Curso de SemiconductoresSesión 3

Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng.E-mail: joseaedo@udea.edu.co

Departamento de Ingeniería ElectrónicaGrupo de Microelectrónica - Control

Universidad de Antioquia

Números cuánticos

Átomos con múltiples electrones:

Considerando la energía potencial EP = -Zq2/40r

La solución es similar: los estados son determinados por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms)

Aproximadamente este modelo serviría para explicar las características generales del espectro atómico.

En 1925, Wolfgang Pauli, estableció el principio de exclusión:

“Dos electrones de un átomo no pueden tener valores identicos para el conjunto de los 4 números cuánticos (n, l, ml , ms )”

O“Dos electrones en un átomo no pueden estar en el

mismo estado cuántico”.

Números cuánticos

Notación en Capas y subcapas:

Es una nomenclatura para describir los estados cuánticos:

Los estados con el mismo n se dice que pertenecen a la misma capa.

Se denota: n 1 2 3 4 …. capa K L M N ..

Una capa se divide en subcapas de acuerdo con el número cuántico

l: l 0 1 2 3 4 5 … subcapa s p d f g h …

Números cuánticos

Capa n>0 0≤ l ≤ n-1 -l ≤ ml ≤ l ms=±1/2 subcapas #estad

n l ml ms

K 1 0 0 ±1/2 1s 2

0 0 ±1/2 2s 2 L 2 1 0 ±1/2 1 -1 ±1/2 2p 6 1 +1 ±1/2

M 3 3s 2 3p 6 3d 10

Notación en capas y subcapas: Triangulo de Paschen

1s 2s 3s 4s 5s 6s . . . . .

2p 3p 4p 5p 6p . . . . .

3d 4d 5d 6d . . . . . 4f 5f 6f . . . . . 5g 6g . . . . . . 6h . . . . . . .

Ejemplo: Carbono Z=6, notación: 1s2 2s2 2p2

silicio Z= 14, notación: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p2

Consideraciones para sólidos con múltiples electrones

Su comportamiento es similar al modelo del átomo de hidrógeno, con algunos diferencias:

1. Los niveles de energía establecidos por el modelo de un solo

electrón (para una capa dada) son menores que los valores reales.

2. Los electrones con el mismo número cuántico n y con diferente

l no tienen los mismos valores de energía: electrones s (l=0) tienen menor energía que

electrones p (l=1)3. Electrones con los mismos números cuánticos n y l

pero con diferentes ml y ms tienen niveles de energía con

pequeñas diferencias.4. Teóricamente cada electrón en un sólido representa

un estado definido por los cuatro números cuánticos y tiene un nivel de energía diferente de cualquier otro electrón.

Consideraciones para sólidos con múltiples electrones

Esquemáticamente los niveles de energía serían:

Localización de los niveles de energía en un átomo simple

Sub-divisiones de los niveles de energía:

Supongamos ahora que acercamos átomos (del mismo elemento) que inicialmente están aislados a distancias comparables con el tamaño del átomo ?.

Supongamos que acercamos 5 átomos: hay un “split” de los niveles de energía para alojar todos los electrones:

n=3

n=2

n=1

R1 R2 R3 Separación atómica

energía

Sub-divisiones de los niveles de energía:

Tomemos ahora un átomo de silicio que tendría 14 niveles de energía correspondientes a 14 electrones. En un cm3 hay

Aproximadamente 1022 átomos, lo que significa que hay un “split” considerable de los niveles de energía, principalmente para los niveles más externos: 3s y 3p

SeparaciónReal de losátomos

3p

3s

Sub-divisiones de los niveles de energía:

En el caso de otro materiales como el cobre, se forma un continuo de energías permitidas, por ejemplo el Cu:

SeparaciónReal de losátomos

3p

4s

3d

La formación de las bandas de energía

Una evidencia de la formación de las bandas de energía es a través del modelo de Kronig-Penney

x

L

a

x=0

n=1n=2

n=3

W

L

Una evidencia de la formación de las bandas de energía aparece

En el modelo de Kronig-Penny

De acuerdo con las ecuaciones anteriores:

/L 2/L/L -/L

/L /L

La formación de las bandas de energía

El concepto de masa efectiva m* del electrón

Al someter a un campo eléctrico ξ, al electrón se le aplica una

fuerza qξ

se puede mostrar que dVg/dt = (42/h2) (d2E/dK2) qξ

aceleración masa efectiva (1/m*) fuerza

La masa efectiva esta dada por: (1/m*) = (42/h2) (d2E/dK2)

Ejercicio: deducir la expresión anterior para la masa efectiva del electrón libre

Tomando una parte de las solución del modelo de Kronig-Penny :

/L/L

Banda prohibida

Banda prohibidabanda1

banda2

banda3(1/m*)=(42/h2) (d2E/dK2)

Masa efectiva:

(1/m*)>0

(1/m*)<0

“hueco”

Sub-divisiones de los niveles de energía: formación de las bandas

Tomemos ahora un átomo de silicio que tendría 14 niveles de energía correspondientes a 14 electrones. En un cm3 hay

Aproximadamente 1022 átomos, lo que significa que hay un “split” considerable de los niveles de energía, principalmente para los niveles más externos: 3s y 3p

SeparaciónReal de losátomos

3p

3s

R0

energía

Energía prohibidaGap de energía

Silicio: gap=1.12eV a T=300 K

Diagrama deBandas deenergía

Sub-divisiones de los niveles de energía:

En el caso de materiales conductores como el cobre, se forma un continuo de energías permitidas, por ejemplo el Cu:

SeparaciónReal de losátomos

3p

4s

3d

R0

Energía

Separación en la red

Sub-divisiones de los niveles de energía:

En el caso de un material aislante como el SiO2:

SeparaciónReal de losátomos

Separación en la red

Energía

R0

SiO2

Gap: 8 eV

Diagrama deBandas deenergía

Diagrama de bandas de energía para el silicio:

Caso del silicio Se asume N átomos:

SeparaciónReal de losátomos

R0

Ro

3s

3pBanda deconducción

Banda deValencia

Características de los diagramas de bandas de energía para los semiconductores y aisladores:

- Existe una banda de energías prohibidas (“gap”) Estas energías no las pueden tomar los electrones pertenecientes a los átomos.

- La banda con mayor energía recibe el nombre de la banda de conducción.

- La banda siguiente, después de la banda prohibida se le denomina la banda de valencia.

Características de los diagramas de bandas de energía para los semiconductores y aisladores:

- El ancho ( en valores de energía) de la banda prohibida depende de varios factores:- La constante de la red.- Los niveles de energía alrededor de la banda

prohibida:Niveles bajos de energía producen bandas

angostas con“Gaps” anchos. Niveles altos de energía producen

bandas anchas con “gaps” angostos.- El ancho de “gap” (ventana de energías

prohibidas) decrece con al temperatura.

Dependencia del ancho del “Gap” con la temperatura para los semiconductores típicos:

Fuente: C. D., Thurmond, “The standard thermodynamic function of the formation of electrons and holes in Ge, Si, GaAs and GaP”, Journal of Electrchem. Society, 122, 1133 (1975)

Banda deconducción

Banda devalencia

Ec

EvEg

)()(

)0()(2

eVT

TEgTEg

Material Eg(0) Eg(300)

GaAs 1.519 5.405x10-4 204 1.422 Si 1.17 4.73x10-4 634 1.125 Ge 0.743 4.774x10-4 235 0.663

Nota: T es dada en grados kelvin

Masas efectivas

La masa efectiva es proporcional al segunda derivada de la

Energía con relación a K.

m* (d2E/dK2)-1

E E

KK

Eg Eg

EC

Ev

EC

Ev

K

GaAs Si

Observe: un electrón paraPasar de Ev a Ec dependiendodel material requiere adquirirun K además de E

Masa efectiva

Masa efectivas para los semiconductores más usados:

Si Ge GaAs

mn*/m0 1.18 0.55 0.065 mp*/m0 0.81 0.37 0.52

T = 300 Kelvin

Modelo de enlace covalente

Los 4 últimos electrones del Si son usados para formar un enlace covalente ( a temperatura muy baja) :

ElectronesDe valencia 4 (3s2 3p2)

Ec

EvBanda deValencia completamentellena