Curso de Semiconductores SESIÓN 2-3 Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng. E-mail:...

Curso de Semiconductores

SESIÓN 2-3Prof. José Edinson Aedo Cobo, Msc. Dr. Eng.

E-mail: [email protected] de Ingeniería Electrónica

Grupo de Microelectrónica - ControlUniversidad de Antioquia

Repaso de algunos conceptos de física moderna

Es necesario recordar algunos conceptos fundamentales. El

Objetivo de esta sesión es recordar los siguientes temas:

- El efecto fotoeléctrico.- Modelo del átomo de hidrogeno (modelo cuantizado

de Bohr).- Ecuación de Schrodinger.

Repaso de algunos tópicos de física moderna

El efecto fotoeléctrico

La interacción de la luz con la materia constituía comienzos del siglo XX uno de los problemas más difíciles de resolver a luz de la física clásica.

La descripción básica del efecto fotoeléctrico:

“Es la liberación de electrones desde la superficie de un material cuando es irradiado por una radiación electromagnética (luz)”

Fue observado por Heinrich Hertz en 1887.



Experimento de J. Thomson y Philipp Lernard (1898)

Para que un electrónescape necesita queEl electrón reciba unaCantidad mínima de Energía(función trabajo)

Vf Potencial de frenado



Hechos físicos:

• Existe una frecuencia umbral por debajo de la cual no se

emiten electrones de la superficie. <la corriente es cero (es independiente de

la intensidad de la luz)

• Para > 0 los electrones presentan una energía cinética

máxima (Kmax), de tal forma que si Vf es potencial de frenado:

eVf = Kmax (no de depende la intensidad de la

luz)



Hechos físicos:

• El valor de la energía cinética máxima depende linealmente de la frecuencia de luz incidente.

• Los experimentos mostraban que no existía un

retraso apreciable entre la incidencia de la luz sobre la superficie y la emisión de los electrones.



En 1905, Eisntein propuso la teoría corpuscular de la luz. Se baso en la hipótesis de Max Planck (1901):

“ La radiación emitida o absorbida por un cuerpo (calentado) es en unidades discretas llamadas fotones”. La energía emitida es restringida a ciertos valores discretos dados por:

En = nh para n= 1,2.3 … frecuencia de la radiación. h constante de Planck (6.62x10-34 J-S)



Eisntein propuso que la luz monocromática de frecuencia que se propaga en el vacío consiste de un flujo de partículas o cuantos llamados fotones. Los fotones viajan a la velocidad de la luz y tienen un valor discreto de energía dado por:

E = h donde h es la constante de Planck y es la frecuencia.

Los fotones interaccionan con los electrones intercambiando

energía.



Explicación:

1. Para que electrón escape del metal debe tener al menos una

energía igual a la función trabajo . Si la energía h adquirida por electrón al absorber el fotón es menor que este

valor el electrón no puede ser “arrancado”. Luego:

0 = h donde 0 es la frecuencia umbral el electrón puede ser “arrancado” si >

0



Explicación:

2. Si la radiación incidente tiene frecuencia la energía cinética que adquiere el electrón será:

Kmax = h- 0

En el experimento: Como Kmax = eVf Siendo Vf el potencial eléctrico

aplicado lo que se llamó potencial de frenado.

luego: Vf = (h/e)( – 0)



Explicación:

Considerando que = c/para los fotones)

Vf = (hc/e)( 1/– 1/0)


Resumen de la teoría dual de la luz

La luz consiste de un flujo de partículas llamadas fotones que

viajan a la velocidad de la luz. Estas partículas tienen asociada

una cantidad de movimiento y una energía. La masa asociada es

cero Ecuaciones importantes: E = (p2c2 + m2c4)1/2 con

m=0 E = pc (p momentum y c V. de luz)

como E = h y = c/entonces p= E/c = h/c = h/


Ejercicio:

Si sobre la superficie del Na cuya función trabajo es = 3.7x10-19 J = 2.3 eV, incide una luz monocromática con

unalongitud de onda de 450 nm determinar:

1. La energía de los fotones. 2. La energía cinética máxima de los electrones emitidos. 3. La frecuencia umbral para el Na. 4. El módulo de la cantidad de movimiento de los fotones

de la luz incidente.


Modelos de Bohr del átomo de hidrogeno

Desarrolló dos modelos:

- Modelo clásico. Basado en la física clásica.- Modelo cuantizado. Donde incluye la teoría cuántica de

Planck

Modelo clásico: (“modelo planetario del átomo”)

- Existe una fuerza electrostática debido a las cargas.- Existe un fuerza centrípeta debido al movimiento

circular.



r

Existe una fuerza atractiva:

F = -q2/(40r2)

0 es permitividad del espacio vacío

El campo eléctrico definido como la fuerzaPor unidad de carga:

E = q/(40r2 ) V/m



r

El potencial electrostática debido alCampo eléctrico esta dado por:

v = Edx

Considerando un simetría esférica: v = qdr/(40r2) = q/(40r)

x

r



r

La energía potencial a la una distancia r desde el núcleo: Ep = V(-q) = -q2/(40r)

La fuerza centrípeta sería: mv2/r

La aceleración angular es: v2/r La fuerza eléctrica se balancea con la fuerza centrípeta en

magnitud: mv2/r = q2/(40r2)



r

Luego de la ecuación anterior se puede calcular la energía cinética:

EK = mv2/2 = q2/(80r)

La energía total sería:

Et = Ek + Ep = q2/(80r) + -q2/(40r)

= - q2/(80r)

Cuál era problema con este modelo ?


Modelo cuantizado Bohr estableció los siguientes postulados

1. Los electrones giran alrededor del núcleo únicamente en ciertas orbitas circulares definidas. Cada orbita corresponde a cierto nivel de energía.

2. Estas orbitas son llamadas estacionarias. Los electrones pueden

ocupar estas orbitas sin radiar ninguna energía.3. La transferencia de un electrón desde una orbita de baja

energía a otra de mayor energía requiere de la absorción de radiación por el átomo, mientras que la transferencia de una órbita de mayor energía a una de menor energía resulta en la emisión de radiación. Luego:

E2 – E1 = hSiendo la frecuencia de la radiación


Modelo Cuantizado

Bohr estableció los siguientes postulados

4. Las únicas orbitas estacionarias permitidas de los electrones son aquellas en las cuales el momentum orbital angular está

cuantizado. Siendo un múltiplo entero de h/2 . Luego:

(1) mvrn = nh/2 con n = 1,2,3,…. (número cuántico P)

considerando que: mv2/r = q2/(40r2)

se calcula: v= (q2/(40rm))1/2

Sustituyendo en (1) y despejando rn se tiene: rn =n2h20/(mq2)


Modelo cuantizado

Bohr estableció los siguientes postulados

4. Con rn =n2h20/(mq2) y sabiendo que la energía total es

Et= - q2/(80r) sustituyendo el valor de r tenemos que

En = -q4m /(8n2h202)

Considerando la energía en electrón voltios:

En (eV) = -13.6/n2 con n= 1,2,3 …


A luz de la física clásica lo siguiente no era conciliable:

Amplitud (A) velocidad de fase (w) Onda Longitud de onda (λ) Frecuencia (Intensidad (I)

Velocidad (v)Partícula Energía (E) Momentum (p) Masa (m)


Hipotesis de Broglie

En 1924, postulo que las partículas tales como los electrones se

comportan (o manifiestan propiedades) como ondas,

Similar a los fotones:Se cumplen las siguientes relaciones para las “ondas de

materia”:

= E / h

= h / p

Lectura interesante: En que consistió el experimento de C. Davisson y L.

Germer (de los Laboratorios Bell), con el cual mostraron

experimentalmente la hipótesis de Broglie.


Que pasa entonces con el modelo cuantizado de Bohr del átomo

de hidrógeno ?.

Cuál es la onda asociada con el electrón que gira alrededor del

núcleo ?Asumamos una onda asociada con el electrón de tal

forma que:

2r = 2r = 2


En forma general podemos establecer:

2r = n con n= 1, 2, 3, ….

Como = h / p (Broglie) entonces la ecuación anterior queda:

rp = nh/2

como p = mv, podemos concluir que:

mvr = nh/2con n= 1, 2, 3, ….

“Esta es precisamente una de las hipótisis de Bohr”


Igualmente:

si es la frecuencia asociada a la onda, entonces la velocidad

de fase se define:

w =

Usando las hipótesis de Broglie: = E / h y = h / p

w = E/ p

Asumiendo que: E = (1/2)mv2 = p2/2m

entonces w = p /2m luego w = v/2


Vamos a asumir la energía negativa, ya que es debida al enlace

(interacción eléctrica con el núcleo):

El valor de la energía debe ser: E = - h como: = w / y w= v/2

Entonces: E = - hv/2

Como: = 2r/n la ecuación de la energía quedará:

E = - nhv/4r,


E = - nhv/4r,

De acuerdo con la cuantización del momentum se estableció que las

orbitas circulares obedecen a las siguientes ecuaciones:

r = n2h20/(mq2) y v = q2/(20nh) Luego la energía quedaría:

E = -q4m/(8n2h202) que es la misma establecida por

el el modelo de Bohr !!


La ecuación de SchrÖdinger

Es una de las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica.

Si la función de onda asociada a una partícula es (x,y,z) la

Ecuación de onda de estado estacionario es:

2 + (82m/h2)(E – W)= 0

siendo m la masa de la partícula. W es la energía potencial. E es la energía total.



Interpretación de (x,y,z):

Consideremos un volumen elemental dV = dxdydz centrado en el punto (x,y,z), la probabilidad

diferencial dP de que la partícula se encuentre en ese volumen

esta dada por:

dP = |(x,y,z)|2 dV

Densidad de probabilidadDensidad de probabilidad



Interpretación de (x,y,z):

La probabilidad PV de que la partícula se encuentre en un volumen V está dada por:

PV = ∫v |(x,y,z)|2 dV

de lo anterior se tiene que:

∫∞ |(x,y,z)|2 dV = 1



Para el cálculo de (x,y,z) se debe tener en cuenta:

1. Que la función (x,y,z) y su primer derivada debe se finita

y continua.

2. La densidad de probabilidad (probabilidad por unidad de longitud en el caso unidimensional, o la probabilidad por unidad de volumen en el caso tridimensional) esta dada

por:


Muy importante para solucionar el ecuación de onda en caso en que la energía potencial es periódica:

El teorema de Bloch Establece que si un sistema presenta un energía potencial

periódica (con periodo a), entonces las soluciones de la ecuación de onda son de la forma:

x) = k(x)eiKx donde k(x) es periodica con periodo a

o sea que k(x)= k(x+a)= k(x+na)


Problemas a resolver:

1. Encontrar la ecuación de onda para los siguientes casos:

2. Encontrar la ecuación de onda asociada

E

W=∞

W=0x=0 x=L

El electrón esta confinado enuna caja de potencial

x=0

W=0

WRegión 1

Región 2

El electrón se mueve en las Dos regiones


Problemas a resolver:

3. Encontrar la ecuación de onda asociada:

W

x=0 x=a

El electrón se encuentra en estaregión


r

4. Encontrar la ecuación de onda asociada para átomo de hidrogeno:

( , , )r - q

q

22 2

2

2 2 2 2

1 1( ) ( )

1 8[ ( )] 0

r senr r r r sen

E V rr sen h

Ecuación de SchrÖdinger en coordenadas esféricas:

La energía potencial está dada por:EP = -q2/40r


( , , ) ( ). ( ). ( ) r R r

2

0

( )4

qV r

r

Mm

M m

22

2 2 2 2 2

2

1 1 1( ) ( )

8[ ( )] 0

r senr r r r sen r sen

E V rh

Con y

Solución (separación de variables):

Masa reducida E. Potencial

x

a

L

x=0

n=1n=2

n=3

Epo

a

5. Encontrar la ecuación de onda asociada a un electrón en medio

de una energía potencias que varia periódicamente (modelo de Kronig-Penny)

b= a-L



0 0W con x a 0,W en x x a

2

20

d

dx

2k

Problema de la caja de potencial:

E

W=∞

W=0

x=0 x=a

Un electrón

W=∞ Energía potencial

2

2

8

mEk

h

Con:

Solución: ( )Asen kx


Referencia interesante en la WEB:http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hydsch.html

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