar un balance deenerga en un elemento diferencial de una barra larga xyz y delgada aislada,considerando la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo t. Laecuacin a desarrollar, aplicando balances msicos y de energa, sera la siguiente:Ecuacin 12 Dividiendo entre el volumen y el elemento diferencial de tiempo:Ecuacin 13 Tomando el lmite:Ecuacin 14 Sustituyendo la Ley de Fourier:Ecuacin 15 Se obtiene la siguiente ecuacin:Ecuacin 16donde k es la constante de conductividad trmica y T(0) =(0) y T(L) = (0).La ecuacin del calor aparece en los modelos matemticos relacionados conproblemas de difusin y Mecnica de Fluidos, y muchas de las propiedades ycomentarios que estudiaremos para ella son de gran importancia para la resolucinde numerosos problemas en ingeniera. Esta ecuacin modeliza la conduccin del calor en una barra cilndrica delongitud L cuya seccin transversal es uniforme, pequea y de un materialhomogneo. La funcin T(x,t) mide la temperatura de la barra en cada momento deltiempo t > 0 y en cada punto del espacio x [0,L]. k > 0 es una constante quedepende de las caractersticas fsicas de la barra. La solucin de esta EDPs se expresa en forma de serie para ciertos tipos decondiciones iniciales f(x). Nuestro objetivo en este ejercicio es desarrollar mtodosnumricos que permitan obtener la solucin del problema de forma aproximada. Jaime Martnez Verd Pgina 6 6. Pr 3 Resolucin de EDPs Desarrollo matemtico del Mtodo explicitoEl problema es encontrar la funcin T(x,t) que satisface las siguientespremisas: Ecuacin 17Aplicaremos las formulas de las diferencias finitas sobre los puntos de unamalla uniforme rectangular (xi,tl) con Ecuacin 18 Ecuacin 19 donde es el tamao del salto en la variable de desplazamiento x y hacereferencia al paso temporal. Emplearemos la notacin ypara el valor exacto y la aproximacin numrica en el punto nodal ,respectivamente.Puesto que la ecuacin del calor es una ecuacin de evolucin y, en esteejercicio, se necesita obtener una aproximacin empleando un esquema explcito deforma progresiva en el tiempo, calcularemos, para todo valor i, los valores apartir de los valores en el instante de tiempo anterior . Calculemos las frmulasen diferencias que emplearemos para aproximar las dos derivadas buscadas. Paraello, emplearemos el mtodo del desarrollo de Taylor tal y como se muestra acontinuacin: Ecuacin 20 dondePor tanto, de la Ecuacin 20 Ecuacin 20 podemos despejar el valor de la derivada parcial conrespecto al tiempo: Ecuacin 21 Jaime Martnez VerdPgina 7 7. Pr 3 Resolucin de EDPsPor otra parte, si derivamos la expresin con respecto a la variable espacial,tenemos que: Ecuacin 22 Ecuacin 23Sumando las dos identidades de la Ecuacin 22 y la Ecuacin 23 Ecuacin22Ecuacin 23 para obtener lo siguiente: donde. Reajustando la expresin puede obtenerse el valor dela segunda derivada con respecto a la variable temporal: Ecuacin 24En virtud de las ecuaciones 21 y 24 y de la definicin del sistema fsico(Ecuacin 17) se obtiene la siguiente identidad: Ecuacin 25donde, Ecuacin 26Jaime Martnez Verd Pgina 8 8. Pr 3 Resolucin de EDPsDeshaciendo la notacin empleada para contemplar la expresin con toda lainformacin disponible:Ecuacin 27Teniendo en cuenta que T satisface la Ecuacin 17 y despreciando lostrminos y, la formula anterior propone el esquema en diferenciasfinitas siguiente:Ecuacin 28 Podemos despejar el valor deexplcitamente en trminos de los valoresen el paso temporal anterior:Ecuacin 29 donde, ycon valor siempre mayor quecero. A continuacin, aplicaremos las condiciones de frontera tipo Neumann:Frontera izquierda (i = 0).Aplicando la primera condicin de frontera y la propuesta realizada en elenunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste:Si aplicamos la notaciny acomodamos la expresin, sta setraduce en la siguiente identidad:Ecuacin 30Frontera izquierda (i = I + 1).Aplicando la segunda condicin de frontera y la propuesta realizada en elenunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste:Si aplicamos la notaciny acomodamos la expresin, sta setraduce en la siguiente identidad:Ecuacin 31 Jaime Martnez VerdPgina 9 9. Pr 3 Resolucin de EDPs Finalmente, imponiendo las condiciones iniciales y las condiciones defrontera se obtiene la siguiente ecuacin en diferencias finitas:Ecuacin 32 Los trminos primero y ltimo son casos especiales por lo que loscalcularemos los primeros:donde . A continuacin se obtendrn el resto de trminos:Por lo tanto, matricialmente podemos escribir el sistema recurrente anteriorcomo: Ec. 33que en forma compacta lo podemos expresar mediante:Ecuacin 34donde ,y y . Obsrvese que la matriz A decoeficientes del sistema recursivo es tridiagonal.Jaime Martnez VerdPgina 10 10. Pr 3 Resolucin de EDPsDesarrollo matemtico de la estabilidadSealos valores nodales en el instante tl quese obtienen al ejecutar un cierto esquema numrico paraobtener una aproximacin numrica de una ecuacin diferencial parcial.Consideremos los valores nodales en el instantetl de la solucin exacta y denotemos por el error cometido en laaproximacin numrica. Es posible afirmar que el mtodo numrico es establecuando est uniformemente acotada para todo. Dicho de otro modo,cuando la diferencia entre los valores aproximados y los reales permanezcanacotados en todo nivel de tiempo. Las potencias de A estarn uniformemente acotadas si, y slo si, su normaest acotada: Ecuacin 35 Para todoy donde es una constante arbitraria. Puesto que conocersi la matriz A es uniformemente acotada es una complicada tarea, se proceder aanalizar la estabilidad de una matriz D, semejante a la matriz A, que sea mssencilla de estudiar. Para obtener la expresin matemtica que nos permita conocerla forma de la matriz utilizaremos la diagonalizacin de la matriz A: Ecuacin 36Las matrices simtricas son siempre diagonalizables como consecuencia delteorema de Schur. Se ha decidido emplear esta transformacin porque las matricessemejantes A y D comparten varias propiedades tales como: poseen el mismo rango, el mismo determinante, la misma traza, los mismos valores propios (en general, distintos vectores propios), el mismo polinomio caracterstico y el mismo polinomio mnimo. De este modo, la potencia n-sima de la matriz A puede desarrollarse delsiguiente modo:Por tanto, tenemos que la potencia n-sima de la matriz A es semejante a lamatriz n-sima de la matriz D: Ecuacin 37Jaime Martnez VerdPgina 11 11. Pr 3 Resolucin de EDPs Comentario. El efecto de la transformacin de semejanza en los vectores y vectorespropios viene determinado a continuacin:1. Los valores propios no cambia al realizar una transformacin de semejanza.1. Los vectores propios son proporcionales realizar una transformacin desemejanza. Esto implica que la matrizobtenida por semejanza tiene comovectores propiossiendo v un vector propio de la matriz A.Aplicando la norma a la expresin de transformacin de semejanza se tieneuna ecuacin que relaciona la estabilidad de las dos matrices semejantes:Ecuacin 38 Aplicando la proposicin 2.3a de los apuntes, podemos modificar la ecuacinanterior del siguiente modo:Ecuacin 39Si empleamos la norma(de los apuntes de clase), la ecuacin anteriorquedara del siguiente modo:Ecuacin 40 A continuacin, sabiendo que los valores propios de las matrices P y PTcoinciden y que los de las matrices P y P-1 son inversos, procederemos a calcular lasnormas de la matriz invertible P y P-1: A partir de la norma de la matriz de paso se tiene:Ecuacin 41 donde . Jaime Martnez Verd Pgina 12 12. Pr 3 Resolucin de EDPsComentario.Los valores propios de una matriz y su matriz traspuesta coinciden. Comouna matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante entonces resulta que debido a que tanto A como I son tridiagonal ydiagonal, respectivamente. Para que la norma de la n-sima potencia de la matriz A est acotada, esbien sabido que debe acotarse la potencia n-sima de la matriz D. Por tanto, acontinuacin, calcularemos la norma:Por tanto, la Ecuacin 41 puede expresarse como: Ecuacin 42 donde. Puesto que es una constante fija, tan slo ha deacotarse el valor . Para acotarlo ha de satisfacerse que el valor mximo de todoslos valores propios sea menor o igual que uno, de modo que la exponencial nodiverja a valores infinitos. Por tanto, ha de cumplirse la siguiente desigualdad: Ecuacin 43Para el clculo de los valores propios se emplear una frmula planteadapor Wen-Chyuan Yueh [5]. Los parmetros , , , y se obtienen comparando lamatriz original del desarrollo de [5] con la original del problema: Ecuacin 44 A partir de la comparacin entre ambas matrices (ecuaciones 33 y 44), setiene que los parmetros tiene el valor de , , ,y .Por tanto, aplicando el teorema 5 [5] donde se suponen , entonceslos valores propios de la matriz vienen dados por: Ecuacin 45donde.Jaime Martnez Verd Pgina 13 13. Pr 3 Resolucin de EDPs Modificando la nomenclatura para ajustar la expresin anterior a nuestranotacin, los valores propios resultan del siguiente modo: Ecuacin 46 donde. basndose en el tipo de matriz siguiente:Para obtener los mximos y/o mnimos relativos de la expresin, se iguala laprimera derivada a cero: Tal y como se observa, parase obtiene un valor propio unitario, que nodepende de mientras que el otro caso no es posible puesto que el valor mximo de es . Tal y como puede observarse en la grfica, el valor a estudiar debera ser elanterior ms cercano a . El resto estarn contenidos dentro de los dosextremos. Por ello, si acotamos los dos extremos, tendremos acotados los valoresintermedios.Ilustracin 5. Representacin grfica de la funcin 1 cos(x) con x entre 0 y . Jaime Martnez VerdPgina 14 14. Pr 3 Resolucin de EDPsCuando van dndose valores a I, se tiene:Arreglando las expresiones, se tiene: Se puede observar que a medida que aumentamos la cantidad de los nodosexiste una tendencia a que. Esto resulta evidente observando lasiguiente expresin: donde se comprueba la tendencia a -1 de la funcin coseno cuando I tomavalores grandes.Jaime Martnez VerdPgina 15 15. Pr 3 Resolucin de EDPsUna vez deducido el comportamiento de los valores propios, es posiblecomprobar la veracidad de. Por supuesto, si observamos el caso lmite podemos observar que para unvalor de entre 0 y 0.5 tendramos asegurada la estabilidad del sistema. Adems de la estabilidad existen un grupo de conceptos dignos de serestudiados:Convergencia: Este parmetro significa que conforme x y ttienden a cero, los resultados de la tcnica por diferencias finitas seaproximan a la solucin verdadera.Estabilidad: Este parmetro significa que los errores en cualquieretapa del clculo no son amplificados, sino que son atenuadosconforme el clculo avanza.Consistencia: Un esquema numrico consistente es convergente si, ysolo si, es estable.Se ha demostrado que el mtodo explcito es convergente y estable si < 1/2,o, por otro lado, Si1/2 la solucin oscila Si1/4 la solucin no oscila Si1/6 los errores por truncamiento se minimizanLa restriccin de convergencia y estabilidad impone fuertes limitaciones, porejemplo, si se reduce a la mitad x (para mejorar la aproximacin de la segundaderivada espacial), el tamao de t debe reducirse en un cuarto para mantener laconvergencia y la estabilidad. O sea, reducir x a la mitad aumenta en ocho vecesel nmero de clculos. Jaime Martnez Verd Pgina 16 16. Pr 3 Resolucin de EDPs Desarrollo de software en MatLab A continuacin, mostramos el cdigo de programacin en MatLab: Midiffin_explicito.mfunction T = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m)%---------------------------------------------------------------------%midiffin_explicito Solucin en diferencias finitas para ec. delcalor.% Llamada simple% T = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,t,k,n,m)% Inputs% fNombre de la funcin condicin inicial% g1 Nombre de la funcin condicin frontera 1% g2 Nombre de la funcin condicin frontera 2% LAncho del intervalo [0 L]: 0