Instituto Politécnico Nacional

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada

Valores prácticos y epistémicos de la factorización de expresiones

algebraicas en profesores de matemáticas

Tesis que presenta

A l i c i a B e r n a b é A n d r é s

Para obtener el grado de

Maestría en Ciencias en Matemática Educativa

Director de tesis:

M.C. Juan Gabriel Molina Zavaleta

México, D.F., Noviembre de 2012.

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

SECRETARIA DE INVESTIGACION Y POSGRADO

CARTA DE CESIÓN DE DERECHOS

En la ciudad de México el día 15 del mes noviembre del año 2012, la que suscribe Alicia Bernabé Andrés alumna del programa de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa con número de registro B102436, adscrito al Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología avanzada, unidad Legaria, manifiesta que es la autora intelectual del presente trabajo de tesis bajo la dirección del M.C. Juan Gabriel Molina Zavaleta y cede los derechos del trabajo titulado “Valores prácticos y epistémicos de la factorización de expresiones algebraicas en profesores de matemáticas”, al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos sin el permiso expreso del autor y/o director de tesis. Si el permiso se otorga, el usuario debe dar agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Nombre y firma

 

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO I. ANTECEDENTES 3

CAPÍTULO II. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN 7

CAPÍTULO III. MARCO TEÓRICO 9

a) Tareas y tipos de tarea 9

b) Técnicas 9

c) Tecnologías 11

d) Teorías

e) Valores prácticos y epistémicos 12

CAPÍTULO IV. MÉTODO 13

1. Primera sección. Descripción general del método 13

1.1 Diseño de una entrevista–foro para los profesores 13

1.2 Aplicación de la entrevista 13

1.2.1 Foro a-sincrónico de discusión 14

2. Segunda sección. Detalles de la entrevista 14

CAPÍTULO V. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DE LA ENTREVISTA 17

5.1 Análisis a la pregunta:

¿Qué es la factorización? 18

5.1.1 Síntesis de la pregunta:

¿Qué es la factorización? 21

5.2 Análisis a la pregunta:

¿Es necesario enseñar a factorizar? 22

5.2.1 Síntesis de la pregunta:

¿Es necesario enseñar a factorizar? 27

5.3 Análisis a la pregunta:

¿Cómo enseñas o cómo enseñarías la Factorización? 28

5.3.1 Síntesis de la pregunta:

¿Cómo enseñas o cómo enseñarías la Factorización? 36

5.4 Análisis a la pregunta:

¿Qué crees que pasaría con un estudiante, que nunca aprendió

a factorizar? 37

5.4.1 Síntesis de la pregunta:

¿Qué crees que pasaría con un estudiante, que nunca

aprendió a factorizar? 44

Capítulo VI. Conclusiones 45

Referencias bibliográficas 49

Anexos 52

INDICE DE TABLAS

Tabla 1. ¿Qué es la factorización? 18

Tabla 2. ¿Es necesario enseñar a factorizar? 22

Tabla 3. ¿Cómo enseñas o cómo enseñarías la Factorización? 29

Tabla 4. ¿Qué crees que pasaría con un estudiante,

que nunca aprendió a factorizar? 37

GLOSARIO

Análisis:  En sentido amplio, es la descomposición de un todo en partes para poder estudiar su estructura, sistemas operativos, funciones.

Concepto:   Los conceptos son construcciones o imágenes mentales, por medio de las cuales comprendemos las experiencias que emergen de la interacción con nuestro entorno. Estas construcciones surgen por medio de la integración en clases o categorías, que agrupan nuestros nuevos conocimientos y nuestras nuevas experiencias con los conocimientos y experiencias almacenados en la memoria.

Descomponer: Separar las diversas partes o elementos que forman un compuesto o un todo. En matemáticas, expresar un número como producto de, al menos, dos de sus divisores.

Diseño: Explicación breve y esquemática.

Elementos: Fundamento o base de algo.

Expresión: Combinación de términos relacionados entre sí mediante uno o más signos matemáticos que representa una cantidad o una magnitud.

Factor: Cantidad que se multiplica por otra para hallar el producto.

Modelo: Representación que se sigue como pauta en la realización de algo. Esquema teórico que representa una realidad compleja o un proceso complicado y que sirve para facilitar su comprensión.

Praxeología: Organización matemática constituida por cuatro componentes principales; tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teorías.

Propiedades: Cualidad esencial y característica de una persona o de una cosa.

Asociatividad: Propiedad de una operación matemática, como la suma, por la cual se verifica que a + (b + c) = (a + b) + c, donde a, b y c son tres números reales cualesquiera.

Conmutatividad: Propiedad de una operación matemática, como la suma, por la cual se verifica que a + b = b + a, donde a y b son dos números cualesquiera.

Distributivividad: Propiedad de la suma con respecto de la multiplicación, por la cual se verifica que a · (b + c) = a · b + a · c, donde a, b y c son tres números reales cualesquiera.

Simplificar: Reducir una expresión o una ecuación a una forma más sencilla y equivalente a la inicial.

TAD: Teoría Antropológica de lo Didáctico.

Tareas: En el contexto de la escuela, son trabajos o ejercicios que se le encargan al alumno, y esta se expresan mediante un verbo.

Técnica: Un trabajo o un ejercicio para ser realizado requiere de una manera para hacerlo, a esto le llamamos técnica.

Tecnología: “Se entiende por tecnología, y se indica por Ɵ, un discurso racional, cuyo primer objetivo es justificar “racionalmente” la técnica τ, para asegurarse de que permite realizar tareas del tipo T.

Teoría: Conjunto de reglas, principios y conocimientos que forman la base de una ciencia, una técnica o un arte.

Término: Número o expresión matemática que forma parte de un polinomio, razón, proporción, progresión, sucesión.

Valor epistémico: Las ideas a las cuales lleve el empleo de dicha técnica, qué ideas permite entender.

Valor Práctico: El tipo de tareas que permite atender la técnica con la factorización.

Web:   Documento de Internet que puede contener texto, gráficos, sonidos o animaciones, generalmente escrito en lenguaje HTML y que permite la relación con otros documentos, mediante enlaces.

Resumen

En este trabajo se da una respuesta a la pregunta: Según profesores de matemáticas, ¿cuál es el valor de la factorización de expresiones algebraicas en la escuela? El término valor es entendido en esta investigación como el grado de utilidad o aptitud de la factorización para resolver ciertas necesidades en la escuela (resolver una tarea, aprender un concepto matemático). Esta utilidad la hemos categorizado en dos tipos, utilidad práctica o valor práctico, con ella nos referimos a los tipos de tareas que la factorización permite realizar a estudiantes; por otra parte con la utilidad epistémica o valor epistémico nos referimos las ideas matemáticas que la factorización podría permitir entender a los estudiantes. Para fundamentar esta investigación se utilizaron elementos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico. Uno de los resultados principales es que, en los profesores participantes en el estudio, el valor práctico de la factorización es más fácilmente evocado por ellos; situación que no ocurre respecto a su valor epistémico; sin embargo, ambos tipos de valores pudieron ser identificados.

Abstract

This work gives an answer to the question: according to mathematics teachers, what is the value of factoring algebraic expressions in school? The term value is understood in this study as the degree of usefulness of factoring to solve certain needs in school (solving a task, learning a mathematical concept). We have categorized this usefulness into two types. On the one hand, practical utility or practical value, used to refer to the types of tasks solving that factoring allows, on the other hand, epistemic utility or epistemic value, which refers to the mathematical ideas that factoring could allow students to understand. To develop this research, we used elements from the anthropological theory of didactics. One of the main findings is that, the teachers involved in the study more easily evoke the practical value of factorization. This doesn’t happen with its epistemic value, but both types of values could be identified.

1    

Introducción

En mi experiencia personal, charlando con colegas profesores he

compartido la preocupación con ellos el hecho de que varios alumnos

manifiestan dificultad en realizar tareas como, encontrar las

intersecciones con el eje “x” de una función cuadrática, rescribir una

expresión algebraica para resolver algún límite con indeterminación

removible, o pasar la ecuación general de una cónica a su forma

canónica, entre otros casos; inicialmente pensé que la causa de la

dificultad podría ser que los estudiantes no podían factorizar, entonces

pretendía diseñar una secuencia didáctica para el estudio de la

factorización. Esta situación me llevó a la pregunta de si es

importante la factorización y por qué, entonces la tesis tomó otra

dirección.

En la actualidad, el acceso a la información es cada vez más simple,

refiriéndonos al Internet; por ejemplo sí en Google buscamos el

término factorización, arroja miles de páginas electrónicas que

contiene información sobre ello, y muchas de estas páginas tienen el

propósito de enseñar o apoyar a estudiantes en este tema; que exista

este esfuerzo para que la factorización sea aprendida, muestra que

para muchos profesores es importante, lo cual nos llevó a la siguiente

pregunta: Según profesores de matemáticas ¿cuál es el valor de la

factorización de expresiones algebraicas en la escuela? El término

valor es entendido aquí como el grado de utilidad o aptitud de la

factorización para resolver ciertas necesidades en la escuela, ejemplo,

para realizar ciertos tipos de tareas. Se eligió trabajar utilizando

2    

algunos términos de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD),

propuesta por Chevallard (1999).

En el Capitulo I, presentamos el objetivo de nuestra investigación.

En el Capítulo II. Marco teórico, exponemos los elementos teóricos de

la TAD que utilizamos; explicamos los términos praxeología con sus

cuatro componentes; tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teorías.

En el capítulo III. Antecedentes, comentamos algunos artículos

publicados en la Web, sobre investigaciones relacionadas con el tema

de la “Factorización”.

En el capitulo IV. Método, explicamos los “pasos” a seguir en la

investigación, describimos el instrumento utilizado, informamos sobre

los profesores participantes en el estudio y la forma en que se aplicó.

En el capitulo V. Análisis de resultados, se discuten las información

obtenida. El análisis fue realizado con base en elementos de la Teoría

Antropológica de lo Didáctico.

En el capitulo VI. Conclusiones, explicamos los resultados obtenidos

de nuestra investigación.

3    

CAPÍTULO I. ANTECEDENTES

Aunque existe un gran número de materiales disponibles en Web

respecto a la factorización de expresiones algebraicas, hemos

encontrado muy pocos artículos que estén publicados en revistas de

investigación de la disciplina o de otras generales, como la pedagogía.

En este capítulo analizamos artículos que encontramos en la red

desde año 2004 a la fecha. Los cuales reflejan la importancia del tema

de la factorización desde nivel medio superior hasta nivel superior.

Mejía (2004) aborda el tema de: La factorización de polinomios en un

ambiente CAS y lápiz/papel. El propósito de su trabajo es mostrar el

diseño de algunas actividades que involucran el uso de calculadoras

graficadoras algebraicas, para la enseñanza de conceptos y

procedimientos relacionados con la factorización de expresiones

polinómicas cuadráticas. La propuesta permite ir desde variaciones

aisladas hasta la conjugación y dependencia de estas variaciones para

poder comprender el modelo geométrico y algebraico propuesto. El

uso de calculadora graficadora permitió el reconocimiento de

expresiones equivalentes obtenidas mediante el proceso de

factorización y su relación con lo gráfico.

Morales y Sepúlveda (2006). En el artículo se propone mediante el

algebra geométrica una alternativa para superar dificultades en el

aprendizaje del proceso de factorización. La técnica que se aplica es

el de “cortar y pegar”, tomando como referencia a Duval, este dice

que dicho método permite al alumno pensar y razonar en cómo dividir

4    

áreas de figuras rectangulares de manera que al adjuntarlas formen

una cuadrado o rectángulo.

Antoráz, Barahona y Galanza (2006). El propósito de este artículo fue

mostrar un algoritmo para factorizar un polinomio de grado no superior

a cuatro, el autor propone que la factorización se realice por medio de

deducir, mediante la observación de su gráfica, el grado del polinomio.

Este documento es una nota de clase, su método es matemático y se

enfoca en la construcción de la factorización de un caso concreto de

polinomio; el artículo concluye comentando las características de los

polinomios a los que es factible aplicarles tal factorización.

Covas y Bressan (s.f). El propósito de este artículo es mostrar por

medio de la manipulación de modelos de áreas (figuras rectangulares

o cuadrádas) la representación de binomios al cuadrado y ecuaciones

cuadráticas. El autor se basa en el trabajo del Dr. Zoltán Dienes, cuyo

objetivo es enseñar estructuras matemáticas a niños de escuela

básica. El enfoque de Dienes está basado en la variabilidad

perceptual. El artículo concluye señalando que considera vigente el

acercamiento de Dienes para abordar con estudiantes, el estudio de

los términos variabilidad perceptual y conceptual, de estructuras

algebraicas e ideas lógicas; recalca también la importancia que

sustentan esas representaciones.

Cruz (2008). En este trabajo se describe una secuencia didáctica que

propone una forma de construir un método general para factorizar

ecuaciones cuadráticas y obtener la solución; el autor utiliza la

ingeniería didáctica como metodología y toma en cuenta aspectos

didácticos, epistemológicos y cognitivos. Uno de los resultados

5    

principales que da el autor, es su propuesta de construcción de la

factorización a través de gráficas de ecuaciones de primer grado; está

es una aproximación que podría resultar intuitiva para los estudiantes.

Molina, J. Martos, E. Castañeda A. (2008). El propósito del trabajo fue

dar respuesta a ¿Cuál es el valor de los productos notables que los

profesores asignan en la escuela? ¿Cuál es el valor de los productos

notables que se puede desprender del análisis de materiales en línea?

Mediante el análisis del discurso del profesor se observó los tipos de

tareas en que el profesor implica los productos notables. Este tipo de

tareas que permite acometer la técnica se llama valor práctico, y a las

ideas a las cuales lleva el empleo de dicha técnica se le llama valor

epistémico. El método aquí consistió en identificar, en los distintos

materiales, las tareas, las técnicas, las tecnologías y teorías en que se

involucran los productos notables. Esto en algunos materiales

disponibles en Internet y en el discurso de profesores que opinan

acerca del porqué los productos notables son importantes. Concluyen

que el valor que los profesores asignan a los productos notables en su

institución es práctico en su mayor parte, por el tipo de tareas que les

permite resolver a los estudiantes. El valor epistémico de los productos

notables parece no ser reflexionados por los profesores. En la

institución, al producto notable parece que se le da el status de

concepto matemático-, y no de técnica.

Fonseca, Bosch y Gáscon (2010). Este artículo estudia el caso de la

división sintética y la factorización de polinomios. Utilizando el trabajo

de la técnica, la cual es una componente principal de la praxeología,

noción principal de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, el autor

6    

propone que exista una continuidad en el conocimiento aprendido en

el nivel medio y complementado progresivamente esté en el nivel

superior. El resultado que arroja la investigación es la existencia de

una relación funcional entre el momento del trabajo de la técnica y el

momento tecnológico-teórico, esto debido a la necesidad de constituir

un discurso tecnológico teórico cada vez más rico, capaz de justificar;

interpretar y variar las técnicas con la finalidad de hacer que estás

sean cada vez más eficaces, más económicas y más fiables.

Ferreyra, Rechimont, Parodi y Castro (2010). El propósito de este

artículo fue el de identificar distintas etapas y momentos en la

evolución de los conceptos algebraicos, a nivel de estudiantes

universitarios. El autor propone la presentación de problemas a

estudiantes con la intención de analizar el tratamiento matemático que

aplican para tratar de resolverlos. El trabajo de generalización de

problemas aritméticos favoreció la evolución hacia la utilización del

algebra como instrumento de modelación.

Barreto (2011). En este artículo se describe y se analizan dos

perspectivas geométricas de la diferencia de cuadrados tomando en

cuenta los distintos procesos cognitivos que involucra el campo de la

didáctica de la matemática. El autor pretende que el alumno construya

su conocimiento a partir de algunos procesos cognitivos de carácter

geométrico y que son propios del pensamiento geométrico. Como

conclusión, es posible expresar el producto de dos dígitos como una

diferencia de cuadrados y efectuar una racionalización de binomios de

índice dos, con el fin de que el alumno se le facilite entender el

7    

proceso de la factorización de una diferencia de cuadrados a través de

la utilización de valores numéricos.

CAPÍTULO II. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN

La factorización es y, muy posiblemente, seguirá siendo un tema de

interés para quienes nos dedicamos a la enseñanza de la matemática;

compartimos la postura de Morales y Sepúlveda quienes afirman:

Existe consenso de que la factorización es uno de los temas del curso

de álgebra que más se dificultan a los alumnos: primero, porque el

reconocimiento del tipo de expresión algebraica ya implica dificultades

asociadas con la utilización de números, letras y signos de operación

para conformarlas, así como por la noción de variable; y segundo,

porque aún conociendo los diferentes métodos no saben cuál de ellos

utilizar en un determinado momento (Morales y Sepúlveda, 2006, p.85).

Reconociendo la importancia de este tema, realizamos una búsqueda

en Web, con Google, introduciendo la palabra “factorización”,

encontramos miles de páginas dedicadas a tratar asuntos relativos a la

factorización, ya sea para dar respuestas a estudiantes, o materiales

para estudiar, o explicaciones de profesores de ella, también podemos

artículos referentes al estudio del tema de factorización, etc. Se puede

observar que varios estudiantes requieren de información o guía para

resolver ejercicios y el Internet les facilita el acceso a ésta. La

factorización forma parte de la curricula escolar desde nivel secundaria

hasta nivel superior; sin embargo se sigue observando que existen

dificultades por parte de los alumnos para entender la factorización y

8    

realizarla exitosamente (en algunas escuelas de nivel superior que

implementan cursos de nivelación, este tema es obligatorio).

La pregunta que abordamos es: ¿Cuál es el valor de la factorización

de expresiones algebraicas en la escuela? Desde el punto de vista de

los profesores. Para discutir sobre ello se eligieron elementos de la

Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) propuesta por Chevallard

(1999).

9    

CAPÍTULO III. MARCO TEÓRICO

La Teoría Antropológica de lo Didáctico, propone un modelo

epistemológico general de las matemáticas que describe el saber

matemático en términos de organizaciones matemáticas

institucionales (Chevallard, 1999, 2002a y 2002b). Una organización

matemática (o praxeología) es una herramienta que respuesta a una

cuestión o conjunto de cuestiones, y está constituida por cuatro

componentes principales: tipos de tareas, técnicas, tecnologías y

teorías. A continuación describimos dichas componentes.

TIPOS DE TAREAS Y TAREAS

Los tipos de tareas (y tareas) en el contexto de la escuela, son

trabajos o ejercicios que se le encargan al alumno, y estás se

expresan mediante un verbo. Por ejemplo, una tarea t es la siguiente:

Factorizar la expresión 𝑥! − 18𝑥! + 81𝑥. Es un trabajo concreto que un

profesor puede asignar a algún estudiante. Por otra parte, un tipo de

tarea T es un trabajo no tan específico como la tarea t y se expresa

también con un verbo, “factorizar algún polinomio de grado tres”.

LAS TÉCNICAS

Un trabajo o un ejercicio para ser realizado requiere de una manera

para hacerlo, a esto le llamamos técnica. Por ejemplo, para simplificar

10    

la expresión !!!!"!!!!"!

!!! podría ser resuelta buscando un factor común

entre los tres términos que seria x, quedando 𝑥(𝑥! − 18𝑥 + 81),

posteriormente analizamos el número de términos, dos términos

puede ser una diferencia de cuadrados o tres términos puede tratarse

de un trinomio cuadrado perfecto.

Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres

condiciones:

1. Debe haber tres términos.

2. Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y el tercer término.

3. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término

es el segundo término del trinomio original.

𝑥! − 18𝑥 + 81 = (                )! se coloca un paréntesis sólo elevado al

cuadrado

𝑥! − 18𝑥 + 81 = 𝑥              9 !   se colocan dentro del paréntesis las

raíces obtenidas anteriormente.

𝑥! − 18𝑥 + 81 = (𝑥 − 9)! se coloca el signo que contiene el

segundo término del trinomio original.

11    

                           

Una vez factorizado el trinomio cuadrado perfecto, rescribimos la

expresión colocando los factores encontrados, por lo que la

simplificación queda así:

𝑥! − 18𝑥! + 81𝑥𝑥 − 9

=𝑥(𝑥 − 9)!

(𝑥 − 9)=𝑥(𝑥 − 9)(𝑥 − 9)

(𝑥 − 9)= 𝑥 𝑥 − 9 = 𝑥! − 9𝑥

TECNOLOGÍA

“se entiende por tecnología, y se indica por Ɵ, un discurso racional

– el logos- sobre la técnica –la tekhnê- τ, discurso cuyo primer

objetivo es justificar “racionalmente” la técnica t, para asegurarse de

que permite realizar tareas del tipo T, es decir, realizar lo que se

pretende.

Por ejemplo, consideremos la técnica de utilizar el trinomio

cuadrado perfecto para factorizar la expresión 𝑥! + 2𝑥 + 1, una

tecnología para explicar por qué tal técnica funciona es el siguiente

discurso del profesor:

𝑥! + 2𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)! = 𝑥 + 1 𝑥 + 1 porque si

efectuamos la multiplicación:

𝑥 + 1 𝑥 + 1 = 𝑥! + 𝑥 + 𝑥 + 1 = 𝑥! + 2𝑥 + 1

12    

LAS TEORÍAS

La teoría podría hacerse utilizando propiedades asociativas y

distributiva de los números reales. Aquí el elemento teoría tal como lo

entendemos de la TAD esta prácticamente ausente, quedando a nivel

de tecnologías.

VALORES PRÁCTICOS Y EPISTÉMICOS

El término valor es entendido en esta investigación como el grado de utilidad o aptitud de la factorización para dos cosas, resolver una tarea (valor o utilidad práctica) o aprender un concepto matemático (utilidad epistémica).

13    

CAPÍTULO IV. MÉTODO

A continuación se expone el método por el cual se condujo la

investigación, en la primera sección de este apartado se explica en

términos generales en qué consiste cada etapa. En la segunda

sección se exponen en detalle las fases a, b, pues los apartados c y d

serán presentados en capítulos independientes.

Primera sección. Descripción general del método

a. Diseño de una entrevista –foro para los profesores.

Con base en las consideraciones teóricas se construye una entrevista

para analizar el discurso de los profesores de matemáticas e identificar

el valor que ellos asignan a la factorización de expresiones

algebraicas; lo anterior, siguiendo la idea de Martos (2008). Está

compuesta por cinco tareas-tecnológicas que serán planteadas a

profesores en un foro, para posteriormente analizar su discurso.

b. Aplicación de la entrevista-foro

Acerca de los profesores

Los profesores participantes en la investigación, fueron interrogados

en un foro en línea. Ellos eran estudiantes del posgrado de

matemática educativa del CICATA, también eran profesores en

14    

servicio del área de matemáticas, el nivel que imparten su catedra va

de el nivel básico hasta el superior.

Foro a-sincrónico de discusión

En esta investigación utilizamos la herramienta Foro general, de la

plataforma Moodle; en este espacio se plantearon las preguntas de

nuestro instrumento de análisis “Entrevista-foro”, el cuál está basado

en el construido por Martos (2008). Basada en mi experiencia como

profesora, comparto la idea expuesta por Martos (2008) sobre los

productos notables como una técnica institucionalizada y la extrapolo a

la factorización de expresiones algebraicas, pues se encuentran

relacionadas, por tanto la factorización también es susceptible de

considerarse una técnica institucionalizada; por la característica

anterior de la factorización, supusimos que cuestionar a los profesores

en tiempo real acerca de ella, les podría dificultar la exposición de sus

argumentos y que el foro a-sincrónico daría tiempo a que los

participantes reflexionen y expongan argumentos detallados.

c. Análisis de los resultados de la aplicación de la entrevista

d. Conclusiones

Segunda sección. Detalles de la entrevista

a. Diseño de la entrevista.

15    

A continuación se explica el propósito de cada una de las preguntas

propuestas para el foro, así como las posibles respuestas:

1. ¿En qué nivel das clases actualmente?

2. ¿Has enseñado álgebra?

El propósito de estas dos preguntas es obtener información

general de los profesores participantes.

3. ¿Qué entiendes por factorización?

El propósito de esta pregunta es tratar de obtener información directa

que nos permita interpretar la idea que el profesor tenga acerca de la

factorización. Esperamos que la pregunta dé la pauta para que la

persona a la que se le plantea, reflexione sobre la factorización y nos

comunique sus ideas. Algunas respuestas que podrían surgir de esta

interrogante son:

a. La factorización es la acción inversa de la multiplicación.

b. Encontrar los factores de una expresión polinómica.

c. Cambiar de forma una expresión algebraica por otra equivalente,

mediante un producto de otras expresiones, respetando

propiedades algebraicas.

Tales respuestas podrían venir acompañadas de ejemplos. Si el

profesor tuviera dificultades para responder, el entrevistador

intervendrá comentando al profesor que explique lo que para él es la

factorización; aclarando que no se pide una definición formal. Para

ampliar la información de quien responde, el entrevistador podrá

auxiliarse planteándole preguntas del tipo ¿A qué te refieres con..?

4. ¿Es necesario enseñar la factorización?

16    

El propósito de esta pregunta es promover en los profesores la

reflexión sobre la importancia de la factorización, su razón de ser, para

después estudiar las ideas que nos comuniquen cuando expliquen por

qué. En sus respuestas el profesor podría manifestar elementos de la

praxeología matemática que involucran en la factorización, el tipo de

tareas que involucran en ésta.

Podría ocurrir que el profesor declare que la factorización se utiliza

para encontrar las raíces o los ceros de una función de grado “n”, el

cual es un tipo de tarea, para el cual la factorización es una técnica.

En caso de que hubiera dificultades para responder, el entrevistador

podría auxiliar al entrevistado con la siguiente pregunta ¿Para qué

sirve la factorización a un estudiante? Con esto podríamos obtener

más información acerca de las praxeologías matemáticas en donde la

factorización está siendo implicada por el profesor.

5. ¿Cómo enseñas la factorización, o cómo la enseñarías?

Con las repuestas dadas se espera conocer las estrategias utilizadas

por el profesor para transmitir estas técnicas.

6. ¿Qué crees que pasaría con un estudiante de secundaria o

bachillerato que nunca logra aprender a factorizar?

Con esta pregunta el profesor podría reflejar la importancia que en su

institución recibe esta técnica. Preguntas complementarias podrían

ser: ¿Qué conceptos se le dificultaría entender si no saben factorizar?

En general, el propósito de las preguntas fue identificar en los

argumentos del profesor, praxeologías matemáticas o elementos de

17    

éstas que involucren la factorización, para con base en ellos observar

el estatus que asignan a esta.

CAPÍTULO V. ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA APLICACIÓN DE LA ENTREVISTA-FORO

Para analizar las respuestas de los profesores nos enfocamos en identificar algún elemento de una praxeología que pudiera estar implicado en ellas; esto se observó respondiendo la pregunta: ¿Qué praxeología, asocian con la factorización en su respuesta? Es importante señalar que no se espera que las tareas estén siempre explícitas en las respuestas, como “factoriza la expresión 2xy+5x-10”, sino implícitas y nosotros la interpretaremos cuando el profesor expresa para qué es (o lo que es) la factorización; es allí donde miramos la tarea que podría estar implicada. Por ejemplo, el profesor Rodolfo dice “Factorización es separar una expresión algebraica en dos o más factores”, aquí no hay una tarea explicitada porque no aparece de manera explícita la tarea, no hay una consigna para alguien, sin embargo al decir para qué es la factorización, está expresando lo que se hace con la factorización, la tarea que se atiende con ella, ante este comentario, una tarea que podría pensarse es, descompón la siguiente expresión algebraica en sus factores.

En la columna izquierda se muestra el nombre del profesor y en la columna de la derecha la respuesta que da el correspondiente profesor a la pregunta considerada; en el renglón siguiente se presenta el análisis realizado. Al final de la tabla, se presenta una síntesis de la información.

18    

Profesor ¿Qué entiendes por factorización?

A Factorización es separar una expresión algebraica en dos o mas factores

Análisis En la oración, el profesor manifiesta un tipo de tarea, equivalente a descomponer una expresión algebraica en factores. Por brevedad nos referiremos a este tipo de tarea como la Descomposición.

B Descomponer una expresión algebraica como el producto de otras expresiones más simples.

Análisis Tipo de tarea, Descomposición.

C Descomponer una expresión matemática como el producto de factores más simples.

Análisis Tipo de tarea, Descomposición.

D

Factorización para mi es la descomposición de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc). Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores.

Análisis Tipo de tarea, Descomposición. Otro tipo de tarea asociado a ella es la Simplificación de expresiones algebraicas. A este tipo de tarea le llamaremos Simplificación.

E

Factorización, es el proceso por medio del cual, una expresión matemática (un número, una suma, un polinomio, ...), se puede descomponer en partes más pequeñas, y simples que por lo general son más manipulables para el estudiante. La factorización nos permite, jugar con términos llamados factores, que me simplifican, visual, y/o aritméticamente una expresión.

Análisis Tipo de tarea, Descomposición y Simplificación.

F De sumas o restas de términos que contienen elementos en común, se agrupan estos elementos y se obtiene el mínimo común divisor de los coeficientes, dando lugar a

19    

la conversión de sumas o restas de términos a multiplicaciones de elementos agrupados que compactan a las expresiones algebraicas.

Análisis Tipo de tarea Simplificación.

G

Entiendo por factorización aplicar la propiedad distributiva, dónde la expresión está dada en la forma a*b+a*c y al usar la propiedad mencionada, puedo escribir la expresión anterior en la forma: a*(b+c). Es decir, una expresión dada como suma de varios términos es posible escribirla como producto de factores.

Análisis

Aquí se puede observar un elemento teórico asociado a la factorización, la propiedad distributiva. La estudiante muestra la aplicación inversa de la distributividad de la multiplicación en la suma. La distributividad define que si 𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖ℝ, entonces, 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧; y a lo que nos referimos como inverso es que si 𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖ℝ, 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 =𝑥 𝑦 + 𝑧 , así la profesora se refiere a la factorización. Entonces el tipo de tarea asociado la llamaremos, Inversa de la distributividad.

H Para mi factorizar en álgebra es descomponer una expresión algebraica en dos o más expresiones (factores), de tal forma que la multiplicación de estas expresiones de como resultado la expresión original.

Análisis Tipo de tarea, Descomposición.

I Es expresar un número o expresión algebraica en sus factores; es decir como multiplicación

Análisis Tipo de tarea, Descomposición.

J

La factorización es la técnica matemática de descomponer en factores una expresión algebraica. Entendiendo como factores expresiones que se están multiplicando entre sí y que es posible comprobar que nuestra factorización fue correcta si al multiplicar los factores llegamos nuevamente a la expresión algebraica original.

Análisis Tipo de tarea, Descomposición. Tabla 1. Análisis de las respuestas a la pregunta ¿Qué entiendes por factorización?

20    

Síntesis respecto a la pregunta 3: ¿Qué entiendes por factorización?

Son tres los tipos de tareas identificados que asocian a la factorización: la Descomposición (se explica en el análisis del profesor A), la Simplificación (se explica en el análisis de la profesora D) y la Inversa de la distributividad (se explica en el análisis de la profesora G).

Nueve de los diez profesores le asocian a la factorización el tipo de tarea Descomposición y tres de ellos también le asocian el tipo de tarea Simplificación (consideran ambos). Con base en esta clasificación se podría decir que los profesores comparten una idea semejante de lo que es la factorización.

Un profesor le asocia el tipo de tarea Inversa de la distributividad y este también manifiesta un elemento teórico, la propiedad distributiva de la multiplicación en la suma. Esta notable diferencia puede deberse a que esta estudiante pertenece a una institución educativa del Uruguay, una de sus características de la institución es la formalidad matemática.

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Profesor ¿Es necesario enseñar la factorización?

A

Claro que es necesario enseñar a factorizar es uno de los temas relevantes de álgebra junto con los productos notables. [ Al profesor A se le piden detalles y el profesor aclara] Las expresiones resultantes de una factorización son más sencillas que la expresión original esto resulta útil por ejemplo en límites para evitar que esto se indeterminen o en cálculo para aplicar la técnica de integración descomposición en fracciones parciales.

Análisis Tipo de tarea, resolver límites con indeterminación removible y resolver integrales por fracciones parciales.

B

Desde luego, creo que en esencia es una de las principales actividades a realizar en un curso de álgebra, se ve una vez pero siempre se puede recurrir a ella en cualquier momento. [ Al profesor B se le piden detalles y el profesor aclara] Creo que el uso primordial de la factorización es de simplificar expresiones para facilitar su análisis (buscar raíces, dominios en funciones, optimizar operaciones, etc.); sin embargo, son de gran ayuda como ejercicio de razonamiento, ya que permiten identificar la similitud entre dos expresiones que parecieran ser distintas. Que el estudiante entienda que una expresión algebraica puede tener distintas representaciones, es un valor epistémico, asociado a la factorización.

Análisis Tipo de tarea: determinar raíces y simplificación.

C

Si, no sólo porque la factorización resulta ser una herramienta útil para simplificaciones posteriores, sino porque además permite desarrollar habilidades de razonamiento y comprender que existen distintas representaciones de una misma.

22    

[ A la profesora C se le piden detalles y la profesora aclara] En cuanto a las habilidades me refiero a que, por ejemplo, cuando un estudiante se enfrenta a una expresión que requiere un par o más de herramientas de factorización deberá pensar qué es lo más conveniente, seguramente cometerá varios errores al principio pero con práctica adquirirá habilidades para identificar cómo es más conveniente iniciar la factorización. Además, todo el análisis que deberá realizar para dominar la factorización le ayudará a comprender las distintas representaciones de una misma expresión.

Análisis

El tipo de tarea es la simplificación. El ejercicio de la factorización repercute en el desarrollo en las habilidades de razonamiento, para entender la idea de que una expresión algebraica puede tener distintas representaciones, lo cual es un valor epistémico.

D

[ A la profesora D se le piden detalles y la profesora aclara] Existen diferentes técnicas de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que reciben el nombre de factores. Dentro de un producto notable como es el binomio al cuadrado, la técnica aquí es multiplicar dos veces el binomio o en su caso utilizar la regla del primer término al cuadrado más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado. Un bloque fundamental es el que si llegas a multiplicar dos veces el binomio, simplificar para obtener el trinomio (para mí bloque fundamental).

Análisis El tipo de tarea es la simplificación. Se observa una técnica de factorización, binomio al cuadrado.

E Creo y sé que es muy importante; es tan necesario como

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cuando un niño comienza a sumar, o a multiplicar; en la suma necesita saber agrupar, en la multiplicación necesita saber que 3x2 = 6 = 2+2+2. Me permite llevar un polinomio aritmético o algebraico a su estructura simplista, que me permite, realizar simplificaciones, reduciendo procesos matemáticos. [ Al profesor E se le piden detalles y el profesor aclara] La factorización, a un estudiante le sirve, para afianzar el conocimiento de está; con el aprendizaje de la factorización puedo resolver situaciones problema que me relacionen con simplificación de expresiones, como el de hallar valores o términos semejantes, para aplicarlas en álgebra lineal, para resolver situaciones del cálculo elemental, entre otras cosas. Enseño el álgebra, a través de los casos que propone Baldor, pero también a través del uso del pensamiento concreto, relacionándolo con el pensamiento abstracto. Cuando se hace necesario hallar los puntos de corte de la función, respecto al eje (x). Respecto al cálculo, traigo a colación, cuando necesito, manejar funciones polinómicas, o funciones racionales, donde debo simplificar al máximo, para reducir proceso. Cuando tratamos límites, es muy importante el uso de la factorización, porque simplifica términos que en muchas ocasiones, causan indeterminación. Limx--2{x2-x-2}/{x-2}

Análisis Tipos de tareas: simplificación, determinación de los ceros de la función y resolver límites con indeterminación removible.

F

Sí, es necesario enseñar a factorizar a los alumnos y todo lo que implica. Por ejemplo he notado que algunos alumnos no conocen lo que es un término, ni que partes lo componen, esto es, no distinguen en donde empieza ni donde termina el término. Tampoco visualizan que elementos tienen en común los términos, para poder hacer la “separación” de elementos.

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[ Al profesor F se le piden detalles y el profesor aclara] El proceso de factorización le va a servir al estudiante, para que en cursos posteriores pueda resolver ejercicios de derivadas e integrales. Es necesario conocer, entender y aplicar factorización para resolver ejercicios o problemas en que sea necesario descomponer o agrupar

Análisis Tipos de tareas: descomposición, derivar e integrar (expresiones algebraicas).

G

Sí considero que es muy importante enseñar a factorizar, puesto que la factorización es una de las propiedades de la estructura algebraica de los números reales como cuerpo y por tanto para poder manipular adecuadamente con las operaciones de suma y multiplicación definidas en esta estructura es fundamental conocer todas las propiedades que la definen como tal. Desde el punto de vista práctico, la factorización permite en muchas situaciones escribir una expresión algebraica en producto de factores que van a hacer posible resolver ecuaciones e inecuaciones que en principio puede resultar complejas de resolver; por ejemplo hallar ceros de expresiones algebraicas, estudiar el signo de expresiones que pueden resultar en principio difíciles de resolver. [A la profesora se le pregunta, ¿te refieres a la propiedad distributiva? Y responde] Exactamente Gabriel, como mencioné en una respuesta anterior, la factorización implica utilizar la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Análisis

Tipos de tareas: descomponer, resolver ecuaciones e inecuaciones, hallar ceros de expresiones algebraicas; analizar el signo de expresiones algebraicas (esto suele ser útil al graficar funciones). Se observa también un discurso teórico asociado a la factorización, la propiedad distributiva de la multiplicación de los números reales con

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respecto a la suma.

H Si, es una herramienta que facilita la resolución de algunos problemas(ejem: limites)y la manipulación simbólica de expresiones algebraicas presentes en muchos campos de las matemáticas y otras ciencias

Análisis El profesor es general en su expresión, un tipo de tarea podría ser resolución de límites.

I

Si lo considero necesario y muy importante porque conforme se va avanzando en el nivel de grado escolar las expresiones con las que se trabajan se pueden simplificar mediante la factorización o en ocasiones se requiere factorizar para poder resolver un ejercicio, por poner un ejemplo al calcular límites en cálculo o para encontrar raíces de polinomios.

Análisis Tipo de tarea: Simplificación, calcular límites y determinar raíces de polinomios.

J

Es de vital importancia aprender a conocer los factores no solo de un número entero sino también de una expresión algebraica polinomial. En la materia de ecuaciones diferenciales me ha tocado ver alumnos que por no saber factorizar no pueden resolver una ecuación por el método de variables separables.

Análisis Tipo de tarea, descomponer en factores; resolver ecuaciones.

Tabla 2. Análisis de las respuestas a la pregunta ¿Es necesario enseñar la factorización?

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Síntesis respecto a la pregunta 4: ¿Es necesario enseñar la factorización?

Tipos de tareas detectados:

Resolver límites (4, de 10).

Integrar, 2 de 10.

Encontrar raíces o determinar ceros de expresiones algebraicas (4 de 10)

Simplificación (5 de 10)

Descomponer en factores (2 de 10)

Resolver ecuaciones (2 de 10)

Derivar (1 de 10)

Analizar el signo de expresiones algebraicas, esto suele ser útil al graficar funciones (1 de 10)

Teoría detectada:

La propiedad distributiva de la multiplicación de los números reales con respecto a la suma.

Técnicas detectadas:

El binomio al cuadrado (1 de 10)

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Valor epistémico

Es la noción de que una expresión algebraica tiene distintas representaciones equivalentes (2 de 10); esta noción podría ser empleada como un discurso tecnológico que da soporte a las técnicas que permiten resolver los tipos de tarea mencionados anteriormente.

La noción de propiedad distributiva de los números reales respecto a la suma (1 de 10).

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Profesor ¿Cómo enseñas la factorización, o cómo la

enseñarías?

A La factorización la enseño agrupando la de acuerdo al tipo de método esto es factorizar mediante un monomio factor común, dos binomios conjugados, dos binomios con un término común, etc.

Análisis No se puede decir mucho, el profesor fue impreciso. Utiliza casos de factorización, con monomios, binomios conjugados (productos notables).

B

Generalmente empiezo con las leyes de los exponentes para continuar expresiones algebraicas y terminar con productos notables, no todo en una sola clase, sino varias sesiones a lo largo de un mes. [ Al profesor Alfredo se le piden detalles y éste explica] Después de explicar las leyes de los exponentes, se aplican en ejercicios como los de la Actividad 1, y posteriormente realizar operaciones algebraicas donde además de involucrar exponentes, también signos y paréntesis como en la Actividad 2

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Análisis Las tareas que se observan son Simplificación (en el caso de la actividad 1) y la Multiplicación de expresiones algebraicas.

C

Pues creo que de manera muy tradicional, en los cursos en donde he tenido oportunidad de trabajar con factorización, el tiempo destinado es poco así que lo he hecho de la siguiente forma: Explicar qué es Dar algunos ejemplos Abordar por casos comunes y ejercicios de cada uno: Término común, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados, etcétera. Ejercicios combinados. Resolución de los mismos. Utilización de la factorización para simplificar expresiones.

Análisis El tipo de tarea, Simplificación. Aquí se observan técnicas de factorización: la diferencia de cuadrados (que corresponde con un tipo de producto notable) y completar el trinomio cuadrado.

D No se obtuvo respuesta de esta pregunta

Análisis

30    

E

El profesor expone casos de factorización y luego plantea algunas aplicaciones. Ejemplo:

Se quiere hallar una fórmula modelo para ventanas, con el propósito de variar sus atributos; está debe ser de la siguiente forma:

Si m =1 el área de la ventana es 16m² x =? Cuáles serían sus dimensiones Si m = 2 el área de la ventana es 25m² x = ?

Cuáles serían sus dimensiones Otra tarea que el profesor asigna, es resolver el siguiente problema:

Análisis

El tipo de tarea implicado es Determinar el valor de una incógnita, cuya solución podría encontrarse con una factorización. En el caso de la solución a la tarea, implica que el estudiante realice un trabajo con áreas, semejante a lo propuesto por Morales y Sepúlveda (2006).

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F

Primero.- Empiezo con números, por ejemplo: 6 + 4; pido que el alumno vea si puede obtener mitad, tercera, cuarta, etc. a ambos números, decide mitad, entonces obtiene 3+2, pero si decidió mitad debe agregar el dos multiplicando, quedando 2(3+2), comprobando el alumno que en ambos casos el resultado es 10. En este último proceso me aseguro que el alumno sabe sumar el 3+2 y este resultado lo multiplica por el 2 que está fuera del paréntesis y/o sabe multiplicar el 2x3 y después el 2x2 y suma ambos resultados, porque aunque parezca difícil de creer, algunos alumnos que ingresan a la licenciatura no saben hacer esto último. Segundo.- Escribo términos y les pido que identifiquen los elementos iguales o semejantes, por ejemplo: 6y + 4y, ahora pido que quiten de los términos, los elementos comunes, quedando 2y(3 + 2). Tercero.- Agrego más términos y elementos, por ejemplo: 6y + 4y + 4yz resultando 2y(3+2+2z) Y así sucesivamente, aumentando las variantes y complejidad de forma gradual hasta llegar a productos notables.

Análisis

Utiliza dos tipos de tareas, la primera es Determinar los divisores de dos números concretos y la otra tarea es Verificar igualdades en que factoriza, empleando los divisores antes mencionados; en este caso, al verificar la igualdad, esta tarea se considera tecnológica, pues tiene el propósito de mostrar la veracidad de lo que se ha hecho. Se plantean también tareas semejantes a las anteriores pero incorpora variables.

G

En primer lugar para adentrarnos en el uso de esta propiedad hay que lograr que los estudiantes se familiaricen con el concepto de factores, los factores son los elementos vinculados a partir de la operación multiplicación. La multiplicación definida en los reales

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(también puede ser en el conjunto de los naturales, enteros, racionales u otros conjuntos), es una operación binaria y dados dos elementos (a,b) de un conjunto le hace corresponder un único elemento (c/ a.b=c ) de este conjunto, a los elementos a y b se les denomina FACTORES y al elemento c se le denomina PRODUCTO de a y b. Es bueno trabajar con muchos ejemplos donde los estudiantes puedan identificar los factores involucrados en una expresión, por ejemplo: 1- 10x+10x^2-5x^3 (1); en esta expresión los términos involucrados en la suma son: 10x, 10x^2, -5x^3; cada uno de estos términos es un producto de la forma: 2.(5.x); 2.(5.x).x; -(5.x).x.x; se puede observar que cada término admite como factor a 5.x (este factor es común a cada uno de los términos de la suma escrita inicialmente al cual se le denomina FACTOR COMÚN; entonces aplicando la propiedad distributiva podemos escribir la expresión (1) como: 5.x(2+2x-x^2). 2- La idea anterior se puede generalizar para expresiones de la forma: 3(x+3)^2-(x-2)(x+3)^3+5(x+3)^2(3-x^2) (2); si tuviéramos que hallar los valores que anulan la expresión anterior es conveniente escribir la suma de términos que aparece, como el producto de factores, puesto que si el alumno aplica la propiedad distributiva desarrollando los términos obtendrían una ecuación de cuarto grado (en este caso sin raíces evidentes) y no sería posible con las herramientas básicas de álgebra resolver la ecuación homogénea. Utilizando la propiedad distributiva (para factorizar en lugar de desarrollar)la expresión (2) resulta: (x+3)^2(3-(x-2)(x+3)+(3-x^2))=0 esta forma de escribir la ecuación nos facilita su resolución, debemos aplicar la propiedad hankeliana y resolver las ecuaciones homogéneas que podemos determinar con cada uno de los factores implicados.

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Análisis

La profesora inicia exponiendo a los estudiantes la componente teórica, la propiedad de cerradura del producto de números reales. Se observa que la profesora utiliza el tipo de tarea que definimos como Inversa de la distributividad (ver tabla 1, María Alexandra). Otro tipo de tarea que se observa, es Determinar las raíces de una expresión algebraica.

H

Antes de enseñar algoritmos o formulas les enseñaría lo que es la factorización y la relación que tiene con la multiplicación y con la división, trataría que en cada caso se evidencie que. si b(x).c(x)=g(x) entonces g(x)/c(x)=b(x) ó g(x)/b(x)=c(x), muchos estudiantes no logran ver esta relación y creen que la factorización es un conjunto de fórmulas que hay que memorizar. El problema está en que muchos de los procedimientos donde la factorización muestra su potencial, son más avanzados que la temática de álgebra básica, que es en donde la factorización se enseña. [Se le piden detalles sobre las funciones que presenta, el profesor explica] Las funciones que les mencioné si son funciones reales, además son con las que más he tenido "contacto", no conozco aun el manejo de funciones complejas

Análisis

El tipo de tarea implícito aquí es Multiplicar funciones algebraicas, Dividir funciones algebraicas y Verificar igualdades entre expresiones algebraicas (esta última es una tarea tecnológica, porque el profesor desea hacer evidente la equivalencia).

I

El tema de factorización es muy extenso por ejemplo en álgebra primero vemos los productos notables y por cada producto notable realizan la factorización por ejemplo (a-b)(a+b)=a^2-b^2 entonces cuando han comprendido el producto notable les digo que lo que

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obtienen en este caso es una diferencia de cuadrados y que para factorizarla que sería regresarla a como estaba, les pregunto que ¿cómo lo harían? y así para cada producto notable. [Se le piden los siguientes detalles a la profesora; quisiera saber ¿cómo los introduces a la factorización de un polinomio de segundo grado y, esta explicación viene acompañada de un apoyo visual (como gráficas)? La profesora responde] Como te comenté para iniciar la factorización comienzo con los productos notables y una vez que muestro cómo realizar el producto nos regresamos a factorizarlo, en el caso de los polinomios de segundo grado vemos las gráficas en el momento en que les explico los ceros de la ecuación de segundo grado, aunque tal vez sería bueno mostrar la gráfica al momento de enseñar la factorización, la verdad no lo había pensado de esa manera.

Análisis El tipo de tarea para abordar la factorización que utiliza la profesora es realizar el proceso inverso de un producto notable.

J

La enseño mediante fórmulas. En la institución donde laboro (Tec de Monterrey) nos tienen prohibido dar formulario a los alumnos, las fórmulas de productos notables y factorización deben ser memorizadas por los estudiantes.

Análisis Es posible que el tipo de tarea para abordar la factorización, que utiliza el profesor sea realizar el proceso inverso de un producto notable.

Tabla 3. Análisis de las respuestas a la pregunta ¿Cómo enseñas la factorización, o cómo la enseñarías?

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Síntesis respecto a la pregunta 5: ¿Cómo enseñas la factorización, o cómo la enseñarías?

Los tipos de tareas observados son: Simplificación (2 ocurrencias), multiplicación de expresiones algebraicas (2 casos), proceso inverso al desarrollo de productos notables (2 casos), determinar el valor de una incógnita (1 caso), determinar las raíces de una ecuación algebraica (1 caso).

Tipos de tareas con técnicas: Simplificación, usando diferencias de cuadrados o completar el trinomio cuadrado (1).

Tipos de tareas con tecnología (o tareas tecnológicas, 2 casos): Determinar los divisores de dos números concretos y verificar igualdades concretas respecto a la factorización; solicitar el multiplicar expresiones algebraicas o dividirlas y verificar igualdades entre expresiones para ilustrar la factorización.

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Profesor ¿Qué crees que pasaría con un estudiante de secundaria o bachillerato que nunca logra aprender a factorizar?

A

Un estudiante que nunca aprende factorización tendrá problemas para resolver ecuaciones, límites derivadas, integrales etc. [Al profesor A se le piden detalles y el profesor aclara] El concepto que se dificultará entender será el de operaciones inversas es decir factorización y producto.

Análisis

Las dificultades están asociadas a los tipos de tareas: resolver ecuaciones, resolver límites, resolver derivadas y resolver integrales. La noción que se dificultará entender es la de factorización como una operación inversa a ciertos productos, este es un valor epistémico. En la explicación del profesor resalta el carácter práctico, por las tareas que el estudiante no podrá hacer si no sabe factorizar.

B

En mi experiencia, los estudiantes de bachillerato que no saben factorizar tienen muchas dificultades en el cálculo de límites, derivadas por definición, cambios de variable y métodos de integración, por mencionar algunos conceptos más allá de la propia álgebra.

Análisis

Los tipos de tareas que no podrá realizar son: cálculo de límites, derivar usando la definición de derivada e integrales (por cambio de variable); por lo anterior, la consecuencia para el estudiantes de no saber factorizar es práctica, éste no sabrá hacer ciertas tareas.

C

Justo lo mismo que pasa con la mayoría de los temas de los planes actuales. Son pocos los alumnos que se quedan con "algo" de los cursos anteriores, así van avanzando y llegan a preparatoria sin saber multiplicar. Si un alumno no aprende a factorizar, claro que perderá las habilidades que mencionaba en mensajes anteriores y tendrá dificultades en materias que requieran de las herramientas de factorización.

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[Se le piden los siguientes detalles a la profesora, “Comentas que la factorización permite desarrollar habilidades de razonamiento”, nos podrías explicar con más detalle de lo que tienes en mente sobre este asunto) La profesora responde] En cuanto a las habilidades me refiero a que, por ejemplo, cuando un estudiante se enfrenta a una expresión que requiere un par o más de herramientas de factorización deberá pensar qué es lo más conveniente, seguramente cometerá varios errores al principio pero con práctica adquirirá habilidades para identificar cómo es más conveniente iniciar la factorización. Además, todo el análisis que deberá realizar para dominar la factorización le ayudará a comprender las distintas representaciones de una misma expresión.

Análisis

Ya ha mencionado en otras preguntas, son dificultades prácticas, el alumno no podrá hacer ciertas tareas. Ella mencionó lo que consideramos un valor epistémico, la factorización ayuda a comprender las distintas representaciones de una misma expresión.

D

Es importante el que sepan de manera práctica la aplicación de la factorización, como la de los binomios al cuadrado y al cubo la metodología del libro álgebra del Dr. Baldor. Ocupando hojas de colores. Es algo complicado para él ya que sería ir a la reprobación en cuanto algebra elemental y en cuanto a derivación e integración también, ya que se aplica en varias áreas.

Análisis

Tipo de tareas que se complicarían, derivar e integrar expresiones algebraicas (funciones). Se observan técnicas de factorización: binomios al cuadrado y al cubo (que corresponde con un tipo de producto notable). La opinión del profesor de que el estudiante repruebe la materia por no saber factorizar muestra la importancia que se le asigna en la institución a esta

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técnica.

E

Creo que esa persona logrará terminar la secundaria con mucha dificultad, y si desea seguir su proceso de aprendizaje, de alguna manera deberá aprender; como ya se dijo el factorar es básico para el entendimiento de gran parte del álgebra, de la trigonometría, y el cálculo. [Al profesor E se le piden detalles y el profesor aclara] En la misma álgebra, el concepto de simplificación de fracciones algebraicas; el concepto de raíces de una función; gran parte de la trigonometría (problemas trigonométricos, identidades, cónicas, entre otras); en el cálculo, el concepto de función, y su gráficas, el concepto de límite, la derivación, y otras que no he profundizado.

Análisis

El profesor asocia no poder resolver ciertos tipos de tareas con su concepto. Tales tipos de tareas son, cálculo de ceros de una función, simplificar expresiones algebraicas, graficar funciones, resolver límites y derivadas. También considera que el alumno puede reprobar la materia, por ello es importante que la aprendan.

F

Considero que se le dificultará entender todo lo que tenga que ver con álgebra [Al profesor F se le piden detalles y el profesor aclara] Para un estudiante de bachillerato, el ejemplo podría ser, obtener la integral de (y/(xy+y))dx, si no sabe factorizar, este problema tan simple, le será difícil resolver.

Análisis El tipo de tarea observado es resolver una integral, utilizando simplificación. El valor es práctico.

G Sí creo que un estudiante que no pueda abstraer el concepto de factorización probablemente tenga además problemas para abstraer y manipular con el

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objeto número y si esto pasa, ¿qué matemática puede aprender? No creo que un alumno NUNCA logre aprender a factorizar, puede suceder que a algunos les cueste más que a otros, pero con ganas e insistencia, a la larga se aprende. Creo que en determinados niveles (secundario básico), la factorización es un concepto difícil de aprehender, pero a medida que el estudiante va "madurando en matemática", va incorporando a su estructura cognitiva esta noción y otras... [Se le piden los siguientes detalles a la profesora, “me resulta muy interesante lo que comentas de ir madurando en matemáticas, pero ¿por qué consideras que la factorización es un concepto? y a medida que el alumno va madurando, ¿cuál o cuáles son estas nociones que va adquiriendo?”, la profesora responde] La factorización es un concepto, primero debo exponer a qué me refiero con concepto matemático, creo que un concepto matemático es una idea matemática que es posible definir, caracterizar (espero no estar errada...). La factorización es una idea matemática que podemos definirla como "el uso de la propiedad distributiva"... Si un estudiante no sabe factorizar, nos cabe preguntarnos si entiende qué son los factores, creo que se le imposibilita el entender y hacer uso de la propiedad hankeliana y de ahí no será capaz de entender las propiedades vinculadas a la divisibilidad en N y mucho menos en Z. No será capaz de comprender la divisibilidad en polinomios y menos aún entender la descomposición factorial de los polinomios, la idea de factores primos en polinomios dependiendo del conjunto numérico donde éste esté definido. No será capaz de resolver adecuadamente (entendiendo el sentido de ) ecuaciones, inecuaciones, simplificación de expresiones algebraicas, etc. Creo que un estudiante que no entienda la factorización tendrá serias dificultades en poder comprender ideas más abstractas vinculadas tanto al álgebra como al análisis.

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Análisis

La profesora maneja la componente teórica, la propiedad distributiva de los números reales, para la comprensión del concepto de factorización. Entender la idea de esta propiedad es el valor epistémico de ella. Otras ideas matemáticas son: la noción de factor, la propiedad Hakeliana (si a y b son números reales y a.b=0, entonces a=0 o b=0), la divisibilidad de polinomios, la descomposición en factores de polinomios (que podemos asociar al teorema fundamental del álgebra). Las tareas observadas son: resolver ecuaciones algebraicas, resolver inecuaciones algebraicas, simplificar ecuaciones algebraicas.

H

Bueno no me atrevería a decir que factorizar sea algo que impida totalmente a un alumno aprender algo nuevo (aun no conozco el caso), pero si sé le dificultaría el aprendizaje de algunos tópicos más avanzados en donde se use la factorización para reescribir una expresión algebraica y hacer manipulaciones simbólicas. [Al profesor H se le piden detalles y el profesor aclara] Las tareas que se le dificultaría realizar son: En geometría analítica, volúmenes de sólidos (ejm. conos truncados), en cálculo (limites, derivadas, integrales), resolución de ecuaciones.

Análisis Reescribir una expresión algebraica es un tipo de tarea, otros son, resolver límites, derivadas, integrales y resolver ecuaciones.

I

Pienso que se le dificultaría su avance en matemáticas en temas como límites, obtención de raíces de polinomios, simplificar expresiones algebraicas. [A la profesora I se le piden detalles, “¿Qué concepto o conceptos, se le dificultaría entender al estudiante si no saben factorizar expresiones algebraicas?”, la profesora explica] No tengo mucha idea pero se le dificultaría simplificar expresiones algebraicas.

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[A la profesora I se le piden detalles, “¿Es mi percepción o muchos profesores de matemáticas se esfuerzan mucho para que sus estudiantes puedan factorizar, qué opinas?”, la profesora explica] Conseguir que aprendan a factorizar en el tema de ecuación cuadrática porque así lo marca el plan de estudios, que aprendan a completar cuadrados y a factorizar trinomios. Supongo que en mi caso es por economía, es decir, tengo la idea de que si aprende a factorizar ahorraré tiempo más adelante cuando requiera que factoricen, por ejemplo cuando llegue al tema de las secciones cónicas y quiera que de la ecuación general obtengan la canónica para determinar los elementos de las cónicas.

Análisis

Las tareas observadas son: resolver límites, obtención de raíces y la simplificación. Aquí se observan técnicas de factorización: trinomios cuadrados y completar el trinomio cuadrado. Otra tarea en que se emplea la factorización es en determinar las partes de una cónica. No se expresan valores epistémicos.

J

Si el estudiante no sabe factorizar no podrá entender muchos conceptos como la integración por fracciones parciales. O simplemente meros despejes algebraicos que solo sabiendo factorizar pueden resolverse. También en ecuaciones diferenciales en diversos temas se ocupa mucho la factorización, en solución de ecuaciones por separación de variables, en las ecuaciones homogéneas de grado n., etc

Análisis Los tipos de tareas, la integración por fracciones parciales; realizar ciertos despejes algebraicos; solución de ecuaciones diferenciales.

Tabla 4. Análisis de las respuestas a la pregunta ¿Qué crees que pasaría con un estudiante de secundaria o bachillerato que nunca logra aprender a factorizar?

Síntesis a la pregunta 6: ¿Qué crees que pasaría con un estudiante de secundaria o bachillerato que nunca logra aprender a factorizar?

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Es notable que sólo 3 de 10 profesores, mencionaron lo que interpretamos como un valor epistémico relacionado con el entendimiento de la factorización. Tales nociones son:

La idea de que una expresión algebraica puede tener distintas formas equivalentes de representarse; esta noción es importante pues podría desempeñarse como un elemento tecnológico para justificar la factorización en los distintos tipos de tareas en que ésta se emplea, por ejemplo, cuando se usa la factorización para remover una indeterminación si se está resolviendo un límite que lo requiere.

La noción de la propiedad distributiva de los números reales, para la comprensión del concepto de factorización; pues esta es la componente teórica que justifica la tecnología explicada en el párrafo anterior.

El teorema fundamental del álgebra, íntimamente relacionado con la descomposición en factores de polinomios.

La propiedad Hakeliana, si a y b son números reales y a.b=0, entonces a=0 o b=0; de hecho Ochoviet y Octaç (2006, p.422), sugieren que con los estudiantes, en el proceso de estudio, debe abordarse antes el estudio de la factorización, para posteriormente le den sentido a la propiedad Hakeliana.

La factorización como una operación inversa a ciertos productos.

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7 de los 10 profesores restantes manifiestan valores prácticos sobre la factorización, pues hacen referencias al saber hacer, a través de los tipos de tareas que implican en sus discursos. Los tipos de tareas que se advirtieron, considerando a todos los profesores son:

4 profesores mencionan resolver ecuaciones; 5 mencionan resolver límites; 5 resolver derivadas, 6 integrar, 1 calcular ceros de una función, 1 simplificación, 1 graficar funciones, 1 resolver inecuaciones,1 cálculo de raíces de una ecuación y 1 mencionó determinar las partes de una cónica.

En relación a las técnicas para factorizar, 2 profesores manifestaron el binomio al cuadrado y el binomio al cubo y completar el trinomio cuadrado perfecto.

CAPÍTULO VI. CONCLUSIONES

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La pregunta principal que planteamos en esta investigación fue, según profesores de matemáticas, ¿cuál es el valor de la factorización de expresiones algebraicas en la escuela? El término valor es entendido en esta investigación como el grado de utilidad o aptitud de la factorización para resolver una tarea (valor o utilidad práctica) o aprender un concepto matemático (utilidad epistémica).

Respecto al valor práctico. Basándonos en los análisis de las respuestas a cada una de las preguntas de la entrevista-foro, se concluye que el valor práctico de la factorización de expresiones algebraicas es más fácilmente evocado por los profesores que alusiones conceptuales; en sus discursos las menciones de los profesores a los tipos de tareas que la factorización permite resolver destacan con respecto a consideraciones conceptuales que esta pudiera permitir a estudiantes. A continuación, orden por el número de menciones que tuvieron en los foros, se presentan los tipos de tareas, o utilidad práctica, que tiene asociada la factorización de expresiones algebraicas; es necesario acotar que aunque la expresión de los tipos de tarea es en general, por ejemplo, resolver límites, nos referimos a ciertos tipos de límites en donde la factorización se puede emplear:

t1. Simplificar expresiones algebraicas (17) t2. Descomponer expresiones algebraicas en factores (11) t3. Resolver ecuaciones (10) t4. Resolver límites (9); t5. Calcular raíces de una ecuación (6) t6. Resolver derivadas (6) t7. Resolver integrales (3) t8. Multiplicar expresiones algebraicas (2) t9. Realizar el proceso inverso al desarrollo de productos notables

(2) t10. Analizar el signo de expresiones algebraicas (1) t11. Calcular ceros de una función (1) t12. Determinar el valor de una incógnita (1) t13. Determinar las partes de una cónica (1) t14. Graficar funciones (1)

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t15. Inversa de la distributividad (1) t16. Resolver inecuaciones (1)

Sea 𝑇 el conjunto formado por todos estos tipos de tareas, entonces 𝑡! ∈ 𝑇, 𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑡 = 1, 2,… 16

Respecto al valor epistémico de la factorización de expresiones algebraicas; esta utilidad fue detectada en los discursos de tres profesores, consisten en las ideas matemáticas que la factorización permitiría entender al estudiante.

• La noción de que una expresión algebraica tiene distintas representaciones equivalentes (2 de 10). Esta idea podría ser utilizada como un discurso tecnológico para justificar la factorización como técnica en la realización de los tipos de tarea mencionados en el apartado anterior (𝑇). Sea 𝜃! este discurso tecnológico y sea 𝜋 la técnica factorización de expresiones algebraicas.

• La propiedad distributiva de los números reales respecto a la suma (1 de 1): Si 𝑥, 𝑦, 𝑧𝜖ℝ, entonces, 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧. Este es un elemento teórico que justifica la factorización, inclusive a 𝜃!. Sea Θ esta propiedad.

• El teorema fundamental del álgebra, el cual establece que todo polinomio en una variable de grado 𝑛   ≥  1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja); la cual implica la descomposición en factores de polinomios.

• La propiedad Hakeliana, si a y b son números reales y a.b=0, entonces a=0 o b=0.

• La de la factorización como una operación inversa a productos de expresiones algebraicas. Esta idea también podría ser utilizada como un discurso tecnológico para 𝜋. Sea este discurso 𝜃!.

La factorización es una técnica institucionalizada, pues suele estar indicada en planes de estudio para ser estudiada, por ello suele no cuestionarse en el discurso de los profesores, quienes consideran que

46    

sí debe ser enseñada. Existe un gran esfuerzo por parte de profesores para que la factorización sea aprendida; las dificultades para conseguirlo podrían ser la manifestación de otro problema conceptual en los estudiantes, tal vez relacionado al concepto de variable.

Algunos casos particulares de factorización de expresiones algebraicas, como técnica, fueron:

Elevar el binomio al cuadrado (2 de 10)

Completar el trinomio cuadrado perfecto (2)

Utilizar la diferencias de cuadrados

Binomio al cubo

Tecnologías

𝜃!. Verificar igualdades concretas respecto a la factorización;

𝜃!. Solicitar multiplicar expresiones algebraicas o dividirlas y verificar con ellos igualdades entre éstas expresiones para ilustrar la factorización.

Finalmente, una praxeología relativa a 𝑇, en que la factorización,  𝜋, es una técnica, y 𝜃 = 𝜃!,𝜃!,𝜃!,𝜃! , podría expresarse así: [𝑇,𝜋,𝜃,Θ], en el cual los profesores de este estudio favorecen el bloque teórico práctico [𝑇,𝜋] y se persive la necesidad de promover el uso del bloque completo [𝑇,𝜋,𝜃,Θ].

Finalizamos esta sección con la cita de Ochoviet y Octaç (2006):

Si enseñamos una regla, vacía de significado, el estudiante podrá recordar quizás sus características sintácticas y tal vez pueda también enunciarla, pero no siempre podrá evocarla y aplicarla para resolver una situación, ya que no posee significados que le permitan

47    

reconocer en la situación que debe resolver su aplicabilidad. Ochoviet y Octaç (2006, p.422).

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48    

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para la preparación para el ingreso a los estudiantes universitarios. En

P. Leston (Eds.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (vol.

24, pp. 1142-1149). México D.F.: Comité Latinoamericano de

Matemática Educativa.

 

51    

 ANEXOS  

sección de aplicación de la secuencia

52    

Todos los profesores han dado algún curso de álgebra, ocho de ellos

en nivel superior, uno de ellos en básico y dos en medio superior (uno

de estos también en superior, así que también está contado).

Profesor ¿En qué nivel das clases actualmente? y

¿Has enseñado álgebra?

A

Actualmente doy clases en nivel medio superior

(preparatoria) y superior (ingeniería).

En Matemáticas I y II en preparatoria se ven temas de

Álgebra.

B

Doy clases a nivel Licenciatura en la Facultad de

Ciencias y la Facultad de Ciencias Marinas en UABC.

He impartido cursos para los alumnos de tronco

común en los que los temas son fundamentalmente

Álgebra.

C Actualmente imparto clases en Universidad: tronco

común de la Facultad de Ciencias y en la Lic. en

53    

Matemáticas, UABC

Cursos de álgebra como tal, este semestre imparto

lineal. He dado el curso de introducción a las

matemáticas en el cual una buena parte es álgebra, la

bibliografía básica de éste es el libro de Precálculo de

Stewart, así que además de álgebra se cubren

muuuuchas otras áreas. Hace un par de año trabajé

con estudiantes de preparatoria en todos los

semestres, así que (aunque no recuerdo en cual) en

algún momento también me tocó trabajar con álgebra.

D

Imparto clases en la Universidad Tecnológica del

Centro de Veracruz, la materia que imparto es

Matemáticas 1 en:

Técnico Superior en:

Procesos Alimentarios

Agricultura Sustentable

Energía Renovables,

Todos ellos son de primer cuatrimestre, dentro de su

programa de estudio, se encuentra la unidad Algebra,

son pocos temas, ya que un curso completo de

54    

algebra, no lo es.

E Soy profesor de los primeros niveles de secundaria,

imparto la cátedra de álgebra para los iniciantes.

F

Actualmente imparto clases de matemáticas en el nivel

de licenciatura.

Enseño álgebra en el curso propedéutico y en el

primer cuatrimestre de licenciatura.

G

Trabajo en secundaria, 6º año ingeniería (análisis), en

el profesorado de matemática este año dicté el curso

de fundamentos (esencialmente es álgebra) y en el

primer semestre trabajé en la universidad dictando el

curso de cálculo1 para estudiantes del Tecnólogo en

telecomunicaciones.

H

¿En qué nivel das clases actualmente?

en grado 8

55    

¿Has enseñado álgebra?

si, esa temática la he enseñado

I

¿En qué nivel das clases actualmente?

Nivel Bachillerato

¿Has enseñado álgebra?

Sí, he impartido álgebra

J Soy docente de Matemáticas a nivel superior en el

ITESM-CCM