Relatividad Numérica

Revista Mexicana de Física

ISSN: 0035-001X

[email protected]

Sociedad Mexicana de Física A.C.

México

Alcubierre, M.

Introducción a la relatividad numérica

Revista Mexicana de Física, vol. 53, núm. Es2, febrero, 2007, pp. 5-30

Sociedad Mexicana de Física A.C.

Distrito Federal, México

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REVISTA MEXICANA DE FISICA S 53 (2) 5–30 FEBRERO 2007

Introduccion a la relatividad numerica

M. AlcubierreInstituto de Ciencias Nucleares, Universidad Nacional Autonoma de Mexico,

Apartado Postal 70-543, Mexico D.F. 04510, Mexico

Recibido el 18 de julio de 2005; aceptado el 14 de marzo de 2005

Se presenta una introduccion a los conceptos basicos de la relatividad numerica. Partiendo de una breve discusion de la relatividad general,se presenta la formulacion 3+1, que es la mas utilizada en calculos numericos. Se introducen los conceptos de foliacion, metrica espacial,funciones de norma y curvatura extrınseca y se discute la separacion de las ecuaciones de Einstein que dan lugar a las ecuaciones deArnowitt-Deser-Misner (ADM). Se menciona tambien la existencia de formulaciones alternativas de las ecuaciones de evolucion y se discuteel concepto de hiperbolicidad. Finalmente se presentan las ideas principales de las aproximaciones en diferencias finitas, que son el metodomas comunmente utilizado en relatividad numerica.

Descriptores: Relatividad numerica.

I present an introduction to the basic concepts of numerical relativity. Starting from a brief discussion of general relativity, I present the 3+1formulation, which is the most widely used for numerical calculations in relativity. I introduce the concepts of foliation, spatial metric, gaugefunctions and extrinsic curvature, and discuss the splitting of Einstein’s equations that result in the Arnowitt-Deser-Misner (ADM) equations.I also mention the existence of alternative formulations of the evolution equations and discuss the concept of hyperbolicity. Finally, I discussthe main ideas of finite difference approximations, which are the most common method used in numerical relativity.

Keywords: Numerical relativity.

PACS: 04.20.Ex; 04.25.Dm; 95.30.Sf

1. Introduccion

La teorıa de la relatividad general es una teorıa altamente exi-tosa. No solo ha modificado de manera radical nuestra visionde la gravitacion, el espacio y el tiempo, sino que tambienposee un enorme poder predictivo. A la fecha, ha pasado conextraordinaria precision todas las pruebas experimentales yobservacionales a que se le ha sometido. Entre sus logros seencuentran la prediccion de las ondas gravitacionales, la pre-diccion de objetos exoticos como las estrellas de neutronesy los agujeros negros y el modelo cosmologico de la GranExplosion.

La relatividad general, aunque conceptualmente sencillay elegante, resulta ser en la practica una teorıa extremada-mente compleja. Las ecuaciones de Einstein forman un siste-ma de diez ecuaciones diferenciales parciales en 4 dimensio-nes, acopladas y no lineales. Escritas en su forma mas gene-ral estas ecuaciones poseen miles de terminos. Debido a estacomplejidad, soluciones exactas se conocen solo en situacio-nes con alto grado de simetrıa, ya sea en el espacio o en eltiempo: soluciones con simetrıa esferica o axial, solucionesestaticas o estacionarias, soluciones homogeneas, isotroposetc. Si uno esta interesado en estudiar situaciones con re-levancia astrofısica, que involucren campos gravitacionalesintensos, dinamicos y con poca o ninguna simetrıa, resultaimposible resolver las ecuaciones de manera exacta. De lanecesidad de estudiar estos sistemas ha surgido el area de larelatividad numerica, que intenta resolver las ecuaciones deEinstein utilizando aproximaciones numericas.

La relatividad numerica se desarrollo como un campo deinvestigacion independiente a mediados de la decada de lossesentas, comenzando con los esfuerzos pioneros de Hahn y

Lindquist [1], pero no fue sino hasta finales de los setentascuando las primeras simulaciones realmente existosas fueronrealizadas por Smarr y Eppley en el contexto de la colision defrente de dos agujeros negros [2–4]. En esa epoca, sin embar-go, el poder de las computadoras era aun muy modesto, y lassimulaciones que podıan realizarse se limitaban a problemascon simetrıa esferica, o a lo mas simetrıa axial a muy bajaresolucion. Esta situacion ha cambiado, durante las decadasde los ochentas y noventas una verdadera revolucion tuvo lu-gar en el campo de la relatividad numerica. Se han estudiadoproblemas cada vez mas complejos en muy diversos aspectosde la teorıa de la gravitacion, desde la simulacion de estre-llas en rotacion, al estudio de defectos topologicos, el colapsogravitacional y las colisiones de objetos compactos. Quiza elresultado de mayor importancia que ha obtenido la relativi-dad numerica sea el descubrimiento por parte de Choptuik delos fenomenos crıticos en el colapso gravitacional [5, 6]. Unresumen de la historia de la relatividad numerica se puedenencontrar en la Ref. 7.

La relatividad numerica esta alcanzando un estado de ma-durez. El desarrollo de poderosas super computadoras, juntocon el desarrollo de tecnicas numericas robustas, han permiti-do que se realicen simulaciones de sistemas tridimensionalescon campos gravitacionales intensos y dinamicos. Toda es-ta actividad esta ocurriendo en el momento justo. En efecto,una nueva generacion de detectores de ondas gravitacionalesesta en estado avanzado de construccion, o incluso haciendoya las primeras pruebas de calibracion [8–11]. Las senalesesperadas, sin embargo, son tan debiles que incluso con laenorme sensitividad de los nuevos detectores resultara nece-sario extraerlas del ruido de fondo. Es mucho mas sencillo

6 M. ALCUBIERRE

extraer una senal enterrada en ruido si se sabe que buscar. Esaquı donde la relatividad numerica es requerida urgentemen-te, proporcionando a los observadores predicciones precisasde las ondas generadas por las fuentes astrofısicas mas co-munes. Vivimos en verdad un momento emocionante en eldesarrollo de esta disciplina.

2. La relatividad general

La teorıa moderna de la gravitacion es la teorıa de la re-latividad general postulada por Albert Einstein a fines de1915 [12, 13]. De acuerdo a esta teorıa la gravitacion noes una fuerza, sino una manifestacion de la “curvatura” delespacio-tiempo. Un objeto masivo produce una distorsion enla geometrıa del espacio-tiempo, y a su vez esta distorsioncontrola o altera el movimento de los objetos. Utilizando ellenguaje de John A. Wheeler, la materia le dice al espaciocomo curvarse, y el espacio le dice a la materia como mover-se [14].

Ya al postular la teorıa especial de la relatividad en 1905,Einstein sabıa que la gravitacion de Newton deberıa ser mo-dificada. La principal razon para esto era que en la teorıa deNewton la fuerza de gravedad se propagaba entre distintosobjetos a velocidad infinita, lo que contradecıa un principiofundamental de la relatividad: ninguna interaccion fısica pue-de viajar mas rapido que la luz. Es importante notar que almismo Newton nunca le parecıo convincente la existencia deesta “accion a distancia”, pero considero que era una hipote-sis necesaria hasta que se encontrara una mejor explicacionde la naturaleza de la gravedad. En la decada de 1905 a 1915,Einstein se dedico a buscar esa explicacion. Las ideas princi-pales que guiaron a Einstein en su camino hacia la relatividadgeneral fueron el llamado “principio de equivalencia”, que di-ce que todos los objetos caen exactamente de la misma formaen un campo gravitacional, y el “principio de Mach”, llamadoası en honor a Ernst Mach, quien lo postulo a fines del sigloXIX, y que dice que la inercia local de un objeto debe ser pro-ducida por la distribucion total de la materia en el Universo.El principio de equivalencia llevo a Einstein a concluir quela gravedad debıa identificarse con la geometrıa del espacio-tiempo, y el principio de Mach lo llevo a concluir que dichageometrıa deberıa ser alterada por la distribucion de materiay energıa.

En las siguientes secciones veremos como se expresanestas ideas en lenguaje matematico. Antes de seguir adelan-te, mencionare primero la convencion de unidades que se-guire en estas notas. Utilizare siempre las llamadas “unidadesgeometricas”, en las que la velocidad de la luz c y la constan-te de la gravitacion universal de Newton G son ambas igualesa la unidad. Cuando se trabaja en este sistema, la distancia, eltiempo, la masa y la energıa tienen las mismas unidades (dedistancia). Las unidades convencionales del sistema interna-cional siempre pueden recuperarse anadiendo los factores dec y G que sean necesarios en cada caso (por ejemplo, t → cty M → GM/c2). Existen muchos libros introductorios a la

relatividad general. La presentacion que se da aquı esta basa-da principalmente en las Ref. 15 a 17.

2.1. Metrica y geodesicas

Como ya hemos mencionado, el principio de equivalenciallevo a Einstein a pensar que la gravitacion podıa identifi-carse con la curvatura del espacio-tiempo. Matematicamenteesto quiere decir que la teorıa de la gravedad deberıa ser loque se conoce como una “teorıa metrica”, en la cual la gra-vedad se manifiesta unica y exclusivamente a traves de unadistorsion en la geometrıa del espacio-tiempo.

Consideremos un espacio-tiempo de cuatro dimensiones(tres de espacio y una de tiempo). Sean xα las coordenadasde un evento en este espacio-tiempo, donde el ındice α to-ma los valores {0, 1, 2, 3}: cuatro numeros que indican enque momento del tiempo, y en que lugar en el espacio ocurreese evento (en estas notas siempre tomaremos la componen-te 0 como aquella que se refiere al tiempo, y las componentes{1, 2, 3} como las que se refieren al espacio; tambien utili-zaremos la convencion de que ındices griegos toman valoresde 0 a 3, mientras que ındices latinos toman valores de 1 a 3).Entre dos eventos infinitesimalmente cercanos con coordena-das xα y xα + dxα es posible definir una “distancia invarian-te” ds2 de la siguiente forma:

ds2 =4∑

α,β=1

gαβ dxαdxβ ≡ gαβ dxαdxβ , (1)

donde gαβ se conoce como el “tensor metrico”, o simplemen-te “la metrica”, y donde la ultima igualdad define la “conven-cion de suma de Einstein”: ındices que aparecen repetidos sesuman. La distancia invariante es, como su nombre lo indica,una cantidad absoluta que no depende del sistema de coorde-nadas que se utilice para describir al espacio tiempo. En ca-da punto del espacio-tiempo, el tensor metrico es una matrizsimetrica de 4 × 4 elementos, con eigenvalores cuyos signosson (−,+, +, +), es decir, un eigenvalor negativo asociadoal tiempo y tres eigenvalores positivos asociados al espacio.En la relatividad especial, el tensor metrico corresponde al deun espacio-tiempo plano, y esta dado por la llamada “metricade Minkowski”:

ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2 ≡ ηαβ dxαdxβ . (2)

Las transformaciones de Lorentz garantizan que el inter-valo ds2 tiene el mismo valor para cualquier observador. Es-to es consecuencia directa del postulado (o mejor dicho, delhecho empırico) de la invariancia de la velocidad de la luz.Notese que debido a la presencia de un eigenvalor negativo,la “distancia invariante” no es positiva definida. Uno puededistinguir entre eventos relacionados entre sı de 3 formas dis-tintas:

ds2 > 0 intervalo espacialoide , (3)

ds2 < 0 intervalo temporaloide , (4)

ds2 = 0 intervalo nulo . (5)

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INTRODUCCION A LA RELATIVIDAD NUMERICA 7

FIGURA 1. El cono de luz de un evento define las relaciones causa-les con otros eventos, y divide al espacio-tiempo en tres regiones:el pasado causal, el futuro causal y el “resto”.

Los intervalos espacialoides corresponden a eventos se-parados de tal forma que un objeto tendrıa que moverse masrapido que la luz para llegar de uno a otro (estan separadosprincipalmente en el “espacio”), los temporaloides corres-ponden a eventos donde un objeto tiene que moverse maslento que la luz para llegar de uno a otro (estan separadosprincipalmente en el “tiempo”), y los nulos a eventos quepueden alcanzarse viajando precisamente a la velocidad de laluz (la frontera entre separacion espacial y temporal). Todoobjeto material se mueve siguiendo trayectorias de tipo tem-poraloide, y la luz se mueve siguiendo trayectorias nulas. Lastrayectorias nulas definen lo que se conoce como el “conode luz” (vease Fig. 1). El cono de luz indica los eventos quepueden tener influencia fısica entre sı, y por lo tanto define lacausalidad.

En relatividad especial, los objetos se mueven en lıneasrectas en ausencia de fuerzas externas, la lınea recta corres-ponde a una trayectoria de longitud extrema de acuerdo a lametrica de Minkowski (no necesariamente de longitud mıni-ma debido al signo negativo de uno de los eigenvalores).Einstein postulo que en la presencia de un campo gravitacio-nal, los objetos aun se mueven siguiendo las trayectorias masrectas posibles, es decir, trayectorias extremas, pero ahora enun espacio-tiempo curvo. A esa trayectoria extrema se le lla-ma “geodesica”. De esta forma, la gravedad no se ve comouna fuerza externa, sino como una distorsion de la geometrıa.Dada esta distorsion, los objetos se mueven simplemente si-guiendo una geodesica.

Se acostumbra parametrizar la trayectoria de un objetoutilizando el llamado “tiempo propio” dτ2 := −ds2, quecorresponde al tiempo medido por el objeto mismo (el tiem-po que mide un reloj ideal atado al objeto). Notese que este

tiempo no tiene por que ser igual a dt, pues t es solo unacoordenada, es decir, una etiqueta arbitraria que asignamos adiferentes eventos. La ecuacion para una geodesica esta dadaen general por

d2xα

dτ2+ Γα

βγ

dxβ

dτ

dxγ

dτ= 0 , (6)

donde las cantidades Γαβγ se conocen como “sımbolos de Ch-

ristoffel” y estan definidos por

Γαβγ :=

gαμ

2

[∂gβμ

∂xγ+

∂gγμ

∂xβ− ∂gβγ

∂xμ

]. (7)

En la ecuacion anterior introdujimos los coeficientes gαβ quese definen como los coeficientes de la matriz inversa a gαβ :gαμgβμ = δα

β . La ecuacion geodesica puede escribirse tam-bien como

duα

dτ+ Γα

βγuβuγ = 0 , (8)

donde hemos definido el vector uα := dxα/dτ . Este vectorse conoce como la “cuatro-velocidad”, y es una generaliza-cion del concepto de velocidad ordinario.

Dado un campo gravitacional, es decir, dada la metricadel espacio-tiempo, la ecuacion de las geodesicas (6) nos dala trayectoria de los objetos: el espacio-tiempo le dice a losobjetos como moverse.

2.2. Curvatura

Como hemos visto, la metrica del espacio-tiempo nos permi-te obtener la trayectoria de los objetos. Sin embargo, el tensormetrico no es la forma mas conveniente de describir la pre-sencia de un campo gravitacional. Para ver esto, basta connotar que incluso en un espacio plano, uno puede cambiar laforma del tensor metrico mediante una simple transformacionde coordenadas. Por ejemplo, la metrica de un espacio planode tres dimensiones en coordenadas cartesianas {x, y, z} estadada simplemente por el teorema de Pitagoras:

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 , (9)

mientras que la metrica del mismo espacio plano en coorde-nadas esfericas {r, θ, φ} resulta ser

dl2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2 , (10)

lo que puede verse facilmente de la transformacion de coor-denadas

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ, (11)

que implica

dx = dr sin θ cos φ − r sin θ sin φdφ

+ r cos θ cos φdθ , (12)

dy = dr sin θ sin φ + r sin θ cos φdφ

+ r cos θ sin φdθ , (13)

dz = dr cos θ − r sin θ dθ . (14)

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FIGURA 2. Transporte paralelo en la superficie terrestre.

A partir de la metrica (10) es posible calcular los sımbo-los de Christoffel para las coordenadas esfericas y ver que laecuacion de una linea recta escrita en estas coordenadas yano es trivial. Llevando a cabo tranformaciones de coordena-das aun mas elaboradas es posible terminar con una metricamucho mas compleja.

Debemos encontrar entonces una forma de distinguir concerteza entre un espacio plano y uno que no lo es. La ma-nera de hacer esto es a traves del llamado “tensor de curva-tura de Riemann”. Este tensor mide el cambio de un vectoral transportarlo alrededor de un circuito manteniendolo siem-pre paralelo a sı mismo (“transporte paralelo”). En un espacioplano, el vector no cambia al hacer esto, mientras que en unespacio curvo sı lo hace. Esto puede verse si uno mueve unvector en la supericie terrestre. Si comenzamos en el ecuadorcon un vector apuntando al este, nos movemos hasta el polonorte siguiendo un meridiano, bajamos siguiendo otro meri-diano que haga un angulo recto hacia el este con el primerohasta llegar de nuevo al ecuador, y luego seguimos el ecua-dor hasta volver al punto original, descubrimos que el vectorahora apunta al sur (vease la Fig. 2).

En estas notas no derivaremos el tensor de Riemann deprimeros principios, nos limitaremos solo a escribirlo:

Rσμνρ := ∂νΓσ

μρ − ∂μΓσνρ +

(Γα

μρΓσαν − Γα

νρΓσαμ

), (15)

donde ∂μ es una abreviacion de ∂/∂xμ, y donde Γαμν son

los sımbolos de Christoffel definidos anteriormente. Note-se que el tensor de Riemann tiene 4 ındices, es decir,4×4×4×4=256 componentes. Sin embargo, tiene muchassimetrıas, por lo que solamente tiene 20 componentes inde-pendientes. Es posible demostrar que el tensor de Riemann esigual a cero si y solo si el espacio-tiempo es plano. A partirdel tensor de Riemann podemos definir el llamado “tensor deRicci” como

Rμν :=∑

λ

Rλμλν = Rλ

μλν . (16)

Notese que el hecho de que el tensor de Ricci sea cero nosignifica que el espacio sea plano.

Es importante hacer notar que en algunas ocasiones he-mos escrito tensores con los ındices arriba y en otras con losındices abajo. Esto no es un error tipografico, los tensorescon ındices arriba o abajo no son iguales, pero estan relacio-nados entre sı. La regla es la siguiente: los ındices de obje-tos geometricos se suben y bajan contrayendo con el tensormetrico gμν o su inversa gμν . Por ejemplo:

vμ = gμν vν , vμ = gμν vν ,

Tμν = gμαgνβ Tαβ , Rσμνρ = gσλRλμνρ.

2.3. Base coordenada y derivadas covariantes

Cuando se considera el cambio de un campo vectorial (obje-tos con un ındice) o tensorial (objetos con mas de un ındice)al moverse en el espacio-tiempo, debemos tomar en cuentaque al movernos de un punto a otro no solo las componentesde dichos objetos pueden cambiar, sino que tambien la baseen las que dichas componentes se miden cambia de un puntoa otro. En efecto, cuando consideramos las componentes deun objeto geometrico (vector o tensor), dichas componentessiempre estan dadas con respecto a una base especıfica.

En un espacio plano tridimensional en coordenadas car-tesianas, la base es en general la llamada “base canonica”:i = (1, 0, 0),j = (0, 1, 0),k = (0, 0, 1). En un espacio cur-vo, o un espacio plano en coordenadas no triviales, es necesa-rio elegir una base antes de poder hablar de las componentesde un objeto geometrico. Una base comun (aunque no la uni-ca) es la llamada “base coordenada”, en la que se toman comoelementos de la base a aquellos vectores que tienen una com-ponente igual a 1 a lo largo de la direccion de una coordenadadada, y componentes iguales a 0 en las otras direcciones.

Por ejemplo, en un espacio plano en coordenadas esferi-cas {r, θ, φ} la base coordenada es

er = (1, 0, 0) , eθ = (0, 1, 0) , eφ = (0, 0, 1) . (17)

Escritos en coordenadas cartesianas, estos vectores resultanser

er = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) , (18)

eθ = (r cos θ cos φ, r cos θ sin φ,−r sin φ) , (19)

eφ = (−r sin θ sin φ, r sin θ cos φ, 0) . (20)

Notese que estos vectores no son todos unitarios, sus magni-tudes son

|er|2 = (sin θ cos φ)2 + (sin θ sin φ)2 + (cos θ)2=1 (21)

|eθ|2 = (r cos θ cos φ)2 + (r cos θ sin φ)2

+ (r sin φ)2 = r2, (22)

|eφ|2 = (r sin θ sinφ)+(r sin θ cos φ)2 = r2 sin2 θ, (23)

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donde para obtener la magnitud sumamos los cuadrados delas componentes cartesianas.

Las magnitud de un vector puede calcularse directamen-te a partir de las componentes esfericas utilizando el tensormetrico. Para cualquier vector v, la magnitud se define enterminos del tensor metrico como

|v|2 = gαβ vαvβ . (24)

En general, el producto escalar de dos vectores v y u se definecomo

v · u = gαβ vαuβ . (25)

Debido a que los vectores de la base coordenada tienenpor definicion componentes 1 para la coordenada correspon-diente y 0 para las demas, la definicion anterior implica

eα · eβ = gαβ . (26)

No es difıcil ver que si utilizamos la expresion (24) y lametrica del espacio plano en coordenadas esfericas, obtene-mos las mismas magnitudes para los vectores de la base coor-denada esferica que escribimos arriba.

Es importante notar que en las expresiones anteriores, vα

se refiere a la componente del vector v respecto a la coor-denada xα, mientras que eα se refiere al vector de la basecoordenada que apunta en la direccion xα. Esto implica que,en general,

v = vα eα; (27)

ecuacion que expresa a v como una combinacion lineal de loselementos de la base {eα} con coeficientes vα.

Consideremos ahora el cambio de un vector a lo largo deuna coordenada:

∂v

∂xα=

∂

∂xα

(vβeβ

)=

∂vβ

∂xαeβ + vβ ∂eβ

∂xα. (28)

Esta ecuacion muestra como la derivada de un vector es masque la simple derivada de sus componentes, debemos tambientomar en cuenta el cambio en los vectores de la base.

La derivada ∂eβ/∂xα es a su vez un vector, por lo quepuede expresarse como combinacion lineal de los vectoresde la base. Introducimos los sımbolos Γμ

αβ para denotar loscoeficientes de dicha combinacion lineal:

∂eβ

∂xα= Γμ

αβ eμ . (29)

Los coeficientes Γμαβ son precisamente los sımbolos de

Christoffel que introdujimos anteriormente. Utilizando estoscoeficientes tendremos

∂v

∂xα=

∂vβ

∂xαeβ + vβ Γμ

αβ eμ . (30)

Cambiando el nombre de los ındices sumados, podemos re-escribir esto como

∂v

∂xα=

(∂vβ

∂xα+ vμ Γβ

αμ

)eβ . (31)

Esta ecuacion nos da las componentes del vector ∂v/∂xα.Definimos la “derivada covariante” del vector v como

vα;β ≡ ∇β vα :=

∂vα

∂xβ+ vμ Γα

βμ . (32)

Notese que hemos introducido dos notaciones distintas parala derivada covariante: En un caso con un punto y coma, y enotro con el sımbolo de gradiente (nabla). Ambas notacionesson comunes y se utilizan indistintamente.

La derivada covariante nos dice como cambian las com-ponentes de un vector al movernos de un punto a otro, e in-cluye el cambio de los elementos de la base. La derivada co-variante se reduce a la derivada parcial cuando los sımbolosde Christoffel son cero, lo que ocurre en un espacio plano encoordenadas cartesianas, pero no en coordenadas esfericas.Sin embargo, siempre es posible encontrar una tranformacionde coordenadas para la cual los sımbolos de Christoffel soniguales a cero en un punto dado (pero no en otros puntos ex-cepto si el espacio es plano). Esto se debe a que todo espaciocurvo es “localmente plano”: en una region infinitesimalmen-te cercana a todo punto la geometrıa se aproxima a la plana(es por eso que los mapas de una ciudad en un plano son muybuenos, mientras que los mapas del mundo entero introducendistorsiones serias).

La derivada covariante de un vector con los ındices abajovα resulta ser

vα;β =∂vα

∂xβ− Γμ

αβvμ . (33)

El mismo concepto de derivada covariante puede exten-derse a tensores de muchas componentes, la regla es anadirun termino con sımbolos de Christoffel por cada ındice libre,con el signo adecuado dependiendo de si el ındice esta arribao abajo. Por ejemplo:

Tμν;α = ∂αTμν + Γμ

αβ T βν + Γναβ Tμβ ,

Tμν;α = ∂αTμν − Γβαμ Tβν − Γβ

αν Tμβ ,

Tμν;α = ∂αTμ

ν + Γμαβ T β

ν − Γβαν Tμ

β .

Utilizando esta regla es posible mostrar que la derivadacovariante del tensor metrico es cero:

gμν;α = 0 , gμν;α = 0 , (34)

lo que implica que la operacion de subir y bajar ındices con-muta con las derivadas covariantes:

vμ;α = (gμν vν);α = gμν (vν;α) . (35)

2.4. Las ecuaciones de Einstein

El elemento que aun nos falta en la teorıa de la gravita-cion de Einstein es aquel que nos dice como se relaciona lageometrıa del espacio-tiempo con la distribucion de materia

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y energıa. Este elemento final esta contenido en las “ecuacio-nes de campo de Einstein”, o simplemente las “ecuaciones deEinstein”. Estas ecuaciones pueden derivarse de diversas ma-neras, ya sea buscando una generalizacion relativista y con-sistente de la ley de la gravitacion de Newton (el camino quesiguio Einstein), o derivandolas de manera formal a partir deun lagrangiano (el camino que siguio Hilbert casi simultanea-mente). Aquı nos limitaremos a escribirlas sin derivacion. Ensu forma mas compacta, las ecuaciones de Einstein tienen laforma

Gμν = 8πTμν , (36)

donde Gμν es el “tensor de Einstein” que esta relacionadocon el tensor de curvatura de Ricci, y Tμν es el “tensor deenergıa-momento” de la materia. Es decir, el lado izquierdorepresenta la geometrıa del espacio-tiempo y el lado derechola distribucion de materia y energıa. El factor de 8π es sim-plemente una normalizacion necesaria para obtener el lımitenewtoniano correcto. Notese que hay 10 ecuaciones indepen-dientes en la expresion anterior, pues los ındices μ y ν tomanvalores de 0 a 3, lo que da 4 × 4 = 16 ecuaciones, pero lostensores de Einstein y de energıa-momento son simetricos, loque reduce a 10 el numero de ecuaciones independientes.

Las ecuaciones de Einstein que acabamos de escribir nopodrıan parecer mas simples. Esta simplicidad, sin embargo,es solo aparente, pues cada termino es en realidad una abre-viacion que representa objetos muy complejos. Escritas en sumanera mas extensa, en un sistema de coordenadas arbitra-rio, las ecuaciones de Einstein son 10 ecuaciones diferencia-les parciales acopladas en 4 coordenadas, y tienen miles determinos.

Consideremos ahora cada termino en las ecuaciones deEinstein por separado. El tensor de Einstein se define enterminos del tensor de Ricci como

Gμν := Rμν − 12

gμνR , (37)

con R := gμν Rμν la traza del tensor de Ricci, tambien lla-mada el “escalar de curvatura”.

La segunda parte de las ecuaciones de Einstein, el ten-sor de energıa-momento, describe la densidad de energıa, ladensidad de momento y el flujo de momento de un campo demateria (i, j = 1, 2, 3):

T 00 = densidad de energıa , (38)

T 0i = densidad de momento , (39)

T ij = flujo de momento i a traves de la superficie j. (40)

Por ejemplo, para un fluido perfecto sin presion (llamado“polvo”) en un espacio plano tenemos

T 00 = ρ/(1 − v2) , (41)

T 0i = ρ vi/(1 − v2) , (42)

T ij = ρ vivj/(1 − v2) , (43)

donde ρ es la densidad de energıa en el marco de referenciade un elemento de fluido, vi es el campo de velocidad delfluido y v2 = v2

x + v2y + v2

z .Antes de terminar con nuestra discusion de las ecuacio-

nes de Einstein, hace falta un ultimo comentario. En el casodel espacio vacıo, el tensor de energıa-momento es cero, y lasecuaciones de Einstein se reducen a

Gμν = 0 , (44)

o de forma equivalente

Rμν = 0 . (45)

Notese que, como ya hemos mencionado, el hecho de que eltensor de Ricci sea cero no significa que el espacio sea plano.Esto es como debe ser, pues sabemos que el campo gravita-cional de un objeto se extiende mas alla del objeto mismo,por lo que la curvatura del espacio en una region del vacıocercana a un objeto masivo no puede ser cero. Las ecuacio-nes de Einstein en el vacıo tienen otra aplicacion importante,describen la forma en la que el campo gravitacional se pro-paga en el vacıo y, de manera analoga a las ecuaciones deMaxwell, predicen la existencia de las ondas gravitacionales:perturbaciones del campo gravitacional que viajan a la velo-cidad de la luz. La prediccion de la existencia de las ondasgravitacionales nos dice que en la teorıa de Einstein las inter-acciones gravitacionales no se propagan a velocidad infinita,sino que lo hacen a la velocidad de la luz.

2.5. Identidades de Bianchi y leyes de conservacion

El tensor de curvatura de Riemann tiene la siguiente propie-dad:

Rαβμν;λ + Rαβλμ;ν + Rαβνλ;μ = 0 . (46)

A la ecuacion anterior se le conoce como las “identidades deBianchi”. Estas identidades resultan muy importantes en larelatividad general. Una de sus consecuencias es el hecho deque la divergencia covariante del tensor de Einstein es iguala cero:

Gμν;ν = 0 . (47)

El tensor de Einstein es la unica combinacion que puedeobtenerse a partir del tensor de Ricci que tiene esta propiedad,y es precisamente por esto que las ecuaciones de Einstein in-volucran a este tensor y no al tensor de Ricci directamente. Siutilizamos las ecuaciones de Einstein vemos que la propiedadanterior implica

Tμν;ν = 0 . (48)

Esta ecuacion (4 ecuaciones en realidad) es de fundamentalimportancia, pues representa las leyes locales de conserva-cion de energıa y momento, y garantiza que la perdida deenergıa y momento en una region esta compensada por el flu-jo de energıa y momento fuera de dicha region. Podemos vercomo las ecuaciones de Einstein implican automaticamente alas leyes de conservacion de energıa y momento.

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FIGURA 3. Foliacion del espacio-tiempo en hipersuperficies tridi-mensionales de tipo espacialoide.

FIGURA 4. Dos hipersuperficies espacialoides infinitesimalmentecercanas.

3. El formalismo de la relatividad numerica

Existen diferentes formalismos utilizados en la relatividadnumerica. En cada caso, lo que debe hacerse es separar lasecuaciones de campo de Einstein de forma tal que podamosdar ciertas condiciones iniciales, y a partir de ellas obtener laevolucion del campo gravitacional. Los diferentes formalis-mos difieren en la forma especıfica en que se hace esta sepa-racion. En estas notas nos limitaremos a estudiar el llamado“formalismo 3+1”, en donde se hace una separacion entre lastres dimensiones del espacio, por un lado, y el tiempo, porotro. El formalismo 3+1 es el mas comunmente utilizado enla relatividad numerica, pero no es el unico. Formalismos al-ternativos son el llamado “formalismo caracterıstico” [18],donde el espacio-tiempo se separa en conos de luz centra-dos en una cierta trayectoria temporaloide; y el “formalismoconforme” [19], donde se utiliza una transformacion que per-mite tener la frontera del espacio-tiempo, es decir, el “infinito

asintotico”, en una region finita del sistema de coordenadas.Los diferentes formalismos tienen ventajas y desventajas de-pendiendo del tipo de sistema fısico que se quiera estudiar.

En las siguientes secciones veremos una introduccion alformalismo 3+1 de la relatividad general. La discusion queaquı se presenta puede verse con mayor detalle en las Ref. 15y 20.

3.1. El formalismo 3+1

Para estudiar la evolucion en el tiempo de cualquier sistemafısico, lo primero que debe hacerse es formular dicha evolu-cion como un “problema de valores iniciales” o “problema deCauchy”: dadas condiciones iniciales adecuadas, las ecuacio-nes fundamentales deben poder predecir la evolucion futura(o pasada) del sistema.

Al intentar escribir las ecuaciones de Einstein como unproblema de Cauchy nos enfrentamos inmediatamente a unproblema: las ecuaciones de Einstein estan escritas en formatal que el espacio y el tiempo son simetricos y juegan papelesequivalentes. Esta “covariancia” de las ecuaciones es impor-tante (y elegante) desde el punto de vista teorico, pero nopermite pensar claramente en la evolucion en el tiempo delcampo gravitacional. Lo primero que debemos hacer enton-ces para reescribir las ecuaciones de Einstein como un pro-blema de Cauchy es separar los papeles del espacio y el tiem-po de forma clara. A la formulacion de la relatividad generalque resulta de esta separacion se le conoce como el “forma-lismo 3+1”.

Consideremos un espacio-tiempo con una metrica gαβ .Si dicho espacio-tiempo puede ser totalmente “foliado” (esdecir, separado en cortes tridimensionales) de tal forma quecada hoja tridimensional sea de tipo espacialoide, entonces sedice que dicho espacio-tiempo es “globalmente hiperbolico”.Un espacio-tiempo globalmente hiperbolico no posee curvastemporaloides cerradas, lo que significa que no permite via-jes hacia atras en el tiempo. No todos los espacio-tiemposposibles tienen esta propiedad, pero en el formalismo 3+1 seasume que los espacio-tiempos fısicamente razonables son deeste tipo.

Una vez que se tiene un espacio-tiempo globalmente hi-perbolico, por definicion podemos foliarlo en una serie dehipersuperficies de tipo espacialoide (ver Fig. 3). Esta folia-cion en general no es unica. Definimos el parametro t comoaquel que identifica a las distintas hojas de la foliacion; t pue-de considerarse entonces como un “tiempo universal” (perocuidado, t no tiene por que coincidir con el tiempo propio denadie). Consideremos ahora una cierta foliacion, y tomemosdos hipersuperficies infinitesimalmente cercanas Σt y Σt+dt.La geometrıa de la region del espacio-tiempo contenida en-tre ambas hipersuperficies puede determinarse a partir de lossiguientes 3 ingredientes (vease Fig. 4):

La metrica tridimensional γij (i, j = 1, 2, 3) que midelas distancias dentro de la hipersuperficie misma:

dl2 = γij dxidxj . (49)

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El “lapso” de tiempo propio α entre ambas hipersu-perficies que mide un observador que se mueve en ladireccion normal a ellas (observador de Euler):

dτ = α(t, xi) dt . (50)

La velocidad relativa βi entre los observadores de Eu-ler y las lıneas con coordenadas espaciales constantes:

xit+dt = xi

t − βi(t, xj) dt,

para observadores de Euler (51)

Al vector βi se le llama el “vector de corrimiento”.

Notese que la manera en la que se hace la foliacion no esunica, y de la misma forma, la manera en la que se propagael sistema de coordenadas espacial de una superficie a otratampoco lo es. Esto significa que tanto la funcion de lapso αcomo el vector de corrimiento βi son funciones que puedenespecificarse libremente. Estas funciones determinan nuestrosistema de coordenadas y se conocen como “funciones denorma”.

En terminos de las funciones {α, βi, γij}, la metrica delespacio-tiempo toma la siguiente forma:

ds2 =(−α2 + βiβ

i)dt2 + 2 βi dtdxi + γij dxidxj , (52)

donde hemos definido βi := γij βj .En forma explıcita tenemos

gμν =( −α2 + βkβk βi

βj γij

),

gμν =( −1/α2 βi/α2

βj/α2 γij − βiβj/α2

). (53)

De la misma forma, las componentes del vector normalunitario nμ a las hipersuperficies resultan ser

nμ =(

1α

,−βi

α

), nμ = (−α, 0) , nμnμ = −1. (54)

Este vector corresponde por definicion a la cuatro-velocidadde los observadores de Euler.

3.2. Curvatura intrınseca y curvatura extrınseca

Al hablar de las hipersuperficies espaciales que forman la fo-liacion del espacio-tiempo, debemos distinguir entre la cur-vatura “intrınseca” de dichas hipersuperficies proveniente desu geometrıa interna, y su curvatura “extrınseca” relaciona-da con la forma en que estas se encuentran inmersas en elespacio-tiempo de 4 dimensiones.

La curvatura intrınseca estara dada por el tensor de Riccitridimensional que se define en terminos de la metrica espa-cial γij . La curvatura extrınseca, por otro lado, se define enterminos de lo que le ocurre al vector normal nα al trans-portarlo paralelamente de un sitio a otro de la superficie. En

general encontraremos que al tranportar paralelamente estevector a un punto cercano, el nuevo vector ya no sera normala la superficie. El “tensor de curvatura extrınseca” Kαβ esuna medida del cambio en el vector normal bajo transporteparalelo. Para definir el tensor de curvatura extrınseca es ne-cesario primero introducir el operador de “proyeccion” Pα

β alas hipersuperficies espaciales:

Pαβ := δα

β + nαnβ , (55)

Es facil mostrar que para cualquier vector vα tenemos (re-cuerdese que nαnα = −1)

(Pα

β vβ)nα = 0 , (56)

es decir, todo vector proyectado a la hipersuperficie es orto-gonal a nα. Es posible tambien proyectar tensores con variosındices, basta contraer todos los ındices libres con el operadorde proyeccion:

P Tαβ ≡ Pμα P ν

β Tμν . (57)

Usando el operador de proyeccion, el tensor de curvaturaextrınseca se define como

Kαβ := −P ∇αnβ , (58)

donde el sımbolo P significa proyectar todos los ındices li-bres a la hipersuperficie espacial, y donde ∇α es la derivadacovariante, que como hemos visto esta dada en terminos delos sımbolos de Christoffel como

∇αnβ = ∂αnβ − Γλαβ nλ , (59)

A partir de la definicion anterior es posible mostrar que eltensor de curvatura extrınseca es simetrico (Kαβ = Kβα), yque tiene la siguiente propiedad:

nαKαβ = 0 , (60)

lo que significa que el tensor Kαβ es “puramente espacial”.Debido a esto consideraremos de ahora en adelante solo suscomponentes espaciales Kij .

Substituyendo la forma explıcita del vector normal (54)en la definicion de la curvatura extrınseca es posible demos-trar que Kij esta dado en terminos de la metrica espacial co-mo

Kij =12α

[∂tγij + Diβj + Djβi] , (61)

donde Di se refiene a la derivada convariante con respecto ala metrica espacial γij (que difiere de la derivada covariantecon respecto a la metrica del espacio-tiempo gμν representa-da por ∇μ). La ecuacion anterior puede reescribirse como

∂tγij = −2αKij + Diβj + Djβi . (62)

La curvatura extrınseca Kij esta entonces relacionada con elcambio en el tiempo de la metrica espacial.

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Esto nos permite llegar a la mitad del camino necesariopara reescribir la relatividad general como un problema deCauchy: ya tenemos una ecuacion de evolucion para γij . Peropara cerrar el sistema aun nos falta una ecuacion de evolucionpara Kij . Es importante notar que hasta ahora hemos trabaja-do solo con conceptos geometricos y no hemos utilizado lasecuaciones de campo de Einstein. Es precisamente a partir delas ecuaciones de Einstein de donde obtendremos la ecuacionde evolucion para Kij . Dicho de otra forma, la ecuacion deevolucion (62) para γij es meramente cinematica, mientrasque la ecuacion de evolucion para Kij contendra la informa-cion dinamica.

3.3. Las ecuaciones de Einstein en el formalismo 3+1

En la seccion anterior definimos el operador de proyeccionPα

β a las hipersuperficies espaciales. Utilizando este opera-dor podemos separar las ecuaciones de Einstein en 3 grupos:

Proyeccion normal (1 ecuacion):

nαnβ (Gαβ − 8πTαβ) = 0 . (63)

Proyeccion a la hipersuperficie (6 ecuaciones):

P (Gαβ − 8πTαβ) = 0 . (64)

Proyeccion mixta (3 ecuaciones):

P [nα (Gαβ − 8πTαβ)] = 0 . (65)

Para expresar estos conjuntos de ecuaciones en el lengua-je 3+1, es necesaria un algebra larga que no haremos en estasnotas. Aquı nos limitaremos a senalar los resultados finales.

De la proyeccion normal obtenemos la siguiente ecua-cion:

R(3) + (tr K)2 − KijKij = 16πρ, (66)

donde R(3) es el escalar de curvatura de la metrica espacial,trK ≡ γijKij es la traza del tensor de curvatura extrınsecay ρ es la densidad de energıa de la materia medida por losobservadores de Euler:

ρ := nαnβ Tαβ . (67)

La Ec. (66) no tiene derivadas temporales (aunque sı tienederivadas espaciales de γij dentro del escalar de Ricci). Debi-do a esto no es una ecuacion de evolucion sino una “constric-cion” o “ligadura” (a veces tambien llamada “vınculo”) delsistema. Como esta relacionada con la densidad de energıaρ, a esta constriccion se le conoce como la “constriccion deenergıa” o la “constriccion hamiltoniana”.

De la proyeccion mixta de las ecuaciones de Einstein ob-tenemos

Dj

[Kij − γijtrK

]= 8πji , (68)

donde ji es el “flujo de momento” medido por los observa-dores de Euler:

ji := P iβ

(nαTαβ

). (69)

La Ec. (68) tampoco tiene derivadas temporales, por loque es otra constriccion (o, mejor dicho, 3 constriccionesmas). A estas ecuaciones se les llama las “constricciones demomento”.

La existencia de las contricciones implica que en la rela-tividad general no es posible especificar de manera arbitra-ria las 12 cantidades dinamicas {γij ,Kij} como condicionesiniciales. Las constricciones deben satisfacerse ya desde elinicio, o no estaremos resolviendo las ecuaciones de Einstein.

Las ultimas 6 ecuaciones se obtienen a partir de la pro-yeccion a la hipersuperficie de las ecuaciones de Einstein ycontienen la verdadera dinamica del sistema. Estas ecuacio-nes toman la forma

∂tKij = βaDaKij + KiaDjβa + KjaDiβ

a − DiDjα

+ α[R

(3)ij − 2KiaKa

j + Kij tr K]

+ 4πα [γij (tr S − ρ) − 2Sij ] , (70)

donde Sij es el “tensor de esfuerzos” de la materia definidocomo

Sij := P Tij . (71)

Las Ecs. (62) y (70) forman un sistema cerrado de ecua-ciones de evolucion. A estas ecuaciones se les conoce co-mo las ecuaciones de Arnowitt-Deser-Misner, o simplementelas ecuaciones ADM [20, 21]. Es importante notar que no te-nemos ecuaciones de evolucion para las variables de norma{α, βi}. Como hemos dicho antes, las variables de norma sepueden elegir libremente.

Es posible demostrar tambien, usando las identidades deBianchi, que las ecuaciones de evolucion garantizan que si lascontricciones se satisfacen al tiempo inicial, entonces se sa-tisfaran a todo tiempo posterior: Las ecuaciones de evolucionpropagan las constricciones.

3.4. El problema de los valores iniciales

La existencia de las contricciones en la relatividad generalimplica que no es posible elegir de manera arbitraria las 12cantidades dinamicas {γij ,Kij} como condiciones iniciales.Los datos iniciales deben elegirse de tal modo que las cons-tricciones se satisfagan desde el principio. Esto significa queantes de comenzar cualquier evolucion, es necesario primeroresolver el problema de los valores iniciales para obtener va-lores apropiados de {γij , Kij} que representen la situacionfısica de interes.

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Las contricciones forman un conjunto de 4 ecuaciones di-ferenciales de tipo elıptico, y en general son difıciles de re-solver. Existen, sin embargo, varios procedimientos conoci-dos para resolver estas ecuaciones en situaciones especıficas.Hasta hace poco, el procedimiento mas comun era la llamada“descomposicion conforme” de York-Lichnerowicz [20, 22].Mas recientemente, el llamado “formalismo del sandwichdelgado” [23] tambien se ha vuelto muy popular para cons-truir datos iniciales. En estas notas nos concentraremos en elprimero de estos procedimientos debido a que es el mejor co-nocido y por lo mismo mejor entendido. Una resena recientesobre los diferentes procedimientos puede encontrase en laRef. 24.

La descomposicion de York-Lichnerowicz parte de con-siderar una trasformacion de la metrica del tipo

γij = φ4γij , (72)

donde la metrica γij se considera como dada. Una transfor-macion de este tipo se conoce como “trasformacion confor-me” debido a que preserva los angulos. A la metrica γij se lellama la “metrica conforme”.

Por otro lado, la curvatura extrınseca se separa primeroen su traza y su parte de traza cero Aij :

trK = gij Kij , Aij := Kij − 13γij trK . (73)

Tambien se lleva a cabo una transformacion conforme de Aij

de la forma

Aij = φ−10Aij , (74)

donde la decima potencia se elige por conveniencia, ya quesimplifica las ecuaciones que se obtienen despues.

Ahora podemos utilizar el hecho de que cualquier matrizsimetrica con traza cero puede separase en dos partes de lasiguiente manera:

Aij = A∗ij + (LW )ij , (75)

donde A∗ij es un tensor de divergencia cero DiA∗

ij = 0 (ytraza cero tambien), Wi es un vector y L es un operador dife-rencial definido como

(LW )ij = DiWj + DjWi − 23

γijDkW k . (76)

En las ecuaciones anteriores, Di representa la derivada cova-riante con respecto a la metrica conforme γij .

Para encontrar nuestros datos inciales, asumimos ahoraque las cantidades γij , trK y A∗

ij estan dadas, y utilizamos lascuatro ecuaciones de constriccion para determinar las cuatrocantidades {φ,Wi}.

No es difıcil mostrar que la constriccion hamiltoniana to-ma la forma

8D2φ − R φ + φ−7(AijA

ij)− 2

3φ5(trK)2

+ 16πφ−3ρ = 0 , (77)

lo que nos da una ecuacion elıptica para φ, esencialmente laecuacion de Poisson. Es importante recordar que el opera-dor laplaciano D2 que aparece en esta ecuacion debe ser elcorrespondiente a la metrica conforme.

Por otro lado, las contricciones de momento se conviertenen

D2 W i − 23φ6DitrK − 8πji = 0 , (78)

que son tres ecuaciones elıpticas (acopladas) para W i.Las ecuaciones anteriores son la forma mas general de

escribir las constricciones en la descomposicion de York-Lichnerowicz. Notese que las cuatro ecuaciones estan acom-pladas entre sı.

Una manera de simplificar notablemente el problema ydesacoplar las ecuaciones es simplemente elegir trK = 0.Si, ademas, escogemos la metrica conforme como la corres-pondiente a un espacio plano γij = δij , las constricciones sereducen (en el vacıo) a

8 D2planoφ + φ−7

(AijA

ij)

= 0 , (79)

D2planoW

i = 0 , (80)

donde D2plano es simplemente el operador laplaciano

estandar. La segunda ecuacion es lineal y puede resolversede forma analıtica en muchos casos. Una vez teniendo la so-lucion para W i, se reconstruye Aij y se resuelve le ecuacionde Poisson para φ.

3.5. Datos iniciales para agujeros negros multiples

Como ejemplo de la solucion del problema de valores incia-les, consideremos el siguiente caso: una metrica conforme-mente plana γij = δij y un momento de simetrıa temporal,es decir, Kij = 0. En ese caso, las constricciones de mo-mento se satisfacen trivialmente y la condicion hamiltonianatoma la forma sencilla

D2φ = 0 , (81)

que no es otra cosa que la ecuacion de Laplace. Las condi-ciones de frontera corresponden a un espacio asintoticamenteplano (muy lejos el campo gravitacional tiende a cero), por loque en infinito debemos tener φ = 1. La solucion mas senci-lla de esta ecuacion que satisface la condicion de frontera esentonces

φ = 1 , (82)

lo que implica que la metrica espacial es simplemente

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 . (83)

Es decir, hemos recuperado los datos iniciales para el espaciode Minkowski.

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La siguiente solucion de interes es

φ = 1 + k/r , (84)

con k una constante arbitraria, por lo que la metrica espaciales ahora (en coordenadas esfericas)

dl2 = (1 + k/r)4[dr2 + r2dΩ2

]. (85)

No es difıcil mostrar que esto no es otra cosa que la metri-ca de un agujero negro de Schwarzschild en las llamadas“coordenadas isotropas“, donde la masa del agujero negroesta dada por M = 2k. Hemos encontrado la solucion parael problema de valores iniciales correspondiente a un agujeronegro de Schwarzschild.

Como la ecuacion de Laplace es lineal, podemos superpo-ner soluciones para obtener nuevas soluciones. Por ejemplo,la solucion

φ = 1 +N∑

i=1

Mi

2|r − ri| (86)

representa a N agujeros negros en los puntos ri incialmen-te en reposo y se conoce como los datos inciales de Brill-Lindquist. Es posible generalizar dicha solucion al caso enque los agujeros negros no esten en reposo, construyendo ası,por ejemplo, datos inciales para dos agujeros negros en orbi-ta. Sin embargo, en ese caso la solucion de la constriccion ha-miltoniana ya no es tan sencilla y debe obtenerse por metodosnumericos.

Es importante notar que este tipo de datos iniciales paraagujeros negros son modelos de tipo topologico: los agujerosnegros estan representados por agujeros de gusano (tunelesde Einstein-Rosen) que unen nuestro Universo con otros. Es-to ocurre en la solucion de Schwarzschild y corresponde a unagujero negro “eterno” (no formado por colapso). En el mun-do real, uno espera que los agujeros negros se formen por uncolapso y el tunel de Einstein-Rosen no estara ahi.

3.6. Condiciones de norma

Como hemos mencionado, en el formalismo 3+1 la elec-cion del sistema de coordenadas esta dada en terminos delas “variables de norma”: la funcion de lapso α y el vectorde corrimiento βi. Estas funciones aparecen en las ecuacio-nes de evolucion (62) y (70) para la metrica y la curvaturaextrınseca. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein no nosdicen que valores deben tomar las variables de norma. Estoes lo que deberıamos esperar, pues es claro que las coordena-das deben poder elegirse libremente.

La libertad en la eleccion de las variables es una bendi-cion a medias. Por un lado, nos permite elegir las cosas demanera que las ecuaciones se simplifiquen, o de manera quela solucion sea mejor comportada. Por otro lado, surge inme-diatamente la pregunta: ¿Cual es una buena eleccion de lasfunciones α y βi? Recuerdese que esta decision debe tomarseincluso antes de comenzar la evolucion. Existen, desde luego,infinitas elecciones posibles. En estas notas nos limitaremosa mencionar algunas de las mas conocidas.

3.6.1. Condiciones de foliacion

Consideremos en primer lugar la eleccion de la funcion delapso α. La eleccion de esta funcion determina como avan-za el tiempo propio entre distintas hipersuperficies espacia-les, es decir, determina como esta rebanado el espacio-tiempoen superficies de coordenada t constante. Debido a esto, a laeleccion del lapso se le llama comunmente una “condicion defoliacion”.

Antes de considerar diferentes condiciones de foliacion,debemos mencionar un par de resultados que son muy im-portantes al hablar sobre este tema. En primer lugar, conside-remos el movimiento de los observadores de Euler, es decir,aquellos que se mueven siguiendo las lıneas normales a lashipersuperficies que forman la foliacion. Notese que no hayrazon para suponer que estos observadores estan en caıda li-bre, por lo que en general pueden tener lo que se conoce comouna “aceleracion propia” que mide la fuerza requerida paramantenerlos en una trayectoria diferente a la caida libre. Estaaceleracion esta dada por la derivada direccional de la cuatro-velocidad de los observadores de Euler (el vector normal nμ)a lo largo de sı misma:

aμ = nν∇νnμ . (87)

Notese que esto involucra a la derivada covariante en 4 di-mensiones ∇μ. No es difıcil mostrar que esta ecuacion im-plica que la aceleracion esta dada en terminos de la funcionde lapso por

ai = ∂i lnα . (88)

Otra relacion importante esta relacionada con la evolucionde los elementos de volumen asociados a los obervadores deEuler. El cambio de estos elementos de volumen en el tiem-po esta dado por la divergencia de las velocidades de estosobservadores ∇μnμ. Usando la definicion de la curvatura ex-trınseca encontramos ahora

∇μnμ = −trK , (89)

es decir, el cambio de los elementos de volumen en el tiempoes menos la traza de la curvatura extrınseca.

Regresemos ahora al problema de como elegir la funcionde lapso. La manera mas obvia de elegir esta funcion es sim-plemente decidir que queremos que el tiempo coordenado tcoincida en todo punto con el tiempo propio de los observa-dores de Euler. Despues de todo, ¿que podrıa ser mas natural?Esta eleccion corresponde a tomar α = 1 en todo el espacio.De la Ec.88 vemos que en este caso la aceleracion de los ob-servadores de Euler es cero, es decir, estan en caıda libre y semueven a lo largo de geodesicas. Debido a esto, a esta elec-cion se le conoce como “foliacion geodesica”.

La foliacion geodesica, pese a parecer muy natural, es enla practica una muy mala eleccion. La razon de esto es facil

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de ver si pensamos que les ocurre a observadores en caıda li-bre en un campo gravitacional no uniforme. Al ser el campono uniforme, diferentes observadores caen en distintas direc-ciones y nada impide que choquen entre ellos. Cuando estosucede, el sistema de coordenadas que esta atado a estos ob-servadores deja de ser uno a uno: un mismo punto tiene ahoramas de un valor de las coordenadas asociado a el. Esto sig-nifica que el sistema de coordenadas se ha vuelto singular.Debido a esto, la foliacion geodesica no se utiliza.

Para buscar una mejor condicion de lapso, debemos pen-sar cual fue el problema con la foliacion geodesica. El pro-blema basico es que observadores en caıda libre son “en-focados” por el campo gravitacional. Esto significa que seacercan unos a otros, por lo que los elementos de volumendisminuyen hasta hacerse cero. Podemos entonces construiruna foliacion donde se exija que los elementos de volumense mantengan constantes. De la Ec. (89) vemos que esto esequivalente a pedir

trK = ∂ttrK = 0 . (90)

Como se ve en esta expresion, es claro que debemos exigir nosolo que trK sea cero inicialmente, sino que se mantenga ce-ro durante la evolucion. Por otro lado, a partir de las Ecs. (62)y (70) encontramos

∂ttrK = βi∂itrK − D2α + α

[KijKij+

12

(ρ+trS)]

, (91)

donde se utilizo la constriccion hamiltoniana para eliminar elescalar de curvatura. Imponiendo ahora la condicion (90) en-contramos que la funcion de lapso debe satisfacer la siguienteecuacion elıptica:

D2α = α

[KijK

ij +12

(ρ + trS)]

. (92)

Esta condicion se conoce como “foliacion maximal” [25]. Es-te nombre se debe a que puede demostrarse que esta es la con-dicion que garantiza que el volumen de una region cualquierade la hipersuperficie espacial se maximiza ante pequenas va-riaciones.

La condicion de foliacion maximal se ha utilizado en mu-chas simulaciones numericas de diferentes sistemas, inclu-yendo agujeros negros, y sigue siendo popular a la fecha. Susventajas estan en que es una ecuacion sencilla, cuya solu-cion es suave (por ser producto de una ecuacion elıptica), yque garantiza que los observadores de Euler no pueden enfo-carse. En particular, la foliacion maximal tiene la propiedadde evadir singularidades, tanto singularidades de coordena-das debidas al enfoque de observadores, como singularida-des fısicas como aquellas que se encuentran en el interior deun agujero negro. En el caso de un agujero negro, la solu-cion de la condicion maximal hace que la funcion de lapso sehaga exponencialmente cero en la region interior al agujeronegro, fenomeno que se conoce como el “colapso del lapso”(ver Fig. 5). El colapso del lapso resulta muy util, ya que deotra forma las hipersuperficies marcharıan directo a la singu-laridad fısica en un tiempo muy corto, donde se encontrarıan

valores infinitos del campo gravitacional, lo que causarıa queel codigo computacional se detenga.

Una de las desventajas de utilizar una foliacion maximales el hecho de que en tres dimensiones la solucion de la ecua-cion elıptica (92) resulta muy costosa en tiempo de maqui-na. Debido a esto se han buscado condiciones de foliacionalternativas que tengan propiedades similares a la foliacionmaximal, pero que a la vez sean mas faciles de resolver. Unafamilia de condiciones de lapso que tiene estas propiedadeses la llamada condicion de Bona-Masso [26]. Esta familia es-pecifica una ecuacion de evolucion para la funcion de lapsode la forma

∂tα − βi∂iα = −α2f(α) K , (93)

donde f(α) es una funcion positiva pero por lo demas arbi-traria de α (la razon por la que debe ser positiva tiene quever con el concepto de hiperbolicidad que se dicute en la Sec.4). El termino con el vector de corrimiento βi se incluye paraformar la “derivada total” respecto al tiempo, es decir, la deri-vada a lo largo de la direccion normal. La condicion de Bona-Masso incluye a subfamilias muy conocidas. Por ejemplo, sise toma f = 1 se obtiene la llamada “foliacion armonica”,para la cual la coordenada t resulta obedecer la ecuacion deonda gμν∇μ∇νt = 0. En este caso la ecuacion de evoluciondel lapso se puede integrar para obtener

α = h(xi) γ1/2, (94)

donde h(xi) es una funcion independiente del tiempo y γ esel determinante de la metrica espacial, es decir, γ1/2 es elelemento de volumen.

FIGURA 5. Diagrama esquematico del colapso del lapso.

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Otra familia interesante se obtiene tomando f(α) = N/αcon N una constante positiva. Esto corresponde a la familia“1+log” [27, 28], cuyo nombre proviene de que en este casola funcion del lapso resulta tener la forma

α = h(xi) + ln(γN/2

). (95)

La familia 1+log conduce a foliaciones muy similares allapso maximal y tambien tiene la propiedad de evadir singu-laridades. En la practica se ha encontrado que el caso N = 2es particularmente bien comportado [29].

3.6.2. Condiciones de corrimiento

Es menos lo que se conoce sobre elecciones del vector decorrimiento que sobre condiciones de foliacion. La razon esque tomar el vector de corrimiento igual a cero funciona bienen muchos casos. Sin embargo, sı existen propuestas de comoelegir el vector de corrimiento en diversas situaciones.

La propuesta mejor conocida para elegir el vector decorrimiento se conoce como “distorsion mınima” [30]. Laidea basica es utilizar al vector de corrimiento para eliminarlo mas posible la distorsion de los elementos de volumen. Pa-ra ello se define el llamado “tensor de distorsion” Σij como

Σij =12γ1/2∂tγij , (96)

donde γ es el determinante de la metrica espacial y γij =γ−1/3γij . Es decir, γij es una transformacion conforme de lametrica en la que se ha factorizado el elemento de volumen(γ = 1). El tensor de distorsion puede entenderse entoncescomo el cambio en la forma de los elementos de volumendurante la evolucion (y no en su volumen interno).

A partir de la ecuacion de evolucion para la metrica (62),puede demostrarse que

Σij = −α

(Kij − 1

3γijtrK

)+

12

(Lβ)ij , (97)

donde L es el mismo operador que definimos cuando discu-timos como encontrar datos iniciales (Ec. (76).

La condicion de distorsion mınima se obtiene de pedirque la integral sobre todo el espacio del “cuadrado” no-negativo del tensor de distorsion, ΣijΣij , sea lo mas pequenaposible. En este sentido, esta condicion minimiza la distor-sion de manera global. La condicion que acabamos de des-cribir se expresa matematicamente como un principio varia-cional, que tiene como solucion

DjΣij = 0 , (98)

o de manera equivalente

Dj (Lβ)ij = 2Dj

[α

(Kij − 1

3γijtrK

)]. (99)

Esta es la forma final de la condicion de distorsion mınima.

Hay varias cosas que es importante notar de esta condi-cion. En primer lugar, se trata de tres ecuaciones diferenciales(el ındice i esta libre), que en principio nos permiten calcu-lar las tres componentes del vector βi. En segundo lugar, esun sistema de ecuaciones de tipo elıptico (generalizacionesde la ecuacion de Poisson), acopladas entre sı. Debido a esto,la condicion de distorsion mınima es muy difıcil de resolveren el caso tri-dimensional (aunque no imposible), lo que hahecho que sea poco utilizada en la practica.

Condiciones de corrimiento relacionadas con la distor-sion mınima, pero mucho mas faciles de resolver, se han pro-puesto en los ultimos anos. En particular, propuestas del tipo

∂2t βi ∝ DjΣij , (100)

que transforman el sistema de ecuaciones elıpticas en un sis-tema hiperbolico se han propuesto en la Ref 31, pero en estasnotas no hablaremos sobre ellas.

Para terminar esta seccion es importante comentar que, sibien es cierto que en muchos casos tomar el vector de corri-miento igual a cero funciona muy bien, hay casos en los quees claro que esto no puede ser ası. En particular, sistemas conmomento angular (agujeros negros o estrellas de neutronesen rotacion) producen un efecto fısico llamado “arrastre desistemas inerciales”, que en pocas palabras significa que ob-servadores cercanos al objeto que rota se ven arrastrados enla rotacion de este. En este tipo de situaciones, la unica for-ma de impedir que el sistema de coordenadas sea arrastrado,y termine completamente enredado alrededor del objeto, esutilizando un vector de corrimiento que se oponga al arras-te. Estas situaciones tambien se dan en el caso de la orbitade objetos compactos, por lo que el estudio de condicionesadecuadas de corrimiento se ha vuelto un tema de gran ac-tualidad.

4. Formulaciones alternativas e hiperbolici-dad

En la seccion anterior se introdujeron las ecuaciones de evo-lucion de ADM, Ecs. (62) y (70). De hecho, estas ecuacionesno estan escritas en la forma original de Arnowitt, Deser yMisner [21], sino que son una re-escritura no trivial por partede York [20]. Aun ası, en la comunidad numerica las Ecs. (62)y (70) se conocen como ecuaciones ADM.

Es importante senalar precisamente en que difieren lasecuaciones de ADM originales de las ecuaciones ADMa la York (que llamaremos de ahora en adelante “ADMestandar”). Ambos grupos de ecuaciones difieren en dos as-pectos distintos. En primer lugar, las variables ADM origina-les son la metrica espacial γij y su momento canonico conju-gado πij que se obtiene a partir de la formulacion lagrangianade la relatividad general, y que esta relacionado con la curva-tura extrınseca como

Kij = −γ−1/2

(πij − 1

2γijπ

), (101)

con γ el determinante de la metrica espacial y π = tr πij .

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30

18 M. ALCUBIERRE

Sin embargo, incluso si se reescribe en terminos de la cur-vatura extrınseca, la ecuacion de evolucion que ADM obtie-nen para Kij difiere de (70), y tiene la forma

∂tKij = βaDaKij + KiaDjβa + KjaDiβ

a − DiDjα

+ α[R

(3)ij − 2KiaKa

j + Kij trK]

+ 4πα [γij (tr S − ρ) − 2Sij ] − α

4γijH , (102)

donde H es la constriccion hamiltoniana (66):

H := R(3) + (tr K)2 − KijKij − 16πρ = 0 . (103)

Es claro que ambas ecuaciones de evolucion son fısicamenteequivalentes, ya que difieren solo en la adicion de un terminoproporcional a la constriccion hamiltoniana que debe ser ce-ro para cualquier solucion fısica. Sin embargo, las diferentesecuaciones de evolucion para Kij no son matematicamenteequivalentes. Hay dos razones por las que ambas ecuacionesson distintas matematicamente:

1. En primer lugar, el espacio de soluciones de las ecua-ciones de evolucion es distinto, y solo coincide parasoluciones fısicas, es decir, aquellas que satisfacen lascontricciones. Dicho de otro modo, ambos sistemas deecuaciones solo son equivalentes en un subconjunto delespacio total de soluciones. A este subconjunto se leconoce como la “hipersuperficie de constriccion”.

Desde luego, uno podrıa argumentar que dado que soloestamos interesados en soluciones fısicas, la distincionque hemos hecho es irrelevante. Esto es estrictamentecierto si uno puede resolver las ecuaciones de formaexacta. Pero en el caso de soluciones numericas siem-pre habra un elemento de error que nos llevara fuerade la hipersuperficie de constriccion, y la pregunta deque ocurre en ese caso se vuelve no solo relevante sinode fundamental importancia: Si nos salimos ligeramen-te de la hipersuperficie de constriccion, ¿nos mantene-mos a una distancia pequena, o nos alejamos de ellacada vez mas rapido?

2. La segunda razon por la que ambos sistemas difierenmatematicamente esta relacionada con la anterior y esde mayor importancia. Debido a que la constriccion ha-miltoniana tiene derivadas de la metrica (escondidas enel escalar de curvatura R), al anadir un multiplo de estaestamos cambiando la estructura misma de la ecuaciondiferencial, es decir, podemos pasar de un sistema detipo hiperbolico a otro de tipo elıptico, e incluso de unsistema bien comportado (“bien planteado”) a otro queno lo es.

Estas consideraciones nos llevan a una observacion quees hoy en dıa una de las areas de investigacion mas importan-tes en la relatividad numerica: las ecuaciones de evolucionson altamente no unicas, pues siempre es posible anadirles

multiplos arbitrarios de las contricciones. Diferentes ecuacio-nes coinciden en las soluciones fısicas, pero pueden diferir demanera dramatica en sus propiedades matematicas y en par-ticular en la manera en la que responden a pequenas violacio-nes de las constricciones (inevitables numericamente). Cuales la mejor manera de escribir las ecuaciones de evolucion esun problema abierto de gran actualidad.

4.1. La formulacion BSSN

Aun cuando las ecuaciones de ADM son el punto de partidadel formalismo 3+1, en la practica no han resultado ser muybien comportadas frente a pequenas violaciones de las cons-tricciones. En la siguiente seccion discutiremos una posibleexplicacion de este hecho, pero de momento lo tomaremoscomo una observacion empırica: las ecuaciones ADM no sonmuy estables ante violaciones de las contricciones.

Desde principios de la decada de los 90, se han propuestouna gran cantidad de formulaciones alternativas de las ecua-ciones de evolucion con diversas motivaciones. En este cursono podemos verlas todas, ni siquiera una porcion representa-tiva, ası que nos limitaremos a discutir una formulacion parti-cular que se ha vuelto muy popular en los ultimos anos debi-do a que en la practica ha resultado ser muy bien comportada.Esta es la formulacion conocida como BSSN (Baumgarte yShapiro [32], Shibata y Nakamura [33]).

La formulacion BSSN difiere de la formulacion ADM envarios aspectos. En primer lugar, BSSN introduce nuevas va-riables similares a las utilizadas en el problema de valores in-ciales que discutimos en la Sec. 3.4. La metrica espacial γij

se reescribe en terminos de una metrica conforme γij me-diante la transformacion:

γij = ψ4γij , (104)

donde el factor conforme ψ se escoge de manera que el de-terminante de γij sea igual a 1, es decir,

ψ = γ1/12, γij = ψ−4γij = γ−1/3γij , γ = 1, (105)

donde γ es el determinante de γij y γ el determinante deγij .Por otro lado, la curvatura extrınseca se separa en su trazaK := trK y su parte de traza cero:

Aij = Kij − 13γijK. (106)

En vez de las variables ADM γij y Kij , se utilizan entonceslas variables

φ = lnψ =112

ln γ, K = γijKij ,

γij = e−4φγij , Aij = e−4φAij , (107)

Ademas, se introducen tres variables auxiliares llamadas“funciones de conexion conformes” definidas como

Γi = γjkΓijk = −∂j γ

ij , (108)

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30


donde Γijk son los sımbolos de Christoffel de la metrica con-

forme, y donde la segunda igualdad se deriva de la definicionde los sımbolos de Christoffel en el caso en que el determi-nante de γ sea igual a 1 (lo que debe ser cierto por construc-cion). Llamamos a las 17 variables φ, K, γij , Aij y Γi las“variables BSSN”.

Hasta ahora no hemos hecho otra cosa que redefinir va-riables e introducir tres variables auxiliares adicionales. Aunfalta dar las ecuaciones de evolucion de las nuevas variables.Por simplicidad, de aquı en adelante asumiremos que esta-mos en vacıo y que el vector de corrimiento βi es cero (elcaso general puede obtenerse facilmente). De la ecuacion deevolucion para la metrica espacial (62) encontramos

∂tγij = −2αAij , (109)

∂tφ = −16αK, (110)

mientras que de la ecuacion de evolucion para la curvaturaextrınseca (70) obtenemos

∂tAij = e−4φ[−DiDjα + αRij ]TF

+ α(KAij − 2AikAkj), (111)

∂tK = −DiDiα + α(AijAij +

13K2), (112)

donde TF denota la parte de traza cero. Es importante notarque en la ecuacion de evolucion para K se ha utilizado ya laconstriccion hamiltoniana para eliminar al escalar de curva-tura:

R = KijKij − K2 = AijA

ij − 23K2. (113)

Vemos entonces que ya hemos comenzado a jugar el juegode sumar multiplos de las constricciones a las ecuaciones deevolucion. Falta aun la ecuacion de evolucion para las Γi.Esta ecuacion puede obtenerse directamente de (108) y (62).Encontramos que

∂tΓi = −2(α∂jA

ij + Aij∂jα)

. (114)

Notese que en las ecuaciones de evolucion para Aij y Kaparecen derivadas covariantes de la funcion de lapso con res-pecto a la metrica fısica γij que estan dadas por

DiDiα

= e−4φ(γij∂i∂jα − Γk∂kα + 2γij∂iφ∂jα). (115)

Ademas, en la ecuacion para Aij aparece el tensor de Ricciasociado a γij que se separa de la siguiente forma:

Rij = Rij + Rφij , (116)

donde Rij es el tensor de Ricci asociado a la metrica confor-me γij :

Rij = −12γlm∂l∂mγij + γk(i∂j)Γk + ΓkΓ(ij)k

+ γlm(2Γk

l(iΓj)km + ΓkimΓklj

), (117)

y donde Rφij denota terminos adicionales que dependen de φ:

Rφij = −2DiDjφ − 2γijD

kDkφ

+ 4Diφ Djφ − 4γijDkφ Dkφ, (118)

donde Di es ahora la derivada covariante con respecto a lametrica conforme.

La motivacion para el cambio de variables realizado arri-ba es multiple. La transformacion conforme y la separacionde la traza de la curvatura extrınseca se lleva a cabo para te-ner mejor control sobre las condiciones de lapso, que como semenciono en la secc. 3.6.1, en general estan relacionadas conla traza de Kij y se escogen de manera que se pueda contro-lar mejor la evolucion de los elementos de volumen. Por otrolado, la introduccion de las variables auxiliares Γi se debe aque, cuando estas se consideran variables independientes, lassegundas derivadas de la metrica conforme que aparecen enel lado derecho de la ecuacion de evolucion (111) (conteni-das en el tensor de Ricci (117)) se reducen simplemente aloperador de Laplace γlm∂l∂mγij . Todos los demas terminosque tienen segundas derivadas de γij pueden reescribirse enterminos de primeras derivadas de Γi. Esto significa que lasEcs. (109) y (111) toman la estructura de una ecuacion deonda.

Falta aun un elemento clave en la formulacion BSSN queno hemos mencionado. En la practica resulta que, pese a lasmotivaciones arriba mencionadas, si uno utiliza las ecuacio-nes de evolucion dadas por (109), (110), (111), (112) y (114),el sistema resulta ser violentamente inestable en simulacionesnumericas.

Para corregir este problema escribimos primero las con-tricciones de momento, que en las variables BSSN toman laforma

∂jAij = −Γi

jkAjk − 6Aij∂jφ +23γij∂jK. (119)

Podemos ahora utilizar esta ecuacion para substituir a ladivergencia de Aij que aparece en la ecuacion de evolu-cion (114) para Γi, obteniendo

∂tΓi = −2Aij∂jα

+ 2α

(Γi

jkAjk + 6Aij∂jφ − 23γij∂jK

). (120)

El sistema de ecuaciones de evolucion es ahora: (109),(110), (111), (112), y (120). Este nuevo sistema no solo yano presenta la violenta inestabilidad antes mencionada, si-no que ademas resulta ser mucho mejor comportado que elsistema ADM en todos los casos estudiados a la fecha. Queesto es ası fue mostrado por primera vez de forma empırica(es decir, mediante comparaciones directas de simulacionesnumericas) por Baumgarte y Shapiro en la Ref. 32, y expli-cado por Alcubierre y colaboradores en la Ref. 34. La expli-cacion de porque BSSN es mejor que ADM esta relacionadacon el concepto de hiperbolicidad que discutiremos en la si-guiente seccion.

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30

20 M. ALCUBIERRE

4.2. El concepto de hiperbolicidad

En esta seccion daremos una breve introduccion al concep-to de hiperbolicidad de sistemas de ecuaciones de evolucion,que resulta clave en el analisis de las propiedades matemati-cas de los sistemas de ecuaciones utilizados en diversas areasde la fısica, y en particular en la relatividad numerica. Unadescripcion mas detallada de la teorıa de sistemas hiperboli-cos puede encontrarse en la Ref. 35.

Consideremos un sistema de ecuaciones de evolucion enuna dimension de la forma

∂tui + ∂xFi = qi i ∈ {1, . . . , Nu} , (121)

donde Fi y qi son funciones arbitrarias, posiblemente no li-neales, de las u’s pero no de sus derivadas. Este sistema tam-bien puede escribirse como

∂t ui +∑

j

Mij∂xuj = qi i ∈ {1, . . . , Nu} , (122)

con

Mij =∂Fi

∂uj

la llamada “matriz jacobiana”.Es importante mencionar que la mayor parte de las ecua-

ciones diferenciales de la fısica se pueden escribir de esta for-ma. En el caso en el que haya derivadas de orden mayor, sepueden simplemente definir variables auxiliares para obtenerun sistema de primer orden.

Sean ahora λi los eigenvalores de la matriz jacobiana M .El sistema de ecuaciones de evolucion se denomina “hi-perbolico” si todas las λi resultan ser funciones reales. Masaun, el sistema se denomina “fuertemente hiperbolico” si lamatriz M tiene un conjunto completo de eigenvectores. Encaso que todos los eigenvalores sean reales, pero no exista unconjunto completo de eigenvectores, el sistema se denomina“debilmente hiperbolico”.

Asumamos ahora que el sistema es fuertemente hiperboli-co. Definimos las “eigenfunciones” wi como

u = R w ⇒ w = R−1 u , (123)

donde R es la matriz de eigenvectores columna ei. Es posiblemostrar que la matriz R es tal que

RMR−1 = Λ , (124)

con Λ = diag(λi). Las ecuaciones de evolucion para los ei-gencampos wi resultan ser entonces

∂twi + λi ∂xwi = q′i , (125)

con q′i funciones de las w’s pero no sus derivadas. El siste-ma se ha transformado entonces en una serie de ecuacionesde adveccion con velocidades caracterısticas dadas por loseigenvalores λi. Dicho de otro modo, tenemos una serie deperturbaciones propagandose con velocidades λi.

La hiperbolicidad es de fundamental importancia en elestudio de las ecuaciones de evolucion asociadas con un pro-blema de Cauchy. En un sentido fısico, la hiperbolicidad im-plica que el sistema de ecuaciones es causal y local, es decir,que la solucion en un punto dado del espacio-tiempo depen-de solo de informacion contenida en una region compactaal pasado de ese punto, el llamado “cono caracterıstico” (ocono de luz en el caso de la relatividad). Matematicamen-te, se puede mostrar que un sistema fuertemente hiperbolicoesta “bien planteado”, es decir, sus soluciones existen y sonunicas (al menos localmente), y ademas las soluciones sonestables en el sentido de que cambios pequenos en los datosiniciales corresponden a cambios pequenos en la solucion.

El concepto de hiperbolicidad se puede extender a tresdimensiones considerando ecuaciones del tipo

∂tui + ∂xF xi + ∂yF y

i + ∂zFzi = qi ,

i ∈ {1, . . . , Nu} , (126)

y analizando las tres matrices jacobianas

Mkij = ∂F k

i /∂uj (k = x, y, z).

Para ver un ejemplo sencillo de hiperbolicidad, conside-remos la ecuacion de onda en una dimension:

∂2φ

∂t2− c2 ∂2φ

∂x2= 0 , (127)

donde φ es la funcion de onda y c la velocidad de onda. Estaecuacion es de segundo orden, pero podemos pasarla a primerorden si introducimos las variables auxiliares:

Π := ∂φ/∂t , Ψ := ∂φ/∂x . (128)

La ecuacion de onda puede reescribirse entonces como el sis-tema

∂φ

∂t= Π ,

∂Π∂t

− c2 ∂Ψ∂x

= 0 ,∂Ψ∂t

− ∂Π∂x

= 0 , (129)

donde la primera ecuacion es la definicion de Π, la segundaes la ecuacion de onda propiamente dicha, y la tercera es elrequerimiento de que las derivadas de φ conmuten. El siste-ma anterior claramente tiene ya la forma (121). Como la fun-cion φ no aparece en ninguna de las dos ultimas ecuaciones,podemos analizar unicamente el sistema {Π, Ψ}. La matrizjacobiana en este caso es de 2 × 2 y resulta ser

M =(

0 −c2

−1 0

), (130)

cuyos correspondientes eigenvalores son reales y estan dadospor λ± = ±c, es decir, las ondas pueden moverse a la iz-quierda y a la derecha con velocidad c. La martriz M tienedos eigenvectores independientes, es decir un conjunto com-pleto, por lo que el sistema es fuertemente hiperbolico. Loseigenvectores resultan ser v± = (∓c, 1), de donde podemosencontrar facilmente las eigenfunciones ω± = Π∓cΨ (note-se que a la velocidad +c corresponde la eigenfuncion Π−cΨ

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30


y viceversa). Las ecuaciones de evolucion para las eigenfun-ciones son

∂ω±∂t

± c∂ω±∂x

= 0 . (131)

Vemos que las eigenfunciones se propagan en direccionesopuestas de manera independiente.

4.3. Hiperbolicidad de las ecuaciones 3+1

Vamos ahora a estudiar la hiperbolicidad de las ecuacionesde evolucion de ADM, Ecs.(62) y (70). Como solo estamosinteresados en la idea basica, vamos a analizar un caso muysimple (las conclusiones no se modifican fundamentalmenteen el caso general). En primer lugar, asumiremos que esta-mos en el vacıo y que el vector de corrimiento βi es cero. Lasecuaciones que vamos a utilizar son entonces

∂tγij = −2αKij , (132)

∂tKij = − DiDjα

+ α[R

(3)ij − 2KiaKa

j + Kij tr K]

, (133)

Para simplificar aun mas las cosas, consideraremos perturba-ciones lineales de un espacio plano. En este caso, la metricaespacial y la funcion de lapso se pueden escribir como

α = 1 + a, γij = δij + hij , (134)

con a y hij mucho menores que 1. A primer orden en canti-dades pequenas, las ecuaciones de evolucion toman la formasimplificada (notese que en estas circumstancias Kij resultaser una cantidad pequena):

∂thij = −2Kij , (135)

∂tKij = −∂i∂ja + R(1)ij , (136)

donde el tensor de Ricci linealizado esta dado por

R(1)ij = −1/2

(∇2planohij − ∂iΓj − ∂jΓi

). (137)

y donde hemos definido

Γi :=∑

k

∂khik − 1/2 ∂ih, (138)

con

h =∑

i

hii.

Para continuar el analisis debemos ahora elegir nuestracondicion de foliacion. La opcion mas simple es tomar a = 0,pero eso equivale a la foliacion geodesica y ya hemos men-cionado que esa no es una buena eleccion. Tomaremos mejorel lapso armonico, que en esta aproximacion corresponde a(K =

∑i Kii)

∂ta = −K . (139)

El siguiente paso es reescribir estas ecuaciones como unsistema de primer orden. Para ello debemos introducir las va-riables auxiliares

Ai := ∂ia , Dijk :=12∂ihjk . (140)

El sistema de ecuaciones toma ahora la forma

∂ta = −K , (141)

∂thij = −2Kij , (142)

∂tAi = −∂iK , (143)

∂tDijk = −∂iKjk , (144)

∂tKij = −∂(iAj)

+∑

k

(2∂(iDkkj) − ∂(iDj)kk − ∂kDkij

). (145)

Para hacer el analisis de hiperbolicidad notamos primero quelas variables a y hij evolucionan solo con terminos de fuente(no hay derivadas del lado derecho). Ademas, no aparecen enlas siguientes ecuaciones, por lo que pueden ignorase al es-tudiar la hiperbolicidad. Nos concentraremos entonces en elsubsistema {Ai, Dijk,Kij}. Como el sistema es tridimensio-nal, en principio debemos construir las tres matrices jacobia-nas. Analizaremos unicamente la direccion x, las otras dosdirecciones son enteramente analogas.

Si consideramos solo derivadas en la direccion x, nota-mos que unicamente debemos considerar las componentesAx y Dxjk, pues las componentes Aq y Dqjk, para q dis-tinta de x, se pueden tomar como fijas en este caso (podemosasumir que son cero sin afectar el analisis). Haciendo un po-co de algebra encontramos que el sistema a analizar toma laforma

∂tAx + ∂x (Kxx + Kyy + Kzz) = 0 , (146)

∂tKxx + ∂xAx + ∂x (Dxyy + Dxzz) = 0 , (147)

∂tKyy + ∂xDxyy = 0 , (148)

∂tKzz + ∂xDxzz = 0 , (149)

∂tKxy = 0 , (150)

∂tKxz = 0 , (151)

∂tKyz + ∂xDxyz = 0 , (152)

∂tDxjk + ∂xKjk = 0. (153)

Este es un sistema de trece variables:

u := {Ax,Kxx,Kyy, Kzz,Kxy,Kxz,Kyz,

Dxxx, Dxyy, Dxzz, Dxxy, Dxxz, Dxyz, }

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30

22 M. ALCUBIERRE

La matriz jacobiana resulta ser

M=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. (154)

La matriz anterior, de 13 × 13 elementos, tal vez parezcamuy grande, pero la mayor parte de sus entradas son ceros,por lo que no es difıcil encontrar sus eigenvalores. Estos re-sultan ser: +1 con multiplicidad 4, −1 con multiplicidad 4, y0 con multiplicidad 5, para un total de 13. Como todos estoseigenvalores son reales, el sistema es hiperbolico. Mas intere-santes son los eigenvectores. Asociados al eigenvalor λ = −1tenemos los siguientes tres eigenvectores:

v−1 = (1,−1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (155)

v−2 = (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0,−1, 1, 0, 0, 0), (156)

v−3 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0,−1); (157)

asociados al eigenvalor λ = +1 los tres eigenvectores:

v+1 = (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (158)

v+2 = (0, 0, 1,−1, 0, 0, 0, 0, 1,−1, 0, 0, 0), (159)

v+3 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1); (160)

y asociados al eigenvalor λ = 0 los tres eigenvalores:

v01 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (161)

v02 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0), (162)

v03 = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0); (163)

para un total de solo nueve. Es decir, no hay un conjuntocompleto de eigenvectores y el sistema es solo debilmente hi-perbolico. Como hemos mencionado, un sistema debilmentehiperbolico no es bien comportado, por lo que deberıamos es-perar problemas cuando utilizamos ADM para simulacionesnumericas.

Es posible resolver el problema de la hiperbolicidad debilde ADM anadiendo multiplos de las constricciones en lugaresadecuados. Para ver esto, escribimos la aproximacion lineala las constricciones que resulta ser∑

j

∂jfj = 0, (hamiltoniana) (164)

∑j

∂jKij − ∂iK = 0, (momento, ) (165)

donde hemos definido

fi :=∑

k

∂khik − ∂ih = 2∑

k

(Dkki − Dikk) .

Si consideramos solo derivadas en la direccion x (e igno-ramos las componentes Dqjk con q distinta de x), las cons-tricciones toman la forma

∂x (Dxyy + Dxzz) = 0, (166)

∂x (Kyy + Kzz) = 0, ∂xKxy = 0, ∂xKxz = 0. (167)

Substituyendo estas constricciones en las ecuaciones de evo-lucion, la matriz jacobiana se transforma en

M=

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

. (168)

Los eigenvalores resultan ser los mismos que antes, pero aho-ra sı se encuentra un conjunto completo de eigenvectores. Laleccion aprendida es la siguiente: substituyendo las constric-ciones en las ecuaciones de evolucion es posible transformara las ecuaciones linearizadas de ADM en un sistema fuerte-mente hiperbolico.

En el caso general, cuando estamos en un campo no li-nealizado y con un vector de corrimiento distinto de cero, sepuede hacer un analisis similar. El problema es que en ese ca-so no es nada evidente como se deben substituir las constric-ciones en las ecuaciones de evolucion para obtener sistemashiperbolicos. De hecho hay muchas formas distintas de ha-cerlo, inclusive se han construido familias multiparametricasde formulaciones hiperbolicas, entre las que se pueden men-cionar las formulaciones de Bona-Masso [26, 36], Frittelli-Reula [37], Kidder-Scheel-Teukolsy [38], entre otras. Inclusoes posible mostrar que la formulacion BSSN que se introdujoen la seccion anterior es fuertemente hiperbolica bajo ciertassuposiciones [39].

Hoy en dıa, el problema de encontrar criterios que diganque formulacion hiperbolica es mejor que otra se ha conver-tido en un area de investigacion de gran actualidad, y variosgrupos trabajan activamente en ella en diversos lugares delmundo.

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5. Aproximaciones en diferencias finitas

Las teorıas de campo juegan un papel fundamental en la fısi-ca moderna. Desde la electrodinamica clasica de Maxwell,hasta las teorıas cuanticas de campo, pasando por la ecuacionde Schrodinger, la hidrodinamica y, desde luego, la relativi-dad general, la nocion de campo como una entidad fısica ensı misma ha tenido implicaciones profundas en nuestra con-cepcion del Universo. Los campos son funciones continuasdel espacio y el tiempo, y la descripcion matematica de susleyes dinamicas se realiza en el contexto de las ecuacionesdiferenciales parciales.

Las ecuaciones diferenciales parciales asociadas a teorıasfısicas son en general imposibles de resolver analıticamen-te excepto en casos muy idealizados. Esta dificultad puedetener diversos orıgenes, de la presencia de fronteras irregula-res a la existencia de terminos no lineales en las ecuacionesmismas. Para resolver este tipo de ecuaciones en situacionesdinamicas generales resulta inevitable utilizar aproximacio-nes numericas.

Existen muchas formas distintas de resolver ecuacionesdiferenciales parciales de forma numerica. Los metodos maspopulares son tres: las “diferencias finitas” [40], los “elemen-tos finitos” [41] y los “metodos espectrales”. En este cur-so nos limitaremos a estudiar las diferencias finitas por serel metodo conceptualmente mas simple y tambien por ser elmas comun en la relatividad numerica (aunque no el unico,en particular los metodos espectrales han comenzado a ganarpopularidad en los ultimos anos [42–44]).

5.1. Ideas fundamentales en las diferencias finitas

Cuando uno estudia un campo en un espacio-tiempo conti-nuo, se ve en la necesidad de considerar un numero infinito(y no contable) de variables desconocidas: el valor del cam-po en todo punto del espacio y a todo tiempo. Para encontrarel valor del campo utilizando aproximaciones numericas pri-mero se debe reducir el numero de variables a una cantidadfinita. Hay muchas formas de hacer esto. Los metodos espec-trales, por ejemplo, expanden la solucion como combinacionlineal finita de una base adecuada de funciones. Las variablesa resolver son entonces los coeficientes de dicha serie. Unenfoque distinto es tomado por las diferencias y los elemen-tos finitos. En ambos casos se reduce el numero de variablesdiscretizando el dominio de dependencia de las funciones,aunque con distintas estrategias.

La idea basica de las diferencias finitas es substituir alespacio-tiempo continuo por un conjunto discreto de puntos.Este conjunto de puntos se conoce como la “malla” o “red”computacional. Las distancias en el espacio entre los puntosde esta red no tienen porque ser uniformes, pero en estas no-tas asumiremos que sı lo son. El paso de tiempo entre dosniveles consecutivos se denomina Δt, y la distancia entre dospuntos adyacentes en el espacio Δx. La Fig. 6 es una repre-sentacion grafica de la red computacional.

FIGURA 6. Discretizacion del espacio-tiempo utilizada en diferen-cias finitas.

Una vez establecida la malla computacional el siguientepaso es subsitituir las ecuaciones diferenciales por un siste-ma de ecuaciones algebraicas. Esto se logra aproximando losoperadores diferenciales por diferencias finitas entre los va-lores de las funciones en puntos adyacentes de la malla. Deesta forma se obtiene una ecuacion algebraica en cada puntode la malla por cada ecuacion diferencial. Estas ecuacionesalgebraicas involucran los valores de las funciones en el pun-to considerado y en sus vecinos mas cercanos. El sistema deecuaciones algebraicas se puede resolver de manera sencilla,el precio que hemos pagado es que ahora tenemos muchısi-mas ecuaciones algebraicas, por lo que se requiere utilizaruna computadora.

Para ver como se hace esto en la practica, consideremoscomo modelo la ecuacion de onda en una dimension. Estaecuacion presenta muchas ventajas. En primer lugar se pue-de resolver de manera exacta y la solucion exacta se puedeutilizar para comparar con la solucion numerica. Ademas, lamayorıa de las ecuaciones fundamentales en las teorıas decampo modernas se pueden ver como generalizaciones de di-versos tipos de la ecuacion de onda.

5.2. La ecuacion de onda en una dimension

La ecuacion de onda en una dimension (en un espacio plano)tiene la forma

∂2φ

∂x2− 1

c2

∂2φ

∂t2= 0 , (169)

donde φ es la funcion de onda y c la velocidad de onda.Para encontrar una aproximacion en diferencias finitas a

esta ecuacion comenzamos por introducir la siguiente nota-cion para los valores de φ en la red computacional:

φnm := φ (nΔt, mΔx) . (170)

Podemos aproximar los operadores diferenciales que apa-recen en la Ec. 169 utilizando expansiones en Taylor de φ al-rededor del punto (n, m). Consideremos el valor de φ en los

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24 M. ALCUBIERRE

puntos (n, m + 1) y (n, m − 1):

φnm+1 = φn

m +(

∂φ

∂x

)Δx +

12

(∂2φ

∂x2

)(Δx)2

+16

(∂3φ

∂x3

)(Δx)3 + · · · , (171)

φnm−1 = φn

m −(

∂φ

∂x

)Δx +

12

(∂2φ

∂x2

)(Δx)2

− 16

(∂3φ

∂x3

)(Δx)3 + · · · , (172)

donde las derivadas son evaluadas en el punto(t = n Δt, x = m Δx) . A partir de estas expresiones ve-mos que(

∂2φ

∂x2

)=

φnm+1 − 2 φn

m + φnm−1

(Δx)2

+(Δx)2

12

(∂4φ

∂x4

)+ · · · . (173)

Podemos entonces aproximar la segunda derivada como(∂2φ

∂x2

) φn

m+1 − 2 φnm + φn

m−1

(Δx)2. (174)

Que tan buena es esta aproximacion depende, desde lue-go, del tamano de la malla Δx. Si Δx es pequeno en el sen-tido de que la funcion φ varıa muy poco en una region deese tamano, entonces la aproximacion puede ser muy buena.El error involucrado en esta aproximacion es llamado “errorde truncacion” y, como vemos, su parte dominante resulta serproporcional a Δx2, por lo que se dice que esta aproximaciones de segundo orden.

La segunda derivada de φ con respecto a t se puede apro-ximar exactamente de la misma manera. De esta forma obte-nemos la siguiente aproximacion a segundo orden de la ecua-cion de onda:

φnm+1 − 2 φn

m + φnm−1

(Δx)2

− 1c2

φn+1m − 2 φn

m + φn−1m

(Δt)2= 0 . (175)

Podemos reescribir esta ecuacion de forma mas com-pacta si introducimos el llamado “parametro de Courant”:ρ := cΔt/Δx. La aproximacion toma la forma final

ρ2(φn

m+1 − 2 φnm + φn

m−1

)

−(φn+1

m − 2 φnm + φn−1

m

)= 0 . (176)

Esta ecuacion tiene una propiedad muy importante: invo-lucra solo un valor de la funcion de onda en el ultimo nivel detiempo, el valor φn+1

m . Podemos entonces despejar este valoren terminos de valores en tiempos anteriores para obtener

φn+1m = 2 φn

m − φn−1m

+ ρ2(φn

m+1 − 2 φnm + φn

m−1

). (177)

Por esta propiedad la aproximacion anterior se conoce co-mo “aproximacion explıcita”. Si conocemos los valores de lafuncion φ en los niveles n y n− 1, podemos usar la ecuacionanterior para calcular directamente los valores de la funcionen el nuevo paso de tiempo n + 1. El proceso puede luegoiterarse tantas veces como se quiera. Es evidente que todo loque se necesita para comenzar la evolucion es el conocimien-to del valor de la funcion de onda en los primeros dos pasosde tiempo. Pero obtener estos datos es muy facil de hacer.Como se trata de una ecuacion de segundo orden, los datosiniciales incluyen

f (x) := φ (0, x) , g (x) :=∂φ

∂t

∣∣∣∣t=0

. (178)

El conocimiento de f(x) evidentemente nos da el primernivel de tiempo:

φ0m = f (m Δx) . (179)

Para el segundo nivel basta con aproximar la primera deriva-da en el tiempo en diferencias finitas. Una posible aproxima-cion es

g (m Δx) =φ1

m − φ0m

Δt, (180)

de donde obtenemos

φ1m = g (mΔx) Δt + φ0

m . (181)

La expresion anterior tiene un inconveniente importan-te. De la expansion en Taylor podemos ver facilmente que elerror de truncacion para esta expresion es de orden Δt, por loque la aproximacion es solo de primer orden. Sin embargo,es facil resolver este problema. Una aproximacion a segundoorden resulta ser

g (mΔx) =φ1

m − φ−1m

2 Δt. (182)

El problema ahora es que esta expresion hace referencia alvalor de la funcion φ−1

m que tambien es desconocido. Peroya tenemos otra ecuacion que hace referencia a φ1

m y φ−1m :

la aproximacion a la ecuacion de onda (176) evaluada enn = 0. Podemos entonces utilizar estas dos ecuaciones paraeliminar φ−1

m y resolver para φ1m. De esta forma obtenemos

la siguiente aproximacion a segundo orden para el segundonivel de tiempo:

φ1m = φ0

m +ρ2

2(φ0

m+1 − 2 φ0m + φ0

m−1

)

+ Δt g (m Δx) . (183)

Las Ecs. (179) y (183) nos dan ahora toda la informacion ne-cesaria para comenzar la evolucion.

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Hay un punto importante que debe mencionarse aqui. Pa-ra reducir el numero total de variables a un numero finito,tambien es necesario tomar una region finita del espacio, co-nocida como el “dominio computacional”, con un numerofinito de puntos N . Resulta entonces crucial especificar lascondiciones de frontera que deberan aplicarse a las orillasde la red computacional. Es claro que la aproximacion a laecuacion de onda (176) no puede ser utilizada en las fronte-ras debido a que hace referencia a puntos fuera del dominiocomputacional. Existen diversas maneras conocidas de im-poner condiciones de frontera para la ecuacion de onda. Sinembargo, para sistemas mas complejos, como las ecuacionesde Einstein, la eleccion de condiciones de frontera adecuadasy consistentes es un problema no resuelto de gran actuali-dad [45, 46]. Para los objetivos de estas notas podemos olvi-darnos del problema de las condiciones de frontera y asumirque tenemos un espacio periodico, de manera que la eleccionde las condiciones de frontera sera simplemente

φn0 ≡ φn

N . (184)

Esta eleccion, ademas de ser sumamente simple, es equiva-lente a utilizar la aproximacion interna en todos lados, porlo que permite concentrarnos en las propiedades del meto-do interior unicamente, sin preocuparnos por los efectos quepuedan introducir las fronteras.

5.3. Aproximaciones implıcitas y moleculas computa-cionales

En la seccion anterior se introdujeron las ideas basicas delas aproximaciones en diferencias finitas utilizando la ecua-cion de onda en una dimension como ejemplo. La aproxima-cion que encontramos, sin embargo, esta lejos de ser unica.En principio, existe un numero infinito de formas distintasde aproximar una misma ecuacion diferencial utilizando di-ferencias finitas. Diferentes aproximaciones tienen distintaspropiedades. En la siguiente seccion se mencionaran cualesde estas propiedades pueden hacer una aproximacion mas utilque otra. En esta seccion me limitare a introducir una gene-ralizacion de la aproximacion explıcita que vimos antes.

Para hacer las cosas mas faciles, introduciremos una nota-cion compacta para las diferencia finitas. Definimos los ope-radores de “primeras diferencias centradas” como

δx φnm :=

12

(φn

m+1 − φnm−1

), (185)

δt φnm :=

12

(φn+1

m − φn−1m

), (186)

y los operadores de “segundas diferencias centradas” como

δ2x φn

m := φnm+1 − 2 φn

m + φnm−1 , (187)

δ2t φn

m := φn+1m − 2 φn

m + φn−1m . (188)

(Cuidado: Con esta notacion (δx)2 = δ2x).

Habiendo definido estos operadores, podemos regresar alas aproximaciones que hicimos a los operadores diferencia-les que aparecen en la ecuacion de onda. Partiendo de nue-vo de las series de Taylor, es posible mostrar que la segundaderivada espacial puede aproximarse de manera mas generalcomo(

∂2φ

∂x2

) 1

(Δx)2δ2x

[θ

2(φn+1

m + φn−1m

)+ (1 − θ) φn

m

], (189)

con θ un parametro arbitrario. La expresion que tenıamos an-tes, Ec. (174), puede recuperarse tomando θ = 0. Esta nuevaaproximacion corresponde a tomar promedios, con un ciertopeso, de operadores en diferencias finitas actuando en dife-rentes pasos de tiempo. En el caso particular en que θ = 1,la contribucion del paso de tiempo intermedio de hecho des-aparece por completo.

Si utilizamos esta aproximacion para la segunda derivadaespacial, pero mantenemos la aproximacion anterior para laderivada temporal, obtenemos la siguiente aproximacion endiferencias finitas de la ecuacion de onda:

ρ2 δ2x

[θ

2(φn+1

m + φn−1m

)+ (1 − θ) φn

m

]

− δ2t φn

m = 0 . (190)

Esta es una posible generalizacion de (176), pero clara-mente no la unica. Es claro que podemos jugar este juego demuchas maneras y obtener aproximaciones aun mas genera-les, todas ellas validas, y todas ellas a segundo orden (inclu-so es posible ingeniarselas para encontrar aproximaciones acuarto o mayor orden). La aproximacion dada por (190) tieneuna nueva propiedad muy importante: hace referencia no auno, sino a tres valores diferentes de φ en el ultimo paso detiempo. Esto significa que ahora no podemos resolver paraφ en el ultimo paso de manera explıcita en terminos de losvalores en los dos pasos anteriores. Debido a esto, a la apro-ximacion (190) se le conoce como “aproximacion implıcita”.

Cuando las ecuaciones para todos los puntos de la malla,incluyendo las fronteras, se consideran a la vez, es posible re-solver el sistema completo invirtiendo una matriz no trivial,lo que desde luego toma mas tiempo que el necesario parauna aproximacion explıcita. Parecerıa entonces que no tieneningun sentido considerar aproximaciones de tipo implıcito.Sin embargo, en muchas ocasiones las aproximaciones im-plıcitas resultan tener mejores propiedades que las explıci-tas, en particular relacionadas con la estabilidad del esquemanumerico, concepto que se discutira en la siguiente seccion.

La diferencia entre una aproximacion implıcita y otra ex-plıcita puede verse graficamente utilizando el concepto de“molecula computacional”, que no es otra cosa que un diagra-ma que muestra las relaciones entre los distintos puntos utili-zados en una aproximacion en diferencias finitas. La Fig.7muestra las moleculas computacionales para los casos im-plıcito y explıcito que hemos considerado.

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FIGURA 7. Moleculas computacionales.

5.4. Consistencia, convergencia y estabilidad

En la ultima seccion nos topamos con quiza uno de los con-ceptos mas importantes de las diferencias finitas: existe, engeneral, un numero infinito de maneras posibles de aproxi-mar una misma ecuacion diferencial. Esto sigue siendo ciertoincluso si uno se restringe a considerar aproximaciones conun mismo orden de error.

La multiplicidad de posibles aproximaciones nos llevainmediatemente a la siguiente pregunta: ¿Como saber enque caso usar una cierta aproximacion y no otra? Desgracia-damente, no existe una respuesta general a esta pregunta, porlo que muchas veces se dice que las diferencias finitas sonun arte mas que una ciencia. Sin embargo, sı existen algu-nas guıas que nos permiten escoger aproximaciones en cier-tos casos. Estas guıas tienen que ver con los conceptos deconsistencia, convergencia y estabilidad.

Consideremos una cierta aproximacion en diferencias fi-nitas a una ecuacion diferencial. Cuando la malla se refina (esdecir, cuando Δt y Δx se hacen cada vez mas pequenos), unoesperarıa que la aproximacion fuera cada vez mejor en el sen-tido de que los errores de truncacion se hacen cada vez maspequenos. Decimos entonces que en el lımite continuo nues-tra aproximacion se acerca a la ecuacion diferencial originaly no a otra. Cuando esto ocurre localmente se dice que nues-tra aproximacion es “consistente”. En general, esta propiedades muy facil de ver de la estructura de las aproximaciones endiferencias finitas, y puede comprobarse casi a ojo. Las ex-cepciones importantes son situaciones en las que el sistemade coordenadas es singular, donde mostrar consistencia en elpunto singular puede no ser trivial. Por ejemplo, es comunque aproximaciones en diferencias finitas “estandar” fallenen el punto r = 0 cuando se utilizan coordenadas esfericas.La consistencia es claramente fundamental en una aproxima-cion en diferencias finitas. Si falla, aunque sea en un solopunto, implica que no recuperaremos la solucion correcta dela ecuacion diferencial.

La consistencia es solo una propiedad local: una aproxi-macion consistente se reduce localmente a la ecuacion dife-rencial en el lımite continuo. En la practica, estamos realmen-te interesados en una propiedad mas global. Lo que realmentebuscamos es que la aproximacion mejore a un tiempo finito Tcuando refinamos la malla. Es decir, la diferencia entre la so-lucion exacta y la solucion numerica a un tiempo fijo T debetender a cero en el lımite continuo. Esta condicion se conocecomo “convergencia”.

La convergencia es claramente diferente a la consisten-cia: esquemas consistentes pueden facilmente no ser conver-gentes. Esto no es difıcil de entender si pensamos que en ellımite cuando Δt se hace cero, un tiempo finito T se puedealcanzar solo despues de un numero infinito de pasos. Estoimplica que incluso si el error en cada paso es infinitesimal,su integral total puede muy facilmente ser finita. La solucionnumerica puede incluso diverger y el error de hecho resultarinfinito.

En general es muy difıcil verificar analıticamente si unesquema de aproximacion es convergente o no lo es. Numeri-camente, por otro lado, es muy facil ver si la solucion apro-ximada converge a algo (es decir, no diverge). Lo difıcil essaber si la solucion numerica coverge hacia la solucion exac-ta y no a otra cosa.

Hay otra propiedad importante de las aproximaciones endiferencias finitas. Independientemente del comportamientode la solucion a la ecuacion diferencial, debemos pedir quelas soluciones exactas de las ecuaciones en diferencias finitaspermanezcan acotadas para cualquier tiempo finito T y cual-quier intervalo de tiempo Δt. Este requisito se conoce como“estabilidad”, e implica que ninguna componente de los da-tos iniciales debe amplificarse arbitrariamente. La estabilidades una propiedad del sistema de ecuaciones en diferencias fi-nitas, y no tiene nada que ver con la ecuacion diferencial queestamos aproximando.

Un resultado fundamental de la teorıa de las aproxima-ciones en diferencias finitas es el teorema de Lax (para sudemostracion ver, por ejemplo, la Ref. 40):

TEOREMA: Dado un problema de valores iniciales bienplanteado matematicamente y una aproximacion en diferen-cias finitas a el que satisface la condicion de consistencia,entonces la estabilidad es condicion necesaria y suficientepara la covergencia.

Este teorema relaciona el objetivo final de toda aproxi-macion en diferencias finitas, es decir, la convergencia a lasolucion exacta, con una propiedad que es mucho mas facilde probar: la estabilidad.

5.5. Estabilidad de von Newmann

Un metodo general para probar la estabilidad de los sistemasde ecuaciones en diferencias finitas se obtiene de la defini-cion de estabilidad directamente. Comenzamos por escribirlas ecuaciones en diferencias finitas como

vn+1 = Bvn , (191)

donde vn es el vector solucion en el nivel de tiempo n y Bes una matriz (en general con muchos ceros). Es importan-te notar que toda aproximacion en diferencias finitas, inclusoaquellas que involucran mas de dos niveles de tiempo (comolas que introdujimos para la ecuacion de onda en las seccio-nes anteriores), puede escribirse de la forma (191) simple-mente introduciendo variables auxiliares.

Como el vector vn se puede escribir como una combi-nacion lineal de los eigenvectores de B, el requerimiento de

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estabilidad se reduce a pedir que la matriz B no amplifiqueninguno de sus eigenvectores, es decir, que la magnitud delmayor de sus eigenvalores sea menor o igual que 1. Dicho deotra forma, el “radio espectral” de B debe ser menor o iguala 1.

El analisis de estabilidad basado en la idea que hemosexpuesto es muy general, pero requiere del conocimiento delos coeficientes de B en todo el espacio, incluida la fronte-ra. Existe, sin embargo, un metodo muy popular de analisisde estabilidad que, aunque en principio solo nos proporcionacondiciones necesarias para la estabilidad, en muchos casosresulta tambien dar condiciones suficientes. Este metodo, in-troducido originalmente por von Newmann, esta basado enuna descomposicion en Fourier de la solucion.

Para introducir este metodo, empezamos entonces por ex-pandir la solucion de (191) en una serie de Fourier:

vn (x) =∑k

vn (k) ei k·x , (192)

donde la suma es sobre todos los vectores de onda k que pue-den representarse en la mallai. Si ahora substitumos esto enla ecuacion original (191) obtenemos

vn+1 = G (Δx, Δt, k) vn . (193)

La matriz G se conoce como “matriz de amplificacion”. Lacondicion de estabilidad ahora corresponde a pedir que nin-gun modo de Fourier se amplifique, es decir, el radio espectralde G debe ser menor o igual que uno. Esta es la condicion deestabilidad de von Newmann. Es importante recalcar que pa-ra poder utilizar este criterio de estabilidad se han supuestodos cosas: 1) Las condiciones de frontera son perıodicas, y2) Los elementos de la matriz B son constantes.

Como ejemplo del analisis de estabilidad de von New-mann vamos a utilizar la aproximacion implıcita a la ecua-cion de onda que derivamos antes [Ec. (190)]:

ρ2 δ2x

[(θ/2)

(φn+1

m + φn−1m

)+ (1 − θ) φn

m

]−δ2

t φnm = 0 . (194)

Consideraremos ahora un modo de Fourier de la forma

φnm = ξn ei m k Δx . (195)

Si substituimos esto en la ecuacion en diferencias finitas en-contramos, despues de un poco de algebra, la siguiente ecua-cion cuadratica para ξ:

A ξ2 + B ξ + C = 0 , (196)

con coeficientes dados por

A = ρ2 θ[cos (k Δx) − 1

]− 1 , (197)

B = 2 ρ2 (1 − θ)[cos (k Δx) − 1

]+ 2 , (198)

C = ρ2 θ[cos (k Δx) − 1

]− 1 . (199)

La dos raices de la ecuacion cuadratica son, claramente,

ξ± =−B ± (

B2 − 4 AC)1/2

2 A, (200)

y la solucion general a la ecuacion en diferencias finitas re-sulta ser

φnm =

∑k

[Z+

k

(ξ+ (k)

)n

+Z−k

(ξ− (k)

)n]eimkΔx, (201)

donde Z+k y Z−

k son constantes arbitrarias.Por otro lado, del hecho de que A = C es facil mostrar

que

|ξ+ ξ−| =∣∣∣∣CA

∣∣∣∣ = 1 . (202)

Esta es una propiedad muy importante, implica que si el sis-tema es estable para toda k, es decir, si |ξ±(k)| ≤ 1, enton-ces necesariamente sera tambien no disipativo (los modos deFourier no solo no crecen, sino que tampoco se disipan). Paraque el sistema sea estable debemos ahora pedir que

ξ+(k) = ξ−(k) = 1 . (203)

Es facil ver que esto ocurrira siempre que

B2 − 4 A C ≤ 0 . (204)

Substituyendo los valores de A, B y C en esta expresionobtenemos la siguiente condicion de estabilidad:

ρ2 (1 − 2 θ)[1 − cos (k Δx)

]− 2 ≤ 0 . (205)

Como esto se debe cumplir para toda k, debemos con-siderar el caso cuando el lado izquierdo es maximo. Paraθ < 1/2 esto ocurrira para k = π/Δx , en cuyo caso lacondicion de estabilidad se reduce a

ρ2 ≤ 1/ (1 − 2 θ) . (206)

Para el esquema explıcito se tiene θ = 0, y la condi-cion se reduce a la bien conocida condicion de estabilidadde Courant-Friedrich-Lewy (CFL):

cΔt ≤ Δx . (207)

La condicion CFL tiene una clara interpretaciongeometrica: el dominio de dependencia numerico debe sermayor que el dominio de dependencia fısico y no al reves(ver Fig. 8). Si esto no fuera ası, resultarıa imposible parala solucion numerica converger a la solucion exacta, pues alrefinar la malla siempre habrıa informacion fısica relevanteque quedarıa fuera del dominio de dependencia numerico. Y,como hemos visto, el teorema de Lax implica que si no hayconvergencia el sistema es inestable.

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FIGURA 8. Condicion de estabilidad CFL. Para c Δt < Δx , eldominio de dependencia numerico es mayor que el dominio de de-pendencia fısico (region sombreada), y el sistema es estable. Parac Δt > Δx , la situacion es la opuesta, y el sistema es inestable.

FIGURA 9. Simulacion numerica para el caso ρ = 1/2 , utilizan-do un sistema explıcito (izquierda), y uno implıcito con θ = 1/2(derecha).

El argumento que acabamos de dar claramente solo seaplica a esquema explıcitos. Esto se debe a que para un sis-tema implıcito, el dominio de dependencia numerico es todala malla. En este caso no hay un argumento fısico simple quenos diga cual debe ser la condicion de estabilidad.

Para llegar a la condicion de estabilidad (206), supusimosque θ < 1/2 . Si, por otro lado, tomamos θ ≥ 1/2 , debe-mos regresar a la condicion general (205). Sin embargo, eneste caso es facil ver que la condicion se satisface siempre.Esto significa que un sistema implıcito con θ ≥ 1/2 es es-table para todo valor de ρ, es decir, es “incondicionalmenteestable”.

Esto nos lleva a quiza una de las lecciones mas importan-tes de la teorıa de las diferencias finitas: los esquemas massimples no siempre tienen las mejores propiedades de estabi-lidad.

5.6. Ejemplos

Como ultima parte de esta introduccion a las diferenciasfinitas, vamos a considerar los resultados de experimentosnumericos utilizando la ecuacion de onda y nuestra aproxi-macion (190). En todas las simulaciones mostradas aquı setoma como region de integracion x ∈ [0, 100] y se utilizancondiciones de frontera periodicas. Tambien tomamos la ve-locidad de onda c igual a 1.

Primero consideremos el caso cuando Δx y Δt son talesque

Δx = 1 , Δt = 1/2 . (208)

El parametro de Courant resulta ser ρ = 1/2. La Fig. 9 mues-tra resultados de dos simulaciones usando estos parametros

de malla. La grafica de la izquierda corresponde a un esque-ma explıcito y la de la derecha a un sistema implıcito conθ = 1/2 . En ambos casos los datos inciales (lınea puntea-da) corresponden a un paquete gaussiano moviendose inicial-mente a la derecha. El resultado de la simulacion numerica semuestra despues de 120 pasos de tiempo.

De la figura vemos que ambas simulaciones son muy si-milares. En ambos casos se nota que el paquete inicial se hadispersado, en contraste con la solucion exacta para la cualel paquete se propaga manteniendo su forma original. La dis-persion es un efecto numerico, ocasionado por el hecho deque, en la apoximacion numerica, diferentes modos de Fou-rier viajan a diferentes velocidades.

La siguiente simulacion corresponde a la misma situa-cion, pero ahora tomando Δx = Δt = 1, correspondientea un parametro de Courant ρ = 1. La Fig. 10 muestra losresultados de esta simulacion. Notese que como Δt es ahorael doble de grande, se requieren solo 60 pasos de tiempo parallegar a la misma etapa.

Lo primero que hay que notar es que para el esquemaexplıcito la dispersion ha desaparecido. Esto es un resultadosoprendente, y solo ocurre para la ecuacion de onda en unadimension: en este caso es posible mostrar que para ρ = 1 to-dos los errores numericos se cancelan y la solucion numericaes de hecho exacta. El esquema implıcito, por otro lado siguesiendo dispersivo (incluso mas que antes).

Finalmente, en la Fig. 11 se muestran resultados de unasimulacion con Δx = 1 y Δt =1.02 , para un parametrode Courant de ρ =1.02. Para el esquema explıcito es eviden-te que una perturbacion de alta frecuencia ha aparecido des-pues de solo 55 pasos de tiempo. Si la simulacion continua,esta perturbacion crece exponencialmente y rapidamente do-mina la solucion completa. Esta es una clasica inestabilidadnumerica: una perturbacion localizada, generalmente de al-ta frecuencia (aunque no siempre), que crece exponencial-mente sin moverse. El esquema implıcito, por otro lado, nomuestra ninguna senal de una inestabilidad. De hecho, pode-mos continuar la integracion en este caso y nunca encontrarningun problema. La dispersion, por otro lado, sı esta presen-te y eventualmente causara que la solucion numerica difieramucho de la solucion analıtica.

FIGURA 10. Simulacion numerica para el caso ρ = 1.

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FIGURA 11. Simulacion numerica para el caso ρ =1.02.

6. Conclusiones

En estas notas se ha presentado una introduccion a la relativi-dad numerica. Partiendo de una breve discusion de los prin-cipios fundamentales de la relatividad general, se ha intro-ducido el formalismo 3+1 que es el mas comunmente utili-zado en la relatividad numerica. El formalismo 3+1 lleva di-rectamente a las ecuaciones de evolucion de Arnowitt-Deser-Misner (ADM), que son el punto de partida de practicamentetodas las simulaciones numericas de sistemas gravitaciona-

les. Tambien se han discutido las formulaciones alternativasde las ecuaciones de evolucion que difieren de las ecuacio-nes ADM en la manera en que se utilizan las constricciones ytienen por tanto las mismas soluciones fısicas. Sin embargo,diferentes formulaciones pueden tener distintas propiedadesmatematicas. En este contexto se ha discutido el concepto dehiperbolicidad y su relacion con el buen comportamiento delas soluciones. Finalmente, se ha presentado una breve intro-duccion a las diferencias finitas, que son uno de los metodosmas comunes de aproximar ecuaciones diferenciales numeri-camente.

La relatividad numerica es un area de investigacion quefinalmente esta alcanzando un estado de madurez. Esta dis-ciplina tiene un futuro prometedor, pues representa la uni-ca manera de estudiar de manera precisa el comportamientode sistemas astrofısicos realistas, con campos gravitaciona-les intensos y dinamicos. En particular, el estudio de fuentesastrofısicas de ondas gravitacionales sera fundamental parapoder analizar los datos provenientes de los grandes detec-tores que se encuentran actualmente en las fases finales deconstruccion y calibracion.

i. La menor longitud de onda que se puede representar en la ma-lla es claramente 2Δx, tambien conocida como la “longitud deonda de Niquist”. Esto implica que el valor maximo de cual-quier componente del vector de onda es π/Δx.

1. S.G. Hahn y R.W. Lindquist, Ann. Phys., 29 (1964) 304.

2. L. Smarr, A. Cadez, B. DeWitt, y K. Eppley, Phys. Rev. D, 14N. 10 (1976) 2443.

3. K. Eppley, The Numerical Evolution of the Collision of TwoBlack Holes. PhD thesis, Princeton University, Princeton, NewJersey, (1975).

4. K. Eppley, Phys. Rev. D, 16 N 6 (1977) 1609.

5. M. W. Choptuik, “Universality and scaling in gravitational co-llapse of massless scalar field,” Phys. Rev. Lett, 70 (1993) 9.

6. C. Gundlach, “Critical phenomena in gravitational collapse,”Living Reviews in Relativity, 2 (1999) 4.

7. L. Lehner, “Numerical relativity: A review,” Class. QuantumGrav. 18 (2001) R25-R86.

8. LIGO - http://www.ligo.caltech.edu/.

9. http://www.virgo.infn.it/.

10. GEO600 - http://www.geo600.uni-hannover.de/.

11. TAMA - http://tamago.mtk.nao.ac.jp/.

12. A. Einstein, “Die feldgleichungen der gravitation,” Preuss.Akad. Wiss. Berlin, Sitzber, (1915) 844-847.

13. A. Einstein, “Zur algemeinen relativitatstheorie,” Preuss. Akad.Wiss. Berlin, Sitzber, (1915) 778-786.

14. J. A. Wheeler, A journey into gravity and spacetime. distribu-ted by W. H. Freeman, (New York, U.S.A.: Scientific AmericanLibrary, 1990).

15. C. W. Misner, K. S. Thorne, and J. A. Wheeler, Gravitation.(San Francisco: W. H. Freeman, 1973).

16. B. Schutz, A First Course in General Relativity. (CambridgeUniversity Press, 1985).

17. R. M. Wald, General Relativity. (Chicago: The University ofChicago Press, 1984).

18. J. Winicour, Living Reviews in Relativity, 1 (1998).

19. H. Friedrich, Proc. Roy. Soc. London, 378 (1981) 401.

20. J. W. York, Jr., Kinematics and dynamics of general relativity,in Sources of Gravitational Radiation L. L. Smarr, ed., (Cam-bridge, UK: Cambridge University Press, 1979) p-83.

21. R. Arnowitt, S. Deser, and C. W. Misner, The dynamics of ge-neral relativity, in Gravitation: An Introduction to Current Re-search L. Witten, ed., (New York: John Wiley, 1962) p-227.

22. A. Lichnerowicz, J. Math Pures et Appl., 23 (1944) 37.

23. J. W. York, Phys. Rev. Lett., 82 (1999) 1350.

24. G. B. Cook, Living Reviews in Relativity, 2000 (200) 5.

25. L. Smarr and J. York, ‘Phys. Rev. D, 17 (1978) 2529.

26. C. Bona, J. Masso, E. Seidel, and J. Stela, Phys. Rev. Lett., 75(1995) 600.

27. A. Abrahams, D. Bernstein, D. Hobill, E. Seidel, and L. Smarr,Phys. Rev. D, 45 (1992) 3544.

28. P. Anninos, D. Hobill, E. Seidel, L. Smarr, and W.-M. Suen,Phys. Rev. Lett., 71 N. 18 (1993) 2851.

29. M. Alcubierre, Class. Quantum Grav., 20 N. 4 (2003) 607.

30. L. Smarr and J. York, Phys. Rev.D, 17 (1978) 1945.

31. M. Alcubierre, B. Brugmann, P. Diener, M. Koppitz, D. Pollney,E. Seidel, and R. Takahashi, Phys. Rev. D, 67 (2003) 084023.

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30

30 M. ALCUBIERRE

32. T. W. Baumgarte and S. L. Shapiro, Physical Review D, 59(1999) 024007.

33. M. Shibata and T.Nakamura, Phys. Rev. D, 52 (1995) 5428.

34. M. Alcubierre, G. Allen, B. Brugmann, E. Seidel, and W.M.Suen, Phys. Rev. D, 62 (2000) 124011.

35. H.-O. Kreiss and J. Lorenz, Initial-Boundary Value Problemsand the Navier-Stokes Equations. (New York: Academic Press,1989).

36. C. Bona, J. Masso, E. Seidel, and J. Stela, Phys. Rev. D, 56(1997) 3405.

37. S. Frittelli and O. Reula, Phys. Rev. Lett., 76 (1996) 4667. gr-qc/9605005.

38. L. E. Kidder, M. A. Scheel, and S. A. Teukolsky, Phys. Rev. D,64 (2001) 064017. gr-qc/0105031.

39. O. Sarbach, G. Calabrese, J. Pullin, and M. Tiglio, Phys. Rev.D, 66 (2002) 064002.

40. R. D. Richtmyer and K. Morton, Difference Methods for InitialValue Problems. (New York: Interscience Publishers, 1967).

41. A. R. Mitchell, The finite element method in partial differentialequations. (U.S.A.: J. Wiley and Sons, 1977).

42. S. Bonazzola and J.-A. Marck, in Frontiers in Numerical Rela-tivity C. Evans, L. Finn, and D. Hobill, eds., (Cambridge, En-gland: Cambridge University Press, 1989) p. 239.

43. L. E. Kidder and L. S. Finn, Phys. Rev. D, 62 (2000) 084026.gr-qc/9911014.

44. L. E. Kidder, M. A. Scheel, S. A. Teukolsky, E. D. Carlson, andG. B. Cook, Phys. Rev. D, 62 (2000) 084032. gr-qc/0005056.

45. B. Szilagyi, R. Gomez, N. T. Bishop, and J. Winicour, Phys.Rev. D, 62 (2000). gr-qc/9912030.

46. B. Szilagyi, B. Schmidt, and J. Winicour, Phys. Rev. D, 65(2002). gr-qc/0106026.

Rev. Mex. Fıs. S 53 (2) (2007) 5–30

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