CUADERNO DE TRABAJO DE ESTADISTICA
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CUADERNO DE TRABAJO DE ESTADISTICA CLAM PROF. ISMAEL FERNANDEZ DIAZ
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1
2
ANALISIS COMBINATORIO. Métodos de conteo
1. Las placas de matricula de automóvil de un Estado tienen tres letras seguidas de
cuatro dígitos.
a) ¿Cuántas placas diferentes son posibles si las letras y los dígitos pueden
repetirse?
b) ¿Cuántas placas diferentes son posibles si las letras y los dígitos no
pueden repetirse?
c) ¿Cuántas placas diferentes son posibles si las letras pueden repetirse pero
no los dígitos?
d) ¿Cuántas placas diferentes son posibles si los dígitos pueden repetirse
pero no las letras?
2. Un restaurante ofrece 3 sopas diferentes, 5 carnes, 4 postres y 4 tipos de bebidas.
¿De cuántas formas podemos ordenar una comida completa consistente en una sopa,
una carne, un postre y una bebida?
3. ¿Cuántas cantidades de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6 si:
a) No se permite la repetición
b) ¿Cuántos de estos números son nones?
c) ¿Cuántos de estos números son pares?
d) ¿Cuántos de estos números son menores de 300?
4. En un estudio médico los pacientes se clasifican en 8 formas diferentes de acuerdo a
su tipo de sangre AB+, AB
- , A
+, A
-, B
+, B
-, O
+, O
-. Y su presión sanguínea: baja,
normal, alta. Encuentre el número de formas posibles para clasificar a un paciente.
5. Seis personas toman el ascensor en la planta baja de un edificio que tiene nueve.
¿De cuántas formas pueden abandonar el ascensor si todos lo hacen en planta
distinta?. ¿De cuántas formas si dos personas van a la misma planta?
6. Una asamblea de 15 accionistas desea nombrar un consejo de administración que
consta de un presidente, un secretario, un tesorero y dos vocales ¿De cuántas
maneras puede constituirse el consejo si cada accionista sólo puede ocupar un
puesto?
7. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 2,3,5,6,7, 9 si:
a) No se permite la repetición
b) ¿Cuántos de estos números son menores de 400?
c) ¿Cuántos de estos números son pares?
d) ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 5?
8. ¿En cuántas formas pueden sentarse en una fila 4 africanos, 3 europeos y 5 asiáticos
de tal manera que los del mismo continente queden juntos?
9. Un estudiante de primer año universitario debe tomar un curso de idioma extranjero,
uno de ciencia natural, uno de ciencia social y uno de español. Si puede elegir entre
4 idiomas extranjeros, 5 de ciencias naturales, 3 de ciencias sociales, pero todos los
alumnos deben tomar el mismo curso de español ¿De cuántas maneras puede el
estudiante organizar su programa de estudios?
10. De cuántas formas se pueden extraer sucesivamente cuatro cartas de una baraja
española de 40, si no existe la reposición? ¿En cuántos de estos casos la primera
carta será un rey?
3
FACTORIALES
Calcular los siguientes factoriales
)6!
)7!5!
)3!4!5!2!
20!)11!4!3!2!
12!)
7!3!2!
9!)
3!2!4!
12!)
3!2!2!2!
10!)13!
73!)
72!
12!6!)
10!
12!)
3!9!
7!)
3!4!
15! 21!)
8!3!2! 17!3!
8! 6!) *
2!(8 2)! 4!(6 4)!
18! 12!)
7!5!2! 5!2!2!
23! 8!)
(23 8)! 2!(8 2)!
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
ll
m
n
ñ
o
15!)5( )
8!3!2!
9! 12!) *
3!(9 3)! 4!(12 4)!
16! 10!)10!6! 2!(10 2)!
p
q
4
PERMUTACIONES
1. Calcular las siguientes permutaciones:
9P2 ; 7P7 ; 7P0 ; 11P5 ; 20P8 , xP2 + x-2 P2 + x-4P2= 98 Determine el valor de x
2. Siete personas se disponen a entrar a una gruta, ¿en cuántos ordenes diferentes pueden
formarse en la fila para entrar?
3. Un club consta de 15 mujeres y 12 hombres, se quiere seleccionar a una mujer como
presidente, un hombre como vicepresidente y a tres vocales sin importar el sexo.
¿Cuántos grupos directivos pueden formarse?
4. Un estudiante presenta un examen de 20 preguntas de Verdadero – Falso. ¿Cuántas
maneras existen para resolver el examen?
5. Hay ocho trabajadores limpiando una casa grande. Para limpiar las ventanas se
necesitan cinco, para las alfombras se necesitan dos, y uno para el resto de la casa. ¿De
cuántas formas distintas se pueden asignar las tareas a los ocho trabajadores?
6. ¿De cuántos modos pueden sentarse un padre, su esposa y sus cuatro hijos en una mesa
redonda, contando siempre a partir del padre?
7. Las placas de matrícula de automóvil de un Estado tienen tres letras seguidas de cuatro
números:
a) ¿Cuántas placas diferentes son posibles si las letras y los dígitos pueden
repetirse (considere 27 letras)
b) ¿Cuántas placas diferentes serían posibles si no se utiliza la letra O, ni el cero,
pudiendo repetirse tanto las letras como los números restantes?
8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar las letras de la palabra ECUADOR?
9. ¿Cuántos números de tres cifras con repetición se pueden formar usando todos los
siguientes dígitos 7,4,8,5,3?
10. Doce estudiantes van ir a Veracruz en tres carros, 3 estudiantes en el carro #1, cuatro en
el carro #2 y cinco en el carro #3. ¿De cuántas formas se pueden acomodar si cualquiera
puede conducir?
11. El presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de una determinada asociación, se
elegirán de entre 10 candidatos, encontrar el número de maneras distintas en que estos
pueden ocuparse.
12. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar 6 llaves en un llavero en forma de aro?
13. Un testigo de un robo a un Banco dijo que el número de la licencia del automóvil de los
ladrones era un número de seis dígitos, de los cuales los tres primeros eran 487. No
recordó los últimos tres dígitos, pero estaba totalmente seguro que éstos eran diferentes
de los tres primeros ¿Cuántos números de licencia de automóviles tendría que investigar
la policía?
14. ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse
en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?
15. En un tren hay asiento para 4 personas. En cierta estación se suben 8 personas. ¿De
cuántas maneras pueden ocuparse los lugares?
16. Queremos abrir un candado de combinación de 4 anillos, cada uno marcado con los
dígitos 1, 2, 3, 4, 5; pero no sabemos cuál es la combinación correcta. ¿Cuál es número
máximo de intentos incorrectos que podemos realizar antes de encontrar la correcta?
17. ¿Cuántas permutaciones de las letras ABCDEF contiene la subcadena DEF? (para
garantizar la presencia del patrón DEF en la subcadena, estas letras deben estar juntas y
en ese orden)
5
18. Cuando una serie de productos (diferentes) se introducen al mercado uno después de
otro, los introducidos al mercado posteriormente a menudo tienen menos demanda que
los presentados anteriormente. Supongamos que han de introducirse cinco productos en
sucesión. ¿En cuántas sucesiones pueden introducirse al mercado?
19. Si ocho corredores compiten en la carrera final de los 100 metros. ¿De cuántos modos
pueden asignarse los premios a los tres primeros lugares?
20. Se lanza una moneda 4 veces. Hallar el número total de resultados posibles
21. ¿Cuántas ordenaciones diferentes de ocho letras se pueden hacer utilizando las letras
RRRRUUUN?
22. Se desean sentar 5 señores y 5 señoras alrededor de una mesa circular. ¿De cuántas
formas pueden sentarse si han de quedar alternados?
23. En una ciudad hay tres tipos de taxis, los exclusivos del aeropuerto, los de sitio y los
libres, es decir sin itinerario fijo, las placas tienen entonces una letra, que puede ser A, S
o L dependiendo del tipo y cinco números, que pueden ser elegidos de entre los 10
dígitos teniendo como única condición que el primer dígito no sea cero. ¿Cuántos taxis
puede haber en la cuidad?
24. ¿En cuántas formas pueden plantarse a lo largo de la línea divisoria de una propiedad 3
robles, 4 pinos y 2 eucaliptos, si no se distingue entre los árboles de la misma especie?
25. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los dígitos 0,1,2,3,4,5 y 6 si:
a) no se permite la repetición?
b) ¿Cuántos de estos números son nones?
c) ¿Cuántos son mayores de 330?
26. Un teléfono tiene 10 botones, numerados de 0 a 9. Para obtener línea directa se debe
marcar el 1 o el 0, a continuación un número zonal de tres dígitos y finalmente un
número de siete dígitos. ¿Cuántos números telefónicos pueden marcarse?
27. ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse con los cinco dígitos 3,4,5,6 y 7 sí:
a) No se permite la repetición?
b) ¿Cuántos de estos números son menores de 500?
c) ¿Cuántos de estos números son impares?
d) ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 5?
28. Se lanzan al aire dos monedas y tres dados, ¿cuántos resultados diferentes son posibles?
29. Un estudiante tiene lugar para seis libros en un estante cercano a su área de estudio.
Los libros son un diccionario y libros de texto de Química, Inglés, Historia,
Matemáticas y Filosofía.
A De cuántas formas se pueden ordenar los libros en el estante?
B De cuántas formas se pueden ordenar si el diccionario debe ocupar el primer
lugar?
c) ¿De cuántas formas se pueden ordenar si los libros de matemáticas y filosofía
deben quedar juntos?
30. ¿Cuántos números puedes formar usando los dígitos 3,4,6,7 y 9 de tal manera que se
encuentren entre 500 y 800 si además las cifras no pueden repetirse
6
COMBINACIONES
1. Calcular las siguientes Combinaciones:
9C3 ; 7C4 ; 5C5 ; 5C0 ; 8C3*6C4 ; 7C2 + 13C5; 125x-18*xC2 = 24*xC3 Determinar x
2. Un contratista necesita 5 colocadores de ladrillos y acuden 11 personas a solicitar el
empleo. ¿De cuántas maneras distintas puede seleccionar a los cinco albañiles?
3. En un examen hay 10 preguntas. Un alumno debe responder a 8 de ellas:
a) ¿De cuántas maneras distintas puede seleccionar las ocho preguntas?
b) Si debe responder las dos primeras preguntas, ¿de cuántas maneras distintas
podrá seleccionar las preguntas del resto del examen?
4. Una persona tiene 11 amigos. a) ¿De cuántas maneras puede invitar 5 de ellos a
comer? b) ¿De cuántas maneras si dos son casados y no asisten el uno sin el otro?
c) ¿De cuántas maneras si dos de ellos no se llevan bien y no asisten juntos?
5. ¿Cuántas diagonales tiene un Icoságono?
6. Suponga que queremos formar un comité constituido por una mujer y dos hombres, a
partir de un grupo de cuatro mujeres y seis hombres. ¿Cuántos comités diferentes son
posibles?
7. Una persona tiene $1.00 en monedas de 5 centavos y $1.50 en monedas de 10 centavos.
¿De cuántos modos puede hacer un pago de $0.15?
8. Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. a) ¿De cuántas maneras el profesor puede
escoger un comité de 4?, b) ¿Cuántos comités contarán con una niña por lo menos?, c)
¿Cuántos tendrán una niña exactamente?
9. En un senado hay 20 demócratas y 10 republicanos. Se va a elegir una junta de 5
senadores:
a) ¿De cuántas maneras puede hacerse?
b) ¿De cuántas maneras, si tiene que haber tres demócratas y dos republicanos en
cada junta?
c) ¿De cuántas maneras, si todos han de ser del mismo partido?
10. Hay 10 puntos A, B,… en un plano; en una misma línea no hay tres. a) ¿Cuántas líneas
forman los puntos?, b) ¿Cuántas líneas no pasan por A o B?, c) ¿Cuántos triángulos
determinan los puntos?, d) ¿Cuántos triángulos de estos se forman con el punto A?
11. 10 hombres y 5 mujeres asisten a una determinada clase.
a) ¿De cuántas maneras distintas puede el maestro seleccionar un comité de tres
personas?
b) ¿Cuántos de los comités incluirán por lo menos un hombre?
12. Una persona tiene en el bolsillo cinco monedas de diferente denominación (1, 5, 10, 25
y 50 cts.)
a) ¿De cuántas maneras distintas puede seleccionar dos monedas?
b) ¿Cuales serian las diferentes sumas de dinero que se pueden formar con las dos
monedas?
13. Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de13 en un examen. a) ¿Cuántas maneras
de escoger tiene?, b) ¿Cuántas si las dos primeras son obligatorias?, c) ¿Cuántas si tiene
que contestar exactamente 3 de las 5 primeras?
14. Un grupo de 10 personas llega a un restaurante que sólo tiene dos mesas disponibles.
Una de ellas es de 6 asientos y la otra de 4. Si no se toma en cuenta la distribución de los
lugares en las mesas, ¿De cuántos modos se pueden dividir las 10 personas y tomar su lugar
en las dos mesas?
7
15. El sorteo Melate de Pronosticos Deportivos consiste en elegir 6 números de un
total de 44. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir dichos números?
16. Un entrenador de fútbol tiene 2 porteros, 6 defensas, 5 medios y 8 delanteros.
¿Cuántos equipos distintos puede formar que consten de 1 portero, 4 defensas, 3
medios y 3 delanteros?
17. En una clase de laboratorio hay 15 muchachas y 20 muchachos. Si han de
trabajar en equipos de 4 personas formados por 2 muchachos y 2 muchachas.
¿Cuántos equipos distintos pueden formarse?
18. Un polígono de 19 lados está inscrito en una circunferencia
a) ¿Cuántas diagonales tiene el polígono?
b) ¿Cuántos triángulos pueden formarse usando los vértices del polígono?
19. Un grupo de 20 alumnos debe elegir una comisión de festejos formada por 4
alumnos. ¿de cuántas maneras la puede elegir?
20. Una clase tiene 20 alumnos, de los cuales 12 son mujeres y 8 hombres ¿De
cuántas maneras se puede elegir un comité de 5 alumnos en esta clase, con cada
una de las siguientes condiciones:
a) En el comité no debe haber hombres
b) El comité debe estar formado por tres mujeres y dos hombres
c) En el comité debe haber por lo menos un hombre
21. Con 20 soldados y tres cabos ¿cuántas guardias distintas se pueden formar si en
cada guardia tiene que haber un cabo y 5 soldados?
22. Con 10 médicos y 14 enfermeras, ¿cuántos equipos médicos compuestos por
3médicos y 5 enfermeras se podrán formar?
23. Para formar un equipo de baloncesto hacen falta 5 jugadores y un entrenador
dispone de 10. ¿Cuántos equipos distintos puede formar?
24. Un test consta de 30 preguntas de las que se deben contestar 20. ¿De cuántas
maneras se pueden elegir esas 20 preguntas? Si las 10 primeras preguntas son
obligatorias ¿de cuántas maneras se podrán elegir las otras 10?
25. En una reunión a la que asisten 15 personas, ¿cuántos grupos diferentes de siete
individuos pueden formarse? ¿En cuántos de esos grupos están dos personas
determinadas? ¿En cuántos de esos mismos grupos no están tres personas
concretas?
26. ¿Cuántas diagonales tiene un dodecágono regular?
27. Para formar la tripulación de un barco se deben elegir 4 maquinistas y un
capitán, entre un grupo de 12 hombres, de los cuales 9 son maquinistas y 3
capitanes, ¿Cuántas tripulaciones podrán obtenerse?
28. Un vendedor de automóviles ofrece a sus clientes la elección de los siguientes
accesorios: quemacocos, alarma, vidrios polarizados, radio y sistema de aire
acondicionado. ¿De cuántas formas se pueden seleccionar dos de los cinco
accesorios?
29. De una baraja común de 52 cartas, ¿Cuántas manos de 5 cartas se pueden
formar?
30. De un grupo de 10 mujeres y doce hombres se debe seleccionar un comité de
tres personas. ¿Cuántos comités es posible formar de acuerdo con las siguientes
condiciones:
a) Una mujer y dos hombres
b) Cualquier combinación de hombres y mujeres
8
TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON
I. Aplicando el teorema del binomio desarrolle las siguientes potencias:
II. Determine y simplifique el término que se indica en cada una de las siguientes
potencias:
6
2 7
2 3 6
5
28
1 2 6
5
2
2 55
6
7
27
3 7
1.(3 2 )
2.(5 3)
3.(4 7 )
4.( )
5.( )2 3
6.( 2 )
17.(2 )
8.( 3 )
9.( 2)
2 310.( )
3 2
111.( )
3
12.(4 3 )
x y
x
x y
x y
a b
x y
xx
x y
x
x y
x
x
a b
12
15
1 1
122 2
2 5
11
632
2 8
10
29
)7 . min (2 )
)9 . min (2 )4
)8 . min ( )
)3 . min (2 )
)5 . min ( )
1)4 . min ( )
2
)6 . min (2 3)
)2 . min ( )2
)6º . min (2
a tér ode x y
xb tér ode
c tér ode x y
d tér ode a x
e tér ode ax by
f tér ode y
g tér ode x
xh tér ode y
i ter ode x
9
2 15
13
5 2 25
)
)29º. min ( )
)10º. min (2 )
)20º min ( )
xy
j ter ode x y xz
k ter ode x y
l ter ode a b
9
TEORIA DE CONJUNTOS Y ESPACIO MUESTRAL
I. Sea U = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10; H = 1,2,3,4;M = 3,4,5; K = 7,8,9; L =
5,6,7,8,9,10. Determinar:
H´ 16. (HM)K
L´ 17. (MK) L
HM 18. H(MK)
HK 19. (HM) L
KL 20. (HK) (MK)
HM
K-L
H´ M´
(HM)´
MK
(HM)´
(H-K)´
H´K´
H´
H´
II. Sean: U = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 ; A = 1,2,3,4 ; B = 0,2,4,6,8 ; C = 3,4,5,6 ;
D = 2, 3, 5, 7
Determinar:
1. A B 11. (B D)’ C’
2. A B 12. (A D) - C
3. C D 13. (A B)’ – (A D)’
4. C – D 14. (B – C)’ - A
5. A D 15. (A – C)’ B
6. C’ 16. (C – A) (U – B)
7. B’ 17. (C – B)’ (A – B)
8. (A B) – (A D) 18. (A’ B)’ C
9. (A’ – B’) C 19. (A B) C’
10. (A’-B’) – C’ 20. (A B)’ (A D)’
III. Sombrear cada una de las siguientes operaciones en un diagrama de Venn- Euler
a) A (B C) d) A B C
b) (A B) (A C) e) (A B)’
c) (A B) – C f) (A – B) C
ESPACIO MUESTRAL
1. Un experimento consiste en seleccionar tres automóviles y observar si pasan (V) o
no pasan (N) la verificación de contaminantes.
a) Enliste los elementos del espacio muestral
b) Enumérese los elementos en el que al menos uno pase la verificación
c) Enumérese los elementos en el que al todos o ninguno pase la verificación
2. De cinco personas denotadas con A, B, C, D, E se seleccionan dos, Determine:
10
a) El espacio muestral
b) En cuántos grupos estará A o D
c) En cuántos grupos no estará C
3. Un experimento consiste en lanzar simultáneamente dos monedas y un dado
a) Enliste los elementos del espacio muestral
b) Enumérese los elementos en los que hay exactamente un águila
c) Enumérese los elementos en los que se obtiene un número mayor o igual a 4
4. Las piezas fabricadas en un proceso de producción pueden ser aceptables (A) o
defectuosas (D). Se observan cuatro piezas
a) Enliste los elementos del espacio muestral
b) Enumérese los elementos que tienen exactamente una o dos piezas defectuosas
c) Enumérese los elementos en los que hay por lo menos una pieza defectuosa
d) Enliste los elementos del complemento del evento “ninguno aceptable”.
5. Supongamos que una persona tiene un billete de un dólar, otro de cinco y otro de
diez en su billetera. Describa el espacio muestral del experimento en que se sacan
dos billetes de la cartera, uno tras otro.
6. Una moneda se lanza al aire tres veces y se registra el número de águilas que cae,
¿cuáles serian los posibles resultados?
7. Un comerciante recibe un lote de 20 televisores, quiere seleccionar a cuatro de ellos
para verificar su funcionamiento, ¿de cuántos resultados consta el espacio muestral?
8. Se lanzan dos dados y se multiplica el numero de puntos que cae cara superior de
cada uno de ellos, describa el espacio muestral
9. Una “mano de póker” está formada por 5 cartas. ¿Cuántas manos distintas se
pueden tener con un mazo de 52 cartas?
10. En un concurso de televisión, el ganador puede elegir tres premios de cinco premios
diferentes A, B, C, D, y E. Describa el espacio muestral de los resultados posibles (
no importa el orden)
11. Sean los objetos a, b, c, d. Se seleccionan dos de ellos al azar, según dos
procedimientos: primero sin reposición y luego con reposición. Construya en ambos
casos el espacio muestral respectivo
12. En un encuentro entre dos luchadores A y B, será vencedor el que gane dos asaltos
seguidos o tres alternos. Escriba el espacio muestral de los posibles resultados
13. Una urna contiene 6 pelotitas numeradas del 1 al 6, se sacan dos con reposición, es
decir se saca una, se registra su número y se devuelve a la urna, a continuación se
saca una segunda pelotita y se registra su número. Si se registra la suma de ambas
pelotitas, describa el espacio muestral
14. Ramón, Luis y Arturo van a comer, deciden jugar una carrera al restaurante, el
primero en llegar no pagará la comida, el segunda pagará la mitad de su comida y el
último cubrirá el resto. Escriba el espacio muestral correspondiente
AXIOMAS BÁSICOS DE LA TEORIA DE PROBABILIDADES
1. Una moneda está arreglada de modo que la posibilidad de salir águila sea el doble
que la de sol. Determinar P (águila) ; P(sol).
2. Tres caballos A, B, C intervienen en una carrera; Atiene doble posibilidad de ganar
que B; y B el doble de ganar de C. Calcular las probabilidades siguientes:
a) P(A)
b) P(B)
c) P(B o C)
11
3. Nueve cartones se marcan del 1 al 9 respectivamente. Si estos cartones se mezclan y
se extrae uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que el número anotado en ese
cartón sea par?
4. Se lanzan dos dados legales, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea:
a) 7?
b) 11?
c) Un número divisible entre 3?
5. De una urna que contiene 6 bolas negras, 4 blancas y 5 azules, se extrae una al azar.
Determine la probabilidad de que sea:
a) Azul
b) No negra.
6. Se carga un dado de manera que los números pares tienen el doble de posibilidad de
salir que los impares. Hallar la probabilidad de que a) Aparezca un número par, b)
aparezca un número primo, c) aparezca un número impar, d) aparezca un número
primo impar.
7. Se selecciona una carta al azar entre 50 cartas numeradas del 1 al 50. Hallar la
probabilidad de que la carta sea:
a) Divisible por 5
b) Primo
c) Termine en 2
8. Se tira una moneda en tres ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos soles?
9. Una compañía de jabones, tiene tres presentaciones de su producto: en pastilla (A),
polvo (B) y líquido (C). Un investigador de mercado observa a 300 compradores y
registra la presentación del producto adquirido. Sus datos revelan que 90 personas
adquirieron el jabón en pastilla; 180 en polvo y 30 en líquido. ¿Cuál es la
probabilidad de que un comprador seleccionado al azar prefiera la presentación A,
la B, la C?
10. Una urna contiene 4 bolas rojas 5 blancas y 6 verdes. Si se selecciona una de ellas al
azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?, ¿blanco?, ¿verde?
11. Suponga un espacio muestral S que conste de los eventos S = a1, a2, a3. ¿Qué
función define un espacio de probabilidad en S?
a) P(a1)=1/4 ; P(a2)=1/3 ; P(a3)=1/2
b) P(a1)=2/3 ; P(a2)=-1/3 ; P(a3)=2/3
c) P(a1)=1/6 ; P(a2)=1/3 ; P(a3)=1/2
d) P(a1)=0 ; P(a2)=1/3 ; P(a3)=2/3
12. Sea P una función de probabilidad en S = a1, a2, a3
a) Encontrar P(a1) si P(a2)=1/3 y P(a3)=1/4
b) Encontrar P(a1) si P(a1)=2P(a2) y P(a3)=1/4
c) Encontrar P(a1) si P(a3)=2P(a2) y P(a2)=3P(a1)
APLICACIÓN DEL ANALISIS COMBINATORIO A LA PROBABILIDAD
1. Se sacan dos cartas de una baraja común de 52 cartas. Determine la probabilidad de que:
a) las dos sean de espadas
b) una sea de espadas y otra de corazones
2. Se escoge al azar tres lámparas de entre 15 de las cuales 5 son defectuosas. Determine la
probabilidad de que:
a) Ninguna sea defectuosa
b) Una por lo menos sea defectuosa
12
3. En un centro comercial de televisores se recibieron 12 aparatos nuevos, 8 de los cuales
son del modelo A y 4 del modelo B. Si se venden cuatro aparatos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro televisores sean dos del modelo A
y dos del modelo B?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los cuatro sean del mismo modelo?
4. De 10 concursantes de un evento femenino, 3 señoritas tienen los ojos azules. Si se
eligen dos señoritas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Las dos tengan ojos azules?
b) Ninguna tengan ojos azules?
c) Por lo menos una tenga ojos azules?
5. Se tiran tres dados. Determine la probabilidad de que la suma sea más de 15
6. Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda 5 veces resulten tres águilas y dos
soles
7. Una rejilla de 12 huevos contiene un huevo roto, ¿cuál es la probabilidad de que al
seleccionar tres huevos al azar:
a) se obtenga el huevo roto?
b) No se obtenga el huevo roto?
8. Una clase consta de 6 niñas y 10 niños. Si se escoge al azar un comité de tres, determine
la probabilidad de que:
a) seleccionar tres niños
b) seleccionar por lo menos un niño
c) seleccionar exactamente dos niñas
9. De un total de 800 familias con 4 hijos cada una, ¿qué porcentaje cabe esperar que
tenga:
a) dos niños y dos niñas
b) al menos un niño
c) ninguna niña
d) dos o menos niñas
10. Se seleccionan al azar dos cartas numeradas del 1 al 10. Encontrar la probabilidad
de que la suma sea impar si:
a) las cartas se sacan juntas (para que la suma sea impar se debe sacar un número
par y un impar)
b) Se sacan una tras otra sin reposición
c) Se sacan una otra con reposición
11. Una bolsa contiene seis canicas verdes, siete negras y ocho amarillas. Si al azar se
sacan nueve canicas de la bolsa, encuentre la probabilidad de que dos sean verdes, tres
negras y cuatro amarillas.
12. Una caja contiene cinco billetes de $ 10, siete de $5 y seis de $1. Si de la caja se
sacan dos billetes simultáneamente, encuentre la probabilidad de que la suma sea a) $2;
b) $15.
13. Un contratista desea emplear 2 personas de un conjunto de 11 solicitantes, 6
hombres y 5 mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que seleccionando al azar entre los
solicitantes se escoja por lo menos a un hombre?
PROBABILIDAD DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
1. El departamento de obras públicas de una localidad se esta preparando para el
invierno. Planea sus necesidades de sal y arena para dar mantenimiento a las
carreteras durante las nevadas y después de ellas. El análisis de los inviernos
13
pasados ha producido las siguientes estimaciones (ver la tabla) respecto a las
probabilidades del número previsto de grandes nevadas.
a) ¿Qué probabilidad hay de que caigan 3 o más nevadas en el año entrante?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de tres grandes nevadas?
Número de grandes nevadas (n) Probabilidad de ocurrencia. P(n)
0 0.10
1 0.25
2 0.30
3 0.20
Más de 3 0.15
2. Las probabilidades de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ó 7accidentes durante un fin de semana entre
la 1 a.m. y las 6 a.m. son respectivamente 0.08, 0.15, 0.20, 0.25, 0.18, 0.07, 0.04 y 0.01.
3. Calcule la probabilidad de que en cualquier fin de semana entre estas horas de la mañana
suceda lo siguiente:
a) menos de tres accidentes
b) 3 o menos accidentes
c) exactamente 3 accidentes
d) más de 7 accidentes
4. Una señora que visita una tienda de departamentos a veces usa sus tarjetas de crédito 1, 2
ó 3; otras veces paga con cheque y algunas veces en efectivo. Las probabilidades de
pagar con estas 5 alternativas son respectivamente 0.25, 0.29, 0.23, 0.19 y 0.04. ¿Cuál
es la probabilidad de que en la próxima visita a la tienda
a) No pague en efectivo?
b) No use ninguna de sus tarjetas de crédito?
c) Use su tarjeta #1 o pague con cheque o pague en efectivo?
d) No pague en efectivo ni con cheque?
5. Sergio recibe una herencia de $10000.00 y piensa emplear el dinero en una de las
siguientes probabilidades: 1) Educación; 2) Ropa y 3) Viaje. Las posibilidades de estas
opciones son respectivamente 0.5, 0.3 y 0.1
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haga una de estas cosas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que olvide estas tres posibilidades y gaste el dinero en
otra cosa?
6. Se lanzan dos dados legales, encuentre la probabilidad de que la suma sea un número
menor que 10
7. Suponga que las calificaciones de un curso de Matemáticas fueron 16 MB, 35 B, 63 S,40
NA y 26 NP. Determine las probabilidades de los eventos siguientes:
a) Una MB ó una B
b) Una MB ó una B ó una S
c) No una NP
8. Durante una semana determinada, se estima que la probabilidad de que el precio de una
acción especifica aumente (A), permanezca sin cambios (S) o se reduzca (R) es de 0.30,
0.20 y 0.50 respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la acción aumente o permanezca sin
cambios?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la acción cambie durante la semana?
14
9. Si se lanza un par de dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea:
a) 5 ó 6
b) 7 u 11
c) aparezca un número impar
10. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tres monedas, se obtengan tres águilas o tres
soles?
11. La probabilidad de que cierto contrato se otorgue a la compañía W es1/2, a la X es 1/4 y
a la Y es 1/20. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna obtenga el contrato?
12. Las probabilidades de que un estudiante obtenga una A, una B o una C en un curso de
Historia son 0.09, 0.15 y 0.53. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga:
a) Una calificación mayor que C?
b) Una calificación inferior a C?
c) No una C?
PROBABILIDAD DE EVENTOS NO MUTUAMENTE EXCLUYENTES
1. Un experimento consiste en seleccionar aleatoriamente una carta de un mazo de 52
naipes. Determine la probabilidad de que la carta seleccionada sea un rey ó una
espada
2. En una encuesta de consumidores aplicada a 500 personas, 200 indicaron que comprarían
un aparato electrodoméstico en el mes siguiente; 150 indicaron que comprarían un
automóvil y 25 dijeron que comprarían un aparato electrodoméstico y un automóvil.
Si se selecciona una persona al azar de este grupo, ¿Cuál es la probabilidad de que
no compre ni automóvil ni aparato electrodoméstico?
3. En un salón de clase hay 10 niños y 7 niñas. Cuatro de los niños y 2 de las niñas usan
anteojos. Di se elige a un alumno al azar, calcule la probabilidad de que
a) use anteojos
b) sea niña
c) use anteojos o sea niña
d) use anteojos y sea niña
4. Un grupo de 2000 personas fue entrevistado respecto a las políticas que podrían
implantarse para conservar el petróleo. De ellas 1000 dijeron que estarían dispuestas
a aceptar el racionamiento de la gasolina, 500 dijeron que un impuesto adicional de
$0.25 por galón sería aceptable para ellas y 275 indicaron que estarían dispuestas a
aceptar tanto el racionamiento como el impuesto adicional. Si se escoge una persona
aleatoriamente en ese grupo, ¿Qué probabilidad habrá de que considere aceptable
una o ambas alternativas?
5. Una encuesta hecha a 1500 consumidores se llevó a cabo para averiguar su conducta de
compra en relación con dos refrescos de mucha venta. Se descubrió que, el mes
pasado, 600 personas habían comprado la marca A, 900 habían comprado la marca
B y 150 habían adquirido ambas marcas. Si en este grupo se selecciona
aleatoriamente a un consumidor, ¿qué probabilidad hay de que prefiera la marca A,
la marca B ó ambas?
6. Un estudiante está tomando dos cursos, Historia y Matemáticas. La probabilidad de que
sea aprobado en el curso de Historia es 0.60, y la de que pase el curso de
Matemáticas es 0.70. La probabilidad de que apruebe ambas es 0.50. ¿Cuál es la
probabilidad de que pase por lo menos una?
15
7. En cierta comunidad, la probabilidad de que una familia tenga televisor es de 0.80; una
máquina lavadora es de 0.50 y de que tenga ambos es de 0.45.¿Cuál es la
probabilidad de que una familia tenga televisor o máquina lavadora?
8. Los nuevos juegos de TV vídeo que pueden ser adaptados al aparato televisor tienen
sonido e imagen. S e ha estimado que la probabilidad de que el sonido sea
defectuoso es de 0.03, que la probabilidad de que el sonido o el vídeo sea
defectuoso es de 0.04, y la probabilidad de que ambos salgan defectuosos es de
0.01. ¿Cuál es la probabilidad de que el vídeo salga defectuoso?
9. Se escribe cada número del 0 al 9, inclusive, en un trozo de papel y se ponen todos en
una caja. Se saca al azar de la caja uno de ellos, ¿qué probabilidad hay de que el
papel tenga:
a) Un número impar o primo?
b) Un número par o compuesto?
10. Se lleva a cabo una encuesta para conocer los hábitos de lectura. Las preguntas hechas y
sus respuestas son las siguientes:
PREGUNTA PORCENTAJE DE AFIRMATIVAS
¿Lee ud. El periódico “La Jornada”? 45%
¿Lee ud. El periódico “Uno más Uno”? 36%
¿Lee ud. El periódico “Excelsior”? 25%
Continuando con el análisis de los resultados se observó lo siguiente:
9% leen la “Jornada” y el “Uno más Uno”
5% leen la “Jornada” y el “Excelsior”
6% leen el “Uno más Uno” y el “Excelsior”
En base a estos resultados, ¿qué probabilidad hay de que una persona elegida al azar
lea:
a) La “Jornada “ o el “Uno más Uno”
b) El “Excelsior” o el “Uno más Uno”
c) El “Excelsior” o la “Jornada”
11. De 60 alumnos, 30 estudian alemán, 25 aprenden ruso y 10 estudian alemán y ruso. Si
se escoge al azar un alumno, determine la probabilidad de que esté estudiando
a) alemán o ruso
b) ni alemán ni ruso
12. Se propone un mismo problema a dos alumnos incomunicados. La probabilidad de
que lo resuelva el primero es 1/2 la probabilidad de que lo resuelva el segundo es 1/4 y la
probabilidad de que lo resuelvan ambos es 1/8. Calcule la probabilidad de que el problema
no sea resuelto y la probabilidad de que lo resuelva un solo alumno
13. Dolores y Mercedes estudian medicina, la probabilidad de que Dolores termine la
carrera es de 0.85; la de Mercedes es de 0.60. La probabilidad de que Dolores o Mercedes
la terminen es de 0.90. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) Dolores y Mercedes terminen la carrera
b) Sólo una de las dos la termine
14. Sean los eventos A y B con P(A B) = 7/8; P(A B) = 1/4; P (A’) =5/8. Determinar:
a) P(A); b) P(B); c) P(A B’)
15. Sean los eventos A y B con P(A) = 1/2; P(A B)= 3/4; P (B’)= 5/8. Determinar:
a) P (A B); b) P(A’ B’); c) P(A’ B’)
16. Sean los eventos A y B con P(A)= 3/8; P(B)= 1/2; P(A B)= 1/4 Determinar:
16
a) P(A B); b) P(A’) ; c) P(B’); d) P(A’ B’); e) P(A’ B’); f) P(A B’); g) P(B A’)
17.Sean los eventos P(A)= 1/3; P(B)=1/3 Y P(A B)= 7/15Determinar:
a)P(A B); b) P(A’) ; c) P(B’); d) P(A’ B’); e) P(A’ B’); f) P(A B’); g) P(B A’)
PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES
1. La probabilidad de que una máquina produzca una unidad defectuosa es 0.05 si se
supone que el proceso de producción se caracteriza por la independencia estadística
y denotamos con D la aparición de una unidad defectuosa. Determine la
probabilidad de que sean defectuosas tres piezas consecutivas.
2. Una Universidad ha comenzado a servirse de telefonemas como el medio principal
de recabar fondos entre los alumnos. El vicepresidente de desarrollo estima que la
probabilidad de que un alumno, contactado por teléfono, haga una aportación es de
0.24. En dos contactos sucesivos, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) El primero haga una aportación y el segundo no?
b) Ambos hagan una aportación?
c) El primero no aporte y el segundo si?
d) Ninguno de los dos haga un donativo?
3. Dos cartas con requerimiento de pago son enviadas a dos clientes con cuentas
sobregiradas. De acuerdo a la experiencia, la probabilidad de que una carta de ese
tipo sea contestada con pago es de 0.30.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean contestadas con pago?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una sea contestada con pago?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna de ellas sea contestada con pago?
4. Una tabla de mortalidad muestra que las probabilidades de que A y B vivan 25 años
más son 0.9 y 0.8 respectivamente. Calcular la probabilidad de que al final de 25
años: a) ambos vivan
a) ambos hayan muerto
b) uno de los dos haya muerto
5. A, B y C compiten en tres carreras separadas, y las probabilidades de que cada uno
gane su carrera son 1/2, 1/3, 1/4 respectivamente. Calcule la probabilidad de que:
a) Ninguno gane su carrera
b) Solamente uno gane su carrera
c) Solamente dos ganen sus carreras
d) Los tres ganen sus carreras
6. La probabilidad de que una máquina produzca una pieza defectuosa es de 0.12. Si el
proceso se caracteriza por la independencia estadística, ¿qué probabilidad habrá de
que:
a) dos piezas consecutivas no sean defectuosas?
b) Las tres primeras no sean defectuosas y la cuarta lo sea?
c) De cinco piezas consecutivas tres sean defectuosas?
7. Cierto equipo de fútbol tiene una probabilidad de 0.75 de ganar a cualquiera de
cinco equipos de su división. Si los jugos son independientes, ¿cuál es la
probabilidad de que el equipo:
a) Gane todos los partidos de su división?
b) Pierda todos los partidos de su división?
c) Gane tres partidos y pierda dos?
d) Gane cuatro partidos y pierda uno?
17
8. Unas fichas numeradas del 1 al 10 se colocan en un sombrero, se extrae una ficha y
se repone; se sacude el sombrero y entonces se extrae una segunda ficha. Encuentre
la probabilidad de que:
a) ambas sean el número 2
b) ambas tengan números menores que 6
c) ambas tengan el mismo número
9. Si el 10% de los remaches producidos por una maquina son defectuosos, ¿Cuál es la
probabilidad de que entre 5 elegidos al azar:
a) ninguno sea defectuoso
b) uno sea defectuoso
c) por lo menos dos sean defectuosos
10. Una florería garantiza que el 90% de las semillas que contienen sus paquetes
germinarán. Si cada paquete contiene 5 semillas:
a) encuentre la probabilidad de que ninguna germine
b) calcule la probabilidad de que todas germinen
13. Una compañía de exploración petrolera perfora un pozo si considera que existe por
lo menos un 25% de posibilidad de encontrar petróleo. Si perfora 4 pozos, a los que
se les asignan las probabilidades 0.3, 0.4, 0.7, y 0.8
a) Encontrar la probabilidad de que de ninguno de los pozos se obtenga petróleo
b) Calcular la probabilidad de que los 4 pozos produzcan petróleo
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo dos pozos produzcan petróleo?
14. La probabilidad de que un alumno inscrito en primer semestre termine la carrera es
0.4. Calcule la probabilidad de que de cuatro amigos que están en primer semestre:
a) al menos uno termine la carrera
b) a lo más dos terminen la carrera
c) sólo uno termine la carrera
d) todos terminen la carrera
PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES
1. Una bolsa contiene 10 transistores, 3 de los cuales están defectuosos. Se extraen 2
transistores al azar sin reemplazo
a) Determine la probabilidad de que ninguno de los dos transistores este
defectuoso
b) Se extraen tres transistores sin reemplazo, hallar la probabilidad de que uno
este defectuoso
2. Se sacan dos cartas sin restitución de una baraja española de 40 cartas. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) La primera carta sea reina y la segunda rey?
b) Se obtenga una reina y un rey?
c) Ninguna de las dos cartas sea reina?
d) Ninguna de las dos cartas sea reina ni rey?
3. Un paquete de 48 focos incluye cuatro que están fundidos. Si se toman tres focos al
azar, sin reposición de este paquete, ¿Cuál es la probabilidad de que :
a) Ninguno esté fundido
b) Exactamente uno de los tres esté fundido
c) Dos estén fundidos
d) Los tres resulten fundidos
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4. Un fabricante recibe un lote de 20 varillas de acero, no sabe que cinco de ellas son
defectuosas, selecciona dos varillas al azar sin reposición y las examina. ¿Cuál es la
probabilidad de que una sea defectuosa?
5. A una clase asisten 10 muchachos y cinco muchachas. Se selecciona al azar tres
estudiantes uno tras otro. Encuentre la probabilidad de que:
a) Los tres sean del mismo sexo
b) Dos sean del mismo sexo y el otro de sexo opuesto
6. Una bolsa contiene 9 canicas rojas, 8 blancas y tres azules. Si se sacan al azar 3
canicas sin reposición, calcule la probabilidad de que dos sean rojas y una blanca
7. Se sacan tres cartas, sin reposición, de una baraja de 40 cartas. Determine la
probabilidad de que:
a) dos sean sotas y una un rey
b) todas sean del mismo palo
c) todas sean de palos diferentes
8. Un paquete que contiene una mezcla de semillas de flores de distintos colores contiene
cuatro semillas para flores rojas, tres para amarillas, dos para moradas y una para color
naranja
a) Si se seleccionan dos semillas del paquete, sin reposición, ¿cuál es la
probabilidad de que ambas sean amarillas?
b) Si se sacan tres semillas del paquete, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de
que una sea color naranja y dos sean amarillas?
9. Un almacén ha recibido 100 aparatos de televisión del proveedor, de los cuales les es
desconocido que 10 están defectuosos. Si se seleccionan al azar 3 aparatos, de uno en uno,
para ser sometidos a una revisión muy minuciosa, ¿cuál es la probabilidad de que por lo
menos uno esté defectuoso?
10. En una bolsa hay ocho bolas rojas, seis amarillas y seis azules. Se escogen, sin
reposición, dos bolas al azar de la bolsa:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola sea roja y la segunda amarilla?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean azules?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna sea roja?
11. Encuentre la probabilidad de que al elegir al azar tres cartas, sin reposición, de una
baraja española de 40, éstas sean un as, un rey y un caballo
PROBABILIDAD CONDICIONAL
1. En un lote de automóviles hay 24 Ford, 13 Chevrolet y 13 Volkswagen. De los Ford, 6
son blancos y el resto rojos. De los Chevrolet, 2 son blancos, 5 azules y el resto rojos. 6 de
losVolkswagen son blancos y el resto azules. Elegimos un automóvil al azar
d) Si es Ford, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul?
e) Si es azul, ¿cuál es la probabilidad de que sea Ford?
f) Si no es Volkswagen, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanco?
g) Si no es rojo, ¿cuál es la probabilidad de que sea Chevrolet?
2. En un salón de clase hay 20 niños y 15 niñas. Cuatro de los niños y 3 de las niñas
tienen ojos azules. Si se elige un alumno al azar
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga ojos azules?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que tenga ojos azules, sabiendo que es niño?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga ojos azules, sabiendo que es niña?
3. En el turno matutino de una escuela secundaria hay cinco grupos de primer año,
cuatro de segundo y tres de tercero; y en el turno vespertino hay cuatro grupos de
primer año, tres de segundo y dos de tercero. Se seleccionará al azar a un grupo para
que represente a la escuela en un torneo deportivo:
a) Si el grupo seleccionado es del turno vespertino, ¿cuál es la probabilidad de
que sea de tercer año?
b) Si el seleccionado fue un grupo de segundo año, ¿cuál es la probabilidad de
que sea del turno vespertino?
4. Se tiran dos dados y se observa los números que aparecen en sus caras superiores, si
A es el evento “la suma es igual o mayor que 10” y B es el evento “aparece un 6 al
menos en uno de los dados”. Determinar P(A/B).
5. En dos urnas hay 6 bolas: en la urna 1, tres blancas y tres negras, y en la urna 2 una
blanca y cinco negras, se selecciona una bola al azar de una de las urnas:
a) si la bola seleccionada es negra, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
extraída de la urna 1?
b) Si la bola seleccionada es blanca, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido
extraída de la urna 2?
6. Se estima que la probabilidad de que aumentes las ventas de automóviles en el
siguiente mes (A) es de 0.40, de que aumenten las ventas de refacciones (R) es de
0.50 y de ambas industrias experimenten un aumento en ventas es de 0.10. ¿Cuál es
la probabilidad de que:
a) hayan aumentado las ventas de automóviles, dado que aumentaron las ventas
de refacciones
b) hayan aumentado las ventas de refacciones, dado que aumentaron las ventas
de automóviles
7. De los artículos producidos diariamente por cierta fábrica, el 40%, provienen de la
línea I y 60% de la línea II. El porcentaje de defectuosos de la línea I es 8% ,
mientras que el porcentaje de defectuosos de la línea II es 10%. Se selecciona un
artículo al azar de la producción diaria, calcule la probabilidad de que no sea
defectuoso.
8. Un bolso contiene 2 monedas de plata y 4 de cobre, y otro contiene 4 de plata y 3 de
cobre. Si se escoge al azar de uno de los bolsos una moneda, ¿cuál es la
probabilidad de que sea de plata?
9. En un salón de clase la tercera parte son niñas y el resto niños. A la mitad de los
niños les gusta el fútbol y únicamente a la quinta parte de las niñas les gusta el
fútbol. Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el
fútbol?
10. Un acompaña lechera tiene dos lavadoras de botellas. La A procesa un 20% de
todas las botellas utilizadas y rompe un 4% de las que lava. La B procesa las
restantes y rompe un 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que una botella lavada que
seleccionamos al azar esté rota?
11. Un armador de ventiladores eléctricos usa motores de dos proveedores. La
compañía A le suministra el 90% y la compañía B el otro 10% de los motores. El
5% de los motores que suministra la compañía A son defectuosos y que el 3% de
20
los que suministra la compañía B también lo son. ¿Cuál es la probabilidad de al
seleccionar al azar un motor para armar un ventilador esté sea defectuoso?
12. La caja 1 contiene 4 focos defectuosos y 16 focos en buen estado. La caja 2
contiene un foco defectuoso y uno en buen estado. Se tira un dado no cargado una
sola vez. S i sale un 1 o un 2, entonces se saca al azar un foco de la caja 1; de lo
contrario, se selecciona un foco de la caja 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el foco
seleccionado está defectuoso?
13. “La Unica”, tienda de abarrotes del pueblo vende maíz, que le surten dos
proveedores diferentes, el primer proveedor A surte a la tienda ¾ partes de sus
necesidades mensuales; el segundo proveedor B surte a la tienda ¼ parte de sus
necesidades. Suponga que el 95% del maíz que surte A viene limpio, sin humedad y
sin granos partidos, el 80% del maíz de B viene en esas condiciones. Suponga que
el dueño de la tienda mezcla el maíz de sus dos proveedores en unos silos,
determine la probabilidad de que el maíz que saque de esa mezcla éste en buenas
condiciones, es decir limpio, sin humedad y entero.
TEOREMA DE BAYES 1. Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 60%, 30% y 10% del número
total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de
estas máquinas son respectivamente 2%, 3% y 4%. Seleccionado un artículo al azar
resultó defectuoso. Determine la probabilidad de que el artículo hubiera sido
producido por la máquina:
a) C, b) B
2. En una enlatadora, las líneas de ensamblaje I, II y III representan, respectivamente,
el 37%, 42% y 21% de la producción total. Si el 0.6% de las latas de ensamblaje I
son selladas en forma inadecuada, mientras que los porcentajes correspondientes de
las líneas de ensamblaje II y III son 0.4% y 1.2%, ¿Cuál es la probabilidad de que
una lata sellada en forma inadecuada provenga de la línea de ensamblaje III?.
3. En una fábrica se emplean dos máquinas M1 y M2 para manufactura de tornillos. La
máquina M1 produce 100 tornillos por hora, de los cuales el 20% son defectuosos, y
la máquina M2 produce 150 tornillos por hora, de los cuales el 30% son defectuosos.
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer un tornillo defectuoso, éste proviniera de
la máquina M1?
4. En cierta población el 40% de los votantes son republicanos y 60% demócratas. Se
informa que 30% de los republicanos y 70% de los demócratas están a favor de
cierta elección. Se escoge una persona al azar de esta población y se declara a favor
de dicha elección, encuentre la probabilidad d que sea demócrata.
5. Existen dos métodos A y B para enseñar a los trabajadores cierta habilidad
industrial. El porcentaje de fracasos es 20% para A y 10% para B. Sin embargo, B
cuesta más y por eso se utiliza solamente en el 30% de los casos. Se entrenó a un
trabajador según uno de los métodos pero no logro aprender correctamente. ¿Cuál es
la probabilidad de que haya recibido el entrenamiento con el método A?
6. En un invernadero se tienen plantas de cuatro variedades distintas V1, V2, V3 y V4
en las proporciones 50%, 20%, 20% y 10% respectivamente. Sabemos que una
cierta enfermedad ataca al 5% de las plantas de la variedad V1, al 10% de las de V2,
al 7.5% de las de V3 y AL 30% de las de V4. Si una cierta planta está afectada por la
enfermedad, ¿Cuál es la es la probabilidad de que sea:
a) de la variedad V1?
21
b) de la variedad V3?.
7. En una secundaria el 40% del alumnado va en primero, el 35% en segundo y el resto
en tercero. En primero la mitad del alumnado son mujeres, en segundo, la tercera
parte son mujeres y en tercero, 4/5 partes son mujeres. Si se elige al azar un alumno
y es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que vaya en tercer año?
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
INTRODUCCIÓN
Los orígenes de la estadística datan de los tiempos más remotos de la civilización.
En todas partes del mundo en que llego a constituirse alguna fuerza humana colectiva, que
necesitara consolidarse económicamente y ejercitarse en las inevitables guerras con otras
comunidades, fue necesario recurrir al número y hacer recuentos. El número de
combatientes y los recursos de las personas fueron objeto de investigaciones cuantitativas
que revistieron al principio formas enteramente rudimentarias, pero que cumplieron un
objetivo de gran importancia para su época.
Ya los Chinos, Persas, Judíos, Egipcios, Hacían recuentos de sus poblaciones. Los
romanos, además de los recuentos de población, practicaban el registro de nacimientos y
defunciones; obtenían datos sobre la producción agrícola, sobre los efectivos militares y
sobre los bienes de los contribuyentes para el cobro de impuestos.
Concluyendo, pues, podemos señalar que los orígenes de la estadística están
estrechamente ligados con la administración pública y que a medida que se va definiendo y
consolidando el Estado, la necesidad de la estadística se acentúa más y más, como algo
orgánico y consustancial a éste, por lo que es precisamente de él que se deriva el nombre de
esta disciplina
IMPORTANCIA
La estadística se emplea actualmente como un valioso auxiliar en los más diversos
campos del conocimiento y en las más variadas actividades de las ciencias básicas y
aplicadas; difícilmente podría encontrarse un campo de la actividad cognoscitiva en el que
la estadística no tenga aplicación. Esto es que, la estadística es un procedimiento general
que se adapta al proceso de investigación de una ciencia, pero que depende de las
características teóricas y metodológicas de dicha ciencia la aplicación del procedimiento
estadístico más adecuado.
Actualmente es una materia básica en los planes de estudio de las carreras de:
Sociología, Economía, Administración, Pedagogía, Psicología, Contaduría, Biología,
Medicina, Agronomía, Física, Astronomía, Actuaría, Antropología, Ingeniería Civil,
Matemáticas y otras.
DEFINICIÓN
La Estadística es el conjunto de procedimientos matemáticos que permiten recolectar,
clasificar, ordenar, procesar y sintetizar la información que se obtiene durante una
investigación; además a partir del análisis de dicha información, se puede inferir la
tendencia o comportamiento del fenómeno en estudio y construir modelos que se ajusten a
su dinámica.
DIVISIÓN DE LA ESTADÍSTICA
El proceso de desarrollo histórico de la Estadística ha generado la división de la
misma en dos ramas, la Estadística Descriptiva y la Estadística Inferencial.
La Estadística Descriptiva proporciona las reglas para la recolección, ordenación y
presentación de datos en gráficas y cuadros, así como el cálculo de resúmenes numéricos
tales como frecuencias, promedios, varianzas, porcentajes etc.
22
La Estadística Inferencial proporciona una metodología para llegar a conclusiones o tomar
decisiones respecto a una población, en base al análisis de la información generada por un
conjunto de muestras de la misma.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Durante el presente curso se pretende cubrir los aspectos más elementales de la
estadística descriptiva, para lo cual primeramente definiremos una serie de conceptos que
se estarán empleando con regularidad y posteriormente nos abocaremos al estudio de los
métodos estadísticos.
Conceptos básicos:
Variable: Característica que puede tomar diferentes valores, así peso, edad, CI,
ingresos, producción, número de habitantes etc. Son variables dado que pueden tomar
distintos valores cuando se observan diferentes individuos, poblaciones o entidades.
Datos: Al realizar un experimento para conseguir información acerca de una
población determinada, se obtiene un grupo de resultados: a cada resultado se le denomina
dato u observación. Los datos, materia prima de la estadística se obtienen a partir de un
Censo, una Encuesta o un Experimento.
Censo: Un Censo constituye una indagación completa sobre las características que
interesa investigar en todos los elementos que componen una población determinada.
Ejemplo: Censo Nacional de Población, Censo Agrícola-Ganadero, Censo Industrial etc.
Población: Total de individuos, objetos o medidas que poseen alguna característica
común observable. Ejemplos: Todos los ciudadanos de un país, la producción total de cierto
artículo en una fabrica durante un tiempo determinado, los animales de una misma raza, los
estudiantes de una Universidad etc.
Muestra: Una muestra es un subconjunto de una población o universo en donde a
través de una investigación de ésta se trata de inferir el comportamiento general de la
población. Ejemplos: Encuestas sobre ingresos y gastos familiares, Encuestas sobre las
preferencias de ciertos productos o programas de televisión etc.
Parámetro: Cualquier característica observable o medible de una población (ingreso,
peso, edad, C.I.).
Estadístico: Cualquier característica observable o medible de una muestra (ingreso,
peso, edad, C.I.).
MÉTODOS ESTADÍSTICOS
Los métodos estadísticos constituyen el proceso o las etapas que se siguen durante
una investigación, abarcando desde la recolección de datos y su procesamiento (Estadística
Descriptiva) hasta la obtención de conclusiones (Estadística Inferencial) respecto a la
población en estudio. Este proceso lo podríamos resumir de la siguiente forma:
PROCESO DE UNA INVESTIGACIÓN ESTADÍSTICA
I. EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Tiene por objeto determinar la
naturaleza y magnitud de éste y las posibilidades y objetivos de su resolución.
23
Consiste en señalar:
a) El campo en que se desarrolla el fenómeno que interesa
b) Las limitaciones de espacio y de tiempo a que debe sujetarse la investigación
c) La definición precisa de los conceptos y variables que se van a manejar
d) Los objetivos y las metas que se persiguen con la investigación
II. LA PLANEACIÓN DEL TRABAJO. Consiste en señalar:
a) Las diversas fases de la investigación
b) La fuente de los datos básicos
c) La metodología que se empleará en cada fase
d) Los plazos en que se realizará cada fase
e) Los recursos con que se contará para realizar la investigación (personal,
materiales, equipo, dinero etc)
III. LA RECOLECCIÓN DE LOS DATOS. Consiste en captar la información
numérica deseada y puede realizarse en forma:
a) Completa o parcial
b) Directa o indirecta
c) Permanente, periódica u ocasional
Cada forma de recopilación se realizará mediante una técnica especial según se
indica en la siguiente lista:
FORMA DE RECOPILACIÓN TECNICA
Completa Censo
Parcial Muestreo
Directa Diseño de experimentos
Indirecta Encuesta
Permanente o Periódica Control estadística
IV. CRITICA DE LOS DATOS. Tiene por objeto depurar la información obtenida y
comprende dos etapas:
a) La crítica de fondo, que consiste en localizar y corregir errores sistemáticos
b) La crítica de forma, que consiste en localizar y corregir errores accidentales
V. LA ELABORACION DE LOS DATOS. Consiste en una serie de manejos a que
debe sujetarse los datos para poder extraer de ellos la información deseada. El
manejo consiste en:
a) La simplificación
b) La ordenación
c) La agrupación
d) La concentración
e) La presentación
VI. LA DETERMINACIÓN Y ANALISIS DE LOS ESTADÍGRAFOS
MUÉSTRALES
VII. LA INFERENCIA ESTADÍSTICA. Tiene por objeto generalizar en términos
probabilisticos la valides de los estadísticos muestrales para toda la población
24
VIII. LA EVALUACIÓN DE LAS SOLUCIONES. Tiene por objeto determinar la
probabilidad de éxito de las diversas decisiones que pueden adoptarse para resolver
un problema.
Dado que la parte de los métodos estadísticos que nos interesan en el presente trabajo son
los concernientes a la recolección y resumen de datos, procederemos a la descripción de
éstos.
METODOS TABULARES O GRÁFICOS PARA LA ORGANIZACIÓN Y
PRESENTACIÓN DE DATOS.
DATOS NO AGRUPADOS O SERIE SIMPLE
Cuando en una investigación el número de datos que se obtienen es reducido, su
ordenación y análisis es muy sencillo, al proceso estadístico que se sigue con ellos
se le llama tratamiento para datos no agrupados o serie simple.
La información que generalmente se pretende rescatar de cualquier conjunto
de datos son:
a) Las Medidas de tendencia central
b) Las Medidas de dispersión
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS NO AGRUPADOS
Las Medidas de tendencia central describen el comportamiento típico o promedio de
la población; por ejemplo puede temer interés en conocer el ingreso familiar
promedio de la ciudad A, la duración promedio de una cierta marca de neumáticos o
la resistencia media a la fricción de una cierta fibra. La Media Aritmética, la
Mediana y la Moda son tres parámetros que se utilizan para representar el
comportamiento promedio de una cierta población (otras medidas de tendencia
central son la media geométrica, la media armónica y la media ponderada.
Cada una de ellas se calcula de una manera diferente y esto hace que para un
problema dado una de ellas de una mejor representación del promedio que las otras.
La Media aritmética, denotada por X, es simplemente el promedio ordinario
y se obtiene dividiendo la suma de los valores entre el número de datos:
Xi = Valor de cada dato
N = Número de datos
La media aritmética se utiliza con mucha mayor frecuencia que la mediana o la
moda para describir el comportamiento típico de una población. Ésta es la más adecuada
para describir valores tales como:
1
n
i
i
x
Xn
25
Vida útil promedio de artículos eléctricos, rendimiento promedio por hectárea de un cultivo
determinado o contenido promedio de nicotina en una cierta marca de cigarrillos etc.
La Mediana divide los datos de la población en dos partes iguales o
aproximadamente iguales. La mitad es menor o igual que la Mediana en tanto que la otra
mitad es mayor o igual que la Mediana. Así si el ingreso familiar mediano en la Cuidad A
es de $2500.00, entonces el 50% de todas las familias de A tienen un ingreso de $2500.00 o
menos y el otro 50% tiene un ingreso de $2500.00 o más.
A diferencia de la Media Aritmética, la Mediana no se ve afectada por la
existencia de valores extremadamente altos o bajos en la población. Así en poblaciones con
datos que toman valores extremos, la Mediana es la medida de tendencia central que mejor
describe el comportamiento general de la población.
Para calcular la Mediana, los datos de la investigación deben ser ordenados
en forma creciente o decreciente. La mediana es el valor central si n (número de datos) es
impar y la media aritmética de los datos centrales si n es par
La Moda se define como el dato que aparece con mayor frecuencia absoluta en la
población. Puede ocurrir que un conjunto de datos tenga dos o más valores que se repitan
con la misma frecuencia y en tal caso tendríamos dos o más modas; o también puede
ocurrir que no exista ningún valor que se repita y entonces no habría Moda.
Media Geométrica: La media geométrica de n observaciones o datos es la raíz n-ésima del
producto de las n observaciones:
La media geométrica se usa principalmente para promediar razones, tasas de crecimiento e
índices económicos.
Media Armónica: La media armónica de n observaciones es el cociente entre el número de
datos y la sumatoria de los recíprocos de los datos. La media armónica se aplica
básicamente en cálculos referentes a velocidad de un vehículo; en las cuestiones relativas al
poder adquisitivo, conociendo los precios de los productos; en el estudio de los números
índices etc.
Media Ponderada: Si se tienen n observaciones x1, x2 ...xn con pesos respectivos w1, w2,
w3...wu la media ponderada de las n observaciones se define como:
1 2 3G= x ...nnx x x
1
1n
i i
nH
x
1
1
1
n
i
iW n
i
i
W X
X
W
26
Serie simple
I. Media aritmética
Determine la media aritmética, la mediana y la moda en cada uno de los siguientes
conjuntos de datos:
a) 7, 3, 4, 1, 1, 2, 1, 3, 4, 11, 10, 4
b) 5, 4, 1, 3, 3, 4, 7, 4, 6, 5
c) 7, 21, 2, 17, 3, 13, 7, 4, 9, 7, 9
d) 3, 3, 5, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 12
e) 12, 1, 10, 1, 9, 3, 4, 9, 7, 9
f) 10, 2, 9, 3, 7, 4, 8, 3, 4, 7, 4, 6, 6, 6, 5
g) 5, 3, 2, 4, 7, 6, 2, 1, 9, 6, 7, 5, 4
II. Media geométrica
Determine la media geométrica de los siguientes conjuntos de datos
a) 3,5,8,3,7,2
b) 1,2,3,2,1,4
c) 3,5,6,6,7,10,12
d) 28.5,73.6,47.2,31.5,64.8
e) 2,4,8,16,32
f) 6.15, 32.9, 23.8 y 67.5
g) 16.8, 23.4, 30.9, 44.5 y 62.5
III. Media armónica
Determine la media armónica de los siguientes conjuntos de datos:
a) 3,5,6,5
b) 3,5,6,6,7,10,12
c) 3,5,8,3,7,2
1. Calcular la media armónica de la velocidad alcanzada en un circuito de carreras
por tres automóviles cuya velocidad respectiva es: V1= 150km/h; V2= 175km/h;
V3= 165km/h.
2. Durante cuatro años sucesivos una persona compró gas para su caldera a los
precios respectivos de 1.75, 2.20, 2.85 y 3.20 pesos por kilogramo. ¿Cuál fue el
costo promedio del gas para el periodo de los cuatro años?
3. Un hombre viaja de A a B a una velocidad media de 30 millas por hora y
vuelve de B a A por la misma ruta con una velocidad media de 60 millas por
hora. Determine la velocidad media para el viaje completo
4. Las ciudades A, B y C son equidistantes entre sí. Un motociclista viaja de A a B
a 30 millas por hora de B a C a 40millas/h y de C a A a 50millas/h. Determine
la velocidad promedio para el viaje completo
IV. Media ponderada
1. Los jornales diarios de los trabajadores de un taller son los siguientes:
Salario ($) Número de trabajadores
43 2
55 2
76 5
85 5
92 3
27
108
Calcular el salario medio de este conjunto de obreros
2. La siguiente tabla muestra las puntuaciones obtenidas en un examen por 38
alumnos. Calcular la media ponderada:
Puntuaciones 9.5 9 8.5 7.5 7 6.5 5 4 3 0
No. de
Alumnos
2 3 3 5 4 8 7 3 2 1
3. Durante un fin de semana, la venta de carne de un supermercado registró las
siguientes cantidades:
Tipo de carne Precio (pesos por kilo) Cantidad (kilogramos)
Carne vacuna 43 200
Carne porcina 35 90
Pollo 28 120
Pavo 42 70
Pescado 40 50
¿Cuál fue el precio promedio por kilogramo de carne vendida en ese supermercado?
MEDIDAS DE DISPERSIÓN PARA DATOS NO AGRUPADOS
Mientras que parámetros o estadísticos como la media, la mediana y la moda describen el
comportamiento típico o general del conjunto de datos, otra serie de parámetros o
estadísticos, llamados Medidas de Dispersión, tales como el Rango, la Desviación Media, la
Desviación estándar y la Varianza, miden el grado de dispersión, variabilidad o
diferenciación que existe entre los datos de la investigación.
Rango o Recorrido: Es la diferencia entre el dato mayor o valor máximo y el dato menor o
valor mínimo:
R = Dato mayor – Dato menor
Desviación Media. Es la media de los valores absolutos de las diferencias entre cada uno de
los datos y la media aritmética:
Desviación Estándar: La desviación estándar, designada por (sigma minúscula), es la más
importante de las medidas de dispersión. En un sentido amplio, mide la desviación
promedio de cada dato respecto de la media aritmética. Esto es que:
Desviación estándar poblacional
1
n
i
i
X X
DMn
2
1
( )n
i
i
X X
n
28
Desviación estándar muestral
Al cuadrado de la Desviación estándar se le llama Varianza y se designa con 2.
Determine las medidas de tendencia central y las de dispersión de cada una de las
siguientes series de datos:
1.
xi fi
0 10
1 11
2 8
3 15
4 25
5 20
6 11
2.
xi fi
0 3
1 6
2 4
3 7
4 5
5 8
6 5
7 2
3.
xi fi
0 4
1 19
2 25
3 29
4 23
4.
xi fi
2 2
3 7
4 24
5 31
6 18
7 11
8 7
2
1
( )
1
n
i
i
X X
n
29
5.
xi fi
1 6
2 11
3 6
4 7
5 9
6 11
SERIE DE CLASES Y FRECUENCIAS Para cada uno de los siguientes grupos de datos, construya una serie de clases y frecuencias
y determine las medidas de tendencia central, las de dispersión, trace el Histograma , el
Polígono de frecuencias y la grafica de pastel
1. Los siguientes datos representan las calificaciones obtenidas por un grupo de
estudiantes en el examen final de la cátedra de Experimentación Agrícola en la
Universidad Autónoma de Chapingo.
31 52 58 60 66 67 69 70 75 83
88 89 91 93 96 57 61 74 76 61
57 64 68 74 64 77 87 62 85 80
68 76 80 82 71 85 62 72 72 82
71 87 73 72 79 84 81 79 81 73
77 62 73 84 81 79 72 79 81 84
2. Las vidas útiles en horas de sesenta bombillas eléctricas de 100 watts son:
807 811 620 650 817 732 747 823 844 907
660 753 1050 918 857 867 675 880 878 890
881 872 869 841 847 833 829 827 822 811
766 787 923 792 803 933 947 717 817 753
832 1076 958 970 776 828 831 781 1088 1082
1056 863 852 788 980 889 1030 897 755 891
3. Los siguientes son los saldos (en pesos) de 100 cuentas pendientes tomadas del libro
mayor de un cierto centro comercial
31 38 41 52 59 46 74 69 39 60
69 83 78 74 77 35 79 80 71 65
56 69 34 33 92 37 60 43 51 61
74 68 83 49 34 71 58 83 94 66
78 48 34 50 68 65 64 95 92 81
77 84 41 40 38 38 60 67 50 86
76 99 38 94 48 70 80 95 98 42
55 49 54 60 62 70 88 94 85 51
30
59 68 51 87 53 57 54 46 46 76
69 64 61 63 78 55 66 73 75 64
4. Suponga que una persona investiga los precios de cierto artículo en cuarenta
almacenes diferentes y encuentra los siguientes datos:
60 75 89 77 65 80 63 72
87 64 73 75 67 74 75 74
68 73 75 75 74 76 71 76
86 82 70 71 68 78 83 77
74 67 88 80 72 78 85 84
5. Los siguientes datos corresponden al número de hectáreas en propiedad de los
agricultores de cierta región del país:
15.0 0.8 16.3 0.9 17.5 1.0 18.3 1.0 18.9 1.0
9.5 1.1 10.1 1.3 10.9 1.5 12.2 1.7 13.5 1.9
5.8 1.9 6.5 2.0 6.8 2.2 7.2 2.9 8.5 2.3
3.5 2.5 4.0 2.5 4.0 2.7 4.7 2.9 5.0 3.2
2.4 3.9 2.5 4.0 2.5 4.5 2.7 4.9 3.0 5.4
1.9 6.0 2.0 6.7 2.1 7.0 2.2 7.3 2.3 9.4
1.0 9.8 1.3 10.5 1.3 11.1 1.5 12.5 1.7 14.7
0.6 15.8 0.8 16.9 0.9 18.0 1.0 18.4 1.0 20.0
Para cada una de las siguientes distribuciones, determine las medidas de tendencia central,
las de dispersión, trace el Histograma, el polígono de frecuencias, la grafica de pastel y
obtenga los deciles y cuartiles.
1. Se selecciono al azar un grupo de 60 vendedores ambulantes, los siguientes datos
muestran sus ingresos diarios
INGRESO DIARIO (PESOS) NÚMERO DE VENDEDORES
10-14 8
15-19 11
20-24 19
25-29 10
30-34 6
35-39 2
40-44 4
2. Los datos siguientes muestran una distribución de frecuencias de los salarios
semanales en dólares de 65 empleados de un cierta compañía
31
SALARIO (DÓLARES) NUMERO DE EMPLEADOS
50-59 8
60-69 10
70-79 16
80-89 14
90-99 10
100-109 5
110-119 2
3. Las puntuaciones obtenidas por los alumnos de un Colegio en un Test de lectura son
las siguientes:
PUNTUACION NUMERO DE ALUMNOS
1-10 3
11-20 5
21-30 5
31-40 9
41-50 11
51-60 15
61-70 14
71-80 8
81-90 6
91-100 4
4. La siguiente tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400
pilas alcalinas.
DURACION (HORAS) NUMERO DE PILAS
300-399 14
400-499 46
500-599 58
600-699 76
700-799 68
800-899 62
900-999 48
1000-1099 22
1100-1199 6
ANALISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Obtenga la ecuación de regresión y los coeficientes de correlación y determinación en cada
uno de los siguientes casos.
32
1. Un economista selecciona al azar una muestra de 5 fábricas de un cierto sector de
producción industrial para estudiar la relación entre el costo total y el volumen de
producción. Obtiene la información siguiente:
Fábrica Número de unidades producidas X Costo total (miles de pesos) Y
A 2 9
B 4 12
C 6 15
D 5 14
E 3 10
2. Los datos siguientes se refieren a la antigüedad y precio de venta de 10 autos
compactos usados
Antigüedad en
años
Precio (cientos
de dólares)
3 34
5 26
3 31.5
6 12
4 30
4 30
6 14
7 18
2 36
4 28
3. Los datos siguientes se obtuvieron en cinco plantas distintas de cierta industria
Costo
total Y
80 44 51 70 61
Produc
ción X
12 4 6 11 8
4. Una muestra aleatoria de 5 familias da la siguiente información en relación al
ingreso familiar y los gastos anuales en bienes durables (refrigeradores, máquinas
lavadoras, equipos estereofónicos etc.)
Ingreso anual (miles de pesos) Gastos en bienes (miles de pesos)
50 1
80 2
70 1
100 2
150 4
33
5. Una compañía eléctrica estudia las relaciones entre los consumos de energía (en
miles de kilowatts-hora, kwh) y el número de habitantes en una casa particular. Una
muestra aleatoria de 10 casa produjo lo siguiente
Número de habitantes Consumo (miles de kWh)
1 9
9 7
14 10
6 5
10 8
8 6
10 8
10 10
5 4
7 7
VARIABLE ALEATORIA
1. Un embarque de ocho computadoras similares para una tienda contiene tres que
están defectuosas. Si una escuela hace una compra al azar de dos de estas
computadoras, encuentre la distribución de probabilidad para el número de
defectuosas.
2. Una urna contiene cuatro bolas numeradas 1, 2, 3, 4 respectivamente. Se sacan
dos bolas de la urna sin reemplazo, sea X la suma de los dos números que
ocurren. Determine la función de distribución de probabilidad de X.
3. Se extraen dos tornillos al azar de un conjunto de 10 tornillos, cuatro de los
cuales están defectuosos. Sea X la variable aleatoria que indica el número de
tornillos defectuosos, determine la función de distribución de probabilidad de X.
4. Encontrar y graficar la función de probabilidad de la variable aleatoria X que
representa la suma de los tres números que se obtienen al arrojar tres dados
legales.
34
5. Determine la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria X
que indica el producto de los dos números que se obtienen al arrojar dos dados
legales.
6. Suponga que en un estudio realizado se encuentra que en determinado sector de
una ciudad sólo el 20% de los clientes de un supermercado se toma la molestia
de leer los precios unitarios de los artículos, antes de tomar la decisión de
comprarlos. Si entran dos clientes a ese supermercado, calcule la función de
distribución de probabilidad de la variable aleatoria X que representa el número
de clientes que leen los precios.
7. Se observó que el 40% de los vehículos que cruzan determinado puente de cuota
son camiones comerciales. Cuatro vehículos van a cruzar el puente en el
siguiente minuto, determine la función de distribución de probabilidad donde X
es el número de camiones comerciales.
8. Entre 10 solicitantes para un puesto 6 son mujeres y 4 hombres. Supóngase que
se seleccionaron al azar 3 candidatos de entre todos ellos para concederles las
entrevistas finales, determine la función de distribución de probabilidad donde X
es el número de candidatas.
9. La probabilidad de que una rata atraviese con éxito un laberinto la primera vez
que se le pone en el mismo es de 1/4 . Se hace un experimento con tres ratas.
Sea X el número total de recorridos exitosos, determine la función de
distribución de probabilidad de X.
10. En un problema de una prueba aplicada a niños pequeños, se les pide que hagan
corresponder cada uno de los tres dibujos de animales con la palabra que
identifica al animal respectivo. Si el niño asigna aleatoriamente las tres palabras
a los dibujos, encuentre la distribución de probabilidad para X, el número de
correspondencias correctas.
ESPERANZA MATEMÁTICA 1. En una compañía de seguros se está calculando el costo de las primas para asegurar
automóviles VW. De a las estadísticas de la empresa, 28 autos desaparecieron el
periodo anterior sin recuperarse (robo total); 51 fueron recuperados después del
robo con faltantes (robo parcial); 286 registraron siniestro grave; 421 registraron
siniestro leve y 1436 no registraron daño alguno. Los costos promedio para reparar
estos daños fueron los siguientes:
Por robo total $75,000.00 por auto
Por robo parcial $20,000.00 por auto
Por siniestro grave $35000.00 por auto
Por siniestro leve $7500.00 por auto
a) Construya la variable aleatoria, donde X sea el costo por daño ocacionado
b) Construya la distribución de probabilidad
c) Calcular el costo esperado de las pólizas
35
2. Suponga que X representa el número de fallas mecánicas que ocurren en una planta
procesadora de alimentos. Suponga además, que la distribución de probabilidad de
X es la siguiente:
X 0 1 2 3
P(x) 0.35 0.35 0.25 0.05
Encuentre el valor esperado de X.
3. Un billete de lotería tiene 0.00001 de probabilidad de ganar $100000.00; 0.0002 de
ganar $50000.00 y 0.0004 de ganar $25000.00.¿Cuál seria el precio justo que se
debería pagar por el billete?.
4. Un inversionista se da cuenta de que tiene una probabilidad de 0.40 de obtener una
utilidad de $25000.00 y una probabilidad de 0.60 de perder $15000.00 en una
inversión. Calcular la ganancia esperada.
5. El departamento de crédito de un banco pretende valuar el riesgo de incumplimiento
de su cartera vencida del área de tarjetas de crédito. Los montos no cobrados
ascienden a 800 mil en tarjetas de 10,000; 1.3 millones en tarjetas de 15,000 ; 2.2
millones en tarjetas de 20,000; 3.3 millones en tarjetas de 50,000 y 4.6 millones en
tarjetas de 100,000. De acuerdo a la experiencia, la probabilidad de cobro para la
primera categoría es de 80%, para la segunda 70%, para la tercera es de 65%, para
la cuarta es de 55% y para la quinta de 60%. Con esta información obtenga lo
siguiente:
a) Construya la variable aleatoria, donde X sean los montos adeudados por
categoría de tarjeta
b) Construya la distribución de probabilidad de no cobrar dichas sumas
c) Calcular el valor esperado del riesgo de incumplimiento
6. Se organiza un sorteo para obtener fondos para la graduación, se ofrece un premio
de un millón de pesos; dos premios de 500 mil pesos; cuatro premios de 250 mil
pesos y diez premios de 100 mil pesos. Calcule el costo esperado del boleto si se
piensan vender 1000 boletos.
7. Suponga que la probabilidad de que un jugador profesional de tenis, durante una
gira, gane un partido es de 0.6. La gira consta de 5 partidos. Sea X el número de
partidos ganados por este jugador antes de su primera derrota.
a) Construya la función de distribución de probabilidades de X
b) Calcular la media de X
8. Un minorista sabe que venderá una, dos, tres, cuatro ó cinco unidades de un
determinado producto al día, además cree que las probabilidades de vente son 0.10,
0.15, 0.35, 0.25, 0.15 respectivamente. Suponga un beneficio de $2.00 sobre cada
unidad vendida. Hallar el valor esperado de la variable aleatoria “beneficio total”.
9. Con base en pasadas experiencias se estima que hay 10% de probabilidades de
vender cero unidades por día, 20% de vender una unidad, 20% de vender dos
unidades, 30% de vender tres unidades y 20% de vender cuatro unidades. Si se
venden una ó dos unidades el beneficio por unidad es de $2.00; si se venden tres
unidades, el beneficio por unidad es de $3.00; y si se venden cuatro unidades, la
utilidad por unidad es de $4.00.¿Cuál es el valor esperado de la variable aleatoria
“beneficio total”.
10. Un embarque de 7 televisores incluye 2 defectuosos. Un hotel realiza una compra de
manera aleatoria de tres de estos aparatos. Si X es el número de televisores
defectuosos adquiridos por el hotel, encuentre:
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a) la función de distribución de probabilidades de X
b) el valor esperado de X.
DISTRIBUCiÓN BINOMIAL
1. La probabilidad de que un televisor de determinada marca salga defectuoso es de
0.20. Si se toma una muestra aleatoria de 20 televisores, ¿cuál as la probabilidad de
que la muestra contenga:
a) exactamente 2 defectuosos?
b) ningún defectuoso?
2. Una prueba escolar consta de 10 aseveraciones a las que se debe contestar con
“falso” o “verdadero”. Desconociendo las respuestas correctas, ¿cuál es la
probabilidad de acertar 6 o más respuestas?
3. El 20% de las ventas de automóviles nuevos en Estados Unidos corresponden a los
automóviles importados. Suponga que se seleccionan al azar 4 personas que han
comprado un automóvil nuevo durante la semana pasada:
a) Encuentre la probabilidad de que las cuatro personas hayan comprado un
automóvil importado
b) Sólo una de ellas halla comprado un automóvil importado
4. Las investigaciones médicas señalan que el 20% de la población general sufre
efectos negativos colaterales al ingerir un nuevo fármaco. Si un medico receta dicho
fármaco a 4 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) ninguno sufra efectos colaterales negativos?
b) Todos tengan efectos colaterales negativos?
c) Al menos uno presente efectos colaterales negativos?
5. Se sabe que de cada 10 divorcios 9 son por incompativilidad de caracteres. ¿Cuál es
la probabilidad de que de 8 casos de divorcio, exactamente 4 sean por
incompatibilidad?
6. La tasa de desempleo en la ciudad de México es de 11%. Se selecciona una muestra
al azar de 10 personas en edad de trabajar. Calcule las siguientes probabilidades:
a) Que ninguna este desempleada
b) Que exactamente 2 estén desempleados
7. Un fruticultor afirma que 2/3 de su cosecha de duraznos ha sido contaminada por la
mosca del mediterráneo, Ceratitis capitata Wied. Encuentre la probabilidad de que
al inspeccionar 4 duraznos:
a) los cuatro estén contaminados por la mosca del mediterráneo
b) cualquier cantidad entre uno y tres inclusive este contaminada
8. El fabricante de ciertas piezas para automóviles garantiza que una caja de sus piezas
contiene como máximo 2 defectuosas. Si la caja contiene 20 piezas y la experiencia
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ha mostrado que en su proceso de manufactura el 2% de piezas son defectuosas,
¿cuál es la probabilidad de que una caja de piezas satisfaga la garantía?
9. La probabilidad de que un presunto cliente escogido al azar haga una compra es de
0.20. Si el vendedor visita a 15 probables clientes, Hallar la probabilidad de que:
a) se hagan exactamente 4 ventas
b) el vendedor haga 4 ventas o más
c) el vendedor haga menos de 3 ventas
10. Debido a las altas tasas de interés, una empresa informa que 30% de sus cuentas por
cobrar de otras compañías comerciales están vencidas. Si un contador escoge
aleatoriamente una muestra de 5 de las cuentas mencionadas, determinar la
probabilidad de cada uno de los siguientes eventos:
a) ninguna cuenta este vencida
b) exactamente dos cuentas estén vencidas
c) la mayoría de las cuentas estén vencidas
11. Un vendedor de autos nuevos observa que el 80% de los autos vendidos son
regresados al departamento de servicio para corregir diversos defectos de
fabricación en los primeros 25 días después de su compra. De los 11 autos que se
vendieron en un período de cinco días, ¿cuál es la probabilidad de que:
a) Todos regresen en el lapso de 25 días para recibir servicio?
b) Sólo uno regrese?
12. Los informes de tránsito indican que el 25% de los vehículos que se detienen en una
autopista interestatal son sometidos a una revisión de seguridad. Si se detienen 16
vehículos, encuentre la probabilidad de que:
a) 2 o más no satisfagan las normas de seguridad
b) 4 o más no las satisfagan
c) 9 o más no las satisfagan
DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Una persona viaja diariamente en automóvil de su casa a la oficina y ha
encontrado que el tiempo empleado en el viaje en promedio es de = 35.5
minutos y =3.11 minutos. Si sale de su casa todos los días a las 8:20 hrs y debe
estar en su oficina a las 9:00hrs ¿Cuántos días al año espera llegar tarde,
suponiendo 240 viajes anuales?
2. Si las calificaciones obtenidas en un examen por los aspirantes a un empleo
tienen una distribución normal con media =85 y desviación estándar =4.
a) ¿Qué porcentaje de los aspirantes se espera que obtengan una
calificación superior a 90?
b) Si para aprobar el examen se requiere obtener una calificación superior a
80, ¿Cuál es la probabilidad de que una persona repruebe el examen?.
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c) Qué porcentaje de los aspirantes se espera que aprueben el examen?.
3. El propietario de un restaurante ha determinado que la demanda diaria de carne
molida en su negocio tiene una distribución normal con una media de =240 kg
y una desviación estándar de =23 kg. ¿Qué cantidad de carne molida debe estar
disponible diariamente para que la probabilidad de que se agote la dotación no
sea mayor de 1% ?
4. La duración en horas de una pila de linterna está normalmente distribuida, con
una media de 120 horas y desviación estándar de 36 horas. ¿Cuál es la
probabilidad de que una batería de este tipo tenga una duración de:
a) entre 84 y 138 horas
b) mayor que 156 horas
5. Las estadísticas pluviales en cierta zona agrícola establecen una precipitación
media anual de 53.18 cm y una desviación estándar de 7.16cm. Calcular las
siguientes probabilidades:
a) Que la precipitación sea de más de 60cm en un año.
b) Que la precipitación sea menor de 40cm en un año.
6. Se observó durante un largo período que la cantidad semanal gastada en el
mantenimiento y en las reparaciones en cierta empresa tienen aproximadamente
una distribución normal con una media de $400.00 y una desviación estándar de
$20.00. Si el presupuesto para la próxima semana es de $450.00 :
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los costos reales sean mayores que la cantidad
presupuestada?
b) ¿De cuánto tendría que ser el presupuesto para reparaciones semanales y
mantenimiento, para que la cantidad presupuestada solamente se rebasara con
una probabilidad de 0.1?
7. Supongase que en un estudio realizado en un rancho ganadero se encontró que el
peso del ganado vacuno de cierta edad tenía una distribución normal, con media
de 320 kg. y desviación estándar de 40kg. Calcular l valor de x para el cual el
80% de los pesos de los animales sean menores de x.
8. Suponiendo que el QI de los estudiantes de una escuela se distribuye
normalmente con una media de 115 y desviación estándar de 8, calcule el
porcentaje de estudiantes que tendrán un coeficiente:
a) Superior a 130
b) Inferior a 100
c) Entre 105 y 125
9. El diámetro interno ya terminado de un anillo de pistón está normalmente
distribuido con una media de 10cm y una desviación estándar de 0.03cm.
a) ¿Qué porcentaje de los anillos tendrá un diámetro interno mayor de
10.075cm?.
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b) ¿Cuál es la probabilidad de que un anillo de pistón tenga un diámetro
interno entre 9.97 y 10..03?
10. Una máquina despachadora de refrescos está ajustada para servir un promedio
de 200ml por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con
una desviación estándar de 15ml :
a) ¿Qué porcentaje de los vasos tendrá más de 224ml?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209ml?
c)¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230ml en
los siguientes 1000 refrescos?.
11. El gasto familiar mensual de un sector de la población se distribuye
normalmente con una media de $1700.00 y desviación estándar de $30.00.
Determine:
a) La probabilidad de gastar entre $1650.00 y $1730.00 al mes
b) La probabilidad de gestar menos de $2000.00 al mes
c) Si se extrae una muestra de 3000 familias, cuántas gastarán menos de
$1760.00
12. La media de los pesos de 500 estudiantes de cierto colegio es 151 lb con una
desviación estándar de 15 lb. Suponiendo que los pesos se distribuyen
normalmente, determinar cuántos estudiantes pesan:
a) Entre 120 y 155 lb
b) Más de 185 lb.
13. El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se
distribuye normalmente con 80 minutos de media y 10 minutos de desviación estándar.
Calcular:
a) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno termine el examen en más de
60 minutos, pero en menos de 75minutos?
c) Suponga que en el grupo hay 60 alumnos, y que el tiempo del examen es
de 90 minutos. ¿Cuántos alumnos espera que no puedan terminar el
examen en el tiempo indicado?
