Curvas Verticales

155

Ingeniera Vial I Curvas Verticales /

UNIVERSIDAD CENTROCCIDENTAL

"LISANDRO ALVARADO"

DECANATO DE INGENIERIA CIVIL

BARQUISIMETOVENEZUELA

Departamento de Ing Vial

Ingeniera Vial I (21055)

Ing Jos Ral de la Cruz

Secciones 101/51-52-54

CURVAS VERTICALES

Los tramos contiguos de pendiente constante del Alineamiento Vertical

deben ser enlazados por arcos de curvas que satisfagan las exigencias de

seguridad y confort que caracterizan un trazado racionalmente diseado. Cada

punto de este alineamiento est caracterizado por su distancia horizontal

respecto al punto que se toma como origen (progresiva) y por su altura referida

a un plano horizontal que sirve de referencia altimtrica (cota).

Es as como el alineamiento vertical presenta una rasante conformada

por tramos de pendiente constante y tramos de pendiente variable. A los

primeros se les designa como longitudes rectas y a los segundos como curvas

o acuerdos verticales. Cabe destacar que las rectas de los alineamientos, tanto

horizontal como vertical, tienen un elemento comn: su longitud, pero las del

horizontal se singularizan por su direccin, mientras que las del vertical lo

hacen por su pendiente. As, una longitud recta puede estar inserta, o no, en

un alineamiento horizontal.

De manera anloga a como se realiza la transicin de curvatura

horizontal (incremento constante de la aceleracin centrpeta) es deseable

que se verifique la transicin de curvatura vertical cuando se enlazan con

Alineamiento vertical: Proyeccin de la rasante sobre el plano

vertical que contiene al alineamiento horizontal. Sin escala.

Curva

Vertical 1 Curva

Vertical 2

Curva

Vertical 3

Longitud

Recta

Longitud

Recta

156


arcos de una determinada curva, dos longitudes rectas contiguas. Para

obtener el resultado deseado deben emplearse arcos de una curva cuya

razn de variacin de la pendiente, por unidad de longitud, sea constante,

esto es:

integrando:

e integrando nuevamente:

ecuacin que corresponde a una parbola cuadrtica.

En el sistema viario (no el ferroviario) la curva vertical por excelencia es

la parbola cuadrtica de eje vertical; esta curva compite favorablemente en

el aspecto cinemtico con otras curvas otrora ensayadas ya que la

componente horizontal del vector velocidad es constante. A las razones antes

expuestas se aade la relativa sencillez de clculo de sus elementos

geomtricos.

CLASIFICACIN DE LAS CURVAS VERTICALES

Hay dos clasificaciones a considerar: a) por el sentido de su curvatura y

b) por su simetra respecto de la vertical que contiene al punto donde las

tangentes la intersecan. En la primera de las clasificaciones el elemento a

considerar es la concavidad o convexidad generada por el desarrollo de la

curvatura diferencindose las curvas en convexas y cncavas.

Curvas Verticales. Izquierda: convexa; derecha: cncava. Sin escala.

pice

pice

157


En la grfica que antecede a este prrafo el arco de parbola empleado

como enlace convexo contiene el pice de la curva (punto de mxima cota) y

ste a su vez se localiza en la vertical que contiene al y al (Centro

de la Curva Vertical). Esta situacin geomtrica solo ocurre cuando las

pendientes de las tangentes a enlazar ( y ) son de igual valor absoluto

pero de signo contrario. En el acuerdo cncavo de la misma figura el pice,

que se encuentra tambin dentro del arco de parbola, se ha desplazado a la

derecha de la vertical que pasa por el como consecuencia de la menor

inclinacin (absoluta) de la tangente de salida. Si continuamos disminuyendo

la inclinacin de la pendiente de salida, hasta anularla, el pice coincidir

planoaltimtricamente con el punto final de la curva vertical y el

corrimiento del pice respecto de la vertical que contiene el ser

mximo; el punto siempre estar en dicha vertical.

Si continua la rotacin de la tangente, ahora tomando la pendiente

valores negativos pero sin sobrepasar el valor de la de entrada, el arco

utilizado como acuerdo vertical no contendr el pice de la parbola que se

localizar fuera del enlace. Grficamente la situacin es la siguiente:

En todas las situaciones hasta ahora planteadas, sean las curvas

verticales convexas o cncavas, la distancia horizontal, medida sobre el

alineamiento horizontal, entre el y los puntos de tangencia a cada lado

del mismo, es igual y equivalente a siendo la longitud proyectada

del arco de parbola que se emplea como enlace. Esta es otra propiedad

geomtrica de la parbola que nos conduce al anlisis de la segunda de las

Acuerdo Vertical cncavo entre dos tangentes con pendiente

negativa. (Algebraicamente). Sin escala.

pice

Eje de Simetra

de la parbola

158


clasificaciones ya mencionadas: la simetra. La figura que sigue al prrafo

ilustra grficamente los principales elementos geomtricos de una Curva

Vertical Asimtrica cuya caracterstica ms resaltante la constituye el hecho

de estar conformada por dos arcos de parbola (o ms de dos, pero la

solucin, elegante en lo que respecta al anlisis matemtico, tiene escaso

valor utilitario) de distinta curvatura y longitud, unidos en un punto de la

vertical que contiene al . Al punto de unin de los dos arcos, usualmente

denominado , preferimos llamarlo Punto de Unin, para evitar

ambigedad o confusin con el punto de las curvas simtricas. Los

enlaces verticales asimtricos, que las normas viales venezolanas no objetan,

pero que no son acogidos por las legislaciones viales de algunos pases, son,

cuando su diseo es correcto, de gran utilidad y su importancia se pone de

manifiesto cuando hay necesidad de pasar por puntos control (puntos

obligados del itinerario). La distancia vertical del al Punto de Unin

de los dos arcos de parbola es la Externa, que resulta comn a ambas

ramas para lograr la solucin de continuidad que el trazado exige. La

tangente en , paralela a la lnea , interseca a las rectas de

entrada y salida en los puntos y , respectivamente. Las ramas de

la curva asimtrica se convierten as en Curvas Simtricas de longitud y

y curvaturas particulares.

Curva Vertical Asimtrica Convexa. Las ramas a izquierda y

derecha del son de distinta longitud. Sin escala.

159


GEOMETRIA DE LAS CURVAS VERTICALES

Hemos ya expresado que en la parbola se verifica una rata constante

de cambio de la pendiente por unidad de longitud:

integrando se tiene:

En el grfico de la pgina siguiente se observa que cuando la

pendiente es la de entrada:

Cuando la pendiente es la de salida

por lo que:

entonces:

Si integramos nuevamente se tiene:

De nuevo en el grfico: cuando por lo que y:

Si denominamos a la diferencia algebraica de pendientes se

tiene:

160


: (L)ongitud de la (C)urva (V)ertical

:(P)endiente porcentual de la recta de (E)ntrada

:(P)endiente porcentual de la recta de (S)alida

: (P)unto (I)nterseccin de la (C)urva (V)ertical

: (T)angente (C)urva de la (C)urva (V)ertical

: (C)urva (T)angente de la (C)urva (V)ertical

: (C)entro de la (C)urva (V)ertical

: (P)unto genrico (S)obre la (C)urva

: Distancia (X) entre TCCV y un (PSC)

: Distancia vertical (Y) de un (PSC)

: Distancia vertical (Y) del punto (O)rigen del arco

: (D)esvo de un (PSC)

: (E)xtena

: (F)lecha

: (C)uerda (L)arga

: (P)endiente porcentual de un (PSC)

: (P)endiente de la (C)uerda (L)arga

: Distancia (X) entre TCCV y el (pice)

: Distancia (Y) del (pice)

Plano Horizontal de

Referencia Altimtrica

Prog. pice

Prog. TCCV

Prog. PSC

Principales elementos geomtricos de un Acuerdo Vertical.

pice

161


Donde es la cota de cualquier punto en la parbola (implcitamente

de los puntos del arco de acuerdo) referida a la cota del punto .

El desvo bajo la tangente ser:

(

)

(

) (

)

Si observamos el grfico siguiente veremos que A resulta negativa en

las curvas convexas y positiva en las cncavas por lo que el desvo, al

adoptar distinto signo dependiendo de la curvatura del acuerdo, facilitar el

clculo numrico.

Casos posibles de curvatura convexa y cncava en Curvas

Verticales. A: diferencia algebraica de pendientes.

162


La frmula para el clculo de cotas deviene entonces en:

Ejemplo:

Cota de un situado a del punto :

Solucin:

Ejemplo:

Con los datos del caso anterior determine la cota del punto .

Solucin:

tambin

El desvo bajo la tangente, cuando este se localiza en la vertical del

es igual a la Externa. Su frmula se obtiene haciendo igual a :

(

)

163


Ejemplo:

Con los datos anteriores determine la Externa,

Solucin:

En una curva vertical cncava por ser la Externa un desvo, aunque

particular, adopta signo negativo.

Ejemplo:

Solucin:

La pendiente en un se obtiene evaluando la primera derivada de la

ecuacin general:

Ejemplo:

Con los datos del ejemplo anterior determine la pendiente del

punto :

Solucin:

La pendiente porcentual es:

Este valor es igual a la semisuma de las pendientes de entrada y salida:

El pice de la curva se localizar en el punto de inflexin de la

parbola. Entonces, anulando la ecuacin de la pendiente se obtiene la

164


distancia , referida al punto , a la que se encuentra ese punto

culminante.

Ejemplo:

Solucin:

Si en la ecuacin general de la cota de un punto en la parbola,

sustituimos a por su valor particular en el pice, se tiene:

(

)

(

)

evaluando:

Ejemplo:

165


Solucin:

Obsrvese que puede ser positivo o negativo y en el presente caso

el signo indica que el pice se encuentra por debajo del punto .

La unin de un con el punto por medio de una recta, forma

una cuerda cuya tangente es:

Ejemplo:

Solucin:

Por analoga con la frmula de la cuerda del punto podemos

escribir:

166


Donde es la pendiente porcentual de un punto genrico. Podemos

entonces concluir que: la pendiente de una cuerda es igual a la semisuma de

las pendientes en los extremos del arco que subtiende. As la pendiente de la

Cuerda Larga ser:

Ejemplo:

Con los datos del problema anterior determine y .

Solucin:

La flecha, distancia vertical entre el punto y el punto medio de la

Cuerda Larga, se obtiene diferenciando la cota de dichos puntos; este

segmento de recta vertical, al igual que la Externa, est contenido en la

vertical del :

(

)

(

)

(

)

(

)

[ ]

pero: y entonces:

en efecto:

167


Vemos como la flecha y la externa tienen igual signo y valor,

dependiendo el signo del sentido de la curvatura de l enlace.

Resolviendo el siguiente problema se emplearn las frmulas deducidas

hasta el momento.

Ejemplo:

Enlace con una curva vertical de metros de longitud las

tangentes definidas por los datos geomtricos. Determine

asimismo:

1) Cota y Progresiva de los puntos y .

2) Cota y Progresiva de los cuya pendiente es y

respectivamente.

3) Progresiva y Cota del pice.

4) Externa.

5) Cota del punto .

6) Pendiente de la Cuerda Larga.

Datos:

569,704 11+230,15

564,577 11+435,23

574,720 11+725,03

Solucin:

1a) Cota del punto :

(

)

1b) Progresiva del punto :

1c) Cota del punto :

(

)

168


1d) Progresiva del punto :

2a) Progresiva del cuya pendiente es :

2b) Cota del cuya pendiente es :

( )

2c) Progresiva del cuya pendiente es :

2d) Cota del cuya pendiente es :

( )

Como se observa las cotas de ambos puntos son iguales por ser sus

pendientes de igual valor y de signo contrario. Esta situacin geomtrica

tiene lugar cuando los puntos se localizan a igual distancia del eje de simetra

de la parbola.

169


3a) Progresiva del pice (este punto singular del enlace se localiza en

el arco de parbola y se evidencia por el cambio de signo de las

pendientes de entrada y salida:

Nota: este valor tambin puede obtenerse calculando la semisuma

de las distancias desde a puntos de la parbola con pendiente

de igual valor y distinto signo que tienen igual cota. Empleando los

anteriormente evaluados en este ejemplo, se tiene:

La progresiva entonces ser:

3b) Cota del pice:

4) Externa:

5) Cota del

(

)

(

)

(

)

(

)

4a) Externa (comprobacin):

6) Pendiente de la Cuerda Larga:

(

)

tambin:

170


CURVATURA DE LA PARABOLA DE ENLACE

Si con los datos del ejemplo anterior determinramos la variacin de

pendiente en los extremos de distintos arcos de parbola simplemente

estaramos comprobando la caracterstica fundamental de la curva: su rata

constante de variacin de pendiente por unidad de longitud. En efecto:

de la misma forma:

y tambin:

De aqu que generaliza0do puede escribirse:

y entonces:

La constante , propia de cada parbola, es una expresin de su

curvatura y representa la longitud de curva necesaria (medida en proyeccin

horizontal) para que se produzca una variacin uniporcentual de pendiente.

Correlativamente el recproco de equivale a la variacin de pendiente que

tiene lugar en cada metro proyectado de desarrollo de curva.

La prctica usual de diseo de curvas verticales en Venezuela acoge la

pendiente en forma porcentual, que es la utilizada comnmente en EUNA Las

normas viales de muchos pases europeos emplean la forma decimal por lo

que el , que resulta cien veces mayor que el determinado con pendiente

porcentual, tiene tambin una significacin geomtrica: es el radio de

curvatura del crculo osculador en las inmediaciones del pice de la parbola.

Esta expresin de la curvatura segn criterio de algunos proyectistas

permite tener una nocin relativa de la razn de cambio de pendiente de la

curva, facilitndose el diseo geomtrico. Sin embargo, a pesar de que no es

posible establecer terminantemente que el uso de la forma decimal es ms

conveniente que la porcentual, si interesa destacar que el de las a

171


pesar de ser cien veces menor que aquel calculado con pendientes

decimales, es una expresin equivalente.

El conocimiento del , denominado de ordinario Parmetro de la Curva

Vertical y ms rigurosamente Coeficiente Angular, es un elemento geomtrico

valioso que permite la simplificacin de algunas de las frmulas hasta ahora

deducidas; veamos:

pero

por lo que la expresin anterior se modifica a:

Otras frmulas tambin se modifican:

Ejemplo:

Se pide:

172


Solucin:

tambin:

DISEO DE LAS CURVAS VERTICALES

Los criterios de diseo son, en orden de importancia, seguridad,

drenaje y apariencia. En oportunidades, el efecto sinrgico de dos o ms de

estos aspectos genera resultados de conjunto muy complejos y difciles de

prever por lo que se debe tratar, en la medida de lo posible, de disear con

longitudes de curva que es el aspecto fundamental superiores a las

mnimas.

Criterio de Seguridad

Si en una curva vertical el tramo de carretera que el conductor puede

observar delante es superior a la distancia que requiere para, luego de

divisado un obstculo en la calzada, reaccionar y detener el veh culo, se dice

que la curva es segura. De la misma manera puede la curva considerarse

segura si la distancia visible adelante permite, sin riesgo de una eventual

colisin frontal, el adelantamiento de los vehculos lentos.

Los conceptos Distancia de Visibi lidad de Frenado , y Distancia de

Visibilidad de Paso , combinan tanto aspectos atinentes al propio

conductor: edad, reflejos, estado emotivo, como al vehculo: estado de los

frenos y neumticos, potencia, y aun al obstculo que motiva la detencin:

tamao, color, forma. En sntesis, la complejidad del estudio supera los

173


alcances del presente curso1 por lo que nos limitaremos a reportar en la tabla

siguiente los valores de que, de acuerdo a la AASHTO y a las NVV se

asignan a las velocidades normalizadas.

40

50

60

70

80

90

100

110

120

28

35

42

49

56

63

69

76

83

17

28

43

62

84

107

136

168

210

45

63

85

111

140

170

205

244

293

50

60

75

90

110

130

155

180

210

Los valores de de la NVV resultan menores si se les compara con

sus homlogos de la AASHTO, por lo que el uso de valores superiores

redundar en beneficio de la seguridad. Las arriba reportadas

corresponden a detenciones en calzada horizontal por lo que convendra

aplicar, para rasantes con otra inclinacin, la formula siguiente:

Donde:

: Velocidad de proyecto

: Tiempo de percepcin y reaccin

: Factor de friccin Longitudinal

: Inclinacin decimal de la rasante

La inclinacin de la rasante se tomar negativa si la pendiente es

de bajada y positiva si es de subida. A pesar de que las de la

son, para velocidades altas, insuficientes, la correccin no es empleada por

muchos proyectistas y otros solamente la utilizan para el rango de pendientes

1 Para un estudio detallado de estos conceptos vase "Carreteras. Estudio y Proyecto" de

Jacob Carciente y "El diseo geomtrico de Carreteras", Tomo I, de Pedro J. Andueza.

Distancia de Visibilidad de Frenado ; distancia de

reaccin; : distancia de frenado.

174


rasante tal vez suponiendo que al usar longitudes de curva

vertical superiores a las mnimas, la correccin resulta innecesaria .

Las distancias mnimas requeridas para el adelantamiento de vehculos

lentos, son marcadamente superiores a las y aquellas

recomendadas por la NVV se tabulan a continuacin:

40

50

60

70

80

90

100

110

120

270

340

420

490

550

610

670

450

830

En las curvas verticales, como en los tramos de pendiente constante, se

deben disponer estas distancias como garanta de la seguridad. Analicemos,

para curvas cncavas y convexas, el diseo que considera las distancias de

visibilidad de frenado y paso.

CURVAS VERTICALES CONVEXAS DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE SEGURIDAD

Caso 1:

La figura de la pgina siguiente representa una curva vertical simtrica

convexa donde la visual del conductor, que es recta y tangente a la alcanzada

en el , al alcanzar la parte superior de un objeto de altura que

obstaculiza el libre trnsito. El ojo del conductor se ha supuesto situado a la

altura sobre la calzada y la distancia entre el objeto y el ojo del conductor ,

es inferior a la longitud de la curva vertical.

Siendo un desvo bajo la recta tangente en el se tiene:

Valores mnimos de la Distancia de Visibilidad de Paso

de acuerdo a las Normas Viales Venezolanas.

175


De la misma manera:

Siendo se tiene que:

Elevando al cuadrado la suma de trminos:

(

)(

)

( )( )

( )

( )

Despejando :

( )

Curva Vertical Simtrica Convexa. Caso

176


Caso 2:

En este anlisis se supone que supera la longitud de la curva vertical

por lo que el planteamiento grafico terico es el de la figura a continuacin:

Otra propiedad geomtrica de la parbola determina que toda recta

tangente a ella interseca a las rectas de entrada y salida en sendos puntos,

y , separados, invariablemente, por una distancia horizontal

entonces:

y tambin:

Vemos tambin que:

Sustituyendo se tiene:

Para que sea un mnimo debe cumplirse que

; derivando

Curva Vertical Simtrica Convexa. Caso

177


entonces la expresin anterior encontramos el valor de que alcanza este

cometido:

(

)

Tomando raz cuadrada en ambos miembros:

En el cociente del miembro derecho el numerador ser positivo si el

denominador no lo es. Anlogamente, si el numerador es negativo el

denominador no lo ser. De aqu que el signo del miembro izquierdo que

conduce a la solucin es el negativo:

Resolviendo y despejando :

Reemplazando la expresin anterior en la ecuacin original y haciendo

, se despeja finalmente :

( )

CURVAS VERTICALES CNCAVAS DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE SEGURIDAD

En general el conductor tiene en la curva vertical cncava sobre

alineamiento recto, visibilidad total de la misma durante las horas diurnas. En

este sentido, salvo por la apariencia, no existen limitaciones a su longitud. No

obstante, el manejo nocturno reduce considerablemente la visibilidad

limitndola al alcance del haz de luces de los faros. Los diseadores de

vehculos, haciendo divergir el haz luminoso en aproximadamente

sexagesimal con respecto al eje longitudinal, garantizan que el alumbrado

aumente la distancia visible adelante . El anlisis de diseo tiene en las

178


curvas verticales cncavas dos vertientes dependientes de la relacin entre la

distancia visible adelante y la longitud de curva.

Caso 1:

En la figura anterior el desnivel entre el lmite del haz rayos y la

prolongacin de la recta de entrada es un desvo sobre la tangente. Se

cumple entonces que:

El signo menos del desvo de la expresin anterior obedece a que en

las curvas cncavas este elemento es negativo. Tambin:

Sustituyendo:

Podemos expresar el trmino como:

Siendo el producto un sumando del denominador, un

Curva Vertical Simtrica Cncava. Caso ; : altura de

los faros; : ngulo vertical de la recta de entrada.

179


ngulo normalmente restringido en las rasantes de carreteras y un valor

pequeo, no se comete error apreciable al asumir su valor como cero.

Entonces:

Reemplazando:

(

)

Despejando :

( )

Caso 2:

En la figura se observa que:

(

)

(

)

Desarrollando:

Curva Vertical Simtrica Cncava. Caso ; : altura de

los faros; : ngulo vertical de la recta de entrada.

(

)

(

)

180


Agrupando trminos:

Anlogamente al caso anterior:

Sustituyendo entonces:

(

)

Desarrollando y agrupando:

Pero: y , por lo que:

y finalmente:

[ ]

Para el clculo de la longitud de las curvas verticales, tanto convexas

como cncavas, en base a la pauta de las N.V.V., se sustituye la longitud

por la Distancia de Visibilidad de Frenado o la Distancia de Visibilidad de

Paso, y respectivamente, segn se trate de disear bajo uno u otro

criterio. Para facilitar los clculos se sustituye por su equivalente

(vase desarrollo terico en pginas 170 y siguientes) resultando las

expresiones del que a continuacin se dan:

( )

( )

( )

( )

181


Los valores de tanto de curvas convexas como cncavas, que se

obtienen con las frmulas para son mayores que aquellos calculados

para y por ello habitualmente se disean sin considerar el hecho de

que sea mayor o menor que . Las curvas resultan as ms largas y en

consecuencia ms seguras compensando con creces el incremento en los

costos de construccin.

Si en las expresiones anteriores sustituimos los respectivos valores de

y que la Norma Vial Venezolana adopta, obtendremos el

parmetro de diseo para los casos que nos interesan:

Curvas Convexas con

( )

Curvas Convexas con

( )

Curvas Cncavas con

( )

Los valores de para curvas convexas y Visibilidad de Paso son muy

altos y las longitudes de curva son difciles, si no imposibles de satisfacer.

Por otra parte, se ha comprobado empricamente que un alto porcentaje de

conductores se exime de adelantar en las curvas verticales convexas, aun

diseadas con Visibilidad de Paso, por el temor a una colisin frontal cuando

se invade el canal utilizado para la circulacin contraria. En carreteras

multicanal es obviamente innecesario disear las curvas convexas con

visibilidad de paso. Por las razones expuestas los enlaces verticales

convexos, generalmente, solo se disean con Visibilidad de Frenado.

La tabla de la siguiente pgina muestra los valores de para la

Distancia de Visibilidad de Frenado segn: a) Normativa Vial Venezolana y b)

ASSHTO2, para curvas verticales convexas y cncavas:

2 Acrnimo ingls de la "American Assotiation of state Highway and Transportation

Orficials" de los Estados Unidos de Norteamrica.

182


40

50

60

70

80

90

100

110

120

50

60

75

30

110

130

155

180

210

6

8

13

19

28

40

56

76

100

8

11

15

19

24

29

36

43

52

45

63

85

111

140

170

205

244

293

5

9

17

29

46

68

99

140

202

7

12

17

24

32

40

50

61

75

Cotejando los valores del parmetro en los dos grupos de la tabla

anterior se observan diferencias importantes derivadas de las Distancias de

Visibilidad de Frenado que cada organismo acoge para las Velocidades de

Proyecto indicadas. Por ello es conveniente que las longitudes de curva

vertical calculadas con estos parmetros, que son longitudes mnimas, se

aumenten en la medida de lo posible para garantizar un diseo ms seguro.

Puesto que para una velocidad determinada existe un solo valor de

, es posible graficar, como una familia de curvas semejantes, las diversas

rectas de la relacin contra . Entrando en estas graficas con la diferencia

algebraica de pendientes, representada en el eje de las abscisas, y

desplazndose verticalmente hasta interceptar la recta cuya velocidad sea la

de proyecto, obtenemos un punto cuya horizontal, al cortar el eje de

ordenadas, indica la longitud de la curva. En las pginas 183 y 184 se han

representado las rectas de diseo con Distancias de Visibilidad de Frenado

para curvas convexas y cncavas, respectivamente.

Como se observar en las referidas grficas, los valores de tienen

un mnimo absoluto. As, para velocidades de proyecto de hasta , la

longitud mnima absoluta es de . Para velocidades superiores las

longitudes mnimas absolutas de curva vertical aumentan, aparentemente, sin

un criterio que pueda expresarse matemticamente3. Tenemos as que, con

las limitaciones que le son propias a una determinacin grfica, la longitud

mnima absoluta de una curva vertical convexa para una velocidad de

proyecto de es .

3 La Norma Vial Venezolana de 1975 consideraba como longitud mnima absoluta de la curva

vertical aquel la derivada de la aplicacin de la frmula con en . As, para la

longitud mnima absoluta era: valor que resulta ms pequeo que el de la norma de 1985.

Curvas Verticales Simtricas. Valores de para distintas .

Curvas Convexas: Curvas Cncavas: .

183


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

305070

100

200

300

400

500

600

700

800

184


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

30

100

150

200

250

300

350

400

40506070

185


Ejemplo:

Solucin:

El valor negativo de la diferencia algebraica de pendientes indica

que la curva es convexa. El de las N.V.V. para es y

entonces ser:

Vemos entonces que el valor de calculado es inferior al mnimo

absoluto obtenido por la grfica. Finalmente la longitud ser .

Ejemplo:

Solucin:

El valor positivo de la diferencia algebraica de pendientes indica que la

curva es cncava. De acuerdo al criterio de la N.V.V. la Distancia de

Visibilidad de Frenado, para , es por lo que el parmetro de la

curva vertical ser:

186


La prescribe para una de . La longitud de la

curva vertical es entonces:

CURVAS VERTICALES DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE DRENAJE

En los acuerdos verticales cuyas rectas de entrada y salida son de

diferente signo se produce, en algn punto de su longitud, una inflexin con

la subsiguiente anulacin de la tangente. El punto donde ocurre el cambio de

sentido de la curvatura es el pice del enlace y los puntos de su entorno

cercano, a lado y lado, presentan una pendiente muy pequea que dificulta la

evacuacin rpida de las aguas de lluvia que alcanzan la calzada,

particularmente en curvas verticales de elevado parmetro.

El problema atae tanto a curvas convexas como a cncavas pero

sobre todo a estas ltimas cuando el tramo en las inmediaciones del pice se

presenta en trinchera.

Segn criterio de la AASHTO no existen dificultades de drenaje cuando,

en los puntos situados a del pice, la pendiente est en el rango

. Tomando como origen planoaltimtrico el pice de la

curva se tiene:

donde:

Evaluando:

187


La N.V.V. fija este valor crtico en y es usual su representacin

en los grficos Diferencia Algebraica de Pendientes contra Longitud de la

Curva Vertical como una recta que define el lmite para las consideraciones

al drenaje. De esta manera los trazaditas, con el parmetro de diseo y la

inspeccin visual de los grficos identifican aquellas situaciones donde hay

que dar al drenaje una especial atencin, sobre todo si existen brocales o

cunetas donde los materiales acarreados por las, aguas de escorrenta

pudieran acumularse impidiendo la evacuacin rpida de las aguas y

favoreciendo la peligrosa acumulacin.

CURVAS VERTICALES DISEADAS BAJO EL CRITERIO DE APARIENCIA

Las consideraciones que se hacen en los acuerdos verticales en base a

este criterio, tambin conocido como Criterio de Apreciacin Visual, tienden

a atenuar la distorsin de la perspectiva que los conductores tienen al

aproximarse a ello.

En efecto, para que una curva vertical convexa que acuerda dos

rasantes uniformes con pequea diferencia algebraica de pendientes, resulte

adecuadamente percibida por el conductor, es necesario que su longitud no

sea inferior a un mnimo. La experiencia emprica, acogida por varias

legislaciones viales europeas, fija este mnimo igual a la distancia recorrida

en segundos por un vehculo que se desplace a la velocidad de proyecto;

de ello resulta que:

Con: en metros y

En las curvas cncava. Con pendientes de signo contrario la distorsin

de la perspectiva es muy acentuada recibiendo el fenmeno el nombre de

Verticalizacin de la Rasante de Salida. Esta manifestacin aparente es

tanto ms evidente cuanto desde ms lejos el acuerdo pueda ser observado.

En aquellos que coinciden con alineamientos horizontales rectos, donde

durante el da es, posible, visualizar tambin gran parte de las longitudes

rectas enlazadas, la distorsin perspectiva es tal que los conductores, a

pesar de disponer de visibilidad de paso, no adelantan pues suponen que la

circulacin contraria lo hace a velocidad muy superior a la propia.

La Norma Vial Venezolana solo considera el criterio de apariencia para

las curvas verticales cncavas y establece la longitud en base a la siguiente

frmula:

188


Esta longitud resulta el doble de la definida por el criterio anterior y

para casi todas las velocidades de proyecto llegan a superar la longitud

mnima por Criterio de Seguridad:

Ejemplo:

Solucin:

CURVAS O ACUERDOS VERTICALES ASIMETRICOS

Como ya se indic, una curva vertical asimtrica es aquella conformada

por dos arcos de parbola de distinta curvatura unidos en un punto de la

vertical que contiene al . A este punto de unin, asimtrico en cuanto a

sus distancias a los puntos de tangencia, lo denominaremos para

diferenciarlo del punto que en las curvas verticales simtricas se localiza

tambin en dicha vertical, aunque equidistante de los extremos de la curva.

Si por el punto se traza una tangente se producirn las

intersecciones y sobre las rectas de entrada y salida,

respectivamente. Cada una de las porciones, comnmente llamadas ramas,

se comportar como una curva vertical simtrica con parmetros y y

desarrollando horizontales y .

La determinacin de la pendiente en el se basa en la proporcin en

que se encuentran las distancias verticales relacionadas por la siguiente

expresin:

(

)

(

)

(

)

Despejando :

189


La longitud total de la curva asimtrica ser:

y

La geometra de dos arcos de distinta curvatura impone la

determinacin por separado de los elementos de cada rama. De acuerdo a

esto se tiene:

(

)

(

)

(

)

Curva Vertical Asimtrica Convexa.

190


Igualando los valores de :

Sumando miembro a miembro:

Tambin se cumple que:

Pero

y entonces:

De la misma manera:

Si establecemos el cociente de las dos expresiones anteriores:

(

)

191


En el grfico de la pgina 189 se tiene que:

Despejando se tiene:

que resulta la misma frmula de la pendiente en el lo que evidencia el

paralelismo de ambas rectas.

La Externa del enlace, evaluando sobre la rama izquierda, es:

(

)

De la misma manera, ahora evaluando sobre la rama derecha:

Si en la primera de las ecuaciones de la Externa se sustituye a por

su frmula, se tiene:

La flecha, de manera anloga que en las curvas verticales simtricas,

tiene igual valor que la externa:

La cota del punto es:

192


Y la del punto :

La cota de un , situado en la rama izquierda, es:

La cota de un , de la rama derecha, tomando como origen el viene

dado por la siguiente frmula:

Si para el clculo de la cota de un de la rama derecha se asume

sentido inverso de recorrido, se utilizara la siguiente expresin:

Finalmente la cota del es:

Criterios para el diseo de las Curvas Verticales Asimtricas

Aunque este tipo de enlace resulta de ordinario ms largo que el

simtrico para condiciones de igualdad de las variables , y es usual su

diseo aplicando consideraciones propias de las curvas simtricas. En este

sentido debe recordarse que los anlisis para la deduccin de los parmetros

se realizaron en base a la geometra de curvas simtricas por lo que su

aplicacin a las asimtricas no es rigurosamente exacta.

Convendra, por razones de seguridad, que el parmetro de cada rama

fuese superior al que correspondera, para la misma velocidad de proyecto, a

una curva simtrica. De esta manera se atenuaran, por una parte, las

eventuales deficiencias metodolgicas y por otra, ya desde el punto de vista

cinemtica, se reducira la eventual discontinuidad dinmica que tendra lugar

al pasar, en el , de una a otra curvatura.

La aplicacin ms importante de las curvas verticales asimtricas se

pone de relieve en aquellos casos en que existiendo puntos control en el

itinerario, no es posible, con una curva simtrica, satisfacer las exigencias de

posicin, tanto de cota como de progresiva, de dichos puntos.

A continuacin algunos ejemplos relacionados con las curvas verti cales

simtricas y asimtricas.

193


Ejemplo 1:

A fin de enlazar dos longitudes rectas contiguas se exige que el de

progresiva , tenga cota . Compruebe si la curva empleada

cumple con el criterio de seguridad para visibilidad de frenado de a) la N.V.V.

y b) la AASHTO.

Datos:

Solucin:

Despejando la longitud de la curva vertical:

De acuerdo a las N.V.V. se tiene que:

De acuerdo a la AASHTO:

194


Ejemplo 2:

Se desea disear una curva vertical que en su desarrollo contenga el

punto control de cota y progresiva .

Datos:

Solucin:

Sustituyendo:

(

)

(

)

(

)

La segunda raz solo tiene significacin matemtica y por lo tanto se

descarta. La comprobacin que exige el problema se realiza con la primera

solucin:

Ejemplo 3:

Se desea aprovechar para drenaje un cauce natural y se requiere que el

pice de la curva vertical tenga cota . Compruebe el diseo en base

al criterio de drenaje de la N.V.V.

195


Datos:

Solucin:

Sustituyendo:

Para determinar si el diseo est en concordancia con el criterio de

drenaje de la N.V.V. hay primero que efectuar la comprobacin del criterio de

seguridad:

A continuacin determinamos el parmetro de la curva:

Para que se considere el drenaje con especial atencin es menester

que Puesto que el valor de calculado es mayor, se asume que el

diseo el drenaje reviste, en las cercanas del pice, especial consideracin.

Ejemplo 4:

De la curva vertical asimtrica determine los elementos geomtricos

que se requieren a continuacin:

1) Progresiva y cota del

2) Progresiva y cota del

196


3) Pendiente y cota del

4) Externa

5)

6) Pendiente del punto de progresiva

7) Pendiente del punto de progresiva

8) Progresiva y cota del pice

9) Progresiva y cota del cuya pendiente es

Datos:

Solucin:

1a) Progresiva del punto :

1b) Cota del punto :

2a) Progresiva del punto

2b) Cota del punto :

3a) Pendientes del :

3b) Cota del :

(

)

197


(

)

3c) Cota del (comprobacin):

(

)

Recurdese que la diferencia algebraica de pendientes toma su signo

de acuerdo al sentido de recorrido del enlace. Por ello hay necesidad de

modificar los signos de las pendientes involucradas en el cmputo si el

recorrido se considera a la inversa. De acuerdo a lo mencionado y para un

sentido inverso de recorrido, estos son los cambios a realizar en los sign os

de las pendientes para no alterar los valores de las incgnitas:

Donde: y son las pendientes de y salida con signo contrario.

Entonces:

Finalmente:

(

)

En el sentido normal de recorrido el valor de es:

4a) Externa:

4b) Externa (comprobacin):

5a) Clculo de :

5b) Clculo de (comprobacin):

4c) Externa (comprobacin):

198


5c) Clculo del :

5d) Clculo del :

5e) Clculo del :

6) Pendiente en el de Progresiva :

Por su progresiva inferimos que el punto en cuestin se localiza en la

rama derecha. Su distancia horizontal al ser:

7) Pendiente en el de Progresiva :

8a) Progresiva del pice:

El pice se localizar en la rama que contenga la inflexin, esto es, la

izquierda. Tomando como origen al punto y anulando la ecuacin de la

pendiente se tiene:

8b) Progresiva del pice (comprobacin):

Tomando ahora como origen al se tiene:

( ) [ ]

199


8c) Cota del pice:

8d) Cota del pice (comprobacin):

( )

( )

8e) Cota del pice (comprobacin):

( )

9a) Progresiva del cuya pendiente es :

El punto, dado el signo de la pendiente, est en la rama derecha por lo

que su distancia al ser:

9b) Cota del cuya pendiente es :

Si en una curva vertical simtrica existen puntos del arco cuyas

pendientes sean iguales y de signo contrario, sus cotas, necesariamente,

sern idnticas. Esta condicin geomtrica es independiente de sus

distancias horizontales al . En los enlaces verticales asimtricos esta

condicin tiene lugar, exclusivamente, cuando los puntos en cuestin

pertenecen a la misma rama. Por ello, la cota arriba calculada, es diferente a

la del punto cuya pendiente es situado en la rama izquierda.

9c) Cota del cuya pendiente es (comprobacin):

[ ]

200


Ejemplo 5:

Se requiere, por exigencias topogrficas, que el pice de una curva

vertical tenga cota y progresiva . Determine la longitud de

curva vertical que permite satisfacer la referida condicin.

Datos:

Solucin:

(

)

Sustituyendo:

La longitud calculada slo indica que el arco de parbola cuyo

parmetro es

presenta en el pice la cota .

Resta ahora comprobar si la posicin planimtrica del punto es la exigida:

( )

Como se observa la progresiva calculada para el pice no concuerda

con la del dato del problema. Se concluye entonces que utilizando una curva

201


vertical simtrica no es posible satisfacer la posicin planimtrica del pice.

En el siguiente ejemplo se alcanzar el requerimiento empleando una curva

asimtrica.

Ejemplo 6:

Con los datos del ejemplo anterior disee un enlace vertical asimtrico

que satisfaga las condiciones indicadas.

Solucin:

El primer paso consiste en identificar la porcin de curva asimtrica, o

rama, donde se localiza el pice. Vemos se trata de la izquierda ya que la

progresiva del pice es menor que la del . Expresemos entonces la

progresiva del punto como una funcin de longitud de dicha rama.

La cota del punto tambin puede expresarse con una funcin de la

longitud de la rama donde se encuentra:

La progresiva del pice es:

Y reemplazando:

De donde:

Tambin se tiene que:

Pero:

Y entonces:

202


igualando (1) y (2) resulta:

La cota del pice es:

Sustituyendo y por sus equivalentes se tiene:

de donde:

Dividiendo (3) y (4) y simplificando:

Si en la ecuacin (3) sustituimos a por su equivalente y

reemplazamos luego el valor , se tiene:

Despejando la incgnita:

La longitud del enlace es entonces:

y su progresiva es:

La cota del punto :

Su progresiva:

203


La pendiente en el :

La externa del enlace es:

Tambin:

Y la cota del ser:

de igual manera:

La distancia es:

Valor que satisface la condicin planimtrica:

Como comprobacin final calcularemos la cota del pice para

compararla con el valor requerido en el ejemplo:

Curvas Verticales

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