UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

CURVAS CLOTOIDES

DISEÑO VIAL II NOMBRE

LEONARDO CORDOVA

SEXTO SEMESTRE CIVIL

FECHA

22/01/2016

GEOMETRÍA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN

En un trazado de rectas y curvas circulares, la curvatura pasa de 0 en la recta, a

un valor finito y constante en la curva, lo que produce incomodidad y puede

causar accidentes por la aparición brusca de la fuerza centrífuga.

Para alcanzar el peralte requerido en una curva debe pasarse del bombeo a

dicho peralte, lo cual se reparte 2/3 antes del TE y 1/3 después.

Estas cusas hacen necesario el empleo de un alineamiento de transición.

Otras causas:

- Se tiende alentar la uniformidad de la velocidad.

- Permite el cambio gradual de la deflexión de las ruedas.

- El mayor número de accidentes se relaciona a efectos de entrada y salida.

CLOTOIDE

La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor

de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen

y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la

distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el

radio es infinito.

La expresión matemática usual es:

Siendo:

ρ = el radio de curvatura.

s = el desarrollo o arco.

C= la constante de la espiral.

Numerosas curvas cumplen las condiciones requeridas de cambio de curvatura:

El ovalo.

La parábola cúbica.

La lemniscata de Bernoulli.

La espiral de Cornu o Clotoide. (*)

(*) Avanzada por Max Von Leber 1860, introducida en la práctica de la ingeniería

por L. Oerley en 1937.

Ventajas de la Clotoide:

1. La clotoide es una espiral cuya curvatura varía proporcionalmente con la

longitud comenzando en cero desde el origen.

2. Esta característica le da la propiedad de que un móvil que la recorra a

velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza

centrífuga.

F = 𝑊 𝑉2

𝑔 𝑅

3. La parte de la clotoide a usar es un segmento que no permite apreciar la

forma de la espiral.

4. La fórmula de la Clotoide es sencilla; el producto del radio de curvatura

(R) por la longitud (L) desde el origen hasta ese punto, es constante (K2)

donde K se denomina el parámetro de la curva.

L

Tc Le

Para K = 8 R L RxL K2

2 32 64

4 16 64

8 8 64

16 4 64

5. La magnitud de K se denomina; parámetro de la curva.

6. Todas las Clotoides poseen la misma forma pero distinto tamaño, son

homotéticas con K, pueden desarrollarse tablas para la clotoide unitaria

K=1 y obtener valores para otra clotoide por simple proporción.

7. Las Clotoides de parámetro grande aumentan más lentamente su

curvatura, siendo apropiadas para marcha rápida de vehículos. Las de

parámetro pequeño aumentan rápidamente la curvatura, siendo aptas

para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado.

R x L = K2

USOS DE LAS CLOTOIDES

a) Transición entre recta y arco de círculo.

b) Enlace de círculos.

c) Como curva de transición total.

d) Curva revertida.

e) Problemas de distribuidores.

f) Clotoide como curva compuesta.

ECUACIONES DE LA CLOTOIDE

Los radios de curvatura están en razón inversa a los desarrollos de sus

respectivos arcos.

R X L = K2

Donde:

L= longitud del arco.

R= radio de curvatura.

K= parámetro.

Para reducir el valor del parámetro se hace:

Considérese la siguiente figura:

Considérese un elemento diferencial dl:

dl = Rdθ dθ = 𝑑𝑙

𝑅

R = 𝐾2

𝐿 dθ =

𝐿 𝑑𝑙

𝐾2

𝜃 = 𝐿2

2 𝐾2

Sustituyendo K2 = R x L Integrando:

𝜃 =𝐿2

2𝑅𝑙 𝜃 =

𝐿

2𝑅 𝐾2 =

𝐿2

2𝜃 𝐾 =

𝐿

√2𝜃

En el punto paramétrico o punto característico L = R:

𝜃 = 1

2 𝑥

180𝑜

𝛱 28o 38' 52,4”

Refiriendo la clotoide a un sistema de coordenadas cuyos ejes son la tangente y

su perpendicular en el origen, donde L = 0

𝑑𝑥 = 𝑑𝑙 cos 𝜃

𝑑𝑦 = 𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑥 = ∫ 𝑑𝑙 cos 𝜃𝐿

0 𝑦 = ∫ 𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝐿

0

Desarrollando en serie cos θ y sen θ e integrando se obtiene:

a. Ecuaciones que definen la clotoide por su longitud.

𝑥 = 𝑙 ( 1 − 𝜃2

5 𝑥 2! +

𝜃4

9 𝑥 4! −

𝜃6

13 𝑥 6!+. . )

𝑦 = 𝑙 ( 𝜃

3−

𝜃3

7 𝑥 3! +

𝜃5

11 𝑥 5! −

𝜃7

15 𝑥 7!+. . )

b. Definen a la clotoide por su parámetro. Sustituyendo 𝑙 = 𝐾 √2 𝜃

𝑥 = 𝐾 [ √2 𝜃 ( 1 − 𝜃2

5 𝑥 2! +

𝜃4

9 𝑥 4! −

𝜃6

13 𝑥 6!+. . )]

𝑦 = 𝐾 [ √2 𝜃 ( 𝜃

3−

𝜃3

7 𝑥 3! +

𝜃5

11 𝑥 5! −

𝜃7

15 𝑥 7!+. . )]

ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE

Puntos:

TE = tangente - espiral.

ET = espiral – tangente.

EC = espiral – curva.

CE = curva – espiral.

PC = punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular.

PI = punto de intersección.

Ángulos:

Δo = ángulo de deflexión entre tangentes.

Θ = deflexión entre tangente de entrada y tangente de un punto.

Θe = deflexión entre tangentes de extremos de la clotoide.

Distancias:

Rc = radio de la curva circular.

R = radio de la curvatura de la espiral en cualquier punto.

Le = longitud total de la espiral.

L = longitud de la espiral desde el origen a un punto.

TL = tangente larga.

TC = tangente corta.

TT = tangente total.

Xc, Yc = coordenadas del EC.

K, P = coordenadas de PC

CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE

Topografía:

Vproy. Rc

Dato ℓe

R x ℓ = Rc x ℓe

Radio a una longitud ℓ del origen

θ = ℓ²

2 𝑘² en EC θe =

ℓe²

2 𝑘² θe =

ℓe²

2 𝑅𝑐 ℓe

Radianes

ℓe = 2 Rc θe

Rc = ℓe

2 𝜃e

R = 𝑅𝑐 . ℓe

ℓ

Θe = ℓe

2 𝑅𝑐 ℓe

θ = ℓ²

2 𝑅𝑐 ℓe =

ℓ²

2 (ℓe

2 𝜃𝑒)ℓe

= ℓ²

ℓe² θe = (

ℓ

ℓe)² θe

Angulo de deflexión a una distancia ℓ del origen

Es una transición de tipo clotoide – curva circular – clotoide

Υ = Δ c = Δ − 2θe

𝐿 = 𝑙𝑒 + 𝑙𝑐 + 𝑙𝑒 = 2𝑙𝑒 + 𝑙𝑐

𝐿 = 4 𝑅𝑐 𝜃𝑒 + 𝑅𝑐 Δ𝑐

𝐿 = 𝑅𝑒 (4𝜃𝑒 + δ)

Siendo L la longitud de la curva, 𝜃𝑒 𝑦 Υ en radianes

Sistema de coordenadas cartesianas (X, Y) en el origen de la clotoide.

×= 𝑙 (1 − 𝜃

10

2

+ 𝜃

216

4

− … )

𝑌 = 𝑙 ( 𝜃

3−

𝜃

𝑌2

3+ … )

Para EC Xc, Yc se obtienen haciendo l = le

Sistema de coordenadas polares de un punto (Ø, C):

𝐶 = √𝑥2 + 𝑦2

Ø = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔[ 𝑦

𝑥 ]

Donde:

C= cuerda

Φ= ángulo de la cuerda

Para Ec:

CL = √𝑋𝑐² + 𝑌𝑐²

θ = (ℓ

ℓe)² θe

Φe = arcTang (𝑌𝑐

𝑋𝑐)

Si la curva circular se prolonga en θe se obtiene la coordenada 𝓀, 𝜌

𝓀 = 𝑋𝑐 − 𝑅𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒

𝜌 = 𝑌𝑐 − 𝑅𝑐 ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒)

k es aproximadamente igual a la mitad d la longitud de la clotoide.

La clotoide bisecta a ρ en partes prácticamente iguales.

Para Clotoides iguales a la entrada y salida:

Tangente Total

Ee = (ρ + Rc) Sec (Δ/2) – Rc

Externa

En términos de la Semitangente y la Externa de la curva circular:

Tt = k + (Rc + ρ) Tang (Δ/2)

Ee = Rc (Sec (Δ/2) – 1) + ρ Sec (Δ/2)

Tt = T+ ρ Sen (Δ/2) + k

Ee = E+ ρ Sec (Δ/2)

Para calcular la Tangente Larga y la Corta:

Valores de X, Y Tablas, Programas

LONGITUD MÍNIMA DE LA CLOTOIDE

Cambio de dirección del vehículo.

Tres Criterios Transiciones del peralte.

Aparición de la fuerza centrifuga.

1. Le ≥ 30m

2. Le ≥ a x p x n

3. Le ≥ 0,0522 𝑉𝑝³

𝑅𝑐 - 6,64 Vp e (Smirnoff)

Donde:

a = ancho del canal (m)

e = peralte (decimales)

n = 1

𝑆 s: pendiente borde exterior calzada

n = 200

3 +

5

3 Vp

Le (m)

Vp = Velocidad de Proyecto (Km/h)

Rc = Radio de la curva (m)

TL = Xc – Yc Cotg θe

Tc = 𝑌𝑐

𝑆𝑒𝑛𝜃𝑒