Curvas especiales
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CURVAS ESPECIALES En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de línea continua, de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. HOJA DE DESCARTES Es la cúbica de ecuación implícita x 3 + y 3 − 3axy = 0,a = 1 , curva que fue ideada por Descartes en 1638 y estudiada por él, Roverbal, Huyghens, Hudde y otros geómetras. Que también puede ser descrita explícitamente en coordenadas polares como:
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CURVAS ESPECIALES
En matemáticas, el concepto de curva intenta capturar la idea intuitiva de línea
continua, de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos
sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas
abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria.
HOJA DE DESCARTES
Es la cúbica de ecuación implícita x3 + y3 − 3axy = 0,a = 1 , curva que fue ideada
por Descartes en 1638 y estudiada por él, Roverbal, Huyghens, Hudde y otros
geómetras.
Que también puede ser descrita explícitamente en coordenadas polares como:
Ecuación de la tangente
Usando el método de diferenciación implícita, la ecuación anterior puede
resolverse para y':
Usando la forma punto-pendiente de la ecuación de una línea, puede hallarse una
ecuación para la tangente de la curva en (x1,y1):
Tangentes horizontal y vertical
La línea tangente del folium de Descartes es horizontal cuando ay − x2 = 0. Por
tanto, la línea tangente es horizontal cuando:
x6 = 2a3x3
La línea tangente del folium de Descartes es vertical cuando y2 − ax = 0. Por
tanto, la línea tangente es vertical cuando:
y6 = 2a3y3
Asíntota
La curva tiene una asíntota:
x + y + a = 0
La asíntota tiene un gradiente de -1 y una intersección en x y en y de -a.
Si se resuelve x3 + y3 = 3axy para y en función de x, se obtienen las siguientes
funciones:
Su grafica es:
CISOIDE
Se llama cisoide a la curva generada por la suma de los radios vectores de dos
curvas previa Sean C1 y C2 dos curvas definidas por las siguientes ecuaciones en
coordenadas polares:
y
Entonces, C1 y C2 generan las tres cisoides de ecuaciones:
Su grafica es:
Cisoide de Diocles
La cisoide de Diocles es la cisoide generada por el radio vector de una recta
paralela al eje OY (Curva 1), que pasa por el punto (2a,0), al que se le resta el
radio vector de una circunferencia de radio a y centro en (0,a) (Curva 2).
Su ecuación, en coordenadas polares es:
Y en cartesianas:
CONCOIDE
Se llama concoide a una cisoide cuya segunda curva es una circunferencia
centrada en el origen.Si a es el radio de esta circunferencia, la concoide de una
curva ρ=ρ1 (θ) tiene, en coordenadas polares, las expresiones:
CONCOIDE DE NICOMEDES
La concoide de Nicomedes es la concoide de la recta, llamada "base".
Se pondrá la base perpendicular al eje polar, a una distancia b del polo y el radio
de la circunferencia será h. Entonces, la ecuación de la concoide de Nicomedes
es
que, en coordenadas cartesianas, queda:
su grafica es:
CARACOL DE PASCAL
El caracol o "limaçon" de Pascal es la concoide de una circunferencia que pase
por el polo. Es un tipo de epitrocoide. Un caso particular de limaçon son las
cardioides.
Por tanto, su ecuación en coordenadas polares es:
Cuando h=2 a, se obtiene la cardioide:
Su grafica es:
Epitrocoide
El caracol de Pascal es un caso especial de epitrocoide, cuando el círculo fijado y
el rodante tiene igual radio, esto es, la traza de un unto Q fijado a un círculo que
rueda sobre otro círculo del mismo radio.
CARDIOIDE
Se llama cardioide a la curva cuya ecuación polar es: ρ=a(1+cos θ), por su
semejanza con el dibujo de un corazón.La cardioide es una curva ruleta del tipo
epicicloide, con k=1; pero también es un caracol de Pascal, cuando 2a=h
Cicloide
Una cicloide es una curva que describe un punto perteneciente a una rueda que
gira sin deslizarse. Con más precisión se puede decir que es el lugar geométrico
generado por el punto de una llanta o circunferencia rodando sobre una línea
recta.
Representación paramétrica
Epicicloide
La epicicloide es la curva que sigue la trayectoria de un punto unido a una
circunferencia que rueda, sin deslizamiento por el exterior de otra circunferencia.
Es un tipo de ruleta cicloidal.
Hipocicloide
La hipocicloide es una curva generada por la trayectoria que describe un punto
situado sobre una circunferencia que rueda, sin deslizamiento por el interior de
otra circunferencia. Es un tipo de ruleta cicloidal.La hipocicloide es comparable a
un cicloide con la diferencia que la circunferencia no rueda sobre una línea sino
en el interior de un círculo.
Considerando la figura podemos escribir:
