CPI1 - CLASE 2 - PARTE 2

Control de procesos industriales I

Ing. Ángela Bravo Sánchez M.Sc

CONTROL DE PROCESOS INDUSTRIALES I AGOSTO DE 2012

MODELADO MATEMÁTICO


Modelado matemático

Un modelo matemático de un sistema dinámico

se define como un conjunto de ecuaciones que

representan la dinámica del sistema

La dinámica de muchos sistemas, ya sean

mecánicos, eléctricos, térmicos, económicos,

biológicos, etc., se describe en términos de

ecuaciones diferenciales.



Dichas ecuaciones diferenciales se obtienen a

partir de leyes físicas que gobiernan un sistema

determinado, como las leyes de Newton para

sistemas mecánicos y las leyes de Kirchhoff

para sistemas electrices.

Ej: segunda ley de Newton



Simplicidad frente a precisión:

Al obtener un modelo matemático de un sistema

es importante llegar a un compromiso entre

precisión y simplicidad del modelo

Para obtener un modelo matemático

simplificado, es necesario ignorar ciertas

propiedades físicas inherentes al sistema e

ignorara las no linealidades y parámetros

distribuidos que pueden hacer difícilmente

analizable al sistema


Definiciones

Parámetros concentrados y distribuidos

Parámetros concentrados

Cuando se trata de modelar matemáticamente fenómenos o

sistemas reales con frecuencia se utilizan entidades ideales

(masa puntual, carga concentrada en un punto del espacio

etc.)

Es decir, consideramos que los valores que determinan las

características físicas de los objetos se encuentran

concentrados en un punto. Estas entidades que no tienen

existencia real reciben el nombre de elementos de

parámetros concentrados.

Estos modelos suelen estar caracterizados por la utilización

de ecuaciones diferenciales ordinarias.


Definiciones

Parámetros concentrados y distribuidos

Parámetros distribuidos

En el mundo real las masas no son puntuales, las

resistencias eléctricas presentan un efecto

capacitivo e inductivo distribuido a lo largo del

componente

Estos modelos suelen estar caracterizados por la

utilización de ecuaciones diferenciales en

derivadas parciales.


Definiciones

Modelos determistas y no deterministas

Modelos determistas

Se dice que un modelo es determinista cuando el

comportamiento del sistema queda determinado

por la especificación de las condiciones iniciales y

la evolución de las magnitudes de entrada.


Definiciones

Modelos determistas y no deterministas

Modelos no deterministas

Se dice que un modelo es no determinista cuando

intervienen fenómenos aleatorios, imposibles de

modelar y predecir.

Para unas mismas condiciones iniciales e igual

evolución de las magnitudes de entrada, el

sistema evolucionará cada vez de una forma

distinta.


Definiciones: Ecuaciones variantes e

invariantes en el tiempo.

Ecuaciones variantes en el tiempo

Una ecuación diferencial es variable en el tiempo,

si alguno de los coeficientes que multiplican a la

variable dependiente o a sus derivadas es función

del tiempo.


Definiciones: Ecuaciones variantes e

invariantes en el tiempo.

Ecuaciones invariantes en el tiempo.

Una ecuación diferencial es invariante en el

tiempo si todos los coeficientes que multiplican a

la variable dependiente o a sus derivadas son

constantes


Definiciones

Linealidad y no linealidad

Linealidad

Una ecuación diferencial lineal es aquella que

consiste en una suma de términos lineales, o sea,

términos de primer grado en la variables

dependientes y en sus derivadas.

Ejemplo de no linealidad


Definiciones

Sistemas lineales

Un sistema se denomina lineal si se aplica el

principio de superposición.

Este principio establece que la respuesta

producida por la aplicación simultánea de dos

funciones de entradas diferentes es la suma de

las dos respuestas individuales.


Definiciones

Sistemas no lineales

A un sistema lineal no se le puede aplicar el

principio de superposición

Los procedimientos para solucionar sistemas no

lineales son complicados. Por tal motivo resulta

necesario considerar sistemas lineales

«equivalentes». Tales sistemas son solo validos

en un rango limitado de trabajo.


Definiciones

La mayoría de los fenómenos del mundo real

presentan características no lineales.

Los sistemas lineales resultan convenientes por

la sencillez en su tratamiento y análisis.

Mientras que las ecuaciones con no lineales son

de difícil manejo

Gracias a la linealización de ecuaciones no

lineales es posible aplicar numerosos métodos

de análisis lineal que producirán información

acerca del comportamiento del sistema no lineal


DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA

Existen distintas formas de expresar el modelado

matemático de un sistema dinámico:

Descripción interna

Descripción externa


DESCRIPCIÓN EXTERNA / INTERNA

Descripción interna

Representaciones que consideran ecuaciones

diferenciales que modelan la evolución de las variables de

estado. Las ecuaciones diferenciales que componen una

representación interna suelen llamarse modelos de estado

Descripción externa

Las representaciones que únicamente consideran las

ecuaciones diferenciales que relacionan las variables de

entrada y salida se denominan descripciones externas


CONCEPTOS BÁSICOS:

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

DIAGRAMA EN BLOQUES

MODELADO EN EL ESPACIO DE

ESTADOS


Función de transferencia

En la teoría de control, a menudo se usan las

funciones de transferencia para caracterizar las

relaciones de entrada-salida de componentes.



Un sistema dinámico puede ser descrito por la

siguiente ecuación diferencia invariante en el

tiempo:



Pasando la ecuación al dominio de Laplace y

considerando que las condiciones iniciales son

cero se obtiene:

La función de trasferencia entre y(t) y u(t) está

dada por:



Las raíces de N(s) son llamadas polos del

sistema

Las raíces de M(s) son llamadas ceros del

sistema

Función característica se obtiene al igualar el

denominador a cero N(s)=0



Una función de transferencia tiene las siguientes

características:

La función de trasferencia está definida

únicamente para sistemas lineales.

Todas las condiciones iniciales del sistemas son

fijadas a cero

La función de trasferencia es independiente a la

entrada del sistema


MATLAB

OPCIÓN 1

s = tf('s');

H = s/(s^2 + 2*s +10)

Transfer function:

s

--------------

s^2 + 2 s + 10

OPCIÓN 2

h = tf([1 0],[1 2 10])

Transfer function:

s

--------------

s^2 + 2 s + 10


Diagrama en bloques

Un sistema de control puede consistir, en

general, por un cierto número de componentes.

Con el fin de mostrar las interacciones

existentes de forma cómoda, se acostumbra a

usar una representación gráfica denominada

diagrama a bloques.


Diagrama en bloques

Un diagrama de bloques es una

representación grafica de una función de

trasferencia.

Muestra la relación existente entre los diversos

componentes e indica el flujo de las señales del

sistema real


Diagrama en bloques

Un bloque funcional o “bloque”, es un símbolo para

representar la operación matemática que sobre la señal

de entrada hace el bloque para producir la salida.

Las funciones de transferencia de los componentes por

lo general se introducen en bloques correspondientes,

que se conectan mediante flechas para indicar la

dirección de flujo de señal.


Diagrama en bloques: Simbología

Bloque ó bloque funcional:

Punto suma ó diferencia:

Punto de ramificación


Algebra de diagrama de bloques

La modificación de los diagramas en bloques

para efectuar simplificaciones u ordenaciones

se denomina algebra de diagrama de bloques



Asociación de bloques Cascada o serie

X2(s) X1(s)

C(s)

?



Asociación de bloques Cascada o serie



Asociación de bloques Paralelo

?



Asociación de bloques Paralelo



Asociación de bloques retroalimentados

?



Asociación de bloques retroalimentados



Intercambio del orden de los bloques



Intercambio en el orden de los bloques



Combinación o expansión del bloque

suma/resta


Ejemplo de algebra de diagrama de

bloques

Simplifique



bloques

Paso 1



bloques

Paso 2



bloques

Paso 3



bloques

Paso 4


MATLAB


MATLAB

Ejemplo

G1(s)=4

G2(s)=1/(s+2)

H(s) = 5 s

G1 = tf([0 4],[0 1]);

G2 = tf([0 1],[1 2]);

H = tf([5 0],[0 1]);

SYS = feedback(G1*G2,H)

Transfer function:

4

--------

21 s + 2


Procedimiento para dibujar un

diagrama en bloques

1. Escriba las ecuaciones que describen el

comportamiento dinámico de cada componente

2. Obtenga las transformadas de Laplace de

estas ecuaciones, suponiendo que las

condiciones iniciales son cero.

3. Represente individualmente en forma de

bloques cada ecuación transformada por el

método de Laplace

4. Por último, integre los elementos en un

diagrama de bloques completo



diagrama en bloques

Ejercicio: Circuito RC


comportamiento dinámico de cada

componente. En este caso i y eo



diagrama en bloques


comportamiento dinámico de cada

componente. En este caso i y eo

2. Obtenga las transformadas de Laplace de

estas ecuaciones, suponiendo que las

condiciones iniciales son cero.



diagrama en bloques

2. Obtenga las transformadas de Laplace de estas

ecuaciones, suponiendo que las condiciones

iniciales son cero.



método de Laplace



diagrama en bloques



método de Laplace.





diagrama en bloques




MODELADO EN EL ESPACIO DE

ESTADOS

La tendencia moderna en los sistemas de

ingeniería es hacia una mayor complejidad.

Los sistemas complejos pueden tener entradas

y salidas múltiples y pueden variar en el tiempo.

El modelado en el espacio de estados permite

considerar aquellos sistemas de múltiples

entradas y múltiples salidas.


Modelado en el espacio de estados

Estado

Es el conjunto de variables, tales que el

conocimiento de esas variables, determinan el

comportamiento del sistema.



Variables de estado

Es un conjunto de variables que determinan el

estado del sistema. Se necesitan n variables

para describir totalmente el comportamiento de un

sistema dinámico X1,X2, … ,Xn

Vector de estado

Es un vector con las n variables de estado.



Espacio de estados.

Es un espacio de n dimensiones cuyos ejes de

son las variables de estado X1,X2,…,Xn.

Cualquier estado puede representarse mediante

un punto en el espacio de estados.



Ecuaciones de estados

Conjunto de n ecuaciones diferenciales

simultaneas de primer orden con n variables,

donde las n variables al ser despejadas son las

variables de estado.

Ecuación de salida

Ecuación algebraica que expresa las variables de

salida del sistema como combinaciones lineales

de las variables de estado y las entradas



Considere un sistemas dinámico lineal

invariante en el tiempo, de múltiples entradas y

múltiples salidas



El sistema está representado en el espacio de

estados por la siguiente ecuación

Dónde:

Ecuación de estados

Ecuación de salida



u: un vector que contiene cada una de las p entradas al

sistema

y: un vector que contiene cada una de las q salidas al

sistema

x: es un vector que contiene cada una de las n variables

de estado del sistema



El tamaño de las matrices debe ser el

adecuado:

p entradas al sistema

q salidas al sistema

n variables de estado del sistema



Ejercicio: Obtener el diagrama en bloques



Obtención de las ecuaciones de estado

La representación en espacio de estado puede ser

derivada desde las ecuaciones diferenciales que

representan a un sistema.

1. Identificar las leyes o teorías que gobiernan el comportamiento del

sistema. Leyes de termodinámica, Leyes dinámicas, segunda ley

de Newton, Ley de voltajes y corrientes de Kirchoff, Ley de

Ampere, Ley de Ohm, Ley de Boyle, etc.

2. Seleccionar las variables de estado. Son las variables mínimas

que determinan el comportamiento dinámico del sistema.

3. Encontrar la dinámica de cada estado. Es decir, encontrar la razón

de cambio respecto al tiempo de cada variable de estado (su

derivada).



Ejemplo

Considere el sistema mecánico

u(t) es una fuerza externa

y(t) es el desplazamiento de la masa



Cuál es la variable de

entrada del sistema?


salida del sistema?




entrada del sistema? La fuerza externa u(t) es la entrada

para el sistema.


salida del sistema? el desplazamiento y(t) de la masa es

la salida.



La ecuación del sistema es

Definamos las variables de estado

x1(t) y x2(t) como:



Obtenemos

De acuerdo a (2) obtenemos

(2) (1)



La forma matricial de estas ecuaciones es:



La ecuación de salida es:

En forma matricial



En resumen,

La forma estándar es:

Donde:



La forma estándar es:

Donde:

Diagrama en bloques es:



Ejercicio:

Calcular la Función de transferencia



Aplicando Laplace, con x(0)=0

Despejamos x(s) (multiplicamos por en ambos lados )



Por otro lado

Y

Remplazando

Por lo tanto la función de transferencia es:



Se puede reescribir como:

Donde

Polinomio característico

Polinomio en s



EJERCICIO

Obtenga la función de transferencia

del sistema descrito por las

siguiente ecuación de estado:



De las ecuaciones de estado obtenemos los

valores de A, B, C Y D

Remplazamos en la ecuación de la función de

transferencia



MATLAB

syms k m b s

A=[0 1; -k/m -b/m]

B=[0; 1/m]

C=[0 1]

D=0

%Forma Manual

G=C*(s*eye(2)-A)^(-1)*B+D

G=

s/(m*s^2 + b*s + k)


MATLAB

El comando ss2tf retorna el numerador y

denominador de la función de trasferencia

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)

El comando tf2ss convierte la función de

transferencia de un sistema en la forma espacio

de estado

[A,B,C,D] = tf2ss(num,den)

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