CURSO 2017-18 17-01-2018

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RESISTENCIA DE MATERIALES EXAMEN FINAL / PRUEBA DE EVALUACIÓN CONTINUA 3

PROBLEMA 1 (10 puntos)

Fecha de publicación de la preacta: 2 de febrero de 2018 Fecha de revisión del examen: 9 de febrero de 2018 a las 17:00

El soporte de la figura de 3 m de altura, empotrado en su base y libre en su extremo superior, está compuesto por un tubo hueco cilíndrico de 20 cm de diámetro exterior y 4 mm de espesor en cuyo interior se aloja un perfil HEB-120. Ambos perfiles están unidos en su extremo superior por un dispositivo que permite el giro relativo entre ellos respecto al eje vertical del soporte (eje X) pero impide el resto de movimientos relativos. En el extremo superior del tubo se aplican dos

fuerzas kiP 7550 y kiQ 7550 (en kN), tal y como se indica en la figura, a través de

las barras AB y CD de 30 cm de longitud, dirección Y e infinitamente rígidas. Se pide:

1) Determinar los esfuerzos a que están sometidos tanto el tubo hueco como el perfil HEB, indicando valores, signos y unidades.

2) Calcular las tensiones máximas normal y tangencial que aparecen en las secciones transversales de ambos perfiles.

3) Calcular los movimientos, desplazamientos en mm y giros en rad, del extremo superior del tubo hueco con tres decimales, indicando el signo.

4) Calcular la carga crítica de pandeo de cada uno de los perfiles por separado, según la fórmula de Euler, considerando que su longitud de pandeo corresponde a la de una barra empotrada-libre.

5) Indicar cuál de los dos perfiles pandea antes y el plano de pandeo correspondiente, así como determinar el coeficiente de seguridad frente al pandeo de dicho perfil.

Datos: E = 200 GPa = 0,3

X

Y

Z

P

Q

A

B

D

C

Z

Y

SECCIÓN TRANSVERSAL

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SOLUCIÓN PROBLEMA

1) El tubo está sometido a torsión y esfuerzo normal de compresión, mientras que el perfil HEB únicamente está sometido a esfuerzo normal de compresión:

Momento torsor en el tubo (MT):

mkNLQLFM BCzABzT 604,0·754,0·75·· 1 punto

Esfuerzo normal en el tubo (NT):

Ecuación de equilibrio estático: XXHEBTX QFNNF 0

Se trata de un problema hiperestático de esfuerzo normal. Imponemos la condición de compatibilidad de movimientos igualando el acortamiento de ambos perfiles:

HEBT

TXXT

HEB

TXX

T

T

HEB

HEB

T

THEBTUBO

AA

AQFN

A

NQF

A

NL

EA

NL

EA

NLL

kNNT 01,4234002463

2463·5050

Esfuerzo normal en el perfil HEB (NHEB):

kNNQFN TXXHEB 00,5801,42100 2 puntos

2) Tensiones máximas en las secciones transversales:

Tubo:

MPaRI

MT 54,253100587.664.23

10·60 6

0

max 1 punto

Siendo: 4444

int

4

0 587.664.239610022

mmRRI ext

0,5 puntos

MPaA

N

T

T 06,17463.2

01,42max

0,5 puntos

Perfil HEB:

MPaA

N

HEB

HEB 06,173400

00,58max

0,5 puntos

3) Movimientos del extremo del tubo:

Giro alrededor del eje x:

radLGI

MTX 099,03000

587.664.23·10·923,76

10·603

6

0

1 punto

Con

MPaE

G 923.763,012

10·200

12

3

Acortamiento en el eje x:

mmLEA

NL

T

TX 256,03000

463.2·10·200

10·009,423

3

1 punto

4) Carga crítica de pandeo:

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3

Tubo:

kNL

EIP

y

TC 8,6483000·2

294.832.11·200·

22

2

2

2

,

0,5 puntos

Perfil HEB:

kNL

EIP

y

HEBC 4,1743000·2

000.180.3·200·

22

2

2

2

,

1 punto

5) El primer perfil en pandear será el HEB respecto al eje Y (plano de pandeo XZ).

Por tanto, el coeficiente de seguridad vendrá determinado por la carga crítica de este perfil:

01,3991,57

4,174,

HEB

HEBC

N

Pn 1 punto

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PROBLEMA 2 (10 puntos)

Se tiene una columna AB de acero (E=210GPa) de 4 metros de altura y sección cuadrada hueca #120.4 empotrada en su base. A 3 metros de altura de la base (punto C), se le suelda en una de sus caras una ménsula (CD) de perfil L 120.15 de 1.5 metros de longitud (ver detalle de la unión en la figura 3). Si la ménsula se encuentra sometida a una carga distribuida q = 8kN/m (ver figura 1):

1. Dibuje los diagramas de esfuerzos de la columna y de la ménsula (Nota: Para el cálculo de esfuerzos de la columna no tenga en cuenta las dimensiones de la sección cuadrada hueca).

2. Calcule el desplazamiento horizontal del extremo libre (punto B) de la columna. 3. Calcule las tensiones normales máximas de tracción y compresión en la ménsula

CD indicando claramente en qué puntos del perfil en L se producen.

Se comprueba que el desplazamiento horizontal del extremo libre es del orden del 2% de la longitud de la columna y se considera excesivo. Para disminuirlo,se atiranta la columna con un cable de acero de 2 metros de longitud y 5 mm de diámetro (ver figura 2). Calcule:

4. Tracción a la que queda sometido el cable. 5. Desplazamiento horizontal del extremo libre (punto B) de la columna demostrando

que se ha conseguido disminuir a valores inferiores a 2mm.

Figura 1 (apartados 1-3)

Figura 2 (apartados 4-5)

Figura 3 (detalle de la unión columna-ménsula)

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SOLUCIÓN

1. Diagrama de esfuerzos de la columna y la ménsula (2 puntos)

Se calculan las reacciones en el empotramiento A:

0 → 0

0 → 0 →

0 → 2

0 → 2

Con los datos del problema 8 ; 1.5 , quedan unos

valores de VA y MA:

129 ∙

Quedando, por lo tanto, los siguientes diagramas de esfuerzos:

Normal (0.5 puntos) Cortante (0.5 puntos) Momento flector (1 punto)

NOTA: También se podrían haber elegido unos ejes y’,z’ para la ménsula (según sus direcciones principales de inercia) y pintar los diagramas de la ménsula según la proyección sobres sus ejes principales (Ty’, Tz’, Mf,y’, Mf,z’). Esta opción se hubiera considerado igualmente válida

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2. Desplazamiento horizontal del extremo libre B de la columna (2 puntos)

Se puede resolver por el método de la carga unitaria o bien mediante el uso de la ecuación universal de la elástica.

Método de la carga unitaria. Se aplica una carga unidad en el punto en el que se quiere conocer el desplazamiento y en la dirección del desplazamiento que se quiere obtener y se obtienen los diagramas de esfuerzos:

Sistema con carga unitaria (1) Cortante (T(1)) Momento flector (Mf(1))

Y el desplazamiento en B en la dirección de la carga unitaria es:

Por lo tanto, hay que realizar la integral sobre la estructura de la ley de momentos flectores

del sistema de carga real multiplicado por la ley de momentos flectores del sistema

con carga unitaria :

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Como el sistema con carga unitaria no provoca momentos flectores en la ménsula, la integral se realiza sobre la columna.

Las leyes de momentos flectores para el eje x indicado en la figura son:

9000 ∙ 0 30 3 4

4 ∙ 0 4

Siendo por tanto la integral:

9000 ∙ 4

0 ∙ 4

1 9000 4

1210 ∙ 10 ∙ 397 ∙ 10

9000 4 8,09610

8, 096

Como sale positivo, el desplazamiento del punto B tiene el mismo sentido que la carga unitaria (hacia la derecha).

Ecuación universal de la elástica. Si se llevan los esfuerzos de la ménsula a la columna en la sección, se tiene:

Para el sistema de coordenadas de la figura se puede obtener la ecuación de la elástica a partir de la ecuación universal:

2!

3!

4!

Hay que tener en cuenta que solo las cargas transversales (según el eje y de la figura) y los pares flectores provocan deformada a flexión y entran en la ecuación universal. Por lo tanto, las cargas según la directriz de la columna (eje x de la figura) no se tienen en cuenta para la deformada a flexión

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Para el sistema de coordenadas de la figura y teniendo en cuenta que solo intervienen los

pares flectores en A y C y que 0; 0 (en el origen A hay un empotramiento), la ecuación universal queda:

90002

90002

⟨ 3⟩

En el extremo libre B (x=4m), el desplazamiento es:

41

90002

1690002

11 67500

1210 ∙ 10 ∙ 397 ∙ 10

67500 8,096 ∙ 10

Que para el sistema de coordenadas presentado en la figura, representa un desplazamiento hacia la derecha.

3. Tensiones normales máximas de tracción y compresión en la ménsula (2 puntos)

Al no coincidir el eje del momento flector en la ménsula con los ejes principales de inercia de la sección, se trata de un problema de flexión esviada u oblicua.

(NOTA: A aquellos que no hayan tratado este apartado como flexión esviada, no se les valorará este apartado).

Según el diagrama de momentos flectores de la ménsula, el momento flector máximo (9000Nꞏm) se produce en la unión con la columna (punto C) y, por lo tanto, en esta sección se obtendrán las mayores tensiones normales. Haciendo un corte en la sección C, los esfuerzos en la ménsula son un momento flector según el eje z y un esfuerzo cortante según el eje y:

Dado que la tensión normal será producida por el momento flector, se centra el análisis en la proyección del momento Mz en los ejes principales de inercia del perfil en L:

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Según las tablas, para el perfil L.120.15 se tienen los siguientes datos:

705 185

4,97 4,31 8,49

Si se proyecta el momento Mz según los ejes principales de inercia, se tiene que:

√22

√22

Teniendo en cuenta que la Ley de Navier es:

Se tiene:

√

√

√22

√22

185 ∙ 10 705 ∙ 10

Las tensiones máximas se darán en los puntos más alejados de la fibra neutra. Por lo tanto, se comprueban los 3 vértices (a, b, c) del perfil.

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:4,31

8,49

:4,97

0

:4,318,49

|√229000

4,31 ∙ 10185 ∙ 10

8,49 ∙ 10705 ∙ 10

71624752,9

|√229000

4,97 ∙ 10185 ∙ 10

0 ∙ 10705 ∙ 10

170966953,1

|√229000

4,31 ∙ 10185 ∙ 10

8,49 ∙ 10705 ∙ 10

224901431,3

| 71,6

| 170,96

| 224,9

Teniendo, por tanto, la máxima tracción en el punto b y la máxima compresión en el punto c.

4. Tracción del cable (2,5 puntos)

Al incluir una condición adicional a los desplazamientos de la columna, el sistema que anteriormente era isostático pasa a ser un sistema hiperestático de grado 1.

Si se descompone el sistema, se observa que el desplazamiento del punto B del sistema columna+ménsula coincide con el alargamiento del cable:

Si se utiliza el método basado en la carga unitaria para obtener el desplazamiento del punto B, se tiene:

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Siendo el desplazamiento del punto B:

En este caso, el sistema de carga unitaria coincide con el obtenido en el apartado (2) del problema multiplicado por (-1). Por lo tanto, las leyes de flectores son:

9000 ∙ 0 30 3 4

4 ∙ 0 4

(nótese que el término dará como resultado el desplazamiento del punto B obtenido

en el apartado 2 con signo contrario).

Por lo tanto,

8,096 ∙ 10 4

8,096 ∙ 10643

8,096 ∙ 10 ∙ 2,558741 ∙ 10

Por otro lado, se tiene que el alargamiento del cable en función de R es:

∆∙

∙2

210 ∙ 10 ∙

∙ 4,85044 ∙ 10

Hay que tener en cuenta que el desplazamiento del punto B de la columna, según el cálculo por el método de la carga unitaria, sigue el mismo sentido que la carga unitaria (hacia la izquierda), mientras que el alargamiento del cable sigue el sentido contrario. Por tanto, la compatibilidad de desplazamientos vendrá dada por:

∆

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De esta manera, se puede despejar la incógnita R:

∙ 4,85044 ∙ 10 8,096 ∙ 10 ∙ 2,558741 ∙ 10

2,558741 ∙ 10 4,85044 ∙ 10 8,096 ∙ 10

,

5. Desplazamiento horizontal del punto B (1,5 puntos)

El desplazamiento del punto B coincide con el alargamiento del cable:

∆∙ 3105,19 ∙ 2

210 ∙ 10∙

1,506 ∙ 10 m

, (hacia la derecha)