Curvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polaresCurvas planas en coordenadas polares

Coordenadas polaresCoordenadas polaresPara construir el sistema de coordenadas polares,fijamos un punto , que llamamos polo y unasemirecta llamado eje polar.

O

distancia dirigida de a O P

Ángulo orientado en sentido contrario al de avancede las agujas del reloj, desde el eje polar hasta elsegmento O P

r =θ =

Nota:Nota:Con coordenadas cartesianas, cada punto tiene unarepresentación única. Esto no sucede con coordenadaspolares.

4 4π π π

Las expresiones:

representan el mismo punto.

4 42, 2, 2,3 6 3

π π π − −

Relación entre coordenadas polaresRelación entre coordenadas polaresy rectangulares.y rectangulares.

Estas ecuaciones nos permiten pasar de unas coordenadas a otras.

2 2 2

cos tan

sin

xx r

yy r

r x y

θ θ

θ

= = ⇒ = = +

Ejemplos:Ejemplos:

Recta

2 3 1x y− =En cartesianas:

En polares: 1

2 cos 3 sinr

θ θ=

−

Circunferencia Circunferencia

2 2 4 0x y y+ − =En cartesianas:

En polares: 4 sinr θ=

SimetríasSimetrías

Respecto a la recta

Dada la gráfica es simétrica respecto alo siguiente si la sustitución indicada produce una ecuación equivalente:

( ) ( ), por ,r rθ θ− −Sustituir

2

πθ =

( )r f θ=

( ) ( ), por ,r rθ θ− −Sustituir

Respecto del eje polar

( ) ( ), por ,r rθ θ−Sustituir

Respecto del polo

( ) ( ), por ,r rθ θ−Sustituir

IntersecciónIntersección

Dada las gráficas y

Y hallando los valores de que la verifican.

( )r f θ=

θ

( )r g θ=

Los puntos de corte se obtienen igualando las ecuaciones

( ) ( )f gθ θ=

Y hallando los valores de que la verifican. θ

No obstante, como un punto admite diferentes representaciones en coordenadas polares, puede haber puntos de corte que no aparezcan al igualar las ecuaciones, al no producirse con las mismas coordenadas.

Ejemplo: Hallar los puntos de corte de las curvas

1 2 cos 1r y rθ= − =

Los puntos de corte son:

31 2 cos 1 cos 0

2 2y

π πθ θ θ θ− = ⇒ = ⇒ = =

1 2 cos 1r y rθ= − =

31, 1,2 2

yπ π

Hay un tercer punto de corteHay un tercer punto de cortepero no se produce con lasmismas coordenadas.

En se produce en 1r = ( )1,πEn se produce en 1 2cosr θ= −

( )1, 0−

Pendiente de la recta tangente Pendiente de la recta tangente

Sabemos que la pendiente de la recta tangente a unafunción viene dada por dy

dx

Si tenemos:

( )y h x=

( ) ( )( )

cos cos

sin sin

x r x fr f

y r y f

θ θ θθ

θ θ θ

= = = ⇒ ⇒ = = ( )sin siny r y fθ θ θ = =

( ) ( )( ) ( )' sin cos

' cos sin

dyf fdy d

dx dx f f

d

θ θ θ θθ

θ θ θ θ

θ

+= =

−

Luego:

Las soluciones de:

( ) ( )0 ' sin cos 0dy

f fd

θ θ θ θθ= ⇒ + =

dan tangentes horizontales.

Las soluciones de:

dx ( ) ( )0 ' cos sin 0dx

f fd

θ θ θ θθ= ⇒ − =

dan tangentes verticales.

Si no podemos sacar conclusiones.0 0dy dx

yd dθ θ= =

Tangente en el polo Tangente en el polo

Si la función pasa por el polo para θ α=

Tenemos:

( )r f θ=

( )( )' sin

tan' cos

fdy

dx f

α αα

α α= =

y ( )' 0f α ≠

( )' cosf α α

Por tanto la recta es tangente a θ α= ( )r f θ=

Nota: Una curva en polar puede pasar por el polo másde una vez y puede tener más de una tangente.

Área en coordenadas polares Área en coordenadas polares

El área de un sector circular de radio y ángulo r θ

21

2S rθ=viene dada por

Si consideramos la gráfica de dividida enInfinitos sectores circulares, obtenemos:

( )r f θ=

Área en coordenadas polares Área en coordenadas polares

El área de ( )r f θ=

( ) ( )2 2

1

1 1lim2 2

n

in

i

S f f dβ

α

θ θ θ θ→∞

=

= ∆ =∑ ∫viene dada por:

Longitud de arco en polares Longitud de arco en polares

En paramétricas el elemento de arco viene dado por:

( )( ) ( )( )2 2

' 'ds x t y t dt= +

( ) ( ) ( ) ( )cos ' ' cos sinx f x f fθ θ θ θ θ θ θ = = −

Y como:

( ) ( )2 2

's f f dβ

α

θ θ θ = + ∫Luego:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

cos ' ' cos sin

sin ' ' sin cos

x f x f f

y f y f f

θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ

= = − ⇒ = = +

Algunas curvas en polares Algunas curvas en polares

LemniscataLemniscata ( )3 cos 2r θ=

Caracol de PascalCaracol de Pascal 1 2 sinr θ= +

Algunas curvas en polares Algunas curvas en polares

RosáceaRosácea ( )2 sin 3r θ=

RosáceaRosácea ( )2 cos 4r θ=

Algunas curvas en polares Algunas curvas en polares

BifolioBifolio ( ) ( )26 sin cosr θ θ=

LituusLituus2

rθ

=

Algunas curvas en polares Algunas curvas en polares

ElipseElipse4

3 2 cosr

θ

−=+

HipérbolaHipérbola 1

1 2cosr

θ

−=+

Algunas curvas en polares Algunas curvas en polares

ParábolaParábola1

1 cosr

θ

−=+

CardioideCardioide 1 cosr θ= +