CUADERNO DE VERANO MATEMÁTICAS “B” 4º E.S.O. · 2011-06-26 · Recuerda los productos...

CUADERNO DE VERANO

MATEMÁTICAS “B” 4º E.S.O.

COLEGIO MAESTRO ÁVILA Y SANTA TERESA

ALUMNO:_____________________________________________________________________

Benito Prieto Berzal MATEMÁTICAS “B” 4º E.S.O.

2

TEMA 1

NÚMEROS REALES 1. Completa el siguiente cuadro:

[–1,3]

0 2

–2 4

[–2,1)

–1

– 3

x > 2

(0,)

1 x < 5

(–1,5)

x 0

[2/3,)

–2 < x 2

–3 x 3

x < –3, x > 3

2. Calcula en los casos que sea posible las siguientes raíces:

3. Extrae todos los factores que sea posible en los siguientes radicales:

3 33435 ab27 e) ;a4 )d ;x c) ;243 b) ; 64 )a

4. Reduce a común índice los siguientes radicales:

34 31233 x ; x ; x c) 64 ; 5 b) 6 ; 2 )a

0025,0 f) ; 400 e) ; 216 d) ; 216 )c; 144- b) ; 144)a 33


3

5. Escribe como potencia de exponente fraccionario:

1x2 g) ; 1x f) ; y

x5 e) ; xy d) ; x c) ;

3

2b) ; 5 )a

4

2

5 34

5

3

6. Escribe en forma de radical:

3

12

1

5

1

2

12

1

x8 e) ; 4 d) ; xy c) ; x3 b) ; 2 )a

7. Calcula:

43124333 9612 d) 432 ) 53) 632 ) cba

75

118)e f)

27

93

g) x

x

4

2 3

h) 34

2

x

x i)

4 5

3 2

x

xx

8. Simplifica:

a) 3 8 b) 3 c) 32 d) 6 53

3 2

xax

xaax

e) xxx f)

3

2.3.2 2

3

5

3

2

1

g) y

xx

23 h) 5 303015 ..2 yx i)

3

1

xx

9. Racionaliza y simplifica:

a) 5

5 b)

3 5

25 c)

4 4

2 d)

23

3

e)

23

1

f)

522

1

g)

yx

yx


4


5

TEMA 2

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

1 Calcula:

a. 3x5x3x1x2x5x2 3434

b. x5x4x2x1x2x3x 23434

c.

5x

7

2x

2

5x

5

2

3

1x

2

7x

2

1x

5

2x

3

1 53354

d. 5xx3 2

e.

5

1x

5

2x

7

5 34

f.

3

2x

2

5x

7

2

5

xx5 34

5

g.

3

2x

7

1x

5

4

3

x2x 2

3

2 Calcula:

a. 24 x3:x5

b. x6

2:x

5

7 5

c. 5

2:x

2

5

3 Efectúa las siguientes divisiones:

a. 1xx:3x2x3x 223

b. 1x:5x3x5xx2 234 =

c. 1x3x2:5xx3x2x 2234

4 Aplica la regla de Ruffini para calcular el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a. 1x:3x2x3x 23

b. 2x:32x5

c. 3x:5xx3x2x 234

5 Calcula el valor numérico de P(x) para x = –1 en los siguientes casos:

a. 6x2x)x(P 2

b. 3x2

1x

5

2)x(P 23

6 Dado el polinomio 3xx5x)x(P 23 , calcula:

a. El valor numérico del polinomio en x = 2

b. El resto de la división )2x(:)x(P

¿Qué observas en las soluciones de los apartados anteriores?


6

7 Calcula el reto de las siguientes divisiones aplicando el teorema del resto:

a. 3x:60x23x2x 23

b. 4x:3x5x3x2 23

8 Comprueba si los valores 1, –1, 2, –2 son raíces de los siguientes polinomios:

a. 1x2x)x(P 2

b. 12x16x7x)x(Q 23

9 ¿Cuánto ha de valer m para que las siguientes divisiones sean exactas?

a. 1x:1mxx2

b. 2x:mx7x5x 23

10 Calcula el valor de K para que al efectuar las divisiones se obtengan los restos adecuados:

a. -12resto ;1x:kx7x3

b. 10resto ;2x:2kxx3

11 Descompón en factores los siguientes polinomios:

a. 2xx2x 23

b. 4x3x 23

c. 2x5x4x 23

d. x60x32x11x8x 2345

e. 36x32x5x 23

12 Escribe un polinomio que cumpla las siguientes condiciones en cada caso:

a. Que tenga como raíces los valores 1, 2 , –3.

b. Que sea divisible entre x–1 y x+3.

c. Que sea de primer grado, que al dividirlo entre x+1 se obtenga de resto 1 y al dividirlo entre

x–2 se obtenga de resto 7.

13 Simplifica las siguientes fracciones:

a.

1x2x

1x2

2

b.

8x

4x3

2

c.

2

2

aax

aaz

d. 32

244

cab3

cba5

e.

x4x4xx

4x5x234

24

14 Efectúa:

a.

3x

1

2x

3x

3x

2x c.

1x

x

1x

x

x

1 b.

1x

x3

1x

x2

1x

1

1x

x

1x

1x f.

x

1x:

x

2x e.

1x

1x

1x

x

1x

5 .d

2

2

Recuerda los productos notables:

bababa

abbaba

abbaba

22

222

222

2

2


7

TEMA 3

ECUACIONES Y SISTEMAS 1. Resolver:

2. Resolver:

3. Resolver:


8

4. Resolver:

5. Resolver:

6. Resolver:

7. Resolver:


9

TEMA 4

INECUACIONES


11

TEMA 5

TRIGONOMETRÍA


12

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS


13


14

TEMA 6

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA 1. Calcula las coordenadas del vector que nace en el punto A (4, 5) y tiene el extremo en el punto B (–1,

2).

2. Halla el módulo de los vectores: a = (–1, 5); b = (3, –2); c = (–4, 2); d = (5, 0)

3. Determina el valor de k de manera que el vector u = (k, 1/4) sea unitario (módulo 1).

4. Halla las coordenadas del origen de un vector cuyo extremo es B (0, 2) y es equipolente al vector v =

(2, –1).

5. Si A (3, –1) y el vector libre v = (–1, 2), halla las coordenadas del punto B tal que AB sea un

representante de v.

6. Las coordenadas del punto A y del vector AB son A (5, –1) y AB = (2, 4). Halla las coordenadas del

vector de posición del punto B.

7. El vector AB tiene coordenadas AB = (2, 5).

a) Determina las coordenadas de BA y dibuja los dos vectores.

b) Calcula AB + BA y AB – BA .

c) Calcula 2AB y 2 BA . Compara los resultados.

8. Dados los siguientes vectores a = (5, 0); b = (–2, –3); c = (–1, 4), calcula:

a) (a + b) + c

b) a + (b + c)

c) Compara los resultados anteriores.

9. Si b = (5, –1) y c = (3, 0), halla las coordenadas del vector a que verifica 2b + a = 3 c.

10. Demuestra que el triángulo de vértices A (6, 4), B (2, 10) y C (3, 2) es rectángulo.

11. Comprueba que los vectores AB y CD tienen el mismo módulo siendo A, B, C, D los puntos de

coordenada A (2, 1), B (4, 2), C (0, –4) y D (–1, –2). 12. Halla el perímetro del triángulo de vértices A (1, 2), B (1, 5), C (4, 2). ¿Qué clase de triángulo es? 13. Los puntos medios de los lados de un triángulo son M (0, 3), N (3, 2), P (2, 0). Halla las coordenadas de

los vértices del triángulo. 14. En el cuadrilátero ABCD, sus vértices tienen por coordenadas A (2, 0), B (0, –4), C (–2, 2), D (2, 4). Si

se unen los puntos medios de cada dos lados consecutivos, ¿cómo es el cuadrilátero que resulta? 15. Encuentra la ecuación de cada una de las siguientes rectas:

a) perpendicular a 6x + 5y = 2 conteniendo el punto (0, 4). b) paralela a 3x + 4y –15 = 0 conteniendo al punto (0, 3). c) paralela a 5y – 5x + 12 = 0 conteniendo al punto (0, –3). d) pendiente m = 2 pasando por el punto de intersección de x + y = 3, y de 2x – 3y + 9 = 0.

16. Dos lados de un rombo están sobre las rectas 3x – y – 2 = 0, x – y – 5 = 0. Encuentra las ecuaciones de

las rectas que contienen a los otros dos lados si un vértice es (4, 3). 17. Calcula el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero de vértices A, B, C, y D siendo A

(–3, –3), B (4, –1), C (3, 2) y D (–1, 6). Explica los pasos que sigues. 18. Calcula la pendiente de las rectas que tienen como vector director:

a) u = (3, 2) b) u = (9, 6) c) u = (–6, –4) d) u = (–3, 0)


15

19. Halla la ecuación vectorial de los ejes de coordenadas. 20. Halla las ecuaciones en todas sus formas de:

a) los ejes de coordenadas. b) la bisectriz del primer y tercer cuadrante. c) la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante.

21. Averigua si los puntos A (–2, 3), B (1, 5), C (2, 6) están alineados. 22. Halla la ecuación continua de la recta que pasa por los puntos A (1, 3) y B (2, 1). Calcula el punto medio

del segmento AB y halla la ecuación general de la recta perpendicular que pasa por dicho punto medio.

23. La ecuación de una recta en forma continua es4

1y

3

2x

. Halla un punto y un vector director de la

misma. 24. Halla la ecuación en forma continua de la recta que pasa por los puntos:

a) A (–2, –3), B (–1, –4) b) A (0, 1), B (1, 0)

25. Expresa la recta de ecuación implícita 3x + 4y – 6 = 0 en forma continua, explícita y puntopendiente. 26. Dada la recta de ecuación general 3x + 4y – 12 = 0; Halla sus puntos de intersección con los ejes y

dibuja la recta. 27. Halla el valor que debe tomar k para que las rectas (4 – k)x + 4y + 3 = 0 y 4x + (4 + k)y –1 = 0 sean

paralelas. 28. Encuentra la distancia entre (2, 1) y la recta de ecuación x – 2y = 8. 29. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta 2x – 9y + 14 = 0. a) P (1, 8) b) P (–3, 5) c) P (7, –2) d) P (–6, –4) 30. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta 2x – 9y + 14 = 0. a) P (1, 8) b) P (–3, 5) c) P (7, –2) d) P (–6, –4)


16

TEMA 8

FUNCIONES I 1. Representa las siguientes funciones:

2. Calcula el dominio de las siguientes funciones:


17

3. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

i) Calcula también: fog; gof; f -1

; fof -1

;

ii)

iii)

4. Calcular los siguientes límites:

a) 2

2

x x

3x86x Lim

b) 3x x

1)-2)(x1)(5x-(3x Lim

c) 1x3x5

2x37x Lim

4

4

x

d) 3x5

x31)(2x Lim

2

2

x

e) )3x()3x2(

)2x(2)-(3x Lim

2

33

x

f)

x8x5

7x

25x

93x

Lim

2

2x

g) 2xx

1x52x Lim

34

49

x

h) 2x3 xLim 3

x

i) 4x3x2

1x4x Lim

2

2

x

j) 6x51x

32x Lim

x

k) 3x2x

6xx Lim

2

2

3 x

l) 10x7x

6x5x Lim

2

2

2 x

m) 4x

12x4x3x Lim

2

23

2 x

n) 2x13x8x

2xx2x Lim

23

34

2 x

o) 9x

27x Lim

2

3

3 x

p) 1x

x

1x

x Lim

2

3

2

3

x

q) 5x3x Lim 2

2 x

r) 32x

1

2x

1 Lim

2 x

s) 1xxx

6x6x Lim

34

23

1 x

t) 23

4

0 x xx

3x Lim

u) 5x3x Lim 2

x

v) 32x

1

2x

1 Lim

x

w) 3x

1-x Lim

2 x


18

TEMA 9

EXPONENCIALES Y LOGARITMOS


19


20

TEMA 10

FUNCIONES II

Representa gráficamente y estudia las siguientes funciones a trozos:

1x,5x6x

1x2,1x3

2x,2x

1

)x(f)a

2

1x,x2x

1x3,5x2

3x,3x

1

)x(f)b

2

1x,3x2

1x3,2x4x

3x,4x

1

)x(f)c 2

1x,x2x

1x3,5x2

3x,3x

1

)x(f)d

2

0x,x2x

0x2,4x2

2x,2x

1

)x(f)e

2

2x,2x

1

2x0,2x2x

0x,2x

)x(f)f2

0x,2x2x

0x1,2x2

1x,1x

1

)x(f)g

2

2x,2x

1

2x1,1x2x

1x,2x2

)x(f)h2

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