Relatividad Facil

7/24/2019 Relatividad Facil

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RELATIVIDAD FACIL:INTRODUCCIN A LA TEORA DE LA RELATIVIDAD,

LA COSMOLOGA Y LOS AGUJEROS NEGROS.

ngel Torregrosa Lillo

Einstein, cabello y violn,Hacemos nuestra ltima reverencia;

aunque slo comprendido por dos personas,l mismo y, a veces, Dios

Jack C. Rosseter

(The Mathematics Teacher, noviembre 1950, p 341)


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Ttulo: Relatividad fcil : in troduccin a la teora de la relatividad, la cosmologa y los agujeros negros..Autores: ngel Torregrosa LilloI.S.B.N.: 84-8454-218-1Depsito legal: A-1069-2002Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 38 45C/ Cottolengo, 25 San Vicente (Alicante)www.ecu.fm

Printed in SpainImprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)[email protected]

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro puede reproducirse otransmitirse por ningn procedimiento electrnico o mecnico, incluyendo fotocopia, graba-cin magntica o cualquier almacenamiento de informacin o sistema de reproduccin, sinpermiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.


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Este libro surge de la unin de tres artculos que realic con la in-tencin de divulgar estos temas tan atractivos como confusos para la ma-yora (agujeros negros, teora de la relatividad, cosmologa), tratando de

evitar que se convirtiera en un texto tpico en el que te encuentras constan-temente frases del tipo se deduce que ... o fulanito dedujo que ... entodo lo que he podido, pero a la vez he tratado de evitar un documentopuramente cientfico plagado de clculos tensoriales ininteligibles, de modoque espero que con unos conocimientos de fsica de bachillerato o primerode universidad sea suficiente para entender incluso las deducciones mscomplicadas del texto.

Por otro lado cualquiera puede leerlo saltndose las demostracio-nes y an as creo que puede resultar interesante. Debo decir aqu que apesar de que he puesto la teora de la relatividad al principio, es bastanteprobable que la mayora prefiera empezar la lectura por el bloque de aguje-ros negros. De hecho es la parte ms popular en mi pgina web, donde

puedo ver que paginas tienen ms visitas.Espero que este trabajo contribuya en algo a la divulgacin y com-

prensin de un tema tan apasionante.



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INDICE

0- PREFACIO............................................................................................ 7

LIBRO 1: LA TEORA DE LA RELATIVIDAD .....................................9

1- EL TER, LAS EXPERIENCIAS DE FIZEAU Y MICHELSON, YLAS TEORAS DE LORENTZ ........................................................ 9

2- EINSTEIN Y LA RELATIVIDAD..................................................... 153- UNA DEDUCCIN SENCILLA DE LAS TRANSFORMADAS DE

LORENTZ....................................................................................... 194- TEOREMA DE ADICIN DE VELOCIDADES.............................. 235- EL ESPACIO EN CUATRO DIMENSIONES, MASA Y ENERGA:

E=Mc2 .............................................................................................. 256- LA GRAVEDAD: TEORA DE LA RELATIVIDAD GENERAL... 317- UN PUNTO DE VISTA MS MODERNO para la gravedad: La

mtrica de Schwarzschild ................................................................ 37

8- PARADOJAS y CONCLUSIONES ................................................... 39

LIBRO 2: LOS AGUJEROS NEGROS ...................................................41

9- INTRODUCCIN A LOS AGUJEROS NEGROS............................ 4110- COMO SE FORMAN LOS AGUJEROS NEGROS........................ 4311- DETECCIN DE AGUJEROS NEGROS........................................ 4512- LA TEORA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL Y LOS

AGUJEROS NEGROS.................................................................... 4713- LA RELATIVIDAD GENERAL Y LOS AGUJEROS NEGROS... 5114- EL AGUJERO NEGRO NO PUNTUAL.......................................... 55

LIBRO 3: INTRODUCCIN A LA COSMOLOGA (Universoplano o no plano).........................................................................................59

15- INTRODUCCIN............................................................................. 5916- LA EXPANSIN DEL UNIVERSO Y EL BIG BANG.................. 6117- MODELOS BSICOS DE UNIVERSO NEWTONIANO.............. 6318- EL PRINCIPIO COSMOLGICO (PC)........................................... 6519- DEDUCCIN DE LA DENSIDAD CRTICA ................................ 6720- COSMOLOGIA RELATIVISTA ..................................................... 71

21- CONCLUSIN ................................................................................. 75


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ANEXOS......................................................................................................77

A1- LA PARADOJA DE LOS GEMELOS EXPLICADA CON LINEASDE UNIVERSO............................................................................... 77

A2- EL EFECTO SAGNAC Y SUS CONSECUENCIAS ..................... 83A3- BUSCANDO SISTEMAS INERCIALES ....................................... 87

A4- Un debate sobre la paradoja de los gemelos..................................... 91A5- UNA EXPERIENCIA Y TRES PUNTOS DE VISTA.................. 109A6- FRENANDO A LA LUZ ............................................................... 113A7- TIEMPO PROPIO EN RBITAS CIRCULARES, y detencin del

tiempo ............................................................................................ 117A8- LA RADIACIN DE FONDO DE MICROONDAS, SU

ANISOTROPA y los sistemas de referencia................................ 121A9- CONTRACCIN DE LONGITUDES EN LA RELATIVIDAD

GENERAL..................................................................................... 127

BIBLIOGRAFA ......................................................................................131


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0- PREFACIO

Desde mi punto de vista, las ideas de Einstein no pueden comprendersebien si no conocemos las experiencias previas de otros cientficos respecto amedicin de la velocidad de la luz, las experiencias de Michelson, las discu-siones sobre el ter y las ideas de Lorentz.

Aqu empiezo con dichas experiencias y teoras, y luego paso a Einstein ylas suyas. Como veris al tratar la relatividad especial, no hago uso de lasfamosas transformadas de Lorentz pues son muy duras matemticamente

para un artculo as, aunque finalmente no pude resistir la tentacin dehablar de ellas y de usarlas para deducir la frmula de la adicin de veloci-dades.

No se puede hablar de relatividad sin hablar del espacio-tiempo en cuatrodimensiones, cosa que adems es necesaria para un correcta demostracinde la famosa frmula E=mc2. Tratar su demostracin me ha obligado a in-

troducir los cuadrivectores o tensores a pesar de querer evitarlos. Espero quese entienda.

Respecto a la relatividad general, empiezo de un modo simple, con carc-ter histrico y usando solo el principio de equivalencia para algunas demos-traciones, aunque esto me haga perder algo de rigurosidad, con el fin de serdidctico, y luego introduzco la mtrica de Schwarzschild como herramienta

principal que es para realizar clculos.

Algunos de estos clculos pueden verse en los anexos: frenando la luz,

contraccin de longitudes, tiempos propios en rbitas, junto a otros artculoscomo un debate sobre la famosa paradoja de los gemelos, un intento deexplicarla, un problema sobre satlites, un interesante artculo (al menos

para mi) sobre el efecto Sagnac, muy usado como argumento por los enemi-gos de la relatividad, un debate personal sobre los sistemas inerciales y suexistencia, cosa bsica en el tratamiento de la relatividad y un artculo sobreel fondo de microondas y su relacin con la determinacin de sistemas iner-ciales.

Este ltimo a veces pienso que debera estar en el bloque sobre cosmolo-ga, pero su relacin con la relatividad me a llevado a dejarlo como anexo.


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Pero antes de los anexos podris encontrar un bloque de apartados sobrelos agujeros negros, empezando por su historia, su formacin, pasando porla teora de la relatividad aplicada a ellos y llegando hasta una pequeahiptesis que he tenido la osada de plantear sobre una posible configuracininterior. Esta parte sobre los agujeros negros creo que ser la ms interesan-te de todo el libro para muchas personas.

Por ltimo, dado que est de moda incluso en la televisin hablar de losltimos descubrimientos sobre si el universo es plano o si se expande acele-radamente, antes de los anexos he introducido una breve introduccin a lacosmologa explicando algunos de estos conceptos y enseando como secalcula la densidad crtica que nos llevara al colapso total del universo si sesupera.


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LIBRO 1: LA TEORA DE LA RELATIVIDAD

1- EL TER, LAS EXPERIENCIAS DE FIZEAU Y MI-CHELSON, Y LAS TEORAS DE LORENTZ

A finales del siglo pasado se discuta sobre si el substrato (ter) sobre elque se mova la luz y que se supona que transmita todas las fuerzas eraesttico o era arrastrado por los cuerpos al moverse.

Fizeau(1851) haba medido la diferencia de velocidad de la luz en unacolumna de agua que se mova hacia l y en otra que se alejaba de l. Des-cubri que la diferencia de velocidades era muy pequea lo cual era un re-sultado a favor del ter de Fresnel, el cual abogaba por un ter esttico ydeca que los cuerpos en movimiento arrastraban consigo a la luz segn uncoeficiente de arrastre que sera (1-1/n) siendo n el ndice de refraccin delmedio (que coincide con c/w siendo c la velocidad de la luz en el vaco y wla velocidad de la luz en el medio). La velocidad de la luz observada cuandoel medio se mueve a una velocidad v sera:

(1)

Con esto no se podra detectar el movimiento a travs del ter si el apara-to utilizado solo llegaba a una precisin del orden de v/c. Era necesario lle-gar a una precisin del orden de (v/c).

En esta situacin a Michelson(1887) se le ocurri una experiencia cru-cial: enviar simultneamente dos rayos de luz (procedentes de la mismafuente) en direcciones perpendiculares, hacerles recorrer distancias iguales yrecogerlos en un punto comn. Uno de los rayos tardara ms que el otrodebido al movimiento de la tierra alrededor del sol y por lo tanto a travs delsupuesto ter. Girando el aparato, las interferencias entre los rayos deberanser diferentes. Veamos como fue el experimento


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las distancias entre los espejos y el semiespejo son iguales y miden una lon-gitud l con lo que el recorrido 1 y 2 deberan ser iguales, pero desde el puntode vista de un observador exterior lo que se observa es esto otro:


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existe una diferencia entre los recorridos 1 y 2 que slo existen para un ob-servador situado en reposo en el supuesto ter (por ejemplo se podra supo-ner que en el sol). Para este caso, suponiendo que el ter no fuera arrastrado

por la tierra al moverse a travs de l sino que lo atravesara limpiamente, siv es la velocidad de la tierra a travs del espacio (unos 30 km/s de velocidadde rotacin alrededor del sol) tenemos que los recorridos para el observador

en reposo (fuera del planeta) sern:

Recorrido1 = d = = =

y como a=ct/2, obtenemos

d = =

Recorrido 2 = d= d1+d2 = t1 c + t2 c


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para hallar t1 y t2 puedo suponer que a la ida (t1) la luz va a una velocidadc-v y la distancia sigue siendo l, e igualmente para la vuelta (t2) puedo su-

poner que la velocidad es c+v y la distancia l. Entonces t1=l/(c-v) yt2=l/(c+v) y de aqu obtengo que

d = t1 c + t2 c = cl/(c-v) + cl/(c+v )= cl(c+v+c-v)/(c-v) = 2cl/(c-v) =

Como vemos son diferentes d y d con una relacin

sin embargo cuando realizaron el experimento no haba ninguna diferenciaentre las franjas de interferencia de los dos rayos por mucho que girramosel aparato para que variasen los recorridos, lo cual llevaba a la conclusin de

que el ter era arrastrado.


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Haba un choque entre la experiencia de Fizeau y la de Michelson. La deFizeau nos llevaba aun ter esttico y la de Michelson a un ter totalmentedinmico.

En esta situacin a Lorentz y a Fitzgerald se les ocurri una solucin: elter es esttico y la experiencia de Michelson se explica por una contrac-

cin de las longitudes en la direccin del movimientoexactamente en un

factor K= o sea que

(2)

siendo l la longitud del cuerpo en reposo.

(Segn la relatividad el cohete en movimiento sera ms corto y tododentro de l encogera en la misma direccin)

Este fenmeno no es comprobable experimentalmente pero a causa de lLorentz dedujo que los electrones (o cualquier partcula cargada) en movi-miento, al comprimirse su volumen se comprime su carga y ello provoca laaparicin de una masa electromagntica de forma que la masa total de la

partcula a aumentado en el factor , lo que implica que la masadelelectrn en movimiento sera:


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(3)

Esta masa coincide con los clculos efectuados a partir de experimentos

con rayos catdicos y aceleradores de partculas.

As tenemos que al aumentar la velocidad de un cuerpo hasta la velocidadde la luz, su masa crecera hasta el infinito y por lo tanto tambin lo hara suenerga cintica con lo que necesitaramos una energa infinita para alcan-zar la velocidad de la luz.

Pero a la teora de ter esttico an le quedaba un problema: las ecuacio-nes de Maxwell para un campo electromagntico se basaban en un ter enreposo respecto a la fuente de emisin electromagntica; o sea un ter arras-trado en el caso de la Tierra. Si el ter era esttico el movimiento de la Tie-

rra a travs de l deba causar una serie de tensiones en el ter que provoca-ran fenmenos electromagnticos mensurables, pero nunca se ha conseguidomedirlos.

Lorentz trat de resolverlo diciendo que el ter no reciba ni provocabatensiones ni fuerzas en la materia; era totalmente inactivo y slo actuabacomo substrato de las ondas electromagnticas. Adems cre unas ecuacio-nes de cambio de coordenadas de un sistema en reposo a otro en movimien-to basadas en su idea de contraccin de longitudes por causa del movimien-to con las que las ecuaciones de Maxwell resultaban invariantes.

Este fue el inicio del fin del ter ya que as poda asimilarse al espacioabsoluto en el que Newton se bas, o sea la nada, el vaco absoluto.

Entonces lleg Einstein con sus ideas.


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2- EINSTEIN Y LA RELATIVIDAD

Einstein quera conseguir los mismos resultados que Lorentz pero a partirde alguna ley general mas sencilla e invariable.

Esta ley fue que no existe un sistema de referencia que podamos conside-rar como en reposo absoluto. Que cada objeto con movimiento uniformepoda usarse como sistema de referenciapara el resto del universo sin variaren absoluto las leyes de la fsica. Esto implica que la velocidad de la luzser la misma para un observador en reposo que para uno en movi-miento uniforme.

A partir de aqu se pueden deducir las transformadas de Lorentz y msefectos, como una disminucin de la velocidad con que transcurre el tiempo

para los cuerpos en movimiento. Su forma de deducir las transformadas deLorentz es compleja para ser expuesta en este artculo, por lo tanto voy a

tratar de usar otro mtodo ms didctico de llegar a las mismas conclusionesaunque no sea tan riguroso. (finalmente decid aadir apartado con un modoaceptablemente sencillo de hallarlas: ver apartado sobre las transformadasde Lorentz)

Partiremos de la experiencia de Michelson (ver apartado anterior) dividi-da en dos partes: 1) el rayo de luz que viaja perpendicular al movimiento dela tierra y 2) el que viaja en la misma direccin que la tierra. Y supondremosque con cada parte tenemos dos observadores (uno en reposo y otro en mo-vimiento junto al experimento) que tratan de medir la velocidad de la luz yque la velocidad que obtengan ha de ser la misma.

Llamaremos K a que siempre ser menor o igual que 1 para velo-cidades inferiores a la de la luz (o sea siempre) y usaremos los clculos delos recorridos 1 y 2 que vimos antes.

En el recorrido 1 la distancia recorrida por la luz para el observador enmovimiento (en la tierra) es 2l que es K veces menor que para el observadoren reposo (d=2l/K) (por ejemplo en el sol). Por lo tanto para que ambos ob-tengan la misma velocidad de la luz en una experiencia de cronometraje de

la luz en su ida y vuelta al dividir espacio entre tiempo, debe ocurrir que elobservador en movimiento cronometre K veces menos tiempo que el obser-


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vador en reposo (reposo relativo, por supuesto), lo cual significa que el mo-vimiento frena el transcurso del tiempo en un factor K (denominadohabitualmente dilatacin del tiempo).

(4)En el recorrido 2 la distancia recorrida por la luz para el observador en

movimiento (2l) es K veces menor que para el observador en reposo (d=2l/K). Suponiendo el mismo efecto sobre el tiempo que en 1 (tiempo enmovimiento K veces menor que en reposo) tenemos que la nica forma deobtener la misma velocidad de la luz para ambos observadores es considerarque las longitudes de los cuerpos se contraen en un factor K en la direccindel movimiento desde el punto de vista del observador en reposo. As ladistancia recorrida por la luz ser para el observador en movimiento slo Kveces menor que para el observador en reposo igual que ocurre con el tiem-

po y la velocidad de la luz medida tanto por el observador en reposo comoel que est en movimiento ser la misma. De aqu se concluye la mismacontraccin de longitudes(2) que predijo Lorentz.

En resumen tenemos segn Einstein:

Postulado: Las leyes de la fsica son idnticas para cualquiersistema inercial de referencia.

Consecuencias:

1.- El reposo o el movimiento uniforme de un sistema sonindetectables desde el propio sistema de referencia.

2.- En todo sistema de referencia en movimiento el tiempotranscurre ms lentamente.


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3.- En todo sistema de referencia en movimiento los cuerposse contraen en la direccin del movimiento.

4.- En todo cuerpo en movimiento la masa aumenta.

Adems se observa que si superamos la velocidad de la luz laslongitudes de los cuerpos, el tiempo transcurrido y la masa delos cuerpos tendran valores imaginarios. Tambin vemos que alaumentar la masa del cuerpo aumenta la energa necesaria paraacelerarlo siendo infinita para v=c.

Todo ello nos lleva a darnos cuenta de que

5.- No se puede superar la velocidad de la luz.

NOTA:Debido a la observacin del fondo de microondas del espacio (ver anexos), seobserva que hay una anisotropa en las observaciones (al contrario de lo quecaba esperar por considerarnos inerciales) puesta de manifiesto por desplaza-miento de las frecuencias observadas (por efecto Doppler) que nos muestran un

movimiento de la Tierra a una velocidad de unos 370 Km/s. Esta es la velocidaddesplazamiento del sistema solar por el espacio, que teniendo en cuenta la rota-cin del sol alrededor de la galaxia nos da una velocidad de desplazamiento dela galaxia de unos 600 Km/s a travs del espacio y pone en duda que el movi-miento uniforme sea indetectable.

Pero los razonamientos de Einstein no acaban aqu. A partir de las ecua-ciones para el cambio de un sistema de coordenadas a otro en movimiento(Transformadas de Lorentz), dedujo una formula para la velocidad de uncuerpo respecto a un sistema conocida la velocidad respecto a otro sistemaen movimiento que serva para el experimento de Fizeau coincidiendo con

sus resultados con slo un error de un 1%. Es la famosa frmula cuya de-mostracin podis ver en le apartado sobre el teorema de adicin de velo-cidades


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En esta situacin ya no tena sentido hablar del ter: no era til, y encaso contrario seguira siendo indetectable.

Pero continuemos con los razonamientos de Einstein. Aplicando lastransformadas de Lorentz al clculo de la energa cintica de un cuerpo ydesarrollando en serie obtuvo un sumando que no dependa de la velocidad:

mc (5)

Esta sera la energa del cuerpo en reposo, o sea la energa propia de lamasa, y puestos a seguir generalizando: energa y masa son lo mismo perocon distinto aspecto. Las mas espectaculares pruebas de esta frmula estnen la bomba atmica, las centrales nucleares y el mismo sol. Podemos veruna deduccin completa de dicha frmula en el apartado sobre el espaciocuadridimensional .

Volver a poner aqu la frmula ms conocida de Einstein

E = m0c2


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3- UNA DEDUCCIN SENCILLA DE LAS TRANSFOR-MADAS DE LORENTZ

Aunque dije al principio que no las usara, no puedo resistir la tentacinde exponer aqu a las famosas transformadas de Lorentz deducidas de unmodo sencillo y relacionado con el modo anterior de hacer deducciones.

Pero primero hagamos una introduccin:

Galileo (absolutista total ya que no se haba descubierto an contraccionesde metros ni dilataciones temporales) dedujo que si tengo un sistema en re-

poso A y otro en movimiento A (a velocidad v respecto de K a lo largo deleje x), las coordenadas de un punto del espacio para A son x,y,z y para Ax,y,z.

Pues bien, si quiero hallar las coordenadas de x, y, z a partir de las de x,y, z tengo las ecuaciones

z=zy=yx=x + vt

Este conjunto de tres ecuaciones son la trasformacin de Galileo oTRASFORMADAS DE GALILEO.

Pues bien, Lorentz a partir de su famosa contraccin de longitudes dedujo

que algo cambiaba:

z=zy=yx=(x - vt)/K

(siendo K = )

Pero nos falta an ver que pasa con la coordenada temporal. En la poca

de Galileo t=t pero ahora ya no podemos ser tan optimistas.


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Para aclararlo consideraremos un sistema de referencia A en supuestoreposo y otro B en movimiento uniforme a lo largo del eje x de A (convelocidad v). Partimos de una situacin en la que ambos sistemas estn su-

perpuestos en un instan-te t0=0.

Entonces un rayo de luzes disparado desde elorigen de coordenadasde A (que coincida conel de B en t=t=t0=0) alo largo del eje X y enun punto de coordenadax respecto a A un detec-tor percibe el rayo deluz en un instante t paraA (y t para B).

Esta deteccin ocurrira, desde el punto de vista de A, en una coordenadax - vt del sistema B. Pero por culpa de la contraccin de longitudes de Lo-rentz tendremos que para B sus reglas de medir son menores y por lo tanto

esa coordenada x ser mayor en un factor 1/K siendo K=

Entonces (como indicbamos arriba)

x = (x -vt)/K (6)

Por otro lado por el principio de relatividad, tenemos que ambos observa-dores deberan medir la misma velocidad para los rayos de luz, por lo que hade ocurrir que x = ct y que x = ct .

Sustituyendo x por ct , x por ct y t por x/c en (6) se obtiene ct =(ct - vx/c)/K , y despejando t sale:

t = (t - vx/c2)/K (7)


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As tenemos que (6) y (7) junto a y=y y z=z constituyen el lla-mado grupo de transformacin de Lorentz (Ms vulgarmente : TRAS-FORMADAS DE LORENTZ PARA CAMBIO DE SISTEMA DE REFE-RENCIA)

De las transformadas de Lorentz podemos obtener la famosa fr-mula de la dilatacin temporal(4), veamos como:

Supongamos un reloj en el origen de coordenadas del sistema m-vil B; entonces se da siempre que x=0 y que x=vt.Entonces la transformada cuarta (7) se convierte en t = (t - v2t/c2)/Ky sacando factor comn t t=t(1-v2/c2)/K, y como nuestro K

es podemos simplificar y obtener t=tK o

sea(t es t contrada o t es t dilatada)

Ahora el cambio de coordenadas ya no es galileano si no

( )K

vtxx

='

y = yz = z

Kc

vxt

t2

'

=

Siendo t y t los tiempos relativos transcurridos para cada sistema de coor-denadas.


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Un detall e sobre la constancia de la velocidad de la luz para todo sistema

de referencia i nercial:

Esta deduccin de las transformadas de Lorentz nos lleva a la evidencia (evidente ya quehemos partido de esa premisa para deducirlas) de que a parti r de ell as podemos deducirque la velocidad de la l uz es invar ian tepara todos los sistemas de referencia inerciales.Veamos como:

Partiendo de la misma situacin que hemos puesto al principio de este apartado tenemosque x=ct y por lo tanto t=x/c. Y adems A puede medir la velocidad de la luz calculandoc=x/t y B tambin la podr medir calculando c=x/t

y ahora usamos las dos transformadas de Lorentz importantesx = (x -vt)/K (6) y t = (t - vx/c2)/K (7)

multiplicamos (7) por c y sale ct=(ct-vx/c)/K sustituimos ct por x y x/c por t, y tene-mos ct=(x-vt)/K

cuyo trmino de la derecha es igual al de la derecha de (6) y por lo tanto por igualacin

tenemos que x=ct

entonces despejando tengo que x/t=c

y como x/t=c tenemos que c=c

Se concluye entonces de las transformadas de Lorentz que todo sistemade referencia inercial medir la misma velocidad de la luz!

Lo ltimo expuesto se basa en una medida de la velocidad de la luz enun trayecto slo de ida. Esto hecha por tierra muchas teoras anti-

relatividad que dicen que la velocidad de la luz es slo constante entrayectos de ida y vuelta y no en trayectos slo de ida o slo de vuelta,pero que sin embargo aceptan las trasformadas de Lorentz.Est claro que si aceptan las transformadas de Lorentz deben aceptartambin la invarianza de la velocidad de la luz, y si no lo hacen tampoco

pueden aceptar las transformadas de Lorentz y sus consecuencias

Y tambin se puede deducir a partir de estas transformadas el teorema deadicin de velocidades, como expongo en el siguiente apartado.


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4- TEOREMA DE ADICIN DE VELOCIDADES

Continuemos con nuestros sistemas de referencia fijo A y mvil B (avelocidad v). Si un objeto se mueve a lo largo del eje x a velocidad w res-

pecto de B, tendramos segn la mecnica clsica que la velocidad de dicho

objeto respecto a A es

W = v + w

adems tendremos que x = wt que sustituida en la transformada pri-mera de Lorentz (6) nos da

wt=(x-vt)/K y despejando t=(x-vt)/(Kw)

entonces sustituyendo t en la cuarta transformada (7) tenemos

(x-vt)/(Kw) = (t - vx/c2

)/K

y simplificando y operando paso a paso obtenemos

(x-vt)/w =t - vx/c2x - vt = wt - vwx/c2x + vwx/c2= vt + wt

x(1 + vw/c2) = t(v + w)

y como x/t ser igual a la velocidad del objeto respecto al sistema A tene-mos x/t = W y por lo tanto

(8)

que es el teorema de adicin de velocidades.

Esta frmula tiene grandes implicaciones, pues al sumar velocidades relati-vas ya no podemos hacerlo al modo clsico, sino que no tenemos ms reme-dio que usar esta frmula, y la suma relativista de dos velocidades ser

siempre menor que la suma galileana sin pasar nunca de la velocidad de laluz.


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As en el caso extremo de v =c y w=c tenemos que

W = (c+c)/(1+c^2/c^2) = 2c/(1+1) = c

! por muchas velocidades relativas que sumemos nunca pasaremos de c!

A todo lo visto hasta ahora se le llama TEORA DE LA RELATIVI-DAD ESPECIAL o RESTRINGIDA. A continuacin veremos algo de laTeora General, pero antes veamos el espacio cuadridimensional de Min-kowsky, que he pensado que sera mejor ponerlo aqu en vez de dejarlo paralos anexos. De todos modos si no tienes intencin de profundizar demasiadotal vez desees saltarte el siguiente apartado, pero en mi opinin es uno de losms importantes de la teora de la relatividad, aunque sea algo duro de com-

prender.

En los anexos 1 y 4 podrn ver adems unos artculos sobre la famosa pa-radoja de los gemelos, si deseas ampliar un poco ms sobre la teora de la

relatividad especial.


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5- EL ESPACIO EN CUATRO DIMENSIONES, MASA YENERGA: E=Mc2

Esta parte contiene (sobre todo en la segunda mitad) una parte de clcu-lo que puede resultar bastante rido, pero que es el modo en que actual-

mente se maneja al Relatividad Especial y creo que es conveniente que apa-rezca en este texto. An as si lees slo la parte inicial te servir como in-troduccin para hacerte una idea del mundo en el que estamos inmersos.

El espacio cuadridimensional fue introducido por Minkowsky, pero antesde hablar de ello veamos como introduccin que ocurre por culpa del prin-cipio de constancia de la luz:

Consideremos al espacio y al tiempo como definidos fsicamente respectode dos sistemas inerciales A y B y un rayo de luz que se propaga en el vacode un punto a otro b. Si r es la distancia medida entre los dos puntos ten-

dremos que para el sistema en reposo r = c. dt (aqu debera ponerincremento de t), y elevando al cuadrado ambos miembros y expresando r2

mediante el teorema de Pitgoras aplicado a sus coordenadas tenemos que(dx)+(dy)+(dz) = c2(dt)2

Y por el principio de constancia de la velocidad de la luz tambin deberocurrir lo mismo para el otro sistema inercial en movimiento.

(dx)+(dy)+(dz) = c2(dt)2

De aqu se pueden deducir las transformadas de Lorentz de tal forma quesean consistentes con las dos expresiones.

Con esta introduccin aparece que el verdadero elemento en la determi-nacin del espacio-tiempo es el suceso determinado por los cuatro nmerosx, y, z y tpudiendo entonces considerar estos cuatro nmeros como las co-ordenadas de un suceso en el continuo de cuatr o dimensiones.

As para poder trabajar mejor con las ecuaciones de la relatividad espe-cial, Minkowskyasign a todo eventouna cuarta dimensinperpendiculara las otras tres y de componente imaginaria cuyo valor sera ict siendo i la

componente imaginaria (raz cuadrada de -1). As tendramos que por el


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teorema de Pitgoras un diferencial de espacio-tiempoentre dos sucesosdsser tal que

(ds) = (dx)+(dy)+(dz)+(dw) (9)

siendo w=ctiy teniendo entonces 4 ejes de coordenadas de tipo cartesiano

en el que podemos aplicar el teorema de Pitgoras sin problemas.

Y si cambiamos de sistema de referencia tendremos (ds) =(dx)+(dy)+(dz)+(dw) que ha de ser igual a (9) pues la longitud de unvector es igual para todo sistema de referencia.

Para ilustrar esta igualdad de longitudes imagina un sistema de co-ordenadas XY normalito y un segmento en ese sistema. Ahora mueve

o gira el sistema de coordenadas dejando quieto el segmento Puesbien, el segmento sigue siendo de la misma longitud, simplemente hacambiado de posicin respecto al sistema de coordenadas.

Esta expresin matemtica (ds) = (ds) se cumple perfectamente para latransformacin de Lorentz, por lo que Einstein adopt este modelo del espa-cio-tiempo. Es la METRICA DE MINKOWSKY.

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