Matemáticas 4º ESO · Matemáticas 4º ESO Opción B 1 Matemáticas 4º ESO (Opción B) Colegio...

Matemáticas 4º ESO Opción B

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Matemáticas 4º ESO (Opción B)

Colegio Santa María del Carmen Alicante

Profesora: Victoria Alfosea


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Índice de contenidos

Introducción .........................................................................................................................3 Objetivos generales de Matemáticas para la ESO ..............................................................4 Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B .......................................................5 Competencias básicas.........................................................................................................6 Metodología .........................................................................................................................8 Índice de unidades y temporalización..................................................................................9 Criterios de calificación......................................................................................................10

Unidad 1: Trigonometría básica .....................................................................................11 Unidad 2: Resolución de triángulos................................................................................27 Unidad 3: Vectores.........................................................................................................43 Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos .......................................................................61 Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales .....................................................89 Unidad 6: Inecuaciones................................................................................................107 Unidad 7: Límites de sucesiones .................................................................................133 Unidad 8: Estudio de las funciones ..............................................................................151 Unidad 9: Tipos de funciones.......................................................................................181 Unidad 10: Cálculo de derivadas .................................................................................199 Unidad 11: Combinatoria..............................................................................................215 Apéndice: Lenguaje matemático ..................................................................................241

Introducción

El material que tienes en las manos es una guía didáctica para el seguimiento del curso. A través de las explicaciones teóricas, sus numerosos ejercicios, más otros que te pro-pondremos durante el curso, queremos conseguir que esta guía te sirva de ayuda, no sólo para comprender los fundamentos de las Matemáticas, sino que pretendemos que te lle-gue a interesar esta materia tanto como a tus profesores, e incluso, consigas quererla tan-to como la queremos nosotros. Aquí encontrarás los objetivos, contenidos, criterios de evaluación (acordes a la Ley Or-gánica de Educación 2/2006, de 3 de mayo, y que se concretan en el REAL DECRETO, BOE, 1631/2006, de 29 de diciembre, en el DECRETO 112/2007. DOGV, de 20 de julio), así como su contribución a la adquisición de las competencias básicas (o aprendizajes que se consideran imprescindibles), la metodología empleada y la temporalización de las unidades didácticas que necesitas conocer para el correcto aprovechamiento del curso que ahora comienzas. Te rogamos que sepas disculpar los posibles errores que pudieras encontrar en esta guía, y que no dudes en comunicárnoslos a los profesores para que podamos mejorarla en futu-ras versiones.

Profesores de 4º de ESO


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Objetivos generales de Matemáticas para la ESO

La enseñanza de las Matemáticas en esta etapa tendrá como objetivo el desarrollo de las siguientes capacidades: 1. Mejorar la capacidad de pensamiento reflexivo e incorporar al lenguaje y modos de ar-gumentación las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto en los procesos matemáticos o científicos como en los distintos ámbitos de la actividad humana, con el fin de comunicarse de manera clara, concisa y precisa. 2. Aplicar con soltura y adecuadamente las herramientas matemáticas adquiridas a situa-ciones de la vida diaria. 3. Reconocer y plantear situaciones susceptibles de ser formuladas en términos matemá-ticos, elaborar y utilizar diferentes estrategias para abordarlas y analizar los resultados utilizando los recursos más apropiados. 4. Detectar los aspectos de la realidad que sean cuantificables y que permitan interpretarla mejor: utilizar técnicas de recogida de la información y procedimientos de medida, realizar el análisis de los datos mediante el uso de distintas clases de números y la selección de los cálculos apropiados, todo ello de la forma más adecuada, según la situación planteada. 5. Identificar los elementos matemáticos (datos estadísticos, geométricos, gráficos, cálcu-los, etc.) presentes en los medios de comunicación, Internet, publicidad u otras fuentes de información, analizar críticamente las funciones que desempeñan estos elementos ma-temáticos y valorar su aportación para una mejor comprensión de los mensajes. 6. Identificar las formas planas o espaciales que se presentan en la vida diaria y analizar las propiedades y relaciones geométricas entre ellas; adquirir una sensibilidad progresiva ante la belleza que generan. 7. Utilizar de forma adecuada los distintos medios tecnológicos (calculadoras, ordenado-res, etc.) tanto para realizar cálculos como para buscar, tratar y representar informaciones de índole diversa y también como ayuda en el aprendizaje. 8. Actuar ante los problemas que se plantean en la vida cotidiana de acuerdo con modos propios de la actividad matemática, tales como la exploración sistemática de alternativas, la precisión en el lenguaje, la flexibilidad para modificar el punto de vista o la perseveran-cia en la búsqueda de soluciones. 9. Elaborar estrategias personales para el análisis de situaciones concretas y la identifica-ción y resolución de problemas, utilizando distintos recursos e instrumentos y valorando la conveniencia de las estrategias utilizadas en función del análisis de los resultados y de su carácter exacto o aproximado. 10. Manifestar una actitud positiva muy preferible a la actitud negativa ante la resolución de problemas y mostrar confianza en la propia capacidad para enfrentarse a ellos con éxi-to y adquirir un nivel de autoestima adecuado, que les permita disfrutar de los aspectos creativos, manipulativos, estéticos y utilitarios de las Matemáticas.


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11. Integrar los conocimientos matemáticos en el conjunto de saberes que se van adqui-riendo desde las distintas materias de modo que puedan emplearse de forma creativa, analítica y crítica. 12. Valorar las Matemáticas como parte integrante de nuestra cultura: tanto desde un pun-to de vista histórico como desde la perspectiva de su papel en la sociedad actual y aplicar las competencias matemáticas adquiridas para analizar y valorar fenómenos sociales co-mo la diversidad cultural, el respeto al medio ambiente, la salud, el consumo, la igualdad entre los sexos o la convivencia pacífica.

Criterios de evaluación para Cuarto de ESO, opción B

1. Planificar y utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas tales como la emisión y justificación de hipótesis o la generalización. 2. Expresar verbalmente con precisión y rigor, razonamientos, relaciones cuantitativas e informa-ciones que incorporen elementos matemáticos, valorando la utilidad y simplicidad del lenguaje matemático. 3. Utilizar los distintos tipos de números y operaciones, junto con sus propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria y otras materias del ámbito académico. 4. Calcular el valor de expresiones numéricas de números racionales (basadas en las cuatro ope-raciones elementales y las potencias de exponente entero que contengan, como máximo, tres operaciones encadenadas y un paréntesis), aplicar correctamente las reglas de prioridad y hacer un uso adecuado de signos y paréntesis. 5. Simplificar expresiones numéricas irracionales sencillas (que contengan una o dos raíces cua-dradas) y utilizar convenientemente la calculadora científica en las operaciones con números re-ales, expresados en forma decimal o en notación científica y aplicar las reglas y las técnicas de aproximación adecuadas a cada caso; valorar los errores cometidos. 6. Dividir polinomios y utilizar la regla de Ruffini y las identidades notables en la factorización de polinomios. 7. Resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita e inter-pretar gráficamente los resultados. 8. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolución de ecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. 9. Utilizar instrumentos, fórmulas y técnicas apropiadas para obtener medidas directas, y para las indirectas en situaciones reales. 10. Utilizar las unidades angulares del sistema métrico sexagesimal, y las relaciones y razones de la trigonometría elemental para resolver problemas trigonométricos de contexto real, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica. 11. Conocer y utilizar los conceptos y procedimientos básicos de la geometría analítica plana para representar, describir y analizar formas y configuraciones geométricas sencillas.


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12. Identificar relaciones cuantitativas en una situación, determinar el tipo de función que pue-de representarlas y aproximar e interpretar la tasa de variación a partir de una gráfica, de da-tos numéricos o mediante el estudio de los coeficientes de la expresión algebraica. 13. Representar gráficamente e interpretar las funciones constantes, lineales, afines o cuadrá-ticas por medio de sus elementos característicos (pendiente de la recta, puntos de corte con los ejes, vértice y eje de simetría de la parábola) y las funciones exponenciales y de propor-cionalidad inversa sencillas por medio de tablas de valores significativas, con la ayuda, si es preciso, de la calculadora científica. 14. Elaborar e interpretar tablas y gráficos estadísticos, así como los parámetros estadísticos más usuales en distribuciones unidimensionales y valorar cualitativamente la representativi-dad de las muestras utilizadas. 15. Determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio, simple o compuesto; utilizar la Ley de Laplace, los diagramas de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias para calcular probabilidades simples o compuestas. 16. Aplicar los conceptos y técnicas de cálculo de probabilidades para resolver diferentes si-tuaciones y problemas de la vida cotidiana.

Competencias básicas

En el marco de la propuesta realizada por la Unión Europea, se han identificado ocho competencias básicas: 1. Competencia en comunicación lingüística. 2. Competencia matemática. 3. Competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. 4. Tratamiento de la información y competencia digital. 5. Competencia social y ciudadana. 6. Competencia cultural y artística. 7. Competencia para aprender a aprender. 8. Autonomía e iniciativa personal. Puede entenderse que todo el currículo de la materia contribuye a la adquisición de la competencia matemática, puesto que la capacidad para utilizar distintas formas de pen-samiento matemático, con objeto de interpretar y describir la realidad y actuar sobre ella, forma parte del propio objeto de aprendizaje. Todos los bloques de contenidos están orien-tados a aplicar aquellas destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente, comprender una argumentación matemática y expresarse y comunicarse en el lenguaje matemático, utilizando las herramientas adecuadas, e integrando el conocimiento matemá-tico con otros tipos de conocimiento para obtener conclusiones, reducir la incertidumbre y para enfrentarse a situaciones cotidianas de diferente grado de complejidad. Conviene se-ñalar que no todas las formas de enseñar Matemáticas contribuyen por igual a la adquisi-ción de la competencia matemática: el énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes, su utilidad para comprender el mundo que nos rodea o la misma selección de estrategias para la resolución de un problema, determinan la posibilidad real de aplicar las Matemáticas a diferentes campos de conocimiento o a distintas situaciones de la vida cotidiana.


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La discriminación de formas, relaciones y estructuras geométricas, especialmente con el desarrollo de la visión espacial y la capacidad para transferir formas y representaciones entre el plano y el espacio contribuye a profundizar la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico. La modelización constituye otro referente en esta misma dirección. Elaborar modelos exige identificar y seleccionar las características relevantes de una situación real, representarla simbólicamente y determinar pautas de comporta-miento, regularidades e invariantes, a partir de las que poder hacer predicciones sobre la evolución, la precisión y las limitaciones del modelo. Por su parte, la incorporación de herramientas tecnológicas como recurso didáctico para el aprendizaje y para la resolución de problemas, contribuye a mejorar el tratamiento de la información y competencia digital de los estudiantes, del mismo modo que la utilización de los lenguajes gráfico y estadístico ayuda a interpretar mejor la realidad expresada por los medios de comunicación. No menos importante resulta la interacción entre los distintos tipos de lenguaje: natural, numérico, gráfico, geométrico y algebraico como forma de ligar el tratamiento de la información con la experiencia de las alumnas y alumnos. Las Matemáticas contribuyen a la competencia en comunicación lingüística ya que son concebidas como un área de expresión que utiliza continuamente la expresión oral y es-crita en la formulación y expresión de las ideas. Por ello, en todas las relaciones de ense-ñanza y aprendizaje de las Matemáticas, y en particular en la resolución de problemas, adquiere especial importancia la expresión tanto oral como escrita de los procesos reali-zados y de los razonamientos seguidos, puesto que ayudan a formalizar el pensamiento. El propio lenguaje matemático es, en sí mismo, un vehículo de comunicación de ideas que destaca por la precisión en sus términos y por su gran capacidad para transmitir con-jeturas gracias a un léxico propio de carácter sintético, simbólico y abstracto. Las Matemáticas contribuyen a la competencia cultural y artística porque el mismo cono-cimiento matemático es expresión universal de la cultura, siendo, en particular, la geo-metría parte integral de la expresión artística de la humanidad al ofrecer medios para des-cribir y comprender el mundo que nos rodea y apreciar la belleza de las estructuras que ha creado. Cultivar la sensibilidad y la creatividad, el pensamiento divergente, la autonom-ía y el apasionamiento estético son objetivos de esta materia. Los propios procesos de resolución de problemas contribuyen de forma especial a fomen-tar la autonomía e iniciativa personal porque se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre controlando al mismo tiempo los proce-sos de toma de decisiones. También, las técnicas heurísticas que desarrolla constituyen modelos generales de tratamiento de la información y de razonamiento y consolida la ad-quisición de destrezas involucradas en la competencia de aprender a aprender tales como la autonomía, la perseverancia, la sistematización, la reflexión crítica y la habilidad para comunicar con eficacia los resultados del propio trabajo. La aportación a la competencia social y ciudadana desde la consideración de la utilización de las matemáticas para describir fenómenos sociales. Las matemáticas, fundamental-mente a través del análisis funcional y de la estadística, aportan criterios científicos para predecir y tomar decisiones. También se contribuye a esta competencia enfocando los errores cometidos en los procesos de resolución de problemas con espíritu constructivo, lo que permite de paso valorar los puntos de vista ajenos en plano de igualdad con los propios como formas alternativas de abordar una situación.


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Metodología

En la primera sesión de cada unidad didáctica, los profesores trataremos de motivar al alumnado sobre la materia de la que se trate, evaluando los conocimientos previos me-diante preguntas orales, ejemplos, curiosidades... Según la naturaleza del tema, se optará por dar o no el esquema de la unidad en las pri-meras sesiones o al final del tema (para fijar conceptos y aclarar ideas). En general, los profesores explicamos los contenidos nuevos del tema en la pizarra y, al final de cada sesión se pide al alumnado que realice varios ejercicios (tanto de la parte explicada como de contenidos anteriores) para que pueda practicar. Al día siguiente, se comentan las soluciones, se resuelven dudas, y se hacen en la pizarra los ejercicios que han presentado mayor dificultad. El día previo a la realización de la prueba escrita, se intenta repasar (si hay tiempo) los conceptos y procedimientos más importantes vistos en clase. En la última sesión, se realiza una prueba escrita de los contenidos explicados. Para conseguir los objetivos propuestos en cada unidad:

− los profesores proponemos numerosos ejercicios (en la pizarra) que el alumno debe realizar para la correcta asimilación de los mismos. Aquellos ejercicios que no formen parte de este dossier, se responden en la libreta del alumno.

− se pregunta al alumnado (casi a diario, y al azar) sobre conceptos y procedimien-tos del tema o de temas anteriores.

− es habitual la realización de ejercicios que han aparecido en exámenes anteriores (con muy buena acogida por parte de los alumnos).

− siempre que haya tiempo, se suelen hacer “simularos” de exámenes que no tie-nen carácter evaluador, pero que permite al alumnado tener una idea mucho más clara de lo que se les va a pedir.

Eventualmente se propondrán a los alumnos exposiciones voluntarias de una parte de alguna unidad didáctica, nueva o de repaso, para que sea el alumno quien la explique al resto de compañeros. Estas exposiciones son siempre individuales. El alumno podrá con-tar con cualquier material de apoyo que requiera: libros, apuntes, transparencias, video proyector... La elección de los alumnos para la realización de estas exposiciones siempre quedará a criterio del profesor. Las preguntas que realizan los alumnos son muy valoradas por parte de los profesores, así como el esfuerzo, el interés, trabajo en este dossier...


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Índice de unidades y temporalización

Primera evaluación (del 15 de septiembre al 5 de diciembre): Unidad 1: Trigonometría básica .....................................................(10 sesiones) Unidad 2: Resolución de triángulos ..............................................(11 sesiones) Unidad 3: Vectores ..........................................................................(8 sesiones) Segunda evaluación (del 9 de diciembre al 2 de marzo): Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos .....................................(9 sesiones) Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales ...................(8 sesiones) Unidad 6: Inecuaciones ..................................................................(10 sesiones) Tercera evaluación (del 3 de marzo al 25 de mayo): Unidad 7: Límites de sucesiones....................................................(9 sesiones) Unidad 8: Estudio de las Funciones...............................................(8 sesiones) Unidad 9: Tipo de funciones ...........................................................(8 sesiones) Unidad 10: Cálculo de derivadas ....................................................(7 sesiones) Unidad 11: Combinatoria.................................................................(8 sesiones) El número de sesiones es un dato aproximado, ya que depende de numerosos factores. En cada evaluación hay más sesiones de las programadas aquí. Se pretenderá comenzar las unidades de la segunda y tercera evaluación antes de su comienzo oficial, así conse-guiremos avanzar materia a la vez que evitaremos la coincidencia de exámenes al final de las evaluaciones.


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Criterios de calificación

Por encima de la rigidez de los porcentajes, estará siempre presente la flexibilidad de la eva-luación acorde con las características y necesidades concretas que cada alumno presente. Evaluación inicial Durante las primeras sesiones del curso se realiza una prueba-diagnóstico inicial con los contenidos del curso anterior. Una calificación de Apto en esta prueba permitirá superar la materia caso de que estuviera pendiente del curso anterior. Evaluaciones trimestrales:

− Ocasionalmente, y no a todos los alumnos, podrá hacerse un seguimiento del tra-bajo diario (mirar la libreta de clase) que puede llegar a determinar el aprobado o no de la materia. ( ± 5 %)

− Interés demostrado por el alumno a través de preguntas en clase, exposición de trabajos, corrección de actividades, etc.: 10 %

− Pruebas escritas tras cada Unidad Didáctica: 90 % − Exposiciones voluntarias en clase (+ 1 punto).

Desde que acaba la 3ª evaluación hasta el comienzo de la evaluación final, y siempre que las circunstancias del horario lo permitan, es decir, que se disponga de horas suficientes, se adelantará materia, que será evaluable (si hay suficientes horas lectivas) en la evalua-ción final a través de una prueba escrita. Evaluación final: Se calculará la media aritmética de las tres evaluaciones. El alumno-a recuperará los exámenes suspendidos, pero, en todo momento, los profesores favoreceremos el avance progresivo del alumno o alumna. Cada alumno o alumna podrá subir la calificación final, si la global está aprobada a la nota inmediatamente superior, siempre y cuando la califica-ción numérica de la global tenga las décimas superiores a 5. Si el alumno-a no consigue el Apto, tiene una nueva oportunidad de aprobar la asignatura en la convocatoria de sep-tiembre, en este caso, con TODA la asignatura y previa entrega de los trabajos previstos para las vacaciones de verano. En todo momento, y en especial a la hora de la evaluación final se tendrá en cuenta de que los mínimos exigidos en esta opción son más altos que los de la opción A. Recuperar la materia pendiente: El alumno o alumna dispone de dos oportunidades durante el curso para superar la mate-ria si la tuviera pendiente de 3º de ESO:

1. Aprobando la prueba inicial (con contenidos de 3º de ESO) que se realiza en du-rante las primeras sesiones de curso.

2. Aprobando, al menos, una evaluación en el presente curso. El alumno,a deberá tener siempre presente que no podrá examinarse en la prueba final de junio de 4º de ESO si no tiene previamente aprobada la asignatura correspondiente del año anterior. Si se diera esta situación, el alumno,a deberá superar el(los) examen(es) del curso(s) anterior(es) antes de poderse examinar del curso actual. Esto será válido para las convocatorias de junio y septiembre.

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 1: Trigonometría básica

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[La elegancia de los teoremas geométricos es] directamente proporcional al número de ideas que en ellos vemos,

e inversamente proporcional al esfuerzo requerido para comprenderlos. George Polya (matemático húngaro, 1887 – 1985)

Unidad 1: Trigonometría

básica


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Índice de la unidad

Unidad 1: Trigonometría básica.....................................................................................15

1.1 Introducción .........................................................................................................15 1.2 Medida de ángulos...............................................................................................15 1.3 Razones trigonométricas .....................................................................................16 1.4 Uso de la calculadora...........................................................................................17 1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales .........................................................18 1.6 Ángulos notables .................................................................................................19

1.6.1 Reglas nemotécnicas ....................................................................................20 1.7 Ampliación del concepto de ángulo .....................................................................20

1.7.1 Ángulos mayores de 360º..............................................................................20 1.7.2 Esfera goniométrica.......................................................................................20 1.7.3 Signo de las razones trigonométricas............................................................21 1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera........................21 1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales.....................22

1.8 Resolución de problemas.....................................................................................23

Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Utilizar, indistintamente, grados y radianes en las operaciones

− Realizar cálculos trigonométricos

− Calcular distancias y ángulos en triángulos rectángulos

− Usar la terminología específica de la trigonometría

− Utilizar con soltura la calculadora con operaciones trigonométricas

Competencias básicas que se desarrollan en esta unidad:

− Utilizar tanto el sistema sexagesimal como el radián para expresar la medida de los ángulos y efectuar operaciones con ellos, con y sin calculadora (C1, C2, C3 y C4).

− Analizar las relaciones que existen entre los lados y los ángulos en los triángu-los rectángulos y expresarlas mediante las razones trigonométricas para apli-carlas a la resolución de los problemas de triángulos (C1, C2, C7 y C8)

− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una ar-gumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigo-nométricos (C1 y C2).

− Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).


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Criterios de evaluación

− Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo

− Calcula las razones trigonométricas de un ángulo del cual se conoce una cual-quiera de ellas

− Obtiene las razones trigonométricas de un ángulo con ayuda de las de otro que pertenece al primer cuadrante

− Aplica las relaciones fundamentales para la resolución de problemas

− Aplica el cálculo de razones trigonométricas a la resolución de problemas rela-cionados con las matemáticas, las otras ciencias o la vida cotidiana

Contenidos conceptuales

− Grados, minutos y segundos como unidades de medida angular. Radianes

− Relación entre los grados sexagesimales y los radianes

− Seno, coseno y tangente de un ángulo agudo

− Cosecante, secante y cotangente de un ángulo agudo

− Relaciones fundamentales

− Ampliación del concepto de ángulo: mayores que 360°. Esfera goniométrica

− Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

− Ángulos suplementarios y opuestos: razones

Contenidos procedimentales

− Expresión de la medida de un ángulo en radianes (grados sexagesimales) cuando se conoce su medida en grados sexagesimales (radianes)

− Cálculo de las razones trigonométricas ángulos agudos de un triáng. rectángulo

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo utilizando la calculadora científica

− Cálculo del valor de un ángulo mediante la calculadora científica y conociendo una de sus razones trigonométricas

− Cálculo de las razones trigonométricas de un ángulo conociendo una de ellas

− Expresión de un ángulo mayor que 360° como suma de un número entero de vueltas completas y un ángulo menor que 360°


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Unidad 1: Trigonometría básica

Utilizada, básicamente, para el cálculo de distancias, la trigono-metría es un conjunto de fórmulas que nos permitirán resolver muchos problemas con aparente difícil solución (altura de una cometa, altura de las pirámides, distancias entre estrellas... )

1.1 Introducción Como ya sabes metría es un sufijo que significa medida o medición. También conoces que tri es un prefijo que significa tres. Pero quizá no conozcas que gono significa ángulo (polígono, octógono). Así pues, la trigonometría es el estudio (medidas) de los elementos de un triángulo.

1.2 Medida de ángulos Se utilizan fundamentalmente dos unidades: el grado sexagesimal, y el radián. En este curso utilizaremos la primera, por ser más sencilla y conocida, pero ten en cuenta, en el Bachillerato se utilizarán, preferentemente, los radianes. Grado sexagesimal Es el arco que se obtienen al dividir la circunferencia en 360 partes. Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos. Radián Es el arco que se obtiene al dividir la circunferencia entre su radio.

longitud 2 2

radior rad

rπ π= =

Relación entre ambas unidades Una circunferencia tiene 2 radπ , es decir:

2 360ºradπ = , o bien 180ºradπ = , o bien 90º2

radπ=

Ejemplo: ¿cuántos radianes son 200°? 10200 200 3'49

180º 9rad rad radπ π

° = ° = ≅

Ejercicio 1 Obtén los radianes correspondientes a los siguientes grados:

) 180a ° =

) 305b ° =

) 45c ° =


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Ejercicio 2 Obtén los grados correspondientes a los siguientes radianes:

)a radπ =

1)2

b rad =

) 1c rad =

1.3 Razones trigonométricas Dado el triángulo rectángulo superior se definen las razones trigonométricas del ángulo α :

sen cateto opuesto ahipotenusa c

α = = cos cateto contiguo bhipotenusa c

α = =

tg cateto opuesto acateto contiguo b

α = =

Ejercicio 3

Determina tú las razones trigonométricas del mismo triángulo, pero referidas al ángulo β : ¿Extraes alguna conclusión?

β

α


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Para cada una de las razones trigonométricas anteriores existe su correspondiente ra-zón inversa:

1cosecsen

hipotenusacateto opuesto

αα

= = 1sec

coshipotenusa

cateto contiguoα

α= =

1cotg

tgcateto contiguocateto opuesto

αα

= =

Ten en cuenta que las razones trigonométricas son adimensionales: no tienen unidades. Ejercicio 4 Halla las tres razones trigonométricas principales del siguiente triángulo (ángulos α y β ):

Mira de nuevo el triángulo del ejercicio 4. Imagina que uno de los lados del triángulo fuera desconocido, ¿cómo lo solucionarías? Existe una alterativa, que pasa por utilizar sólo las razones trigonométricas, pero, para ello, es necesario utilizar la calculadora científica.

1.4 Uso de la calculadora Es fundamental que, para todos los cálculos que realicemos durante esta unidad y la siguiente, en la pantalla de tu calculadora aparezca el acrónimo: DEG, que correspon-de con la abreviatura anglosajona de degree (grados); existen otras dos formas: RAD, para los radianes, y GRAD, para grados centesimales (en un ángulo recto hay 100º). Debes localizar las teclas sen (o sin si está en inglés), cos, y tg (o tan). En general, y con la opción Shift (o INV, o 2º operador) podrás acceder a las inversas, es decir: sen-1, cos-1 y tg-1 que sirven, como veremos después, para obtener los ángulos. Te ofrecemos unos resultados “redondos“ para que puedas comprobar tus operaciones:

sen 30º 0 '5= ; tg 45º 1= ; cos 60º 0 '5= ; sen 90º 1=

¿Y si tenemos, por ejemplo 1sen 0 '52

α = = , podremos averiguar que 30α = ° ?


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Debes utilizar la función inversa que decíamos antes:

Si 1sen 0 '52

α = = , entonces arcsen 0 '5 30α = = ° , que se lee: “alfa es el arco

cuyo seno es 0’5” Ejercicio 5 Con ayuda de la calculadora obtén los ángulos pedidos:

) sen 0 '5a α α= → =

3) cos2

b β β= → =

) tg 1c γ γ= → =

2) sen2

d ω ω= → =

1.5 Relaciones trigonométricas fundamentales Vamos a ver tres de ellas. Si continúas tus estudios de Bachillerato en alguna modali-dad de Ciencias, verás algunas más, y las correspondientes demostraciones:

I. 2 2sen cos 1α α+ = II. sentgcos

ααα

= III. 2

2

11 tgcos

αα

+ =

Ejercicio 6 Simplifica las siguientes expresiones trigonométricas:

1) sentg

a xx

⋅ =

3 2) sen sen cosb x x x+ ⋅ =

sec)

cosec tgxc

x x=

⋅

2cos)

1 senxdx=

−

(Pista: intenta que el numerador se “parezca” al denominador)


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Ejercicio 7 Simplifica al máximo esta expresión:

( ) ( )2 2sen cos sen cosα α α α+ + − =

1.6 Ángulos notables Se trata de unos ángulos especiales que requieren un tratamiento diferenciado. Son ángulos notables: 0 , 30º , 45º , 60 90y° ° ° Teniendo en cuenta que el seno es la ordenada y el coseno es la abscisa, se deduce fácilmente que sen 0 0° = y que cos90 0° = . Para obtener (sin calculadora) las razones de 30º , 45º 60y ° nos vamos a apoyar en una escuadra y un cartabón: Ejercicio 8

Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 30º 60y ° (sin calculadora): Ejercicio 9 Procedimiento para obtener las razones fundamentales de 45º (sin calculadora):


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1.6.1 Reglas nemotécnicas A fin de recordar las razones trigonométricas de los ángulos notables podemos utilizar las siguientes reglas:

ángulo 0° 30° 45° 60° 90°

seno 02

12

22

32

42

Ejercicio 10 Completa tú las casillas vacías:

ángulo 0° 30° 45° 60° 90°

coseno 02

tangente 04

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1.7 Ampliación del concepto de ángulo Hasta ahora nos hemos limitado a ángulo comprendidos entre 0 y 90º. ¿Cuánto vale el seno de 100º? ¿y el de 750º? ¿están acotados los valores? ¿existen los ángulos nega-tivos? Responderemos a estas y otras cuestiones en los siguientes apartados.

1.7.1 Ángulos mayores de 360º Para calcular las razones trigonométricas de ángulos mayores que 360º, se divide entre 360º y se toma el resto de la división.

Ejemplo: ¿sen 750 ?° ; 750 302360 360

= + ; 1sen 750 sen 302

° = ° =

1.7.2 Esfera goniométrica Llamaremos esfera goniométrica a la de radio unidad.

Al ser el radio 1, el seno de α es AB, es decir, la ordenada. El coseno de α es OA, es decir, la abscisa. Por semejanza de triángulos, la tangente de α es CD.

α


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1.7.3 Signo de las razones trigonométricas Según en qué cuadrante de la circunferencia se encuentre el ángulo, el seno y el cose-no tendrán un signo u otro:

Ejercicio 11 Estudia los signos de la tangente:

¿Qué signos tendrán las otras tres razones trigonométricas?

1.7.4 Razones trigonométricas (directas) de un ángulo cualquiera Observa el siguiente dibujo:


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1.7.5 Ángulos situados en distintos cuadrantes con razones iguales Ángulos suplementarios (suman 180º): Tienen igual el seno: ( )sen sen 180ºα α= − Las restante razones son iguales pero de signo contrario: ( )cos cos 180ºα α= − − ;

( )tg tg 180ºα α= − −

Ángulos que difieren en 180º: Tienen igual la tangente: ( )tg tg 180ºα α= + Las restante razones son iguales pero de signo contrario: ( )sen sen 180ºα α= − + ;

( )cos cos 180ºα α= − +

Ángulos opuestos: Tienen igual el coseno: ( )cos cosα α= − (los ángulos que se miden en el sentido de las agujas del reloj son negativos). Las restante razones son iguales pero de signo contrario: ( )sen senα α= − − ;

( )tg tgα α= − −


23

Ejercicio 12

Obtén, sin calculadora, el seno y el coseno de los ángulos: 120 , 210 300y° ° °

El ángulo auxiliar α es de 60º. Las razones de trigo-

nométricas de 120º son las mismas que las de α con los signos correspondien-

tes. 3sen120 sen 60

2° = ° =

1cos120 cos 602−

° = − ° =

1.8 Resolución de problemas Ejercicio 13 Obtén el valor de la hipotenusa y los dos ángulos agudos del siguiente triángulo:

Ejercicio 14 Dado el siguiente triángulo obtén (sin utilizar Pitágoras) los lados y ángulos que faltan.

15 m

27º


24

Ejercicio 15 Completa la tabla. Utiliza la teclas de memoria de la calculadora para obtener cálculos lo más exactos posibles.

α 74º αsen

αcos 0’94

αtg 1’28

αcosec

αsec

αcotg

Ejercicio 16 Halla la medida del ángulo que forman la diagonal de un cubo y la diagonal de una de las caras, si las dos parten de un mismo vértice. (Solución: 35 16 'α ≅ ° ) Ejercicio 17 Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 m. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa:


25

Ejercicio 18 Calcula la altura de una torre sabiendo que la sombra que proyecta es de 108 metros cuando el Sol está elevado un ángulo de 50º sobre el horizonte. (Solución: 128’71 m) Ejercicio 19 Calcula la altura de un árbol sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 30º, y si nos acercamos 10 metros, la observamos bajo un án-gulo de 60º:

Ejercicio 20 Comprueba las siguientes identidades notables:

1 tg) sen cossec

a α α αα

+= +

22

1) sen1 cotg

b αα=

+


26

Ejercicio 21 Jaime está volando una cometa. Ha soltado 9 m de cuerda y ésta forma 60º con el sue-lo. ¿A qué altura vuela la cometa? Ejercicio 22 Halla razonadamente a qué altura vuela el avión de la figura: (no supongas que en el avión hay un ángulo recto)

En las siguientes direcciones puedes encontrar más información y ejercicios de trigonometría: http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/razonestri/index.htm http://usuarios.lycos.es/arquillos/trirel5.pdf http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Indice_razones_trigonometricas.htm Actividad con el JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3115 (muy interesante)

http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2001/razonestri/index.htm�

http://usuarios.lycos.es/arquillos/trirel5.pdf�

http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm�

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 2: Resolución de triángulos

27

Los teoremas han de ser nobles, sorprendentes, elegantes, intrigantes, rigurosos, creativos ... y, sobre todo, comprensibles.

H. Zeeman (físico)

Unidad 2: Resolución

de triángulos


28

Dirección muy interesante: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0058-02/ed99-0058-02.html

Al final del tema encontrarás otras direcciones de Internet que, seguro, te ayudarán a ampliar conocimientos y a practicar lo aprendido en esta unidad.


29


Unidad 2: Resolución de triángulos ...............................................................................31

2.1 Teorema de la altura ............................................................................................31 2.2 Teorema del cateto ..............................................................................................32 2.3 Teorema generalizado de Pitágoras ....................................................................34 2.4 Teorema del seno ................................................................................................35 2.5 Teorema del coseno ............................................................................................36 2.6 Resolución de problemas.....................................................................................37


− Resolver cualquier triángulo: obtener distancias y ángulos

− Calcular áreas de triángulos

− Aplicar teoremas nuevos basados en la trigonometría

− Utilizar con soltura la calculadora en cálculos trigonométricos


− Saber representar, plantear y resolver problemas de geometría haciendo uso de los teoremas relativos a los triángulos y de los instrumentos de medida y cálculo adecuados. (C1, C2, C3, C4, C6, C8)

− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe con la trigonometría es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Aplicar destrezas que permiten razonar matemáticamente, comprender una ar-gumentación y expresarse matemáticamente cuando se tratan conceptos trigo-nométricos (C1 y C2).

− Cultivar la sensibilidad, la creatividad y el apasionamiento estético son objetivos de algunos de los apartados de esta unidad (C6).

− Las técnicas de trabajo que los alumnos deben aplicar, así como su responsa-bilidad, perseverancia, creatividad y autocrítica en el momento de realizarlo, llevan a las competencias para aprender a aprender (C7), y a la autonomía e iniciativa personales (C8).

− Utilizar las nuevas tecnologías para efectuar representaciones precisas de las figuras y cuerpos geométricos (C2, C4, C8).


30


− Resuelve triángulos (rectángulos o no) mediante la utilización de los teoremas vistos

− Calcula áreas de triángulos y figuras poligonales previamente trianguladas me-diante la aplicación de las herramientas trigonométricas apropiadas a cada ca-so

− Calcula distancias geométricas y resolver situaciones topográficas mediante la resolución de triángulos cualesquiera


− Resolución de un triángulo

− Teorema de la altura

− Teorema del cateto

− Teorema generalizado de Pitágoras

− Teorema del seno

− Teorema del coseno

− Radio y apotema de un polígono regular

− Fórmula básica para calcular el área de un triángulo


− Resolución de triángulos rectángulos: conocidos dos lados, conocidos un lado y un ángulo agudo

− Obtención de razones trigonométricas mediante la calculadora.

− Cálculo de distancias: lados, apotemas, radios...

− Obtención de razones trigonométricas en triángulos cualesquiera

− Cálculo del área de un triángulo conocidas la base y la altura correspondientes

− Cálculo del área de un triángulo conocidos sus lados


31

Unidad 2: Resolución de triángulos

Con los conocimientos aprendidos en el tema anterior más una serie de teoremas que veremos en esta unidad, podremos resol-ver cualquier triángulo, es decir, sin ninguna restricción, averigua-remos cualquier distancia o ángulo de cualquier triángulo.

NOTA 1: Durante toda la unidad utilizaremos la siguiente nomenclatura: los 3 ángulos de cualquier triángulo los representaremos por las letras griegas α, β y γ, o con las letras mayúsculas A, B y C en los vértices, y las longitudes de los lados opuestos a cada uno de los ángulos las representaremos con las letras minúsculas a, b y c.

NOTA 2: Para conseguir la máxima precisión y exactitud en los cálculos, es muy im-portante que no sustituyamos ningún dato hasta el final de cada ejercicio. Así, siguien-do el mismo criterio del redondeo visto en cursos anteriores, conseguiremos tener to-dos las mismas soluciones y nos permitirá comparar nuestros resultados.

NOTA 3: Por resolver un triángulo entendemos averiguar el resto de elementos, ya sean ángulos, lados, apotemas... que no conozcamos.

2.1 Teorema de la altura Válido exclusivamente para triángulos rectángulos.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

2h m n= ⋅


32

2.2 Teorema del cateto Válido exclusivamente para triángulos rectángulos. Ejercicio 1 En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indica-dos por letras (ambos triángulos son rectángulos en A):

El cuadrado de un cateto es igual al produc-to de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

2a mb= ; 2c nb=


33

Ejercicio 2 Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las proyec-ciones y la altura sobre la hipotenusa: Ejercicio 3 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos: Ejercicio 4 Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide en dos segmentos, uno de los cuales mide 20 cm. Calcula la medida de la cuerda.


34

2.3 Teorema generalizado de Pitágoras Válido para cualquier tipo de triángulo (rectángulo o no). Observa los siguientes dibujos:

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble produc-to de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

2 2 2 2a b c cm= + −

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadra-dos de los otros lados más el doble pro-ducto de uno de ellos por la proyección del otro lado sobre él.

2 2 2 2a b c cm= + +

Ejercicio 5 Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de Pitágoras:

Ejercicio 6

En un triángulo cualquiera, se tienen los siguientes datos: 6 '6b cm= y las proyeccio-nes de los lados b y a sobre c miden: 4 '6m cm= y 13'4n cm= . Calcula el lado a:


35

2.4 Teorema del seno Para triángulos no rectángulos. Se cumple que:

sen sen sena b cα β γ

= =

o también puede adoptar esta otra forma equivalente: sen sen sena b cα β γ= =

Ejercicio resuelto

Resuelve el triángulo: Fíjate que sólo el dibujo ya ofre-ce varias pistas: el lado a deberá ser menor que el lado b, y am-bos deben ser menores que 10; α también debe ser menor de 45º.

Relacionamos el ángulo de 100º con el lado de 10, y el ángulo de 45º con el lado des-conocido b. Aplicando el teorema del seno: sen 100º sen 45º

10 b= ; en esta ecuación todo es conocido menos el lado b que despe-

jamos:

sen 45º10sen 100º

b = ; sustituyendo: 7 '18b = . Como º180º45º100 =++α , tenemos que

35ºα = Por último, para obtener el lado a volvemos a aplicar el teorema del seno relacionando este lado con su ángulo opuesto, y el lado que mide 10 con el ángulo de 100º:

sen 100º sen 35º10 a

= ; despejamos: sen 35º10sen 100º

a = ; con lo que 5'82a =

Ejercicio 7 En el ejercicio anterior, y una vez hallado el lado b, ¿por qué no lo hemos escogido jun-to con el ángulo de 45º para resolver el ejercicio?


36

Ejercicio 8

Resuelve el triángulo del que conocemos 30ºC = , 25b cm= , 18c cm= :

2.5 Teorema del coseno Para triángulos no rectángulos. Se cumple que: Intercambiando adecuadamente ángulos y lados, obtenemos los otros dos teoremas

análogos al anterior: 2 2 2 2 cosb a c ac β= + − ⋅ y

2 2 2 2 cosc a b ab γ= + − ⋅ Ejercicio 9 Dos amigos parten de un mismo punto A, siguiendo direcciones que forman entre sí un ángulo de 35º. Después de caminar 10 km y 8 km, respectivamente, ¿cuál es la distan-cia que los separa?

2 2 2 2 cosa b c bc α= + − ⋅


37

2.6 Resolución de problemas Ya has comprobado que existen bastantes teoremas entorno a los triángulos. Te aconsejamos que, a la hora de resolver un ejercicio, y nada más empezar, determi-nes si el triángulo a estudiar es rectángulo o no, ya que esto simplificará mucho los cál-culos. Si por los datos del ejercicio, no es posible determinar ningún ángulo recto, aun-que lo parezca visualmente, no lo supongas tú, y aplica los teoremas para triángulos cualesquiera. Ten en cuenta que un triángulo rectángulo, aunque admita cualquier teorema de los aquí expuestos, tiene (al menos para este curso) sus teoremas específicos: teorema de Pitágoras, de la altura, del cateto y la definición de razones trigonométricas (estudiadas en el tema anterior); por otro lado, si el triángulo es cualquiera, deberás utilizar: el teo-rema del seno, del coseno o el generalizado de Pitágoras. Otro dato que puede ayudarte es que, para cualquier triángulo, conociendo tres datos, entre lados y ángulos (a excepción de los tres ángulos), podremos conseguir sólo con la aplicación de los teoremas del seno y el coseno, todos los demás elementos. Por último, no olvides que, para cualquier triángulo, la suma de sus ángulos siempre suma 180º (o π radianes). Ejercicio 10 Completa:

Datos Teorema...

Para triángulos rectángulos: Dos de los tres lados

Ambas proyecciones sobre la hipotenusa

Proyección e hipotenusa

Un lado y un ángulo agudo cualquiera

Lado y su proyección

Altura sobre la hipotenusa y una proyección

Hipotenusa y un lado

Para triángulos cualesquiera: Dos lados y el ángulo que forman

Dos lados y otro ángulo

Dos lados y la proyección de uno sobre el otro

Dos ángulos y un lado

Tres lados


38

Ejercicio 11

Resuelve el triángulo del que se conoce 20a m= , 45B = ° , 30ºC = : Ejercicio 12 En un triángulo se conocen los lados 2a cm= , 2 3c cm= y el ángulo 60ºC = . Cal-

cula el ángulo A y el lado b: Ejercicio 13 Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de 60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas carac-terísticas)


39

Ejercicio 14

En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado 4b cm= sobre el lado 8c cm= . El tercer lado mide 6a cm= .

Ejercicio 15 Calcula el radio y la apotema de un octógono regular de lado 10 cm:

Pista: ¿conoces algún ángulo?


40

Ejercicio 16

Calcula el área del triángulo siguiente sabiendo que 1a m= , 30ºB = y 45ºC = :

Ejercicio 17 Al comienzo de este apartado de resolución de problemas, hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el coseno, se puede averiguar el resto de ele-mentos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos se necesitarán para el caso de los trián-gulos rectángulos?

Ejercicio 18 En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8 cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el teo-rema de Pitágoras):

(Recuerda la definición de altura)


41

Ejercicio 19 En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla sus tres lados. Ejercicio 20 Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras).

(área del trapecio: hbBA2

)( += )


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Ejercicio 21 Calcula x:

Ejercicio 22 Un edificio y un árbol tienen 12 y 4 m de altura respectivamente y sus pies están situa-dos a 20 m de distancia. ¿En qué punto situado entre los pies del árbol y del edificio se debe colocar un recipiente con comida para que los pájaros que están en la copa del árbol y los que están en la cima del edificio lo tengan a igual distancia? (Puedes utilizar cualquier teorema) Más información en: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Resolucion_triangulos_oblicuangulos/Resolucion_TO_indice.htm http://descartes.cnice.mec.es/aplicaciones_geometria.php#Trigonometría

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 3: Vectores

43

No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo real.

Nikolay Lobachevsky (científico ruso, 1792 – 1830)

Unidad 3: Vectores


44


45


Unidad 3: Vectores ........................................................................................................47

3.1 Vectores...............................................................................................................47 3.1.1 Características de un vector..........................................................................47

3.2 Componentes de un vector ..................................................................................49 3.3 Operaciones con vectores ...................................................................................51

3.3.1 Suma de vectores..........................................................................................51 3.3.2 Resta de vectores..........................................................................................52 3.3.3 Producto de un escalar por un vector............................................................52 3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores.............................54 3.3.5 Producto vectorial..........................................................................................58 3.3.6 Resumen de los productos............................................................................60

3.4 Direcciones web...................................................................................................60 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Conocer los vectores: partes, formas de representación

− Operar con vectores algebraica y gráficamente

− Nuevas operaciones específicas de los vectores

− Dominar su terminología específica


− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).

− Utilizar los vectores para expresar cantidades de magnitudes físicas vectoriales del mundo que nos rodea, como las fuerzas, velocidades… (C1, C2, C3).

− Reconocer la utilidad de las representaciones vectoriales y saber interpretarlas en múltiples aspectos de nuestra vida diaria: señales de tráfico, mapas meteo-rológicos, diagramas de flujo, etc. (C1, C2, C3, C4, C5).


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− Efectúa operaciones con vectores interpretando los resultados

− Opera con vectores dados en coordenadas

− Utiliza el producto escalar para el cálculo de módulos y ángulos de vectores

− Aplica el cálculo vectorial a la resolución de problemas

− Obtiene el ángulo que forman dos vectores


− Vector fijo en el plano: módulo, dirección y sentido

− Punto de aplicación

− Vectores equipolentes

− Vector libre en el plano

− Componentes de un vector. Coordenadas cartesianas de un punto

− Operaciones con vectores: suma, resta y producto de un número real por un vector

− Operaciones de forma analítica y gráfica

− Producto escalar

− Producto vectorial: regla de la mano derecha

− Ángulo de dos vectores


− Representación gráfica de vectores

− Determinación gráfica de la suma, resta y producto por un número real de dos vectores libres

− Expresión de un vector como suma de otros dos

− Cálculo del producto escalar de dos vectores dados por sus coordenadas car-tesianas

− Cálculo del módulo y el ángulo de un vector dado por sus coordenadas carte-sianas

− Cálculo del producto vectorial aplicando la regla de la mano derecha

− Cálculo del ángulo de dos vectores mediante la fórmula del producto escalar


47

Unidad 3: Vectores

Existen muchas magnitudes (altura, masa, longitud) que se de-terminan con un número: son las llamadas magnitudes escalares. Pero hay otras (fuerza, velocidad, aceleración) que, para que queden bien expresadas, no basta con dar un número. Son las llamadas magnitudes vectoriales. En este tema aprenderemos las formas de representación de los vectores y a operar con ellos.

3.1 Vectores Vector: es un segmento orientado. Lo representaremos por AB , donde A en el origen y

B es el extremo, o por v .

3.1.1 Características de un vector

Módulo: es la longitud del vector. Se representa en entre barras, v .

Dirección: es la recta que lo contiene. Sentido: es que va del origen al extremo del vector. Otro parámetro utilizado es el punto de aplicación del vector: Todos los vectores que ves en la figura de la derecha tienen igual módulo, dirección y sentido, pero distinto punto de aplicación. Este tipo de vectores se denominan vectores equipolentes. Mientras no se diga lo contrario, el punto de aplicación de un vector no será determinante, es decir, podremos mover libremente cada vector si lo creemos necesario, sin importar-nos dónde empieza o acaba. Consideraremos, por tanto, que un vector es libre. El curso que viene profundizarás más en estos y otros conceptos: base, cambio de base, base canónica...

A

B

v


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Ejercicio 1 a) Dibuja dos vectores con distinto módu-lo, misma dirección y mismo sentido que el vector dado:

b) Dibuja dos vectores con distinto módu-lo, misma dirección y sentido contrarios que el vector dado:

c) Dibuja dos vectores con el mismo mó-dulo y distinta dirección que el vector da-do:

d) Dibuja dos vectores con el mismo mó-dulo, mismo sentido y distinto punto de aplicación que el vector dado:

Ejercicio 2 a) ¿El módulo de un vector, puede ser un número real negativo? b) ¿Existe algún vector sin dirección ni sentido? c) ¿Cuándo dos vectores son equipolentes? d) Dos vectores de distinta dirección, ¿pueden ser opuestos? e) ¿Cuándo un vector es nulo? f) El módulo de un vector ¿siempre es un número real positivo?


49

3.2 Componentes de un vector Observa el vector de la figura y las coordenadas cartesianas de los puntos origen y ex-tremo del mismo:

Las coordenadas del origen del vector (es decir, el punto A) son: ( )2, 2− , y las del

extremo (punto B) son: ( )5, 4 . Así, a través de sus coordenadas, queda determinado inequívocamente el vector AB , aunque existe otra forma más sencilla de manejar esto; el vector AB tiene de componentes ( )7, 2 . Puede verse como los catetos en un triángulo rectángulo donde el vector es la hipotenusa.

Gráficamente, y partiendo del origen del vector, hemos de “avanzar” 7 unidades y “su-

bir” 2 para alcanzar el extremo, por tanto: ( )7, 2v = . Si no disponemos del vector dibujado, deberemos recurrir a la expresión analítica. Es sencillo pasar de coordenadas a componentes; sólo hay que restar las coordenadas correspondientes del extremo y del origen. Ejemplo: dadas las coordenadas ( )2, 2A = − , y ( )5, 4B = , determina las componen-

tes del vector AB :

( )( ) ( )5 2 , 4 2 7, 2AB = − − − = Ejercicio 3

Conociendo los puntos ( )2, 3A = , ( )1, 1B = − y ( )2, 4C = − , calcula las compo-nentes de los vectores:

)a AB =

)b AC =

)c CA =

)d BA =

)e CB = ¿Cuáles de los vectores anteriores son opuestos?


50

Ejercicio 4

Halla, gráfica y analíticamente, las componentes de los vectores AB y CD :

Si nos fijamos en cómo se construye fácilmente un triángulo rectángulo a partir de un vector, deduciremos, apoyándonos en el teorema de Pitágoras, cómo obtener su módulo. Ejercicio 5

Halla el módulo de los siguientes vectores: ( )1, 2a = y ( )6, 8b = − Ejercicio 6

Dado el vector ( )5,12v = , obtén el módulo del vector. ¿podríamos averiguar la dirección, es decir, el ángulo que forma el vector con la hori-zontal?


51

Ejercicio 7

Dados los siguientes vectores: ( )3, 0u = , ( )2,1v = , ( )2, 2w = y ( )2 '5, 2x = , ¿cuál tiene mayor módulo? Ejercicio 8

Halla las componentes del vector v sabiendo que su módulo es 5 y el ángulo que for-ma con la horizontal (eje de abscisas) es 30° :

3.3 Operaciones con vectores La mayoría de las operaciones pueden realizarse de forma analítica (basándonos en las componentes de los vectores) o de forma gráfica.

3.3.1 Suma de vectores Analíticamente: sólo hay que sumar las componentes correspondientes de los vectores:

Ejemplo: dados los vectores ( )3, 4u = y ( )4, 1v = − − , obtén su suma:

Sea s el vector suma: ( ) ( )( ) ( )3 4 , 4 1 1, 3s = + − + − = − Gráficamente: trasladamos (sólo cambia el punto de aplicación, conservándose, por tanto, módulo, dirección y sentido) el segundo vector de manera que coincida su origen con el extremo del segundo.


52

La suma es el vector que tiene como origen el origen del primero y como extremo el extremo del segundo. Ejercicio 9 ¿Es posible que la suma de dos vectores no nulos sea el vector nulo?

3.3.2 Resta de vectores Es similar a la operación anterior. Analíticamente, cambiaremos la suma por una resta, y gráficamente, obtendremos el vector opuesto (mismo módulo y dirección, y sentido contrario) del segundo sumando y realizaremos la suma con este nuevo vector de la manera ya conocida.

3.3.3 Producto de un escalar por un vector En el ámbito de los vectores, a los números reales se les denominan escalares. Analíticamente: sólo hay que multiplicar el escalar por cada una de las componentes del vector:

Ejemplo: dado el vector ( )8, 1v = − , obtén 2v

Sea r el vector resultado: ( ) ( )2 2 8, 1 16, 2r v= = − = − Gráficamente: multiplicaremos el módulo tantas veces como indique el escalar. La di-rección se conserva. Si el escalar es positivo, conservaremos el sentido; si es negativo, pondremos el sentido contrario.


53

Ejercicio 10

Representa los vectores ( )3, 5u = , ( )1,1v = − y ( )2, 3w = − y realiza gráficamente

las siguientes operaciones: )a u v+ , )b v w+ , )c v w− , )d u w v+ − a)

b)

c)

d)

Ejercicio 11

Dados los vectores ( )1, 3u = − , ( )4, 2v = − y ( )1,1w = calcula analíticamente las componentes de los siguientes vectores:

)a u v+ = )b w v− =

)c u v w+ − = ) 2d v u− =

) 3e w u+ = ) 5f u w v+ − =


54

3.3.4 Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores Primera definición El producto escalar de dos vectores u y v se designa por u v⋅ y se obtiene del si-guiente modo:

( )cos ,u v u v u v⋅ = ⋅ ⋅

El producto escalar es conmutativo. Pese a lo que parezca, el resultado de esta operación es un número real, y, por tanto, el resultado podrá ser positivo, negativo o nulo. Ejercicio 12 Atendiendo a la definición, ¿en qué casos el producto escalar de dos vectores es nulo? Ejercicio 13 ¿Podemos obtener el producto escalar de un vector por sí mismo? Ejercicio 14

Calcula el producto escalar de los vectores u y v sabiendo que 2u = , 3v = y que

forman un ángulo de 30° . Ejercicio 15

Sabemos que 3u = y que 2u v= − . Calcula u v⋅ . (Pista: dibuja los vectores)


55

Ejercicio 16 Se sabe que el producto escalar de dos vectores no nulos es cero; ¿qué se puede decir de las direcciones de los vectores? Segunda definición Si los vectores u y v vienen expresados por sus componentes, es decir, ( )1 1,u x y= e

( )2 2,v x y= , el producto escalar se define de la siguiente forma:

Ejercicio resuelto

Dados los vectores ( )2, 1u = − , ( )7, 3v = y ( )2, 4w= − , halla las siguientes opera-

ciones: )a u v⋅ ; ( ))b u v w⋅ ; )c u v v w⋅ + ⋅

( ) ( ) ( )) 2, 1 7, 3 2 7 1 3 14 3 11a u v⋅ = − ⋅ = ⋅ + − ⋅ = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 2, 1 7, 3 2, 4 2, 1 5, 7 10 7 3b u v w⋅ + = − + − = − ⋅ = + − =⎡ ⎤⎣ ⎦

( ) ( ) ( )) 11 2 2 1 4 11 4 4 11 8 3c u v u w⋅ + ⋅ = + ⋅ − + − ⋅ = + − − = − =⎡ ⎤⎣ ⎦ Los apartados b) y c) prueban (no demuestran) la propiedad distributiva del producto respeto de la suma.

Recuerda que disponemos de dos definiciones para el cálculo del producto escalar de dos vectores. Habrás de decidir tú cuál de ellas es la más adecuada, dependiendo de los datos que tengas. Ejercicio 17

Dados los vectores ( )1, 3u = , ( )1,1v = − y ( )6, 0w= , calcula los productos escalares:

)a u v⋅ =

)b u w⋅ =

)c v w⋅ = (Sigue → )

(¡Ojo! se parece a una suma, pero no lo es) 1 2 1 2u v x x y y⋅ = ⋅ + ⋅


56

(Continuación)

)d v u⋅ =

)e w u⋅ = ¿Qué conclusión puede sacarse de los apartados a) y d) o de los apartados b) y e)? El producto escalar cumple, entre otras, las siguientes propiedades:

Conmutativa: u v v u⋅ = ⋅

Asociativa: ( ) ( )u v w u v w⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Distributiva del producto respecto a la suma: ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

Dicho de otro modo, los vectores (en lo referente al producto escalar) se comportan como los números reales frente al producto. Ejercicio 18

Sean u y v dos vectores de módulos 2 y 4, respectivamente, y de producto escalar -3. Calcula los siguientes productos escalares:

( )) 2a u u v⋅ − =

( )2) 3b u v− =

Ejercicio 19

Determina el valor de a para que los vectores ( ), 2u a= − y ( )2 , 9v a= sean perpendi-culares:


57

Gracias a las definiciones del producto escalar podemos averiguar cuál es el ángulo que forman dos vectores.

De la primera definición podemos deducir que: ( )cos , u vu vu v⋅

=⋅

; es decir, necesita-

mos el producto escalar (numerador) y los módulos de los vectores (denominador). Así conseguiremos obtener el coseno del ángulo que forman ambos vectores, y de ahí, a través de la operación inversa (que ya conoces) podremos obtener el ángulo. Respecto al denominador, podremos obtener los módulos a través del teorema de Pi-tágoras; y respecto al numerador, recuerda que teníamos otra definición de producto escalar que utilizaba sólo las componentes de los vectores:

1 1 2 2u v u v u v⋅ = ⋅ + ⋅ , siendo ( )1 2,u u y ( )1 2,v v las componentes de los vectores u y

v respectivamente.

Por tanto, la fórmula inicial queda así: ( ) 1 1 2 2cos , u v u vu vu v

⋅ + ⋅=

⋅

Ejercicio resuelto

Dados los vectores ( )4, 1u = − , ( )5, 2v = , obtén el ángulo que forman: En primer lugar obtenemos el numerador, es decir, el producto escalar apoyándonos en la segunda definición:

( )4 5 1 2 20 2 18u v⋅ = ⋅ + − ⋅ = − = En segundo lugar, obtenemos los módulos de los vectores:

( )224 1 17u = + − = ; 2 25 2 29v = + =

En tercer lugar, obtenemos el coseno del ángulo que forman:

( ) 18 18cos ,17 29 493

u v = =⋅

; con el fin de conservar la máxima precisión en los

cálculos, conservaremos el valor del coseno en forma de fracción simplificada. Finalmente, a través de la operación inversa obtenemos el arco cuyo coseno vale el valor hallado en el paso anterior:

18, arccos 35'84493

u v = = °

Este tipo de operaciones pueden comprobarse dibujando los vectores, y averiguando el ángulo con ayuda de un transportador.


58

Ejercicio 20

Halla el ángulo formado por los vectores ( )5,12u = − y ( )8, 6v = − : Ejercicio 21

Determina el ángulo que forman los vectores ( )1, 3u = y ( )2, 4v = − : Ejercicio 22

Igual que el ejercicio anterior para ( )1, 0u = , ( )1,1v = : (no utilices la calculadora)

3.3.5 Producto vectorial En esta ocasión, el resultado del producto de dos vectores no es un escalar, como en el caso anterior, sino un vector. Es imprescindible, por tanto, indicar el módulo, direc-ción y sentido del vector resultante. Para distinguir este producto vectorial del producto escalar anterior, cambiaremos el

punto por un aspa: u v w× = .


59

Es posible que en otra bibliografía o en Internet encuentres otros símbolos que signifi-

quen lo mismo, como por ejemplo: u v w∧ = .

Calculemos por tanto, las características principales del vector resultante w :

Módulo: ( ),w u v sen u v= ⋅ ⋅

Dirección: siempre será perpendicular al plano que formen los dos vectores. Sentido: para obtenerlo, seguiremos la denominada “regla de la mano derecha”:

si con los cuatro dedos de la mano derecha (sin contar el pulgar) mar-camos el ángulo del primer vector hacia el segundo, el dedo pulgar marcará el sentido del vector resultante. Otro truco similar es determi-nar el avance de un tornillo cuando “giramos el destornillador” del pri-mer vector al segundo.

Atención: el producto vectorial no es conmutativo. Ejercicio 23

Calcula el producto vectorial de los vectores ( )5, 0u = y ( )3, 4v = − : Ejercicio 24

Calcula el producto vectorial de los vectores ( )1, 3u = y ( )2, 4v = − : (obtén los datos que necesites de la actividad 21)


60

3.3.6 Resumen de los productos

Tipo de producto Ámbito

Producto de un escalar por un vector × →V V ( )n v w⋅ =

Producto escalar de vectores × →V V ( )u v n⋅ =

Producto vectorial × →V V V ( )u v w× =

Ejercicio 25

Sean wvu ,, tres vectores y a un número real:

¿tiene sentido la expresión ( )u v w⋅ ⋅ ? ¿y esta expresión v w a⋅ + ?

¿y esta: ( )u v w+ ⋅ ? ¿y a v w− × ? ¿y estas dos: ( )w v w− × y ( )w v w− × ?

3.4 Direcciones web En estos enlaces podrás encontrar algunos ejercicios extras y otros ejemplos que te ayudarán a reforzar los contenidos tratados en esta unidad. http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Vectores_en_el_plano/Vectores_indice.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/vectores_emm/Vectores1.htm http://personal1.iddeo.es/romeroa/vectores/default.htm http://w3.cnice.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/vectores/index.html http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/vectores.htm http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/indice/indice.htm

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos

61

Un matemático es un ciego en una habitación oscura que busca un gato negro que no está allí.

Charles Darwin (científico inglés, 1809 - 1882)

Unidad 4: Potencias,

raíces y logaritmos


62


63


Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos ......................................................................65

4.1 Potencias (repaso) ...............................................................................................65 4.1.1 Propiedades de las potencias .......................................................................66 4.1.2 Notación científica .........................................................................................68

4.2 Raíces..................................................................................................................72 4.2.1 Racionalización .............................................................................................76

4.3 Logaritmos ...........................................................................................................79 4.3.1 ¿Cómo obtener el logaritmo de un número? .................................................79 4.3.2 Uso de la calculadora ....................................................................................83 4.3.3 Propiedades ..................................................................................................84 4.3.4 Expresiones algebraicas y expresiones logarítmicas ....................................86


− Operar con cualquier tipo de potencia (repaso)

− Realizar operaciones con números expresados en Notación Científica (repaso)

− Operar con raíces (repaso)

− Racionalizar denominadores (repaso)

− Obtener el logaritmo de un número

− Expresar cualquier número como cualquier potencia

− Operar con logaritmos

− Convertir expresiones logarítmicas en expresiones algebraicas y viceversa


− Utilizar la notación científica para abordar problemas y ejemplos en los que aparezcan contenidos asociados a la ciencia y al mundo físico (C2 y C3).

− Interiorizar las propiedades de potencias y radicales, y utilizarlas para desen-volverse adecuadamente con autonomía e iniciativa personal en los diversos ámbitos de la vida y el conocimiento (C2, C7 y C8).

− Comprobar la simplificación de cálculos que supone el uso de las propiedades de los logaritmos, tomando ejemplos de actividades con contenidos propios del ámbito de las ciencias experimentales (C2 y C3).


64


− Opera con potencias de exponente entero y racional, haciendo uso de las pro-piedades adecuadas para cada caso

− Opera con números expresados en notación científica

− Simplifica expresiones radicales incluyendo, en su caso, la racionalización de las mismas

− Calcula logaritmos de números mediante la aplicación de la definición y con la calculadora

− Opera con expresiones logarítmicas mediante la aplicación de las correspon-dientes propiedades

− Utiliza potencias o logaritmos para resolver problemas reales

− Convierte expresiones logarítmicas en expresiones algebraicas y viceversa


− Potencias de cualquier exponente: propiedades

− Notación científica: operaciones

− Raíces de cualquier índice: propiedades

− Racionalización: casos

− Logaritmo de un número

− Propiedades de los logaritmos

− Expresión “tomar logaritmos” y “tomar antilogaritmos”


− Utilización de las propiedades de las potencias para realizar cálculos

− Operar con radicales, racionalizando las expresiones obtenidas cuando sea necesario

− Cálculo del logaritmo de un número mediante la aplicación de la definición y en diferentes bases

− Cálculo del logaritmo de un número en cualquier base utilizando la calculadora

− Reducción de expresiones numéricas en las que aparecen logaritmos

− Paso de una expresión algebraica a otra logarítmica y viceversa


65

Unidad 4: Potencias, raíces y logaritmos

Son tres operaciones básicas para el resto del curso. Haremos un repaso de los contenidos que ya sabes de potencias y raíces, y aprenderemos una nueva operación sobre los números reales: los logaritmos.

4.1 Potencias (repaso) La mejor manera de repasar conceptos es resolver ejercicios que nos recuerden las propiedades de las potencias. Recuerda que tanto bases como exponentes pueden ser naturales, enteros o fraccionarios. Ejercicio 1 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente natural:

=23)a

( ) =− 24)d

=− 24)g

( ) =− 35)b

( ) =− 31)e

( ) =−− 32)h

=50)c

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

32)f

Ejercicio 2 Calcular el valor de las siguientes potencias de exponente entero (negativo):

=−32)a

( ) =− −33)d

=− −24)g

( ) =− −35)b

( ) =− −42)e

( ) =− −24)h

( ) =− −23)c

=−431)f

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−2

21)i

Ejercicio 3 Determina cuales de las siguientes expresiones son verdaderas y cuales falsas:

Nota: sólo hay tres correctas

a) nmnm aaa +=⋅ b) ( )nnn baba +=+ c) ( )nmnm aa =⋅

d) ( ) ( )mnnm aa = e) ( )nn aa −=− f) ( ) pnmpnm aaaa −⋅=⋅ :

g) nn aa1

=−

h)

nm

n

m

ba

ba −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

i) ( ) ( )mnnm abba =⋅


66

4.1.1 Propiedades de las potencias

1. …vecesm

m aaaaa ⋅⋅⋅= Caso particular: 0,10 ≠∀= aa

Ejemplo: 322222225 =⋅⋅⋅⋅= 1130 =

2. m

mm

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

( )0≠bcon Ejemplo:2

22

43

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

3.

mm

aa 1

=− ( )0≠acon

m

m

m

mm

ab

ba

ba

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

( )0≠∧ ba

mm

aa −=

1 ( )0≠a

Ejemplo:

33

515 =−

55

5

5

55

313

31

31

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

−−

1010

212 −=

4.

n mnm

aa = ( )0 1a n≥ ∧ >

n mn

mn mn

m

aaaa 11

=== −−

( )0 1a n≥ ∧ >

Ejemplo:

7 272

55 =

5 252

313 =

−

5.

nmnm aaa +=⋅ nmnm

ba

ba

ba +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

, ( )0≠b Ejemplo:

75252 3333 ==⋅ +

11

11114747

52

52

52

52

52

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

6.

nmnm aaa −=: , ( )0≠a

nmn

m

aaa −= , ( )0≠a

Ejemplo:4

47373

51555:5 === −−

2353

5

11111111

== −

7. ( ) nmnm aa ⋅= Ejemplo: ( )[ ] ( ) 202054 222 =−=−

8. ( ) mmm baba ⋅=⋅ Ejemplo: ( )[ ] ( ) 44444 323232 ⋅=−⋅=−⋅

9. nnn baba ⋅=⋅ Ejemplo: 222222 55

5 235 25 3 ==⋅=⋅

10. n

n

n

ba

ba=

( )00,0 >∧>≥ nba

Ejemplo:67

3649

3649

==

11. nn n baba ⋅=⋅ Ejemplo: 525220 2 =⋅=

12. mnn m aa ⋅= Ejemplo: 555 23 63 6 == ⋅


67

Ejercicio 4 Ordena de menor a mayor los números A, B y C:

( ) ( ) ( )23 112 −++−−=A

( ) ( )181 35 −+−−−=B

( ) ( ) ( )322 122 −++−−=C

Ejercicio 5 Resuelve cada actividad:

( ) ( ) =−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − −13 2

29:3

81:

431)a

( ) =+−+−+ − 310

8912:

412)b

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−

1827

41:

232) 3

1

c

Ejercicio 6 Simplifica:

=⋅

⋅⋅⋅ −

1610-

5293

25159273125


68

Ejercicio 7 Simplifica:

( )( )

=⋅

⋅−

−

232

522

26

aabbaba

Ejercicio 8 Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma de potencia:

( )[ ] ( ) =⋅− 325 3- : 93a)

( ) ( ) =⋅−⋅− 1644b) 53

=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

161

21

21c)

32

=⋅⋅⋅⋅⋅ −

220

2234

92152732532d)

=⋅⋅⋅⋅⋅

−

−

2322

214

65273710)e

4.1.2 Notación científica Es un caso particular de potencias de exponente entero, y se utiliza (en cualquier mate-ria de ciencias, sobre todo en Física) para designar números muy grandes o muy pe-queños (distancias entre astros, masa de partículas atómicas...)


69

Notación ordinaria Notación científica Distancia Tierra-Sol km000000150= km8105'1 ⋅=

Edad del Sol años0000000005= años9105 ⋅=

Masa de la Tierra kg000000000000

0000000009805= kg241098'5 ⋅=

Año luz (longitud que reco-rre la luz en un año) km0000000004609= km121046'9 ⋅=

Longitud del paramecio m025000'0= m5105'2 −⋅=

Longitud de onda de la luz visible al ojo humano

mde 4000000'0 mhasta 7000000'0

mde 7104 −⋅

mhasta 7107 −⋅

Peso de una molécula de agua

0 '000 000 000 000000 000 000 029 g=

g23109'2 −⋅=

Masa de un protón kg169000000000000

000000000000000'0= kg281069'1 −⋅=

Ejercicio 9 Indica si las siguientes expresiones son verdaderas (V) o falsas (F):

4'3100:34) =a

43 101'3101'3) −− ⋅>⋅b

( ) ( )2122 1011'0102'1) −− ⋅<⋅c

67'510:567'0) =d

( ) ( )33 10821028) −− ⋅⋅=⋅⋅e

5) 1234 10 0 '001234 10f −⋅ = ⋅

Ejercicio 10 Haz esta operación con la calculadora y comprueba que obtienes la misma solución

2'1104'2105 32 =⋅⋅⋅ − Atención: la tecla EXP ya tiene incluido la base 10. No debes escribir 5 x 10 EXP 2, ya que estarás escribiendo 5000, en vez de 500. Debes teclear: 5 EXP 2 x 2’4 EXP -3 =


70

Para las multiplicaciones y divisiones de números expresados en notación científica sólo deberemos aplicar las mismas propiedades que para las potencias

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente operación usando notación científica: 63 105'1102'2 −− ⋅⋅⋅ Agrupamos los decimales y las potencias por otro y operamos:

3 6 3 6 92 '2 10 1'5 10 2 '2 1'5 10 10 3'3 10− − − − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ Como el resultado está expresado en notación científica hemos acabado el ejercicio.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente operación usando notación científica: 75 102'9105 ⋅+⋅ Al tratarse de una suma (o resta) debemos conseguir que los exponentes de las poten-cias de 10 sean iguales entre sí (podemos subir el 5 al 7, bajar el 7 al 5 o, incluso, igua-lar ambas potencias a 6). Una vez conseguido (la parte decimal se verá afectada) po-dremos extraer factor común. Se decide igualar los exponentes a 5; para ello, operamos sobre el segundo sumando: debemos conseguir que el exponente 7 se convierta en 5, entonces multiplicamos por

210− y para que el ejercicio no cambie también multiplicaremos por 210

227575 1010102'9105102'9105 ⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅ − ; ahora, operamos las potencias del 7 y del -2 para conseguir el 5, y la otra potencia restante se opera con la parte decimal del número: 55255 1092010510102'9105 ⋅+⋅=⋅⋅+⋅ ; ya tenemos las potencias iguales: extraemos factor común y operamos: ( ) ;10925109205 55 ⋅=⋅+ por último, y muy importante, dejamos el resultado en nota-ción científica:

5 7 75 10 9 '2 10 9 '25 10⋅ + ⋅ = ⋅

Ejercicio 11 Resuelve utilizando notación científica:

=⋅⋅⋅ − 62 105103'4)a

=⋅⋅ −67 101'8:104'3)b

( ) ( ) =⋅⋅ −24 102:105)c


71

(Continuación)

( ) ( ) =⋅⋅⋅⋅ −− 245 108'4:105106'9)d

( ) ( )=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ −−− 4352 108102:102'2102'1)e

=⋅⋅⋅⋅⋅ − 345 104103102)f

=⋅⋅⋅ −− 63 105'1102'2)g

7 5) 5 '2 10 2 '3 10h ⋅ + ⋅ =

4 6) 2 '3 10 1'2 10i ⋅ − ⋅ =

6 4 5) 2 '4 10 4 10 3'6 10j ⋅ − ⋅ − ⋅ =

5 3 4) 8 '2 10 5 10 1'5 10k ⋅ − ⋅ − ⋅ = Ejercicio 12 Responde utilizando notación científica: a) Una molécula de agua pesa g23109'2 −⋅ . ¿Cuánto pesarán cien mil moléculas de agua?


72

(Continuación) b) España tiene una población de hab6106'36 ⋅ y una superficie de 24104'50 km⋅ . ¿Cuál será la densidad de población española? ( )2/ kmhabDensidad = c) Un microscopio permite observar un objeto a un tamaño 4105'2 ⋅ veces más grande que el original. ¿A qué tamaño se verá una partícula de polvo que mide m5105 −⋅ ?

4.2 Raíces Al igual que con las potencias, aquí también repasaremos conceptos resolviendo ejer-cicios. Las potencias de exponente fraccionario y las raíces son una misma cosa:

n mnm

aa = Ejercicio 13 Calcula:

=94)a =

3625)b

=481)c =44'1)d

=3 125'0)e =3 027'0)f

=−4 81)g =396

63

12527)

banmh

=3126

6364)nm

yxi =484

8116) baj


73

(Continuación)

=4

8116)k =5 01000'0)l

=6 64)m =−3 1)n

=−4 1)ñ =3 527)o

( )=4 51000'0

1)p ( ) =3 56327) nmq

Conseguir que dos (o más) raíces tengan el mismo índice nos permitirá compararlas y ordenarlas, multiplicarlas y dividirlas; para ello, sólo hay que aplicar esta propiedad:

kn kmn m aa ⋅ ⋅=

Ejercicio resuelto

Calcula las siguientes operaciones:

63 3 35 5 6 23 33 3) 2 32 2 2 2 2 2 2 2 4a ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = =

6 6 63 2 3 23) 2 15 2 15 2 15b ⋅ = ⋅ = ⋅

Ejercicio 14 Calcula los siguientes operaciones:

=⋅ 33 93)a

=⋅ 21

82)b

=⋅ 5 32)c

=2:32)d


74

(Continuación)

=3

3

981)e

=3:15)f

) xgx=

3 2 34) 3 3 3h ⋅ ⋅ =

4 83 2 2) 2 2 3i ⋅ ⋅ =

Mira, de nuevo, la propiedad 11. Se puede extraer factores de una raíz e introducirlos; así podremos: agrupar raíces, simplificarlas... Ejercicio 15 Extrae factores:

=8)a =18)b

=32)c =50)d

=98)e =128)f

=162)g =200)h Ejercicio 16 Introduce factores:

=⋅ 22)a =⋅ 37) 2b

=⋅ 3 52)c =⋅⋅⋅ 52 7232)d

=⋅ 72 77)e =⋅⋅ 3 2510)f


75

No se pueden sumar ni restar raíces: baba +≠+ , pero sí pueden agruparse:

aaa 43 =+ Deberemos conseguir, para ello, que los radicales sean los mismos (mismo índice y mismo radicando); y para conseguirlo, podremos introducir o extraer factores, igualar índices... Ejercicio 17 Opera:

=+−+ 18080455)a

=−+− 50251882)b

=+497548)c

=+− 321828)d

=−+ 646 8427)e

=+− 7551483272)f

2 18)3 75

g + =

27 1 12)2 2 50

h − =


76

Ejercicio 18 Simplifica: (mira la propiedad número 12)

=3 8)a

=3)b

=32)c

=xd )

=−1) xe

=xxxf )

=5 3) xg

3 2 3)h a a a⋅ =

3 3 36 3)i a a a a⋅ =

4.2.1 Racionalización Recuerda que es el proceso por el cual se eliminan las raíces de los denominadores. Cada caso depende del tipo de raíz que haya en el denominador:

− Caso I) Raíz cuadrada: se multiplica numerador y denominador por la misma raíz del denominador

( )215 15 5 15 5 15 5 3 5

55 5 5 5

⋅ ⋅= ⋅ = = = ⋅

− Caso II) Raíz de índice mayor que dos:

7 7 74 4 47 4

7 7 7 73 3 4 7

6 6 2 6 2 6 2 3 222 2 2 2

⋅ ⋅= ⋅ = = = ⋅


77

− Caso III) Suma o diferencia:

( )( )( )

( )( )

( ) ( )22

3 7 12 3 7 12 3 712 12 6 3 79 73 7 3 7 3 7 3 7

+ ⋅ + ⋅ += ⋅ = = = ⋅ +

−− − + −

Ejercicio 19 Racionaliza los denominadores y ten en cuenta que todos los radicandos indicados con letras son números enteros y positivos. Fíjate en las soluciones.

3) aaa= Solución: a3

2)3

b = Solución: 36

3

3 2) ab ac

a b= Solución: 3 22ba

3 2) ad

a= Solución: a

a6 5

2 2

) a bea b−

=−

Solución: baba −+ )(


78

2

3 5) mf

m= Solución: 3 m

2)2 2

g =+

Solución: 12 −

5)4 5

h =+

Solución: 11554 −

2)3 5

i −=

− Solución: 53 +

5)7 2

j =+

Solución: 27 −

)1

b bkb−

=−

Solución: b

3)3 3

l =−

Solución: 23618+


79

4.3 Logaritmos Son mucho más sencillos de lo que los alumnos suelen creer. Podrían explicarse en otros cursos inferiores de ESO. Los siguientes ejemplos están resueltos: intenta averiguar cuál es la operación que se realiza:

2) log 8 3a = Se lee “el logaritmo en base dos de ocho es tres”

5) log 125 3b = 7) log 49 2c = 4

10) log 10 000 log 10 4d = = 3) log 81 4e = Observa el ejemplo d), cuando la base es 10, no podremos nada (igual que obviamos el índice 2 en las raíces cuadradas). Ejercicio 20 Resuelve:

) log 100a = ) log 100 000b =

) log 0'1c = ) log 0'000 001d = 27) log 10e − = 2) log 10f =

6) log 36g = 8) log 8h π = 11

3) log 3i = 2) log 0'5j =

Hasta aquí hemos obtenido los logaritmos “a ojo”. ¿Y si queremos calcular 4log 2 ?

4.3.1 ¿Cómo obtener el logaritmo de un número? Algunos logaritmos, como los anteriores, se pueden obtener sin calculadora (otros no, pero los veremos más adelante). Sólo debes responder a una pregunta:

¿A qué número tengo que elevar la base para obtener el número? Fíjate en el ejemplo a) de los primeros logaritmos: ¿a qué número, x, tengo que elevar el 2 para obtener 8?

Dicho de otra forma: 2 8x = , ¿cuánto vale x? Es decir, Esta forma de expresar el logaritmo nos lleva a una definición importante:

log xa N x a N= ⇔ =

Fórmula que nos permitirá resolver logaritmos no tan sencillos como los anteriores.

un logaritmo sólo es un exponente


80

Ejercicio resuelto

Resuelve los siguientes logaritmos:

31) log3

a ; Igualamos a x el logaritmo y aplicamos la definición:

31 1log 33 3

xx= ⇔ = Tratamos de igualar las bases:

113 3 1

3x x−= = ⇒ = − ; por tanto: 3

1log 13= −

110

) log 0 '001b ; Igualamos a x el logaritmo y aplicamos la definición:

110

1log 0 '001 0 '00110

x

x ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Tratamos de igualar las bases:

3 31 10 10 10 3

10x

x x− − −= ⇒ = ⇒ = ; por tanto, 110

log 0 '001 3=

Ejercicio 21 Resuelve:

4) log 2a

) log 10b

2) log 8c

33) log 3d


81

(Continuación)

13) log 1e

2) log 0 '125f

5) log 0 '2g

13

) log 27h

13

1) log81

i

110

) log 1000j

Hasta ahora, apoyándonos en la definición, hemos obtenido los logaritmos en diferen-tes bases de varios números. Otra forma de exprimir esa fórmula es obtener las bases conociendo el número y el logaritmo.

Ejercicio resuelto

Halla la base en la cual el logaritmo de 10 000 es 2:

Nos están preguntando: log 10 000 2x = ; aplicamos la definición: 2 410 000 10x = = ;

Debemos operar en la parte derecha y conseguir que el exponente sea 2:

( )22 2 210 10x x= ⇒ = ; la base es 100.


82

Ejercicio 22 a) Halla la base en la cual el logaritmo de 16 es 2: b) Halla la base en la cual el logaritmo de 125 es 3: c) Halla la base en la cual el logaritmo de 729 es 3: d) Halla la base en la cual el logaritmo de 27 es -3: Hallar el número conociendo la base y el logaritmo resulta muy sencillo ya que sólo hay que resolver la potencia:

Por ejemplo: 32log 3 2 8 8x x= ⇒ = ⇒ =

Ejercicio 23 Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:

) log 3a x = −

) log 0 '5 4xb =

12

) log 32c x=


83

Hay tres consecuencias inmediatas de la definición:

4.3.2 Uso de la calculadora

Sólo encontrarás dos logaritmos: en base 10, log ; y en base e, ln o Ln . Para obtener un logaritmo en cualquier otra base deberás dividir el logaritmo en base 10 del número entre el logaritmo en base 10 de la base:

loglogloga

NNa

=

Puedes comprobar esta fórmula con algún logaritmo sencillo. Ejemplo:

2log 8log 8 3log 2

= =

Ejercicio 24 Comprueba con la calculadora las soluciones de los ejercicios 20 y 21 (Este espacio es para que escribas las primeras operaciones. Tras tres o cuatro ejercicios se consigue mecanizar el proceso y ya no necesitarás hacerlo)


84

4.3.3 Propiedades Son tres, y, como todas las propiedades, resultan muy útiles para resolver problemas. Logaritmo de un producto... puede ponerse como la suma de los logaritmos de los factores:

log log loga a aM N M N⋅ = + Ejercicio 25 Aplicando propiedades (de momento sólo conoces una), obtén:

log 40 log 25+ = Ejercicio 26

Simplifica la expresión ( )( ) ( )( )log 1 1 log 1 1x x+ − + + +

Solución: log x Logaritmo de un cociente... puede ponerse como una resta entre el logaritmo del numerador y el del denominador:

log log loga a aM M NN

= −

Ejercicio 27 Aplicando propiedades obtén:

log80 log8− =


85

Ejercicio 28

Sabiendo que log log 1x y− = , encuentra la relación que existe entre x e y: Logaritmo de una potencia... puede ponerse como el producto del exponente por el logaritmo de la base:

log logNa aM N M= ⋅

Ejercicio 29 Aplicando propiedades obtén:

4log 4 = Ejercicio 30

Sabiendo que log 2 0 '3= , calcula:

) log 8a =

) log 5b =

) log 125c =

) log 0 '64d =

Ejercicio 31

Sabiendo que log 5 0 '69= , calcula:

) log 500a =

) log 0 '5b =


86

Ejercicio 32 Opera (sin calculadora):

) log 2 log5a + =

) log 40 log 5 log 20b + − =

( ) 5) log 25 log 4 log 1000c + ⋅ =

Ejercicio 33 Simplifica las siguientes expresiones:

) 2 log 5 log 4 log 10a a aa + − =

1 1) log 12 log 9 log 82 3a a ab ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

4 3) log logc x x− =

) 1 log 2d + =

) 3 log 2e − =

3) log 2logf x x+ =

4.3.4 Expresiones algebraicas y expresiones logarítmicas Si los logaritmos de dos números en la misma base son iguales, entonces los números también son iguales. Ejercicio 34 Expresa la propiedad anterior con una expresión matemática:


87

Es decir, dada una expresión logarítmica (donde aparezcan logaritmos), si consegui-mos expresarla como la parte izquierda de esta propiedad, podremos pasar a una ex-presión algebraica (sin logaritmos), y viceversa. Cuando se aplica esta propiedad en el sentido de izquierda a derecha se dice “tomando antilogaritmos” o “quitando logaritmos”; cuando se aplica de derecha a izquierda se di-ce “tomando logaritmos”. Estas expresiones deben aparecen en los ejercicios (exáme-nes) cuando las apliques. Ejercicio resuelto

Convierte esta expresión en algebraica:

log log 4 log 3log log 3V rπ= + + − ; debemos agrupar los logaritmos de la parte derecha ara obtener sólo un logaritmo:

3log log 4 log log 3;V rπ= + −

34log log ;3rV π

= Quitando logaritmos:

343rV π

= , expresión algebraica que nos da el volumen de una esfera.

Ejercicio 35 Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones:

) log 2 log 3log 2 log 5a A x y= − +

( ) ( )) log log logb B x y x y= + + −

) log 3log log 32 log2xc C x= − −


88

Ejercicio 36 Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:

2 3 4)a A x y z=

3 4

2) a bb Bc

=

23

5) mnc Cñ o

=

Podrás encontrar más información y ejercicios en: http://www.logaritmos.tk http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/logaritmos/logaritmos.htm http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/ http://www.videosdematematicas.com/Formularios%20pdf/Matematicas/Logaritmo%20potencias%20raices.pdf http://videosdematematicas.110mb.com/Algebra/10%20Logaritmos/index.htm

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

89

La búsqueda de la verdad es más preciosa que su posesión Albert Einstein (físico estadounidense de origen alemán, 1879 - 1955)

Unidad 5: Ecuaciones

logarítmicas y exponenciales


90

Ecuación extraída de:

http://usuarios.lycos.es/mislogaritmos/index.htm


91


Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales.....................................................93

5.1 Ecuaciones logarítmicas ......................................................................................93 5.2 Ecuaciones exponenciales...................................................................................97

5.2.1 Igualar bases.................................................................................................97 5.2.2 Sacar factor común .......................................................................................98 5.2.3 Cambio de variable......................................................................................100 5.2.4 Tomar logaritmos.........................................................................................101

5.3 Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales .....................................103 Objetivos: en esta unidad aprenderás a ...

− Resolver ecuaciones logarítmicas

− Resolver ecuaciones exponenciales

− Resolver sistemas de ecuaciones logarítmicas

− Resolver sistemas de ecuaciones exponenciales


− Adquirir un método autónomo de trabajo en la resolución de actividades y pro-blemas relacionados con las ecuaciones y sistemas (C2, C7, C8).

− Reconocer, con espíritu constructivo, los errores cometidos al plantear o resol-ver problemas de ecuaciones o sistemas (C2, C5).


92


− Resuelve ecuaciones logarítmicas de primer grado o mayor

− Resuelve ecuaciones exponenciales

− Resuelve sistemas de ecuaciones logarítmicas

− Resuelve sistemas de ecuaciones exponenciales


− Ecuaciones logarítmicas

− Sistemas de ecuaciones logarítmicas

− Ecuaciones exponenciales

− Sistemas de ecuaciones exponenciales

− Cambio de variable


− Resolución de ecuaciones logarítmicas

− Conversión de expresiones logarítmica e algebraicas y viceversa

− Resolución de sistemas de ecuaciones logarítmicas

− Resolución de ecuaciones exponenciales mediante la aplicación de logaritmos, igualación de bases, sacando factor común o por cambio de variable

− Resolución de sistemas de ecuaciones exponenciales

− Utilización del cambio de variable para resolver ecuaciones exponenciales y lo-garítmicas


93

Unidad 5: Ecuaciones logarítmicas y exponenciales

Tras conocer cómo se resuelven los logaritmos, avanzamos con la resolución de ecuaciones que tengan la(s) incógnita(s) dentro de un logaritmo o en un exponente. Aprenderemos a identificar las distintas clases que existen y aplicaremos su método particular para resolverlas. Ampliaremos la unidad con el estudio de los sis-temas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.

5.1 Ecuaciones logarítmicas Son ecuaciones que tienen al menos una incógnita dentro de un logaritmo. Básicamen-te utilizaremos las herramientas aprendidas en el tema anterior:

− propiedades de los logaritmos − quitar logaritmos

Ejercicio resuelto

Resuelve: 23 log627loglog5 xx ⋅+=⋅ Lo primero que hacemos es fijarnos en los exponentes de las incógnitas. Al aplicar la tercera propiedad de los logaritmos, evitamos esos exponentes “tan elevados”. 15 log 3log 3 12 logx x⋅ = + ⋅ Siempre fijándonos en las incógnitas, vemos que ambas están en miembros distintos y que pueden agruparse (son del mismo grado):

3log3log12log15 =⋅−⋅ xx Se opera:

3log3log3 =⋅ x ; Se simplifica toda el ecuación por 3: 3loglog =x ; finalmente, qui-

tando logaritmos: 3x =

Consejos para la resolución de este tipo de ecuaciones:

- No pierdas nunca de vista que el objetivo es ir agrupando las incógnitas en una sola (caso de que halla más de una), para conseguir despejarla.

- Con frecuencia resulta muy útil quitar los logaritmos, para resolver así, una ecuación algebraica; recuerda cómo debes disponer los logaritmos para con-seguirlo.

- En ocasiones deberás “hacer el logaritmo al revés”, es decir, dado un número (sin logaritmo) deberás ponerlo como el logaritmo de otro. Por ejemplo:

44 log10= . - Como en el caso de las ecuaciones con raíces, es imprescindible comprobar

las soluciones. Recuerda que no existen los logaritmos de números negativos.


94

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el ne-periano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación. Ejercicio 1 Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas (se deja el doble de espacio para que hagas las comprobaciones):

( )) 2log log 6 0a x x− + =

( )) log 1 log 1b x x+ − =

( ) ( )) log 6 1 log 3c x x+ = + −

(Sigue → )


95

(Continuación)

( ) ( )) log 3 5 log 2 1 1 log5d x x+ − + = −

( )) log 1 log 5 log 5 0e x x x− − + − − =

( ) ( )2) log 2 log 11 2log 5f x x+ − = −

(Sigue → )


96

(Continuación)

( )2) log 3 log 2 logg x x− = +

( )2) 2log log 6 1h x x− − =

( ) ( )1) log 5 4 log 2 log 42

i x x+ − = +

Ejercicio 2

Despeja en valor de x en ( )yxyx −=− logloglog


97

5.2 Ecuaciones exponenciales Son ecuaciones que tienen al menos una incógnita en un exponente. Ejemplos:

82 =x (Ecuación 1) 813 1 =+x (Ecuación 2)

7553 =⋅ x (Ecuación 3) 2205323 14 =⋅+ −+ xx (Ecuación 4)

105 =x (Ecuación 5) 1203333 112 =+++ −++ xxxx (Ecuación 6)

08696 =+⋅− −xx (Ecuación 7)

La primera y segunda ecuación pueden resolverse a simple vista: 3x = para ambas ecuaciones; pero no siempre va a ser así. Afortunadamente existen cuatro formas (ayudas) de resolver estas ecuaciones:

− Igualar las bases (Ecuaciones 1, 2 y 3) − Sacar factor común (Ecuaciones 4 y 6) − Hacer un cambio de variable (Ecuación 7) − Tomar logaritmos (Ecuación 5)

A la hora de resolver una ecuación exponencial deberás tener presente esta lista, y comprobar, con un simple vistazo, qué forma se adecua mejor a la ecuación dada.

5.2.1 Igualar bases Aplicando propiedades de potencias, deberemos obtener una igualdad de potencias con la misma base; así, podremos igualar los exponentes y resolver la ecuación po-linómica resultante.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación exponencial: 2 1 3 54 0 '5x x+ += Es fácil comprobar que ambas bases son potencias de 2. Operaremos en ambos miembros hasta conseguir que las bases sean iguales. Después, igualaremos los ex-ponentes que es donde están las incógnitas.

( )3 5

2 12 5210

xx

++ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠;

3 54 2 12

2

xx

++ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠; ( )3 54 2 12 2

xx ++ −= ; 4 2 3 52 2x x+ − −= ; si las bases

son iguales, también lo son los exponentes: 4 2 3 5x x+ = − − ; obtenemos una ecua-

ción de primer grado cuya solución es: 1x = −

Comprobación: ( ) ( )2 1 1 3 1 54 0 '5− + − += ; 1 24 0 '5− = ;

2

2

1 12 2

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; la solución es correcta.


98

Ejercicio 3 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:

) 3 5 75xa ⋅ = (Ecuación 3 anterior)

2 2) 25 5xb − =

3 10 5 6) 7 7 0x xc − − +− =

7 11 5 10) 32 4x xd − +=

2 2) 25 1xe − − =

4 9 8 7) 27 81x xf + −=

2 2) 9 1 0xg − − − =

5.2.2 Sacar factor común Este segundo método y el anterior son los más utilizados en el cálculo de ecuaciones exponenciales. Sólo podrá aplicarse si la potencia (o parte de ella) cuyo exponente contenga la incógnita, es común en todos los términos de un miembro de la ecuación. Para extraer factor común, es muy probable que necesites deshacer las sumas o restas que haya en los exponentes.

Fíjate en estos ejemplos en ambos sentidos: 3 32 2 2x x+⋅ = ; 1 1 12 2 2 2

2x x x− −= ⋅ = ⋅


99

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación exponencial: 4 13 2 3 2205x x+ −+ ⋅ = (Ecuación 4 anterior)

Para extraer factor común preparamos la ecuación: 4 13 3 2 3 3 2205x x −⋅ + ⋅ ⋅ = ;

( )4 13 3 2 3 2205x −+ ⋅ = ; dentro del paréntesis no debe quedar ninguna incógnita.

Operamos dentro del paréntesis: 4 23 3 2205

3x ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

; 53 23 22053

x ⎛ ⎞+=⎜ ⎟

⎝ ⎠;

2205 33 27245

x ⋅= = ; obtenemos una ecuación mucho más sencilla que resolvemos

como el caso anterior: 33 3x = ; 3x = Comprobación:

3 4 3 13 2 3 2205+ −+ ⋅ = ; 7 23 2 3 2187 18 2205+ ⋅ = + = la solución es correcta.


1) 2 2 3x xa + + =

1 2) 3 3 324x xb − + − ++ =

2 1 1) 3 3 3 3 120x x x xc + + −+ + + = (Ecuación 6 anterior)

3 2 3) 3 3 10x xd − + =

1 2 1) 4 4 4 112x x xe − − − − − −− + =


100

5.2.3 Cambio de variable Ya conoces este método, lo utilizábamos al resolver ecuaciones bicuadradas. En esta ocasión cambiaremos por otra letra (por costumbre se utiliza la t) la potencia que lleve la incógnita. Es posible que, a la hora de deshacer el cambio, debamos utilizar las pro-piedades, ya conocidas, de los logaritmos.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación exponencial: 6 9 6 8 0x x−− ⋅ + = (Ecuación 7 anterior)

Si multiplicamos toda la ecuación por 6x conseguiremos eliminar el exponente negativo.

6 6 9 6 6 6 8 0 6x x x x x x−⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ; ( )2 06 9 6 6 8 0x x− ⋅ + ⋅ = ; se reordenan los térmi-

nos ( )26 8 6 9 0x x+ ⋅ − = y se hace un cambo de variable: 6x t= ;

2 8 9 0t t+ − = ; ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 1 1t = y 2 9t = − .

Ahora deshacemos el cambio: 0

1

2

6 , 1, 6 1; 6 6 ; 0

6 , 9, 6 9

x x x

x x

t pero t x

t pero t solución no válida

⎧ = = = = =⎪⎨

= = − = −⎪⎩

Comprobación:

0 06 9 6 8 0−− ⋅ + = ; 1 9 1 8 0− ⋅ + = ; 9 9 0+ = ; la solución es correcta


2) 5 6 5 5 0x xa − ⋅ + =

2 2) 4 6 2 8 0x xb − ⋅ + =

(Sigue → )


101

(Continuación)

12 6) 7 8 7 7 0x xc − ⋅ + =

4 1 2) 6 7 6 1 0x xd + − ⋅ + =

5.2.4 Tomar logaritmos Este cuarto y último método se utilizará cuando no sean aplicables ninguno de los ante-riores; se trata del último recurso y, en general, será necesario utilizar la calculadora.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente ecuación exponencial: xx −− = 312 75 Las bases son diferentes y son números primos, por lo que desechamos la idea de igualarlas; el cambio de variable y sacar factor común tampoco parecen que puedan ofrecernos alguna ventaja de resolución, por lo que recurrimos a tomar logaritmos. Tomamos logaritmos en base 5 (en base 7 también valdría) en ambos miembros de la igualdad: 2 1 3

5 5log 5 log 7x x− −= ; y aplicamos la propiedad del logaritmo de una poten-

cia: ( ) ( )5 52 1 log 5 3 log 7x x− = − ; el primer logaritmo se resuelve de forma inmedia-ta; y el segundo, sólo representa un número (que si fuera necesario, obtendríamos con la calculadora):

5 52 1 3log 7 log 7x x− = − ; despejamos la incógnita. Para ello agrupamos las x, por

ejemplo, en el lado derecho, y sacamos factor común: 5 52 log 7 3log 7 1x x+ = + ;

( )5 52 log 7 3log 7 1x + = + ; finalmente: 5

5

1 3log 72 log 7

x +=

+ . En este caso, la compro-

bación no resulta sencilla de hacer. Puedes comprobar los resultados con la calculadora.


102


) 5 10xa = (Ecuación 5)

5 3) 2 1000xb + = Ejercicio 7 Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (ahora no están incluidas en ningún apartado); deberás deducir cuál es el método de resolución que mejor se adecua a ca-da ecuación:

3 1 3) 5 5 6x xa − + −+ =

3 12 1) 10 100

xxb−+ =

( )2 1) 3 18 3 9 0x xc + − ⋅ + =

2 3) 5 800x xd − =

(Sigue → )


103

(Continuación)

8 2 4) 2 3 2 1 0x xe − + −− ⋅ − =

1 6 5) 0 '4 6 '25x xf − −=

2 1 2 2) 2 2 4x xg + +− = −

5.3 Sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales En general, los sistemas de ecuaciones logarítmicas (donde una o más ecuaciones son de este tipo) se resolverán pasando estas ecuaciones a algebraicas con las propieda-des que ya conocemos, y resolviendo el sistema resultante con alguno de los métodos tradicionales: sustitución, reducción o igualación. En alguna ocasión podrán resolverse haciendo algún cambio de variable.

Ejercicio resuelto

Resuelve el siguiente sistema: 70

log log 3x y

x y+ = ⎫

⎬+ = ⎭

La primera ecuación es algebraica y la segunda logarítmica. Intentaremos “quitar loga-ritmos” en la segunda ecuación:

( )7070 70

log log1000log log 3 1000x yx y x y

xyx y xy+ = ⎫+ = + =⎫ ⎫⎪⇒ ⇒⎬ ⎬ ⎬=+ = =⎪⎭ ⎭⎭

obtenemos un sis-

tema no lineal que resolvemos por sustitución:

( )7070

70 10001000x yx y

y yxy= − ⎫= − ⎫ ⎪⇒⎬ ⎬− == ⎪⎭ ⎭

Operando en la ecuación: 270 1000y y− =

Resolviendo: 1 1 2 220; 50 ; 50; 20y x y x= = = =


104

Respecto a los sistemas de ecuaciones exponenciales, también utilizaremos el cambio de variable como método más general. Ejercicio 8 Resuelve los siguientes sistemas:

3 2 64)

log log 1x y

ax y

+ = ⎫⎬− = ⎭

9)

log log 1x y

bx y

− = ⎫⎬+ = ⎭

log log 3)

log log 1x y

cx y+ = ⎫

⎬− = ⎭

2 log 3log 7)

log log 1x y

dx y− = ⎫

⎬+ = ⎭

(Sigue → )


105

(Continuación)

log 5log 7)

log 1

x ye x

y

+ = ⎫⎪⎬= ⎪⎭

( )2 log log 5

)log 4x y

fxy

+ = ⎫⎪⎬= ⎪⎭

2 1

2 5 9)

2 5 41

x y

x yg

+ +

⎫+ = ⎪⎬

+ = ⎪⎭

1

1

2 3 5)

2 8 3 712

x y

x yh

−

+

⎫− = ⎪⎬

+ ⋅ = ⎪⎭

(Sigue → )


106

(Continuación)

2 1

2 5 9)

2 5 9

x y

x yi

+ +

⎫+ = ⎪⎬

− = − ⎪⎭

Puede resultarte muy útil consultar la información de las siguientes direcciones: http://www.logaritmos.tk http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/Ecuaciones_Exponenciales/inicio.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/ecuac_sistemas_exp_log/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_HCS_1/Ecuaciones_exponenciales_y_logaritmicas/Indice_ecuaciones.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Ecuaciones_exponenciales_logaritmicas/Indice_ecuaciones.htm http://lubrin.org/mat/spip.php?rubrique27

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 6: Inecuaciones

107

No hay enigmas. Si un problema puede plantearse, también puede resolverse.

Ludwig Wittgenstein (filósofo austriaco, 1889-1951)

Unidad 6: Inecuaciones


108

Imagen extraída de: http://perso.wanadoo.es/arnadelo/algebra.html


109


Unidad 6: Inecuaciones ...............................................................................................111

6.0 Conocimientos previos.......................................................................................111 6.1 Semejanzas con las ecuaciones:.......................................................................111 6.2 Diferencias con las ecuaciones:.........................................................................111 6.3 Inecuaciones de primer grado............................................................................112

6.3.1 Resolución algebraica .................................................................................112 6.3.2 Resolución gráfica .......................................................................................116

6.4 Inecuaciones de segundo o mayor grado ..........................................................121 6.4.1 Resolución algebraica .................................................................................121 6.4.2 Resolución gráfica .......................................................................................122

6.5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita ....................................................125 6.6 Resolución de inecuaciones por factorización ...................................................126 6.7 ¿Una demostración falsa? .................................................................................131 6.8 Direcciones web.................................................................................................131


− Diferenciar ecuaciones de inecuaciones

− Resolver inecuaciones de primer y segundo grado, tanto de forma algebraica como gráfica

− Resolver inecuaciones por factorización

− Resolver sistemas de inecuaciones


− Emplear el lenguaje matemático (en concreto, nociones básicas de teoría de conjuntos) como instrumento de representación e interpretación de la realidad (C1 y C2).

− Resumir y sintetizar los contenidos de la unidad de manera clara y precisa para desarrollar el sentido crítico y el sentido de la responsabilidad, y para iniciarse en el aprendizaje de manera eficaz y autónoma (C2, C7 y C8).


110


− Resuelve inecuaciones de primer grado mediante la obtención de inecuaciones equivalentes al sumar o restar expresiones algebraicas a los miembros de la inecuación, o al multiplicar o dividir por números positivos o negativos conser-vando o cambiando, según los casos, el sentido de la desigualdad

− Resuelve inecuaciones de segundo grado mediante la aplicación de las reglas generales y el estudio de los signos de los factores, obtenidos en la descompo-sición del correspondiente polinomio de segundo grado, y de su producto

− Resuelve, utilizando este mismo método, inecuaciones que pueden reducirse a productos y cocientes de binomios de primer grado

− Resuelve inecuaciones por representación gráfica


− Relación de orden en el conjunto de los números reales − Propiedades de las desigualdades relacionadas con la suma y el producto − Inecuación − Soluciones de una inecuación − Inecuaciones equivalentes − Inecuación de primer grado con una incógnita − Inecuación de segundo grado con una incógnita − Inecuaciones que pueden reducirse a productos y cocientes de binomios de

primer grado − Sistemas de inecuaciones − Solución gráfica


− Obtención de desigualdades con el mismo (y diferente) sentido mediante la suma o resta de cualquier número o el producto o división de un número positi-vo (negativo) en ambos miembros

− Obtención de inecuaciones equivalentes mediante la suma o resta de expre-siones algebraicas o producto o cociente de números positivos en ambos miembros

− Obtención de inecuaciones equivalentes mediante el producto o cociente de números negativos en ambos miembros y cambiando el sentido de la desigual-dad

− Resolución de inecuaciones de primer y segundo grado − Resolución de inecuaciones que pueden reducirse a productos y cocientes de

binomios de primer grado − Resolución de inecuaciones por representación gráfica − Resolución de sistemas de inecuaciones


111

Unidad 6: Inecuaciones

Son muy parecidas a las ecuaciones que ya conoces, salvo por tres diferencias que veremos al comenzar el tema. Resolvemos inecuaciones de 1er y 2º grado analítica y gráficamente, y siste-mas de inecuaciones.

6.0 Conocimientos previos Debes recordar como expresábamos ciertos intervalos y semirrectas de tres maneras distintas. Ejemplos:

( ]0, 3'5 0 3'5x< ≤

Intervalo semiabierto o abierto por la izquierda y cerrado por la derecha

El mismo intervalo utilizan-do relaciones de desigual-

dad

El mismo intervalo utilizan-do, ahora, una representa-

ción gráfica

( )1,− ∞ 1 x− <

Semirrecta La misma semirrecta utili-zando relaciones de des-

igualdad

La misma semirrecta utili-zando una representación

gráfica

6.1 Semejanzas con las ecuaciones: − En ambas expresiones tratamos de averiguar qué números hacen cierta la

igualdad o desigualdad. − Debemos despejar la incógnita y reducir el resto de la expresión hasta averi-

guar su valor. − Las reglas de la suma (o resta) y multiplicación (o división) por un número posi-

tivo para conseguir expresiones equivalentes son las mismas para ecuaciones que para inecuaciones.

− En las inecuaciones existen, al igual que en las ecuaciones, grados en los poli-nomios que la forman.

6.2 Diferencias con las ecuaciones: − Utilización de un signo diferente al tradicional “igual” (=) de las ecuaciones:

o signo < : se lee “menor que” o “menor estricto que” o signo > : se lee “mayor que” o “mayor estricto que” o signo ≤ : se lee “menor o igual que ” o signo ≥ : se lee “mayor o igual que” o signo ≠ : se lee “distinto” o “no igual que”

− Número de soluciones: en las ecuaciones siempre hay (cuando existen) un número finito de soluciones (una si la ecuación es de 1er grado, dos si es de 2º grado, etc.); en las inecuaciones, pueden haber infinitas soluciones.

− Cambio de orientación del signo cuando multiplicamos o dividimos la inecua-ción por un número negativo.


112

6.3 Inecuaciones de primer grado En este tipo de inecuaciones la incógnita estará elevada a 1. Las inecuaciones en las que la relación entre los dos miembros es ≠ (distinto) puedes considerarlas ya como resueltas: debes obtener las soluciones de la ecuación (con el signo =), y las soluciones de la inecuación serán el resto de valores reales (que son los que no hacen cierta la ecuación).

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación: 2 2 0x x+ − ≠

Las soluciones de la ecuación son 2x = − y 1x = , por tanto, las soluciones de la in-ecuación son todos los valores reales excepto el -2 y el 1, es decir: { }2,1− − .

Ejercicio 1 Resuelve las siguientes inecuaciones:

2) 2 2 0a x x+ + ≠

2) 9 0b x − ≠

) 12 13c x x− ≠ −

2) 5d x x≠ Para el resto de desigualdades, estudiaremos dos formas de resolución: algebraica y gráfica.

6.3.1 Resolución algebraica Teniendo en cuenta lo dicho en los apartados 3.1 y 3.2, la resolución de inecuaciones es prácticamente igual que para las ecuaciones, salvo el caso de tener que multiplicar o dividir la inecuación por un número negativo (habitualmente por -1), en cuyo caso debe-remos invertir el signo de la desigualdad. Mira el siguiente ejemplo:

4x− > ; para tener la incógnita positiva, multiplicaos por -1 en ambos miembros: 4x < −


113

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación: 1 5 3x x− ≥ +

Operamos como si se tratara de una ecuación: 4 4x− ≥ ; 4

4x−

≥ ; 1 x− ≥ ó 1x ≤ −

Observa como en el 2º paso, hemos dividido ambas partes por 4, que al tratarse de un número positivo, no afecta al signo de la inecuación. Una forma muy útil de “comprender” la solución de cualquier ecuación es utilizar una representación gráfica:

Comprobación: En el caso de las inecuaciones no podemos comprobar los resultados con todos los números, para este caso, menores que -1, así que escogeremos un número al azar que cumpla esa condición, por ejemplo, el -2:

Para 2x = − ; ( )2 1 5 2 3− − ≥ − + ; 3 10 3− ≥ − + ; 3 7− ≥ − , sí es correcto. Ejercicio 2 Resuelve y representa sobre una recta las siguientes inecuaciones:

) 3 1 2 3a x x− < +

( )) 2 1 3 3 6b x x x− − + < −

2 5)2 6 3x x xc − −+ ≥

(Sigue → )


114

(Continuación)

( ) ( )) 2 1 3 2 4d x x x x+ − − ≥ −

1) 22 7x xe x++ < −

) 24 3 6x x xf x− < −

2 3 2 2) 46 4 3x x xg + −− ≤ +

1 2 3 4 5)10 6 15 30x x x xh − − − + −

+ ≤ +

3 2 5 1)2 3

x xi + +≥ −

−

(Sigue → )


115

(Continuación)

1 5 5)4 36 9

x x xj − + −< +

( ) 2) 3 1 3 4k x x x x− > + + Ejercicio 3 En una cesta hay 18 manzanas, algunas de las cuales (no necesariamente todas) se van a distribuir, sin partirlas, en dos bolsas, de modo que en la segunda bolsa haya 3 manzanas más que en la primera. ¿Cuántas manzanas puede haber en cada bolsa? Ejercicio 4 Si la suma de tres números naturales consecutivos no llega a 100, ¿entre qué valores pueden estar estos números?


116

6.3.2 Resolución gráfica Resolveremos, mediante este método, inecuaciones de primer grado pero con una o dos incógnitas. Comenzaremos con una incógnita. Vamos a resolver el mismo ejemplo que utilizamos en la resolución algebraica (obviamente, deberemos obtener la misma solución utili-zando el método gráfico). Conocimientos previos: necesitarás recordar cómo se dibujan rectas en un sistema de coordenadas; básicamente, había dos maneras de hacerlo: dando valores en una tabla, o a través de la pendiente y la ordenada en el origen.

Ejercicio resuelto

Resuelve, gráficamente, la siguiente inecuación: 1 5 3x x− ≥ + Deberemos tratar cada miembro de la desigualdad como una recta que deberemos representar. Una vez dibujadas ambas rectas, se mirará la desigualdad, y se determi-narán (visualmente) cuando (para qué valores de x) una de ellas es mayor o menor, es decir, está por encima o por debajo, (según el signo de la desigualdad) que la otra. El primer miembro de la desigualdad será la recta 1y , y el segundo miembro será la recta

2y . Se dan valores para representar las rectas:

x y1 x y2 -2 -3 -1 -2

0 -1 0 3

3 2

La desigualdad de la inecuación indica que la primera recta be ser mayor o igual que la segunda. Mirando la gráfica vemos que cuando la x es -1 ó menor, la recta de trazo continuo está por encima de la recta de puntos.

Por tanto, la solución de la inecuación es ( ], 1−∞ − o bien, 1x ≤ − .


117

Ejercicio 5 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:

) 2 3a x x≤ −

) 2b x x− > −

) 2 1 4 1c x x− − < −


118

También podemos resolver inecuaciones de primer grado con dos incógnitas de forma gráfica. Ejemplo de inecuación de primer grado con dos incógnitas: 2 1y x< − .

Si fuera ecuación, ¿cuántas soluciones tendría?

Veamos cómo se resuelve.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación representando la solución: 2 1y x< − − Se representa la línea recta 2 1y x= − − . Una recta divide a un plano en dos semiplanos. Se trata de averiguar cuál de los semiplano es la solución del ejercicio. Para ello, elegiremos un par de puntos cualesquiera de uno de los semiplanos: si verifican la inecuación, será en semiplano solución; y si no, será el otro. En nuestro caso elegimos el punto ( )0,0 y comprobamos que no verifica la inecuación: 0 2 0 1< − ⋅ − ; por lo tanto, la solución de la inecuación es el semiplano representado en gris en la siguiente figura:


119

Ejercicio 6 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:

) 3 1a y x≤ − +

2 5) 13 4x yb + ≥ −

( )) 3 2 6c y x− <


120

Ejercicio 7 Halla el valor del lado de un cuadrado y de un triángulo equilátero para que la suma de sus perímetros sea superior a 100 cm.

Ejercicio 8 Un CD cuesta 5 euros y un Mini-CD, 3 euros. ¿Cuántos CD y Mini-CD podemos com-prar con 20 euros? (Este problema no tiene sentido con variables negativas; dibuja los ejes de manera que sólo aparezca el primer cuadrante)


121

6.4 Inecuaciones de segundo o mayor grado Al igual que ocurría con las inecuaciones de primer grado, aquí también pueden resol-verse de forma algebraica y de forma gráfica. Utilizaremos el mismo ejemplo en ambos procedimientos.

6.4.1 Resolución algebraica El método consiste en: - pasar la inecuación a forma de ecuación (simplemente cambiando la desigualdad

existente por el signo igual) - resolver la ecuación de 2º grado - situar las soluciones en la recta real (esto originará varios intervalos, según el núme-

ro de soluciones que haya); - decidir (en base a los signos) qué intervalo(s) es(son) la solución de la inecuación.

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación: 2 2 1 2 3x x x+ − > +

Resolvemos la ecuación de segundo grado: 2 4 0x − = ; Soluciones: 2x = ± . Situamos las dos soluciones en la recta real:

Al haber dos soluciones, la recta real queda dividida en tres intervalos. Elegimos, por ejemplo, el cero para hacer la comprobación: 20 2 0 1 2 0 3+ ⋅ − > ⋅ +

1 3− > ; al no cumplirse la inecuación, podemos determinar ya las soluciones:

Solución: ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞∪ Ejercicio 9 Resuelve, gráficamente, las siguientes inecuaciones:

2) 5 6a x x− < −

(Sigue → )


122

(Continuación)

2) 2 3 0b x x− − ≥

2 2) 2 6c x x x+ ≤ +

2) 3 2 0d x x− + ≤

( ) ( )2 2) 2 5 72 4e x x− > + −

3 2) 6 5 0f x x x− + >

6.4.2 Resolución gráfica Con este método resolveremos sólo las inecuaciones de segundo grado. Al igual que hemos hecho anteriormente, nos olvidaremos momentáneamente de la desigualdad, tratando la inecuación como ecuación. Dibujaremos la parábola correspondiente (pro-cedimiento visto el curso pasado). Finalmente, volveremos a la inecuación, donde de-terminaremos, a partir de la gráfica, los valores de x que provocan que la gráfica sea positiva (esté por encima) o negativa (esté por debajo) del eje de abscisas.


123

Ejercicio resuelto

Resuelve gráficamente la siguiente inecuación: 2 2 3 0x x− − < Tratamos la inecuación como ecuación y representamos la parábola resultante:

2 2 3 0x x− − = Vamos a recordar los pasos necesarios para dibujar la parábola.

1. Cálculo del vértice: aplicamos la fórmula abVx 2

−= ;

112

2=

⋅=xV ; 431212 −=−⋅−=yV ; ( )4,1 −=V

2. Puntos de corte con los ejes:

PCEX (y=0): En este caso 320 2 −−= xx , ecuación de segundo grado que tiene co-mo soluciones 3;1 21 =−= xx ;

Por tanto, la parábola corta al eje X en los puntos ( ) ( )0,30,1 y−

PCEY (x=0): En este caso 330202 −=−⋅−=y La parábola corta al eje Y en el punto ( )3,0 − 3. Se calculan puntos cercanos al vértice Volvemos a la inecuación original: ¿cuándo la gráfica es menor que cero? es decir, ¿cuándo está por debajo del eje de abscisas? Mirando la gráfica deducimos fácilmente que la solución de la inecuación es:

( )1, 3 , o bien, ( )1 3x< <

x y 1 -4 0 -3 2 -3 -1 0 3 0 -2 5 4 5


124

Ejercicio 10 Resuelve gráficamente las siguientes inecuaciones:

2) 4 3 0a x x− + − ≥

2) 6 5 0b x x+ + <

2) 2 2 0c x x+ + <


125

6.5 Sistemas de inecuaciones con una incógnita No llegan a ser verdaderos sistemas en tanto que sólo hay una incógnita. Para resolver este tipo de inecuaciones debes proceder como si fueran dos inecuaciones indepen-dientes; la solución del sistema serán aquellos valores que satisfagan ambas inecua-ciones. De entre las tres formas de representar las soluciones de los intervalos, puede resultarte más útil utilizar la forma gráfica, ya que es la mejor para determinar las solu-ciones comunes a dos intervalos; recuerda los ejercicios que hacíamos el curso pasado donde obteníamos zonas comunes a dos intervalos dados. Ejercicio 11 Resuelve los siguientes sistemas de dos inecuaciones con una incógnita:

3 6 0)

2 7 32

xa xx

+ > ⎫⎪⎬

− + ≥ − ⎪⎭

( ) ( )3 6 5 2

)3 2 3 6 1x x

bx x x x− < + ⎫⎪

⎬− + ≤ + − ⎪⎭


126

6.6 Resolución de inecuaciones por factorización La factorización y la regla de los signos nos permiten resolver muchas inecuaciones, sobretodo las inecuaciones racionales. El proceso es casi idéntico al que empleamos en la resolución algebraica de inecuacio-nes de segundo grado. Considera la siguiente inecuación de tercer grado:

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación por factorización:

3 23 6 8 0x x x+ − − ≥

Factorizamos: ( )( )( )4 1 2 0x x x+ + − ≥ ; y representamos en la recta real las solu-ciones:

Con las tres soluciones obtenidas queda dividida la recta real en cuatro intervalos. Para

4x = − , 1x = − ó 2x = , la inecuación se anula (vale cero). Pero nos interesan los valores que hagan que la inecuación sea mayor o igual que cero. Para ello, deberemos escoger un número cualquiera de cada intervalo, que no sea ninguna de sus raíces, y comprobaremos si cumple o no la desigualdad.

( )( )( )( ) ( )( )

5 1 4 7 02 2 1 4 0

0 4 1 2 03 7 4 1 0

para NOpara SÍpara NOpara SÍ

xxxx

= − → − − − ≥= − → ⋅ − ⋅ − ≥= → ⋅ − ≥= → ⋅ ⋅ ≥

Por tanto, la solución de la inecuación es:

es decir: [ ] [ )4, 1 2,− − ∞∪


127

Ejercicio resuelto

Resuelve la siguiente inecuación por factorización:

2 01

xx+

<− ; En este caso, tanto el numerador como el denominador ya están factoriza-

dos (si no, lo haríamos). De igual modo, también aquí hay que poner las soluciones en le recta real, pero reser-varemos una línea para cada factor, más una para el resultado. Como tenemos dos factores, necesitaremos tres líneas.

Elegiremos para cada factor, y al igual que en el caso anterior, un número (distinto de la solución) y analizaremos el signo que adquiere la inecuación.

03

02

para el resultado es positivoNumerador

para el resultado es negativopara el resultado es negativo

Denominadorpara el resultado es positivo

xx

xx

= → ⎫⎬= − → ⎭

= → ⎫⎬= → ⎭

Pasamos esta información al gráfico:

La regla de los signos de la división son las mismas que para el producto, por tanto, ya podemos determinar los signos del resultado de la división:

Mirando la inecuación, nos interesan los valores negativos, por tanto, la solución es:

( )2,1−

Numerador Denominador Solución


128

Ejercicio 12 Resuelve las siguientes inecuaciones por factorización:

042) ≥

−−

xxa

0163) <

+−

xxb

2) 6 0c x x− − <

2 5 6) 05

x xdx

− + −≥

−

(Sigue → )


129

(Continuación)

2 9) 01

xex−

≤+

3 2) 6 5 0f x x x− + >

2 1) 02

xgx+

≥−

2

3) 01

xhx−

≥−

(Sigue → )


130

(Continuación)

3 2) 24

xix+

≤−

2 3 2) 02

x xjx− +

<+

2 1) 03

xkx+

≤+

Ejercicio 13 El consejo administrador de una sociedad anónima es tal que si descontamos al presi-dente y al vicepresidente, el cuadrado del número de miembros restantes es inferior a 16. ¿Cuántos miembros constituyen el consejo administrador?


131

6.7 ¿Una demostración falsa? Partimos de esta hipótesis: 1x < Tomamos logaritmos en ambos lados de la desigualdad: ln ln1x < es decir, ln 0x <

dividimos todo por ln x ln 0ln ln

xx x<

es decir, 1 0< ??? El fallo está en ...

6.8 Direcciones web http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/inecua.htm http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/Inecuaciones/inecindex.html http://www.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/inecuaci.html


132

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 7: Límites de sucesiones

133

Las series divergentes son, en general, una invención diabólica y es vergonzoso que se pretenda fundar sobre ellas demostración alguna.

Augustin-Louis Cauchy (matemático francés, 1789 - 1857)

Unidad 7: Límites de sucesiones


134

http://perso.wanadoo.es/arnadelo/funcion.html


135


Unidad 7: Límites de sucesiones.................................................................................137

7.0 Límites de sucesiones vs límites de funciones ..................................................137 7.1 Sucesiones convergentes y divergentes............................................................137

7.1.1 Sucesiones convergentes ...........................................................................138 7.1.2 Sucesiones divergentes ..............................................................................138 7.1.3 Sucesiones sin límite...................................................................................139

7.2 Límite de una sucesión ......................................................................................139 7.3 Operaciones con −∞ y +∞ .............................................................................142 7.4 Propiedades de los límites .................................................................................142 7.5 Indeterminaciones..............................................................................................143

7.5.1 ¿Cómo resolverlas? ....................................................................................144 7.5.2 Ejercicios .....................................................................................................145

7.6 El número e........................................................................................................147 7.7 Cálculo de límites...............................................................................................148


− Diferenciar las sucesiones convergentes de las divergentes

− Operar con −∞ y +∞

− Calcular límites

− Resolver indeterminaciones


− Distinguir si una función tiene por límite un número real o, en cambio, su límite es infinito (C7).


136


− Calcula el límite de sucesiones mediante la aplicación de las reglas que rigen las operaciones con los símbolos +∞ y −∞ , las operaciones con límites y las técnicas, en el caso de cocientes de polinomios, que permiten deshacer la in-

determinación ∞∞

− Calcula el límite de sucesiones cuyo término general es de la forma ( ) ncnb y en

los que aparece la indeterminación ∞1

− Resuelve ciertas indeterminaciones a la hora de calcular límites


− Sucesiones convergentes y divergentes

− Límite de una sucesión convergente

− Los símbolos +∞ y −∞ . Operaciones

− Propiedades de los límites

− Operaciones con límites de sucesiones

− Indeterminación

− El número e


− Obtención, con ayuda de la calculadora, del límite de una sucesión mediante el cálculo de los términos que sean necesarios

− Cálculo del límite de sucesiones mediante la aplicación de las propiedades de los límites, las operaciones con los símbolos +∞ y −∞ , y la aplicación de las herramientas, en el caso de cociente de polinomios, que permiten deshacer la

indeterminación ∞∞

− Aplicación de las propiedades de los límites

− Obtención de los suficientes términos que permitan observar el crecimiento y la

acotación de la sucesión .

n

n11 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

− Cálculo de límites de sucesiones de la forma ( ) ncnb y en los que aparezca la in-

determinación ∞1 , 00

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, ( )∞ −∞ ...


137

Unidad 7: Límites de sucesiones

Ahora nos dedicaremos, una vez que ya hemos estudiado las se-ries, a determinar hacia donde van, si tienden a un número real, o si, por el contrario, se alejan hacia el infinito... Toda esta informa-ción te será de mucha utilidad para las próximas dos unidades, que están dedicadas a las funciones.

7.0 Límites de sucesiones vs límites de funciones Para dar continuidad al tema de sucesiones que acabamos de ver, realizaremos el es-tudio, tal y como se ha dicho en el preámbulo, de hacia dónde tienden las sucesiones, pero es muy importante destacar que, con sólo un cambio de letra (la n por la x), se puede realizar el mismo estudio de límites pero referido a las funciones.

2

2

3lim4n

n nn n→∞

+− +

2

2

3lim4x

x xx x→∞

+− +

Límite de una sucesión

Límite de una función

Otra diferencia es que, para las primeras, querremos saber qué le ocurre a la sucesión cuando “la n” es muy grande (o muy pequeña), es decir, realizaremos el estudio cuan-do “ene tiende a infinito o a menos infinito”; por contra, en el caso de las funciones, y relacionado con el tema del cálculo de derivadas que veremos en la unidad 11, tam-bién se realiza el estudio cuando la variable tienda a un número real, y se llamará límite de una función en un punto.

7.1 Sucesiones convergentes y divergentes Vamos a ver esta distinción con unos ejemplos. “Estudiemos” estas cuatro sucesiones imaginándonos que términos tendrán cuando la n sea muy grande (tienda al infinito):

Sucesión 1n = 2n = 3n = 4n = 10n = 100n = Límite

cuando ntiende a ∞

1na

n= 1 0 '5 0 '3 0 '25 … 0 '1 … 0 '01 …

2nb n= 1 4 9 16 … 210 … 410 …

2nc n= − 1− 4− 9− 16− … 210− … 410− …

2

2 1nnd

n=

+ 0 '5 0 '8 0 '9 0 '941… … 0 '99009… … 0 '9999… …


138

Tenemos cuatro ejemplos de sucesiones cuyos límites son todos distintos. Las suce-siones na y nd se llaman sucesiones convergentes, puesto que tienden a un número

concreto, 0 y 1, respectivamente. Las sucesiones nb y nc se llaman divergentes ya que tienden a más o menos infinito.

7.1.1 Sucesiones convergentes

Son aquellas que tienden a un número concreto, por ejemplo, la sucesión 1na

n= , tien-

de al valor cero; observa su gráfica:

7.1.2 Sucesiones divergentes Son sucesiones que tienden a −∞ y +∞ . Ejemplo: 2 1na n= +


139

Ejemplo: 2 1na n= − +

7.1.3 Sucesiones sin límite

Son sucesiones que no tienden a ningún valor fijo. Ejemplo: ( ) 21 nna n= − ⋅

Las funciones seno y coseno son de este tipo. No existen los límites de estas sucesio-nes cuando n tiende a infinito (o menos infinito): lim cos

nn

→±∞= ∃

7.2 Límite de una sucesión A la hora de obtener un límite es fundamental que nos fijemos en los valores que va a tomar la n. No es lo mismo que la variable tienda a más infinito o a menos infinito. Des-pués veremos otros casos cuando la variable (n o x) tiendan a un número real.


140

En general, resolveremos dos tipos de límites: aquellos que se solucionan de forma intuitiva (como los de la primera tabla de la sección anterior) y aquellos que presentan un resultado indeterminado, aplicando los procedimientos necesarios para resolverlos. Estos últimos los veremos en el apartado 8.5. Límites de funciones polinómicas: nos fijamos en el término de mayor grado; si es posi-tivo, el límite es +∞ ; y si es negativo, el límite es −∞ . Límites de funciones racionales: nos fijaremos en los términos de mayor grado del nu-merador y del denominador; si el grado del numerador es mayor que el del denomina-dor, el límite es +∞ ; si ocurre lo contrario, el límite es 0; por último, si los grados coin-ciden, el límite será el cociente de los coeficientes de estos términos. Ejercicio 1 Calcula los siguientes límites:

( )) lim 7→∞

+ =n

a n

1) lim 7→∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠n

bn

( )2) lim 7→∞

− =n

c n

3

1) lim 6→∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠n

dn

) lim 7→∞

=n

e n

3) lim→∞

⎛ ⎞⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠n

f nn

1) lim3→∞

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

n

ng

) lim 3→∞

=n

nh

( )3 2) lim 5 100→∞

⎡ ⎤− − =⎣ ⎦ni n n

( ) 23) lim 2−

→∞=

nj n

( )) lim 23 10−

→∞+ =n

nk

( )2 3) lim 8 7 500− −

→∞− − =

nl n n


141

Ejercicio 2 Estudia hacia qué tenderán las siguientes sucesiones cuando la n es muy grande:

5) nna an

=

2

5

1) nnb a

n+

=

7 5) nc a n n= +

8 3 2

2

4 5)1000n

n n nd an

− −=

+

) 2nne a = −

Ejercicio 3 Calcula:

2

2

2 5 7) lim3→∞

− +=

n

n nan

4 3 2

3 2

5 2 1) lim3 2 3→∞

− + − +=

+ − +n

n n n nbn n n

2

3

3 1) lim4 2→∞

−=

+n

ncn

( )2

2

1) lim

2→∞

+=

n

nd

n

( ) ( )2 21 1) lim

5 3→∞

+ − −=

+n

n ne

n

( ) ( )2 21 1) lim

5 3→∞

+ + −=

+n

n nf

n

10) lim→∞

+=

n

ngn


142

7.3 Operaciones con −∞ y +∞ Es posible, en bastantes casos, efectuar operaciones entre estos elementos y los nú-meros reales.

( )a + ±∞ = ±∞ ( )a ⋅ ±∞ = ±∞ a±∞

= ±∞

Sin embargo, hay casos donde no resulta tan fácil averiguar el resultado de otras ope-raciones. Por ejemplo:

00 1, , , , ...∞∞∞ ⋅ ∞ −∞ ∞

∞

Estas operaciones se tratan en el apartado 8.5. Ejercicio 4

La sucesión 1

4=na

n tiene por límite 0, y la sucesión 2 1= +nb n tiende a +∞ . Estu-

dia si la sucesión = ⋅n n nc a b es convergente:

7.4 Propiedades de los límites Son muy sencillas e intuitivas, y, en parte, ya las hemos utilizado:

( )lim lim→ →

= ⋅n nn x n xka k a ( )lim lim lim

→ → →± = ±n n n nn x n x n x

a b a b

( )lim lim lim→ → →

⋅ = ⋅n n n nn x n x n xa b a b lim

lim , con lim 0lim→

→ →→

⎛ ⎞= ≠⎜ ⎟

⎝ ⎠

nn n xnn x n x

n nn x

aa bb b

( ) limlim lim →

→ →= nn n x

bbn nn x n x

a a

Ejercicio 5 Calcula el límite de las siguientes sucesiones aplicando propiedades:

2) lim 3→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠n

an

2

2

4 1) lim3→∞

−=

n

nbn


143

7.5 Indeterminaciones A la hora de resolver un límite, debes tener en cuenta las posibles indeterminaciones que puedan aparecer; por ejemplo:

4

5 2

3limn

nn n→∞

∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟+ ∞⎝ ⎠

Este “resultado” está indeterminado, no podemos determinar la solución, pero de forma temporal; una vez que un límite presenta una indeterminación (veremos que hay varios casos) deberemos resolverla. En este curso, aprenderemos a resolver unos pocos tipos de indeterminaciones, y el resto, aprenderás a resolverlas en Bachillerato.

Los siguientes resultados son indeterminaciones:

Estos NO son indeterminaciones:

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

∞∞∞

∞⋅∞−∞

∞10

000

0

0

0 00 0

1 0

1

0a

a

∞

∞

∞ + ∞ → ∞⎧⎪ →⎪⎪

→⎪∞⎪⎪⎪ →⎨∞⎪∞⎪ → ∞⎪⎪

→ ±∞⎪⎪⎪ → ∞⎩

Atención: si bien resulta evidente que el símbolo ∞ indica un número muy grande, ya no lo es tanto que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números, sino números muy cercanos (infinitamente) a ellos. Los números 0 999 999' y 1 000 001' están muy cercanos al 1, y estos números ele-vados a un número muy grande resulta una indeterminación.


144

7.5.1 ¿Cómo resolverlas?

Tipo ∞⎛ ⎞⎜ ⎟∞⎝ ⎠

: Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de n que haya

en el denominador.

Ejercicio resuelto

Calcular 4 2

4

4lim3 2 7n

n n nn n→∞

+ −− + :

Al sustituir las n por números grandes se observa que tanto el numerador como el de-nominador tienden a infinito:

4 2

4

4lim3 2 7n

n n nn n→∞

+ − ∞⎛ ⎞= ⎜ ⎟− + ∞⎝ ⎠; que es, como hemos visto antes, un resultado indetermina-

do, o, más frecuentemente diremos, una indeterminación. Para resolverla dividimos numerador y denominador por 4n :

4 2

4 2 4 4 4 2 3

44

3 44 4 4

4 1 414 1 0 0 1lim lim lim 2 73 2 73 2 7 3 0 0 33n n n

n n nn n n n n n n n

n nn nn nn n n

→∞ →∞ →∞

+ − + −+ − + −= = = =

− + − +− +− +

Tipo ( )1∞ : Se utiliza una propiedad muy importante (que demostrarás, probablemente, en los próximos cursos):

( ) ( )lim 1lim →∞

−

→∞= n nn n

b abnn

a e

Ejercicio resuelto

Calcular 1lim 1

→∞

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

n

n n :

Al sustituir las n por números grandes se observa que a 1 debemos quitarle una canti-dad cada vez más pequeña, por tanto, en el infinito, la base será 1 y estará elevada a un número “muy grande”; por tanto, este límite es una indeterminación:

( )1lim 1 1∞→∞

⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠

n

n n ; para resolverla aplicamos la propiedad anterior:

1 1lim 1 1 lim lim 1 11 1lim 1 →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

→∞

⎛ ⎞− = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

n n n

n n nn n

ne e e e

n e


145

Tipo 00

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

: Se debe operar (factorizar polinomios, sacar factor común, multiplicar y divi-

dir por el conjugado de una expresión con raíces...), con el fin de que la indetermina-ción desaparezca. Esta indeterminación suele darse con mayor frecuencia cuando la variable tiende a un número real. Para calcular el límite, sólo debemos sustituir la variable por ese número y operar. Ya que este tipo de límites tiene más sentido cuando se trata de funciones y no se sucesiones, cambiaremos la variable n por la x.

Ejercicio resuelto

Calcular 3 2

3 22

6 14lim4→

− + +− −x

x x xx x :

Al sustituir las x por el número real 2 se observa que tanto el numerador como el de-nominador tienden a cero:

3 2

3 22

6 14 8 24 2 14 0lim4 8 4 4 0→

− + + − + + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟− − − − ⎝ ⎠x

x x xx x ; para deshacer la indeterminación fac-

torizamos numerador y denominador por Ruffini:

( )( )( )( )

23 2 2

3 2 23 22 2 2

2 4 76 14 4 7 11lim lim lim4 2 82 4→ → →

− − −− + + − − −= = =

− − + +− − −x x x

x x xx x x x xx x x xx x x

Tipo ( )∞ −∞ : Se multiplica y divide por la expresión conjugada.

7.5.2 Ejercicios Ejercicio 6 Estos límites presentan una indeterminación; averíguala y resuélvela:

1) lim 17→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

n

na

n

2

2) lim3 2→∞

=+ −n

nbn n

(Sigue → )


146

(Continuación)

) lim 1→∞

+ − =n

c n n

( )2) lim→∞

− =n

d n n

29 2) lim3 3→∞

+ +=

−n

n nen

24) lim3

+

→∞

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

n

n

nfn

2) lim→∞

+ − =n

g n n n

135 4) lim

5 2

+

→∞

−⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠

n

n

nhn


147

7.6 El número e Estudiamos el límite de la siguiente sucesión (muy usada en aplicaciones matemáti-cas):

n

n n⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

11lim [1]

Se trata, como ya hemos visto de una expresión indeterminada: ∞1 . Para resolver la indeterminación podemos (con ayuda de la calculadora) hallar varios valores de la ex-presión para intentar averiguar hacia donde tiende la sucesión:

1111

1

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=a ; ( ) 25'25'1

211 2

2

2 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=a ;

3

311 2 '370373

a ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

4414'24 =a ; 44832'25 =a

Va creciendo, pero muy lentamente; no parece que vaya a llegar a 3. Probemos con n grandes:

70481'2100 =a ; 71692'21000 =a ; 10 000 2 '71815a = ... 100 000 2 '71826a = A este número irracional se le conoce como e, y podéis obtener un valor con más pre-

cisión utilizando la tecla xe de la calculadora científica. Aquí tienes el número e con

varios decimales: 2’7182818284590452353602874713527...

Por tanto, si en un límite nos aparece la expresión [1] podremos sustituirlo por el núme-ro e.


148

Ejercicio resuelto

Calcular

n

n n

211lim ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→:

Operamos en el argumento para intentar obtener la definición del número e. En el ex-ponente hay un producto; podemos expresar la base como una potencia de potencia:

222 21 1lim 1 lim 1 lim

n n

n n ne e

n n→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Ejercicio 7 Calcula los siguientes límites:

31) lim 1n

na

n

+

→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

21) lim 1n

nb

n

−

→∞

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

7.7 Cálculo de límites


( )2

1) lim 5 3

xa x x

→− + =

( )7 2) lim 8 3x

b x x x→+∞

− + =

(Sigue → )


149

(Continuación)

( )2 3) lim 3 1x

c x x→−∞

+ + =

4

3 20

3) limx

xdx x→

=+

3

21

1) lim1→

−=

−x

xex

2

25

25) lim5x

xfx x→

−=

−

25

5) lim5x

xgx→

−=

−

1

3 2) lim1→

+ −=

−x

xhx

4 1) lim2→+∞

+⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

x

x

xix


150


3

1) lim1x

xax→

+=

−

1) lim1x

xbx→∞

+=

−

2

1

1) lim1x

xcx→

−=

−

0) lim

1 1x

xdx→=

− −

2

) limx

x xex→∞

+=

3

6 3) lim3→

+ −=

−x

xfx

Para más información puedes consultar esta página web: http://usuarios.lycos.es/arquillos/limsuces.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_HCS_1/Limite_en_un_punto_continuidad/limites_en_el_infinito.htm

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 8: Estudio de las funciones

151

Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura,

sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza ... Bertrand Russell (filósofo inglés, 1872-1970)

Unidad 8: Estudio de las

funciones


152

Programa: Funcions i gràfics

Actividad realizada con el JClic: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=3459

Direcciones útiles para este tema: descartes.cnice.mec.es/experiencias/exper_estudio_grafico_funcion/exper_estudio_grafico_funcion.htm juntadeandalucia.es/averroes/iesbajoguadalquivir/mat/cuartob/Geo_analitica/index.htm clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1365


153


Unidad 8: Estudio de las funciones .............................................................................155

8.1. Repaso: conceptos fundamentales en el estudio de funciones ........................155 8.1.1 Funciones definida a trozos.........................................................................158

8.2 Funciones acotadas...........................................................................................161 8.3 Simetrías............................................................................................................163

8.3.1 Función par .................................................................................................164 8.3.2 Función impar..............................................................................................164

8.4 Funciones periódicas .........................................................................................166 8.5 Operaciones con funciones................................................................................167

8.5.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones...........................................167 8.5.2 Composición de funciones ..........................................................................169

8.6 Función recíproca ..............................................................................................172 8.7 Ejemplo de aplicación: recuento de manchas en el Sol .....................................180


− Dominar los conceptos relativos al estudio de funciones

− Realizar un estudio pormenorizado de cualquier función dada en forma gráfica o por su expresión analítica

− Realizar operaciones con funciones

− Obtener gráficas a partir de una tabla de datos o una expresión funcional y sa-car conclusiones


− Procesar la información que aparece en los enunciados e interpretar la infor-mación aparecida en una gráfica (C1 y C2).

− Desarrollar estrategias personales para interpretar de forma crítica la informa-ción recogida a través de gráficas en los distintos medios de comunicación (C2, C7 y C8).

− Valorar la importancia de las funciones y gráficas en la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana y otras áreas del conocimiento (C1, C2 y C3).

− Reconocimiento del grafo de una función a partir de la expresión analítica de la misma (C2).


154


− Estudia los elementos fundamentales de una función, como dominio, crecimien-to, simetría, acotación, periodicidad, etc., a través de su expresión algebraica o su representación gráfica, e interpretar los resultados obtenidos en cada caso.

− Dadas dos funciones, es capaz de operar con ellas e interpretar los resultados que se obtienen.

− Halla la función recíproca de una función dada.

− Transcribe una información a su expresión funcional y extrae conclusiones a partir del análisis matemático de sus propiedades.


− Función: elementos

− Caracterización de las funciones: dominio y recorrido; continuidad; crecimiento y decrecimiento; máximos y mínimos, absolutos y relativos; puntos de corte; simetría; periodicidad, acotación.

− Funciones definidas a trozos

− Funciones simétricas: funciones pares e impares, tipos de simetría

− Funciones periódicas: período

− Funciones acotadas: cota superior e inferior

− Funciones recíprocas, propiedades

− Función identidad

− Operaciones algebraicas con funciones

− Composición de funciones


− Cálculo del dominio y recorrido, puntos de corte... de funciones

− Reconocimiento de las propiedades de una función a través de sus expresio-nes algebraica y gráfica

− Construcción de tablas de valores a partir de la expresión algebraica de una función

− Reconocimiento de la simetría, periodicidad y cotas de funciones

− Cálculo y construcción gráfica de la función recíproca de una función

− Operaciones con funciones, también en las funciones definidas a trozos

− Cálculo de las funciones compuestas de dos dadas


155

Unidad 8: Estudio de las funciones

Esta unidad en una ampliación de los conceptos aprendidos en 3º de ESO. Todo lo que aprendas aquí te será muy útil para el Bachi-llerato, ya que se trata de un bloque de mucha importancia y al que se suele dedicar mucho tiempo y esfuerzo.

8.1. Repaso: conceptos fundamentales en el estudio de funciones Dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, crecimiento y decrecimiento, puntos máximos y mínimos, continuidad, simetrías y periodicidad son conceptos que debes recordar. Podíamos determinar todos estos conceptos a partir de la función dada de forma gráfi-ca, pero los tres primeros (dominio, recorrido y puntos de corte), además, los podíamos determinar con la función dada con la fórmula. Lo mejor para recordar todas estas características de las funciones es hacer un ejem-plo práctico: Ejercicio 1 Estudia la gráfica siguiente:

Dominio Puntos máximos y mínimos

Recorrido Continuidad

Puntos de corte con los ejes Simetrías

Crecimiento Periodicidad


156

Ejercicio 2 Dada las siguientes funciones, calcula los puntos de corte con los ejes:

( ) ( )( )( )1 2

)1

x xa f x

x− +

=+

( )3

2)−

=x

xfb

( ) 652) 23 +−−= xxxxfc

( ) ( )( )( )311) −+−= xxxxfd Ejercicio 3 Calcula el dominio de las siguientes funciones:

( ) ( )( )31) +−= xxxfa

( )4

3)2 −

=x

xgb


157

Ejercicio 4

Halla el dominio de la función : ( ) xxxf −+−= 64 Ejercicio 5 Completa:

Dom f(x) Rec f(x) Puntos de corte Eje X

Puntos de corte Eje Y

¿Conti-nua?

2xy =

xy 1=

5=y

3+= xy

3xy =

21−

=x

y

xy cos=

2−= xy

42 −= xy

xy

−=

31

0=y

xey =


158

Ejercicio 6 Estudia la gráfica siguiente:

Dominio Puntos máximos y mínimos

Recorrido Continuidad

Puntos de corte con los ejes Simetrías

Crecimiento Periodicidad

8.1.1 Funciones definida a trozos Son funciones que están compuestas por trozos de otras funciones. Suelen presentar discontinuidades, y tienen el aspecto siguiente:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤<<≤<

=??...??...??...

xsixsixsi

xf

El objetivo de este tema no es el dibujo de funciones definidas a trozos (que lo trata-remos en el tema 10), pero es importante que las conozcas ya que se trata de un tipo de función bastante habitual, y, además, aparece en algunos de los ejercicios de esta unidad. A modo de ejemplo dibujaremos la siguiente función para que podamos analizar algu-nas de sus características más relevantes.


159

Ejercicio resuelto

Dibuja y analiza la siguiente función: ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<<−

−≤−−= 0

042

442

2 xsixxsi

xsixxf

Para empezar podemos obtener algunas características de la función:

− está compuesta por tres trozos − el primero es una recta de pendiente negativa − el segundo es un trozo constante (pendiente 0) − el tercero es una parábola (la más sencilla; pasa por el ( )0,0 ) − recorrido: el valor más bajo de la y es el 0. Y tanto la recta como la parábola

producen valores positivos de la y infinitos; por tanto, ( ) [ )0,Rec f x = ∞ .

− dominio: está definida para todo ℜ (¿para qué valores de x está definida la función?), ( ) ℜ=xfDom .

A la hora de dibujar sólo nos deberemos fijar en cada trozo y olvidar el resto. Hay que poner especial cuidado en los extremos, indicando con un punto grueso o un hueco cuando exista dicho punto o no. Una vez dibujada ya podemos terminar nuestro análisis de la función: Confirmamos los resultados del dominio y recorrido que antes dijimos. Puntos de corte con los ejes: existe un único punto de corte, el ( )0,0 . La función es decreciente en ( )4, −∞− ; constante en ( )0,4− ; y crece en todos los demás puntos del dominio. Carece de puntos máximos y mínimos. Es una función discontinua. No presenta ninguna simetría. Tampoco es periódica.


160

Ejercicio 7

Estudia la función siguiente: ( )⎩⎨⎧

≥−≤+

=24

142xsixsix

xf

Dominio

Recorrido

Puntos de corte con los ejes

Puntos máximos y mínimos

Análisis previo de los tro-zos que componen la fun-ción:

Continuidad

Ejercicio 8 Obtén la gráfica de la función anterior y completa el análisis:

Crecimiento

Simetría

Periodicidad

Ejercicio 9 Estudia la continuidad de la función:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<≤−+

−<+=

00343

312

xsixxsix

xsixxf


161

8.2 Funciones acotadas Ejercicio 10 En estas tres funciones, ¿pueden las gráficas llegar tan arriba o tan abajo como que-ramos, o, por el contrario, no pueden superar un cierto valor, por arriba o por debajo?

A la hora de calcular la posible acotación de una función ocurre igual que con el reco-rrido: si la función está dibujada, sólo debemos mirar la gráfica y comprobar las cotas; si ni lo está, deberemos “imaginar” qué valores máximos y mínimos va a alcanzar la función. Ejercicio 11 Determina las posibles cotas de las siguiente funciones:

( ) xxf =

( ) 3xxf =

( ) xxf ln=

( ) 32 +−= xxf


162

Ejercicio 12

Calcula el dominio, recorrido y la posible acotación de: ( ) xxxf += . ¿De qué otra

forma puede escribirse f ? Ejercicio 13 Estudia la posible acotación y los máximos y mínimos, absolutos y relativos de la fun-

ción: ( ) 12 −= xxf . Ayúdate de la gráfica de f para encontrar las respuesta.

(Pista: la parábola ( ) 12 −= xxg tiene el mismo aspecto que la parábola por excelencia ( ) 2xxh = pero desplazada una unidad hacia abajo)


163

8.3 Simetrías El curso pasado aprendimos a determinar si una función dada de forma gráfica era o no simétrica. Se trataba de un procedimiento visual y que pasaba, evidentemente, por tener la función dibujada. Pero no siempre ha de ser así. En este apartado vamos a aprender a determinar la posible simetría de una función sin necesidad de que esté expresada de forma gráfica; la fórmula, y unas cuantas opera-ciones sencillas que tienen que ver con el signo de la función, nos permitirán averiguar si la función es o no simétrica. Además, si podemos averiguar si la función es simétrica respecto de un punto o una recta, será más fácil dibujarla. Vamos a tratar dos tipos de simetría:

− simetría respecto del eje Y (eje de ordenadas o eje vertical). A las funciones que tienen este tipo de simetría se es llama funciones pares. Ejemplos:

( ) 32 +−= xxf ( )4

32 −

=x

xg

− simetría respecto del origen de coordenadas. A las funciones que tienen es-

te tipo de simetría se es llama funciones impares. Ejemplos:

( )x

xxf 32 += ( ) 3xxg =


164

8.3.1 Función par Una función es par (tiene simetría respecto del eje Y) si cumple que:

( ) ( )xfxf −= para todo x del dominio

8.3.2 Función impar Una función es impar (tiene simetría respecto del origen de coordenadas) si cumple que:

( ) ( )xfxf −=− para todo x del dominio

Ejercicio resuelto

Determina la posible simetría de la función siguiente: ( ) xxxf += 32 1. Calculamos ( )xf − . Si ( ) ( )xfxf −= (es decir, si comparamos la función que vamos a obtener con la original, y coinciden) entonces la función es PAR. ( ) ( ) ( ) xxxxxf −−=−+−=− 33 22 ; Claramente xxxx −−≠+ 33 22 , es decir,

( ) ( )xfxf −≠ ; la función f no es par, no tiene simetría con el eje de ordenadas.

Probemos con la otra simetría: 2. Calculamos ( )xf− . Si ( ) ( )xfxf −=− entonces la función es IMPAR.

( ) ( ) xxxxxf −−=+−=− 33 22 ; Resulta que, en esta ocasión, ( ) ( )xfxf −=− , es decir, la función en IMPAR; la función es simétrica respecto del origen de coordenadas. Ejercicio 14 Determina la posible simetría de las siguientes funciones:

( ) 4) xxfa =

( )x

xfb 1) =

(Sigue → )


165

(Continuación)

( ) 3) xxfc =

( ) xxfd =)

( ) 24 73) xxxfe −=

( ) 1) 3 += xxff

( ) xxxfg += 42)

( ) 21)x

xfh =

( ) 3) 2 +−= xxfi

( ) 36) +=x

xfj

( ) 32) xxxfk =

( ) xxxxfl 3) 23 +−=


166

Ejercicio 15 Averigua si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F):

Si el dominio de f son sólo los números positivos, entonces f no puede ser par

Cualquier función tiene que ser necesariamente par o impar

Una función puede ser creciente y decreciente a la vez

Una función puede ser a la vez periódica y simétrica

Cualquier función tiene que tener en su dominio al menos un máxi-mo y un mínimo absolutos

Si ( ) axxf = es decreciente, entonces ( ) axxg −= es creciente

8.4 Funciones periódicas Existen muchos fenómenos en la naturaleza que se repite con un cierto período:

− la posición de las agujas de un reloj − las posiciones por las que pasa un péndulo − la altura a la que se encuentra un vagón de una noria de feria que se mueva a

velocidad constante Una función ( )xf es periódica de período T si se cumple que ( ) ( )Txfxf += Ejercicio 16 ¿Sabrías interpretar esa definición? Apóyate en el ejemplo de la función coseno y ave-rigua su período (recuerda que se mide en radianes):


167

8.5 Operaciones con funciones

8.5.1 Suma, resta, producto y cociente de funciones Este tipo de operaciones son muy sencillas: simplemente deberemos “unir” las funcio-nes a tratar mediante la operación indicada.

Ejercicio resuelto

Dadas las funciones ( )x

xxf 1+= y ( ) 2xxg = , realiza las operaciones que se indican:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 11 1)

x xx x xa f g x f x g x xx x x

+ ++ + ++ = + = + = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) 3 32 11 1)

x xx x xb f g x f x g x xx x x

+ −+ − + +− = − = − = =

( ) ( ) ( ) ( )3

2 1 1) x x xc g f x g x f x xx x+ − −

− = − = − =

( )( ) ( ) ( ) ( )2 21) 1xd f g x f x g x x x x x xx+

⋅ = ⋅ = ⋅ = + = +

( ) ( ) ( )( )

22 3

11 1) :

xf x x xxe f g x xg x x x x

++ +

= = = =

( )( ) ( )( )

2 32 1) :1 1

g x x x xf g f x xxf x x xx

+= = = =

+ +

( ) 1 7 7) 7 7 x xg f xx x+ +

⋅ = ⋅ =

( )( )32 2 1 11) 2

2 2h f g + +

+ = =

( )( )0) gfi + ; El cero no pertenece al dominio de la función; no se puede calcular.

( )( )30 0) / 0 0

0 1 1j g f = = =

+


168

Ejercicio 17 Calcula los dominios de las funciones anteriores:

)a

)b

)c

)d

)e

)f

)g Ejercicio 18

Sean ( ) 22xxf = y ( ) 14 += xxg . Calcula:

( ) =xfa 4)

( )( ) =+ xgfb)

( )( ) =⋅ xgfc)

( ) =35) gd

( )( ) =−+ 3) gfe


169

Ejercicio 19

Sean ( )⎩⎨⎧

>≤+

=0012

xsixxsix

xf y ( )⎩⎨⎧

>≤−

=0202

xsixsix

xg . Calcula:

( )( ) =+ 0) gfa

( )( ) =⋅ xgfb)

( )( ) =− 4) gfc

8.5.2 Composición de funciones La composición sí es una operación “novedosa”. Se simboliza con un círculo pequeño y tiene una peculiaridad: se lee al revés.

( )( )xgf Se debe leer así: “ge compuesto con efe” Para realizar la composición es muy importante fijarse en los argumentos de las funcio-nes. Ejemplos:

( )xf El argumento de f es x

( )1+xg El argumento de g es 1+x

( )3−h El argumento de h es el -3

( )( )xgf El argumento de f es la función g

Si ( )xf y ( )xg , la composición de g con f , ( )( )xgf , actúa de la siguiente forma: ( )( ) ( )( )xgfxgf = , dicho de otro modo, el argumento de f es la función g .

Ejercicio resuelto

Dadas las funciones ( ) 1+= xxf y ( ) 2xxg = , obtén las composiciones que se indican:

( )( ) ( )( ) ( )2 2) 1a f g x f g x f x x= = = +

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2) 1 1b g f x g f x g x x= = + = +

( )( ) ( )( ) ( )) 1 1 1 2c f f x f f x f x x x= = + = + + = +

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22 2 4)d g g x g g x g x x x= = = =


170

Ejercicio 20 A la vista de los ejercicios anteriores ¿a qué conclusiones puedes llegar? Ejercicio 21

Dadas las funciones ( ) 12 += xxf y ( ) 3xxg = , obtén las composiciones que se indi-can:

( )( ) =xgfa)

( )( ) =xfgb)

( )( ) =xffc)

( )( ) =xggd)

( )( ) =2) gfe

( )( ) =−3) ggf


171

Ejercicio 22

Dadas las funciones ( ) 32 += xxf y ( ) xxg sen= , obtén las composiciones que se indican:

( )( ) =xgfa)

( )( ) =xfgb)

( )( ) =xffc)

( )( ) =xggd) Ejercicio 23

Dadas las funciones ( )x

xf 3= y ( ) 42 −= xxg , calcula el dominio de:

( )( ) =+ xgfa)

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x

fgb)

( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛x

gfc)

( )( ) =xgfd)

( )( ) =xfge)


172

8.6 Función recíproca Observa estos ejemplos:

( ) xxf = ( ) 2xxg = ( ) ( ) xxxxh ===22

( ) 3 xxf = ( ) 3xxg = ( ) ( ) xxxxh ===333 3

( ) xxf ln= ( ) xexg = ( ) xeexh xx === lnln

( ) xxf 2= ( ) xxg21

= ( ) xxxxh === 221

212

( ) 52 += xxf ( )2

5−=

xxg ( ) 52 5 5 52

xh x x x−⎛ ⎞= + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicio 24

¿Qué tienen de particular las funciones ( )xh anteriores? Ejercicio 25

¿Cómo es cada función ( )xf respecto de cada función ( )xg anterior? Podemos decir que cada función ( )xg anterior es la función recíproca (o inversa) de

cada función ( )xf correspondiente, o al revés. Hay una función que tiene nombre propio: ( ) xxi = ; se trata de la función identidad. Otra forma, por tanto, de definir la función recíproca es: ( )xg es la función recíproca

de ( )xf si ( )( ) ( )( ) ( )xixfgxgf == . A partir de ahora, la función recíproca de ( )xf se escribirá ( )xf 1− .


173

En todo este apartado veremos cómo calcular la función recíproca ( )xf 1− de una dada ( )xf , pero, antes vamos a hablar un poco más de la función identidad.

Ejercicio 26 ¿Qué ocurre si componemos una función cualquiera con la función identidad? Pon un ejemplo. ¿Es conmutativa la composición en este caso? Ejercicio 27 ¿Qué aspecto tiene la función identidad? Haz una breve tabla de valores Antes hemos dicho que ( )( ) ( )( ) ( )xixffxff == −− 11 , y ya conocemos el aspecto gráfico de la función identidad. Ejercicio 28

¿Qué ocurre con las gráficas de f y 1−f al hacer una composición?


174

( ) xxf = ( ) 21 xxf =− ( )( ) xxff =−1

( ) 3 xxf = ( ) 31 xxf =− ( )( ) xxff =−1

( ) xxf ln= ( ) xexf =−1 ( )( ) xxff =−1

( ) xxf 2= ( ) xxf211 =− ( )( ) xxff =−1

( ) 52 += xxf ( )2

51 −=− xxf ( )( ) xxff =−1


175

Forma de obtener la función recíproca de una dada:

1. Sustituir ( )xf por y 2. Intercambiar la x por la y 3. Despejar la y

Ejercicio resuelto

Obtén la función recíproca de ( ) 52 += xxf :

1. Sustituir ( )xf por y: 52 += xy 2. Intercambiar la x por la y: ;52 += yx 3. Despejar la y:

;25 yx =− ;2

5 yx=

− ( )1 5

2xf x− −

=

Ejercicio 29 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:

( ) 13) −= xxfa

( ) 5) −= xxfb


176

Ejercicio 30 Calcula la función recíproca de las siguientes funciones:

( ) 35) += xxfa

( ) 1) −= xxfb

( ) 22

) +=xxfc

( ) 32) −= xxfd

( ) 33) xxfe =

( )1

5)−

=x

xff

( )2

)2 xxxfg +

= ;

Pista: a la hora de despejar, piensa que la fórmula de re-solución de ecuaciones de 2º grado sirve para dejar la x


177

Ejercicio 31

Calcula la función recíproca de ( )4

5−

=x

xf y calcula los dominios de las dos funcio-

nes: Ejercicio 32 Comprueba que la función inversa de la función inversa es la propia función, es decir,

si: ( )( ) ( )xfxf =−− 11

( ) 23) xxfa =

( ) 12) −= xxfb


178

Ejercicio 33

Calcula la función recíproca de ( )524−+

=x

xxf y el dominio de ( )xf y ( )xf 1− :

Ejercicio 34

Dadas las funciones ( )1

2−

=x

xf y ( ) 2xxg = , calcula:

( ) =− xfa 1)

( ) =− xgb 1)

( )( ) =+ 1) gfc

( )( ) =xgfd )

( )( ) =2) gfe

Ejercicio 35

Sea ( ) 23xxf = . Calcula 1−f y comprueba que la composición de f con 1−f y de 1−f con f dan lugar a la función identidad:


179

Ejercicio 36 Para practicar más este último tipo de ejercicio puedes hacer las composiciones de ca-da función con su inversa de los ejercicios 29 al 34 (ambos inclusive) Ejercicio 37

Sea ( )⎩⎨⎧

≥

<+=

0012

2 xsixxsix

xf . Calcula 1−f :


180

8.7 Ejemplo de aplicación: recuento de manchas en el Sol El estudio de las funciones de estas dos imágenes genera varias conclusiones, ¡en-cuéntralas!

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 9: Tipos de funciones

181

La mayor deficiencia de la raza humana es nuestra incapacidad para comprender la función exponencial.

Albert A. Bartlett (físico)

Unidad 9: Tipos de funciones


182

Actividad realizada con el JClic muy recomendada para esta unidad: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1306


183


Unidad 9: Tipos de funciones ......................................................................................185

9.1 Funciones polinómicas.......................................................................................185 9.1.1 Funciones de grado mayor que dos ............................................................185

9.2 Funciones racionales .........................................................................................186 9.2.1 Asíntotas de una función .............................................................................186 9.2.2 Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas.....................................189

9.3 Funciones irracionales .......................................................................................190 9.4 Funciones definidas a trozos .............................................................................191 9.5 Funciones exponenciales...................................................................................192 9.6 Funciones logarítmicas ......................................................................................196 9.7 Funciones trigonométricas .................................................................................197 9.8 Dibujo de funciones por traslación .....................................................................197


− Identificar varios tipos de funciones dadas en forma gráfica o a través de la ex-presión analítica

− Determinar varias características propias de cada una de estas funciones

− Dibujar funciones por traslación de otras ya dibujadas

− Entender el tipo de crecimiento logarítmico y exponencial


− Valorar la importancia de las funciones, en especial, las exponenciales y lo-garítmicas en otras ciencias y, en particular, en la interacción con el mundo físi-co (media terremotos, crecimiento exponencial bacterias...) (C2 y C3).


184


− Reconoce las funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas a través de sus expresiones analíticas

− Elabora gráficas de cualquier función estudiada − Estudia algunos de sus elementos fundamentales, como el dominio, recorrido,

continuidad, crecimiento..., e interpreta gráficamente los resultados obtenidos − Obtiene gráficas de parábolas por traslación − Calcula las asíntotas de una función dada


− Función lineal

− Función cuadrática: parábola.

− Funciones definidas a trozos

− Función polinómica

− Función racional. Función de proporcionalidad inversa: hipérbola

− Asíntotas de una función: horizontales, verticales y oblicuas − Función exponencial

− Función logarítmica

− Relación entre ambos tipos de funciones

− Funciones trigonométricas


− Obtención de funciones a partir de otras parábolas por traslación − Estudio de las características de las funciones de proporcionalidad inversa − Reconocimiento de las propiedades de las funciones racionales − Construcción de tablas de valores a partir de la expresión algebraica de una

función polinómica o racional − Elaboración de gráficas a partir de la expresión algebraica de una función − Elaboración de gráficas definidas a trozos − Cálculo de las asíntotas de una función − Obtención de información a la vista de la gráfica de una función y formulación

de conjeturas sobre el comportamiento de un fenómeno representado por su gráfica

− Construcción de gráficas exponenciales y logarítmicas a partir de las expresio-nes algebraicas y la elaboración de las correspondientes tablas de valores

− Elaboración por simetría de la gráfica de una función logarítmica a partir de su recíproca exponencial


185

Unidad 9: Tipos de funciones

Con los conocimientos aprendidos en el tema anterior ya pode-mos asimilar mejor las características de varias funciones que te resultarán muy útiles para tus futuros estudios en el Bachillerato. Conoceremos las funciones más importantes y aprenderemos a dibujar las más sencillas.

9.1 Funciones polinómicas Son de este tipo las rectas (función polinómica de grado uno) y las parábolas (de grado dos). Ambas funciones han sido ya estudiadas el curso pasado.

9.1.1 Funciones de grado mayor que dos Existen algunas diferencias entre estas funciones polinómicas según su grado sea par o impar. Ejercicio 1 A la vista de las gráficas siguientes, anota las características más relevantes que ob-serves:


186

Ejercicio 2 A la vista de las gráficas siguientes, anota las características más relevantes que ob-serves:

9.2 Funciones racionales

Son las que vienen definidas por un conciente de polinomios: ( ) ( )( )

=P x

f xQ x

Ya estudiamos en el tema anterior el dominio (y el recorrido y los puntos de corte para las más fáciles) de este tipo de funciones.

9.2.1 Asíntotas de una función Es habitual que las gráficas de las funciones racionales (y también en otro tipo de fun-ciones) presenten un comportamiento asintótico: los valores de la función se acercan “mucho” a una recta, que recibe el nombre de asíntota. Estas rectas pueden ser hori-zontales, verticales y oblicuas.


187

Ejemplos de asíntotas:

Ejemplo de función con una asíntota

horizontal: la recta = 0y

Ejemplo de fun-ción con una asín-

tota horizontal: la recta = −2y

Ejemplo de función con tres asíntotas verticales (y una horizontal):

las rectas = −2x ; =1x ; = 3x

Ejemplo de función con una asíntota oblicua (y una vertical):

la recta 1= −y x


188

Una función ( )f x tiene una asíntota horizontal =y h si existe alguno de los límites:

( )lim→∞

=x

f x h o bien ( )lim→−∞

=x

f x h

Ejercicio 3 Halla las asíntotas horizontales de las siguientes funciones:

5)3

=−

a yx

2)3 1

=−xb y

x

Una función ( )f x tiene una asíntota vertical =x k si existe alguno de los límites:

( )lim→

= ±∞x k

f x ; ( )lim−→

= ±∞x k

f x ; ( )lim+→

= ±∞x k

f x

El número k es cada una de las raíces del denominador (valores que lo hagan cero). Ejercicio 4 Halla las asíntotas verticales de las siguientes funciones:

2

2 1)6 7+

=+ −xa y

x x

3 2

2 7)12

−=

+ −xb y

x x x

Una función ( )f x tiene una asíntota oblicua = +y mx n cuando la función tienda a esta recta cuando x tienda a más o menos infinito.


189

Una función racional tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador. La asíntota oblicua será el cociente que se obtiene al dividir el numerador entre el de-nominador. Ejercicio 5 Halla las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones:

3 2

2

2 3)1

− +=

−x xa yx

4

2)1

=+

xb yx

Anota en este recuadro una serie de características de las asíntotas de funciones ra-cionales:

9.2.2 Funciones de proporcionalidad inversa: hipérbolas

Es la función de la forma: ( ) = kf xx , siendo k una constante.

En contra de lo que pueda parecer, este tipo de funciones son mucho más sencillas de dibujar que, por ejemplo, una parábola. Se trata de funciones que dibujaremos con ayuda de una tabla, es decir, dando valores.


190

Anota en este recuadro las características principales de esta función:

Ejercicio 6 Representa la gráfica de las funciones:

( ) 2=f x

x

( ) 3−=f x

x

9.3 Funciones irracionales Ya estudiamos en el tema anterior el dominio (y el recorrido y los puntos de corte para las más fáciles) de este tipo de funciones. Particularidad con las raíces de índice par: sólo tomaremos la solución positiva de la raíz.


191

Ejercicio 7

Determina las características observables de este tipo de funciones: ( ) =f x x

9.4 Funciones definidas a trozos Son aquellas en las que su expresión analítica no es única, sino que depende del valor de la variable independiente. Ya las vimos en el tema anterior. Recordamos su aspecto:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤<

≤= ...

.....................................

.............

xsixsi

xsixf

Se debes prestar especial atención en los valores de las x válidas para cada trozo de función. Al estar compuestas por “trozos” de otras funciones, no hay ninguna carac-terística especial que señalar, salvo que suelen presentar saltos.


192

9.5 Funciones exponenciales Son aquellas en las que la variable independiente aparece en el exponente. En la uni-dad 2 de este dossier ya estudiamos las expresiones analíticas de estas funciones, y aprendimos algunas de sus características. Repasaremos los conceptos ya aprendidos y aprenderemos otros nuevos: Ejercicio 8 Escribe las características que observes Ejercicio 9 ¿Cuál es la función del ejemplo? Ejercicio 10 ¿Cómo conseguíamos cambiar los exponentes negativos a positivos?

xay −=

xay =


193

Por tanto, todo el estudio que hagamos sobre funciones exponenciales tendrán expo-nentes positivos. Ejercicio 11 Características generales de las funciones exponenciales Ejercicio 12 Determina qué función representa cada gráfica fijándote en el punto (1,a), siendo a la base de cada exponencial:


194

Ejemplo resuelto

Dada la función ( ) 2xf x = construye una tabla de valores y dibuja su gráfica. Se trata de una función exponencial. Si damos valores enteros entre -3 hasta 2 se ob-tiene:

Representado los puntos obtenidos, po-demos dibujar la gráfica:

x ( )y f x=

3− ( ) 33

1 13 2 0 '1252 8

f −− = = = =

2− ( ) 2 12 2 0 '254

f −− = = =

1− ( ) 1 11 2 0 '52

f −− = = =

0 ( ) 00 2 1f = =

1 ( ) 11 2 2f = =

2 ( ) 22 2 4f = =


195

Ejercicio 13 Dadas las siguientes funciones, construye sus tablas de valores y dibuja las gráficas.

( ) 1) 2xa f x += ( ) 1) 2xb f x −= ( )) 3 xc f x −=


196

9.6 Funciones logarítmicas Son aquellas en las que en su expresión analítica la variable independiente está afec-tada por un logaritmo.

Ejemplos: 2log ;y x= ; 1 ln2xy = + ...

Ejercicio 14 Escribe las características que observes Ejercicio 15 ¿Cuál es la función del ejemplo? Ejercicio 16 Características generales de las funciones logarítmicas:

log= ay x


197

Al igual que ocurre con las funciones exponenciales, de proporcionalidad inversa, etc. también estas se representan dando valores.

9.7 Funciones trigonométricas Son las que llevan la variable independiente afectada por razones trigonométricas.

Ejemplos: seny x= ; cos2xy = ; 1 cosy x= + ...

En la portada de este dossier tienes representadas las gráficas de las funciones: seno y coseno: sen ; cosy x y x= = y sus inversas cosecante y secante: cosec ; secy x y x= =

9.8 Dibujo de funciones por traslación Basándonos en una función dada, resulta sencillo dibujar otras por el procedimiento de traslación: Ejercicio 17 Observa las siguientes funciones y determina cuál es su expresión algebraica: Podemos decir que en el ejercicio anterior hemos trasladado la función de forma verti-cal; existe la traslación horizontal (y la oblicua, aunque no la veremos en este curso).


198

Ejercicio 18 Observa las siguientes funciones y determina cuál es su expresión algebraica:

Ejemplo de función logarítmica: el crecimiento humano

Direcciones interesantes sobre tipos de funciones:

http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/ac_maximos/index.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_funciones_matem%C3%A1ticas http://descartes.cnice.mec.es/4a_eso/Representacion_interpretacion_graficas/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/4a_eso/Funcion_cuadratica_parabola/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/4b_eso/Traslacion_dilatacion_funciones/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_HCS_1/Funciones_formas_de_expresar/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Asintotas/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Funcion_exponencial/Indice_funcion_exponencial.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Funcion_logaritmica/Indice_funcion_log.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/representar_curvas/index_curvas.htm http://descartes.cnice.mec.es/Bach_CNST_1/Familia_de_funciones_tipos_operaciones/index.htm http://descartes.cnice.mec.es/indice_ud.php

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 10: Cálculo de derivadas

199

Sólo hay dos cosas que se necesita saber en la vida: primera, no le digas a la gente todo lo que sabes.

M. Stueben y D. Sandford

Unidad 10: Cálculo de derivadas


200

Actividad realizada con el JClic muy recomendada para esta unidad: http://clic.xtec.net/db/act_es.jsp?id=1306


201


Unidad 10: Cálculo de derivadas.................................................................................203

10.1 Introducción .....................................................................................................203 10.2 Interpretación geométrica de la derivada en un punto .....................................204 10.3 Aplicación del cálculo de derivadas .................................................................206

10.3.1 Pasos para obtener los máximos y mínimos de un función.......................206 10.3.2 Continuidad y derivación ...........................................................................209

10.4 Derivadas de operaciones con funciones ........................................................209 10.5 Cálculo de derivadas: reglas de derivación......................................................212 10.6 Integrales .........................................................................................................214


− Dar un significado geométrico a la derivada de una función

− Averiguar más característica de función utilizando el cálculo de derivadas

− Obtener derivadas de funciones sencillas


− Valorar la importancia de las derivadas, en especial, en el estudio de funciones (C2 y C3).

− Desarrollo del pensamiento científico para interpretar la información que se re-cibe es la competencia en el conocimiento y la interacción con el mundo físico (C3).


202


− Calcula la derivada de una función en un punto

− Interpreta el significado geométrico de una derivada en un punto

− Determina la función derivada de una función dada mediante la aplicación de las reglas de derivación


− Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica

− Aplicación de la derivada: cálculo de máximos y mínimos de una función

− Función derivada de una función dada

− Derivadas sucesivas

− Reglas de derivación

− Integral


− Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto

− Cálculo de la función derivada de una función elemental

− Reconocimiento de las propiedades de la derivada y aplicación de las mismas: cálculo de máximos y mínimos de funciones dadas por su fórmula.

− Construcción de la tabla de derivadas de las funciones elementales

− Resolución de alguna integral sencilla como proceso contrario a la derivación


203

Unidad 10: Cálculo de derivadas

En los dos temas anteriores hemos analizado muchos aspectos de las funciones; sin embargo, existen otros (puntos de cambio de curvatura, localizar máximos y mínimos sin tener la gráfica dibuja-da, etc. ) que requieren el cálculo de derivadas. Vamos a reducir el proceso de derivación (que aquí lo veremos de forma mera-mente introductoria) a la aplicación de un conjunto de reglas para obtener una nueva función.

10.1 Introducción Dada una función cualquiera ( )xfy = , su función derivada se escribe así: ( )xfy ''= . Vamos a intentar deducir sólo con ejemplos resueltos (igual que hicimos con los loga-ritmos) cómo se derivan las funciones polinómicas:

Función Derivada 3xy = 23' xy =

8 32y x x= − 7 2' 8 6y x x= −

2

2xy = 'y x=

2

1yx

= ( )2 2 13

2; ' 2y x y xx

− − − −= = − =

Ejercicio 1 Obtén a derivada de las siguientes funciones:

) 100 123a y x= − 'y =

3) 2b y x x= + 'y =

3) 4 12 8c y x x= + + 'y =

3 2

) 14 43 2x xd y x= + + − 'y =

3

1)e yx−

= 'y =


204

Al igual que hemos calculado la primera derivada, podemos continuar con el mismo procedimiento y obtener las derivadas sucesivas de una función:

Ejemplo: ( ) 4 23 4 3f x x x x= + − − ; ( ) 3' 4 6 4f x x x= + − ; ( ) 2'' 12 6f x x= +

( )''' 24f x x= ; ( ) 24IVf x = ; ( ) 0Vf x = Ejercicio 2 Obtén todas las derivadas sucesivas de la siguiente función:

( ) 5 32 9f x x x x= − + −

10.2 Interpretación geométrica de la derivada en un punto En los ejemplos anteriores hemos derivado unas cuantas funciones polinómicas. Tam-bién sabemos determinar el valor de la función en un punto concreto (siempre que per-tenezca a su dominio, claro está). Ejemplos:

Función Valor de la función en un punto ( ) 2 1f x x= + Para ( ) 20 0 0 1 1x f= → = + =

( ) 25 15f x x x= − Para ( ) 22 2 5 2 15 2 20 30 10x f= → = ⋅ − ⋅ = − = −

( ) cosf x x= Para cos 02 2 2

x fπ π π⎛ ⎞= → = =⎜ ⎟⎝ ⎠

Con la funciones derivadas, también podemos determinar el valor de la función (deriva-da) en un punto. Ejemplos (derivamos las tres funciones anteriores):

Función Valor de la función en un punto ( )' 2f x x= Para ( )0 ' 0 2 0 0x f= → = ⋅ =

( )' 10 15f x x= − Para ( )2 ' 2 10 2 15 5x f= → = ⋅ − =

( )' senf x x= − (*) Para ' sen 12 2 2

x fπ π π⎛ ⎞= → = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

(*) Mira la tala de derivadas (apartado 11.5 para ver cómo se deriva el coseno) Si la recta tangente en un punto de una función tiene pendiente positiva, la función es creciente; si la pendiente es negativa, la función será decreciente en ese punto; y, por último, si la pendiente es cero, la función ni crece ni decrece (podrá ser un punto de una recta constante, un máximo, un mínimo o un punto de inflexión).

IMPORTANTE: El valor de la primera derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente que pasa por ese punto.


205

La gráfica de la izquierda corresponde con la fun-ción: ( ) 3 3 2f x x x= − +

Hallamos la derivada: ( ) 2' 3 3f x x= − Observa el signo de la derivada en tres puntos, y compáralos con el crecimiento o decrecimiento de la función:

( ) ( )2' 2 3 2 3 9 0f − = − − = >

La función crece en 2x = −

( ) 2' 0 3 0 3 3 0f = ⋅ − = − < La función decrece en 0x =

( ) 2' 1 3 1 3 0f = ⋅ − = La función no crece ni decrece en 1x = Ejercicio 3 Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

( ) 2)a f xx

= ; para 1x = − , 1x = y 2x =

¿Observas alguna característica concreta referida al signo de la función derivada?

( ) 3 2) 6 9b f x x x x= − + ; para 0x = , 2x = y 4x =


206

10.3 Aplicación del cálculo de derivadas Recuerda el estudio de la funciones. A la hora de determinar el dominio o los puntos de corte de una función podíamos optar por hacerlo a través de la gráfica de la función o mediante su fórmula.

xxxy 96 23 +−=

Si, por el contrario, pretendíamos estudiar su crecimiento, continuidad, máximos y mí-nimos, etc., estábamos obligados a realizar el estudio sólo con la función dibujada, ya que no teníamos herramientas para hacerlo de forma analítica. Ahora, gracias al cálculo de derivadas, podemos averiguar los máximos y mínimos de una función sin necesidad de tenerla dibujada (que será lo más probable en los próxi-mos cursos), y podremos, por ejemplo, determinar si en un punto, la función crece, de-crece o permanece constante.

10.3.1 Pasos para obtener los máximos y mínimos de un función

1. Se calcula la primera y segunda derivada de la función dada. 2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante (las

soluciones obtenidas son candidatos a formar parte de un punto máximo o mínimo).

3. Cada solución obtenida se sustituye en la derivada segunda y se estudia su signo:

a. si 0'' >y se trata de un mínimo

b. si 0'' <y se trata de un máximo

(fíjate bien en las condiciones; van al revés de lo que sería lo más “lógico”)

c. si 0'' =y no es ni máximo ni mínimo; pudiera ser un punto de inflexión.

4. Se calcula la ordenada para obtener el punto (hasta ahora sólo habíamos ob-tenido la abscisa) sustituyendo el valor de la x en la función original.


207

Ejercicio resuelto

Determina los máximos y mínimos de la siguiente función: ( ) 3 26 9f x x x x= − + 1. Obtenemos la primera y segunda derivada:

( ) 2' 3 12 9f x x x= − + ; ( )'' 6 12f x x= − 2. Se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante:

2 21 23 12 9 0 4 3 0 1; 3x x x x x x− + = → − + = → = =

Por tanto 1 21 3yx x= = son candidatos a ser puntos máximos o mínimos o nin-guna de las dos cosas. Para decidirlo recurrimos a la derivada segunda. 3. Sustituimos los puntos candidatos en la derivada segunda, y estudiamos el signo de la función: ( )'' 1 6 1 12 6f = ⋅ − = − 6 0− < : En 1 1x = hay un máximo de la función ( )'' 3 6 3 12 6f = ⋅ − = 6 0> : En 1 3x = hay un mínimo de la función 4. Por último se calcula la ordenada que corresponde a cada uno de los puntos anterio-res (abscisas) sustituyéndolos en la función: ( ) 3 21 1 6 1 9 1 1 6 9 4f = − ⋅ + ⋅ = − + = Punto máximo: ( )1, 4

( ) 3 23 3 6 3 9 3 27 54 27 0f = − ⋅ + ⋅ = − + = Punto mínimo: ( )3, 0 Aquí puedes ver la gráfica dibujada que confirma la información obtenida.


208

Ejercicio 4 Calcula los máximos y mínimos de las siguientes funciones:

( ) 3) 3 2a f x x x= − +

( ) 3 2) 9 24 3b f x x x x= + + +

( ) 3) 3c f x x x= −


209

10.3.2 Continuidad y derivación Existe una interesante relación entre ambos conceptos: Ejercicio 5

Observa la siguiente gráfica, que corresponde con la función 2y x= − con dominio

de definición: ( ] ( ), 4 5,Dom y = −∞ ∞∪ , y determina alguna conclusión relacionada con la continuidad y la derivación:

10.4 Derivadas de operaciones con funciones Recuerda cómo derivábamos las primeras funciones polinómicas. Si teníamos una su-ma o resta de polinomios, derivábamos cada monomio por separado: Ejemplo: ( ) ( )3 22 7 ' 6 7f x x x f x x= + → = + ; Si las funciones, en vez de sumadas o restadas, están multiplicando, ¿cómo se deri-van? ¿y si están dividiéndose? En este apartado se exponen las propiedades que, junto con la lista de derivadas de la siguiente sección, nos permitirán derivar cualquier función. Abreviaremos ( )f x con f , y ( )'f x con 'f .

Si la función es continua no tiene por qué ser derivable.

Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto.


210

Derivada del producto de un número La derivada del producto de un número por una función es igual al número por la deri-vada de la función:

( ) ' 'a f a f⋅ = ⋅ ; Ejemplo: ( ) ( ) ( )7 7 6 63 ' 3 ' 3 7 21x x x x⋅ = ⋅ = ⋅ = Derivada de la suma o diferencia de funciones La derivada de la suma (diferencia) de dos funciones es igual a la suma (diferencia) de las derivadas de dichas funciones:

( ) ' ' 'f g f g± = ± ; Ejemplo: ( ) ( ) ( )3 2 3 2 2' ' ' 3 2x x x x x x+ = + = + Derivada del producto de dos funciones La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función: ( ) ' ' 'f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅ ; (Para el ejemplo utilizaremos la derivada del seno, que es el coseno. En el siguiente apartado tienes una tabla con las derivadas de las funciones más importantes)

Ejemplo: ( ) ( ) ( )4 4 4 3 4sen ' ' sen sen ' 4 sen cosx x x x x x x x x x⋅ = ⋅ + ⋅ = + Derivada del cociente de dos funciones La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denomi-nador, dividido por el cuadrado del denominador:

2

' ''f f g f gg g

⎛ ⎞ ⋅ − ⋅=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejemplo: ( ) ( )

( )

4 44 3 4

2 2

' sen sen ' 4 sen cos'sen sensen

x x x xx x x x xx xx

⋅ − ⋅⎛ ⎞ −= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

Derivada de la función compuesta (más conocida como la regla de la cadena)

Si ( ) ( )( ) ( )h x g f x g f x= = ⎡ ⎤⎣ ⎦ , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' ' 'h x g f x g f x f x= = ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦

Ejemplo: ( ) ( )4senh x x= ; ( ) 4f x x= ; ( ) ( )seng x f x= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ; por tanto: ( ) 4 3 3 4' cos 4 4 cosh x x x x x= ⋅ =


211

Ejercicio 6 Deriva, utilizando las propiedades anteriores las siguientes funciones:

( ) 2) 3 5 1a f x x x= − +

( ) 3

6)b f xx

=

( ) 2

2 1) xc f xx+

=

( ) 3

sen) xd f xx

=

( ) 3 2)e f x x=

( )) 3senf f x x=

( )) 3 seng f x x x=

( ) ( )2) senh f x x=

( ) ( )2) seni f x x=


212

10.5 Cálculo de derivadas: reglas de derivación Existen una regla de derivación para cada tipo de función: constantes, exponenciales, trigonométricas... I Tipo potencial Función Derivada axy = 1' −= aaxy

☺ axfy )(= )(')(' 1 xfxfay a ⋅⋅= − Ejemplo:

21

xxy == xy

21'=

II Tipo expo-nencial

Función Derivada

xay = aLnay x ⋅=' ☺ )(xfay = )('' )( xfaLnay xf ⋅⋅=

Ejemplo: xey = xey ='

12

5 += xy xLny x 255' 12

⋅⋅= +

III Tipo logarít-mico

Función Derivada

xy alog= aLnx

y 11'=

☺ ( )xfy alog= ( )( ) aLnxfxfy 1''=

Ejemplo: xLny = x

y 1'=

IV Tipo trigo-nométrico

Función Derivada

xseny = xy cos'= ☺ )(xfseny = )(')(cos' xfxfy ⋅=

xy cos= xseny −=' ☺ )(cos xfy = )(')(' xfxfseny ⋅−=

Ejemplo: xxsenxtgy

cos== x

y 2cos1'=

☺ Funciones más importantes


213

Ejercicio 7 (con solución)

1 3seny x= 3223 cos33cos' xxxxy ⋅=⋅=

2 ( )33sen seny x x= = ( )2 2' 3 sen cos 3 sen cosy x x x x= ⋅ = ⋅ ⋅

3 ( )2521+

=x

y ( )3524'+−

=x

y

4 xxy 32 −= xxxy

3232'

2 −

−=

5 tg 4y x= x

y4cos

4' 2=

6 2tgy x= ( ) 2

2 tg' 2 tg tg 'cos

xy x xx

= ⋅ =

7 xy 3ln= x

y 1'=

8 xy −= 1 xy

−−

=12

1'

9 ( )14log3 += xy ( )143ln4

3ln1

144'

+=

+=

xxy

10 ( )xxy 52ln 3 += xx

xy5256' 3

2

++

=

11 ( )14cos −= xy ( ) ( )' sen 4 1 4 4 sen 4 1y x x= − − ⋅ = − ⋅ −


214

Ejercicio 8 Deriva:

3) cosa y x=

6) lnb y a=

( )) cos 3 2xc y e x= ⋅ +

3) 2 8d y x= +

10.6 Integrales El cálculo integral no está en el currículo de 4º de ESO, lo verás en Bachillerato; no obstante, no queremos dejar pasar la ocasión para decirte que derivar e integrar son procesos contrarios, y que, por tanto, una vez aprendido el primero, es fácil aprender el segundo. Sólo te vemos a mostrar algunos ejemplos de cálculo de integrales, que, como en el caso de las derivadas, también tienen una tabla que facilita el cálculo de las mismas.

4 4dx x=∫ Ya que ( ) 4f x = es la derivada de ( ) 4g x x=

2772xx dx =∫ Ya que ( ) 7f x x= es la derivada de ( )

272xg x =

( )2

5 52xx dx x+ = +∫ Ya que ( ) 5f x x= + es la derivada de ( )

2

52xg x x= +

( ) 28 2 4 2x dx x x+ = +∫ Ya que ( ) 8 2f x x= + es la derivada de ( ) 24 2g x x x= +

x xe dx e=∫ Ya que ( ) xf x e= es la derivada de ( ) xg x e=

cos senx dx x=∫ Ya que ( ) cosf x x= es la derivada de ( ) seng x x=

Intenta encontrar el procedimiento seguido y resuelve tú otras nuevas.

Matemáticas 4º ESO Opción B Unidad 11: Combinatoria

215

Hay tres clases de matemáticos: los que saben contar, y los que no saben.

(Atribuido a Enrico Bombieri, matemático italiano, ganador de la medalla Fields en 1974)

Unidad 11: Combinatoria


216


217


Unidad 11: Combinatoria .............................................................................................219

11.1 Introducción .....................................................................................................219 11.2 Diagrama en árbol ...........................................................................................219 11.3 Orden, grupos y repetición...............................................................................221 11.4 Permutaciones .................................................................................................222 11.5 Variaciones ......................................................................................................224

11.5.1 Variaciones sin repetición..........................................................................224 11.5.2 Con repetición ...........................................................................................225

11.6 Combinaciones ................................................................................................226 11.6.1 Propiedades ..............................................................................................226

11.7 Esquema para resolver los ejercicios...............................................................228 11.8 Ejercicios de la unidad .....................................................................................229 11.9 Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton....................................................236


− Contar los elementos de varios conjuntos mediante diferentes técnicas − Utilizar el diagrama en árbol. − Adquirir métodos y herramientas para resolver problemas del cálculo de proba-

bilidades − Estudiar los diferentes casos que se pueden presentar a la hora de contar el

número de elementos que intervienen en un cierto conjunto: orden en que apa-recen los elementos y posible repetición

− Utilizar el vocabulario y notación propios de la combinatoria − Conocer las propiedades de los números combinatorios − Conocer la fórmula general del binomio de Newton


− Desarrollar estrategias personales para decidir de forma autónoma la técnica de recuento más eficaz en función de las condiciones del problema (C2, C7 y C8).

− Conocer y manejar correctamente el lenguaje de la combinatoria, distinguiendo entre variaciones, combinaciones y permutaciones (C1, C2)

− Utilizar la combinatoria para resolver problemas en ámbitos de la vida y del cono-cimiento muy diversos, valorando la importancia de estas técnicas como herra-mienta útil para desenvolverse adecuadamente en dichos ámbitos (C2, C3 y C8).

− Adquirir un método autónomo de análisis ordenado y sistemático para resolver problemas de contar (C2, C7, C8).

− Identificar situaciones de recuento presentes en la vida cotidiana y analizar críticamente las funciones que desempeñan (C2, C3, C4, C5, C8)


218


− Resuelve situaciones relacionadas con el recuento de diferentes posibilidades mediante la utilización, según convenga, del diagrama en árbol, variaciones or-dinarias, variaciones con repetición, combinaciones ordinarias o permutaciones ordinarias

− Resuelve situaciones de tipo algebraico en las que intervengan los números factoriales, así como las combinaciones, variaciones y permutaciones


− Diagrama en árbol. Principio de la multiplicación

− Factorial de un número natural

− Permutaciones

− Variaciones con y sin repetición

− Combinaciones

− Números combinatorios

− Triángulo de Tartaglia

− Fórmula general de la potencia de un binomio: binomio de Newton


− Construcción de diagramas en árbol para expresar los posibles resultados en situaciones de recuento

− Identificación de las diferentes situaciones de recuento

− Distinción en las situaciones de recuento en las que interviene o no el orden y la repetición de elementos

− Diferenciación entre combinaciones, variaciones y permutaciones en base al orden, grupos y posible repetición de los elementos

− Uso del vocabulario y notación propios de la combinatoria

− Cálculos algebraicos y numéricos en los que intervienen los números factoria-les, combinaciones, variaciones y permutaciones


219

Unidad 11: Combinatoria

¿De cuántas formas se pueden sentar cinco personas en una fila de butacas de un cine?, ¿de cuántas formas puede quedar la cla-sificación final de la liga de fútbol?, ¿cuántos resultados diferentes hay si lanzamos dos dados? ¿y un dado y una moneda?, ¿entre cuántos menús podremos elegir si hay tres primeros platos, cuatro segundos y tres postres?, ¿cuántas quinielas deberemos rellenar para acertar el pleno al 15?, ¿resulta más fácil jugar a la bonolo-to? Podrás contestar a todas estas preguntas cuando acabes este tema.

11.1 Introducción A lo largo de esta unidad aprenderemos a contar el número de elementos (equipos, banderas, números, etc.) basándonos en cuatro técnicas: el diagrama en árbol (que ya conoces) y tres (una tiene una variación, por lo que podríamos decir que son cuatro) nuevas fórmulas que conocerás a continuación. Para la elección de una u otra de estas fórmulas, nos basaremos en los elementos que intervengan: si se pueden o no formar grupos, si importa o influye el orden de los elementos que escojamos y si se pueden repetir elementos dentro de un grupo.

11.2 Diagrama en árbol Es una técnica que ya hemos empleado en otras ocasiones (recuerda cómo descom-poníamos números “redondos” en sus factores primos. Ejercicio 1 Lanzamos al aire tres veces seguidas una moneda y vamos anotando los resultados. No tendiendo en cuenta la posibilidad de que la moneda caiga de canto, ¿cuántos re-sultados distintos podrá haber?: (cara: C; cruz: +) Si no necesitamos precisar los resultados, sino sólo saber el número de resultados dis-tintos, no haremos el diagrama en árbol, sino que aplicaremos el principio de multi-plicación: 2 2 2 8⋅ ⋅ = resultados.


220

Ejercicio 2 Realiza un diagrama en árbol y halla el número de “palabras” (tengan o no sentido) de 2 letras, que se puedan formar con TILA: a) Sin repetición b) Con repetición

Ejercicio 3 Utiliza un diagrama en árbol para construir “palabras” (tengan o no sentido) de 4 letras, sin que se repita ninguna, que se puedan formar a partir de la palabra LADO: a) ¿Cuántas palabras se pueden formar?

b) ¿Cuántas de ellas empiezan con la letra A?

c) ¿En cuántas están la A y la O juntas, sin importar el orden en que aparecen?


221

Ejercicio 4 Realiza un diagrama en árbol con las sumas distintas de dos cifras que se puedan efectuar con los números 2, 5, 7 y 8:

11.3 Orden, grupos y repetición La aplicación de cualquiera de las técnicas que vienen a continuación depende de si existe (o importa) el orden de los elementos, de si intervienen todos los elementos cada vez o de si hay grupos, y de la posible repetición de los elementos. Orden: deberás decidir, en base a las características del enunciado del problema, si cambiar el orden de los elemento en un grupo supone obtener un grupo distinto o no. Por ejemplo: si nos piden contar cuántas banderas de dos colores distintos puedes hacer con varios botes de pintura, ¿una bandera con una franja horizontal azul arriba y otra debajo blanca, es la misma si la franja blanca está arriba y la azul debajo? Clara-mente constituirían dos banderas diferentes, por lo que el orden (en este caso de los colores) sí importa. Debemos contestar correctamente a 4 preguntas en un examen que tiene 7 para poder aprobar; ¿influye el orden en el que elijamos las preguntas? En este caso el orden no importa. Grupos: esta es la característica que más claramente se observa en los enunciados de los problemas. A parte del número que indique la cantidad de elementos que debamos estudiar, si existen grupos, deberá existir otro número más. ¿De cuántas formas se pueden repartir 40 cartas (primer número que indica los elementos) entre 5 compañe-ros (segundo número que india que hay grupos) de mesa? ¿De cuántas maneras se pueden sentar 55 personas en un autobús de 55 plazas? Aquí sólo existe un número, y no hay grupos. En las fórmulas que verás a continuación, la letra m hará referencia al conjunto total de elementos, y la n, al número de elementos de cada grupo. Repetición: suele venir más o menos claramente indicado en el enunciado. Por ejem-plo: ¿cuántas banderas de 3 colores diferentes puedes hacer con 6 colores distintos?; ¿cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los cinco primeros números natu-rales? (en este ejemplo no se especifica nada sobre la repetición de números, por lo que debemos suponer que sí pueden repetirse, y que, por ejemplo, el 112 es un núme-ro válido).


222

Ejercicio 5 En los siguientes experimentos, indica en cuales influye el orden en el resultado final y si se puede o no repetir un resultado individual:

Influye el orden

Se pueden repetir

Sacar el premio de la lotería nacional utilizando cinco bombos

Otorgar las medallas de oro, plata y bronce en una competición de natación en la que intervienen 8 nadadores

Formar grupos de trabajo de 5 personas en una clase de 30 alumnos

Repartir las fichas del dominó

Nombrar delegado y subdelegado en una clase de 25 alumnos

Un padre reparte (uno a uno) 12 chicles y 8 trozos de regaliz entre sus 4 hijos

Nombrar los 10 miembros de un jurado entre un grupo de 1000 personas

Formar números de dos cifras con los dígitos { }1, 2, 3, 4

Pintar una bandera con tres franjas horizontales de colores distintos

11.4 Permutaciones La fórmula que utilizaremos es:

!mP m= Que, como ves, utiliza la operación del factorial que ya hemos utilizado en alguna otra ocasión. Te recordamos que el factorial de un número se consigue multiplicando ese número por el anterior y por el anterior a este último hasta llegar a 1:

( ) ( )! 1 2 ... 3 2 1m m m m= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0! 1 ; 1! 1 ; 2! 2 1 2 ; 3! 3 2 1 6 ;

4! 4 3 2 1 24 ; 5! 120 ; 6! 720 ; 7! 5 040 ;

8! 40 320 ; 9! 362 880 ; 10! 3 628 800 ; 11! 39 916 800

= = = ⋅ = = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ = = = =

= = = =


223

Como ves, es una operación que hace crecer los números muy rápidamente. A lo largo del tema, utilizaremos mucho números expresados de forma factorial, y es conveniente que aprendas a simplificar con ellos. Mira el siguiente ejemplo: Ejercicio resuelto

Obtén, sin ayuda de la calculadora, el resultado de la siguiente operación: 20!

17! 19⋅

20! 20 19 18 17! 217! 19 2 17! 19 2

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

20

10 19⋅ ⋅ 18 17!⋅ ⋅17! 19⋅ 2⋅

10 18 180= ⋅ =

Ejercicio 6 Resuelve sin operar demasiado:

200!)198! 2

a =⋅

3! 5!)6! 2!

b ⋅=

⋅

12! 7!)9! 10!

c ⋅=

⋅

Ejercicio 7 Une con flechas:

6!4!

5!6!

8!5! 3!⋅ ( )

!1 !

nn −

( )2 !!

nn+

( )

( )1 ! !

! 1 !m n

m n−−

56 16 30

nm ( )( )2 1n n+ + n


224

Utilizaremos las permutaciones que aquellos problemas donde no intervengan grupos, importando, sólo, el orden de los elementos. Ejercicio 8 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un banco de 5 plazas? Ejercicio 9 ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 y 6, sin repe-tir ninguna?

11.5 Variaciones Las variaciones pueden ser de dos tipos: variaciones ordinarias, o simplemente varia-ciones, y variaciones con repetición (cada una tiene su fórmula correspondiente). Ya se comentó en el apartado 10.3 en qué consistía la repetición o no de los elementos. Las variaciones se utilizarán en aquellos problemas donde se hagan grupos e importe el orden en la elección de los elementos.

11.5.1 Variaciones sin repetición Su fórmula es esta:

, ( 1) ( 2)...m n

n veces

V m m m= ⋅ − ⋅ − o también ,!

( )!m nmV

m n=

−

En general utilizaremos la primera de las fórmulas.

Ejercicio resuelto

Calcula las siguientes variaciones:

3456) 4,6 ⋅⋅⋅=Va 3604,6 =V

456) 3,6 ⋅⋅=Vb 1203,6 =V

56) 2,6 ⋅=Vc 302,6 =V


225

Ejercicio 10 Calcula las siguientes operaciones:

5,3

7,2

8,1

6,5

))))

a Vb Vc Vd V

=

=

=

=

Cuando veíamos las permutaciones, no había ningún problema en identificar la m que

aparece en su fórmula ( !mP m= ), puesto que al haber sólo un dato numérico en los ejercicios (por no haber grupos), ese, forzosamente, debía corresponder con la m. Sin embargo, tanto en variaciones como en combinaciones (que veremos a continua-ción), intervienen dos letras (m y n) en sus fórmulas (ya explicamos su significado en el apartado 10.3). Ejercicio 11 ¿De cuántas formas se puede nombrar al presidente, vicepresidente y secretario de una asociación que tiene 200 miembros?

11.5.2 Con repetición Su fórmula es esta:

,n

m nVR m= Como ves, se trata de una simple potencia. Ejercicio 12 Calcula las siguientes operaciones:

5,3)a VR =

7,2)b VR =

8,1)c VR =

6,5)d VR =

0,2)e VR =

3,0)f VR =


226

Ejercicio 13 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar en los que sólo intervengan el 1, el 3, el 5, el 7 ó el 9?

11.6 Combinaciones Fórmula:

( ),!

! !m n

m mCn m n n

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ − ⋅⎝ ⎠

o también ,

,m n

m nn

VC

P=

Ejercicio 14 Calcula las siguientes operaciones:

5,3)a C =

7,2)b C =

8,1)c C =

8,7)d C =

(¿encuentras alguna similitud entre los apartados c) y d) anteriores?)

11.6.1 Propiedades Existen unas pocas que pueden simplificarnos algunos cálculos:

mCI m =1,) ; o también 1m

m⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ 1) , =mmCII ; o también 1

mm⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

,0) 1mIII C = ; o también 10m⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

, ,) m n m m n

m mIV C C

n m p−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇔ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, , 1 1, 1) m n m n m nV C C C+ + ++ = o también 1

1 1m m mn n n

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Principalmente, es la IV propiedad la que más ahorro de trabajo nos puede proporcio-nar; por ejemplo, 7,81,8 CC = ; 6,82,8 CC = ; 5,83,8 CC = .

(Hablaremos de estaspropiedades con el triángulo de Tartaglia)


227

Ejercicio 15 Utilizando las propiedades anteriores, calcula estas operaciones:

8,1)a C =

8,2)b C =

8,3)c C =

8,4)d C =

8,5)e C =

8,6)f C =

8,7)g C =

8,8)h C =

Utilizaremos combinaciones cuando existan grupos, no importe el orden en el que es-cojamos los elementos y no esté permitida la repetición de elementos: Ejercicio 16 ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 asignaturas optativas de entre 5? Para comprobar tu solución (y puesto que son pocos casos), puedes rellenar la siguien-te tabla; cada columna indica una elección posible:

Diseño y Prensa

Música

Tecnología

Cultura clásica

Plástica


228

Ejercicio 17 El profesor de Historia ha anunciado un examen en el que entran 7 temas, y ha dicho que pedirá que se desarrollen 3 de ellos. ¿Cuántos tipos de examen puede poner? Ejercicio 18 ¿Cuántas rectas se pueden formar con 10 puntos (no alineados tres o más de ellos) situados en un plano?

11.7 Esquema para resolver los ejercicios Te ofrecemos un resumen con todo lo visto hasta ahora, y que te servirá para saber, en cada caso, qué fórmula utilizar (en la segunda página de la unidad encontrarás otro esquema). ¿Hay

grupos? ¿Importa el

orden? ¿Se pue-

den repetir? Ejemplo

Permutaciones !mP m=

No SÍ No Ordenar 5 motos en un taller

Variaciones

( ) ( ), 1 2 ...m n

n veces

V m m m= ⋅ − ⋅ − No

Reparto del podium en una carrera

,n

m nVR m=

SÍ SÍ

SÍ Formar nú-meros de 3 cifras con el 2, 4, 6 y 8

Combinaciones

( ),!

! !m nmC

m n n=

− ⋅ SÍ No No

Repartir las fichas del dominó


229

A la hora de hacer este tipo de ejercicios de combinatoria, deberás contestar a estas tres preguntas:

¿Entran todos los elementos en cada agrupación? ¿Influye el orden de colocación de los elementos? ¿Pueden repetirse los elementos?

Dos recomendaciones antes de pasar a las actividades:

− lee cada enunciado un mínimo de tres o cuatro veces para comprender bien el problema

− no olvides las unidades

11.8 Ejercicios de la unidad Ejercicio 19 ¿De cuantos modos se pueden repartir tres premios distintos entre Juan, Pilar, María, Alicia y Pedro, de manera que ninguno de ellos reciba dos o más premios? Ejercicio 20 ¿Cuántos grupos de cuatro cartas distin-tas se pueden hacer con una baraja es-pañola?


230

Ejercicio 21 En una vuelta ciclista participan 14 equipos, cada uno con 9 corredores. ¿De cuántas maneras puede resultar el podium final por equipos? ¿Y por corredores? Ejercicio 22

En un restaurante, la carta ofrece elegir en-tre seis entrantes, cuatro platos fuertes y cinco postres. ¿Cuántos menús diferentes pueden elaborarse?

Ejercicio 23 Un entrenador de baloncesto dispone de 10 jugadores en plantilla, ¿de cuántas formas puede organizarse el equipo inicial?


231

Ejercicio 24

Disponemos de cinco bolas de colores diferentes: azul, blanco, negro, rojo y verde, y de otras tantas cajas con los mismos colores. Se introduce al azar una bola en cada caja. ¿De cuántas formas posibles se pueden meter las bolas en las cajas?

¿En cuántos casos la bola azul estará dentro de la caja azul? Ejercicio 25 En la liga de fútbol de primera división hay 20 equipos: a) ¿Cuántas clasificaciones finales pueden darse? b) Si para la liga de campeones se clasifican los cuatro primeros equipos, ¿cuántos posibles cuartetos de equipos pueden clasificarse? c) Si para la copa de la UEFA se clasifican los equipos 5º y 6º, ¿cuántos pares de equipos pueden clasificarse? d) ¿Cuántas jornadas se disputan a lo largo de la liga?


232

Ejercicio 26 En el sistema binario de numeración (utilizado por los ordenadores), donde las únicas cifras válidas son el 0 y el 1, ¿cuántos números de 8 cifras existen? (el primer número será 0000 0000, y el último será 1111 1111; un número intermedio cualquiera puede ser: 1001 0111) Ejercicio 27 Un equipo de fútbol de primera división tiene 3 porteros, 7 defensas, 5 centrocampistas y 6 delanteros. En cada partido juegan uno, cuatro, tres y tres por cada línea, respecti-vamente. ¿Cuántas alineaciones distintas podrá hacer el entrenador si no acostumbra a cambiar a los jugadores de sus líneas habituales? Ejercicio 28 Cuatro amigos juegan un torneo de ajedrez. Aquel jugador que empieza a jugar con las piezas blancas, siempre cuenta con ventaja; sin embargo, y para este ejercicio, noso-tros no lo vamos a suponer. ¿De cuántas formas pueden quedar clasificados? Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se realizarán?


233

Ejercicio 29 ¿Cuántas aleaciones distintas se pueden for-mar con 8 metales diferentes? Cada aleación debe estar formada por dos o más metales. (Pista: hay una propiedad que hemos dicho en un apar-tado anterior que te simplificará los cálculos) Ejercicio 30 Resuelve las siguientes ecuaciones:

190) 2,2, =− xx CVa

,4 ,2) 20x xb V V= ⋅

,4 ,2) 13 36x xc VR VR− ⋅ = −

1 2) 12 5x x xd P P P+ +⋅ + =


234

Ejercicio 31 A continuación tienes 17 ejercicios variados. Pueden servirte para que evalúes tu pro-pio conocimiento sobre las técnicas que has aprendido en este tema: 1. ¿Es posible hallar las V3,4? ¿Y las VR3,4? 2. Contesta V o F a las siguientes afirmaciones:

a) En las VR no influye el orden: b) En las V sí influye el orden c) En las P influye el orden: d) En las C influye el orden:

3. Con 8 elementos queremos hacer variaciones.

a) ¿Podemos hacer V de más de 8 elementos? b) ¿Podemos hacer V de menos de 8 elementos? c) ¿Cómo se llama si V de los 8 elementos?

4. Con 8 personas, pensamos formar todos los grupos posibles de 2 ó 6 personas.

¿De cuál de los dos maneras hay más grupos, de dos o de seis personas? 5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secreta-

rio y tesorero de un club de baloncesto sabiendo que hay 12 posibles candidatos? 6. ¿Cuántas apuestas(columnas) habrá que rellenar para acertar seguro una quiniela

de 14? 7. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8

y 9 sin que se repita ninguna cifra? (NOTA: hay que descontar los que empiezan por 0)

8. Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden

hacer que empiecen por O?

(Sigue → )


235

(Continuación) 9. En un festival de canciones han llegado a la fase final 10 cantantes. ¿De cuántas

formas se pueden adjudicar los premios 1º, 2º y 3º? 10. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de

fútbol, teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar ninguna posición distinta de la portería?

11. ¿De cuantas formas se pueden colocar 10 cantores si dos de ellos tienen que estar

siempre en los extremos? 12. Con las cifras 1,2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras se pueden formar? ¿cuán-

tos son pares? 13. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las 9 butacas que quedan en el cine en-

tre las 12 personas que aún están en la cola? 14. Con las cifras 6,7, 8 y 9 ¿cuántos números de seis cifras se pueden formar? ¿Cuán-

tos termina en 6? ¿Cuántos son múltiplos de 2? 15. En un programa de radio de una emisora intervienen 4 locutores. Si esa cadena de

radio dispone de 20 locutores, ¿de cuántas formas distintas (con locutores distintos) se puede presentar este programa?

16. A una reunión asisten 17 personas y se saludan entre ellos ¿cuántos saludos se

han dado? 17. En una unidad militar hay 6 capitanes y 10 tenientes. ¿De cuántas maneras se pue-

de seleccionar un grupo de 3 capitanes y 7 tenientes?


236

11.9 Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton Cuando una combinación se expresa así, se le llama número combinatorio, y se lee “m sobre n”. A Nicolo Fontana (1499 – 1557), conocido como Tartaglia (tartamudo, debido a

una herida que sufrió de niño), se le atribuye esta disposición de los números combinato-rios:

00⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

10⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

11⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

20⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

21⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

22⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

30⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

31⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

32⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

33⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

40⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

41⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

42⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

43⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

44⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

50⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

51⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

52⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

53⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

54⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

55⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejercicio 32 Completa el triángulo

1

1 1

1 ___ 1

1 ___ ___ 1

1 ___ ___ ___ 1

1 ___ ___ ___ ___ 1

mn

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


237

Observa lo siguiente:

a) Los números combinatorios de los lados (extremos de la izquierda y la derecha) son siempre 1 (propiedad II y III de las combinaciones).

b) Los números combinatorios segundo y penúltimo de cada fila coinciden con m, o también puede verse como que coincide con el número de la fila, comenzando por la fila cero en el vértice superior del triángulo (propiedad I)

c) En cada fila, los números equidistantes de los extremos son siempre iguales (propiedad IV), lo que confiere al triángulo una simetría vertical.

d) Cada número combinatorio es igual a la suma de los dos que tiene encima (pro-piedad V)

Ejercicio 33 Continúa el triángulo hasta la décima fila. Isaac Newton (1642-1727), científico y matemático inglés, pasa por ser una de las men-tes más lúcidas que jamás hayan existido. ¿Existe una fórmula general que permita averiguar el desarrollo de una potencia cual-

quiera de un binomio, ( )nba + ? Cuando el exponente es 2, 3 ó 4 podemos hacer los cálculos directamente, pero si el exponente es más grande, necesitamos alguna técni-ca de cálculo que nos ayude. Observa los desarrollos para n = 2, 3 y 4:

( ) =+ 1ba ba +

( ) =+ 2ba 22 2 baba ++

( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa 23 3223 33 babbaa +++

( ) ( ) ( ) =+⋅+=+ bababa 34 432234 464 babbabaa ++++ Observa:

1. El número de términos de cada desarrollo es uno más que el exponente 2. Los términos de los extremos siempre son el primer sumando y el segundo ele-

vados al exponente original 3. En cada desarrollo, los exponentes del primer sumando del binomio comienzan

con el exponente original, y van decreciendo en cada nuevo término hasta llegar a cero; con los exponentes del segundo sumando ocurre lo contrario

4. Los coeficientes de cada desarrollo son los números de la fila correspondiente del triángulo de Tartaglia


238

La fórmula general del desarrollo de ( )na b+ se conoce como binomio de Newton:

( ) 1 2 2 1

0 1 2 1n n n n n k k n nn n n n n n

a b a a b a b a b ab bk n n

− − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Los números combinatorios que aparecen en el desarrollo son los números que forman la fila 1n + en el triángulo de Tartaglia.

Cuando el binomio a desarrollar sea de la forma ( )na b− , bastará con cambiar b por

b− en el anterior desarrollo, así, las potencias pares de b− provocarán que sea posi-tivo, y las impares, negativo. Ejemplos:

( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3 2 2 33 3 3 32 2 2 2 8 12 6

0 1 2 3a b a a b ab b a a b ab b

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 3 4 55 4 3 25 5 5 5 5 50 1 2 3 4 5

x y x x y x y x y x y y⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− = + − + − + − + − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5x x y x y x y xy y= − + − + − Ejercicio 34 Obtén el desarrollo de:

( )6) 1a x + =

( )3)b a b− =

( )5) 3c x y− =

( )4)d x y+ =


239

Ejercicio 35 Calcula de forma rápida:

)5049

a ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ )

1000998

b ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

)500499

c ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠ )

7067

d ⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ejercicio 36 Resuelve la siguiente ecuación:

15 152 6x x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Direcciones interesantes: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Combinatoria/indice.htm http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/index.html


240

Matemáticas 4º ESO Opción B Apéndice

241

Apéndice: Lenguaje

matemático


242

Como sabes, cada disciplina que puedas estudiar (Medicina, Farmacia, Periodismo, Derecho, Arquitectura, Ingeniería…) dispone de un vocabulario específico. Como cabe esperar, las Matemáticas cuentan con su propio lenguaje. Es muy posible que, cuando comiences el próximo curso de Bachillerato, los profesores de ciencias utilicen símbolos “extraños” que, sin duda, irán introduciendo y explicando paulatina-mente. No está demás, sin embargo, que aquí te mostremos los más importantes, y así co-miences a familiarizarte con ellos (algunos, incluso, han aparecido ya en este libro). Ejercicio 1 Completa

Símbolos Comentario

∀

,∃ ∃

,∈ ∉

, ,⊂ ⊆ ⊄

⇒

⇔

∑

,∩ ∪

,∨ ∧

∅

,⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

Ejercicio 2 Determina si son verdaderas (V) o falsas (F) las siguientes afirmaciones:

) ,a x y y x∀ ∈ ∃ ∈ ≥

) Si ,b u v u v x u x y∈ ≥ ⇒∃ ∈ ≥ ≥

(Sigue → )


243

) Siendo , , entonces: 0 0 0c x y xy x y∈ ≥ ⇔ ≥ ∧ ≥

[ ]2) Siendo , entonces: 1 0,1d x x x∈ ≤ ⇒ ∈

Ejercicio 3 Escribe, utilizando el lenguaje matemático, las siguientes afirmaciones:

Para todo número real, existe un número entero mayor que él

Dado un número real, su cuadrado es un número real positivo

Dados dos números reales positivos, con el primero mayor que el segundo, entonces el cuadrado del primero es mayor que el cuadrado del segundo

Existe un número real cuyo cuadrado es un número entero positivo

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