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PreliminaresMétodos de Derivación Numérica

DERIVACIÓN NUMÉRICA

Contenido

1 PreliminaresIntroducción

2 Métodos de Derivación NuméricaEl Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Introducción

Contenido

Introducción

Las fórmulas de derivación numérica son importantes en eldesarrollo de algoritmos para resolver problemas de contornode ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones enderivadas parciales.

El Límite del Cociente IncrementalFórmulas de Diferencias CentradasFórmulas de Diferencias Progresivas y RegresivasDerivada del Polinomio Interpolador de Newton

Contenido

El Límite del Cociente Incremental

Se busca aproximar numéricamente la derivada de f (x):

f ′(x) =lim

h→0f (x + h)− f (x)

Método:

Se elige una sucesión {hk} tal que hk → 0 y se calcula el límitede la sucesión

Dk =f (x + hk )− f (x)

para k = 1, 2.......

Los términos de la sucesión {Dk}se calculan hasta que

|DN+1 − DN | ≥ |DN − DN−1| ;

la intención es tratar de determinar la mejor aproximaciónantes de que los términos empiecen a alejarse del límite.

Contenido

Fórmulas de Diferencias Centradas

Son fórmulas de aproximación a f ′(x) que requieren que lafunción se pueda evaluar en abcisas situadas simétricamente aambos lados del punto x0 (donde se desea hallar la derivada).

Fórmulas de Diferencias Centradas de orden O(h2)

(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h

(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2

(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3

(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4

fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2

(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h

(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2

(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3

(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4

fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2

(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h

(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2

(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3

(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4

fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2

(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h

(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2

(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3

(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4

fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2

(1) f ′(x0) ≈ f1 − f−12h

(2) f ′′(x0) ≈ f1 − 2f0 + f−1h2

(3) f (3)(x0) ≈ f2 − f1 + 2f−1 − f−22h3

(4) f (4)(x0) ≈ f2 − 4f1 + 6f0 − 4f−1 + f−2h4

fk = f (x0 + kh); k = −2,−1, 0, 1, 2

Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).

Se logra la misma precisión con un incremento mayor.

Cuando se hacen los cálculos con un computador, no esaconsejable elegir h demasiado pequeño; por eso seríaútil disponer de fórmulas que aproximen las derivadas def (x) con un error de truncamiento de orden O(h4).

Se logra la misma precisión con un incremento mayor.

(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h

(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2

(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3

(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4

fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h

(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2

(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3

(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4

fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h

(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2

(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3

(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4

fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h

(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2

(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3

(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4

fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

(5) f ′(x0) ≈ − f2 + 8f1 − 8f−1 + f−212h

(6) f ′′(x0) ≈ − f2 + 16f1 − 30f0 + 16f−1 − f−212h2

(7) f (3)(x0) ≈ − f3 + 8f2 − 13f1 + 13f−1 − 8f−2 + f−38h3

(8) f (4)(x0) ≈ − f3 + 12f2 − 39f1 + 56f0 − 39f−1 + 12f−2 − f−36h4

fk = f (x0 + kh); k = −3,−2,−1, 0, 1, 2, 3

Contenido

Fórmulas de Diferencias Progresivas y Regresivas

Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.

Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).

Si sólo se puede evaluar la función en abcisas que estánen un lado de x0, entonces la Fórmulas de DiferenciasCentradas no pueden usarse.

Las fórmulas que utilizan abcisas equiespaciadas queestán todas a derecha (o izquierda) de x0 se llamanFórmulas de Diferencias Progresivas (o Regresivas).

Fórmulas de Diferencias Progresivas de orden O(h2)

(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h

(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2

(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3

(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4

fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h

(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2

(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3

(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4

fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h

(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2

(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3

(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4

fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

(9) f ′(x0) ≈ − 3f0 + 4f1 − f22h

(10) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f1 + 4f2 − f3h2

(11) f (3)(x0) ≈ − 5f0 + 18f1 − 24f2 + 14f3 − 3f42h3

(12) f (4)(x0) ≈ 3f0 − 14f1 + 26f2 − 24f3 + 11f4 − 2f5h4

fk = f (x0 + kh); k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

Fórmulas de Diferencias Regresivas de orden O(h2)

(13) f ′(x0) ≈ 3f0 − 4f−1 + f−22h

(14) f ′′(x0) ≈ 2f0 − 5f−1 + 4f−2 − f−3h2